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Full text of "Mathematisches Wörterbuch; oder, Erklärung der Begriffe, Lehrsätze, Aufgaben ..."

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SSegriffe, 8e|tfd|e, 3t«fa»ti«n »nb SRet&oben 

Der SfftatUmatil 

mit &*« it.it jfg'en äSeweifett 

unb Itteratiftben 9f adjtidjttn begleitet 
in ftH)^(}btt£f<$er£>tbnufl9, 

angifdnaen 

©cpcg Simon Ä lügel, \^ 
fettaefSt 

Karl SBranban SKottroeibe, 

. fbematö gjtBfeiToren ber Slatbematit su $aUe irab Seipjis 
Hüb 6eenbiyt 
bon 

3So5«ntt Jfugttfl ©runert, 

Dr. unb $ioft([or ber SRatbemati! ju SBcanbenbun) a. b. $. 
(Särepniltgjlebe ber SbntgC *Preuji. Xtabemje beb SSilienfdiafien ja Scfurt. 




etfte Ableitung. 

£)«? teine äRat&ematlS, 



günfttt Sbtil, e t (i't t S o n t«, 
S unb 11, 



«*ip}i9, 1831, 

9 ©. SJ.. © cb » i * e « t. 

n,. -.Google 



=, Google 



58 ö ir r t b t. ■ 

3<& übergebe hiermit bcn greunben bets Slugel» 
fcf>en matf>ematifd)en SB{rterbua)S txfTm 
fünften SJeil,' mit Dem SBunfdje, ba|j bie Sfoeifüb/ 
tnng ber 21r6etf t>et 2u|i uiib Siebe, mit reeller |te 
unternommen murbe, einigermaßen entforectjcn, unb 
baji icl> md;t ju roeit Gintec meinen Reiben »erbte tv 
tra Sübrgängmi jurücfgeblieben ferni möge. S8sr< 
arbeiten t)abe ia) nicjit gefunbcn. Wut über bie 
Slrtifel 20910« £et>rfag , Urafe&rnng ber 9teu)cn, 
' Unenblid) unb äa&Ijelcjien t>atte ber »ereroigte ÄIüs 
sei noch, (Einiges aufgefegt. 916er nur bie tfiottjen 
über ben juleßt genannten SirfiCel finb mir bei met« 
tut Arbeit »on einigem Singen geroefen. Sebod) 
wirb matt aucb. bei tiefem ^frtifet bie Sufiuje unb 
kSmeiterungen uon meiner Seite niijt unbemerft 
{'offen. S8et ' mannen Strtifeln tneftr )n geben »er* 
! ist ber befc&ranfte Kaum, uitb bie S(uS»abJ t|l mit 
fti^t feiten ferner gemorbeu. SKif biefem.SJanbe 
f bie erpe äbfljeüung be« ganjen SBerfe$, meiere 
** reinen .SDlat&emafir' gemibmet tfk, ju Enbe ge* 
ffyrt, unb bie SSerlagS&anblung |>at mia) nun w 



iv SSottebe. 

»4# i« einem Staube 9cad)ft<lge, Etgänjungen 
anb 3u|%, rodele buta) bie »ielen gtroeifetungen 
bet «ffiat&eraatit' fett 1803, wo bet er|ie Sknb et* 
fo)ien, nStyig geworben finb, mifgeforbert. 06 
bann cmd) bie mtgeroanbre SKafyematif in einet fc 
ficoarap^ifc^ett SBearteitung, j» reeller (tt^ bie ein« 
jelnen Si&itftfen tiefet SEBifenfc^tft n>ot/»otj»gfc 
weife eignen, effeftemen wirb, imift (ebigli<$ »on bent 
UrrtjeU bet kennet, unb »on bet erbeten Steife 
nar)rae be« raafljematifäien ^ublimm« an bet nun 
»oüeitbeten etflen 3f6tr)eiiung orangen, in melier 
bie ttaefete SSerfagefymblung fät ba« in tiefes 
SEBecB fcfjon »erwanbte iebeutenbe Kapital nur alfeitt 
einige €nffcf)iit>igiing ftnben famt. 

5Dtöge benn bo« äBerl in feinet fo weif »oO< 
enbeten <8e|iali forffa&ren, jut immet »eitern SSer» j 
breitung bei fo mistigen roa^eraotiftjien ©tubiimtS | 
Sefcjitftagen. 
S8t anbenbutg a. •£>., im ©eotembet 1830. 

Se« SBerfaffer. . 



-v Google 



Tabula foecnnda, fy\$t Bei 9te'äUm»nran ble 
•Jafd ber Tangenten. %$L I. @. 669. 

Tabula mirißca, fjeitjt Bei einigen ättero @d>lf(> 
jWUni/ j. 0. ilt Clavii Geometria pract, Lugd. 1607. 
4.P. 278-, bie Safe! ber ®ini>mlat.eoef|icimeen. W. f. 
tiefen a«. (4). dabin« gr&t bis juc 17ftn <P«etij, 
Ji« ju bem Eoefficienroi, Mn reellem an ble »«^erge. 
Ipeuben niebetfcrjren. 

Tabula pythagorica, ift bas fugcnanntt (Ein. 
mateittö, beffen (Srftnbung geroöfjnti$ bem 5>»$ßgoras gu> 
«,ifd)rieben wirb, ©er SJtmtt. fä)emt Mm Seba (Opp. 
Colon. 1612. p. 77.) juecfl »or|u(oramen. Die ?afe[ 
fe!b|t rjaben Btjf omad)«« (Paris. 1538. p. 28.) nnb 
8(trc)ln« (Basil. 1570. p. 1314.) 35« Abacus py- 
tliagoricus (f. Abacus) fd)eint r)ierwn wefentlid) »etfdpie. . 
ten gewefen, unb nur bureb eine 93ern>ect>suing aud> auf 
ta« ©nmaleuw übergetragen jufeim, roorüber Stelmer 
in Soffut's @efd>iä)te ber SHatf). I- $amb.l6C4. 0. 

31./ unb Mannert de numeranim, quos arabicos 
vocant, vera origine pythagorica. Nonmb. 1801. 

SU Dergleichen (inb. 

TactiO, f.Ärell. (78. antiEnbe). 

Safet, ig »er gserfpec«»- @> biefen Hrt. (6.) 

Säfetgrunb, eigent(id)0rtinblinle bertafei, 
l(i Inber <perf»ecti» bie !Dnra)fa>nitie|inie ber lofel mit 
*« 8unbanient9l<bnn, 



2 Xafdix, matyematifdje. 

Safein, ma^ematif^e, fmb t. «Jerjeic&niflv 

fccc^ befiimmfen mimerifc&en 2Be«ljen iljrer »eranberlid?en 
©rofjen entfpred)enben, numcrifc$en' SEBert^e gctviflcr. 
Functionen. 5Daf)in gelten a. bie tafeln bec öuabrat= 
trnb €ubifja^lcity welc&e bie 2Bertlje ber Functionen sc* 
unb x3 fiic x = 1, 2, 3, ' 4, u. f.f. enthalten, h. ©ic 
Safem.berQuabraf* unb Eubifwutjeln, tvetc^e bie 2Bcrt^e 

ber Functionen jfx unb ^x fär biefetbenSISertljebonx 
bis jii einer getsiffen ©ränje enthalten, c £>te tafeln ber 
2ogörirfjmen für bic$uhciionen log. vulg. x unb lognat -x, 
für bie naturflc&enSaitfenwett^e »onx bw ju einer gewiffen 
©ränje. d. ©ie trfgonemetrifeben tafeln für bie gunc* 
fionen sin x, cosx, tangx, cotx, in 23ejug auf [einen 
bejiimmten Wabiuö, unb bie einzelnen SKSerrlje be« SSStn» 
feto ober Sortis x roenigfiens von SJHnute ju SHinuf e.' 
e. 5Wand;e Heinere tafeln, wie j. 33. jur SJerec&nung, ber' 
Kreisbögen/ als gunefionen ber juge^orenben 3B(nfe[ fäH 
einen befHmmten ÖvaMus, ber S3inomiaU<£oefftcienten,' 
S«uoulIifd?en 3aljlen, u. f. f. f. tafeln ber SGBcrtr)* »er- 1 
febiebener trangeenbenten Functionen, wie j. 23. fees 3nte= I 
grallogaritlimut! in Soldner Theorie et Tables d'une "• 
nouvelle funetion transcendante. Manie 1809., ber] 
8Ber$e be* Sfntegrots /e — "3t für befummle Söettljje ■ 
Von t in Kramp Analyse des refractions astrono- ' 
miques et terrestres. Leips. 1798. p. 193., unbanbe«' 
rer tranticenbenten Functionen in Legendre Exercicesj 
de calcul integral. T. in. Paris. 1816. u. bergt ' 

, 3RU biefe Zaftln ftnb jur (Erleichterung unb afeförjung | 
oft borf ommenber SXec&nungen benimmt, inbem fie ein für j 
afle fSHai berechnet enthalten, was man fonff für jeben ein- j 
(einen Fad immer befonbere berechnen maßte, ©fe ©n* , 
ricfjtung famt fet)r »erfebieben fenn, ffl aber in jebem Satte j 
im ©anjen nur etnfa$, unb gcmStmlicö wirb barüb.et j 
ben tafeln felb|r eine, befonbere Sinfettung unb 9Intei= ■, 
tung jum ©ebrauefce »orauffgefebieft. (Enthält bie Function , 
nur eine »eranberttebe ©rßfje, fo bafjt fte = yx; fi> »er= • 
ben bie numeriföen 28ern)e »on x in ■tierrtfate Dvrttien ge= , 3 
orbnet, unb bit entfprecbenben2ße«^ewnyxban«ben-öe* , 



Safein, maffjemattfelw. 3 

jfc 3« Befonbecn gätten f Snncn febeß Slbfürjtihgett 
«gli* fc^tt, wiit j. 33. bei ben gemeinen Xogaritftmen. 
Mb ttigenometnfc&eR tafeln, ©ercöljnlicb f ommen aber 
Ife Slbfürjungen barauf jurilcf , bog Äffet wfeberfe^renbe 
jpiljten nur einmal gefdjoe&en werben. 3ß bie $uncfiott 
±<p (x, y), unb enthalt alfo ^e! wrÄnberli(tN@rÄfjert; 
: i »erben bie SBettEje »on x in eine 58ertifairetb>, bie" 
Sert^e »Ott y in bie erfte Jg»ed$6nfa(ret^C gefegt, unbfeie 
Wien beftimmfen SßJertljen »on x «nb y entfpredbenben 
BtttEjeijon 9 (x, y) in bie fünfte gefcptfeben, wo eine 
*ra) ben 2Ber t§ wb x gejogene £orfjontaltinie bie bur# 
im aßertt) »ort y gejogene SBerntfalfinie fdjneibef. gü* 
fanctionen treuer »eränberlidjen ©rSgen müßt t bfe (Einrieb 
»ngnaturltd) öufammengefetstet ausfallen, ©oltfce tafeln 
tob aber aud? nur wri_f*(ntem ©ebraudj in ber S9tat$ema« 
lif,unbnuttngan5fpecieflen §(ißen. ^enaebbem bie ?afe{tt 
Snnctionen mit einet ober mit jwei »etanberlidjen ©r&fjen 
tarfMIen, Reißen fte tafeln mit eirifad)em ober boppeltem 
Eingang. ®ewoi)n(fd? enthalten bie tafeln eine befonbete 
Spalte ber ©ifferenjen ober 9>roportionaltb>ile, welche' 
W (Erweiterung ber $afe< ober bie'tljr urfprüngtfidb geflerf» ' 
toStinjen mitteilt bes 3nterpoiirettf ober (Einfdjaftens 
ma, worüber biefer 3(rfife[ iwo>jufe$en, , S)ie SJetecb. 
**H t)ec tafeln erforbert naeb ber £ftatur ber Function, 
«% (ie borfteflen fottehy »etfifciebene SOJetfioben. Jpat 
*w Jtibeß nur -erfl eine ©ninbrei^e von döerrften fcet 
S«tction berecfcnetj fo foffenfid» mi(fet|t ber 3nffrp*ta* 
fen*=aBet^obent)ie übrigen Sßert^e in bie ©cunbretye ein« 
MtoL S0?an wicb ftd) t»on tiefen 5Retb>fcen am beflen 
*wSegriffau8ber^reä?nungbertrigönometrifd(?<n?mie» 
w9fct.e 9 c(ote*nie <t^l.L©.676.) ttef aus bem 2Irfi 
g"rift)mu8 (54), fewie au# aus btnt$rt. (Einfcbaften »et* 
Wffa. ©ute allgemeine Semetflmgen übet Hefen ©egem 
wb ffobet man in einer Sloljanbtung »Ott DI ftt I e r in Grei- 
fs Journal der Math. B.2. R.^ : ft$ft2. ^tetfgeffoKet 
wäXaamfetne weitere ^u^füb^mig; 1 Zerrtet enthalten aber 
, 2. matljematifdK tafeln aufy nur gemiffe SBetwanb* 
J"3«unb Verlegungen geroifler £a#«lt, oijnt etgenti 
W SBettfje einer Sutittien barjuftefiett, wotyin u.% 

51 2 - .C^oogli 



4 £«feto, ma$emattf$e. " ., 

btt gacforentafeln in 'Sßerttobung mit t>ett "SafeTn bei 
gWmja^l'n (f. *$eH« tlntrgtyl 10.), bit tafeln jui 
SBermanbtung ber gemeinen Srüdje in '©erimal&rütfte, rci 
j. ©. ©(brütet (£e(mftabt. 1799.) unb Söucbe] 
m-(£attörittK. 1795.} getieft« §aUn, u. bergt. Uebej 
ben ©ebtauib ber nacb <3auß (SRonatt. Correfp. Ol« 
»erntet. ,1812.) Sßorgange »on <£. 5t. SJMatt^ieffeit bä 
regneten tafet jur bequemem ^Seredjnung be« Segari$ 
mue bet ©umme ober SHfferenj jweier ©rögett, wtm 
fetbff nur burdfr iljre 2ogaritljmen gegeben fmb (2I(to«i 
1817.) f. m. Trigonometrie. (14). ^nbefj tjat äucfc f#o« 
9B»tf auf (Erleichterung feiger Dtecfjnungen gebaut/ abdf 
nkfrt bur<&tafetn,fenbern nurbwcbSermetn .[Act. Erui 
Jun, 1715. -xäß.tur.6 SftMt. tobt, ©rifjen. 752-> 

3- %u<$)l)at manXaftin, »etdje juc <£cletdpterung bee 
Stoft&fung gewiffer unbeftimmfen @(ei$ungenbieitett, wie 
■j. 95. btr Carion Pellianus. Auct. C. Fi Degen. H» 
fniae. 1817., töfteber für bie SBerttje btr ©r&fje a vot 
1 bis 1000 bie einfachen Sliifl&fungen ber unBe^immte» 
©Ifidjungy'Äax* +1 fn ganjen3at)(en tnfy&it (f. Um 
benimmt« Smalnttf* 46.) , unb anbete tafeln jut <£r(eub>j 
terung ber 9ie<bmingen in ber unbefiimmten Slnatotif, mm 
jügltcbin Legen dre Theorie des nombres. Paris. 
1806,, amlEnbe. 

4. <Enb(üJb »erflehe man unter tafete aud? «Samt* 
(ungen «lattjeraatiftfeer goemtin, beren mehrfache SÖe« 
arbeitung bei ber tägtieb . fia) erweiternben StiWbefJBUiiJ 
fcer Slnatijjtfl fe^r ju tvanf^en ift. 3' 25- ©ammUingeit 
ttigonometrifa>er §öfmetn fn »erfebiebenen SÖttfen, Befo* 
■ ber* Cagnoli Traite' de Trig. Paris. 1808., bet 3» 
tegrate entwufetter Functionen in ben fogenannten %nt{ 
grajtafetn, beren SÄeier £trf<fr (©erlin. 1810)' gett 
fett, unb autb fMotb, angeftmbigt §at (Schumacher 
astron. Nachrichten . 1826. No. 94). Sttaitdje red 
bvmfybatt tafeln entfetten immer noä) Sambert« gi 
fafje ju ben log. unb trig. Tabellen. Berlin. 1770. ; aw 
©f 6p et 8 Ölaf^geber bei matt). S3efcbaftfgunge«. ©tei 
ba(. 1819. 3>ie fet)t »ietfdtttgen Zaftln ber augeteanbte 
SRatfcenwdf , befonbtw btr Slfironomie, gehören niq>t tyttfy 



Tangera secunda. ■ 5 

Tangens secunda, f. eotangenre. 

Tangente / wirb In einer toppelren 93ebewtmtg ge« 
faucht: a. gtdd)r.ebeuccnb mirSttittjetnbe Jinie (f. tiefen 
JrtiFef), »o (te alfo Von unbe|Hmmrer üaiige i(t; b. gleiä> 
fetutenb mit rtigonomecrifebec Sangente (©oniomelrie. 
i), n>o ge »on befummlet lange ifi. Sie tttttre S9e. 
taitung ife in biefem SSörtetbucbe feftgetjalfen werben. 

Debet bie umgtfcb>te SWecfmbe bet SJeratjcenben f. 
filversa methodus tangciitium. 

lieber bie ttigonametrifeben $angentttt »ergf. 
tu. ©oniometrie, Stjclomefcie, £i;clotecbme, unb aud) 
JJro&ucf, ba aus feen bort entwief eiten Probucten für sin x 
»nb cos x awb. leitet «in iprobuef fit tangx =c 3^ 
abgeleitet »erben fann. 3Ne 3>ar(le(hing Von tangy burd) 
eilten jtettenbtucb. f. m. Qtiabratur. (M.) glm Starfiel. 
inngöon tang nz butcb ein "Probuct »on Tangenten giebt 

Guter in bet Introd. in An. inf. I. Cap. 14. §. 254. 

ftie^Summitung von $5gen, beten Tangenten nad; einem 
jejebenen Sefefje fortgeben, (e^tt nad) £ liier« SS«. 
Sauge (Comm. Petrop. T. IX. p. 234. Not. Comm. 
T. IX. p. 40.— 520 • PUff in einet febatffinnigen ab. , 
fanblung In feinen Disquisitiones analyticae.. Heimst. 

1797. Disq. L, aueb (Einige« febon imSBecfucb einet neuen 
^tnationsmet&>be. SJetun. 1788. 

AunfHicfre Sangenten nennt man. We 2ogarttt)> 
inen ber triäonomettifcben Sangenten in br» trigoncmiefci. 
ften tafeln. 

i\ait Der Sangeneen, f. ^raportconaljirfel. (10.) 

?Mtf, (tarifa), (urteilen für StecfrenM«. 

?anit, un*Saunt«<n«nnt3.8.e.SBetneb\ttt9 

»feinet ^'eliofabit (f. Hefen Steift!) bau, mae; fonfl 
P%Ucbjjn>»lf unb3t»8lftel fjfifjt. Sie ginfü&tung einet 
»m, auf bie X>obefabi( gegtuntjeten, SXedbenfutrft im ge* 
»*tn!eben 6ea6ftd)figen$, war nalutli* au* bie fflifoung 
■*«t neuen ©otad)e n6«)ig, ba unfete 3aI)toJtter ftd> un. 
*W6m auf We ©efabif r-esie,en. <Slf Wtt bei ftjm 



6 ■ Santa« fe&rf««. 

mit, bteljeb> tatmbrti, brdfjtg bteitaun, lt. f. f. @>li 

<Bfer fiifirte ifin }u rotir. , ; 

Säuert SeljtfatSi Theorema .Tay]oriaiii.mj 
Ifi bie anati)ti(cfoe gormet, burcb toeitbe bie au« ben Söeräni 
berungen irrtet r-eränberiicr/en ©röfim enffpringtnbe Sßcri 
Anbetung einet gunction'in eine nacb ben pojiti&en ganjfB 
ftotenjen bec $}eranbetnngen ber »eranbetlicben @t6fe»J 
forlfcbreltenbe Dtellje eitfluMett barge|teat reirti. gut guiu 
cfionenmif einet toetanbeclicben ©r&ge r^mmt bie gor* 
mel juerfi in bes berühmten itiftifcbe* Seometers ,S5r oo( 
Zaniot Mcthodus increfnentorum directa etinvew. 
aa. Lond. 1715. Prop. VU. Cor. IL «or. Slie Sc 
nenntmg bee ,@al>e8 nacb feinem grflnbtt fcfjelnt juerff tun 
2'^uitiet in feinet Exposition e'le'mentaire des 
principes des calculs supe'rieurs. Berlin, 1786. j$*f 
brauet« ju fenn,,unb iß feitbem gen>6b>titb gercorben. 
Eutet unb ;Sa|inet gebenfett SanlotB nicbt aW 
«Etfin&et. 

, ... 1. Santot beutet fotgenben SBeg an, ju bem reld)'; 
figen ©atje ju gelangen. @en y itgenb eine guncfion w» 
. x, »elcbe in y übergebe,. wemTx in x + nAxübetgerjt. 
©e«t man nun (arittjmetifcbe SXeujen beeret Orbnufc 
geii. 7.) 4=y, a==Ay, b=A s y, c==A 5 y. 
u. f. f./ unb n für bat* bertige xj fo ifi . 

y=,+i. A,+»^). a . I+ iÄ=öi|=a.'^ y +... 

■■■ »A. Ay .(n-l)A.- A^j 

, n(n-i)(E-3)A,> A'y . 

+ i .» . !i ;/XPT 

©enft man (i<t) nun, bagnAx, Utbem Axiit'» Uu> 
enbliebe abi, n in'ü Unenbiicbe junlmmt, immet eine eon< 
(taut ©rejie = i bleibt; fo gefeit 







Ai' AI- 1 


A'y 




nii , n 


(B-1J W, 


«(n-lXn-SJAx" 


toi*« 


@tänjm 










.&•■&■ 


«■y 
!87' > 




, nAx=: 


i, •>«»' = 


i'., n'Ä^pi'.,, 



Sojptor* fejrfufr 7 

Hxc, ui» nun ettjalt: ■ 

oj_^-j_ji. -j+j^. nj+gj. J3J+-. 
ttlÜeetietaBimti Saolorfepe OteU)c 1(1. 

2. SMefer S3et»ei«aM, »efcpe ficb aud; auf «r)nüdje91rt 
•feEnleri Inst, calculidiff. II. $.46. ff, fo Wie audj nocb 
Sei P r o n y im Journal de l'e'cole poly tecbnique. Cah. 
4- p. 544. ftnber, i|* bie neuere analpp« wegen EintnU 
|*ntg bet 36« »om Unenbtidjen abtjolb. Sogrange, 
We SSJitbflgfeit cer Safllorflben Steitje at* ©runbfage 6« 
Sifferentiatrecbnung unt> gunctioncntfcorie ganj erfräs 
»rr», fucbt« (ie auf rein ana(ntifa>em SBege ju begrünben 
(Theorie des fonctions analytiqucs. Nouv. e*d. 
Paris, 1813. Chap.LII; IWcons sur le calcul des 
fonctions. Nouv. e'd. Paris, 1806. Le'fon II). <& 
fjj|tbttt SSewrie auf fotgenbe feijr finnteitbc %t. 

3. @en fit = y Irgenb «ine junction t>on x. ©ie 
jerje, wennx|t(buniit>eranbert, in f(x-ri)=/uber; 
|i fol f (x + i) in eine SReitje nad) ^ctenien »on i enb 
»Mett »erben. £>a ffs + i) für i=ö wiebee in fx 
Storjeljts fe mufi bie gefudbfe Stelrje notfiwenbig ein »on 
iunabl)änsia*8@(leb, weldje« =f x, enthalten, golg. 
li* »irb bie SXeirje fron: 

Sagrange jeigt nun juerfr, batj fein (Erponenf son i 
rtie gebroebene, feinet eine negotibe 3at)l fenn fann, fo 
lange nämltcb x unoiatß ganj unbe|timmfe®röfen betrca). 
(et, unb ujnen feine be|timrafen SBerfrje beigelegt werben. . 
Unter biefet SSorcmcfeljung ljabcn nanilid) fit unb f(x + i) 
offenbar wegen ber gleichen guncrionetjeic&en aud) glejd) biete 
SBerfy. SSJare nun aber aud) nur ein tErponent von i, 
j S.j-, eine gefcoebene 3al)(s fo t)l«e ri' met)t ofe «inen 
SBan) unb" bie entreiefeiung 

fc+pi" + qi'+ri' + 

•*»'(x+i) würbe atfo, Inbem man (eben SBtrrt) »onfx 
mit iebem einzelnen 3öertt)e von rirr-erbinben fönnte, met)t 



6 Sofort &$tfafc 

%kt<$ oU tx, atfo au* al« f(x+i) &>&tn, »etcbe« 
offenbar ungereimt ifi. Sisare aber ein Eroonent »on i, 
j. 0. y, negati»; fo wärbe bae entfprtcbenbe ©Heb frtr 
i=o, folglich au* f(i + i) für l=o, b. i. fit, un> ' 
enblitb, welches aber, fo long« x al» eilig unbefümmt 6f 
trachtet wirb, unmöglich i|t, «nb nur für befonbere 2Sertr)e 
»on z »leJeutit eintreten fann. Sffian ifi atfo nach biefen 
Setrocbtungen berechtigt, pft^iti: '. 

f(.+i) = fiH-pi+ 1 i-+ti'+..,. 
»le inber 8elje nun immer gefede^en fol. 3>ie wicbtigfH ' 
©nwetwungj welche gegen biefe &ar|tellung »ort $ a g r a n g e 
gemacht werten famt, febeint bie ju feon, baß bei ber* 
ftlben obne weitem Beweis bie SDIoglichfeit bec Sutwicfe» 
lung f(x 4- i) iu bie allgemeinere 3teü)e 

«"+pl" + *'+rt , '+ r , 

angenommen wirb. £acrolr, in ber (Einleitung gufel= 
nem, großen SSBerfe über habere ftnalofis, jeigt bie 3Äg* 
(iebfeit bec (Entrcicftlung in {Reiben nad> be« po|tti»en gan. j 
j(n .^otenjen ber »eranbertlcben Srifji fte jebe gormbe« 
Functionen beftnbers. 

4. •Six&tftimnttmt ber Eoefficiinten p, q, r, s, u. 
f. f., gelangt nun xagrange auf fplgenbem SBcge. 
@e?lmani + k furi; fo «rbäft man , nur bit «r(fe 9>o. 
tenj»onk beibe&alfenb, (eicht: 

, «C+i+i) = ««+pi+qi>+ri , +— • 

+ (P+2qi+ari' + ...) k+.,".., 

©efet man aber überall % + k für x , unb be jciebnet bie i 
gu(länbe, in weiche babureb p, q, r, u. f, f. übergeben, 
bureb 

, p+P'*+-„ *+**+-... «+« - l+..„ * f. f, 

ba biefelben nach bem Obigen »on biefer gorm fem) muffen; ; 
fo eebilt man , ebenfall« nur bie erften fPotenien »on k bei' 
bebdtfnb; 

1 (l+i+k) 3 fe+pi+qi' +ri' +, , . 

+ (P+p'i+l'i'+r'i'+..)*+ — 

35a nun beibe (Sitwicf elungen »on ( (x + i + k) iben« 
tifcb feon muffen, unb für jebe« k unb igelten; fo mufjfeijn: 

p+»*+Sri'+4»>+... =p+p'i + ^l> + r'l'+... 



fflrJAtfi. 98fb2q=p',3r=i:q' r 4s = j'/^.f.f.i 

9 = * p' » r a= 4; q' , s = \ J , n. f. f . 

$>ie Functionen p, q, r, s, u f. f., alg Coefftcicnfen 

ber SKeilje furf(x-f-i), flnb ojfenb.cn: »qh ter befonbern 
Sefd>affent»tit ber gunction fxabljängig, imb föntien ba= 
&er als wn berfclben abgeleitete ober bertwirte Sitnctto* 
ntn betrachtet werben. ötacfo berfelben 3Ir( ber 3>eri»afion 
aber, nact> welcher p uon fx abgeleitet wirb, werben, wie 
au* bem Obigen unmittelbar folgt , p', q'/ r', s', u. f. f.' 
Qu3p,q,r,s, ».f, f. abgeleitet. Sejeftbnet manbaljec mit 
'Sagrange . bte erfie beriwirtc Function »on fx bur# fxj 
Me erffe bonfx, b. i.,bie jweife »onfx, (in-^f'x; bte' 
erffe ö«i f'x, b. i. bie britte »9« fr, b«jc$ f'x; «. f. f.j 
fo iß nacbbem Obigen l 

„ p=fx,p' = r»; q=3jp'=ttr*,q'^:*r"r; 

«•f-f- 

weit p' bie er|te bertoirte gunction »on p , q' bleerfftuon 
q, h. f. f. , tfJ. ©emnacb n> alfo 

E» etljellef hieraus, ba$ bie erfte berfoirte ^uncrfott 
einer Function fx, »etebe bie p r i m i t i v e genann t wirb, bec 
(Eoefftcient von i in ber QEntwitfetung »on f (x + i) i(t. 2De tu 
felben nennt man aitcb na<b ben neuern Slnficbten ben 2>if# 
ferentfalquaiienten wn fx, unb auf ärjuitic^e 21rf 
bie (weite, britte u. f. f. berittiefe Function ben jwdten, betf* 
tm/u.f. f., Sifferentiatqnotitnten, fo bag alfo 

t»s6ti bie 2I«ife( 5>|(fw«inen . , unb Ei ffeft nf iatrecflttu ng 
in»«g(fi$«t (inb. alfo no*biiftt efstntlW nur »«4% 

, .?-? + 7ff , T + S>T» + 5v , i*r + ''" 
Siewdj«." ■ , 

5; Sitsen mit btn»lnomif$<n &M«! fär poftritw ganj« 
SjTtiunKnsocau«; foi|i(x + i) n =s;" + nx»-'i + „., 
A .x" = (x + i) "_x" = nx— <i + . . . > o(fo 



10 Soptor* &5«f«6. 

äjjp'scr ni— « , na* «Ha« (EtnäriWä teS ©lfferclrdo> 
quotienten. QHnit fonn nun na$ bent Obigen fe&en: 
f(x + i)=ft + P m-,i.4.rt'+... ' 
ttofx, p, g,'r, u. f. f. nuc »on x abhängen. liSejdt^ 
nen rcir ble Söerrlje biefer Functionen för x = q buro> 
A,A,',A S ,A,, tt.f. f.J foifi 

olfo chl.ct fflr fit = y £ 

' ' . 7 = A4-A,»+A, i> + A, «*+... 

S8ejeiif>nef man nun ble Sinomiatcoefficieriten ber nfen <po« 
ftttj'b«cKn 1 M=^(n 3 )M---(<);fo ergebt ffc$M#t: 

i"i=A + A, (r + i] + A, (»■ + 3 il + i") 

■' , +A,(*» + 3xM + 3ri» + i>) + 

+ A, | ..+ («,) x^i+ (■.,) «—!•+... .+ (o.)l-|+.... 

3>ie {Differentiation siebt: 

^ j^s^ + A^PJi + A, (9,) x* + + A„(n,-0 «"-»+... 

|a = 'A,.l.(2 1 X+A,.2.(3J,+A < .3.(4,).'+- 

+ A..(n-l).(.»_,)i-.+... 
=2. |A,+A,,(3,)«+A,.<4,)i»+ +A..(*^x— +..( 

»eil überhaupt 

m.(o.) = fn-m + !).(.„,) 

CSjinomlaUeoefftclenttn. 80 

Serner if[ auf abniieje Hrt: . 

0=1. JA,.f.(3,)+A,a(t,).+......4.A..(i.-J). (.,.,) «"+-•( 

=23 |A,+A,.(4,)i+A,.(5,)»- + +A,.(ii_) ^-' +-....J 

Solalid), rcie lelcbt erfüllet, allgemein: 

2>er Eoefficient Bon i" in ber £Xti()e für y' i|J aber offenbar 

= A..'(».) + A-+i((» + 1).). i +a m .,.((b+ 2).) ..' + .... 

= A, + A. + ,((»+l)J..+ A.+,.((» + 2),). *•+... 

6a überhaupt (in n ) =s (mk) Iff , wenn n + k = m ifi. 
jjterau« erjiebt fia>,.alfo,. bafi -J2- . jj^; bera Eoefffcien. 
ten Don i" in ber gntroicfeluna. »on y' na* ftotenjen »on i 

5ieia)i(i. aifoift 



■■y-f+8.'|4B.Ä+.. +^-tfe+-- 

6. 3lnbe« 93ett*ife f. m. außer in ben fa>on ttrtgeffib>' 
fett ecbriften in- Safttur« Shuf. teff Unenbl. §. 144 
— 150. L'Huilier Pnncipionim cajculi diff. et 
int expositio 'eiern. Tiib. 1795. p, 48- J. F. Pfaff 
Programms in augurale, in quo peculiarem differen- 
tialia ■ investigandi rationem ex theoria functionum 
deducit. Heimst. 1788. §. XIII., wobei micb 23of)> 
ncttbergers f$$ete 21nal. Züh. 1811. ©.36* ju »et* 
gWd>(It. Pfleiderer Dem. thebretnatis Tayl. T-ubi 
1789. Beck de. theoremate TayL Halae, . 17>9f; 
Kramp fele'mens d'Aritb. universelle. Cologne; 
1808. p. 289- Scherk mathem.Abh. B'erlih^lSSö. 
S. 109. gtvet Seweife »pn 21mpere tri ben Annales 
de Math. XYLp. 348- XVII. p. 317 r , »el(fre,auf ganj 
tigent^ümtid^n 23e(ra#futtgen betuijen; unb einer t>on 

©Oiffo-Il in bec Corre'sp.isurl'e'cqjlepjolyt.Nr.S. Uebet 
ti"äitmbtrts unb £aud?^'« Serodfe unten ein %&fyt~ t 
res. 9focb f. m. Bouvier Oüique des princip. (lern, 
donne'es jusqu'a ce jour du tneoreme de Taylor , et 
-Essai d'une de'm. rig.du dit theoreme. Geneve, 1824. 
7- ©en nun y = f (x, -x'y irgenb" eine guncfion 
jweier »eränfc erliefen ©t6|3en. SBenn man juerfl x als 
cnnfiant bertadtfet, unb tote partiellen .©ifferentialquötien« 
tttreinfiammett; foet$a1t'nwn-nad)bem ÜKgen; 

.,,+,, „ -,+ö0L-4+(g) . ä*.$) . £,*,:; 

Sinn ft$e man i* + iffc x', «i»6 «iltolcfrte bie »tranbtrt 
Kit SSBtKfc »on y, (jf) , (^c.«S«ira«ti«Soi)[ot'f*nt 
Stelle fflreliiet>«aifli««i$i! erjpej fo «gl<6tfl$ (ri*r: 

;:,,,; >?<%); htm -m^m*--^ 



12 Sajlot« £<W<4 

' Stityt man nun i>ic Ortnung, in twici« x unb x' (?$ Mt> 
änWctin, um; fo erfrflt, man eben f» (etcbt: 

*&):&*» 

Sijeicbnen wie nun bie nte ©aflV ber gombiaaticnen mit 
9Biebett)oltingen, wenn man jebe Kombination in it)tt tytt* 
mutationsjaEil tmittiplicirt, butrcb, [n]Cj fo iaf t ftd) 
f (x + »,x'+.0 f»bar|feuen! 

fft + i, «■ + !)«« 

j+fwG+f^m o+..+ 0we+.. ( 

«>ber aucb, Wenn tle nie Sariafionsctafe mit 5$iti><rf)0= 
(ungen 5= V «.efeijt wirb ; 

»+*t+ST+.-.tÖy+... 

8- Sablebtiben obigen (£nTOicf<.Iungeni(onf(ic+i,x'+ö 
f Ac alle i , i gelten , lutb txmna^ibtntifcbfe^n muffen; fo 



)]i:»^y GOOgle 



«* * + l fljetanberficben, beten (»ei »IIIfm)t8»e «* 

tut*z,u bestimmen 'troiltit. jftaben bie ieibtit IBIffeten. ' 
Mouotienttn bie gottn |$ , -J^, , nu> P , P* , bie 3)if. ■ 
fetentiate berfeiben n »eränberlkixn ©rißen, nur In »er« 
finberfet Otbnuna. enthalten; fo ifl nacb bet SInnatjme: ■ 
-f-^T^ > ünbfola,tla), um« nunpnul mutz blffttm- . 
«bt, MM» M*s £&»£&.' 

@inbbk IMffcrtntiaiquoff tuten abtt «on bet 8»tm: 
Äip » £k>. • w>a P / $ mit bie ©iffetentiaie Bon n berita* 
betlloje» Brtgtn entfalten; f» tum man, bo.btt Su) (Bt 
" «erlnbtr(i<be (Seifen gilt) fegen: 

ftfy ' . <W p~t ^ fr»y . 

«ob fttglfg), ba bet @o« für areei wrantetli^f Brtfien 
J**' M * ^^s^S^ •»"'"* "« Selben gegebenen 
&iff«<neia(cuiotleiiten offenSat auf einetlii gorm gebt«*!, 
"* btniiua) einanbet glel* |tnb, bet @a« alfd fite 
aunctiuun mit n + 1, olfo einet beliebigen änja^l »on 
»«tänbitiiajm Srifen gilt. 

9- Um nun bie ©nltigfeit bet Dteftje in 7. fät jebe 

^«cfion y, betenn+1 »etimbetikbt Srtfenx»i ( x,...i , ' 
t**# |u 6(t»eifen, bejekfene man bie Snnttion 

«i wS • . . . , 

La. * ei iiJ 

■> S~*" ,x '"' ' • •^«»nänKrt'* bettao>tet»erten, bunfc 
Jg* MeSunctta» 

JH&fcy* "*»*«'»"*««* txtxtimt werten; bw* 



14 Santo«! ifyfit, 

, a°— Vi ' i ■—'«(■■— o..g ,9*y i".»(«-i)..> 
"" . 81— ' ' •••;•<"- «' SS" 1.2.... ■ ,.■.' 

aßanbcnle |tä> sp'<i na* ^otenjen ron J- georbne«. , 3f> 
fces ©lieb ent$alf. ojfehto 8»y,nnb u&erftuipt i|l N~-)"'* 

no* In bie kie ©äff«, bei Conunnatjonen mit SBiebetfy)- 
lungen, für ben Seiger 

""< ■;■' r l i L. -^1 ' ■• ■'! 

La* St 'S st'J 
muftipllclrt, wenn nur jebe« ©lieb no* bur* fein« 9>e» 
mufatiön»ial)l »ereielfaitigt wirb 3n ber 3Stu)e auf ;ber 
retbfeu öeite bes ©lei<S|)eit»seicben8 i(i 

' * 8— t r k ;.-t. «(«-»:. .(H-D .] 

," ■•■'■' • 'Si—k ' . 1.23... 0.-«) 

ba8 berfelben ^ofenj »oit^cntfptetjKtibe ©lieb. 9!ad) ber 
«»gefugten ä5ejeia)>uing ifi 

■*=). ... . «>iB{ • ■ ; 

ri.i.i ,11t 

u«b tat tMnfyrge^enbe ©Heb entölt alfo, ifte» yk In bem. 
feiten (o— k) mal m« 5 bifferentilrf i|I-, in ollen Sbeilen ■ 
auä> 8-y, unt> bie Kombinationen ber kten Stoffe 09« , 
aSJieoe^olunjen fürten obigen Seiger, jeoe in eine gereiffe , 
Beilimmte gabt multipiicitl. 3" «* <P >«*» S" 1 " in f ,UM 
9>ernmtation8ja5I [k] raultlpliclrt. 3ri tenrSlieoe . ;i 
...-; ,«•,;■ 8— t,t >-fc.(.-Q,.(k+» , , 

5 ; a -k ' ' 1.2.3.. C«-k> 

tommt nun uoetaS nocpf-i-Y - * r)inju, fi> bog alfo >ee.t 
jebet einielneSWbitfe-sSIIeoeJetertmenfe entölt, unter : 
b(««i«nii«rB— k »wfowmen, mfUHÄifi»*- 8«<S***- 

' ' ' ' a ■ fc 

IIa) Ifi (SSetfesunjen. 4.) Sie 9)ernmfationS}a$f überall:.. * 

■ ...„. - <k+l)(k+2)... . rH <.^l)..ft+l) • .■ ' . k 
M- l,i.l..(Ul " LJ 1.2.S..(—k) ' » 



Siofor« afyfaj. , 15 
woratt« (I(& atfo ergicbt 

3°— fc »k 1«— k.ap— i)..(k+l) 
«—k ' 1-3- 3. .(.-k) 

j*<s ©Heb in feint ^erm'utationsjaf)! multtplf cfrt i(l, »el#es 
iua) bei sam ©Hebern »on j'« bit gall if). 9(u» allem 
' Bd)tti)m erteilet nun beutlicb bie Steinzeit ber belbett 
*««i3ta8brii(fe. . ' ■ '- 

10. Die Steige in 7- 8<fte min für jebeSimrtlon mttn 
Stranberlicben; foi|f noch bet gebrausten sSejeicbnuna,: 

* + i,i + i,.,r;¥iU=y+¥+S + s3+ 

hierin f«je man liberal J + ifüt;, unb tntwltfrft 
» 5Bettr>', »etebe babureb y , 9> 1 / 9 2 , 9 3 , :c. «6>fc 
If, naa> tem Sa?(ocfcBen ©a&e für gunetionen mit 
ii«r»er(!nterfiQ>n8r6|!e in Stehen; fo <rr)a(t man («icjt 
>aa) einigen gani (eisten Sßeroanbtangen; 

f £,« + i . i + 1 ?+?) = 

'+lKD'f+«i 

^l(g)-- + (l)H 
^|(g)»(f]^(t)M + - 

*. i. nad) bem Dotier berciefrnen ©alje.(90 
= jr+^mp + |ipjoj..,.. 



!Xe Steflje gilt alf» fSc guncrionen mtt n + 1 SBeränberii. 
bm, wenn fte für juncrionen mit n gilt, «nb ([} fotgtitf 
%emrin, Sa pe |l$i>n fuc d = 2-be»i«fen. 



16 Santor« &j)rf«(j. 

11. ttntet bem Differential tmergunction mit mebreru 
wranbertidjen ©r&fkn verlieft matt abet befannf [icb ba6 
nur bie etilen o^otenjert ber ^ncremetKe ber veranberficben 
@c50en embalfenbe (Blieb bet tEntroitfelting tton y' nacb 
pofiti&eng.anjen$i>tenjmbiefer3nct(niente, raetd)e ilao> 
btm S)MJ)eta,eljenben Immer maglla) fff. Eslfiaifo 

fi S f fl 

I — niT'"i I . 
La* & & &J 

■:■■■■ -aa i+ öD i +- + CD' 1 

©IffereMlIre man,ate 3ncremenfe ofe canftaiit Betrat&tettt, ■ 

Sy fy'ernad) »on Bleuem; fo «gicbt (üb lelcbf , bap 
<6'j s 6>j . v 






8üt. S8«tk(]onen mit SÖJicbcc^otuiigeh l|t alte ofenbat 
tarn« i . . 1 

V=<» + 1 V + «V + .. + ■» V, (j 

»eint |ie (iä) auf bie ©emenfe a , b , c , . . . n bejie$en. , 
@e$ nun uberbaupt > 

e-j= . s-j.v • . , ;« 

'■;» 
. -• ■.■.» 



9s et s« s«J 
fo gef$ie$t, wenn man nacb bem Obigen bae erffe S)if<f 
ferentlal bond-'y nimmt, im ©cunbe »dt« nidjts, aW: 
bafj man alle tuijelnen »lieber beffelben fuccef(i»e mit |l 



i. -,• -,.■•■ - «ertinbet, nnb btn Stpontnten von fl um! > 

Sx Sx Sx dx L 

eins erhöbet, »otauJ (tä) alfo naä) obigem @a(e «on benj 
OSariationes «gleit, bap.. J 

•«-*■■?=• ' sw-ij.r 

. n,.,,' ; ,-Goo^le . ; , i 



[ .' : £a»fort &^cf«6- ' . ■ . IT 

uubbief« Sotm«t,flIfo adgemcitt gflftls l(f. Zittau«, in 
I SBetbinbung mit (10), folgt min, bo|) 

| f(,+i,i. + !,;...; + f,= J + ^. + ^ +1 2*L + ...,. 

I ot«, wenn. man, wie bteö in ber ^^a( gercot)nlicb ge» 
fcbieljt, ix, -ex, ... sx überall fBc i, i, .., i fe#: 

, t(«+«», «+s», ... J+aJ) =y+ 4 1 + rf + «fe +— 
Sie Saijforfibe SKii&e für gimctionen mit ehm tmhütri 
lieben SrSjje gellt für i = 9xr fogltid) in tiefe gorm 
übet, unb gilt atfo unter tiefer SefiaU für jebeguncttai 
mit einet roi[ifuftr[ia>n 2injaf)t »eränbeclicfrer ©r&jjen. 

SlntDenbung auf t> te gntmitfelung t>cc 
S«nctioncn itt fKet&en. ■'.'■ | 

12. '@eljt man in bet Entnjici'efanj, wn f (s.4*ii 
x + i, . .x + i) überaß x== x =*...= 'x = oj 

{ fo ert)Mt nun f (i, i, . . i) in eine Dfeftje nad) |>o|tti* 
»en ganzen $otenjen"t!on i, i, v. i entraiefetr. ©efct 
man nun überall x fori; fo erhalt man £ (x, x, . . x). 

Rad) eben foteben ftotenjen Bon x , x, . . x entwiefeir. 

Sejcicbnet man in &ejug auf eine Sunction y mit einer/ 
1 »ertn&etlicbeti ©rSjje bie 2Bettb> wm y, |*, 1^-, ... 
!jirx = o, bntcbY, r, Y"rc.; (S) ertjOtt man auf 
iMefe Sf«: 

bie fogenannte SDJaelautln'fd)e Dtellje, »etefoe Sei bet 
Cntwicfetuna, ber gunefionen in Sieben fetje ttlcbtige 
Sienfit (ei(tet. . 

13. ©er/ y s= x k , nnb aifo 

,=(x+i> = A + Bi+<:i' + ..., 

(X+i) 1 » = A» + 2ABi + . :,, 

. (x+i )•+• = Ax + (A+B.)i+... ■• 

V. ' 8 ., i 



.18 > Snplor« «e&tfa& 

-j: <Da(x + i)" == x" für i = oj fc ergle6t|itb fo. ; 
gteld) A = x". ©efjtmannun B, rcelcbes bloß x «n6 " 
n enrtjaifen Sann, =yn; fo 1(1 

• (i+i)- = » + pi. ■ + ...., 
(*+0*" «**■+>*■- 1 + ■- •. 

(i+i).+' =» pH- + ,(n+l) . i+ . .'., 

unb folgticb nacb bem Dtigen 

9 >2n = 2tf' ^'fH.vCa+O =«- + i. im. j 

©er SÜJett^ »cn r/ai für x = 1 fen 

y'n = o + ^° + y*»* + 3n J + . . . , 

fo baf alfo 

»'s"» = ° + 20"> + «7» 1 + MB 1 + . . . 

216er na<& bem Obigen y'2» = 2g>'n. $lfo 

«H>2^n+%n'+8an»+... . = 2« + 2/>o + 2>*> + 2Jn* +.. 

für jebes n, woraus ftc&leto}f « = o, /?=,/?, y = o, 
cT=o IC era,iet(. ä(fo i(! t/>'n = ^n, y'(n+l) 

= /9(n + l): aber nad> bem 0Ma.ni o/(n+l) 
== 1 + y'n. 51tfo fi (n+ 1 ) = 1 + fln, woraus 
/? = 1 , unb foIgIf$ y'n =5 n. JJemiKtci) i(t 

(!+!)•:- 1+U + :.. , 
U+i). = p |l+l| " =*■ (l +» i + .. . ) 

BS X* + IW*-' i + . . . 

3ota,(i« ^ = mt-«, «nb für y = (l + i)" au* 
;j| == n(l+x)"-'. (Sncrolcf dt man nun Ijieraus na(b 
bm «(Im, Otegellt berSifferentialrecbming Me fotgenben 
SDifferenrialquotiemen, «nb fe&t überall x=o; fo giebt 
bie SÖlaclaurin'fcbe Steige; 

-. {it.>=n.i.+!fcü,. + ... 

jbit Enrojirfttoiig bes Sijftrenfials, unabhängig Min 
bmömifcben 2er)rfa$e/war ijier bie #aui>tfaa>. 
14. gür y = a 1 fe» 

ä 1 »* 1 = a^f w+i> = 8 I *+a*y" . i+ • . = «'* + i»2)t. i + .... 
hieraus ett)ä£t man tjpax^a'^px, *£ = a*. ©8 ! 
füllt ob« le'icbt in bie Slugen, bog, für irgenb eine 



gn#alttt k', tumjtx^k'tr »tot, »irfllä) Um» 
TT *B = a * f«»» »»*«• 9Bäre bies min «fa{it ber 
Sa«; fo ftygra«'tf>H< »V, »oVi t^ub' ete 
SuitOion »on x BejeMitt«. ®ann fff ttlfc 

-""■- Ki" j^" i ;?'- -■- -'J i ... -.» 

e»raur,ni<», «erat mit bem SHemter ra»(tlr.[ltirt »kb, 
klebt f4>rieft, bog «■$ immer j>'2x = .yi , ££ =5= „*, 
Nt Sancricn j»Sc oTfo g mt »an ietMen ffl««. „j, ™ 
fion mußte. SBan ehielte alp>t 

»*— *'x=k'»»,-y*— yjtäWj yv— »"'jiä^v, n.r.|. 
»k«u» bur$ Hbbition .',.,; . 

.(p+ »'*+»"* + /"i + ....) — (»'i+»"i+*'"i + ....) 
= (*'* r*"k~* i-" .+ ...)" «», 

U.fätk=k'+k" + k'" + k""+.,„«iiff(i<tlont = :ha? 
W9t 8 älf» IftV = •**.= a' + ka-.i + . . ., »nb 
f°W*-är = kk\ J&ierMUl ct^alt niotl ton> ftaefliw 
Jiffenntiarion, unb weiter wie »bor wie' oben im* ber 
°°--' '"ben-Sit«)ts, - 



T »: Tut T^T + '" 
15. SSirb r afe Function »im x betta<t>tet; fo fe» 
5— ?■ S<ttarbtt<mMiab«xa[sgiiiKTOnt>ony;foi|ltniH 
5=7- Stttit'feV' 

Ayspi+p-ii+p-'is^...., Ax=qi'4-<i*i'»+^'f » + ...» 

ober fär i === Ax, i' — : Ay : 

4T=I>A«+pÄi»+p-A«' )-.. Ax=tAj+?'Ay' + <rAj"+.. 

SakjHrultt man nun bfe ji»eite 0iei(>e für Ax in 6er 
«flen; fo erlitt man: Ay=pqAy <f .'. . fiir jebee Ay. 
%PS^i,>.f.£.g=i,pg=i,g=f 

1«. @eo nun a'-=x;fbi|t ft* ska'dy (14.), 
*y = TS-=i-' "' Slber y = log x für bie §3a(i« 0. 
Sllfoälogx ==E,u.nb,baiUM*Hlo6(l +x)= R j5 5 . 
'Wuefd) nie Dörfer 



20 ■ Sottet« ttfy%%. 

«ältBt.-j ss, M $tifij' bec aBjjbttUl tt« ©ijlfcm*, 
btflm S5o(i« ==a. 3Jt M =5 .(.(rfftiiMtiogaJü^iiie* 
' notürll<fie ot>« §t)i>«rSi>(if#s.: älfo 

k = 15 ...'■!. 'r ■■-.•' "' 

' * =1 + T+»72 + T-b+"r : :-■■- 
Zittaus f«ntr: • ' ' . ■■' 

■ ' • •*'-*+.f+"Ä*iSi *'■■'.••. '"'•■ 

»1* !w#(l4.)'1flt*=ii 

9Kfo ß — e k / k — lognata; . 



8&tg8<fr ou^/ n«4> b<m 23or$erae«jfnfe<nr : " . ' : 

ßa' = a^lojrna.f'i, de* = e*dx, dlocxc: 1 ,. 5loga*=~- V 

SBan*«rgfe«|«t>en5lctiftl 2ugacit^nnu*. ■ 

^.7. (E«ifl sin(x + i) — sin(x — i)=2«Q8X sini. 
£a nun cbsi ipöc i =o btc (Einheit gleiifc ttirt>'/_ tm1>. 
einittecfc&nuntKt; fo feij , " 

coti = i + Ai -}- Bi 1 + ... , «11» = ai-f *»*+•■ • • 

Jgilerau* folgt (eic&tt ' v 

»in (x4»i) = «jox 4* (Aiihz-f-ftcOtX) i + . . ., ., 
«in(x — i) = «im — (Aiins + ac:osx ) i + • • • > ' 
tin(x+i) —«a(x— i) = 2{A«in* + a«so*JE) i ■£ . . . 
=3 2co*x ilnls 2 a Cos 3t . 1 + . . . 
- Sptglfft 2 (Abbi -J- kcoix) = 2icwi, 

Mn(x-4-i) a= nnx -J* 11 tos« . i 4* . - •> dsinx = booiiAc, 

wo a eine £oii{tarrte, bis 110$ ein« £5ef?mumutg befeatf. 



8ta cosx = (1 — süx*)* fbtjt .»)«# (13.) 

leld)t: d.cösx== — asinxSx. 

S)ut* fuccef|i« Sijftrenfiation unb Mt Sffloclautin'Rit 
SXti^e erhalt man mm: 

wo nun MotJ naä) a $u beftimmen. SBtan nefjme ju bem 

<Enbex<-i- 4 b.i.ax<l, unb (oflV x )wfitiv fton. 

Slucfe a ifi pojttto; benn, wate a negotiö , = — a, fo 

wart für ax < 1, b. (. futjebe« nofiiibe x, bat 

< j, angenftbeinlfa) 

.».* — /_ 'j!i!_\ / "'»? 'i <t , x 1 \ 

°" — (i - TTO^-lrrT— rzyj - ■•• 

«Ine nejatlw ScSge, toefcbes ungereimt ifi. gilt ax < i 
fint nun offenbat 



a'x' ' , a»x» 



a uxt» 



tautet negatfoe, bagegen 



lautet pojiftoc (Bröfjen. 2lIfo fmniet sirlx < ax , sinx 
> ax — f^j, für aBe 3Bert&e nun x, fut wefebt 
«x < 1. 4>a man aber x Immer juaMct) < | n nehmen ' 
tann; fo i(i (Sltcbtmebes 4ber Sugef uh& Eollnber. 
Slriotnl.) 




22 Sagtot* fe&rfa|. 

SBäre nuna< 1; fo finnt« man x immer fo «ein 
nehmen, baß rI i- g - >aDite, lixil man ju tiefem Sei 
$ufe, »ie aus tiefet Sßergtetcbuttg folgt, btoftx<-~y 1 — a 
ju nehmen brauchte. Stimmt matt nun, welches offenbar. 
immer moglidj, x fo Mein, bag ben aScbiitgungen 

■ <t»t»<^_l.»'< i*l — »■ 

jugleia) genagt »irb; fo tft -5=5=? >. '1 ba bod> 
na* bem Obigen bann Inuner jj=?. < » fft. SUf «w» 
a triebt < 1 feijn. Sucre a > 1; fo nt$me' man x fo, 
baß at— 5^1 > 1, roeld>a immer mbgtitb, ba ju bem- 
€nbe n»t x < j- J^üipügnummenj« »erben btaudjt 
gefüllt man nun bie bten SJebtngungtn 

jugleitb, tteUbes cjfenbat tarnt« moglid) fltj fo t}at man 



.—- 5-<i, .--5->i, . 

weldjes |kb wiberfpridif. 2llfo fann aud) a nttbt > 1 
fenn. golgli* ifi a = 1 , unb betnnad) 

, für »optiM x. Jüt ein negatiw« x iß sin( — x) 
. = — sinx, cos ( — x) = cosx, rootauo teia)t er* 

feilet, ba|j obige Otenjen aud) für negative 93ögen gelten. 

' Sllfo bat man nun auo> dsinx = cosxdx, deosx 

s= — rsinxdx» 

18. 33a tangx=:|^i(Ji fo «BJtt man ieiebt 
naa) einet befannten Öiegel stangx = -j^-. ©ennuh 

. y =Arc. tangx, b.i. tangy — x; (biß. 



2a»lonS Ö&rfae. 23 

5» aa (1 +x J ) dArctaiigx. ■ ■ 

8it 9 (i« no* (15.) 

Entwirft« man nun 6« Jeicdtigfelt wegen j-^r 
in eine SJtellje, unb fu*t Me oberen S>i(ferewlale; fo giebt 
bii SSiadaurinfcbe Dieibe, nocbbcm man in Den £>iffeten= 
(ialquorienten x = o gefegt r^at: 

Are taug* = x — * x* + J* 1 — f «» + . . 

SÖJan wirft aus biefen einfachen ©eifpielen fd)on fetten, 
wie fruchtbar bie SRaclaurinfcbe Dtetbe an ^oIgfrungcit r 
unb nie leiebt irjre 2lm»enbuttg auf bie (Entwicfelung bet 
Sunctisiien in Keinen ff}. 

annea.feung auf tte entt»idPe(u»g bet 
Siffctcnjen unb ©ummen. 

19. Stein (10.) gefunbene Dieifie lagt fi* aueb , tu 
i — y==Ayi|t, fo febreiben: 

^ = t , -Y+ISt + o Z 3T + -- 

ober, wenn man y gewiffermaßen als gactor abfonbert, 
im» bei Cer SRultipücation |icb nur genau an bie «Serbln- 
bung erinnert, in weutjer es mit bern £>i(feremlaljeici;m 
jtyt, auebfo: • 

Immet für Ben geiger: 

[\i.j J ,i l ,...4l. 

fflun erlitt aber augenblitflicb o$ne »eitert Erläuterung, 
bog immer 

v=fi + i + .. + -iy = *s 
* \a» s« a»/ . ■ . 

uttb fotglld) 

I:; COO^IC " 



b. i. mi) 16. 



Soplorö £d>rfa(i. 
.,.1» . «w> . B-8' . ' i„- 

e & ^ -- 1 I t 



lft , »obel malt (Mb bei btr ©tf »Itfelnng an Sie Sebeuf ung 
»er KSetflnbung i»!f*en y unbben f*eitiiotrtt 9>otensen 
-ton s ju erinnern fwt. 

SarSunetlonen mit ein« wranberlicbenfSrope, »enn 
nun (nglel* i = Ax fejjt, ereilt man fiieraus 

20. 2BIr wollen nun einmal fesen, ba0 A™y bura) 
eine Oteuje mr ber gorm 

'. Ad=y + Bf?»+iy + C5™+2y 4- . . - 

bargeffellt werten f&nne, wo A, B, C, D ic. Mo0 von 

in abhängige ©rößen fiilb; fo folgt aus. 

A»+iy= A (A«y) =3 - 



. («.) 



mitteilt obiger S8orau8fe$img (efcbt: 



a-+<y= r . 



At>>+ly4-B5io+!j + C(5>n+3y4- ■ • 
A5»+2y + B3»+3y + C5M-*y +• ... 
A5m+3y,+ B*>+4y+ C5»+Sy + . .. 



=s A'*n+"iy + B'<>+2y + C'<>+3y + • 

«Ine Steige »on ganj (tynticfrer Sutm. 3>a nun Ay Hefe 
gorm immer »trffitfr |ot (11.); fe fat fle audj A ,B y. £>»e 
Steige für A» + *y (aft füi ober an* fo barfieDm: 

A»+ly= / JA3m+B,>+i + Cöl»+2+..[ 4 
] + JA5n + B5n+i+CÖ»+5+.. 
| + jA5» + BiV+i + 0+S + ...J ~~ 3 



na* äW*«> ?*idpifit wie Mt5«ti tk0.äi»i: 
i"*iy= Ja5-+b5»+i -t-cd^+2 4,..] . 

»orai« M*<: 

J I * 

filfl'- OJun war aber (19.)., wenn wir ' 

1 — + i-i + . . . + >^ = N 

#j . öx flx 

faen: 

ü= («"-i) y. Mf» 

^=¥ ■■? '-*-<"rO> • 

**-*? ■ f* -("-«)■ *.' ■■■•'■: 

4-7=^; f. y =(.*_0'j. «-f. f. 
ur*foläli*au8enKln: 

4-j=|. +«™+o? , -1 r- 

21. 3>ie partitlm Sifferenjen »otl y, in SSejuj auf 
iti if' it IC. aBein dlß fceränb«rü*, bejekbne man bur* 
A*yr A 4 y, A 2 y, «.unbbieSHJertljeBony, wemtn+l, 
n/n — 1, n — 2, n— 3, :c, »ecänberfi** ©c6gen biefer 
Sjnction «ine SBttänberung erlitten fy»ben, bar* y', y", 
i'%y""i k. Xäßt man nnn y" |i* na* 4 berattbern; 
|b iff offenbar '-> 

,. J- i= y" + 4;J". 

et», wenn man fi* y" abgefonbert benff , ba Mefe Sfe 
trafttung «ffenbar au* auf bie übrigen ä8ertb.e »on y an* 
oenbbarifti . 

1' = (i + A.y, j"=:(i t i-ji)j"'. j"'=(i *4-j»)j~i' 
...... j»+ii = (1 + a,) 7, 



26' SotflorjS 2eW«&. 

to y"* 1 -" ber aBerft) von y l(i, »tun p* nur i »erltas«*. 

Surf? fuceeffroe ©utifH tutuui er tytK man ()ie raus : 
/ = (i + a. j(i + a.-i y ■ ... ■ (1 + a„) r. 

ober, ba bie Ordnung , in .tvetdjer man bie »eranberli* 
eben ffir5|jen fia} »eränbern lajjt, offenbar jatt) rciWuf)rU4> 
i|i, aua) 

J" = (1+ *,)('+ A J • • ■ (1 + A.) J = J + AJ, 
AJ= |(1 + AJ(1 + A,)(. + A,) . . .-1| J=P,. 

Sofgll* ettjJtlt man na* (20.) 

' AT = f.f .,=*■!, 
' A- I =^.f:-J = P'j. 

rt.=,^.f.i=?* «• 
3tfo u6erb>npt; 

Aiy = |(i + Aj(. + AJ(i + A : )...-ij- J 

22. ©eljt man in y == fi na*| unb nacfc Immer x + i 
für x; fo er&atf man , fnccefli« , äuisbrnefe für f (i + i), 
t(x+2i), ffx + ai) sc. bur* We SDijferenjen tun y. 
3)a« leic&t iu bemerfenbe allgemeine @e(it§ ift: 

f(,+rf)= J + fA,+ »^AV + *=^fcaA'r + ..~ 
01a$ bem 3aofor'fd>en ©aije Ip aber: ' ... 

Selbe SntrcicMimgen muffen it>entifd> , bie ju einerlei ^o= 
tenjen von n getj&cenben ©lieber alfo einander gleich feijn. 
5Die« gtebt , wenn nun bie ber eeften ^otenj cntfpce^ienben 
- ©Hebet nimmt : ) " 

i % -ay -lA'j + i A'y - i A*j +'. . - 

t>. i. tta$ (16.) 

ig* *=|lognat (i + A)| y. 

@eg nun Überhaupt 

■ ' , ' »„....Google 



• Saptort Ztfytfai. 33 

fo ip na# bem S8ort)er8*§en&en: 

Sotädcb erhält man nacl) unbnacb: 
*gf =s|i°gn«(i + A)t r-tt '" 
«■ = l 1 °e»'<' + Ä)l J> = |io|«"(i+i)l'r'=Vt 

»etautf (i4? frfS« ecgleK, ta$ dbtr^au|ii j 

• fm Kl= l li S"»'« + A)l-y. : 

3P «in y eine Snnttion nurjreret »er<tob«rfla)en Srtjien; 

i-g=jlcg M (n. a j|-j 

?■ ^= |logiwtA + A,){ "y icic 

SHfo fifc m = 1 , «KHK man pujfdd) auf beiben Seiten 
ceetet: 

N + 'g +, g + -l' ■ 
=h"'[( 1+a J(' +i 0( , + A 0-]l r - 

SU>eriwd)(l<0unb(21.) 

■*'"" 

3(t nun Wieb« Abtx^aupc s»y = p fo i(i a»*>y = Spe, 
olfo naa) Set nötigen gomiel: 

|5^Hy B jlog nat (1 + A)J p, 

nnb folg«* fuccef|i»e : 



.28 , &«j>M &W«(. ' 

8j = jioj «t (i+a)J j =» t, ' -: ■-. -t : . ; 

S'y= jlog»«t(l + Ä)jf = jligjnrt (1+A>f "Jf*'. ■ ■' 

8'j== ^log ui (i+a)| pi=(Wi <** «+a)| ' j^»". 
«. f. f. u. f, 

»oral« man fcfcliefjt, tuf olätmein für gancttoncit met)» • 
met »reanb<r84>a> ®t8fi<h: ' ; 

c% = Jlog«'»t(l+a)J V 

23. e«aie6tä5nli*(S»n'«f»fätW<©»i<'iiKilCDff= 
fennjenni^nung. 70.-71.); 6«ro gSrimbfotnuI . ie= 
, fannttid) 

i(j.-0lo*(20.)i(i'. _-.; 

wo. A, B, C, je nur »Ott m abfangen. 3o[a,(E$, t»<ött 
man 2 1 " nimmt :- 

SDlan fiijt mm: • 

j^ = j, &w = y3x-,xs5:/-ycW: .;: 

S3tj«*ntt man fccbura) i, foi|J 

'*»• =^'^=^'^'-. '■'"■■' :• .■''■ 

Sola«* 

@(§t man mm für y natfr tat ita# §?, ^, 0, tc. ; fo er* 

fyält man Eticrau*: , 



■*■£? .■?;>-'»»*- +*»&+■■■.' 

*'&-J>+ ,, r.Sr*- i -'-i': : '.:,. : ".' 

Stoß jjtljäriä« SubfHtufio« tief« äusbnMt in bis 
e%< Steige für 2"y tr§J(t nun eint SXtilje »on folgen. 
bitSorm: '.■•■■:' 

»y = |f y?#» + jcW*-' T«*— ■ + • • ■ 

6«|f nun min y = e»; fo etjaif man mä) (16.) (<fa>t 
J-y = yax-: JttfO y =S e* = /- ySx-, ätt* t|t 



Subflttairt man nun biefefusbrnrfe in Sie oSigc Dtel= 
^ffle-S^y, unb $ebtfcu«&e x auf ;.fe wirb '■ ■: : . - 

1 A, , " A, ', , Am 

<K5>; = ü + 5* + • • ■ -f i '.'...■■ 

Stljli^ oucbnod;Ä)n(i((jraS5etra(ji«iitgmn)icfru^«r , 



A, , A, 


*'■"** ; 






W:j--^f 




■f' A» + ,y + A_ni j? + A^ji 


'S*. 






■ t*3t 1 4. 


A. a-'y 




+ Am tl J^jL M i 


I*.^ 1 ' sS+- 






? 


' 


.'.- Googl 



30. Suplor* &&tf(t& 

ajrtäfel«! man ©l«8 mit 6« £Xet|e ffc JB-y i jo f*tleg£ 
raanfrtbt, to# ,""•. s .".'_"'"'; 7 
:. ..»»— f f— «|'Ii ,.,'"■■' 

wmtimiuinuc4bet^u|>tfilt^, Ü.> «««" «'S««»« 
Cfponmttn t>orf«nni<», fyW f«8t, .«tftflof J"* in 

'"/* tterwanMt. ■ '' 4 

' 24. »us tut. fut^2»y twfyt jefuntaun gotwet et» 
tyllt man i<la>t 

y £/-$•* =■», *1 + jäi ;/*"]*•-' + .• . 

»owusunmilfrftata&ntidx&enjenfur,;^ /■— «yWr* 
(i»^/yfti(Wjeii.:-8eB|«!«|Mt')|M««»-ö%) , 

'■-.- .'iJts.#,aj+»,A>j+»iA , j4«...- 
'■''•'.'.'■ i>Ö = o 1 A'j+B,Ä , j+n > A*j:+' ; ■■ «•"• . 
OTo*ä^6ti S ec©üb|tilurtoner54ßi«i>»fuC5 : /-yac- * 
ro3t<%»on folgert« Sormt 

, _©t«t man nun »letitr.y = e- ; fo etgiett |io>, b« 

Ift, gonj »le »mfyr,: 

1 ■ A' . B' + W ,."■.•. 

' { ''" l ' i.K-j+ 0-(«^U + P(»i-1)' +.. ■ • 
®ä nun i = lognat <S =' lognat (1 + <? — 1) iff 5 f« 

■ ifffuce 1 — 1==A; , 

£= |lo 8 »..t|;l^^'A)|~''' 
= A•A-«^•B'A-<•— "+--'>\M'A-'+ "■ + O'A+FA' '+ • ■ • 

JDüs, mit ^/"yax-.(Ktätid)tn, Jiebt: ... 

,1 /.j&» = |lop»l(H-A>| "n 

ckw nuc fuc A-» immer .S' gefe«« wirb. 



25. T)k 2fu8brijnung »er #er ffic We ©unttnen mu 
oitfelten gonwtö «uf Functionen mit meiern Sßeränbrts 
lidjcn.gefiafret bcr Dvaum nic&f. ©djon Seibnilj Ijat bie 
SSemecfung gemacht f bafjbas nre XNfferemiat bes ^ro= 
tmcttft xyz . . . ber ^Sotenj (fix + &y + 8z + ...)" 8 Ie(( & 
(tu, wenn man nur In ber Sntroicfelung tiefe« *polijnom* 
tie (Erponenten ber ipotenjen vonSx, fly, 8z, ic. b*m 
Beiden 9' beifügt, unb x, y, z, tc. flatt 8°x, 3°y, 
3°z, k. feb/reibt. SDIefe 3*ee $at,fobann 2agrange 
weiter »erfolgt , in einet fernen Slbljtmbtuiig In ben Me'm. 
de Berlin 1772., unb ben graten 'iljeil ber b>r enrwl» 
(feiten tnerf würbigen ^orntetn »erbhnf t man feinem ©cfjarfs 
jüute. ©päter Ijat 2a place biefe Uutecfucbttng nodb/ 
me^r erweitert , unb alles aus einer gern ein fd?aftli#en 
öattte , ber "^ficoric feiner fonetions gene'ratrices, . ab* 
geleitet,- worüber »otjügfiä> fein« Theorie analytiqu« 
des probabilite's, 3. ed. Paris 1820. Chap. L IL 
Part I. nad)jufeE>en ift SOon ben arbeiten anberef 
©eomefer aber biefen (Begenffanb fjeben wie nur noeb e> 
neMbtwnblung »on SJtfnfleo fPhilos. Trans. 1807.J) 
heraus. 2iutt) f. m. Laoroix Traue du calc. diff. et 
int. t. HL p. 60. ff. p. 100. ff. 

©rdnjen bet - SaplM'föea Kei^e. 

26. @en y = fr, y' = f(x + i). 3Kan bifferen* 
töte, xateconftantbetrad?tenb, y'nadji, unb fe^e 

5« ift ata, atil i o(« con|tont 6«fa<titt( mit*: 

fobap alfa |f füci = o in §2 ubttgt^f. 58<(iinimr 



32 , Sofort £«^cfag. - 

man otfo ba« Snfegtal f»> 6a Ü es für i '— o »(tf4>win. 
betj fo wirb Conat =p o, unb man erhalt: 

■■■ & -S+/S& *•;':'. : 

£ietau8 ec§ä(t man na$ unb nao).t , . - ■ 

ylSf«— £*&■ 
';-.'■■ w^*=-i2-T*/Y« . 

alle 3n«ärote fo tt|rittim(, bafi fte für i = ö »erfd&riin. 
ben. äSitraö)«» man nun in/" ^ «', reo tec Efpo. 
'.ttene am 3n«graljeid)en bie &nja§l bet aufeinanber folgen* 
'ben 3 n tesrart°nen beleihet, bei. bec Iren, 2ten/ 3ten, 
... (r— l)fen, rten3ntea.ration> t — 1, r — 2 r r — 3, 
... 1, feln&al« con(ian<, unb be(timmt jebe« Jnttgtal 
ft, bafl e» fut i = o oerfebrelnbet; fo ip ' 

'^ /%* = *->/%* 

"'-',- f% *-}£*■■■■}*'/%* .'■;■•■' 

fobagatfo ■ ■ 

j 5i£r a "" - 55 • tt^ + J r» "■ 

gutr=ni|(alf0S . 

J fli"+* ■*' in - i ■•■ ./ c» n 

... *Z *L_-_felI . -±=i_: + bi+.f&rU 

frj j. d—ty "-' ...._&.•_ _, + y 



S&>t>for<s ee^tfuj. . sä 

= / ifl, »((*« fit i = o «rfjwintxr. <E» l|! alfo 

$iefesi8erfafc>en>if juerftayaUemfrerf (Recher- 
ches sur difFe'rens points importans du Systeme du 
monde. T. Lp. 50. 2(itd> f. m. in fctefem fffiorterfcut&e 
Syjlfcmfcfft« 2e^rfol$.) gebraut^, t>f» $a#«f$«t Se$d 
faß }u beweifen, oljne jcfccrfj ^oijiere als <£rf?nbrt j« g** 
t)enf«t. 2Utc& <£aud)9 (Re'sunie des le'§ons donne'es 
a l'ecole polyt. sürTe ealcul. infinitesimal. T.I. Paris. 

1823. p. 145.)tr,agt ben @aß er|t fy&t üt berSutegralred;* 
nungsoc, feinen Sinfütrten fiGer bie SInafpft« Ije* tfnenb« 
liä)«i gemäß. 3Me tt>tc&figf!e $tan?enbung von SD'Sllem* 
Betts ^bee Ija'r aber Sagrange gemacht. 

27. IE« ifl nämfitb Ct$L IL @. 783,) Über!jatii>f i/PQ&c 
— v/qax —fdp/Qax. gotgiiift, wenn X (cgeob ei» 
tK^unafon von xi|r: . 

f*Xdx> ^/Ox/'XBx 1 W/xdt/Xflx— ffk/%K(h '-■ " 

= $x>fxdx-.$yxi?dT--xfkXdx+fXz i <i? 

®tfc man auf t**f* %vt reeittr; f» «giÄC (1* fcfefrt äß» 

jpnjtfn; ... _. .' 

fr fe!2 *4-i/x«^+ $ i VXx«-i & + /Xx«5* j 

Summt man afle 3"*egw(e atif bet ttdE>tett @ei(e fo ; b«0 
|k fiic ^^ o t)eTfd>winb(n3 fo ifl tw* »tetfadpe ^nttgeat. 
auf bet finten Seite auf fliege Vlttbtpmmt 

29. Sür/" +1 ^^.£=A«|&«(«oB^eMu«: 

+ ^p=L> i-- a /Ai*ft + +y t/Ai»-»& ±/Ai-di| 

V- - ' - % GooqIc ■ 



3* $f$fetf &$tf<& 

Sebrntet aber ö eine eonffattrt ©röfse, fo ergiebf ft$ mit* - 
te{|i <£tftt»itf etung ber ^otenj na(fc bem binomiftyen 2e$r* 
fa$t (etc&c " 

/a(ö— ij-ai = e*/A5i — j-«— «±/Ai3i , 

2Ufo. i /" +1 A3i n+1 = y-i—jrACÖ — i)V±, »orange* 
fefj'V baß man bas önfegrat auf ber. redeten Seite fo &<* 
■JHmtnf, ba|j es für i ==o toerfdwinbet, trnb na# btc 
Stttegratiotr äberaß i für feist. 

. 3enacbbem man aber x ober i <tU coitjlant betrautet, 
ift immer: 

/-+iArii.+i = ^J^tlf (e-i^i, 
feäS 3n(egral n>ie oben genommen. 

gerner fege man. Ö — i=z0, i = 0(l^— z), 
ßi = — Ödzj foi|t 

/ B +iAai,+i=_ r: li. & tj ffggi&, - 

tue ^ntegraf fo genommen ( to$ eo für i = o, b.i . 
z== i, t>erf<b»inbet, unb bahn überaßi ftoc&y b^E- 
x = i^- = o, gefeljf, b. fj. bas ÜJntegral »on-zr^C- 
bis z ™ o genommen: , @inb nurt tp(z) nnb v<z)"sftiey- 
SBerttje unfecs 3ntegrafe , fo&eft&ajfen, baß g»(IJj?c o, 
y(o)=B; y(o5=:o,>(l) = B'; foi|!i/'i;z) = ? pCzJ| 
+ C, ^(o) = 9 ={o)+ C/ ^(l)==;9)( 1 )+.Cj;«n* 
" fotgt«bV wenn man fubtra^itc y(a)— • V»(l) = yfo)' 
; — 9>(1), — V(l>5='yCo)/.TrrB;=B / — B=BV 
Soiglid) nacfc ber bei'ben neueren' franjo(ifc(j.en <Sdprtftfrcf= 
lern geajo§nl^eh'S5esei#nimg ber be^rnttn-^tWegtäte: ' 

3MM i««ii .; ■ • ■■.'"-•-.- 



Silr ba« in bfmSNfferentfatfluorienten vorfommenbe i muß 

man »or ber Integration überall 0(1— •*), unb nacb ber 
Integration für 6 überall i fefjeu. 23« ber Integration ifi 
x als conffrmf ju Betrachten. 

^iueitt Mergle icbimg mit ber unBfgränjren %ap(oc*> 
jibenDtefbe folgt feic&t: 

l...n/ ss+r ' 



.(n+1) 



"*" &»+2 " i..(n+2) + <?*»+J * 1..(d+3J +■"*■'• 

»obureb wie alfb jugWcb jur ©ummirung einjefeter Sljetft 
ber Santor'fcben Steige gelangt ftnb; baff integral i(f im* 
nur roie vorder ju n^men, 

29. Sär bie 31nwenbung 6« $aBforY<&en 9Wb> auf 
©eomefrie unb SÖlecbanif |tnb bie Vorigen Unterfucbungert 
fttir roicbttg, weit |te jugteieb ju bem wichtigen ©afje-följ» 
ten, bajj bie «Summe aller ©lieber biefer Steige Von irgenb 
einem ©liebe an bis in's Unenbficbe bureb 23erf leine rang 
btß ^ncrement* i f leiner gemaebt werben fann alß.jebe ge= 
gtbene @r6fje. Um ben beweis »oöig beutttcb unb (rreng 
führen ju fönnen, Ratten Wir fotgenbe einteitenbe Sbttvafy 
ning f«t nitfeig. '".■■■■ 

30. 3« irgenb einer Function X von x gebe nun bem 
x jwei aßertlje a unb b , unb fuebe bie ©iimme affer in 
tiefem Intervalle von a bis b Uegenben SEÜert^e von X #* 
fepimmen. «Sit bem Snbt tbeit« man b — a In n gleieW 
l^tik, beten jeber=i; fo |fnb bie ben Snbpuncten bie*. 
fet einseinen Steile von b bis a entfbreebettben SSirt^t 
»Ott X; 



C3 



"I 


51 

-3T 


i 
1 




1.2 " 




sx 


« 


. S'X 


,5».i> 


■ : I '--3r 


1 


+ w 


1.2," 




<II 


31 


. «•! 


3».i" 


z - 


"5" 


I 


+ w 


1-2 " 




Sx 


ni 


, «•! 


n'.i» 


•■■■• ■*-'>*■ 


■T 


+ sr 


TT? 



.28 fcciplotS ittycfaS. 

8j = |iog»ai.(i+a)|r = p> : .'''■'. '■'■■ ■< . ■ - 

S'y= jlo g »«(l + Ä)|p = |l4g««t(l+A)f *,ji»V ' 
8",1= jloj ml (1+ A) j p'= [l»g »« (1 + A) | ' J=tp", 

u. f. f. u. f, f. 
woraus man f«(ieft, taf aüsoiMin fät gitnctioncn me$= • 
ttttitttinbtt\M)at@tH<<'i 

«•,= |log.ii»t(l+A)j "j. 

23. S« slttt «jiiHc&eSMmtfo fit blt ©ittmiKtt (®tf= 
fttenj«ir«finuita.. 70. 71,), twe» @rU»t>fotttK( , hc. 

fanntUa) 

. '. ■ ■Z*A' n z = » 

i(i.-01a*(2O.)l(l: ' ," .' 

tt>o.A, B, c, ic mit »ott m ablatio,«!. golg(i$, nwtltt 
man -2 1 " nimmt :- 

i = A2*>i + B2*d»+'« + OZ^-t'i + '. . . 

SföanftüenunS' ' 

gi = j, 9« = yftw, »=s/-yft™ -. .1: 

■85tjeic(m(t manacbnra)i, fol|t 



**» = 1 -" 35« =••"£' 



@«ät man nunföcy «ac^un&nocf? ^ j^/ $r «•> f* < rs 
Kliman ljt«rau«: . 



*"£& -|>-»^- + '*»S + ...' "., 

»Ö-?Ä+»»Ä+v.. **•'■ '-"-■■ 

S!a* ge$irjg« ©u&fiitution bitf« auebrucfe in Me 
»%< Steige für Sy refySIt man (int SXenji non fofatn. 

t« gm: ' ■ ■ . 

»j =.|? /?rfn + jcrr>-j&— " + . . » ' 

• ■ ■ ■ ;* + -rfrt* + A-WT..+ *»♦»$ ^ + • • • 
,6^r nun nun.y= e*j |i> «jatt man na*(16.) tetaV 
8-jr = y<fc»: ' «ifo y = e" == /- yfct- äu* tff 

©n6(iitaitt nton nun Wtfe 9usWhf t in fcit otfä« SXefc 
|efut :£ m y, uhb ^ebtturtl» e* auf ;~fe »icb '; 

(v-1)- = 3= + 1=^" + • • • i+ ~r ' ' - , 

Sotglic^ aud> na((><u)nli*flt 8<ita$(uit8<n »iefri^tr , 

^■mz.<. ■>■.■■■■<-.>■■■. 

.. A, . A, . , ■ .Am 

' +;*hjt + w ^ + *-*•'" + •• ■ 

'-fH'i J3- »±a , ., a. a-, 



30 Sapta« ft&vfaj. 

' man tet^c, &afi -' ; ' '" .__" ■■■'. 

wenn man nntuSetc)au|>t für $2£, *. Jjj. wenn iKgoliw 
e^ontiittii »otfeinih«), /fyätf fest, o&flTKofi-d""" 1« 
■ /p r-erroanbelt. 

24. an« 6er. fämS-y wc$« yfiortenett garmet et. 
tjate man leicht 

£y»y&- = *. »» + jSr>— J*— * + - - • . 

»otau« nnmitteffiat a&rn1a)e 0teu>n fät ^ /— »yäxT 1 . 
6i8 4-/yatfiii(3en.-Seti«reipt'ni«>oni(22.) , 

■'•--- i ^ = ».iy+H.A'j+^AT 4> . . . 

. '•''' . i'g? = o,4'j+io;A"y+a,a 4 r:+'' •• *•*•,' ■_ 

. Olo*3ct)8ria« @iib(litutionert)4tt itiattfüc p/™y<W <•* 

nc SKtfye tun folgender Socm : 

■A'2iv + B'i- 'y+...-Hvr£y'+N'y + 0'Ay + P'A l y + — ■ 

■,. ©eilt man nun »fe*«y = e"; fo «igictt Da .., 
i|l, ganjwicMi$er.: 



S>a nnn i = lognat tf ='lognat (1 + <t — 1) ifts f» 
ipfottf — 1==A: 

,£.= |los»»tti+'A)|"" 

=A'A-«+B'A-<"- l »+-. + M'A- , + N' + O-A+FA 1 '+ • ■ • 

Sie«, mit p/"y8i".wt9(ic^en, ajer-f; .. 

i. /.ySx- = jlo8»«l(14-A>j ~Ä 

twira nur fät A^ immer 2* gefegt wir». 

. i «Google 



25. t S>k 3u0ber)nung ber t}iet für bi* ©itmmen eirf* 
»{(feiten gorwln auf Functionen mit meiern Sßerinber* 
lia>n.geflattet ber Dtaum ntcbf. <3cr/on 2cib n t(j t>at Die 
Semerfung gemalt , baß baö nie, Differential bes 9>ro= 
toictes xyz . . . ber $otenj (flx + #y + 3z + ...)» gletcfr 
ftij, wenn man nur In ber (Entwicf elung tiefes pdtjnomi 
bic (Exponenten ber spofenjen vmte, dy, 3z, ic. t*m 
•Jeidjen 3' betfügt, «nb x, y, z, k. ffatt 3°x, 5*Y, 
tPz, ie. fdjreibt. SSlefe 3bee ^at.fobonn Jagrange 
aeitet »erfolgt, in einet feinen 3!b^onblung in ben Mein. 
deBerlin 1772., unb ben größten $r)ei( ber r)fer entroU 
(feiten metfwürbigen Formeln »erödnff nun feinem @#arf= 
füute. ©pöter Etat 2a place tiefe Uutetfucbung nocb 
mtljt erweitert , unb alle* au« einer - gerne in fcbaftlicften 
flutlle , ber ^fjeorie feiner fonetions generatrices , . ob* 
geleitet, worüber tJorjügfidj feine Theorie analytiqu« 
des probabilite's. 3. ed. Paris 1820. Chap: t IL 
Part. I. nad>jufe$eit tft SOon ben arbeiten anbtrer 
@eometer über tiefen ©egenfianb r)eben wir nur noeb e> 
tteSlbfwnblung tton 95rinf U9 fPhilos. Trans. 1807J> 
heraus. 21 u^ f. m. Lacroix Traite' du calc. diff. et 
int. T. HL p. 60. ff. p. 100. ff. 

@r<Snjett tet So^lor'f^ett Steige. 

26. ©en y = fx, y' == f(x + i). Solan bifferen« 
tiire, x ale conftant berradjtenb, y' nadj i, unb fege 

f« (ff, tM^ WniemWIt: 

E»i(laber, mtil x ols con|tant Befrachtet rcirb: 
I f»6«6olfo^taci==oin^ ä6«s«$fc Stimmt 



ja , Sofort 2«&tf«t. 

nun «tfo 60« 3"«9Pii f»' Hi «* fäti = o t>«r4»i«= 

bet; fo wirb Const =5= o, unb man erhält! : 

• »-s+xssf %=?. ■ . ' v- : 

hieraus «§ält man na* uni naä>: . ■ ■ • 

: /*/!£&*=-£• WS?« . 

■*f~fät *=-&%+;&■■/%* * 

ade 3n(ejtafe fo bifümmf, bafi fie fite i= ö »trfdröin. 
im. Settaidief man nun in /* ^ Si T , wo ber groo* 
tient am 3nt<9ral|ttö>tn bit anrtl bet auftinanbre fofge» 
l«nänt!8ta(ionenbe|ti*ntl, M.ttx Um, 2tm, 3ten, 
... (r — l)(en, rten Integration, t — 1, r — 2 r r — 3, 
... 1, friuäial« con|iant, unb Btfiimmt jtbe« 3ntegtal 
f», bog es für i = o «[fa)t»inbets foi(l ' . 

'■'■-. 'ffi»-}&..}*p£» : .-. ; 

fo ba6 «tfo • ■ „ 

5utr=ni|ialf0t . 



nll — y + / rolrflld) 1 1 1 SBerr§ warf ^«1 == /ay" 
= /(((, «tt> für i = o »erfajwlnbet. . £» i(I olfo 

£iff«i£3«f<i$Hitfrit ju«|l£)'2i(em6<rf (ReV.her- 
dies sur diffe'reris points iniporcans du Systeme du 
monde. T. I. p- 50. Sind) f. m. in tiefem 5ffiär(et6ud)e 
Mirnibefte Scijrfa^.) getrouct«, Den 3a»tor'f3«t !($(. 
füt; ju beweifen, obne jebod» &n?tors a[« (ErflnDer jit ge* 
benfen. Sind) £ a u d) (Re'sume des le'^ons donne'es 
B l'ecole polyt. surle calcul infinitesimal. T.I. Paris. 
1823. p. 145.) (rügt Seit @ofj erfi ffät Itt berjiyteäralred)' 
inmjBor , feinen 3injtd)ten über bie ^lnalirfis bec Ifnenb* 
(id)en gemätj. £>ie roie&tigfre Suiroenbung »Ott 35'2tlema 
bette 3bee f;at aber 2agra na, e gemacht. 

27. ffis i|l nimü* (Jt>(. II. ©. 783-.) nberbaupr i/PQftc 
= P/0/)x — /äP/Qäx, §oiglld), wenn X (rjenb ei. 
nt Suitction »Ott x ifr: 

/'X** 1 = /iV>XAt» = fxilxfZöx- SfcftXfa - ■ ■' 

slx'/Xdx — ijrXfPx—xfkXdx+JXi'ilx 

8eft man auf bitfr %( reeiter; fo «gi«*« fi# Webt al. 

3emein: ... 

j>»s&"+i ■> j^j Ii-/iS«-I-xi>->/xi8« ' -i 

t *f=!l ,^-1 /!,.«.+ + i >/Xx— ' Ar + /*>"<>« | 

Nimmt man ole 3ttfe«,rate a«f ber reibten @eife fo, tag 
|ie für x,== o «rfd>wiirben; fo ift b«8 eielfacbt jnlejrot. 
ffllf ber rjnten Seile artf gleite Strl be|tintmt. 

28. 8ir/" +i ^pf.==Aer|Mfman"6lewn«.i 

/»+< Affl«+1 .=. ji_ ji"/Aäl — ii—> /«a 

+ i<!=±> i—i/AW» + +-j- v«*-»ai ±/»Mij 

v. - ' e, .,„„., . ■ 



34 %&N$ &W& 

gebeutet ober ©eine conffanfe ©tfjje, .fo «glitt fö mit-- 
. (rf(K£it(ft»irft(ung &et ^otenj nadfc Sern binomiftfceti 2et>r=> 
f^elei4»(t ■ " - 

2Hfo/ B+1 A5i B + 1 = pl— /A(0 — i)"f)i, »oramJge* 
ftftty baß man ba« integral auf ber, «(bren ©eite.fe b*= 
fHmmt, fcajj es für i === o »ccfdjwinbct/ unö nacb. bei; 
^ntegtattonr überaß i für feijt. 

3cnacbfeem man aber x ober i ate conftant Uttafyttt, 
{flimmert 

ÖiM-l ~(5(*fij)»+l'd*»+i = (*)ix+ijj»+i* 

bog 3ittegral wie oben genommen. - 

gertter felje man — i=z0 y 1 = 0(1^— z), 
. 6i= — WzJ fotjl 

/H-iA3i, 1 +i=_ T -Il. 0+^jfejgfißB,.-- - 

bdö ^nfegral fo genommen ( baffes für i = o, b.f. .. 

»«sii berfcjjwtnber, unb bahn liberal i fflr 0;' b;5E > 
-. z = ^p- = o, gefegt/ b. Ij. bas ^ntegrat »on-zr^I? 

bis z = o genommen. , ©itib nun <p(z) unb v»<z); jwt^ 
; SßJert&e unfens ^nregrat«, fo beftbaffen, bajj y (l^=== o# 

9>(o)=Bj.vCo>==r"o / "V'Cl) = B / j foj|t y'(zj==(jp(z) 

+ C, y(o) = y{o) + C, ^(l)==7g)(l) + Cj. ; un*j 
- foIglKb/ ' wenn man fubtra^irt: ip(o)><— ■ ^(ljss^fti) 

; t-9(1)( — V , (ij:5=V(0)*-Trr- : .PJ===Bf >- '»=SJP*"/ 

Solglttb na<& ber beiben mufften' franjö(tf<bW@#riftfte(= 
lern gew6ijnl^n~£ejeic&nwtg ber beftinimttn-3tt«8«&S S 

SüfeH* N man.! . :• ..,"!'...; 



gär b<ig in bemSJifferentiaiquoeitnten Borfornmenbe i muß 
man vor bet 3ntegration überaß 0(1 — z), unb nach ber 
Integration für überall i frQen. 23ei ber Integration iß 
x als conftant ju Befragten. 

Slusber EBergfeicbung mit bcr unfagranjfen tonte'* 
ftaiiJtctye folgt Webt: 

+ &M-2 * l..(n+2) "*"<)*»+* * l..(n+3) + .*-• 

»obnrdb wir alfo iugleub i«r ©ummtrung einjeiher Ifyilt 
ber 'Jaijloc'f^n 9kifj* gelangt fmbj bas integral i|I im* 
mer wie vorder ju nehmen. 

29. #ür We Sfowenbung 6er tätjWfötn Office anf 
©eomerrie unb ÜRetfcanif flnb bi« vorigen Unterfudbtmgeit 
ftf)t wif&tig, »eil fte jtigleict) ju bet» »nötigen ©aije füfj» 
reit, baß tote ©umme aller ©lieber biefer Dtei&e von irgenb 
einem ,8ßebe an bis in'« Unenbfie&e burd? SOecfldnerfina; 
bes ^cremen« i Heiner gemaebt werben fann a(* jebe ge* 
gebene ©riße. Um ben beweis »ööig beuftieb unb ftreng 
führen ju föntten, galten wir fotgenbe einleittnbe Skir«^ 
tung für nottyg. 

30. 3n irgenb einer §uncrion X von x gebe nun bera 
x jweiüBer^e a unb b, unb fuebe bfe ©umme affer in 
tiefem Intervalle von a bis b tiegenben 2Hertbe von X ja 
tepimmen. 3u bem (Enbe. ffteite man b — a tn » gleite 
tljeite, berenjeber = i; fo finb bie .ben ©nbpuneten bie* 
fer eisernen "tytilt von b bis a entfrretbenben 9Bmb> 
»wx: 

> Ä 1 jjW f. .• 



r + 7 

TA 2. J. "* A ,11111 

I *~ TU" T * 'S 1 1.». •"'' 

_ <ft 3i . 8'X SM" - 

T <&' 'äi' ,' 3<X " n''.i'' ' ' 

*-> w*r-+ w- ktt •'■•-•_ ;='•- ■■ - 



36 ' Stafbtt Se$tfii& 

itcim nun Oral b fite xftf. 3>fc ©lirnitttn Ut SBa- 
ti/t »on xin tun «njdnen Ktlnoi ^nntvoSelt (int, mir 
bt|tomf^r Qknatugftit, : je fblntr i i|ir ' 

, I, . M i x s>x f I 



SX 

•sr 

■3T 


21 t frx a^g 

31 . ü'X 3*.i' 


■5T 





förx = b. 

SolgUct) na* bet bekannten gorm ber «Summe b»$0* 
fenjctt b<t natur(i(bfn galten (^otenj. 29. ff.), Wenn bi* 
3dd;eit (.) überhaupt fcefKmmfe »on n rnia&Ejäiigkje (Eeefc 
fkienfen begegnen, nadj einigeitleitbren SOerrcanfctungen, 
ftie (£>ummt aller SSkrtlje »on X in bcm ^ewaU »on 
¥. =p a bifl x = b.: • 

:;■■ ; +?^ Jt^tt ^* + oc-t . * 

^vb-i fix fb-iQ' ; fl'X (b-al* ' ' ', 

_x. — —gj . - T -^-. + ^ . T - -, + Pi .. 

»oTi irgcnb eine für i '== o öerfcbroinbenbirguncffoit Mit 
1 bejeftbnef. Ue&eraß muß x=b gefegt werben, 'unb 
fcie ©«mrhätien gilt mit beffo meb> ©enauigfeif, lY'fld* 
.«er i fff. Um ju »fifliger ©enauigfeif überjugeben , muß 
. ftlan i== o fegen.'" '^fe* giefcr bie ©umme oflot 38er#t 
»0UX»0tt3?±=:äWifXz=b: ' ".'■'' 

_ b^a _ fiX --(b—mP- B*X - jb-^V 

* ' 1, - ^ ' 1.2 ■**" Ä 1 ' 1.2.3 * * ' 

furx = b. 

Sür/Xcbc = yi)t:'.' - 

3)ie SBert&e *•» y-fftr ^»Vim&.x-a^ b-b*je«bn< matt 



3&b* ft$tfe 37 

•«*)'« 7»; (»Jfi, iwmi nun x — (r— a.)a=« fjt 
i/ iw* der tanior'foVn Kei&e fe$( ; . ,' 

" r ''T+jr-rnr : - 

üb folgtia) . «Hau man X = b ftjt : 

y^-j.^x.-^--^. ^ TJ - + . . . 

»ff« V Sie ©iimme aller 9B<r<&t wn X, in bem3nro*a»" 

Ion X =s a S1«x= b, =r y b _ y. = J* XSx, Sa 
7i — y. offenbat biefem befH mmte'n 3neegrar gl«'* {fK 

31. Blt&ttKit »Irmin im gofgenben immer bieg auf 
Neobfofuten SBern> Set ©rtfjen Sorfficbt, irr* feoen M', 
m bet griff« u»b ffetoffe 9Bettt) »on X in Sem %Mtmall 
Wttx = abi8x^b; fo i|t geroifj ininiec 

«*, »mn X in Sem angegebenen JlnterwJ fein Seiten 

rtStanbttt: , , ' 

yj»?i>(l>-.)m'. , . .. 

Stobere «an in Sem 3nttroa[[ z == o 6i( z= 1, b. i. 
«gen i = (1 — z), U nb weil i für © gefegt Wieb, 
ton i = i iifl i — o, <££f wegen Set Äteinbeit t-on i 
gl jjtia)en nidjt, nnb fencn M', m' Set grifjte imS Reinfte 
9B*rl[) biefes SDifferentüIquotienten im angegebenen 3ntet* 
wOj fo ifl Har, Sag 

*• nafur(ia) M'-, m' a(e conffante ©röfjen ju berra(b> 
tmfinb. ■•..,' 
Solgü* (ins naa) bem Obigen 



m'iB+i 



tj«i ©rditjen von y'/ fcVbefU) na>r an eirwntift faden, \i 
JfwtiijL -@inb, jcfjt mit 33erücffid?tiautig bet 



38 ' SteöfotÄ Scfafäf» 

^Jf in Wm SJtrtmuu' »on 1 =1 üt J=sa$ 'f» «• 
«lebt MBUnitf unmittelbar, baS 

_, ^ , 9j I ., , fW i» , HHI 

32. SBerilrfftcbtljt man nun »lebet bloj) ble pofithwn 
SBmtje!. fo folgt bJtraiBSatub, taf 

i..(n+ij' > 55+r • i..io+o + 5S • i..n t ; ; ■ , 
Blun nt^mt man, t»elcbrs,«.ea.tn berStttiaMf ber^une 
tlon in Keinen 3nt*rt>atlen, offenbar immer m&gticb iff , i 
fo (Irin, bafj £±2£ jWifcbtn i unb o enmeber immer iu> 
ob» abnimmt, ober fid) .immer gleich bleibt, unb bejeicb= 
ne ben größten SSerer/bieft« ©ifftrendalquotienten in ble» 
fem 3nter»a0 burd) M", . unb ben cntfprecbenben SBmt) 
von i burä) i', ■ irgenb eine noa) fo Meine @roße aber .burä) 
f» fo rann man offenbar ju gfeicMP 3<it 
Kf.KfUBfifSrtr,: 

nehmen. -3>a nun in bem 3n((nwfl jroififcen i' unb o eil* 
ger ©ifferettfialquotienf immer }u< ober abnimmt, ober (icb 
Immer g(ei$ bleibt, unbi, weitem M' enrfprkbt/ <*' 
iff j fo Ift offenbar immer M' < M". 

unb man fann folgütb um fo melje i immer fo Hein ne$* 
nun, Mß^J^+L., a(foau<& 

fl »+ly iM-1 , 3°+3y fr+tt 

i5i»+l " I..(n + 1) + «Ji»+2 'l..(n + a) ■***•' ' 

Heiner als jebe gegebene ©rS(je y wirb. 

6e$f man v == g^ f wo man ;sJai* eine gegebene 
®rb$t annimmt; fo erhellet, baß i, mlä}t& immer ein ' 
ei^rer SBrucfj feijn fann , jeberjelf fo Hein angenommen »er* .* 
ben Fann, baß i 



b. b. mön-fatinüfmmer f« flrin.otra^mm, toaf We €fttm* 
me al|er ©lieber ber SagtorfebMi 9ieif;e von einem gewlfltn 
ÖHeb)'an bis in'is Unenblicjje f temer ifi, <ttö tag biefem 
©(iebe »oraufflcljehbc ©iicb. SD?, f. Lagrange Theo- 
rie des fonctions. p. 54., ütä) Le'cöns surle calcul 
■Wfonctions. p. 88. . Xacroix Tratte du caladiff. 
etc. I. p. 380. III. p. 396. , HH* TrAit? elent du. cak, 
äiff. etc. ed. 2. p. 596.j j»ei 9H>fjanb(wtta.m »on. Sinti 
pevt Im Journal de l'e'cole polyt." Can. Xllt," ütit> 
btß Annales de Math. XVII. p. 317,; Recherche sur 
la sommation des terrnes de la se'rle de Taylor pas 
HippolytcVernier. Annales de, Math. XV. p. 
165., wo bo* &<(rim«ife integral ttod) weiter entwicfett 
iftj bie fd)on eBen (26:) änjjefiibrte @$rfft»on <Eatt$9, 
unb ©ofjnenbergers t>ob,e« Stufrf«: Süb. 1811. 

e 38. 

33. Um ritt SSeffp.ef'jn ge&enj fen y = a*$ affo 
y' = a I+i ; fo .ergiebt fi<b leicht • 

3)tr größte unbfteinfle SBectfi in bem^nttöttH i = i Bi< 
i='o|inb offenbar - 

a*«i (logu ..}■«, »« (Zo§na)"*>, " 

«ab folglich bie@raiijeti.ber ©tteöer wm (n + 2)ten an 
inb'«Dteit)efüca I+i i .... . . 

1 ' ««+i;i logn a^M-» ■»(! logn ■>+ t 

i...c»+i) ' i...(«+i; 
SBelte man bmSSnrn) ier ©ummt titf« ©Brite fcIBft 
Imtmi ,fo mäftt man ' 



/'isr- 



Md) ton S8orf*tif«n in (28.) Befliimtitt«. Es ip aier- 



fäi logn a = k. SJlun erlitt mau teiä)f naä) b« 
Sonnet 



40 Z0te* *$$*%> 

, b(i>-1)...2.« . b(b-11,..1 ) 
" ■ ... + — -j^gp T (kö)«+i ( 

Stimmt man nun blefe«, Sntegtal »o» z.==obi6i = •£ 
unb fnj't i für 0; fo erb^tt mans '.,",,. 



1... 



/: 



"JS?-* 



■»(H>+1 (n(ti-l)...l.{»'-0 ' * n nfw-ll 



I * i 1.2 1A3 ' i....nj 

' mlibtt au$ aus fcer bekannten ÖUÜje für a 1+i unmittetbar 
fots*. . . ." ■ 

gut y = x- ffab ble ©ranjen : 

Bi(m-l)...(m- n ) Tnfm-))..(in- B ) __,_„ 

unb eben fo in entern gälte«. 

Anomalien ber XayUt'fötn Steige. 

34 ©o lange x eint »eilig unbefHmm« ®r*ge bfetbf, 
fann f(x + i) immer In einer Otcitjc naä) ben pofitiöen 
ganjm ^ofenjen von i enfreiefeft werben (3). ?egt man 
aber Cent x befh'ntmfe SKJerf f)e bei , fo f önntn hiervon 21b* 
Weisungen frart fröben, wie j. Öi. in ben Functionen 
cot(x + i) unblog(x + i) für x==:o (Sncloroerrie. 15. 
Sogarittjnni*. 23.).' 3t* namtid) x unter Sßurjeljeicben in 
ber gegebenen Function -enthalten ; fo fann ee f ommen, baß , 
' inbemman a + i für x fcijt, bie €on(Tan(en ber gunefion 
basa aufgeben, mtbfoi unter ben SEBurjetseic&en bleibt, * 
ttobürtfc gebrochene ^ötenjen von i entfielen. (Eben fo 
f onnen negative «potenjen von 1 entfielen, wenn x ftd? in 
einem (Renner beßnbet, unb bie Sonftanfen ber gunetion 



tei Itfrtnttnftti SHSertt) a brftrulren. ,3f|L j. 8. 7 = 
Jüc y := b ± Y~i — »' 1|F: "-■' r 

,•=»_(«-.)*_.» (»-»)-*. -1- + 4 <«-■)"* , o -•'•'' 
Sät x = a rrtutirtn ftc& blefe belben SSertr)« Mit y* auf 
1/ fo tag affo i> ■+' Y*i =s b> (tipt roafite/ wenn /]flbj 
x=abfegocn» . . --; ..,-•• , ~ ... . 

y + pi + qi* + rf* + ..... 
fo'beljiel'tt. 2>ie fran|8(ifa)en ©cbriftfMer oebleneri jicfc 
In taa.itidwn gajtit gtmtynlid) bw äuebmefs, bie 3an< 
lor'f*< SXeirje feo «n defaut. 3jrbe| t)at (bSon S« t oi|l 
auf bie Unridjtigfdf blefeg^rtrutfB'oufraetffam gemalt* 
falbem cd »iefme^r dl« ein SBoräug fcer Slflainfis ju oetracfci 
teniff, bog fie bie gäile, wo gereifte gormeln einer^iue* 
nomine unterworfen finb, feto)! anzeige , fo wie lernt I)ier 
In btc ?bat bie iaqlot'fcbe Sieitje felbf! antrat«, tufi fün 
fcm beftimmten 2ötrti) zss a bie' (Stttrofcfelung von 
f(x + i) nacb ben- pofrtiven gerat«* potenten »on i uro 
mogtia) Ift. Sine »olft<htbige äluef ubtnng tiefer Unttrfu» 
ebungen, wie (ie ben Lagrange Theorie des foru* 
tions. Chap. 5,, unbLacr-oix Traue dti ealculdfff. 

etc. L Chap. 3. ju finben Ift, geflottet biet bet Staunt 
Hiebt, fo t>4 wir un« auf folgente tfenlge SSonerfungen 
t^ebranren muffen. , ' 

35. (Enthalt f(a + i) == y, ntgafibt^otenien »Mi; 
fßift f a , b. i. fx für x = a , =s co , woraus umgef et)ct 
fi* fdjltefjtn tafjt, bafj f(a + i>negatl»e?>OKrrjeu:»oni' 
enthalten wirb, wenn fa = oo... Xiijferentürt man y, 
noebi; fo werben auä) offenbar auYSDiffetehtialauorienren . 
negatioefpotenjen »ort i enthalten, unb bemnacb föt i = o 
unenbiitb werben. SJluu tfl aber . . .,..,.;.' 



' •"'" ; ¥-*it' : "iiÖ tt' ■■'•' 

W=S s +.Sf-T+*-.is+-;--r -.■•.:■ 

' j. .«.'. "»vf 5"' + E=" T + S?.' >i' + ■ • • 

■ „''.-■»'. ' «c/ »■ r 

aifo ■■ ■.'•-, 

8W9M '.§? fä« *.==.« Jf>* i==°; W- 2gi filr i==p^ 
= Sr (**s=»tt»'i=o, b.(.= g| fätx = i 

Stlfo i|e, wenn fit für x = a unenbtla) t»frb> na^ 
' bem Obigen au<b> 5^ = c* für x = a> wtb bie $09» 
ta'febe 0teu> üefert fei blefetn 3aUe für f(a + i) jat fei«' 
brauftbare« Stejultiir, nie 11. 91. bie Enrmitfetuna, WS 
cot (x + i) furx:= o jeigt/ ba cotx für x — oUtH 
enbll* i(». •• 

36. enthalt bie Reu)« füt f (a + i) 8<f>n>#ene ^>ot(n> 
}eit»oiti; fofe» 

•f(«+i) = A + Bi + . , 4. Lil +"Mi» + . . 

wib mt« firinfte gebrochene Srponent , fo bog m > 1/ 
ober m < 1 + li i(l. SDiferentUrr man na<6 i; fo er. 
»iebt fid>: 

■ ^s = B + SC14..'..+ lLi^' + iiiMi— " + . .: 

i jj^ = 8C+2.3Di+..*lG-Otl 1 -'+m(«-I)Mi— ■+,.. 

jjIl.=2.3D+..+l(l-l)(i-2)IJ->+m(m-l)(ni-J)Mi— ■+... 
.-•'," IC. K. 

SMfofBri=o: ..■,-■■., 

' '■ - |S=2.»D, icj>V«.J..U.i* 



». t naa) (35.) für x = a! 



£a»lw3";»$tf!«t s ' M 

** i*S 3x>» ~ T7a 3? 1 ... „ ., 
fo bog atfo A, B, C,V.,t'nttt*e» p^Ä(fet(l berioj/i 
lorfcbtn Keilte erörterten Qeffccitntra ofenbot ibentifd), . 
unb [toten aus »6IIis richtige Sitfuitort in bttrac&tttt'|inb. 
frlcbterbdif man ober; -. . , 3 ., 

|^ä = m(i_!)...Mi-*-> ,* •>-, V 

8«lalia), ba m < 1 + 1 jfl, t« ffllttti MO S* fär 
i = o , b. I. ^ä f Jt i = a iituittlid) , mtb M alftf nüö 
ftl|i bte Santotfcben 3tetbe unbe|rimmbar. ' 

Sitfe S3ttr«cbtuna,tn (eigen, , baf foionae Mt iBifftten. 
tialquotienrm von y in Siejug, auf x für x = a ni4X 
= oo reerbtn, bie Sanlorftbe Svtibt ei« Slitber t»n 
f(a + i) ricbticj liefert, bog bieo" ob« nicbt ttunjr b« gall 
ifi, fobaiö ein fciffetentiotauotient unenbtia) wirb, unb 
bagnuniefnen gebrochenen Srponenren erbäte. Umbeii 
nod) jn ennviefeutben ^tbeit bet Steigt ju ftnbtn, jittjentan 
btn fd)on cntwioMten tion f (a + i) ob, unb btjeicbne btn 
Dttß butefc R. *Ölan (eise nun R = A' + Mi-, fo bog 
namfieb A' btn 3Bevft> von R für i = o bejeirbnet, . 
»Hb i", Wt $orb|te »>tenj »on i ifi, burtb rettebt fieb 
R — A'tinibirtnUgt, fo bog bet S3rtt* %=£- = M 
fflt i = o webet == o , noeb = a> toitb, wobutab M, 
m befümmr mtben.' (Sana eben fo feje tnon M =B' * 
Ni', Hz=Ü + tä', tc.; fo ett)altman: . 

R = Ä' + B'i- + C'i»+* + . ( v 

bit gtfutbte (EntBtcttiuno »on S. 

Oft nun? tnon (icb in folgen Solen Sefonberet Sunffc 
9H(fe bebientn, unb ju entroirftlungen m1ttif|i anbete wo. 
. Her befannter 0Stibtn jurätffebrtn: Su* löft fiob.ftt 
f (x + i) Dem x oft ein brauchbarer SBerrt) geben, w(e ,jr &. 
W bet Sntroicfeutng »on logn (x + >>/ »">» m«" x== 1 
tot, »obuta) tnon bie betonnte Keihe füt logn|(l + i) 
trbait. 

■ ■ ..■■ „'„„„Google 



m . ■ .;#tt»fc '■:..■' • 

JelfefaWf i «nto3.8, & SB*r.»*»i»r9 In f<i. 
nee leliofabif, fVä Tids «lein »ellfijmnKiK unter otUn 
3ar;(enfn|temeB;;'u. f."». Hktl<g»b>nbuiha, 40r bie iwu«(te 
Siteratur. 1060. (bobecabiftb), be« Sabfaifr/ltem, ieflra 
0ianCJaEit stoST^'ip. : j Bobecetotf. - , 

Terminus generalis, f. tXtll)f. pS.) : 

Sertte, f.anfn»te. 
•i TestödoqnadrabuiBhemisphaerlca.f.gf«. 
reniintfcbe Slufgabe. 

Settabif; fsuwwr. 
-- Sdraebeatja^t, f. $ot;Mptt)tai I* SMnsonar. 

|at)fen. (13:) 

"-' Tetraeclrometria, wärbe büffelte In Sejns auf b!< 
fcteifeifige <Pnramibe jlt leiftcn baben, ntas bie ^rigonome» 
rrie fit bat £>rei((f Iei|itf , b. 6. (ic mußte bie 5Iu jlSfung 
ber folgenbm allgemeinen 2(ufgabe geben: 2öenn von fcen 
fötücfcn, bic jnr Eori{tructfon einer breifettigeu <pijramiöe 
gefy&ren , 6 jur SSeff imniung ber übrigen tjinreicbenbe . ge» 
geben finb, bie übrigen ©taefe )u ftnben. . . Seitrage baji* 
enthalten: De Gua propositions etesür le, tetrae- 
drfe, ou essai de tetraedrometria, Mein, de Paris. 
1783. p. 363., nnb »orjügliib garnüts äbfanbluna 
über bae iSerbaltnltV »«lebe« Jn>ifcb«B ten (Entfernungen 
Vfin 5, wtllfubrlicb im Staunte angenommenen *PuRcten 
befteEtt. (Cernots Geom. d. Stellung »j Schuma'J 
eher. II. Altona.. 1810. S. 254.), nnb in gemifler 
9Mcf(W>t au* bie febine atulnrifcbe Sfbijaitblungen :t>on i.tti 
S.range über bie breifeitige $r.ramibe in ben Me'm. de 
Berlin. 1773. p. 149. I ÜB. geuerbg* Srunbrijj 
Sur anatnf.Unrerf.fcer breieefigen ^»ramibc. Dtnrtu 
Birg. 1827. 

> "Tetraednun, Setraeber, ein regulärer, »cnnier 
gleitfjfcittgenElrelerfen finsefcbloffener Server, ©.»teletfige 
JWrner. 



ScftaäWML 45 

UcffacjonatjciWe gTetcbbebeitienb mit ßncibrat. 
l^iuberSieibeberyotogonaliabten. 

Sctraaom'f^e Sim'e, f. 9stopB«ien'atjicfeT. (6). 
Tetragonismn», f.ßuattahit. . . . 

Sftrogonometti'o iniwimlb<tl$«tdttwtmt 

f. Trigonometrie. (V.) JobiLudolffi, Math. Prof. 
et Senat. Erffurtensis , Tctragotionietria tatmfaria. 
Francof. et Lips. 1690. 4. i(i ber Sitel leine« SSBerf», 
tatltb» bie Qnabrafe aller gaSlen t>on 1 Eile 100000 jiem.- 
U$ ricf^ris «nt^fttt. : ~ 

Tetragomim, Süiered 1 . ' 

SrtraftiE, -Jctraftl)£, if»ae3a$t<nfD|e'fm, bef, 

fllt ©runbjar;! 4 i|i. 2Irt|ioteIe« (Probl. Ser.t. XV, 
Probl. III.), In beul er bie Urfacht, tag fafi alle fSilf« 
6U;10 jatjtflt, In. btr 3ol)t unferer ginger fiKbet, erwähne jw» 
gtfid)eines tr;racifcben fßolteti, rot|d;e6 nur bis4 jätjlt. .5Da» 
burebwarb (Err) arb StBeigel veranlaßt, tieDiegetnber fe* 
ttaftifeben Su-Irbmelif In befonfeern ©ebrifte n(Aretologisti- 
uvel Logisticavirtu tum genitrix.Norirnb. 4687.' Te-' 
traetys, summum tum Arithmetir.ac, tum Philoso« 
phke discursivse compendium ; artis magnae seiend? 
gemina radix. Jenae. 1672.) JU entwickeln. 3«9l'id) hielt er 
Me|t«3abrenfn|i«rri für -einerlei mit ber Setraffj» bet^n. 
ftjfljofitr (Tetractys ,- Tetracty Pythagoraeoruttt coTr 
respondens. Jenae. 1672.), wogegen SBJelbler'önt» 
-Ronnertblefer'pfiltofoprjifcben ©ebulf bie Äenntntß.beS 
WoWfd)engi^letifrj|IenM-liei(egen. 'SR. f. «er "bie Se>'. 
ttaftns ber 95»thagoraer $b(. I. «3.185. SeUu'geey 
beg fpnfbagorae: ©orjli, febrieb, nach ©uibaey bar* 
über eine befonbere ©ebrift in 4 Suchern, pon benen 
Stlontucfa (TM. p.125.) jebott) meint, bafi|ie bie SRufiT 
bettoffen Ratten. SO. %■)(. I. B. 185. 53 a r r > » (Lact, 
math. II. p.17.) beliebt bie Setraftr,« ber ^ofbagoraer 
cotf btepier bamole.btfannten Sbeile ber ÜWathematif, nnb 
meint, baß bie tEibeoformel: „asseveroper illuru qüi- 



46 .',.;. Srfröf(9Ä : 

rt animao nostrae tractiäü quaternaHnra " )U erg5n$en 
fco: 'ickfc&wore beibem, wd^ec uns bie »iec Ztyüt b« 
Sßarljematif tetjtte. 

..<öeB©e(bUt:8^i8rf tiü^yet^tt Diss. de prae- 
stantia Arithm. decadicae, qua tetra.ctic.am et dya- 
dicam antecellit. Vilemb. 1719. 

?; Setroft06, -f. 4f«oWf. ' ■ 

Sljetf, f.Stjeilnng. 
. ■ "SfyilbGiVt gojr, f. ^eO« erneu &$(. 

Reifer einer 3<$I, $cMcj*epagt, burä?w& 

dje ; {i$ jene oljne Ötefr biwibtren läßt A tjeijjt «in feiler/ 
ober auet) n>o£jt ein SJIaaf »ort C, wenn C:A=rB.eine 
gorije 3ab{ i(t. C ijerßtbannbura) Attyeilbar, unb c.in 
SÖitlfa^etf ober-ÜBuItiptum »ort A. 3eber tfjeiler 
einer 3at)(, »etc&er eine 9>rimj<ujl iff, tjeijjt ein einfai 
l&et öfter 9>rimf actot berfelben. ©er €uclib (VII. 
Def. 16) t)ei{jen bie feiler einer 3atjt latera. 

^ i. 3ebe •j'atji' läge ftcb o(8 ein ^robuft »on ber gorm. 
tf*,ß*y?..., wo«/ /S> j', u. f. f. ^UnjaljUnfinb, bar> 
ftettert. ÜDZan biwicire ju bem €nbf irr bie gegebene $ajjf 
mit benanntsten 2, 3, 5, u. f. f. nad? ber 9teu>, tirtb 
Witt jeber fo oft als es angeht. 3mmer m u $ tnan. enblid?. 
auf -einen Quotienten fommen, »elcber felbff eine *prim= 
jatjl tff , weil ftdj fonß bie ©itrifton bis ins Unenblid)e foef^ 
fegen tiefe , ttetdjeS wegen ber (öiblidjfeit ber gegebene» 
garjt uumogtieb fft . £>a« ^robuct «fiet, SfeifwcR. «nb 
be* testen Quotienten ifr bann bec gegebenen 3at)f gteid;.. 

• ' , «60 JM» 2« 

2)135 . 2)_ieo 2)lo5 ". . . 

2) 315 2) 90 .3) 35 ''■'..'. 

3 ) 105 ■ ÖfTS 5) f 
3 ) 35 3) 15 , 

5) 7. 3) 5 

1260—2.2.3.3,5.7;= 2*.3 *.5,7,36G ±s 2.2.2.3v3£:=j; 
2^3^2Jfl5==2,3.5.7* .,..;,.; ,.;,:; 



2. #atman ; bieSiefrionber aeg<ienenS&ytJbiu:a)alI« 
9>rimjabfen unter, ober bie; , JrvN#ecgebii<& «etfucbt; f» 
famtinaufd)Iie|jen, bog N ftlbji tint jffimjaljf i|i. 2>eriri 
fette bie "Ptinijafil p > J/*N in N .aufgeben,, fo bog N:p 
= P eine ganje 3a6( raire; f» »äre T P < N:|^N, b. i. 
P<K" N r unVes :Wucae folglicb., ba N = pP, eine 
<primjabt -< jO( geben» welaje ta"N aufginge, gegen 
bie Sßorauefeljung. : : - . •-' 

3. SuteSienflebrfbfefef Verlegung iniPrlmfactocen 
■ teilen bie befarmten £ennjeid)en bec Sbeilbarfrit burtb bie 

gangen 3a(>le« 2 bis 12 , melcbc bier.fn SSegug auf ita bt« 
cabiftbe <3a!>ienfnjteni furj etläutert »erben fönen, aber 
aittb leM« auf jebu "anbete @o|ttnt ausgebest «erben 
filmen« 

4. ©ne 3«!>t ifiimä) 2, 4, 8 tBeißac, iwrijiifri 
bec legten giftet, 4 in bec burefa bie beiben , 8 in bec burä>' 
bie beei fegten •jiffern bacgefleüfen gaf>[ aufgebt. Dtc 
wefenttiebe ©rünb tiefer icennjeicben t(t, baß 2 immer in 
10, 4 in 100, 8 in 1000 aufgebt, unb ibre SXicbtigfeit 
erneuet augenblkHieb, wenn man po>bie gegebene^ablauf 
bie§omien a.lO+b, «'.100+ b', a".1000 + b", 
web, b', b"eineein=, jtcel., bceiiijfrigegabt bejeitbnef, 
gebeaebt benfi. Sie OluU roieb immer als bureb jebe gabt 
teilbar betroebfef. 

5. feie 5geBt In jeber 3abl auf, beren fegte gifec et . 
ite 5 obec t|ir Senn fola> galten laflen |itb auf bie 
goem a . 10 + 5 bbee » . 10 bringen. > Sie 10 gebt In je. 
ber gaijt auf, beren legte 3iffer i(i, ba fofcjje ga^letc 
immer = a. 10 finb. . 

6. (Eine goji iff bntd) 3 ober 9 tbeilbar, wenn 1 
ober 9 in bec ©umme Ibrer 3i(fern, in ber fegenatmfeft 
Dueecfumme aufgeben, ß« i|t namücb überhaupt >'■ 

: t 10»>=sl0 + 10* + 10» +-. .. h 10- • 

... ,.. . ,.— 1 — 10— 10' — .,.. — 10—» + i . 
e=r(10— ß.i+(10-^l).10+(10-- n.IO'+---+<lo-l)tO— «4-1 
==9.(1 + 10+ 10' + .. .+10*-«).+ 1, ... , 

toorau* fogleiä) eebeflef, baß bei bec StoEfton jebec §>otenj 
WS 10 bureb 3 aber 9 immer 1 alt Üteft bleibt, unb folg* 



48 • ; " Styrita: 

räim. affo (Jl jAe becabif*e 3<t5t : < • 

= .+t(»"+i)+i<M'+i)+.......+ina."+,i) 

., • t 3(W.»+iä'+..+™l+.+l+6+..+» 
:• : v «f»»>V+«"+.^.im-.)+«+t+=+...+» 

Woraus augenbttcflidp erTieHft, baß 3 ultfrD' tu N aufge* 
(Hü, twnii .ffei»-b«r-3iffer». ■ »»«Öwtfiwwe a + v b + 
' «;+■• •iiij-f" «>f9'&<n- SJißt biefe «Summe im* 3 übte 9 
Weitet «um SXtft ; fo bleibt bei ber ©iojfioa »on N sutefe 
»•iber, 9 ojftntoi twrfrtW Si<S. ■• 

ein -Sennjeicben für bie 'irjeilbarfett bureb 7 aufjuftnbra; 
^ctrtt« txrfellwrt iff leichter. d(s bie^lflBttittelbare £>i»ifiott 
bwa> 7. S5ae Solgeubei jß inbeß »pn tigern tfye(Hj«ifdi«!i 
3ntete(f(. ÜBenn man mit 7 in 10°, J0f,....10« bijji. 
yrt t .ftf)UtmmbltSX4t.i, 3, 2,, br-t, 5,1, 3?a 
matt nun bie 2>i&ifton bev folgenden *pofeRj«lt»nlQburcfe 
7 Qußfübren fann-, intern matt bloß immer eine ni(^,.aj9 
$m iDtoibenbütj antjangt; f» iff; ffo , baß jtje Sveße, % , Ä 
2, 6, 4,, 5 immer, «jteberferjten muffen; Uebrigenj 4M 
^eBtt' 2>ies attcb auf fotgrabt ärt. . S3* IQ* a= 7q.+ 1 
ifi; fo folgt aus ber SMnomiatfprrttei .unmittelbar, baß 
oueb überhaupt 10 en = (7q + lj n ==:7q' , -f--l.fiBn muß. 
3ft nun.» ni*t>6; fo Iß 10«"t" '= KVMO- =; 
10". (7p + c) = 7p.l0 6 " + r.lO«" = 7p.lO«- + 
i(7l' +.l)=7p' + r, fo baß aifo ber 3ie(i. i»on 10? bur<j> 
7 einerlei ifi mit bem SÄefle »on lo«"+" burtV} 7. Baijer 
muffen bie. obigen Ovefte 1, 3/2, 6', 4, $ offenbar im» 
itttt wieber fer/Kn.~ hierauf gfunbet fiel) min folaenbee, 
Jfennjeicben. SSflan febreibt biefe Stefte in umgefeljrter 
Orbnung unter bie Ziffern Der gegebenen 3af)l, von Ceti 
Ginern an, mutfipliciri aQe-unfereitidnber ßer)enbeR3af)leri 
wirft bon ben'fßrobucten bie 93ielfaeben »on 7 weg, unb 
unterfuebt, ob bie «Summe ber erhaltenen !|$u)ün einSßief» 
faebe« »on7 iß, in weicb'ent Jolle 7 in ber gegebenen 3ar)l 
aufgebt, roouon ber Stunb fogiei» er^eOel. 3ft 1 3527S42' 
. bie gegebene 3at)l; fo erbait bie Dtecbnung folgern» gomu 



- ; <imr<3$r. _• 49 

M546231;3. 4-3, 5.5=4« ,':■'"' 

2.5 =.3, 1.3 = 3;- 
. 6.7 5:0, 3.1 s?3{. ' 
i+5+3+0+i+4 + 3+'3^Jl=3.r. 
tfo 13527542 burd; 7 rtjeil&or. 

8. (Eine ga^i ift burd) 1J ffceifliar, wenn ber Unter. 
Rieb jwifiten ben «Summen ber 3iffern in ben geraten 

,«»t> »ngerabenlBfellen tue* U feilte i(i. X> a na<j> (6.) 

10»— 1 _ 9 , t ± 9. 10 + ... + 9 , 10*— * + i 
»9.1+ 9. 10+ 9. 10= + '.,"+ 9. 10'—*+ 1 

— 9. ,10 — .." _9.io*— » r 

+90.1- - + 90„. 10» + . . + 90 , 10»— * 

=99 . 1 + 99 . 10' + . . + 99 . 10»—*— 9,10*-- 1+1; 

10»—' + - 9 . 10»--' = 10'- = 

99'. 1 + 99 . 10' +.. . + 99 . 10*—* + i- . 

if; foerljellet, bog 10""; b. Liebe getabePotenition 10, 
tea) 11 bioitirt, bie (Einheit dl« £S?(i l«(j(, unb.bemnaq> 
tarnet 10 s " = llq + 1. ' aifo 10 2 -+» == io 2 -..lö 

= 11.10q + 10=llq'+fO = llq'+ 11 + 10 — 
U = ll(q' + 1) — 1 = 11^ — 1. aifoi|J 

N=« + l).iO+o.lO' + d.lO> + . . , v 

=a+b(llb'_l)+c(Ilo+l)+d(lld'-i;+»(il«'+l) + ... 
v =H(kli+c -+dd-+e.-+...)+(«+ I + < +...)_(b+a+(+...), 

»•tau« foglefd) afytftti ba(jN unb (a + c + e"+...) — 
(b+d + f +...), burcb 11 bieibitf, ^einerlei 3ie|t! (äffen, 
«nb baß folglich 11 in N aufgebt, wenn e'oin berJJijferenj 
(1+C+0 + ...) — (b + d+f+...) ! aufgebt. SBäce . 
*fe Bifferenj negario, unb oft Dteffnicbt— o; fowäre 
toOv'eff oud) negotii»-, in weitem Saue man nariir[id) 
flua)|btn negalitjen 9ve|t »ott.N ju berücf(ia)figen Ijätt'e. 

9. 3m %rt.3at»i I. iff bewiefen, bo|j, wenn jweitt« 
lotiM "Primaten in einer gabt aufgeben , immer aud) be* 
«n ^robuctitr , biefer3af>( aufgeben muß. J^iernacb lajfen 
W mehrere j?en'njeia>en bitben. (Eine 3»W ifi J- SS- burd) 
6 ober 12 tfjeittor, wenn (ie »iii-cjj 2 unb 3, ober 3 unb 4 
fytlbat ift. ' 

• 10. tafeln, »elebt bie ganjen galjten 61« in einer ge= 
tiffmöranje in ifce sprimfactoren lertegt entfalten, tjei. 
f» gactorentafein. iDIe immer ("rtjt einfadje (Ein. 

V. ® Gooslc 



50 Seilet < ' ■ 

ttdjfung l|t aus ber gettor)nfl& »oTant^efcbitfren GinMtmu 
ju erfefyen. 3 U »erbinben mit ibnen finb bie tafeln H 
^einnähten. SSeim aufgeben berS5rücbe [elften fie beanif« 

lieb gute ©tenfie. t. a Schooten Exercitat. matb. 

Leid. 1657. tnftjatten bie $rimpt)ten 61« 9979. Anln ; 

trodnetion to Algebra, translated out oT Highdatch 
by, T. Branker, augmented by Dir, J. P. London. 
1668./ eine wen 3 ob. $etl vermehrte Ueberfeljung «i 
atablts beutftbet «(gebta. (3ürcb, 1659.), entbalf Wl 
Verlegung ber labten biet 100000 nebft ben pctoyüfa 
3. Sil. 9>oetii attleilttns »u ber arubm. aBf|fenf<WI 
Mtmittelft einer natolleien SKgebra. grf ft. n. 2p.jg. 1728 
<nft)ait a!ö anb>ng bie getfattung ber Labien (Anatomie 

■ numerorum) üon 1 bist 10000. (Eben fo in bem 20eDft. 
matb. Seticon. Sbi. 2. Seipjig, 1742. @. 530. «Hb in 
SBiHid)« 3rünbttrt>er S3or|te!umg ber Steefifcben SSiJ'l 
SBtenten unb @6tt. 2 S5be.. 1759.60. 6:831.. $8 
Ärugecß ©ebanfenbonbetatgebra. Qaüt. 1746. ent 
batet bie ^timjabien »on 1 bis 100000 »onSeeec 3* 
g er, Dtojjfcbreiber «nb öttaetiermeijlec jn SHurnberg, t* 
reebnef. .Krüger fagt ©. 123., bafj 3äger aueb tl« 
boß|tanbige Anatomia numerorum verfettigt babe. 5ßer 
jeic&nit] betreuet oDetnatütiicben3ablen»on lbiölOOCtl 

. buttb if>. 3 n j e m a. leiben. 1767. 4. £ a m b e 1 1 (SM 
träge utrSBatb. 'tbf. 2.) giebt eineSattoreneafei bisMBw 
mit ausTcbtoe ber buccb 2,3,5 t&et(baren3*n. 'SM 

ri 

in» $. 

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eine» 341 51 

£L> *.»?''' """ r *M« 8«««mberbuto> 2, 3, s 
•gl «)«tbmen 3ot,fen U 1 bi» 33600a SBJieit. 1776. 

■X f £° V 8 „ 1000000 ° («.»• 1776.) ««ärtWte 
£"•©" fo«<« ouf ■ Sollen Dm& Jt. Hetotuim fd)on 61» ' 
"IfS ^ rucft «""f" 1 fa»' ble ganje 3uf(a 9 e ober, 
C 1 * """ 9&iK&mer fönten, ju «Patronen =4)oimi: 
?»» ™' »"bnur »enige <Erem»rate »etfcbcnt nwtbeii 
e»„ «■ ™ f - 4te 6i < 8'IWf*'" 3°f<<n <■»* SWoMrt. 
SE?ir"* 180 °- ®- 2 22., mcfi* an« einige 01a«. 

, gj**%.*f*i. II S P(8 . 1814. ©. 1 -128., «eltte 
,™«*rie s «n 3 tat Mn» 2, 3; int«! tbeilboren 3*te 
JJ^W» W2000 miß ban priniobta Mi 1Q2O0O bis 
JT^u eniljdfc : Sic qjrimäa^eB tmb bie gaetmen bet 

■bnim « ■ k < " m " W * äb " < te,r 3*B"»' «ntbiftl ,Ctfc 
1», ?"' | waeticum, sive tabula, conlirans nume- 
triae jrm etc - ConfecitLad.Chernac Daven- 

*»«*een. t w 1, *' ."!" S»«r<«mi8 Sternen i|e ju 

Ibies d e trvw^ ^* s ^iviseiirs pour tous les nom- 
»Bi»-. ,g"j O0 ''0i20280DOparJ. B. Burckhardt. 
fcthi • 91a #8eäeilbtc(SuppWoiental'es3ai 
»ttaZ^° a " i°<nbres. 1816. p. 61.) batbermtn. 
«oni, - Sutcfftotb» bie Safel bie |Ut »ierten 
ff l,"* f , uit Sie 6(i<t( SRiUion fen oucb fcbon 

fc******** •""" '* : 3- $• *»'" *°f' 1 

•fefc ° r ' n ** ,t 3°^ (( " m<tt «Im'SWU-i «'bi* 

föjv'tf Styyimmima bet gacteren jebet größertt 

&. "• »• tl> Sex We Conflructicn bet Sactortnte. 

(*« 3%<in blutigen »on (Eiiltt, j?taft »nb 

'f rter Me Reitet bet Sabten in ben Nov. 

•*F2* T - r - XI»- !«• N° T - Act.- T. XL 

**.*"""« » n!l 5^eiibotreit bet 3ot}ten. 

Vil "« e * übet Me Serfailung einet jufam. 

JW- *!>asr. aitasaitn fftc ÜRalö- 1787. 

£.',£" wo " tet Huffüojung bet jufammeib 

!i'n-S>of. - ^ C ffan<cf ÜÄe^obebie^ilet 

S-2 



,52 SE^ciltt , 

i\att%c%l ju ftnbe*. ^anbtnögen einer ©ibm. ^IHtfaf. 
geftOfftaft I.@^.l. 1775. J&inteenburgSefcfrreibiuHj 
ein« muen3lc(/ na$ einem bekannten ©efe&e fottgeljenbr 
ga^Iftt bureb$lbjat)(en rtwrSIbmefiin juf nben. Jpjg. 1776. 
%. 3B. £>■ © n H 1 neue unb bequeme 2lrt , bj< gacforentas 
feto emjuricbmt." @iejjen..l80O. jjtt »erg(. flnb feiern. 
9>rimsahJ unb (Erafeftyene* ©feb. ■ : 

11. Sie Aufgabe, aus ben eisfacben gaeforen ein« 

, gegebenen 3at)l au* afle- jufammengefe&ten gactoreti btu 
felben }u flnben, ift eine rem cembmatorifebe. 9Hcm Bf» 
trautet nämtief? He verriebenen «primfactoren afal eintüte 
combi natertfebe Elemente, unb bübtt fite Sömbinafiown 
mit SEteberfjotungen, läßt aber alle feie Sem binaf tonen weg, 
»■> ein (Element ifter »otfommt , als unter ben ^rtmfdc 
toten ber gegebenen -Saljl; nacb Jjpinbenbacg ComW- 
nafionen mit eingflfcbcanfien'SBieber^oiungen. ©inbuße 

'^rtmfacfMen »ecfcbfrten; fo biföet man bte (EombiiMtifc 
mn obw SiBieberljettmgin. -' - 



2~. 2.2 


;.3 i.3 *&•!» .. 
, . 2.= 2 

. 3=' 3" 

■ *;•■- *= ,5 

■ 2.2= 4 ' 
2.3=6 

2 . 5-= '10 






. 3 ; .3 = 9 ■ , 






3.5= ;-15 






2.2.2 =■' 8- " 


•\ , ■ 




2 . 2 . 3 = S2 - 






2.2.5= 20 






2.3.3= 18 






2.3.5= 30 






3.3.5= 45 




F. 2 räTX= 24 




2 


2.2.5= 40 




2 


2.3.3= 36 




2 


2.3.5= 60 




2 


3.3.5= 90 




2 . 2 


2.3.3= 72 




2. 2 


2 . 3 . 5 = 125 




2 . 2 


3 . 3 . 5 = 180 





2.2.2.3.3.5 = 360 

12. 3|iN=«-^-yF..., m ea, ß, j/...,q5t|mjc$(« 
(ti>6; fo tqtbt <uio> hl*t, tofj alle *$eit« »ob N, Sit 
<EinW( «nb Wc 3a&l fttoft mir eingtfifjlolfm» t>Wa> Mt 
SUeWr tee ?p»t>itct8 



ein» 3<$l 53 

.(j+*+.'+...+.«Ky-i'+/»+-+/"Xl+r+... +j«).... 
bargeffellt werben, S>ie 21njabl ber ©lieber tiefes ^3ro>. 
buct« , b. I bie %ija&( qttet ^ijciler ttonN, ift offenbar 

= (m + l)(n + l)(p + l) Sur bas obige Sei. 

fpiel = 4.3.2 == 24, »o bie Einheit mit eingefe&Iof. 
(hilft . • 

3n ber aus ber Entwirf tlung ton 

-' rt^i + T3^t + nrir +•■ - + i=^r + • • ' 
inlfpilngenbenOteibe; " ' 

»l*e 1 a m b e r t in feinte ärc&itefeonif €1 507. mierbeilt, 
tnn)alt jeber goefficient fo ttiele Einbeiten , als ber. Erpo> 
ntnt ber entfprecbenbenfcen <potetij oon x *3.t)etler |)af. 

13. 2ßi(I man eine 3abl finben, roeltije eine beftemmre 
Sta|abf , j. ä5. 24, XtyiUt t)at; fo (erleg« man 24 auf ir= 
jenbeineürrtingdctoren. 3.8.24 = 3.4.2, fo fff, ' 
nenn «, ß, y irgenb brei utigleitbe °prim}ar)(etl ftnb, 
*>ß' y bie gorra einer gab' »" 24 IMettt. • 

14.3|JN=o-/3"yi'...i»oo,/ä,y,...i)5rimjor)(e»finb;foiff 

■0-4X' -*)(•-.£> •■•'■■ 

bit2lnjarj( ber ^rirnjablen jttN, welc&e <N fäib. 

gilr N = aN' futb Sie buret). a heilbaren garten in 
ber DCetfec 1,2, 3, 4, . .;. ;. N feine anbern als: 
k, 3a, 3a, 4o,..,.N'o, Seren anjat)! a(fo = N' iff. 
JefglitS iff bie Sinjabl ber bura> et ni*t heilbaren gablen 
in obiger Ovettje 

= N — N' = N — — N = N (l - -i). 

Senn N == o/3N' iff; fo finb ale gaffen ber Bteftje 

1, 2, 3, 4, N enlweber 'weber burcr) n noefc burcö 

? Heilbar, ober bur# et, ofjne es burd) ßi ober burct) /?, 
tftüt es burcb a JU fenn, ober t'urcb et unb /9, b. [./ ba «, 
03>rimy>f)(enftoS r ourcf;et/3(3af>(.IO. 6onj wie »or= 
j fcr erfjcßef , Saß-bie %n^i ber burcb aß tbeilbaccn 3ab= 
Im = N' ift; bie anjabl ber buret) o rbeilbatm = /SN', 
elfö bie 3utjar>l ber nur burcb a tbeilbaren /?N' — N' = 
<ü— 1)N'. Eben fo ift bie änja^l ber nur bureb/Jlbril» 
taen 3a&>n in obiger Keit;e = <«— 1)N'. »U2Iit> 



5« " .,' Sicite 

}<n)f bet »»et tut* a, no* iitti) ß <6>K6<iren 3iu)(e« 
liurfo ■■'■ . 

— n— (w— orr-tf— i)N'— w 

o/S . .«p «■£ 

. gilt N=aft-N'fomtuen In bet Dteftje 1, 2, 3, 4,....N 
galjlen »ot, wetc&e bot* o, /J, f, b: I. bnttb o/3y (a. o. 
£>.), t^eilbat (!nb, ob« foltbe, weIebeb[o|! burcb jwei, 
ober enblid) (Mcbe, welcbe nur burtb, eine biefer 3<iblen 
feilbot finb. £* Snaafil bet bur* n/Sf teilbaren \f 
»lebotbet = N'j ble änja&( bec nur burcb a/J, ober 
ntcbr burd> y, «beitbdren = (y— 1)N'; bie anjc$ bft 
nurburebii?", aberni4tburcb<3l|eilb<iren=(/9— 1)N'; 
ble 9üt|4l bet nut bura) ßy, aber nicht Ijutcb a, tjeilboren 
= (a — 1 ) N'.- '©ie angabt, bet ' bUtcb a e^eilbarm 
ga&len überhaupt !|t, wie »orbet , = ßyN'. gota,licb 
Me anjat}( bet nut burcb « tbeilbaren 34'<n 

= fr"'- V—W - &—«)»" — w 

= 0>-iT(i~>)N'- 
Eben fo 1(1 ble Wnrtl bet nut burcb /S ober r teilbaren 
gifjlen=(«— l>(y — 1>N" unb=(a— 1)(/S— 1)N'. 
fjolgficb ble 5toja§l bet webet burcb «, noct) burcb ß ober 
j> teilbaren 3«$<<n In obiäet Dteibe 

= H — (a-l)(/l — 1)1»' - C.-1)W — ef 

— (•— «Cr— i)tr— i>— »)«■ ■ 
, - -»-»(r- Dir - ö— i)tr 
woraus, wenn man N' burcb N auöbrurfty wie bc4« 
teictif erhalten wirb: ' 

<^m^m=s. „ . » (i _.i) (, - ±)o - f> 

2Bieman weitet geben fann, erhellet tetcbt. £>en!8e»ei? 
■ ganj al«,emein ju macben, febif t)ier bet SKoutti. 

3(1 nun überhaupt N =t= aTß'yt . . . = aßy..-- 
X a m - 1 /3 n ~ 1 yr* 1 ....; fo i|tnac$> bent 93orbergebenb*n 
Me atnjabtbee burtb «,./J, j-,... nicbt t&eilbaren 3a$le» 



tmt j*MK. 55 

mttxTt, b. I., bi a, ß, y,:..^Jtfoij<ij(tit (Sit, bfeSb. 
joblter <ptimjof)!(n |u N unter K- 

3arN=34=2>.3((iM<f<ättrtt=2*.(l— f)(l— 4) 
= 8, unb bie fMnern 4>rimä4hn |n 2* finb ouri ttlcf. 
Ii*: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. 

9H = «/»*...;i fo etgieta fi<b an« «biget 5oc= 
md bie Slnjabl ber }5rlmj<il>[en ju N feitjf 
- C— «t?— iJO— 0.- ■ ■'■ 

15. 3Me Summe alec S|ei(ee einec 3<>W N = 

a'ß'yr.... i(J (12.) 

= {l+.+....)(l +/ r + .. + ^,(l +,+..+,»).., 

.-i : />„i • ,-i -■•■•■ 

uttb für nr = n = p =...= 1, 
■ u'-^l - g* — 1 , r'— 1 

= —l • j_i -7=T"". 
= <-+DW+»(r+».. . • 
Sür 12 = 2" .3 i(i bie ©umme bec Sljeilec =i + 2 + 
3 + 4 + 6 + 12 = 28= ^..^^M^-*. 
3in (Eule cfl 91bt)anbtung de numefis amicabilibu» 
(Opuscula varii argumenta. T,1I. Berol. 1750. p.27.) 
ßnbet man (ine Safei bec ©ummen bec feiler bec $>cim= ' 
jablen »onl biß 1000, unbibtec 9>otenjen, reo bie ©um* 
men jugleicb in ibce 9Mmfactoren jetlegt finb. 

16. . JSie «St. I; ©.247. o$mr SJenxiii mitgeteilten 
Stegein Mn SDeecartes unb Äcof« jnc auffmbung 
befreundetet Labien (äffen fi$ biet betveifen. 3t* namlicfc 
A = 2» eint fpotens bec 2 »on folebec -S3tftt»(fenbtit, 
bafi 3A — 1 = P, 6A— 1 = Q, 18AA — 1 = B 
95titnaa^en finb;. fb finb 2AR unb2AP<3 befeeunbete gab. 
len. SJeon 2AR,= 2"+>,R, 2APQ = 2"$+>.PQ. 
golglitb, ba P, Q 5>ttmjab(en pnb, bie.©um»KB bec 
Sbeitet Siefer'(J>roguc«i noch (15.)=(2-+*— 1)(R+ 1), 
linb. =ifl''* s — 1J(P + 1>(Q + !•)• SWfb» tarieren; 
tet We 3a6tat fttbft raitbegeiffen finb, ble©ummett- bec 
«ii<|u»uiJ. , ibeile==(2™ +y — 1)(R + 1)— 2* + ' -R, unb, 



J6 .' . ,!■£&*»■ 

m@r**.— .i) (? + i) (Q + i) — 2»« :»$ 

aber B = 18 AA— J = 18.2""— 1. ' 3tt)i bie ' 
ec|ie ©umme = 

2»W . U8 . (2 . 2i» — 2»») — 9 . 2" + 1|" 
— ;«■ , (18. 2*- — 9 , 2» + 1) 
= 2»n . (3 1. 2« . 6 . 2» — 6 ..2» — 3 .,2» + 1) 
= 2-*' . <3 . 2« — 1 j (6 . 2» — 1) 
= 2-" ..(3A — 1J C6A — 1) = 2-t» . PQ, ■'. 

nie « ferni nun?.. SU jweite @iimme ifl = 

18 . 2»« 1 « — 18 . 2>™ — 18 . 2i">t» + 9 . 2">*" 1 — 2"+' 
= 18 .'2**** — 18'. 2»«** - l"ti ... ' 

s= 18 . 21"*' — 2**» ^2"»» . (18 . 2*» — IJ ." 

= 2»* . r, wie eo feon muß. 

Um aucti bie a. a 0. mifa.e<t)eilfe Sieget Bon Ärof t 
*u beweifen, fen A = a™ ß a y v — , wo o, ß, y f . . . 
tprimjafilen finb; fo ff* 6ie@umme bettelte »«;A= 

(<•»— !)(-*■•— l)(>fi — i)... - 

r^ =r Tj(/>—i>Ci'— »>-.- ■ 
(Eben fo |inb, ba P, Q, R (a. a. 0.) sprim|ab>n flnb, 
bie ©ummen ber Zfyila »on PQÄ unb RA* = 

(Pi— l)(Q'-.t> l .«ti — lif>»i— I) 

(F-DlS-Dt— w-i| — ~ 
= a (P + l) (9 + 1), unb 

;•■■ (R? — lXa«»*!— l)^-*l— 1) . . . . 
(R-1)(._1.)U!-1) 

= a(R+l). 

aifo bie ©utnmt ber atiquontt Steile blefet <)5robüefe 

, «<P+l)fS-hl)-tQA, und oJR+1) — RA, 

Slai ber SJebin«,¥ng i|t aber 

fP+l)(Q+«)=3R+l, «i*A(PQ + R) = » (R+l). . 

ä(fo ble et(lt (Summe : 

, =;»<R+1) _ («R+.-ARJiRA, 

bU iwente = «*(R+o — («R+« - ABQ-) = pqa. ' 
, Soläan) (inb RA unb PQA amlcaoje^ablen. • 

i7.,Um#) Jinben, mle oft «ine 3al>( p in bet Sftuje 
1/2,. 3, . , . n als Reifer «orfommt, fann man auf 
fojjenbe, a« «erfahren, S3ejeid)ntt man uberfjaiu« tu» 



gi&ftt Ib bet« Snribe § entbjtöene Säftse bur* G "(±) ; 
fo i|t Die Slitjäbl bet butcb B tt}eiI6oten Bliebet obiget 
Btefy^=G(-![), weit Wefe ©ticiro efpnüat '.'',•.. ' 

B,!B,'3B, ..,tQ(j|). B '••":'•. 1 ■- 

jinb, fnbem |g(£)'+ ij . B >.:N feJB muf , no^ 
fcer»eb«ntun«,be«3eio}erit!G_(j). Stte anjarjt bet 
tntib p rtjeilbaten Stiebet i|t atfo = G (5.),' imb.,e*. 
tommt felflli*/ wmnii 1 > N» G (jt)= o ift, • p in . 
ooijet Striae fo Oft otfSactot »or, ols'G f;T) anjeiet. 
30 «bet etje p 3 > N; G (p);=o; fo l|t bieljn» 
(ar)( ber botet) p* ttjeitbateh Slieber = G (p) » -linb . 
foiplitb/ fonimt in biifem galle p fo oft »ot, ,«,!«.' ;i - 

<mjeio,t. SBare et|t p» > N, G Q^ = o; fo »ntbe 
ouf atnti*« -SM p in obiger Stifte fo Oft oft ibeitet sot= 
ronimen, «*~ofi) H-'.G'd?) + G (£) ottieigt 
UArfwupl fomml p in bet Steige 1, 2, 3, . . . N fo 
off olo Reitet bot, ofe 

anzeigt , wenn man tiefe Dteitje fo weit forest, bis fit 
»on f«lb(l abbticbt. 8* N == 10000, p = 7 ift: 

— ~ J = "28. G (^jy-)=M4, G ^-345-J = ». 

^r 10000^ . „ /■ 10000 N Ä , - 
e C"54ÖT^ - «■ G (.Töäör; = a ■ 

<fflfo fommt 7 in ben et(!en-10000 Sohlen 1665 2M ols 
feilet »ot. gilt N= 38, p = 6 ift 



50 tjE$eöat /' ■ 

tfdjnragJjt aus ber gew&Imticl? »etausgefdjlcf fett <£tit{ett«ng 
ju icfe^eit. 3 U wrtinben mit ifjnen pnb bie Stafeln btr 
$prim jagten. S3etm1äufljebenber83rud)e tciftert fte begreif* 
Heb gute 3)ienfte- F. a Schooten Exercitut. math. 
Leid. 1657. entgolten bie «prfmiaftlett bis 9979. Anla: 
trodaction to Algebra, translated out of Highdutch 
by T. Brauner, augmented by Dr. J. P. London. 
1668./ eine von 3°^- QtU vetmtyttt Ueberfefcung von 
Sta&ns beutft&er Algebra. (3är(&, 1659.), entölt bfe 
Serlegmtg bet paßten bier 100000 uebftben (prfmjaljleit. 
3. SR. 9>oetii'2fo{eifuhg ju ber aritljm. SSiffenfcbaff 
vetmittel|t einet parallelen Algebra. %ttft. u. Spjg. . 1728. 
entölt als s 2!nf)ang bie gerfattung ber ^afjlen (Anatomia 

■ numerorum) von 1 bitf 10000. (Eben fo in bem SOoKfl. 
marlj. Sericon. Sljt. 2." 2eip$ig, 1742. @. 530. unb i» 
SBiUfdjs grünblicber Sßorfreflung ber £Xeefifd)en Dtegef. 
Bremen unb ©6«. 2 Sbe. 1759.60. e;831.. 3.©. 
Äcö-getß ©ebanfen von ber Sllgebra. Jj?a&*e. 1746. ettfc 
Ratten bie 95rimjaljtftt wtt 1 bis 100000 von toeter Sä- 
ger, SXo^fcbreiber unb Qüartietmeiflec juSfairnberg, bu 
teebnet. Krüger fagt ©. 123., bog ^igec aucj> eine 
Vollftänbtge Anatomia numerorum verfertigt (jabe. 2ßet= 
jei^niß ber Reiter aller natür(t^)en 3^(en von ibiff 10000/ 
burcb£. SInjema. 2eiben. 1767. 4. Sambert (2Sei. 
träge jurlÖtotf). "Üjf. 2.) giebt eine Sactorentafel bitt 10200 
, wt2lu«f<blujjberbtjf$2, 3, 5 ttjeiibarengu^en.'gßefc 
rerefyietljer gelj&renbe, ffrjr brauchbare tafeln In ben 3* 
fäfeenju ben log. unb trig. Tabellen. SSerlin. 1770. Sa* 
bellen ber 9>rttnjaljten unb ber Sactoren bet^atylen, mU 
cbe unter 100100 bureb 2, 3, 5 niebt tfjeilbar.finb, von 
3. OTeumann. SJefjäu. 1785. £Rad) einem meefcani* 
ffcen SOerfaliren , weldjeß Ääjlner (Scrtfeijung ber Sit» 

' (benfunjl. @. 567.) befebreibt, befa^Äfttgte pa> mit, bet 
Sßeretbnung feljt großer gactorentafeln Litton $t\ttl t 
efjemata ^rofeffor an ber Sflormalfcbule ju 3Bten, bann 
SKrector ber ©cfcul » uub 21tntenan|ialten auf ben ©raff. 
Sfjurnifc&en J^errfdjaften inö^men, fpater ftcb inJifla» 
bon aufjjatrenb. 3n Jpoberts unb ^belers neuei^j 
trigon. tafeln. 23erlfu. 1799. ftnbe icb @. XLÜI. ange» 



ein« 341 51 

fi^rt: Zafti aller (Infamen 3actoMn ber burc& 2, 3, 5 
riebt tt}ei(boren gabten Wl bis 33600a SBien. 1776. 
S$»l. .Saliner r»gc<i: 0. 0. @.565.,:tag geltet gab 
iwarfaftln bi« 100G0000 CSBtcn. 17760 <mgeMnbtat . 
. («6t. Sie folttt auf jfofien bes Ä. X. ületorium (ibon 61« 
408000 gebrueft gerufen fenn, bie gemje aufläge ob«, 
weil ftcb feine 9tbneljmer fanben, S" Patronen = Rapier 
wrbrauebr, unb mir wenige (Ertmptare verfebont roorben . 
feejn. SO), f. übte bie 8ellelfcben Safetn ort« SRonatt. 
taef». aug. 1800. ©.222., »c-|i* au« einige 91a*. 
Hebten iSbet benSSerfofer (tnbeii. ■ allgemeine beutfa>8i. 
HlMbef. XXXUI. «f. 2. ©.,495. 3ugerr>Jbn(icbeiri 
Setamebe febc bientteb' iß bie ?afel in SSega's tegnritb. 
miftb=tri9. ."Safettt. H.Spjg. 1814. ©. 1—128., «rttbe 
bu! Verlegung ber büreb 2, 3, &jiic&t. teilbaren gerbten 
m 1 bis 102000 tu*)! ben ftrtoi|iib(en t>on 102000 bie) 
400000 «ufjate ; Slit ^timrtfa unb bie goctoren bet 
aitbern gabten Pen 1 biß über eine;3Äi(lion enthalt: Grit 
brum arithmeticum, sivetabnlx, eontiaens nume- 
rus primos etc. ConfecitLad.,Chernac. Daven- 
triae. 1811.. Fol. 98« eine. gortfeliung tjteraon ffC jie 
betrachten: Tables des diviseu'rs poiir tous ]es nom- 
bresde 1020000 a 2038000 par J. B. Burckhardr. 
Paris. 1814. OiatbSegtnbre (Supplement a l'essai 
snr la the'orie des nombres. 1816. p. 61.) batbernun» 
mebt perfforbene 23urcfr)arbf bie $afe( bis für vierten 
STtiuum ausgebest , tuib bie briete nftiflion fen aueb febon 
Sebmcfr. SlngeMnbigt (inbe leb: 3:$. Sutif Safel 
ber einfachen gactoren aller Sohlen unter einer 3But, nebfi 
£4(f»eafeln jnr »eftimmung ber gaetoren jeber großem 
3ab(. 1825. 8. lieber bie £on|rruetit.n ber gattortnta* 
feütf. m. aueb abr)anb(ungen tton (Euter, Äraft unb 
©ebubert über bie ?6el(er ber Sablen in ben Nov. 
Comm. Petrop. T. I. XIII. III. Nov. Act/ T. XI. 
Sombert über Sbeitnng unb Sbeitbarfeit ber labten. 
Sritragf.lt Ä tügel über bie gerfMung einer jufanfc 
mengefefsfen 3°b(. Jpigr. SDiagajin für- üUaftj. 1787. 
©tücf-2. ©egner pon ber auffuebung ber jufammen* 
gefegten 3ab[en. 2>af. ieffoneof SBe'tbjibe We Seiler 



.52 $$rikr . 

«1nee"3<$f ju ftnbett. S&Exmblußgen einer SSfifjm. «prittor. 
gefettfc^aft- &6«1*'4?75. ^{nben&utgSefc&reibuitg 
ein« muett?It(, ttad) einem befannten ©efefje fortgetjenbe' 
galten hurcb 2I6jdftten ebet 2!bmeffen injinbett. £^9- 377 *- 
§. SB. S). © n H I neue unb bequeme 21rty bte gactorenttu 
fefoeinjuricbi'en. @iefen.l80a /$* »ergf- fiob We&cf. 
ptimiafyt unb ©rateflfjenes ©feb. . 
; 11. ©ie Aufgabe, aus ben einfachen ^actoten. einet 
, gegebenen 3^t auch, aftV jufatnmf ngefefjten Sactoren bcr> 
felben ju finben, ifi eine- rein combinatorifcfre. 3B<m fee» 
«adif et nämltdj bie »ecfc&tebenen ^rimfactocen of« einzelne 
combtnatotifcbe demente, unb btfb« bie Sombinafiontn 
mit Sßteberljolmtgen, läßt aber ade bie€etttbinationmweg> 
wo ein Gslemmf öfter »orfommf , als unter ben tytimfao 
toten bet gegebenen 3ǤU nacb Jptnbenburg Combi* 
nationen mit emgefdjränF&n &ieb«b>lungen. <&Mtf>aCe 
^rimfactoren »erfcbieben; fo bifbet man bte SomHnatfo* 
nett o^ne 3Bieberf)of«ng«m '■'-'. 



2 . 2 .2 (,Ji.S Ȁ< ij. ,. . 




. , . , - 2,= 2 , 
... - 3 _ . g .. j 






■•;•■ *» .5" 








■ 3.2= * :. 




2.3= 6 




2 . 5-= 10 , 




i 3.'}c 9 - . 




3.5 = HS 








"2.2 .2 ='■ 8' '■ 




'. 2.2.3=? S2 




2.2.5= 20 




2.3.3= 18 




2.3.5= 30 




3 . 3 . 5= 45 




2.2.2.3= 24 




2.2.2.5= 40 




2 . 2. 3 . 3= 36 




2.2.3.5= 60 




2.3.3.5= 90 




2.2.2.3.3= 72 




2 . 2 . 2 . 3 . 5 = 125 




2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 180 





. 2 . 2 - _ . . - 

12. 3(1 N es a» 0» 3* ..., »o «, /9, y ..., $rtmg<$1ät 
ftnb; fo erhellet aucb leid», bafj ade Sbeiier »ob N, bie 
(Einheit unb bie %afyl fe(b£ mit einsefc&Ioffen, bnrtb bie 

©(lebet bee ^robucts 



, eiltet 3«^(. - 53 

#+•+«■+"■+■■>(<+;>+?<+.. ..+j>-)<i+r+.. •+>»).... 
toraeftellf »erben. XJie SHnjabt ber ©lieber tiefe? <pra= 
tuet«, b. (. bie Slniübl qtter ^bciUr aon N, i|t offenbar 

= (m + l)(n + l5(p + l) Sür ba« obige Sei. 

ffiei = 4.3.2 = 24, »o bi« ©n|eif mit elngefcblcf. 
fn*. . 
3» ber aus ber (EntrclcMung «on 

■ t— x "*" 1— x 1 "''i— x* +••• + i — x« + • ■, • 

entfprlngenbenSieibe: 

x+2i 1 +2x 3 +3*«+2r*+te« 4-2x1+... 

Bei*! ! o m B e r I in feiner Slrcbitetf onif ®. 507. miirrjeitf, 
tnrtjalt jeber Soefftcient fo »iele (Einbetten , ata ber. €rt»e™ 
Bfflt ber entfprccbenbenben *potenj von x Sbeiler §at. 

13. 5ßifl man eine 3attl finben, rcelcbe eine befUmmte 
Slnjofll, j. SS. 24, Sbeiler bat; fa jetlege man 24 auf ir> 
jinbeineSlrtinSdctoren. 3.8.24 = 3.4.2, fo i|r, ' 
»tmi u, ß, y ir 3 (nö brei uuglticb« ^>rtm jablen finb, 
■' ß' 7 M« 8»rm einer 3abl n* 24 Sbellern. - 

M.3ftN=«-/S-y»...iTOn,/S,y,...9rintia6lt»(inb;foi|r 

Sie Suijabl ber ^riinjabien ju N , welebe < N (inb. 

gurN = oN' (inb bie burcb. et teilbaren 3a6(ett in 
ber SKeibe 1, 2, 3, 4, ..:.;. N feine anbern ata: 
«, 2o, 3a, 4a,..,.N«, beren Stajabl fllfo = W i(r. 
äilgud) ifl bie Slnjafil ber burcb a ni*t teilbaren galten 
in obiger ajeirje 

= N— N* s= n — ~ n = N (i — ~\ 

SBeno N == aßs' i|l; fo pnb ade Saufen ber 8ieib> 
.1, 2, 3, 4,.„..N entreeber treber burcb a nocb öurd) 
Heilbar, ober burcb o, or)ne es bur* ß, ober burcb ß, 
efat es barrba ju feun, ober turcb a unb ß r b. i., ba a, 
f 9>rtajabUn (tnb , burcb « /S (3abl. I.). ©an| reie »or. 
i« erbellet, baf bie Slnjabl ber burcb o/S tbeilbaren .3af>' 
Im = N' l(J; bie Start! ber burcb a t|eilbaren = /ro, 
j erffo bie Slnjabl ber nur burcb tt tbeilbaren /SN' — N' = 
(fi— 1)N'. Eben fo 1(1 bie Stn|abl ber nur burcb M* 
*«<n 3ablen in obiger Oieibe=<o— 1)N'. 2>«2ln» 



5* ,,' S^tiltt 

jo^t ber »eber burd) «, nort) tut* ß t§il(6aten garjft» 
(fi otfo * 

= N-(»— »«•-tf-DN'-S' 

bj3 nj3 aß 

. 3'ur N=aft-N'romnten te ber Stelle 1, 2, 3, *,....N 
%al}Un tor f »e(d)e burd) a, ß, y, b: i. burd) c/?y (o.a. 
£).), t^eitbac finb, ober fo(d)e , wellte bloß burtp jnwi, 
ob» enb(id) fotcbe, TOcI4)e nur burd) eine biefer gabelt 
teilbar jtttb. 5>ie 2lnjat)t bec burd) «/?/ teilbaren ift 
»iebor&er = N'; bie Slnja^t ber nur burcb aß, ab»' 
ntd)f burd) /, t^eilbdren = (p — 1)N'; bie 3tn a$( ber 
nur burd) ay, aber nicbtburd)/? heilbaren =(/3 — i)N'; 
bie Sinja^t ber nur burcb #y, aber nicht burd) a , teilbaren 
= ( a — 1 ) N'.- Sie anjaf)! ber ' burd) a teilbaren 
garten überhaupt i|f, wie »or^er, = /?yN'. gotfjlla; 
bie 2Injatj( ber nur burd) a teilbaren Labien 
= AW'— o>-i)N' — o— i)rr — rr 

Eben fo ij bie änia|l ber nur burd) ß ober y tfyeiibärm 
3i^Ien=(ci— l)(y— DN'unbisCo— l)(/S_i)N'. 
golgtid) bie änjaiji ber weber burd) o, ncd) burd) /? ober 
y ftjeUbar'en 3atj(«n in obiger Dteitje 

= N — (o-l)V — 1)N' — (.-1)1T — n* 
— («-D&— DO'— Cj!-1)N' 

, — (ji- 1)0-0 H' — fr— 1W 
woriuts, wenn mau N' burcb N ausbriicff, niie «ott)ec 
Ieid)t erhalten wirb: ' ' 

SEBi« man weiter gerben fann , erneuet (riebt. Sen SSeweiü 
' ganj allgemein ju macben, ferjlt t>icr ber staunt. 

3fi nun überhaupt N = a-/?"j* . . . = aßjr... 
X o— * /9— '}*-'.... ; fo i|l nad) bem S8orr,ergefcnb« 
bie 3Enjar)t b« burd) *>,.(?, y,... niebe tljei(ba«n ga^ltu 



eitia 3«&l 55 

«BtwN, b. f., ti'aiß, y,\.. j5cfatjaifen ffab, M(3M> 

Jobber 5>citflja^fenju Kirntet N- 

T'»(-t)('.-|X«-7)-:v ■ ". 
SilcN=24=2S.3f|ttlefeanja6l=24.(l— £)(1— '•» 
= 8, »nb fcie ritintrn $>tlm}aijIeB jti 2* jiiib ano) »irf. 
li$: 1, 5, 7, 11713, 17, 19, 23., 

3(1 N = a/Sy. .,,i fo ttgleb« |i<6 an« obijet gor= 
«Kl b« anja$( bet $5tlmjnf)fen ju N feia>r 

= (— «y-yo— 1).. . . . 

15. Sit ©umme «Ott Reifet einet 3aM N = 
a~ß" r '.... t(i(12.) 

= (i+.+....)(i H . /(+ .. +/ ,. 1 (i+,+..+,j).'., 

_ «-"— 1 ,»■>>— :i ■ yp *i— 1 

UBbfuti?i=n=;|i=,,.=:.l, . ; 

. _ .-^l - /■■ - 1 , r'-l ' , 

.—1.' /i-i ' r-i •"". 
-(■+i)0>+<)<r+i).. • ■ 
Sär 12 = 2 ! .3lflbie ©umme'bet feilet = 1 +2 + 
3+4+6+ 12 = 28= |=i. ^.=+.$=7,4. 
2[tt<EuI<f« abbanbumg de numerisamicabilibus 
(Opuscula varii argumenti. T.II. Berol. 1750. p.27.) 
flnbet man eine 3afe? bet @ummen bet feiler bet $rim* 
jablen vonl bis 1000, unbibtet ^oeenjen, wotie @nm- 
men jugtricb in ibte ^eimfactoten setlegr (tnb. '■-• 

16..S)ieS6t'l. '©.247. obirc Beweis mifgefbeiften 
SXegeln' oon SJescattes nnb Ätaft jut auffinbung 
befrenntefet Sabien (äffen |i<b $iet betrafen. 3P nämiM) 
A= 2" eint patent bec 2 »on fola>t-48tfo>(ftn(itit, 
bafj 3A — 1 = P, 6A — 1 = Q, 1SAA — 1 = R 
9Mimsab[en (tob* f) )inb 2AR «nb2APQ beftainbete 3ab= 
len. S)enn 2Ap t3 = 2"+' . H, 2APQ = 2"; + ' . FQ. 
Saijlitb, ba P, Q ^timjabien (inb, bie. Summen bec 
Sbeitet Mefecftntiicte na* (15.)=(2-+ a — 1)(R + 1), 
iioR=i{2»'*»— 1J(P+1)C<3 + 1.). a*, babietun= 
tct bie 3a6(eil fettft . raitbegciffen (inb, ble@ummen bei 
ilioiioiattS&uleapp"«— 1)(R+ 1)— 2**' R, Mb, 



56 .' . ViMtHn,- 

3^(i2" + »— i) (p + i) (9+D — 2»t< :pq-, 

9IberR =18AA— i =18,2»— 1. ■ üfifo bi« 
«fie @mnme = ■ 

2»+* . U8 - (2 . 2»« — 2>») — 9 - 2» + 11 
— 2«* t , (ig. 2»m_ 9 , 2» + 1) - 
= 2*»+i . (3 . 2». 6 . 2»— 6.,.2»— 3 .2" + 1) 
= 2-*» . (3 . 2" — 1) (6 . 2» — 1) 
= 2-*' ..C3A ~ 1J (6A— 1) = W. PQ, .'. 

Wie e« fetfn mufj. £>te s»eite ©timme ifl = 

18 . 2J n +* — 18 . 2"" — 18 , 2s«n + 9 . 2*mti — 2«*i 
= 18 . 2J*« — 18 . 2»«+* — 2"t» ..... 

1 ■= 18 . 2)tn — 2»* 1 ?= 2-*» . (18 . 2*» — 1 ) :" • 

= 2-* . h, wie eß fegn muß. 

Um ani) ble a. o 0. mitgeteilte SJtgel »on .Kraft 

&u beroelfen, fen A = a m ß a y p — , m a, ß, y, ... 

<primjat;!m |inb; fo i|}bu@urame ber^&eiler »on-A.— - 

(»»-■IK^'-Dditi — i)... ' • 

(--l)((i-l)(,-l)... . -"- 

©en fo pnb, ta P, Q, R (a. o. O.) ^rimja^tm (inb, 
bie ©ummen ber S&eiler »in PQ A itnb RA V = 

(P'— i^CQ'^ix«^!— n'f^' — 1> 

<p-i)(«-i"H— i)(.j>-i) ■ ■■ 

= a (P + l) (Q + l), nnb 

: (R?—l)f«-*t— 1)^^1 — 1) .... 



-1)(. 

= a,(R+l). 

Sllfo bte ©utmrn b«c aliquoten Steife blefer «probucte 
■(P+1KQ+.1) — PQA, .uoft a £R+l) — ha. 

Oiacb bet äJeSitigKtta. iff ab« 

('■WJW+tJtsB + l, «niA(PQ + H)=.(R+l). . 

aifo bk et(le ©omrae 

bfe imente = «'(H+i) _ (^+. _: a?q) = pqa.' 1 
, SotisO* finb RA »nb PQA amlcabji^aStot. .' 

17. . Ummfiim, mit oftilne gabj p te bec 9feu)o 
1,2,3, .....Nala Reitet »otfommf, tonn man auf 
foftenbe ätt wrfa$ren. Sejeicbna man. »tabuiat tu« 



«ttftt in HU 8rai»e -| enrfaKen« «fflj« tut* ©{£•) ; 
fo (|i bin SInjajt bet burcb B teilbaren (Bliebet . »Biger 
Bte'i*>=±=G(2), ttKllbitfe@lleta offenbar '. •• ',.-.. 

■■.■••'■ Bi 2B,'3B, . . . i (|J) . » "":"■ " 

ftnb, fnbem | '<}(£)'+ lj . B >..'MT<?» m«! j ..ia^ 
bet Sebeufung bes 3<iä)ens G. (J). ©ie än^lber 
tnrd> p teilbaren ©lieber fft alfo ==G (S-), imb..«.. 
fommt fetadt^/ w«»i! s > N» G ( jt) = o ifl, p in . 
oSiget Steige fo Oft «.(«gortot Bot, als G /j) on t ei£(. 
3# aber «q» p» > N; G (p)= °; fo IfT bie %> 
5ar}( bet bura) p 2 teilbaren ©lieber === G 'f^ J , -unb 
fofßücb fommt in bjefem SaQe p fo oft »or, . als . \ fl * 

anjeigt. SÜUte er|t p« > N, G £p) = o; fo würbe 
«nf äljnlicbeaK p in obiger flteibe fo Oft ois feiler »or. 
tommen, als gQ H-.G'(jr) + G (£) anielgf, 
Ueberb>upt'fommt p in ber Dteftje 1, 2, 3, . ... N fo 
oft als Reiter »or, als 

üttsela*, wenn man fcitfe Dfefl&e fo. weit forffefet, bis fif 
»ön felbfi abbeizt. Sür N == 10000, p = 7 t|f; 

„ /* 10000 -v - /* 10000 'S .. _ /• 10000 X „ 

G Q-t-/= 1428 > G {^-)~X* ° QTm-J = * 

_./■ 10000 "\ , _ /" 10000 \ „, - 

Sllfo fommt 7 in ben er(ien'10OOO 3ab>n 1665 SDial als 
feiler »ot. g u tN = 38, p = 6 i|r 



60 £§rifar, 

ge&en,(3.). «flb in-B w»b C. 2flfüinD(3.> 18$ fc 
C «nb D. golgtid} au* in E (3.)- @«St man.btefe 
©cbtüffe bis «t*8 Qäftc':fMf fb .R$cJbC , baß S' auflji« 
Stmfgebw müßte, welches ungereimt iß, ba 8' > S. 
Solglltb giebt e* feinen großen gemeinfcbaftlfdben Steiler 
«tos, un& s iß alfo ber größte. . 

©ans wie in be«SBeweifeötelJterm$tjeifeseigt man, baß 
eine in ]toti%abUn <mfge§enbe B^( immer au* in i&rem 
graten ge.meinfd)aftffa)en SKoa^e aufgeben muß. 

6. 2ia«s biefeet Wßtfiib aueb leid* auf jebe iweig{eia> 
artige @r6ßen A, B anwenben. £Rur ift ju bewerfen, 
baß man in biefem Satt nicht immer auf einen SReft — o 
fommen wirb. <Stni> bie beiben ©röfjen commenfura6(t; 
fb [äffen ße ßa> offenbar in SSejug auf ifjr gem. infcbafrlicb« 
fDeaaß a[& (Einheit Wie ganje 3$Un betrachten, fo-toaf 
man alfo in biefem ^aü immer auf einen SKefi = o fem« 
men muß (5.). ■ ©tnb ße aber incommenfuraM; fo fanit 
fcüss nie gefdbeljett, weil fonß, nadj einem ganj äi>nß ; 
efcenSSeweife wie öortjer, ber (eijte SDibifbr , b. lj. bjetbie 
m6gtid>fl oft abgejogene®riße ib> gemein [i^af f ücfcee SKaaß 
fenn würbe. JJmgefetjrt wirb e« alfo als ein Kriterium 
ber 3ncommenfurabilität ju betrauten feint, wenn beibec 
2fnwenbung be» obigen SBerfa&reiw man nie auf einenDveß 
— o f omtnf. 

7. <EucÜbes(X.il7.) beweifet j. S3., baßbie@ei(e 
tmb&iagonalc eines ^uabratsincommenfurabelßnb. %at= 
row bemerft; Celebratissimumesthoctheoremanpud 
peteres philosophos , adeo ut qui hoc nesciret, enm 
Flato non hominem esse, sed peeudem diceret. 
SÖir wollen bafjee ben ßrengen öeweis bjer einfdbalttn- 
Ueber bie^ncömmenfurabitität bes ©urc&mefferts unb b« 
(petip&me ßelje Öuafcratur (58.) Sie ©igonate AC 
(Sig. *S> fen = a, bie ©eite BC = b. 91(fo a > b; 
Witt b öla £dlbme(ftc befefereibe man um C als tSfiifttU 
»timmtn Atel» ; ft iß (tote 37.) AE : AB = AB : AF, . 

* "" " |££fife& -tRaa>aJer^dlmfß(28. 24.) 




©«mewfcfwfitltdkr, 6t 

■ ; b ±i ■ + 2b ! «+ b, I« >b , ■—*>•, •— fcsr; 
i-b;b = T! b = b : «+b,b >r, b— r >-c,b — * =;f» 
i -I :r= e : r =» : b=«4-2b:«<f b, f>r,f— r>«^ r — »■=*'; 
( -r-:r=r': r=b:» + b,r>*', r — f >•, » — ■ , = f j 
i-i :t'=: e ':r'=«:bi=«+2b:4+b,f'>r', f *— *>m,f— *'=rf-j 
,-t-,i'=i"ir'=b:»+b, •»", ^-Oi, *—*■=,-! 

f-t"!<"=r ; -iy=»l»+b,r~>ir f Y*— •<->•,*-— «-=,-> 

«.f. f. 

&5 W bicfes ©erfahren in'« UnraMuJ« frtfrtta l*. 
nb matt nie auf ein r =■ o Fomnten wirb, Hegt Kar wr 

%n. SKan $at nun . ' . 

• -b=r, ..(— mV «lib+r, . 

b _>■=«;; V— •" =»"> * ='+«. 

I -r'=,"> ,"-r"=r~, r =.'+/, 
V-r"=,". ■"—»-=*-. *■=*"+<". 

«»-/W', ,-'-«"'=<"". r"=^+e"". 
. i.f.f. ..f. f. «.*«• 

y "i=r+r",' a=l.b+r. 

,' =•+«", . b •jiKM-'r'- 

,- =r-+i-;, ■ * =2.r"+^. 

,-=r"+r™, ^=2.r"+r~- 

, ^ir'+r-, ,»=2.i:~+i~. 

«.(.? M't 

Eil Injfetn ©fei^unäin, in wel*™ »,1.3 

' f. f. eine in*« UnenMicK otnt^menJ« *** 

«* tKtt@(ti<|mn$en in (».) s on » ämne^v x. *r» 

"■"nie auf rittr = o fomnrt; f»fB1>* * ■■■■rJiv 

>*l (6.) 

7. Um 6e« (Erp»mnten fcw WiSTuWirm &4* 
«* mtetite ju (in(«ti, btmtOt-mm. *t 
■ * j_ * 



1-jj.C -= ' 

? = *+?-. r=^T 

«. f. f. s~ .: 

Cookie 



-62 •■■.- Sollet, 

a(fo bur* fucctfliBe ©u&ftftutlotl 



*«•' +■;-+■- 



2 + 



2+"- 



©a.a 2 =2 b* (je; f ft ftf ± — JT2, fo baß alfo au* 
^2 blwcb obigen ÄettenbEucb au$gebcütft.H>irb. 

. 8. ©en größten, gerne in fcbaftltcben Reiter meljrcr.ee 
JJaftJen A, B, C, D, E finbet man, iwenn man fcen gt6g= 
fett genielnfcbaffficben Reiter a Don A, B, bann von a, 
c, = b, bannttonb, D, = c, unbo'onc, E, =rd 
' fn$f, inbem nun d ber, größte gemein fcfcaftlicbe feiler öon 
A, B, C, D, E i|l. ' SDa namfieb d in c, E, aber ein 
b, D aufaßt j fo muß. offenbar aueb d in b 7 D, E auf« 
geb>n. 9hm gebt aber b in »,. C auf. 9ltfo auiib d in a, 
C> D, E, unb folglicb aiid) in Ä, B, C,- D, E, baa 
in.A/ B aufgebt. Solgticb ifl d ein gemeinfcbaffHcber 
SbeHer. ©abe es einen großem ä, fo tag d' > d; fo 
geljt d' In A, B auf.' Slffo aueb üf iljrem griffen gemeint 
fdjafiticben Sbefter a (5.).. §otglic& in a,, C. 2Ufo wie. 
ber in bem größten gemeinfftaftiicbenSfieiterb (5.)- ©o 
fortfcbtyeßenb. finbet man, baß d' in d aufgeben mägte, 
»jeWfees ungereirnt i|I,/ba £'. > d. Slifo giebt e$ feinen 
firö|ern gemeinfd?afrtidb«n. SbeHec af? ä. . - 
«■ 9^ 3>a* 1 fteinlie..gemeinfd7aftti*je Sßi'elfadje 
ober ber ftefnfte' gemeinfdiaffticbe 3>iwibuuff 
mehrerer ^(en, beim ©(eicbnamfgma4*en ber.25rüd)e gc= 
ti>6ijnticb ©eneratnenner genannt/ Ijetßt bie fleinjte 
%at}t f in n>etd>er aDe gegebenen Saniert aufgeben. 

10. gilr jn>ei3#en A, B wirb -es gefunben, wenn 
man baß größte gemeinfcbafelicbt 5Jiaaß m »on A unb B 
fuebt/ unb bamit inbeibe Sagten bitn'bfrf. @eijt man 
bann A: m = a, B: 91= b; fo ijf mab baß fleinfie 
gemeinfcbaftUcbe £Oie(facbe »on A, B. S>a nimlufc 

unb B in mab auf, unb mab if? alfo- ein gerne in fäjafrticbe« 
Sßie(fad?ee twn A unb B. Um min ju bemeifen, ta^ mab' 
bau hetnjle gern ein febaftfiebe Sßielfatfee ift, muß man juer|t 



(^„bsPÄMwc»*» «tiitttaf**«*. njWfS&eV 
mehrerer. 3 a ^tcn tum ü>retn fleinßen gemeinfä)afrt«6*£ 
SSiflfacben V gemeffen reitb. ©Inge nämtltb V nicbt in 
Vf. aufss fo- f«f J&MS pT.+ .i» 1»6 v < V. ' »Ifo 
v'~- pV == ,k>,j-S>>, sk», t^i^egticnai 3<t^leai«Be \» ' 
Y.ink V aufaßt .jft itbm fit «ile; ta jpV und otteb m 
V'~«-pV, t. Mit, v : , auf (30- 3»la,lW M<1« antb > 
tin genteinf<bqf|liti><s S8ielfad;eb<tiaea.ebenen galten ; affo> 
Vnltbtbo,« tfclHlJ«,,)^ y < V^.gtjen bie SSoraiutfeliiins. ; 
Stfgu^nmf y,:s=o:|jun!, pb.ethyjn.yf aufgeben." .384(16 
um mab nicbt ba« f iejn.fie 8em»infcbaft(ia;e SBieifscbe mit 
A,.B;>fe?!«-v.ii®itiittl)l ^ls= g, etatf-gana? 
3«6I, tele fo tttüWiittfm, otti'gljl > i, ba V < mab, 
Seomtn V: A'==«;v:B==j», »o«, /» sante,3ag(ctt 
fi»b, ba V ritt gemeinfcbaftlfcbe» Sßielfatbt ton A, B ifi; 
fo Ifi T == A« --st B/J. S5o Tg SS mab = ma . b, 
= mb.a.= Ab S=s Ba = A«g =3 B/Sg ifi; fi' if( 
b== «g, a = /9g, unba, Kraben 'bemnaa) noä) eirt 
aemeinfc&aftlid)«« SDlaat] g .> X'i ' »elcbe« ungereimt Iff, 
baa, b nof^enbig relatibe ^rimja!}(en fennnmfferiywetf 
m bae gr&fjte gemelnfcbaftllcbe aRaafj »en A> B 1 feint 
fei. 5Iffo Iff mab ba» fWnfie 8<tne!nftbafrtia;( SDieli 
fa(bet>on A, B. ■"■' 

1 1. @of ba« Heinfie gemeinfcbafellcbe SBietfacbe Hielte. 
Wt Sagten A, B, C, D, E gefucbtraeitoert ; ja fucV matt' juetji 
»an A, B ba« f (elhfte gemelnfcbaftlicbe S)lt(facbe = a (10.) $ 
bann ba« »ona, c,==b; bdnH ; ba«t)onb,D,=:c;/banrt 
ias tton c, E, = d; fo ifi d ba« fteinfie gemeinfcbaffUcbe 
Söielfacbe affergegebenen Labien. ■■ $>afj-alle gegebene^* 
fen in d aufgeben muffen , unb bäfj folglich d ein genteftti 
fibaftlicbe« SSieifacbes berfelben 1(1, erbelet obne nwiter« 
. £rföutetung fbgteia). flßäre aber nicbt d, fonbern V 
ba« fieinfie, fobafiV<d; fo Witt V aueb ein gemein* 
fcbaftlicbeS SOielfacbe »an A, B, unb e« ntüfjte alfo a in 
V aufgeben, ba a ba« fitinfie getntlnfcbaftlicbe Sßielfäcbe 
»on A , B ifi ( 10. ).. ©ans auf af>nlict>e 91« auf» mm 
aueb b ; alfo aud) c , unb ganj eben fo a'ud) d in V aufge* 
btn,t»efcbe« nicjit moglub ,i(i, ba V <d. Sllfo -ifi i 



04 ; fftgfll) l *Ö . » .'3 

»« *fti*fe gt»*»W>aW* SOfctfc*« i- ** S*SfB«tt«e 

•--:■ Shilling ewier «SrSfe, beratet J&-&rfc$n& 
»erfc«KB in j»eij.oMt-Wf[Ji*fte drf&erc'öteicfcärHgc ©rtjjeif 
«tf 'Hm fM*e -&r»v tw# WAr^ fcoa -$ufhtjnun , ht$tnen *rt 
trfalwnen @r$0*n =bje gegrfwae tbiebtt^je^iwirb/SMefc" 
©ögt» nennt man bann ^%ic'{ l e bt* seg'ilbenen; ®a$ 
(Sanjeißaffen. feinen -^ffeÜ (ufamm^n'^en^trimen gltfcfr/ 
aber £ro#ec als "einer- ttbW^toiat feSner-^eftY,' (inb-S^ 
famttc ©turöfaße ^r aasemetrien ©ißßrnl^«.- ©fe§* 
A ju Bin dner feiert S5fs^«ag ( ta§. Biotop jnetf<m*>. 
iige'5f&eba$oumg von A.ej^aUen n^jen famt; fo Ijefßt 
A em a Uo, u f e^r, Sftejt »fln B f ■ unb B wirb bann ein 
Sßietfadjes tun A genannt., ^ebes SßieifocEK eines aliano.» 
(m ^.fjciie einer ßr6,(w fjeifjt ein aliquanter ^ei£ 
becfy&e.n* 3We ©riidbe fittb aliquoCe ober aliquante -%Hfe 
' ber (Einheit. ©U^etiungberSÖer^ttnige, f. SÖer&aft* 
ntg (15.). Jpler befragten »ir nur bie Rettung bet 
3a*t)fen anb (fettycn @r&|jen. £>cß j'ebe ©r&£e in'ts Un« 
entließe teilbar .fen, leibet In ber SKatijematif feinen 
3»eifel; - lieber bie Rettung p§9fif$cr Äfcper pnb ptyfc 
raiift&e IJBerf e na#}uje$en. .... 

.- 4., 5Die- ^fieifang ber $ä$Uti in eine gegebene $(n* 
'Jtnjl gtetcfcer Xtyilt,. ober Oberhaupt bie Teilung na* g<» 
gebenett ^err>ä(tniffen Ier)cen bie £>f»i|wn unb bie ,fog<» ' 
nannte ©efetffcbaftstec&nungy- »ocaber btefe 3frttfet öa#* 
jufe^en .jinb. 

2. SÖon ber Teilung bet -Jagten (de parti* 
tione numeforum) iflbie Ueberfifcrift eine« »id)tigen 
Äayttelß ber Introductio. in Analysin infimtorum 
(T.L Cap.16.), worin (Eufet nad) einer fe$t feinen 
3ttet$obe bie Stoja&t ber m&glicfren 5lrfen oufoufinben fudjf, 
auf »eltfre eine gegebene gänje ^at)t in anbere ganje 3afj» 
len geseilt ober jertegt »erben fann. ©tbon Öeibnift 
fiat auf tiefe Aufgabe gebadet/ benn in einem ©riefe an , 
3oIj. 33ernou((i (I669.) fragt er biefe«, ob erwogt 
gefugt fjabe/ auf wie »tele Sitten (ine gegebene 3afjl in 
-,..-- .Google ■ 



Wi bre», «nb meTjrete Stjeüe jtrfegf werben Wmte, 
Stfe ahi'fföfung f«§l er tynju, f(beine tljm fd;wet, 46er 
twrtf) jtt fenn, baß man jie .fucbe. 01ocb weifet ausge« 
fityrt (jat (Etiler i?tc Uttfcrfudjung in Den Nov. Comm. 
retrop. III. 1750. 51., «rö> in bet Slbljanbfamg de par- 
titione numerorum in partes tarn numero quam 
spwie datas, Ib. XIV. 1759. 

3. 3>ie Aufgabe bietet jwe»8a*llebar, jena#bemmanbfe 
Ungt*i4)^eit aütt einjefnen Zfytiit jur Öebingutig macbf, 
ober ba6 Sßorfommeit wiilfitytltcb viel» gfeieben Sfjeüe 
plattet. (£uter gt$r üott jwe» fetjr (eidjf buteb" 3«» 
buction unb ben ©djfug 00m nten auf ben (n + l)teit 
Sali ju betwifenben ©äijeti aus. 

SBeim man bat! ^cobuct 

(1 + xS)« +. A)(l + ■*•)(! + A>... 

nad) ^ofenjen »ort z entwicfett; fo 'I 1 i eber Soefjtcieijt 
«net ^otenj toon z eine ©umme »on potenjen beft x, 
twen (£rponenfen ermatten werben, wenn man bie (SomfcU 
nationett ofjne SBieberJjofangen bet foofelten Ätaffe , at« 
tct (Exponent bec entfpredjenben fpotcnj »011 z ongiebt, 
für ben £tia,tv a, /?, /, J «. entwitfefr, unb alle einjelnett 
Sombtnationen als ©ummcn betrachtet. 

@anj baffelbe gilt »on ber (Entwitfelung beö SBrud)* 

, 1 . 

fi-*V(s r- A>(i-A)(i - A).,.. 
iwcb ^otenjen sonz, nur baf man jtaft bet SomBtnatio* 
itm oljne SEOieöerfjotungen, Kombinationen mit SBieber* 
jungen fe|t. 

3» Beiben gaffen fann bet feiger als begranjt »&« 

uoegr&njt gebaut werben. Die Seweife übergeben »ir, 

»ril f« ft<b burcb »irflidje Gntwicfetung bet obigen 

Sunetiönentn Dvett)en teict>t ergeben, unb bann burcb bie 

j «njätjrite ©cblu^art jut Allgemeinheit erhoben »erben. 

4, 0lunfeftema«tti=l-,/9=:2,j'=3, <T=4ic, 
l Btjeta>nt bie betoen obigen Functionen burd) F unb F', unb 
I bereinige alle bie $totenj<n »on x, beren Sroonenten ein« 
I «6er gieid> finb, mit ftnanbir; fo «weben bie aCgeraemen 

1 v. e .• , l( . 



66 , %&äm. . ' • 

®S,bttber EittwWrimignt m>» F ( i* »o» brt-8»«* 
Nx-z», N'x"z» ftgn, unb au« betn Obigen «gi«ta M> 
mm»ntnitt«(&at, bog btt Sotfficitnt N ongi«bt, »le ef» 
Me a«6l n «fyie S85i«betb>lung eine« Sbdls, N bagegtri, 
reit oft n mit »iOfufitlicber SBit&trrjohin«, «in« ?r)eit«, 
au« p SCiebern bit 0teir)e 1, 2, 3, 4,-5, ...... jm. 

famraengefelst rerebin fan», v»o »übte biefe Stett)« ateifc 
aranjf ob« «l« unbegtanjt angenommen watx» fann. 

'5. Stimmt man nun biefi 3teu)e als unbtgrinn an; 
fo Oft (i* a(fo bit 3<ü)l n auf N »tcfcbi«6e»« ärtm mit 
' Wc»ebingungberUngleicbb«eaIIer^le,lnp'S6>lle, mit 
wrjIatt«errci[Ifäf)rli<b<raBi«b?t&ofon8 eine« jtbtn Sr>it« 
bagegen auf N' »erfefeiebent Strien in p tytilt («rltgen. <£« 
i|taber 

F = . 

1 + x <x + x-+x» + x' + x> +. .,.) ' 
+ x> (x» + x* + 2x* + 2x« + 3»' + . . .) 
+ x' (x« + i' + 2s' + 3i» + 4x" + . . O 
+ x"(x" + x"+2x" + Sx" + sx" +...) 
+ .' (x" + x" +2x" + 3x" +5x'» + . . .) 
+ i . , 

F = 
i + . <x + x-+ x'+x< +»■ + ...) 
+ s' <x' + x» + 2x* + 2x' + 3x' + . . .) 
+ x" (H + x' + 2x> + 3x< + 4x> + . . .) 
.+'i> (i< + x- + 2x«.+ 3x> + *• + ;■ ■) 
+ x- fx' + x' + 2x' + 3x' + Sx> + . . .) 

. +.': 1 

Weit« fortgcfeljt in Introd. in A. jnf. §§. 300. 304. <ES 
fann alfo |. 3. 10 auf 4 «erfcblebene Sitten in 3 ungleiche 
Steile (1 + 2 + 7, 1 + 3 + 6, 1+4+5, 2 + 3 + 5), 
bagegen |. 8.7 auf4»erf<6i«6ene. Sitten mit »ermatteter 
SSieberrjofung in 3 St/eite (1+1 + 5, 1+2 + 4, 
1 + 3 + 3, 2 + 2 + 3) jerfegt werben. 
• 3|t ber geiger bie be(timmfe 9ieu)e 1, 2, 3....o; 
. fo beliehen fid> bie Belegungen aud) bloß auf Verlegungen 
in ©Ueber-biefer beftimmten Dteibe , obne ober mit SBte* 
berbelungen, tveiebe« immer ju bemerfen iff. 

-6. @efit man z == 1; fo n>erben bit allgemeinen' 
©lieber bec <£ntwictelangtn »on F, t offenbar DIz, 



MV, unb mm jelgut ble Soefftctentett M, M' an, ottf 
wie ot(U wrfcbiebene 2lrt en bie 3al)l n überhaupt in 3$eite 
e^rte ober mit SBieber^oImigen jerUgt netten fömt, o^ite 
3M<ffi#t auf bie Slnjaljl bei Ifjrtle. 3Han ertyiit 

P,= 1 + x + x* + 2x» + 2x« + 3x» + . . . . 
F:= 1 + « + 2*» + 3* 1 + Sx* + 71» + • • • < 

fo bog atf» j. 3. 5 auf 3 Sitten te nngleidie, auf 7 arten 
bagegen in S^tite uberb/utpf (erlegt werben fann. 2>enn 
es l|t 5 = 5 = 1 + 4=2 + 3=1 + 1 + 3 = 
1 + 2 + 2 = 1 + 1 + 1+2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1. 
7..®eo 

F = d + x«k« + *''K 1 +" , > 

= 1 +Px + Q«' +R>» +. . .. 

J -I i; = (l + x.,)(l + x>.)(l + x'.)... 
= 1 +"Px* + Qx'x 1 + Hx a i' + . . . 

wenn man xz f»t z fetjt. äff» 

F = l + P J x. + Q( A'4B| x*x s + .*■. 
+ l| +'P| +QI 

voran« fi*, wenn Man btibe ämbrfltfe Don F mit. ein. 
anber «ergleic&t, leWj« ergiebr. 



*■■" (l-x)(l-x')ll— X-) ", 

S= ('l_x)ll-x.Kl-»')(l-'*) ''* 

nr* tu« «IgemeitK Stieb biefer Soefjidentenrenje, ». $. 
ttt £»tf|icient t»n f, offenbar: 



(1— «)(»— x'JO-x") ., .(1-x*) 

3>l«fir Srn* (n eine 0teit)c a»f8«(8fe<» 8><« «'* «HS«"* 
»e«©Beb»o»F: - ■ g 2 



60 3$*Her# 

g^rt-CS.). ^pinBtmfrC, 3HfomD(3.). $((<> in 
C «nb p. goigliA aucb in E (3.). ©e§t man. tief* 
<Scb(üffe bis an'ö (EhVfprt; fb er&eßet, bo£ S' aucb in 
Snrofgeb^n mufft, Wei$rt ungereimt ifr, ba S' > S; 
golgticb jjiebt eß feinen grögern gemeinfcbaftticben trifft 
0$S, iuh> S Ifl atfo ber grifjte. . 

@anj wie in bes33ewe('fe3lc($ferm'?.ljei(e jeigt man, baß 
eine in jwef IJafiten aufgejjenbe %d)i immer aua> in ir)rem 
größten gerne infefca ff tiefem Sföoafje aufgeben muß. 

6. 2HIrt biefeö Wfrtfty «ueb leicht auf jebe jwei a>tcb= 
artige @rifjen A, B anwenden. SRur t|) ju bewerfen, 
fea| man in biefemgaH niebf immer auf einen £Se|t == o - 
fomtwn wirb. ©inb bie befben ©r&ßen commenfurabef; 
fo laffen fie fieb offenbar in Sejug auf ifjr gern ,. infcbaftlicbea 
Stta.afj als Gint>ctt Wie ganje 3aJj(en betrachten, fo baß 
man aifo in tiefem ^aff immer auf einen 0teff = o fom* 
ntennwß (5.). @inb fie aber incommenfurabef; fofantt 
feietf nie gefcbcljen, weit fenff, nad> einem ganj äfmö» 
eben Söeweife wie »ortjer, ber (eijte ©tuifor , b. r). irfec biß 
tn&g(i$(t oft abgejogene ©rßfje ft)r gemeinfcbafrtiebeg 3Raa jj 
fenn würbe. Umgefetirt wirb et) alfo als ein Kriterium 
ber 3 nco nimenr»rabtUtät ju betrachten fenn, wenn bei bec 
3fowenbung-bes obigen 533erfaljtens man nie auf einen iKeft 
= o f omint. 

. 7. (Eu'cfibeet(X,117.) beweifet i. 25., feagbie@ei(e 
unbSMagonaie eineft^uabratgiincommenfurabelfinb. 95ar= 
r W bemerf t : Celebralissimum est hoc theorema apud 
ceteres philosophos, adeo ut qui hoenesciret, eum 
Plato ' non hominem esse, sed peeudem diceret. 
Söir wollen bafjer ben ßrengen Seweis bjer einfcbalten, 
tleber bie^ncömmettfurabitität be« ©urebmeffere» unbber 
{Peripherie fietje Üuabratar (58.) 5DU 2>iaonale AC 
(3i9- 1"0 fe» = fr ble @eite BC = b. Stlfo a > b; 
SÖiit b als Jpalbmefjet befrbreibe man um C als WattU 
■ punft einen Ärei«; fo Ifi (Är«ö 37.) AE:AB=AB:AF,. 
■ — b: bssbi a+.b. Oiacb Sßer^Itnip (28. 24.) 
erfcäft man ljierau*Uicbt; , ■-.-■<■ .... 



(Betmiöff&äfWidjer, 6t 

a — b:b-=r:b = b; *+b,b >'r , b\—r >o',i '— ir '=e; 
b — r :r=f: r = a : b=a+2>:«-f-b , f>r, j" r>o, p— r=r'j 
, f — r-.r=zx':x=h :a + b, I > *', r — r'>o» r — t' = f; 
i — r" :r'=e':r'=a:bt=a+a:a+b,e'>r',('— i / >o,p'— r'=t"( 
e '— r-tr^r-'tr^b^+b, r'>r", r'^r">», • — r"=*"; - 
r' _ r" s r" = e ": t"= a : b=a+2b : a+b, : e ">*", j"— i^X*^"— i^=r'"j 
f w — r-ir"=i i -:i^Äb;»+>,i">rr r y— r*>o»tT— *rfc e "t 
«■ f. f. 

£>ag ft$ tiefes $8etfa$Mn in'« UtiftibfiAc fotffegett tä^ 7 
unb man nie a.uf ein rspo fommen roitb , liegt flät so? 
2uifjen. 3Ran$atmm .'. '.'.'.'■'.", 

* — b=r, , j— r==rV &ezb4**f — ' 

b — n= e ;; e '_*' — r"V 1» =*+*,' 
r -t*= e ', e "-r"=r" > k =*'+/, 

VV*W; ,--.«"•,**"-, fdnr+r, ' ■ " 

. «. r.f. «.fr f. .«.f. f. ... 

■•(r"«*+yv «=l.b+r. .- i .. . 

.' P" <='"+/". ■ > -2.«' +#•-. ., ': .. ., * 

■r-*"+*'"', *=2.f+tr. , ■< . 

, *""=r""4-i w ", t "=2.r"'4-r"". 

tu f. fr tol'V ■ ■■- 

3>ie latent ©teidbungen/ in weW&jeh a) t, r, r/ r", V% 

ii. f. f. eine in*« Ünenbticitfa&nV&menbe' Stelle bi(beit,^m 
mit ben ©(eidbungeii in (4.) ganj einerlei Sorm. ©a matt 
nun nie auf ein r = o t onratf; fb jiiib. a, b incommhifus 
ta&tl(6.) . - , :■ 

7. Um bm (Exponenten be« SBet^äftniffe« ber ©lago* 
ttale itttb @efte ju pnben, beinetfe man, bog 

b - „ , r* * i 



V.Google 




-62 Seiler, 

SKfo burcb fucceflttte ©wfrfHf ution 



»• T 2+t- 



3 + 



rv-. 



©da* =2 bMfl; fo 1(1 £ = ^2, fo tag atfo <ma) 
j^2 bü*a> oWgm ÄelttnbEtflb atu*a«b*Htft.wiri>. 

- 8. 3>n größten gemeinfa>aft(iä)en feilet mttyngt 
3<if)(etiA, B, c/ D/ E (Tn&et man, wenn man ben gt&$> 
(eR g<memfä>aftHd;en feiler a toon A, B, bann von a, 
C, = b, bann »on b, D, = c, unb »on c, E, = d 
' fud)f, inbem nun d ber gr&ßte gemefofä)ofrt((6e feiler »on 
A, B, C, D, Eiff.' 2>a namfid; d in c', E, abet ein 
b, D aufgor; fo niuß offeRbacau^dinb, D, E auf: 
ge&>n. Sßun gef>t a&er b in «, C auf. 9Ufo <w# d »' a / 
C> D, E, unb. folglich autb in Ä, 15, C,- D, E, baa 
in A, B aufseht, golglid) i|f d ein gemelnfa>aftfiä)et 
S&eiler. ©abe es einen -größern a' , fo baß d' > d ; fo 
geftt d' in A, B auf. Sllfo aud) in intern gelten gemeint 
fajaftltcfwn XfatUt & (5.). Sotglid) in a, C. 2Ufo wie« 
bec in bem griffen gemeinfo^afflic&en Reiter b (5.). ©0 
fet^fcr/lje(jent>. finfcet. man, baß d' in d aufgeben müßte, 
W$cb/S yttgereimt iß, ba &'; > d. 2üfo giebt t» feinen 
flyqftto gemein f<fc<ift.lfa>en Reitet o,l*d. . - 
=.■■' 9^ 3>a* .f (ein|Je-g<nieinfd?affli(&je S01'e(fa.*e 
ober ber fteinfte gemclnf$afc(icbe £>tuit>uu.s£ 
niedrerer %afym, beim ©(eiebnamigmaihen ber 23rudje ge= 
h)ß[)nticb ©eneratnenner genannt; Beißt bie tUtnfte 
Batjt , in welä)er alle gegebenen ^abfen aufgeben. 

10. gür iWei^atiten A, B wirb. es gefunben, wenn 
man baö größte gemeinfcbaftüdje SSJlaa$ m »on A unb B 
fitc&t, unb bamif in- bet.be Sagten biwbtrt @e^t man 
bann A ; m ™ a , B : ci = b; fo tjl mab feaö fleinfle 
gemeinfäjafttttbe £8(e(fat&e von. A, B. X>a nemlid) 

nah mab . mab mab _ :« . iL „„i;„_ * 

unb B in mab auf, unb mab (ff alfo'dn gerne in (djafrfidjes 
Sßieffacbets »on A unb B. '■ Um tiun ju beweifen, t>a$ mab 
fcaö FCcinfle gerne infcbaftlfcbe £0ielfaa>e t(l, muß man juerfl 



®tmnffiafBfytt. «* 

r ^,.wmiiw<*mt&mwtm*>t mm** 

mtftrerer. 3a$(cn von ihrem fleinjlcn gemelnfebafrtftbeB; 
Slielfad)«n V gemeffen »irt. ©Inge nämlicb V nicbt in • 
r y uifj;fi>;j«fKi,=S.PY .-):;«; .»ftv < V. ' 9Mfo 
T^irr- pY'==ywj!&>, JluivWoi^egebenen jiabbr.rfe f* ' 

V unb V «ufoiflKfliJf' 3<6a» (it «Se; ins ,pV. und «aitb-m 
V'-fpV, t. i,,in,v;auf,(30- 8»(8«* ttütt an* v, 
(in 8tm(inf<i!q'{(ii$(|«S8itIfa#(.t<ll«<8e»<iltlt3(«)Ie»i «ifc» 

V nicbt og« Eleinfle,, Im t < V^jm Ue S&>nuuife(iing,. : 
S#gtob nmf v,s= o jjitra, obfl&yjn^aufgrbm/ SSifti 
min mab nic&'t. ba« fianfte gemeinfibaftliebt Sffieifacbe wn 
A, BJ fo |S».«--Tiii®»«B l|j -^i £= %t «Ine s««»t 
3a6t, wie fo eben' 1 oeWef«n, mtb/gllt > 4,'ta V < mab, : 
6er, mm V : Ä's=s «; V ; B == f, »o d, ß ganjeigaijlert 
(int, ba V ei» gemeinfcbaftUcbt* SSieifatbe tun A, B ifi; 
fe i(l V == Act -so B/3. S>a Tg =' mab — rna . b, 
= mb.a= Ab £± Ba = Aag = B/9g ift; fo iff 

b == ßg, a z= /?g, unb a , b' babett 'bemnaä; no4> eilt 
aemeinfdwftiidje» SDlaafj g > : I', reettbe» ungereimt Iff, 
baa, b not|»enbig celatiBe <p'rimja£i[en fenn müfien, weif 
m ba« grofifc gemeinfcbaftiiebe SSIaaf »an A> B feon 
fol. Slfi i(l mab ba« fbtnfte gemeinftbuftlirbe SSiefc 
faebewn A, B. ■"" 

11. ©öl bo«f(ein(legeiiieinfitof((io5e!8le(fac{« niedre, 
«r Sohlen A, B, c, D, E gefuebt werben ; 'fo fua)e matt'suecji 
wn A,Bba« ftetn|te gemeinfcbaftiicti« SSIeffacbe = a (10.)s 
bann bao bona, c, = b; banB : ba8t)onb,D;==c;,banit 
MM.c, E, = d; fo l(i d toi fielnffe gemeinfebaftllebe 
SOietfadje affer gegebenen ^Urx. &afj-at[e gegebene Säu- 
len in d aufgeben muffen, unb baß folglich d ein gemein^ 
fihaftliebee 58ie[fa4)ee berfelben Ifi, erbeut! obne weiter» 
. (Erläuterung fog(eid). HGärc aber nicbt d, fonbern V 
iaefieinfte, febafrV<d; fo wäre V aucb ein gemein» 
fcboftiicbes SSieifacbe tton A, B, unb es mußte oifo a in 

V aufgeben , ba a bas freinfie gemelnfc&aftliifce SOielfacbe, 
»onA, B ift(10.).. ©anj auf abnUcjie SIrf mujt« nun 
aucb b ; aifo auch .c, unb ganj eben fo aucb d in V aufgc= 
Ben, weicbes nicjit mSglith . ift r ba V <- d. ä(fo -tfl 4 



tat mt$i s"l*it»«fiil#e raMfa^'t*Kg<ätSoii« 

äJ^J*. ■ , ,:.:■« . ... 1.« V.--.V ■-■■;•■ 

>i ■.:,.:. ■, ; ■!» •-"••. .•■'■■•■ ■ ' '■"$ • '" '■ f .■=!=---■ 
: S^Tung einer «rjfe, BeRufet ?Äe-^ttfct(ii^ 
»»tfetbe» in jttti)'0«i .«Ittyi*»" d»«re-ä(tr*Äiige Srtf rf 
auf rit» fMebe *»;> Baf» tu*«) ton -JuptmenKeljtneh »ei' 
erbetenen fflrSfjen DK gegebene »lebtr-theugt.»!!*. ©fefe . 
erJfje» nennt man Dann^tite w|%Ibenen; ©a* 
©anje ((Jonen-feinen St^tikn jufamrJiert v geVVeinnien gWa>, 
«itr grtfjer aunln« »l&rdnigt fiiter^r/ette/ fjMD.it> 
fotm'a-tft«t*P(e'Sir.öa8«nHlritB : iSS8fftnr«|«.. ©frbj! 
A ju B in einer foWKftatjfefitms, tofj. BcDunt J»ieljrn.a> 
lige äBiebecbouing twi A,ejib<aten njet&tn fann; ft>. Ijapt 
A ein ai.quotcf.^.etf lün B»uob B.-»wr& bann ei« 
$3ielfact)ee; »wt A genannt.. . 3ebe« a3ielfa3K eine« aliaao> 
ten ZtyilS einer ffirftf« fceifjt ein aliquanter Ztidl 
Derfeiben' 9lüe Srücbe fmb aliquote ober.aUquante ^eilt 
berguifceit. SJieSfjeiiung Der SBerpftnffti f. SBerfjait* 
ntf) (15.). .gier betrauten wir nur »ie 4jei(nng btc 
jja'&fen twtt> ffetigen ©r&gen. £>afj febe .©rofje in'« Utu 
«nblic&e tb/ilbar fen, leitet in Der 9Hau)ematif feinen 
Saeifefc - lieber Die 5r)elliing ptjnfifcbtr ÄJrprr finD 'tljjfi« 
fatifcpetSJerfe nacbjufeijen. 

,. 4., Sie- $b>Uung ber.3arj[en in eine gegebene 31«' 
jaljl gleicher Steile, .ober überhaupt Die Ableitung nacbge.« 
gebenen SBertjaltniffen lefycen Die 23iwifton unD Die .foge» ' 
nannte ©efeflfc&aft&recbnung,- worüber. Dkfe 2Irtifel naä>* 
jufefyen ^tnb. " 

2. SSpn Der Geltung Der 9»lj(en (cusparä- 
tione numerorum) iff.Die Ueberfcbriff eines wic&rigetl 
Äapitelß Der Introductiö. in Analysin infinitorum 
(T. L Cap.16.), tpurin (Euter naet) einer febe feinen 
SBietboDeDie 3ta|ab[ Der moglicben 8rfen aufiufinben f«t*r, 
auf wetcbe eine gegebene gänje gabj in anDere ganje 3a&> 
len getbeilt ober (erlegt werben tan«, ©cbon itibni« 

' bat auf Dt'efe Aufgabe gebacbf/ Denn in einem Briefe an' . 

. 3o$. Sernoulli (16§q.) fragt erbiefe«/ ob er wobt 
gefua)t itbt, auf wie »lele arten tine gegebene 3abj in 



3*kö, tety, «nbitt^Wt $$dfc jerfegt twrtwtt «nue, 
3>fe Sluftöfung fest er fi/inju, fcbriia u)m fcbtver/ aber 
wertr) m fenn, bafj man fte.fucb». Sflocb. weiter oueg«^ 
fiiljrt §at (guter bie Unterfudjimg in ben Nor. Comm. 
Petrop.HI. 1750. 51., unb in ber Slbbanbumg da par- 
titione numerorum in partes tarn nuinero quam 
specie datas, Jb. XIV. 1759. 

3. ©ie&ufg«beifeMswe»$«u*ebar, fenad)bemmanbf< 
Ungleichheit aßet emjelnen V)tiU jur Söebingung macbf, 
ober bas Sßorfommen rciflfityrltd? vieler gleichen Sfceile 
gemattet, fiulec ge&t »ob jwe» feijr leidbt bnrcb,3n« 
buetion unb ben <Seblii(} vom nten auf ben (n-r-l)tm 
Satt ju beroeifenben ©cu^en an*. 

SBJenn man ba* ^robttet 

nad) ^otenjenvon z entwftfeltj fo iff jeber €oefficIent 
einer 95otenj von z eine- ©umme von ^Potenjen beet x, 
beren (Eroonenten erhalten werben/ wenn man bie Com6i= 
Rationen otjne 3Biebert)olungen ber fovietten iffaffe, al« 
btr (Erponcnt ber entfpreeftenben fpofcnj von z angiebt, 
für ben feiger a, ß, y, S «. entwitfelt, unb ade einteilten 
Kombinationen als ©intimen betrachtet. 

©anj baffelbe gilt von ber (Entwitfelung bes Sritcbs 
■ . i 

nad) QJotenjen von z, nur baß man ftatt ber Kombinatio» 
ntn oljite SEBiebertiolungen/ Kombinattonen mit SEBiebecs 
Rötungen feist. 

. 3n beiben Sitten fann ber petger afe begranjf ober 
«nvegranst gebaebt werben. S)ie 23ewetfe übergeben wir, 
weit ftc fid? bureb wirflicbe (Entwirf etung ber obigen 
Functionen in SKeiljen leiebt ergeben , unb bann bureb bie 
erwähnte ©eblufjart jur Allgemeinheit erhoben werben. 

4, manfeftemana— l-,/?=2,y=3, *=4ic 7 
Bejeicbne bie beuten obigen Functionen bureb F unb F', unb 
vereinige atte bie ^otenjen von r, beren (Erponenten ein« 
anber gleich (inb, mit eütanber; fo werben bie allgemeinen 

V. ■ <£ GooqIc 



66 . 2$tfla»3< . •' ; 

ggetet ber enttdcfelittigen »on v, r* »on tw.Swtti 
N*w, "mV*» feon, unb au« bem Obigen ergieto M> 
min unmittelbar, ba|S ber Coefficient N angiebt, nie »ft 
tit 3<»)[ n ofyie SBiebert)olung <"« <frW/'» bogegen, 
reit oft n mit wilfubtlid)<r SSSieberrjoIung eine« 3fci(«, 
aus p ©liebern ber Dtti^e 1, 2, 3, 4,. 5, ...... jb« 

fammengffeejr werben fan», wo wieber Hefe 3Mt> altt«*» 
gränjt ober als unbrgranjf angenommen werten fann. 

'5. Blimmt man nun biefe Keir)e'ols unbegranjt an; 
fo läge fit) aifo bie 3<u)l n auf N »erf*iebene Sitten mir 
.berSBebingungberttogleicbbeir aller ?f)eile. in prelle, mit 
wr|!all«er"»iafiu)rlia)er SBiebett/olung eines jeten $&eil«s 
Sagegen auf N' »erfdjlebene Strien in p iljeile jerlejen. £e 
i(laber 

i + x (x + x' + x',+ x< + x' +..,.). ■ 

+ «* (x> + x* + 2x» + 2x* + 3x' + . , .) 
+ ■* (>« + i 1 + 2x« + 3x° + **" + - - ■) 
+ s* <x"- + i" + 2x» + 3x" + 5i'« + . . .) 
. + *« (x»» + x" + 2x" +■ 3x" + 5x'» + . . .) 

+ ......, 

r = 

1 + . (x + x- + «■ + X' + X« + . . .) 

+ i* (x' +x> +2x* + 2x> + 3x» +. . .) 

+ x' (x> + »• + 2x' + 3x' + 4x' + . . .) 

.+'»• (x» + x'+2x< +3x> + Sx" + ...) 

+ x' fx' + x' + 2x' + 3x' + 5x» + . . .) 

.-.+ .': i 

Weiler fortgebt in Introi in A. inf. .$$. 300. 304. tjs 
fann aifo j. 33- 10 auf 4 »erfc&lebene Jlrten in 3 ungleiche 
Steife (1 + 2 + 7, 1 + 3 + 6,1+4+5, 2 + 3 + 5), 
bagegen i- 25. 7 auf 4 »erfcbiebene. 2Irten mit »erftarfeter 
SBieberriolung in 3 Steile (1+1 + 5, 1+2 + 4, 
1 + 3 + 3, 2+2 + 3) jeriegt werben. 

• 3|tber3eiger bie befummle EXeibe 1, 2, 3 a; 

fo bejiefjen (icb bie Verlegungen auct) blo|j auf Verlegungen 
in Slieber-biefer be|}immten SXeibe , obne ober mit SSie. , 

, ber^olungeu, weicbeo immer ju bewerfen i(f. 

.. 6. -@eijt man z == 1 •, fo «wrben iit allgemeinen' 
©lieber ber (Entwicklungen MB F, lf, ofenbar Mi, 



MV, «I« mm geigen ble «loefficienten M, M' on, auf 
ntit titlt »erfäjiebene Selen bie 3alji n ubrrfjauoe in Sljeile 
e$iie obet mit aSieber^olutigen jetiegt »erben fomr, otjnt 
Süd |t#t auf bie änjiifil btr Steile, fflton ertjUe 
p,= 1 '+ x + x» + 2i* + 2x» + 3«' + . . . . 

FW1 + x + 2x* +3x* + 5x« + 7x* +. . . . 

fo batä olfo j. S. 5 auf 3 3rten in unahi*«, auf 7 arten 
Dagegen in 'Sijeiie uberfsaupr jerlegf werben fann. ©enn 
e« 1(1 5=5 = 1+4=2+3=1 + 1 + 3 = 
1 + 2 + 2 = 1 + 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1. 

7. .©et- ■■'•■. 

F = (l +x*)(I + xH)fi +x'x) .. . . 

= 1+P. + Q.'+IU' + 

r -p S = <l + *'.)(l + x'i)(i + x<.) . . . 
= 1 +"Pxt + Q.V + Hx'x' + . . . 

wenn tnanxz für z fest. Sttfo 

F = l+Pl xi+ Ql x'i";+K|x'i> + ., . 

+ i| +'P| +QI . . 
woraus (1$, wenn man beibe Shttbtucfe MR F mit eh» 
anbet »ergießt, lenjt ergiebt: 

P = Ti;,Q=Ä.a = T?xV.«- 



Q = 



(l-x)C»-«")' 

(1— XKl-x'Kl-*") 



5= a-xJll-x'Xl-«"»!-»*) ' 

unt> Da« ««gemeine Stieb tiefet goefj!citMeiitei$«, b. t). 

brc Eoefficient »on **; offenbar: 



(i_i)(i— j'Xi- ■«•)'.-. -li-» ) 
©iefet St»« |n eint 0Seü)t anfgttofet 1 8><M «<« Wj««* 
nts©flrt»onF: - ■ g2 



68 S&tilima. 



wo atfoN anselgt, wie oft n + &£- In » unglei«e 
Wjeile («lest werben '«0». ©» ° 6,t N *" offenbar OoS 
aJgemeiqe ©lieb >« Entwicfelimj bes S}ru*s 

(l-i}(i-i'Kl--')-l<->") 
' »'• fo »tigfN au* an, tote oft n bur* abbition au« Slifc 
' bernber 0teif>e 1, 2, 3 . .: . « lufommengefelit werten 
. fann. Sie« siebt folgenden meefwurbigcn ©als : 

auf eben fo »tele arten als eine 3af)t n au» Mietern 
ber SHeifie 1, 2, 3 . .. e. tue* abbitten trjeugt wer= 
>en fann, lägt fi* bie 3<»)< n + ^r 1 "' '» ■ nngleKfc 
Steile |erfegen. 
8.. @eo ferner 

F = 1 + Fi + qv + rv + ■ . • 

"'-'■ 'il-*!!''-*!-'' . ' ■ 

= 1 + n. + QVz" + R'x'z> + . . . 

_i| _F.| -Qi| 

fo fübtt, wenn man bie beiben austrmfe «on F' (1— xs) 
mit einanber »ergleid)t, eine ganj ä^nlkbe Seljanblung wie 
Borger ju bem ©aßet 

Suf eben fo fiele Sitten at« man eine 3«W n au« be« • 
©liebem ber SRetye 1, 2, 3, ... o bura> abbitten tjm 
»erbringen fann,. auf eben fo «tele am» lafjt fia) au* bie 
3abl n + a in « Sinuc jtrlegen. 

9. Sa» allgemeine ©lieb b(t entmiefeiung »Ott 

• ■ (l— i)(i— «■) • .-. (i-»"> • 

.fei) NVj fo fann n auf N' »erfebiebene aneit au« bett 
3ai)ten 1, 2, 3, ... « jufamtnengefeljt werben. 3>a« 
allgemeine ©lieb ber (Entwicfelung »on 



d T ,)|i-tf)„.liJ| 
fe»M'x = MV c ~".x ; fo rann n — a auf M'*er= 
fa>iebene arten au« ben 3ab>tt 1, 2, 3, . . . « jufanfc 



S&eifoitj. • 69 

«Mgefeisr »erben. 3iejr man bfe obigen SSriftt unt> 
Seüjeneoneinanberab; fo , erhalt matt, rcenn ber S8ru<fr 
Clircb 1 —i" aufgehoben wirb, 6a« allgemeine ®Beb »or 



= (N'— M')jc", fo bajjatfo n auf N' — M" W 
fiiebene Srfen au» bin Sajjlen ber 8tei!>e 1,2,3,...«— 1 
pfammengefeist werben fann. SSejeiebnet baljer 

L' Me S9!eng< ber arten, auf wtla)e n an« 1 , 2,. 3, 
...« — 1 cnfflefjcn fann; 

M' bie Menge ber Sitten, auf weld)« n— o au« 
1, 2, 3, . . . . a enfficfien fonn; . 

N' Me ÜStngt ber arten, oufweltbe n au« 1,2,3,...« 
«Wen fann; fo §at man bie 9Ce(ation I/=N'— M', 
N'=L' -f-:M', aber, wenn man überftaur-r bie 2Inja§r ber 
3«fammrnfesunj,en einer 3af)I n au« ben 3aI)Ien 1,2,3, ...« 
&«ro) n<»> bejeictmet: n<"' = n<"-<> + (n— «)«, wo. 
»iü nur ju bemerfen, bafj, wenn « > » i|ü, offenbar 
i'* 1 = jq(w, unb bofi immer n»> = nW-«> ,+ 1 :ftmt 
"urtj, weil junt n — » augenfcbetniiä} nur. tuxfc bie ga^t n • 
Ol« 3«fammenfefcung ber n aus 1 , .2, 3, . . . n ejinjus 
hau. aBeil nun immer n(» = ni"-<> + oi»; fol(J 
ä&«fyiupf o<"> =s' 1 jn feijen. ' ' Jrn"erna$ J|i e« .nun [eio}r 
f"%nbe $afe( ju c«n|truiren, wo in ber erflen SQertifai; 
anb JjoriäOBtälreUje bie 9Bertb.e »on n unb-« (te&^tt, unb. 
in rem Xturtbfcbnitt ber ehtforecbenben SBetfifot- unb-J^a> 
r*nta!rei^betSeri6^onn«|tcb|inbet: ■ 



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29 


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41 


42 


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16 


27 


37 


44 


49 


52 


54 


55 


12 


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47; 


.58, 


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.70 


73: 


75. 


13 


1 


7 


21 


39 


57 


71 


B2 


89 


9* 


97 



W* SßO^AUs Vmfmctim bcc tafcC «* 12m bfe 

um. <£«tft n&nUd? 

131» = lim + II» ss 1, 1»*1 =s HP) 4. 10» s.7,* " 
U« ss 12TO + »1 = 19,12« = 1**» + *«> = 31, 



12P*1 = 12W 4- 1«» ss 76, 1204 = 12<»> 4. OT"! sa 77, 

SctjCftfcr tjltw^afet M« 69<"> fortgebt 

■= (^—)<"> + {._.+i)<— » + .<•-» 

= i—.yM+f»-_.nj°— "» -n«—*!)«-».!..«»- 3 ' 

K. X. 
= *—)«> + (»-.+ ,)<—«> +.. + C — 1)«1, 
olfoftita = n: 

.<"> _ .*> + I*-*) + i°— » + 3^-ä) +_+(.-l)<» 

0Mge%tf<( statt mm on$, nm pt •ffümmtn, in wireid : 
IfcriU eine 3<njl strftgt anbot fann. 

Sit Stgrtcnt 3a^( fto = m anb junäiif! JU b(pm= 
mm/ »it oft m in <z nngiriibt 3fjtüt jtrUjt retttxn fann. 
6t 5 m = ^±iL +I1 , (l ,( i(I1=nl _!^+o. f, 

Uft (!*!»* (7.) bit3(u)(m fo oft in a naglridje SJtifc 
Htfcjtn, ob n = m — i£±-!> aM eottttn «« SX* 
$€ i# 2, 3,... a jafammtngeftgt »trbtn fann. ^uc 
m = 24, o=5, ift n=2* — 15=9. 8(fo 
fann infb( 9 e o«t Softf 2t <uif 23 ttrf$Ktat «««> in 5 
nngtriifr Sb>i<« |trttjt »n*tn. gut «• < •'**" f 
t)a« Stfut&t« ni*t mJjHcb. ge Oft (i* |. 8. 32 nnf* in 
8 nnglttfc Siriit prfeja, bal + 2 + 3 + ... + 7 
— 28, 1+2 + 3.. .. + 8 = 36, jutte ja oxnig, üfc 
ft« jtl »irf i(l. 3(| m = ^i2, n = o; fo i« noa} 
«flu OHjen o») = 1 ,n fa«. ®o Ifl j. S3. 36 nur auf 
tat Srt (1 + 2 + .. + 8) in 8 unglei*. $b>ih j«(e 3 6ot. 
«3oB oitt 6t(Hntmt werbtn, »it oft m in a Sb>i(t 
mit tapmun ÜBitot^ountstn jaitjt mtrttn fojtn; fo 



foms=a+n, bann IflfWe gtfrftfr gutf £= nM (&) 
'SJr m= 16, *(= 9$ n =m — <* = 7, imö 7<« 

cp 7<» = 15/ olfo 16 auf 15 »ergebene 9Irten in;9 
SE^Ke jertegbar. . gür m = 32 , « == 5 , n = 27 , ift 

nwnn bie 'Jafet weitet fortgefeijt würbe, . nt->:=480, f ft 
bajj atfo'32 auf 480 Strien in Steife verlegt »erben fanu, 
§ic a>mi({ bas ©efucfrte natürlich unmoglidj. 

10. ,3>er jweiteSljeil berSfofga&e üBer bie Reifung 
beeilen, wetzen Suler imbttü^rt getaffen f>at, bu 
0t$t in ber wfrflic&en Slitfthütmg ber möglichen ^nfiüatü 
gen. Um biefen $ljef( f>at fea) £inbenburg »orjiiglidfje 
Skrbienfle erworben/ intern er bie 5lnodjfi8 mit beftimrtü 
ten Dtegein jur 2luf|Mtung ber t>on ifjm (»genannten Sems 
binationen ju beftfmmten @ummen bemebme. ©offen 
alfb }. S5. üfle möa.lid?en Verlegungen D«3ai)( 12 (n 52E>eHe 
«nn&icfelt werben; fo entisicfcU man bie (Kombinationen , 
ber 5cen klaffe jur Bumnie 12, wojh im 21«. £cmbina= 
tum. IV. Einleitung eriljeilt ifh 3)ie Beilegungen in 
un^eidw ^eile lüften ftct> aus tiefen leidbt aintfonbern. 
t£«Urs Unterfiidjungen Ijat »orjugfid? ber berühmt« 
$ao(f weiter verfolgt, unb (Te auf bie Integration gewifi 
jir ©ifferenjenglei^Mingen rebucirf., Faoli Opuscula. 
Opusc. IL Memoria della Sqcieta italüna. T, L 
P. IL ^uo>iii»ergleicben: Lacro ix Traue ducalc. 
HS. etc. III. p. 461. Eiiler bemerft nod), ba$ um 
bo*$>tobuct - 

P = (1 +*)(t + ,»)(( + r*}(l + x») 
. = 1 + px + <Jx* + n* + ix» + . . . . . - 

ju entwirft In, swfefjenfen: 

Y+i = 1 + px* 4, qx* + rx* + . . ., 
P==*t + x + px* + px* + qx* +***+.... 
teOtOU* p = 1, <[ = P, r === p, • = $ t = €[,:«. f. w. 
P = 1 + x + x» +V + ** '+ x«. + . . . 

folgt. $erau* trgie&t fia; (3.), ba bie (Erponenten bie 
tiMürlicfcen 3<iljten, bie Soeffjclepten ade = 1 finb , baß 
(tbe 3aljil au? b«n ©fiebern ber geometriföen 9teu> 1, 2, 
4, 8, ic-, ober jtbe nur auf einmal ofae SOUijy^Jun» 



99 S^eitatiä. '; 

$«t jufammengefeljtritttben tau Wfo f an» man mitSe. 
»l*teni>on 1, 2,; *, 8, ic. s jebe!o|t »Miganjen^nbeit 
«braigen. 9)H( IS, 2 S, 4 »; 61« 512 9 J. 8. jetx 
1 io(l 'feie 1024 S, wei*e« bie ©uirnne tiitf« ®emi*te ift . 
' 11. Ar ?inicnf ftsitung fytften ble alten 'tne|. 
terr Sefonbere SIrfert. Si( Reifung einer grtaben Shtie m 
g(ei*e4f)ei(e, unt) na* s«grt)enenSQ<rr)ailniflill (e^rt £u= 
t Übe« VI. 9.10.,, bie J&albirungfeefcmbete 1.10. 

12. X>ie 'Sieituna ein» itttk a no<& bem äujtro nnt> 

mittlem SBerrjaltnijs (Sectio in extrema et media ratio- 
ne. Sectio divina) verlangte a fo in jwei St/eile x, y 
ju trjellen, böß, wenn x > y,'a.;x = xiy. ©. $$. I. 
6.91; @. 109. Stent, IL 11; VI. 30. . 

13. SBa« matt r;armi>uif*e' Teilung nannte f. Xfy. n. 
0.698. Um AB (Fig. 1.) fiarmwtif* in tb/ilen, (ie&e 
tnart na* bem wiflfufa:t(*en Dimere P bie Sinien AP, BP, 
ne&meinAB fcert q>unft C wißftiljtti* an,'- jie^e CE mit 
AP paralef, matte CF = CE, unb tiefcje FP; (i> i(i AB 
in C,X> barmonif* gert)et(t. Senn es ifi AB:BC = 
AP : CE = AP i CF = AD : CD. Sie Sinien AP , BP, 
CP, DP fielen jjarmonif aleu. P i|r WiHfu&rli*. 

14. (Elite #aupteigenfd)aft ber fc,armontf*en Sbeilimg 
ift, baß, wenn man (Fig. 2.) bie Sinie GK mit einer, AP, 
ber #armonifalen parallel jie^t, srolf*en jroeien ber an- 
*ern $artnonifa(en, bie|e Sinie »on PC in H iialbirt wirb. 

* gie^t man namli* DM mit AP parallel; fo i|i AB : BD — 
AP:DM, CD:AC = DL:AP. aifoAB. CD:BD. AC 
= DL iDM.- aber 'wegen ber ^armenif*en XfyU. 

, (ung AB . CD = AD . BC. golg'lia) BD . AC = 
(BC+CDXAD+CD)^=AD.BC+(BC+AD+CD).CD 
r= AD . BC + AB . CD = AB . CD + AB . CD = 
2AB . CD. üllfo au* DM = 2DL, DL == LM-, unb 
folg«*, weit GK mit DM parallel, au* GH = HK. 

15. 3iei)t man umgefebrt bur* bie Snbpunffe G, K 
unb Sie SRItte H einet geraben Sinie GK »nb »ur* etaen 
wiafüfjrlicben 9}unftPgera6e Sinien BP, CP, DP, unb 
mit GK Sie 5>oraMe AP; )b (inb tlefeüier Sinien £arm»» 
«Kaien, b. i. j'tbe j»if*en tynen gelegene- gerabe Sinie AB 



£f*ilMlg. -53 

-Wirb ton i^ fyMMfö^tföitifMtt. girijf man nam> 
Ibt> DM mit AP parallel; fo Ifi, »tif it au* parallel mit 
GKunbGHirrHKifl, MKIB&asLM, DM=aDL. 
©ftnj wie »orljer cr^dfc man AB.CD : BD. AC = DL : DM. 
aifo BD. AC = 2AB.CD= (BC + CD)(AD + CD) 
= BC.AD+AB.CD,AB.CD = BC.AD; AB:BC 
= AD : CD , 6. 1. AB in C, D Ijatmonifcb gebellt. _ gib 
gfelcb etEte Utt tynaue , bap jebe 'jwifeben £armonifale'n 9f = 
jbgene gerabe Sittie Pön ifmen fyarmonif* geseilt wirb. 

16. @inb AB; AB' (Fjg. 3.) jwii Ijarmonif* ge> 
teilte Jim'en; fo f*neibe'n BB', CC", DD'eitianber in ef< 
nem 9>uncte, ober ftnb parallel. @*neiben CC', DD* 
einanbetinP; fo jiffye man BP. Schnitte tiefe AB' in 
B"; foteäre, ta BP, CP, DP, AP Jjarmonifalra finb, 
oud) AB" fyarmonif* geseilt (15.). 2llfo wäre < 

AB'.C'D* = B'C.AD', AB".C'D' =B"C'.AD', 

Woraus bur* ©ubfraefion : 

B'B" . CD" = B'B" . AD'. 

gofaii* Cd' = AD', unb, wegen be« Obigen, aucD 
AB = B'C', welcbe» ungereimt i|t. ,31lfo rnuf B" mit 
B' ufammenfallen. 

17. SBnut »on ben enbpunften E, F (Fig. 4.) einet 
&tffnt na* einem brieten fünfte G gerate Linien EG> 
FG gesogen werben ; fo wirb berauf tyr ©ebne fenfreebte 
£>ur*me(fer von biefen Linien unb bem Äreife tjarmonif* 

geteilt. SBian jielje AE, AF, GD; fo i|t, »eil AEGD 
ein Sßierecf im-JSreife, BGD == E AB = FAD = HGD. 
äifo (Sreiecf 9.) BD:HD= BG:GH, unb BG:GD 
= AB:AS = AB:AF, GD:GH = AF;AH. Sllf» 
au*BG:GH — AB: AH, woraus, »erglicfcen mit bet 
elften Proportion, AB: AH = BDiHD. 

18. ©(fenbetö gel)&rt au* no* r)iert)cc bie Sectio de- 
tcrminnta (Ity; I. @. 293.) bis SIpolloniuS, unb in 
gowiffer 8Sucffi*t au* W< Sectio rarionis (Sr)(. I. «3. 1 14.) 
unb Sectio spatii (tyl I. ©. 116.). 

. 19. gär ffltobä fe unb praf tif*e «(Ironomie finb Sljel. 
tungen einer Sink ober eines Sogens in eine grojje $nja$ , 
gleidper Sljelli filjt »lätig. Jpnlf«mittel baiu (tob b«r tw= 



74 .' ■ S&rihwfl. 

jungte aBaafiftab, Sranewrfalen , WH^gfftft^fetberOte* 
tt'iu« ober Sßernier. £fft »&»(*♦ eine Smfe » in » glefc 
<fe tljeife geteilt, fo- (feilt man tiefe SiRie «utb in n—1 
gleite SfeiU/ fo fcoß a = nx = (n — l)y, 2>ann ift 



unb burd? bfeSKtfereni y— x >»irb olfo a in n(n— 1) gteidje 
^beile gereift. 3>ie ton — 1 gleicbeSfelle geseilte Siniea 
feig t ber Sß o n 1 u 6 ober SO e r n i e r , unb wirb fei 3nffr ume n-~ 
ien jHr2ä^genmeff»ng als ein neben ber©calaverfdpiebbatcs 
©tucf SOiefftng, bei Äfetmeffmi in ©efktf eines folgen 
Sogen«, angebracht. Bep ben treffliefen SHftöt'fcfren 
jpeberbarotnetern — wie xofykn tiefes S3nfpiel, um ben 
©ebraua) bes Eßonfus reefe beutliä) ju maefen — ift bie 
©cala unmittelbar in fetfbeXinien getfeilt, unb ber 0flo» 
. nute ifl ein an ber ©cala »erfebfebbarce ©tuef SDleffing, 
bureb weldb.es bie Saromeferljöfe abgefebnitten wirb, unb 
auf weltfern 26 feilbe Sintert in 25 gleiebe Pfeile geseilt 
finb , fo baß alfo fcier a= 26 . 0"',5, yr-x = 0"',02, 
Öe? fo ffeinen pfeifen , wirb nun offenbar immet «in 
$fet(ftri<t) bes konfus mir einem ^feiffttiefe ber @cata fegv 

genau jufammenfaBen. ©enbiefemSfeilfh'icfeftefe auf fem 
loniu* bie gabia; fo ifi berufet! besSRonius bis an 
bas £tuedfftlferni»eau = ay, unb ber entfprecfenbe Zheii 
bet. ©ca(a= ax. Settern gfebtbie @eala unmittefbar 
cm. S)a ab« y > x, ay > ax ifl; fo iff nu* bas Sfeit 
ifenoy — ax ju meffen. ©Uff« ifl = a(y — x)=* 
«. 0"',02 f unb folglieb auf biefe 3rt bureb ben Dtonius 
unmittelbar gefunben. 3>n Bequem (idpfeit wegen tragen 
bie Pfeile bes Sflomu* bie geraben 3a()(tn »ou bis 50, 
febag alfo f?Qttadgwtiid)2ct auf bem9Teniits|?et)t, wel= 
<bes bas Slblefen erlefrfeert , inbem a . 0"',02 = 2« . 0"'0l, 
fo bajj alfo bie ^aljlen bes SFtonius unmittelbar 0"',()i am 
geben. 0taa> tiefer (Erläuterung, wirb ntan ftet) leiefe in 
ben, SRonius eines jefen aübew^nflruments finfen f&nm«. 
SJJ. f. aueb aber bie @ef<bicbte bes SRonfas nnb feinen Gc= 
flnber Äaflners 0. b. SR. III. ©. 353., @eom. Siblj. 
II. 38. , ^(tron. 21bb. H. ©. 142. , wo au* *o# »iele an* 
- fere SBaebtttfet» äfer feine, tfeil«ng<n ju ftnfen. - 



20. t!t&«r SBInfef. Hüb S3oge»tlSt«ungen f. n. ben 
&tife( Srifection be« Mlnftt«. Utber bie Srjeiuiug be* 
jiniui^reifeäbenattiftlSDielttt, Sterbe fäc ben.Sun|i> 
[« eroucbbare^beiurageinier^obe, roelcbe nur ben ©ebraucb 
tK«^icftls, nicbr beeiimealöerbeifcbf, giebt3Raf<bcroni 
&ttoiKdb««3itf<te, ilberf. ». Sciifon. SBeelin. 1825. 
SDhfcberoni fucbf namlicb ben ©ebraucb be« Sineafo 
cotr bet geraten Sinie bei gcomerrifcben £onfiruct(patn • 
aus juffbltefien , weltbet;, wegen ber größer» ©enemigfeit, 
bk ber btojje ©ebraucb be« Sirfels gewahrt, für praftifebe 
Weiten niebt ebne SSBicbtigfeit ift. 

21. Sagnn'S iBJetrjobe (Mem. ie Paris. 172*.) 
3BlivMsomeffen,'ober aud) Heine Vftiit bonünien mit 
gegebenen Sinien ju bergleicben, befielt in Solgenbem. ©et 
gegebene SBinfel ober Sogen feo = a. Solan jiebe « fo 
«ff es angetjt bon ber r)a(ben ^ertbberie 7t ob/ unb finbe 
jr = um +»/?;. eben fo berfat)re man mit ß ift SSejug auf 
e, twbfmbe a = n/j + j' / ^=py + cT, y=q<f + e, 
«.f. f. SJtes gtebt (eiebt 



bae^Btttjatfnlg »on a (uir, befto genauer, je weiter man oW. 
gl« S8erfar,ren fottgefetjt bat. gär bie 83eftintmimg fiel, 
ner Sbeile geraber Sftaien Tann man boffefbe Söerfabren auf ' 
Unliebe 91« anwenben. Sßergl. S8erjja(tni(j. (5.) . 

22. SGon ber Teilung ber Sigurcn burefc geiebmitig 
«nbburcb SXecbnung ift febon in. bem Srtifel gigur (32.) 
aiisfiu)rlict) genug geb/anbelt. 3u ber bort angeführten 2U 
irratur ift als bas ausfubriiebfie SOerf über biefen Segen, 
ffonb jefjt noeb jn ermahnen: ©eobafte »on ©rüfon. ' 
tyßt. 1811., wo bas SBort ©eobaffe iit feiner eigentlichen 
etr-mologifcben $3ebcutung gebrauebt ift. Stofjerbem nod) 
S^ciftiant Serjre bon ber g(orne(rrfd>e»u»b4fonomifeben 



76 atyeorem. 

«fttt^Hnng ber$etber. @8tt. 1793^, unb fflfc J^Irfc^ 

gebmetrifcbe Sufga&erf. <Erfle ©ammlung. SBert. 1805. 
©eben (S « c l i b e s fofl nfeer tie '?t;eitiitig *er gigiir eti ge= 
febrieben fabelt. (Proclus in Euclid. p. 20. 40.), 
Jicuffiöeig ober to Jiepi dmitftaemv ßißtiov. ^oljantt 
£) e e in i£iig(attt> fanb ein arabifebe« SOtamifctipt de di- 
■visiombüs superfieierum »ßlt Mahometus Bag- 
, dedinus (etwa fm 10. 3a!jrfj. ». £.), gTaubte wegen 
feiner t£teganj, baß es Feinen Araber jum SSerfciffer §abm 
f&nne, legte es bem Suelib ben, ÜBerfelJte es in'sSatein, 
unbubErlicges an^eb. (Sonthtanbinus, berees beraub 
gobl Euclides de divisionibus, cura Federici 
Commandini. Pisauri. 1570. SDiea erj<U)[r@C«* 
goru infeinem (EucUbcft. 59t. f. aueb .Saliner in ber 
Sßorrebe ja bem angeführten SBerfe von ££)ti(nani. 
S5ie ©cbrtft i(iin©regorn« Ausgabe abgebruef f. Wl o n* 
tuefa (I. p. 216.) nennt (te un assez elegant traittf. 
©cbon@at>iüussweifeIte, ba£bie@ebrifttfon <Eucti= 
b e *, tjerruljre. 3nbef? »|t bie ©acbe ntdjt als ausgemalt 
onjufe^en. Slucb @ar^ (Deinterpretibus et explana- 
toribus Euclidis arabicis. Halae. 1823. p. 5.) fü^rC 
unter ben ©driften be» (Euclibe t aus arabifcben©c&riff> 
fieHem ebenfalls librum de divisionibus a.Thabeto 
emendatum, unb p. 38. unter ben ©cfcn'ften bee>?fia= 
bet 23en Sorrab eine ©ebrift unter bemfcl6en 3,'ket an. 
23. -J>k Teilung eines .£a(bfreife$ unb einer (Eßipfe 
ttacb einem gegebenen 93erf>ä[tnt|fe aus einem gegebenen 
9>imfte be« ©urebmetfere liijtt Äeplerö Aufgabe. ' (Eine 
Rettung ber Äugelfiäc&e. f. Äugcl. 51. 

■ TfytWtm, f.2eb>falj. 23efonbew merfwücbige unb 
Wichtige Theoreme werben oft bureb Befonberc Senemum» 
gen ausgejeie&net, ober nacb i&rem <£rftitber benannt '%. 
®. Theorema binomiale, berbinomifc&e &t)rfafc; po, 
limomialt&eorent ; ber nntfiagoräifcbe unb cote|tfcbe Sebrfrfc ; 
^aofors unb 2agrana.es Se^rfa^e; S^rmate unb SSJitfonß 
©a^e in ber S&eorie begabten, ^arrioti) Xebrfag. 

-■■ Xfymettfö, f^&eorie. 



Zf)€Otie f nennt man in ber SWot^matif äJerljaupt 
bie S£Jr rbinbung aller ficb auf einen bejlimmtm ©egenjttmb 
6<ji*Eienben @äjje ju einem |rreng f^fiemattfoben (Bangen, 
Mb? ber 2Irrife{ ©gfrem verglichen werben tarnt. 23ei= 
fiwle finb tote $$eorie ber 35Jnomia£'£oefficienrett/ ber 
Kombinationen , ber gacuftä^it, ber ©(eicljungm/ u.f. : 
f. Theorie des fonetions t|? ber 'Zltti einte wichtigen 
SHkrfes »on Sag ränge, worin bie ©rtfnbe ber fojenann* 
tat beeren ober 21nati?f|ö beö UnenbÜc&en nach ganj eigen- 
tpmlicbert Slnfitfctcn rein analrjttfcb entmiefdr |nib. 23 1- 
jüut Ijar eine Theorie generale des e'quations, welche - 
wrjKglicbber £er)te »on ber (SKminafion gettibmet ifi, ge* 
fc&rieben, unb Saptace in feiner Theorie analytique 
des probabi Jites eins ber rieffinnigfien SBerf e bes menfd)* 
(i*m ©eijtes geliefert, worin bie 2efire von ber SäJa^r. 
f$tinttcbfeit (ehr ausführlich unb f)c>cb|t fcbatfftitnig ent* 
»Welt ift- 2Iu$ ber angewanbten SOiat^marif gelten u. 

2. ^ftr^er (Suler» Theoria raotus enrporum soll-- 
forum s. rigidorum , Theoria motuum plane tarum 
et cometarum, Theoria Musices , »orjügücb aber bie - 
Theoria motu s corporum coelestiuro, in sectiöni- 
bus conicis solem ambientium Bon ©au jj. . 

&ietb>ortfcbe$ftronemietefjrtun*bje wahren Se«: 
tutgungen ber SßJeltf 6tper fennen, nacfcbeni fie in ber fphaifi* ; 
Wmi betrachtet worben waren, wie (ie bem Slugcbefan 
Ne (Srbe gebunbenen SSeobachters erfa>einen. ; ; . ., 

3>er Stjeorie enfgegengefeßt f)t bie fprariö, wtfebe 
Mein ber Theorie gewonnenen @4^e auf SJorfätte bee ge= 
mtinen Xebenfl anjuwenben firebf/ woraus j. 35. ber S3e* 
griff einer praf ftfc&en ©eomefrie ober getbmefjfunff,. praf* 
tftat ÜRec&anif , u ; f. f. enffpringt. Sie prof tif<*e 2lffro=. ' 
onnie tvtbtilt nebfl einer genauen itennfmfj ber ^nfn-Ua 
nntc, Anleitung $11 afironomifcbm SBeobacbtungen unb 
9ttt&nungen. * ■ 

$ljeorefifd)c ©äije nennt man fotefie, {nwetc&en 
%nb eine 98afjr$eit auegefproeben wirb, bie alfo irgenV' 
eine Setjauprung auffleüen , einen wicftitben 2(nha(t baben. 
Satafebem fte feine« ober eine« SJtweife* bebürfen, nennt < 



78- 3$ewi$, , 

raanffe Bru«*>e*tt S'«r)tfn(<. ^SraltlfcbeSaJe 
»erlangen immer etwas ju tbun, unb finb, auf abnlicbe 
Set wie Sie vorigen nnterfcbfeben, eriraeber $orb ernte*, 
gen cbec3tnfgaben. %u afleti biefen fommeti bann im 
niatbnnatlfeben @o|teme nod) Sr f Urungtn, 3ufatje, 
unb änmerfungen übet ©cbolieri. 

.Jfjeeftfcfr, f.t^rfc. 

Thesis, nennt man btn jroeiten Sljeil in bem 5Iue« 
bifurfe eine» 2e$r|alje«, bie Folgerung aus ber 23orausfe= 

. ijung ober Hypothesis,. bie eigentliche St bau ptu na, 
bes ©a^eß, ba« TOaß berciefen werben foü. 2« iff' gut, 
sorjüglicb ben bem Unterrichte ber Anfänger, beo jebem 

' @aß.e bie j&npot^ejta unb ?beft« immer lireng von einanbet 
)u fonberm 3*®* H yP' SSJenn, in einem ©reietf jwei 
fetten einanbet gleicbfmb; Thes. fo finb aucb bie benfe(= 
ben gegctmberftebenben SSinfel einanber gleich, ©er ©es - 
»eis i|i immer jnnacbft aus ber $r/potr)e ß« Ijerjultiten. 

S^Utmfitmige 3«!>t; f- <P»tgoibatja&t. 

liefe, ^eif t in ber ^erfoediM bie fenfrect)te Stttfer« 
nnng eines hinter ber tafel liegenben fünfte« tun berfefc 
benftfarfren« änfangegrimbe. ia. @. 97.) ©cbiefe 
Stefe be» fünfte« s City- HL Kg. 145.) nennt Aar. 
fie n (8eb>tegriff VIL g. 147.) bie Xinic SA. 

Tractio, f. Stactotia. 

Jracforia, Tracer!*, "Tractio ober and) 

Suglfnie l>ir|)f jebe £ut»e, Ben nxfcber ber jrelfdjen 
bem Serubrungepunfte unb icgenb einer anbern gegebenen 
Cur»«, »etcbe bie SJirectrlr genannt wirb, [iegenbe 
Sbeif ber SBerilbrenben eine conftante ©tSfje fjat. SXefe 
confiante ©rj|je foH ber gjatamefet genannt unb buc*> 
a bejeicbnet »erben. 

1. (Eine fottte Eures enfffe$t, wenn ba« eine ©tbe 
«ine« »oHlg biegfamen gaben«, »n beffen onberm (Eni* 



. . Srartwia." 7g 

ß ein fSfcwerec Jtoiifc Sefmb«, auf einer ugfiaun 
?«tw in einer JurijoiKoftn (S6ei>e fortbewegt »irt>. !£>er 
|ä)n>tee 9>unft 6efd)tei6t bie Srattotla. , Slalraut 6at 
In ben Me'm, de Paris. 1736. geteigr, twfj jum Soct6e. 
«Kjen De« gabelt« Jim f» »iel Saft angewanbt »erbe«. 
muj, als jur Uebtrwinbung bergciceion ecfotbrciieb ijl, 
taut bir SÄrö^cetlbc bcr betriebenen Surae immer in 
Wi 9ti#fung be* gabens fMt. SXefe (EnefieSjtfäettrt t)ae 
jttbemSftamenSßerMifätFung gegeben. 1 

2. Sie ®lei<6nrig ber SJIretfric fep 9 (*', y') = o, 
mix, y feigen in SBejug auf bafTeibe Eoiirbinatenfoltem 
He Coorbinattn ber Sroctoria. SDie Sänge ber Söerü^ 
Rubra ijl , 

n* |iä) (eid>t aus bec Sonnet fiit bie ©ubfongenfe (35e. 
It^ttltbe Stoie 13.) ergicbt. 

©eo nun z =±= Au + B bie ©ieiciiuna. bec Secittjten. 
teurfo ifl, wenn o ben SKSinfet berfefben mit bet 36. 

Wetiarc bejei^net: 

A = Uügu = *-. 

(Knie, gerabt 16. SerflSrenbe «nie 14.). Sttfo 

SfcU a&ec fcie SJeräEjrenbe immtr burcfc ben (Stifepttnft bec 
ÖtWlwte ge1jt; fo t|l 

Sfoble Stellung bec S3etii6renben: 

' , ■ ; '■"-$.*- )• ■* 
6inb nun x', / bie gsorbinatcn be« fünfte«, in ttefc 
fai bie SBetu^renbe bie Sicectrit trifft, unb u' i|l bie 
fflfcifle bes fünfte«, in wefcbeni bie Serübjenbe bie 36* 
lo'lfenafe ftbneibet; fo ift 

. ' * n ,. ■■„Cookie 



gor Statt«««.? 

gotglid) <fi ba« ©tuet bet S3erillji«bflt jt»ij$e)i ber Sfc 

:; Si(j( tiu» bi< SüittrtrtF mit bet $M«otf»auf tlnir 
©ritt 6« abfciffatores fo-nuf ntan.to» fo «fen befummle . 
©räcf »ßti ber Junge bet Serutjrenbea. fu»ttat;iren. Sie» 
gen bie beiben .(Surwn 'abtt auf enfgegengefeßten ©eitert 
ber SKfcifftnai»; fo mufj man biefeo ©euer* ju ber Sangt 
ber SBeröbrenben obbiren. $>a ober, wenn man y alt 
politiB anlieft, y' imcr(l«i §alte popti», im jioiifen 
negotii) t|i; fo (rtjltf .man: 

(Sitamnirt man nun au» ben Sfeicbungen : 

?v,fy=°, 

7--7 = S" f -"i'=f-'''M + |i 

bie Kroßen V, y'; fo erhalt man bie £>i(ferentialg(eicbung 
bet $ractotia. 

3. Sie merftwStbiglte unb am meißen itnferfucbte 
Sractoria ifl bie Jpugenifcbe (Hugenii Opp. va- 
rja. T. II. p. 517.) , beten 3)irectrir bie getobe Hnie i)i. 
SHimmtman bie JJirwerir als SIre bet »bftifen an; fo 
Ift / = o, «nb folglich 

bie 3)i(feten(io(greicbung biefet £urt>e. 

Um fie 3u infegtiren, felje man a" — y*=z»; fo 
«$alr man 

1 - ' ~ .«'7 F=S- ■ " ~ * V 5=55+5. 

'-'■ -*'/|aü5=5 + :üfed 



Zxactm«. 

= . - i . top, !±! + 0. 

Qnfeg'alfotmef. 5.) 
hieraus erbälr nun (eicit: 



■ «. logn J 



Bit £on|tante i|l bura) frgenb eine gegebene Sebingung, 
tttMbag bie tractorio bnra) einen gegebenen 9>unft geb>n 
foB/ ju befiimmen. 

4. 84t y ■== o wirb x — : ». aifo i(t We Sitecftir bie 
Slfomptote bet ^tactotia. 

Bie ©Itii&iiitg »et Setityrenben 1(1 naä) (2.) ; 

Die ©nbtangente l(t = KV— y'. ' 3ua) 1(1 tang « 
= |= f=fejf. 8ät«=»°i|5ta n g« = ». 
Slfoa* — y z =.o, y= + a. 8ät gtägeteOtbina'ten 
wtben bie Slbfcifien imaginär. 51lfc. ift y = + a bie 
JtSfte Otbinate auf bei&en Seiten bet äbfclffenate. 

Stimmt man ben ipunfr , in »eltfeem bie S3erüt)= 
renbe auf bet %ft bet x fenfted)! ifl, als Anfang bet 
Ge-ot&tnaten an; fo i(f y = a- für x = o. 9Kfo 
o t=i — a logn -j- + c = C iinb foiglkb bie Sleitbung 
tftSratfbtia: ^_ 

Snttinnegatiweybltibtxbillig ungeänbetf, fobafiatfobie 
Sractoria auf beiben ©eiten bet 3Ibfci|fenarc aufboQig glricbe 
Irtttcgt. Um bieg beutlicbju überfein, i|tbieQuabtätn>ut> 
Klaue- bem Söcucbe unter logn ab|id)t[i(b nicht ausgesogen 
»erben , fo wie es benn überhaupt jm» eilen »ot theiltjaft et> 
ftbt int, bie ®[eicbungen bet gutp en unne tEufjt beizubehalten. 
<£ben fft geboren, ba man K«*— y* pofitio unb negatio 
Htbmen fann, ju jeber O'rbinate jwei ~2Ibfciffen, wetebe 
litt einanber gleitb unb entgegengeht finb. £>enn 
T. - ■ . ' ■ 8,- ' 



82 ■ '> . £t««foti«. 

= - rP=F— **■ T ( . + r«'-j-j- . „ ■ . 

' Sltfo (legt bie £ur»e an* auf Selben ©elten ber Orbinafett* 
are *6Dig auf einerlei«, unb (tat bemnacb in jebem*£nb- 
(Minfcc ber beiden gröjjten Orbinaten + a eine €pf ftc. 

3jt|t man bie üuabratwurjel wirflieb; an«, nimmt 
i-'V— y'poftti» unb negati», nnb tmtltiplidrt im (entern 
gafle be n Send? unter logn im 3ab,(er unb ImÜlenner mit 
a_+ jr ai— y'i.fo entfpridjt bie ©le idjuna, 

x = J*"« 1 - y 1 —■ a. logn - - ■ " ■ *" 

elgentficb. bem^weige BD (Fig. 5.) , bi< gH effiimg 

x = — f^a 1 — y 1 + alogn - t_i i. 

bflgegenbem^roeigeBC, ba im erflen gaffe »Ol* y=a Mg 
y = o bie Slbfciffe »ob o bis — a> abnehmen* im aubern 
bagegen von o bis + so jum^nten muß, ubeceinftimmenb 
mit ben obigen belben ©leiä)ungen. 3m gotgenben werben 
wir, ba alle vier £weige btefelbm Sigenfdjaftett Ijaben, 
immer nur ben ^roeig BC betrachten , unb baEjer 

X = m logn - K * ~7 f"a 2 — y* 

als Stellung ber ^>ugenifcben Zvactotia jum ©raube 
legen. - 

5. £>er Sogen ber Sractorta fen — s ; fo l(t (Dtecti= 
fitation. 5*.) _ 

wobafj untere Rieben genommen werben mug, ba offen= 
8ar s junimmf , wenn y abnimmt. 3IIfo s = — ay & 
5= — alogny+C. gut y := a ifl s = o. Sllfo 
o = — a logna + C, C rs alogn a, ■ s:z= alogn -^. 
JpungenBgiebt fotgenbe Sonfrrucfion biefer gormeU 
(201. f. Äarflenis Se^rbegriff. II. 2, @. 39a Essay 
d'Analyae aujrlea jeiuc dehazard (par Montmott), 



Paris. 1713. p. 357. 2600 ,8fo*A (Kg. 6.) aU 0Äife 

fflpttnft betreibe man, um bte 2<mge fces S3ogenu BP ju 
jintxn, mit AD = PQ als Dtajtiuo, einen .Rceiß DF, er* 
ric)te auf AB bunfr' B bas sp,erpenbifel BE , unb bef$rei&e 
rinen {weiten .Sreis, beffen ÜBittetpunft in.BE Hegt, ber 
tue* U ge§* , ttnb ben erflen Atel« (in F) berßljrf. sbann 
jttlje man AFE, fcefdjreibe au$ A mit AB einen .kreis, 
lutlt&er AFE in G fc&neibet; fo iff bie ber Aa pataüttt GK 
tum Sogen BPgteUfc. ©e$ BE;=r, AQ=x, PQ=y, 
AB = aj fo folgt ouö berSon|ftu«ion [eia)(: 



(t + T )»ai'+r',r = : 



2y 



AE : BE =>G : GH, r + y,i x = « j GH» v 

GH = -g-. = * ( V-^> t 
AE : AG = AB : AH, r + y : a — a ; AH, 

So nuii KE He ju ber Dcbmafe AH se^JrtnbtSlbfcijfe i|J; 
fi etf>ält man, wenn ber gefundene 2Ber(^ toii AH für y 
fo tile Steigung t>ee 3r«uria gefegt wirft : 

y ■' + y 1 
fflfl! GH + HK = GK = ilogn i, t. I. GK == i. 

6. gut ben 3roeig BC nimmt y ab, wenn x juntmmt. 
2f!fo 1(1 für tiefen 3rceig, nenn nun Äie- Üitabcarrowrjel 
tarnet ols pofiti» anfielt ; ' • 

8«Igli*, Wenn 8 bie Slrea ABFQ Jejelifcnet (Üuabta. 

w. 8.): ■■■■■■■': 



S 2 




=-/frfi + /^ 



64 Srartorkt. 

ii- ■--•t *■ i f'* 

(Xlifetentialfotmetlt. 29.). 
' geniet i(t 

= -.'Arc.in i-/|5yr^-J' + j(-'-J')-* -.(-Ar)) 

='-•• li«m| -/|*J>" «'-J' +!.»(•"— y'r-i.fl<»'— 3*>| 

i— a' Arciin X — /(Syr« 1 — y* 1 + jät« 1 -?') 

=— »»Arcür.i — y*ö\y F a 1 — j 1 

=— »* Arciin * — JT V ä?— y 1 

S=- j^Arci!« J - T y; lT?=yT + C 

gut y = a rcirb S = o. aifo C = t a=n, uitb 
folaticb ' 

8 szf a* f | » — Are lin i| - Jj K«'— y* 
aslfc» Ärccw i — 4 y r»'_y». 

gut y = o wirb S = \ a%, fo bafi atfo bet jonji 
0taum CBAa bem Üuabratrten eines jfrdfeß gteiö) i|f , bef* 
feit J^atomelfet = a. 

7. Vfe^bet^it)atrbe6but$bieUmbrer;una,t>onBAPQ 
(Fig. 6.) um AB entftanbenen Jitpet«; fo iß (Eubimns.) 

-,y = " 'fift >T=y T > 
SfOtau»fta>, futa= — y* = z*, teiebf (täiebr: . 

. v = aft'fk = T m> =j™ r (*'—j'y + c. 
3U«V = ofiity=a. Sttfo 

v = J „ r !.■_,.).. . . 

Sät y = o wirb V = i .'4 a>n , fo bog atfo b« 3nt)oß 
beß bureb bie Umbreljiiiig uon CBAa um AB enr|tanbenen 
■Sott«» bem tieften Sfclte einet Äuael mirbem JBatbmef- 
fet« 8 [eid)f(i. 



Zracfori«. ' ~ 85 

8. 3>ie 06er|«djt be« mit V betelctnrten Äorper« feg 

=t; fot|?(Eo,mp(ottatiOlt): v = 2n/y<)s = — InfiSy 
=— 2nay+C, o=— 2a s »X-C, v=2n7t(a— y), 
«*, fth-y = o, v = 2a*n. 5I(foi|tbiet>on,ber?rafi " 
tona befcbriebette frumme Dberjtöd?e fcea tnird) bie Umbre= 
Jim« Ben CBAa tun AB enfjianbentn Ääroer« ber frum. 
mit ©eirenfHcpe eines geraben <Enlmber(S gleiä), beffen . 
4% !rtrt> .£a!btnefer = a |tnb. 

9. !Denff man |«bbnrd) B (Fig. 7.) eine gleicbfeitige 
Sfftrbet beftprieben, beren.#atbare = AB=a l(t, unb 
iura) irgentt einen ^>unff G becfelben bie iöeriiljrenbe GE 
MOatn; fo ip, »eltn FE mit Aa parallel i|t,. ber ^nper- 
Wiftbe DCaum EBG »etn SJretiecf ABF gleid). @<n . 
AE=FH=y, AH = FE = i;foijt(4.) 

EF = i logn ■ — * y | «i_ j» 

AABF=-j.ax=5.a*.logn *+ r ''-7' -^ a y ,,_,,.,, 
3f nun KB = u, KG = z; fo i|J (£tn>etbet. 32.) 
i'=2au+u*> J)ie@ubtanäenteKE=^=?^± ; =; 
= KB+BA— AE = u + a — y. älfo u = "-ä=Ö. 
5)0 tum a + u = j, 2an + u* = •ützü ||} ; f„ 
8teotbiegomtet(Üuabratur. 91.)benb^perbolifa)ert£Kamri 
BKG = 



2J* 



-4»'- top» - 



»um in jener gorntel nur £ (tott be« folfcfjen - ae(ijr 
Kit*, ©etjt matt in bie Sleldtun«, btt 4bop<rb«i für aben 
gtfunbenen Slttsbrucf; fo erholt man: 



Hb auf s<eid)e 3r( KE = ^-j^. hieraus ergiebr fia) 

äiejt man t)ier*pn BKG ab, fo erhalt man für BEG tten. 
#m »uttfirmf, mieten mir »ofyr für A ABF gefunden 



86 StOCfOtfd. 

fyioen. atf»BEG= ÄABF. SBegen tief« (Eigen* 
fcbaft nmnt £11 »gen« (Act. 'Enid, 1693. p. 476.) feine 
$rottoria quadratricen hyperbolae. 3ribej* eignet aucb 
: BuiSo ©conti pd) Die (Entbecfung berfelben ju (H ei- 
gen ii Opp. reliqua. V. I. p. 288. 

■' 10. lieber BC (Fig. 7.\ benfe man )id) , fenrrett>t auf 
ber (Ebene ber Slgur, eine cnllnbrifcbe glaa> ereiltet, unb 
lege unter einem SBtaf et = a burä> Aa eine (Ebene , tuet« 
tfce bie (Enlinberfiacbe in einer geroijfen Sinie burebfebneibef. 
'9rennt man bie Sporbf naten biefer SinC« , wenn man )icb 
■ bie Eo(inber)lad)* in eine (Ebene obgenmfeltbenff, x', y*. 
-fo i|t flar, bajj x' = a logn i (5.), y':=y tanga; 
£ == log» -i, e v = y. golglieb bie 6lei*ung beej 
©ebnittss 

— — 

/ = u ' lang ». 

Ble@ubtangenre<biefer&tr»ei|t== — «, alfo eon|cant, 
n'nb folglicb bie Suroe eine Sogiftka. (gogaritbmiftbe i'i= 

nie. 4.). gut a = 45° i|{ bie gHtldjaug y = ae~ X ' 

©inb i', / bie Coorbinaten bes EmtebfSni«* in ber 
bureb Aa gelegten Ebene; fo i|t 

« = *.V= =£? 
welcbes, in bie (Sleicbung ber trattorla gefegt, glebt: 
«• = » im» * •*• p 5 B°**f _ r »■ -/■ c..i.- 

©ie bocket bewiefene merfwurbige (Eigenfcbaft beb $r«rto» 
ria rubre ebenfalls »ob Buibo ©ranbi ber. (a.a.O. 
p. 312.) 

11. @en (est bie »irettrir ein Sreis, belfen^albmef- 
fer= tili- £>en Slnfang ber Eoorblnafen nebme man 
als <po{ an, ünb bejeiebne bie polaren (Eoorbinaten ber £>i* 
retfrir unbtecgefud)ten5ratforia, burdjy', z'unby, z; 
(b 1)1, i»enn ber SBiittelpunfr te« gegebenen Greifet als 
Anfang ber Eoorbinaten angenommen wirb: 



.Stoxtoria» «7. 

T fjy* (rin^i + l coipr^i) 1 

Dlwfr ge^rlger ©uBftitufion geben Ut ©tei^üngen In (2,}: 

■in <ptfz + Z COlyflp 

■in 9^1 -f- z coi p0p 
cQatfSz — z »SlfBf' 

6oz' = ri(f: 

r aMf =lcoij> , , ■ , 

... . » fiin <w5* + i cot »£» 

idr + t'ßv 
Erbebt man auf beiben Seiten iit'9 Quabtat ttnti o»i«; 
fe-etbiif man: 

2aidi 




'. rax' + ."S,> 



0, _ rrt^ 



wfjie« Me $>lffetentMsiei*u»a. ber '&tf«&)tm Sratforia 
V. ©ie Snttgtatien betfelben tjat "<>* *» Kegeln bet 
3«Kära(K*nung Trine e#n>ietigftit, fuf)tt obre auf ei« 
itoilid) »eftmefelte ©leicfeung, »e«t;alb «* "'*' Bn 9 rt 
to&ei Derweilen. 

Sie SXettifieation tiefet Sractoria iji aber (ei«r 411 be= 
»rrf|tellige».. 3)a i iamfo» . , ■ ■■ 

s. = r^>+<)j' = *"&>+«>«»•> 
«Ifo «»$ tem Obiä<n 

lf; fo Ift, für z* + » 2 — r ' = n g , 8 3 = ?V, 
1= 2a.logr. u = 2»logn-r"'+«'— i* + c » "• 
tk £onftan(e aus ein« gegebnen S3ebir.grotg tyrtarnt 
»oben muß. 

12. ©en je«« «in ©#em »011 «reifen , beten £alb- 
«ejet «Be eiturabet glei<b ftnb, fo gejeicfcnet, bog ujte 3Rct. 



88 - Sractorto. 

telpunf te «II« auf et«« gegebenen €ttrte tilgen; man 
futibt ble oK^esonaU Srajectoria (@. biefrn SIrtifeO tiefer 
«reife. . , 

5Der jjemetnfdjaftncfje Jfjalbmeffer feij — r, bie goe-r. 
binaren ber gegebenen £ur»e V, jr, tie goorbinafen ber 
.Streife x", y, ble. Soorbinafen ber ^rajectoria x, yj. fo 
ifl cffenbac 

0" - iy '+ ö" - jV = «• 

tU ©teitbung ber gegebenen greife, reo x', unb affo quo) 

/, reeld>es§unction»on x ffr., afgronfiant befrachtet »er» 

" Im ntnj (Irajertocia.). ' Sllf» 

2(«- — rf)fV +,2(J" - J')<V" = 0, 

* y — y J , 

(Irajecforia. 30- 

Um nun bie Differentialgleichung ber gefucbeen $rajecfo> 
rta ju erhalten muß ntart au» ben @feicbungcn: 

x' unb y' etiminiren , v»e(ä>8 |icb mit in befonbern gälen 
oeroerftreQtgcn (afjt. 

.®oe) (Stücf ber Jangenf e blefet JrJjertoria jrelfcben 
bem SSerufjrungspunfte unb ber gegebenen €urve Ift (2.) 

> fr-« r *+■$=$)■ -»-* r*=^r^ 

Sflfo Ifl tiefes @ftW eine cotifianft ©röfje, unb fotgti* 
bie orthogonale itajeefotia intern uorliegenbeii Safl? jugteiife 
eine Icactücia, beten X>fwrtrir fcie Cum,- auf weichet bie 
Jgjalbmeffer *ec gegebenen .Steife Hegen, nnb beten $>ata* 
metet ber £al&nujfer tiefer Äreife ift. 

©ie JgHigemföe Stactoria i£ alfo bie otfb>gonale Sra* 
j'ectoria aßet .Steife, beten SDiittetpunfte auf einer geraten 
Xflife liegen, unb beten j^albmeffer bem Barometer ber 
$ractoria.gtetcbJft. 



Sradwfo 89 

©fcfin 6H M iuerft ». ffllilitcSo» In bei ©tbtift; 

De tractoriis geometricis , atque: earum cum traje- 
ctoriis orthogonalibus congruentia observationcs 

i «naedam. Halae. 1810. 4. fet)t (infa* geomettifd) 6«=' 

I »iefen, imb feine älmwnbung gtjeigf. 

13. Tiat g>tob(«n »oll 6« Statfotia tagt (td> abet 
oucb umfebten, b. fc. <« fantf bie gtoge na« einet '£utw 
fton, welcbe M» allen Senlbtenben einet gegebenen Eun» 
»m SSeriHjtungspunfte au« ein gegebene« ©lucf obfcbnefc 
'J* 3P 9>(x/y) = o bie Sleiebung bet gegebenen 
turw, unb b ba« abjufdjneibenbe ©tief; fo wirb malt 
•jfenbar au« ben SMcbungen (2.) 

•»(*,?> = <>, . _'■ 

*nnb ytliäiiniren, wobutaVman bl« gtfuäte Steidiunj 
ff*™ *■ »nb y' ettjlle. 8» l(J Hot, tag biefes $to= 
Man bet 3ntegtaitecbnung niebt bebatf. 3» bit gegebene 
Oleidjung j. SO. 



-3' 



- «io,.y >'+ r f3 z + Ci 




©ub|Htuitt man bct« in obige Sleieining, fo etbitt man: 

Sa biefe ffleltbung fid) mit b änbett, fo i|! ftat; bog bte 
gegebene <£un>t auf unettblid) Kiele Sitten butcb eine ttaefo* 
tiftbe Sereegung etjeugt »etben fann 

gut b = ä giebt b ie ©le iefeu ng by = a (y — y') unmit«- 
tetoaey = y — f f y = o, bie©leia)ung einet getaben 
Xinie, fo ba% alfo bit ©tteefttt bet t)ugenifd)eri $facfotia> 
bem S8ot$etge§enben ganj gemaf , aud) eine getabe üinie 
ftnn fann. . 



$> Stackria. 

© e f $ i % t e. ; ' 

14. ?ei6nlfterii^flnlwnAct.Erud.l693.p.387., 

bcß ifjm bei fernem 'Aufenthalte ju 'pari« ber befaimfe Jg>er= 
Ausgeber bes SBitriittius unb getiefte 2Irjt, Staube 
*Pertau(t, baß Problem »on bet Xractoria mit gerabet 
Sbireeftir vorgelegt &abe, efynt fic& (nbef febon besSRamens 
jubebieijen; pttvauit (tobe ü)m bie ©adje Mrfmnlicbf 
inbem er eine beßimmte ©teile bes 23anbes feiner auf" bem 
-Sifc&e Uegcnbtn lafdjenub^: an einem Xfneale forfgeftiljrt 
|abe. üladjbem ü e i b n i fj bie eigentlic&e Statur ber Kur»e; 
baß ber Xt)ei( ber 23erufjrenben jwifeben bem 23erütjninge= 
pwnfteunb ber SDirectrir eine conjiant» ©t&jje iß, gefiut* 
ben, unb auf bie 93erbinbung, In weldjer fie mit ber ^»o* 
pttbtlpty, aufmetffam gemadjt fat, fugtet bjniu, baß 
«r (iefe ben weiterer (ErfWrung niebf aufhalte, ba er ©runb 
fyfot ju vermuten, tfa0 aueb. ber berühmte j$ungens ßd) 
mit biefen U«tetfud?ungeit befebäftigt Ijabe. ©iefer er* 
roäfjnt.aud? fä)on im folgenben £Dtonat beffetöen^rgangS 
(p. 476.) <fo« WnU, »e(aV er nostra quadratrix hy- 
perbolae, quae inter Tractorias (ita enim Yocari 
posaunt) simplicissima censenda est, nennt/ woraus 
man ßeijt, bag ^tunge tts'fcen Segrtff allgemeiner aufges, 
faßt §at, unb baß »on ifmt audj ber SRame Ijeifüljrt. (£r 
ift alfo als ber eigentlidje Schöpfet tiefer Äiaffe frummer ft. 
nfen anjufeljeR. 50J. f. auäVHugenii Opp. varia. . T, 
II. p. 617. SHeljtere (Sigenfdwften bet einfachen $rac= ' 
toria finb in ber ©ebtifr. Geomctrica demonstratio 
fheorematmn Hugenianorum circa logisticam seu 
logarithmicam lineam, auet. Guidone Grando. 
Florentiae. 1701., bie fld) audj in Hugenii Opp. re- 
Hqua. T.L Amst. 1728. p. 137—315. beftnbef, bei= 
laufig erro&bjif / j. 25. was in (10.) bewiefeu werben iß. 
0loä> betreffen bie $ratforta jwei Uluff^e Don SBenne in 
benMe'm. de Paris. 1711. 1712 , tve(4>« «itbts Diene« 
enthalten; (Ein 3nftrument jur erganififcen Sonßnictiort 

t|t bef4>rieben in Joannis Poleni ad virum cd. J. 
Herrmannum epistola., in qua agitur de orgäni- 



< Sxoctem. ; M- 

ca curvanim Tnictoriie et Logaritsxnicae ccmslf ue~ 
tione, etc. Patavii. 1743. p. 134- 3« benMiscell.. 
BeroUnens. T..V.1737. untwfmbf Stairaut feiert«» 
»Hin , »e tdje entjf eben , wenn ftd> ba« eine gniw bes ga» 
tens auf einer gurwe bewegt,. bie in .cm« (Ebene liegt, 
»efcbe von 6er vtr(a)iebeit f(i, in weldjer fid> ber fdjwere 
£unft beftnbet. (£uter unb DUecati bobctt bie tracfQ» 
rifa> Bewegung jur (Eonjrriictfon ber 3>ifferentialgfeid(nin= 
gm anjuroenben gelehrt. 309. f. bie Mbbanbfungen bes t£r» 
Jfetnt De curvis tractoriis. N. Act. Petrop. T. IT. 
De curvis tractoriis compositis. Ibid. De cot*' 
structioneaequat. difl". ope motus tnictorii, aliisque 
ad methodum tangentium in verkam pertinentibus. . 
Comro. Petrop. T.VHI. p. 66. unb Vina Riccati 
de «8u motus «tractorii in constr. aequat. diff. Com- 
ment. Bonon. 1752. Stocb gebÄ tt »on Dticcatt bier» 
\tti De natura quarundam curvarum, quac simul 
cum tractoriis generantur, quaeque proinde syn- 
bactoriae xiotninabutitur. Comm, Bonon. T. III. 
3«b. ©erneu M geigt (Opp. T. IV. p. 381.)/ baß bi« 
(jugenifebe Sractoria, welä)e aud? wobt bie bugenifebe lo* 
garirtfmifdje SSinie genannt wirb (Äarften« Xebrbegr. IL 
2. ©. 392.) bie Scmtocbrone in einem nad> bem üuabrat 
ber ®efi&t»inbigfelt wiberjlebenben 9JfcWo ip. 3n unfern ■ 
SBetfen über bösere ©eometrie fommt nur fetjr wenig über 
tiefe Smie bor. 3n ben Act. Erud. 1743. p. 134. beifjt 
(6: Inter curvas transscendentes prima utique, quae 
a Gcom. considerari coepit, haben potest illa Hu« 
genii, quam in piano hör. describit corpus alteri 
fili alieujus extremitati affixum, dum altera Ali ex- 
tremitas in reeta quadam linea protrahitur. (Bin VOR 
3o$. Söernoutti aufgegebenes, mit bem Problem tun 
btriractorla wrwanbte«, Problem f. nf. Act. Erud. 1693. 
p.235. Opp.T.*. p.66. 3>ie fcuflöfung giebt 3ac, 
SernouIU ibid. p. 257. (Erfagt, bafj ju bem Pro- 
blem quaedam Hugeniana in Actis Roterodamensi- 
bus SBeranlaffung gegeben bäfttn. £8. SSüncbows 
©ebrift .ft febon oben trwabtt werben. 



gg* Tractoria tximfäitSta Cote^ii, 

• Tractoria «bmplicata Gotesti, {feine firm» 
me'Slnfe, welcbe wn bet einen ©ptge eines SBJinfrtEjafen* 
betrieben rofrb , wenn man benfelben febereegf, bog ftitt 
einer ©cbenfel immer eine reeiprof e ©pfrate berührt, ■ ber 
embere aber immer bur$ beren SKittelpunft gebt, ©ie 
Stectificationsfornut bfefer 2inie ift ber Dtectificationefprs 
mel ber ljugentfeben tractoria (Sracror-ta 5.) »öllig a^n(id). 
SOl.f. Cotesü Harmonia mensurarum p. 84., anb 
einen 'äiiffalj von Sßarignon in ben Me'm. de Paris. 
1704., wo aber ber Süflame niebt »orfommt. 

Tractrix, f. tractoria. 

XtajfCtOna, ©tef#f<frnftt na* S3iitj.a« er= 
(udjfertem Unterricht ber tjiijern SDteßfnnft. IL ©«(in. 
1788. ©.215., i|teirie£ur»e, »elcbe ein gange« ©r<|i*m 
'gleichartiger Kurven unter einem gegebenen SEBinfct fdjntU 
bet, ober» nadj einem allgemeinern SSegriff, fo fdjneibet, 
baß ber ©urcbjifcnift für äße €un»n einer gegebenen 23e* 
bingtingetirfyndjc; J. 93. bie<Xur»e, roetdw anfallen (£Qip> 
fen über einerlen Jjjauptare vom ©fettet ans gleicbe Sögen 
abfdjiieibet. Unter gleichartigen Kurven »ccjlefit man «ber 
fjier folcbe, »elcbe man erbält, wenn in einer gegebenen 
©leidjung einer gewiffen Sonffante alle mögliebe SEBerrbe 
Beigelegt werben, bie ©leidjung aber fonft ungeünbert bleibt. 
5>ie (£rf lirung ber Srajectorien in ber 9ttecbanif unb 21(Iro= 
norme geb&rt jeijt niebt £ierber. 

1. 9Öir wenben uns juerff ;u bet 93efracbfung ber$ra* 
jeet orien in ber erften fpecieflen SJebeutitng , welc&e r e cb U 
winflige ober orthogonal« (trajeetoriae orthogo- 
nales) genannt werben, wenn ber gegebene SßinEel ein 
rechter i)t. 

2. (Es fenen x', y- bie »etanberHäjen ©rftßen in ber 
©leicbnngber gegebenen Würben, x,*y bagegen bie Co* 
orbinaten ber trajeeforfa, für einen Coorbtoatenwinfet, 
ber =90°; fofinb 

y'3i'--»'«iy' 



"&»f -- ,ff 



bie (Steigungen t>et Tangenten an einer Her gegebenenE«- 



twit« 

fbnituimttrmkMQUM (!Sii^tmSiS lOyiSi. 
ffiau, ,ä«*... tSCMkfeßgnM. .Sann »lc nun bit 
Sangtnte b<8 gigibmm äBcofel« = a; fo 1)1, ba 6l(Sr 
SSSinfd »Mi,ben öhmo, b. &. Nn>tfm bur* btn genuin* 
fibafrtit&m -S>uc*(*ii|ff fäfjojtnen »trt&rtnbm ein«c 
Wlofltn »Uten (i>[, juf<B.(n: 

-%-%.. "."".' ■■;■; 

■■.--yTSS--;--- --. 

(2inie, gerabe. I6.),'l»rau$, Wenn wir J^, wefc&etf 
. aus bertSleicfritng ber gegebenen £ur»en immer gefiwiben - 
werben fom, s=p' feigen, teMb>«$«1ten wirb: 

"" fr; = - ''«Vi* -': — ■:•'■,' '" " 



©a aS*r He Solge ber gegebenen £ur»en na# Dem Obigen 
als, ftetig gebaut werben muß; fo muß biefe ©ieidjung'of» 
fenbar für jebe« x' imb y' gelten, weshalb man,' ba' fti 
ber(ietisetigoige.beESy»*f*rti«8p)inffebiCxf y mtCben 
x', y* einerlei; finb, in berfelben x^ y für x, y* fe^en 
muß. Sejeidfjnet ba^er p ben SEBertlj, welcbenp' nad> 
biefer ©ub(Htn(ion erb^lU j fof£ ; 

8y ■_. " + p ' - , 

ftt - 1 -r »p Li;.'. • '■ 

SOßtt bet eönfranten ©r&ße, burd& weftbe bie gegebenen 
(Eurven beJHmmf werben, maä)t man kitfe ©(eidputtg uiu 
ab^iigig, wenn man tiefe ©rege, bie Wit.burä) abseife 
nett wollen,..««« p'=.^-,. unby(x',y)=o, ber@(et> 
4>ung ber gegebenen (Eurwn, eliminirt, obgleich ain$atf» 
genblitfßcfr er&eOet,;; bafj biefe ©rifje aüä? «a« 

ttnb g>(x, y) = o eliminirt werben fang, j^ierburct). er? 
l)ält man bie gefucfcle ©ifferentiatgleicfeung ber traject'oriä, 
bereu ^ntegrattMtbie ©Mffcung fetbfl .giebf. SDtc bei)»» 

fügenöe .Cottflante muß bur# irgenb eine gegebene SB^tisif 



: 94 '» M&#K&&L • 

ata), !•». W Me tafirtoito tut* «tnen gtgtbnett 
#unft|t^nfofl*«^.r fc^nifc»tl>«i. ' 

3. gilt «t$«gim«ft 5wi«tötim Ift • ±= oo = 4- 
Ulf«, ■■- ' -= 

& = Üi ,'■ '■'*>■' - ' . ' 
S 1.0— fe i~*.».p — r 

«tut l+p^ = o. '.'■' " 

. 4. Srai«ctttfaau«bufa)b<n»nfangb<tabfct|fmg<» 
$inben gttobtn Sintat. S>U gcgeEtnc Sleicbung l|l 

,8}tgfi<$ Me SiffttuitWstiliiing fctr ttaj»(otia: 
««•& + j^"), + ja« - :*.= » 

V «• + j" + J, * + J* 
woraus furx a +y 2 = zMn23ejug auf ba« er|fc, unb> 
-s=u in SStJug auf bas jwette 'JJnttgtat, Ufa)« «$atta« 
wirb': 

^ .. i ' « logn Is'+y 1 + Are Ung — so Cj 

ilogn ii» + j*.+ |w— ArctangZ- =! C. 

©eljt null nun bit it>iKiif)t(i<6eSi>ii|)ans = $■ jij fo wirb 

B logn Ti'+j 1 =a Ate taug £ , 

bl( gtfud)« 6(tI4)ung ber trajtcfotia. ©tiirff man Ne 
»IM uorlia> eonpan« 4&<t§aupl bura) alogo c + In aus ; . 

fo erhalt nun .' . ■ • 

■ Ingo — £— £ = Are taug j* . 

3n »tjitying auf Cootbinatenz, 91 au« eiuttn funTtc 

l|t x» + y* = z», y = x tang (f. 

Wfo : iog»| = f 

älus b«e S8ttg(da)ung bltftt ®M#uug mit (©plrale. 37.) 

folgt ougraWiif Ba>, baf bit 'itajtttotia «te butd) bat an. 



.Sw»ert»t&. 95 

fangopnnft ge^onben getaben Slnkn ei« loaorltgmlftc 
Spirale ifi 

gut bte orthogonale Jrajertorla t(! 

£ . logn i- = Are tqpg ^S 

alfD bie orthogonale trajeetoria eilt Ärtis, wie bie« |io> 
au* »on fribfi »erfle&t. älleo tiefe« fyit ftfcn 3ac. Set 
noulltgefunben. (Act Erui 1697. p. 232.) 

5. ©etjf man C =«; fo l|t bie Weisung ber loga»- 
Ti^miffyen ©picate naä) bem -SBor^erget;enben : 

■ Iogn W + y 1 + Are taug — = m, 

woraus buroVS>ifereniiatlon (eiept ermatten Witt:, 

p ^x — «y* . 

goljjliojfurbieotttjogonaletrajectoria: 



»«aus wie in (4.) 

fo batj atfo bie orthogonale Irajertoria fclbft wieber eine 
logatitf)inlfo>e ©pirale f(t, wie'fopon Siic. Sernoulli, 
Rottanne ©ebn, gefunben $ar. Act. Erud. SuppL T. 
VU. 1721.. p. 315. 

6. Orthogonale Srajectoria für <p<irabeln mit einerlei? ' 
Parameter, aber »eranberlMjem ©ibelrel. 3fi n btr con» 
ftanfe Parameter; fo l(J bie (Sleidjung: • 

f = n(x" - .); 
* = §'.* = "" f • J ! ' " - f 1 °«"'' + . c ' 

wenn c bie willH&rlitfie Confiante bejela)net. äilfo fite 
c — x.= x 1 : 

il< w .j = V ,^. = |. ■......: 



96 Str*(K|sti«. 

®it oc^ejoiwU SMjtd«*" i(l alfb eine gutbe , txtnt 
©ubtangente (SBerfbrenbe 2mie. 13.) c«n|ioiit i(i, alfo t>te 
2ogtftiea. (2o8ari^mif*eSinle. 4.). 

7. ßctftogonate Srajecroria für Parabeln mit einerlei? 
Barometer imß parallelen Citren, beten ©cbeitel aliein cU 
nee auf: Un %en fenfteebren geraten Sinie liegen, SMe 
©teiebung i|?: 

y — ~3r* + c ' **" fät c— y ==y,: 



.£)tc 4rajeetpria t|I alfo ein? Stciffftfec ^arabel (^ara> 
betn i}6E)cc(C $lrt.)/ beten tyatamitn ~ |irf> ju bem Pa- 
rameter Ver gegebenen Parabeln = 9: 16 wrfjtHt. 

8. Orthogonale Irajectoria für Parabeln einerlei ®ra= 
be<s m(f »eränberliebem Parameter über einerlei %e unb 
»on einerlei ©Reitet. Sie ©Uic^ung ift: 

_, , nw*m— 1. y» 

y-« = «-; p - -^-^j-, <• = j^i 

p = — »-, mydy = — nxdx; 

i.my'=-}iii' + 4'«, y*= £(£— >*): 

©tgenwir nun 4" c = m' 2 r i" m == m ' x r /*» = a' 9 ^ , 
fq i erglebt fi(bleid>ti 

woraus erb>ffet 7 baß bie gefudbte SrajectWfo eine€ffipfe 
ift, btren SDlittelpunft in bem gemeinfibaftlfcbm ©cbeitet 
bec Parabeln liftjt. 

9* Orthogonale $rajeeteria föc netfif(b> Sparabrin mit 
einerlei; Parameter über einerlei; %e mit »erfcbte&enert 
©cfceiteln. S)ie ©teiebung ifi: 

J> = x>(f - -)*; p = ^i£=^o 9* = .zr* 

y „* t r -j , P _ 3yl ,^_ 3ry , 

ttelibtsltttöt erbäte« wirb, wenn man x — a auf.bep» 



Smjetfori«. 97 

pdf! 51« beftlmmt, inbem man In oer gegebenen 0hl. 
cbnngjc, yfflri', y'feSt. 4>le3ntegratlongiebls 



ttftfütz.— o==-x,, V = n > "•' ,== ' 1 V» fobo|! 
«lfo bie orthogonale trqectbcia eine apollonlftbe^arabel IfK 

10. Orthogonale ?raiectorla für cubif<|K Parabeln 
mit einerlen Parameter, aber tteranberlicbem ©(freitet. 
S» Sleicbuna. ;l(t: jr - « = n' (*'— a). (ffnblfcbo 

eberfärx- — c = x t , unbm=n^|i 

wtttbtebie ©leicfoung einer gteiebfeieigett £ijperbel tji, U> 
teil Jpalbare =5 m. ($gperbe(. 8. 31.) 

11. Orthogonale Srajecforia ftlr aDe logarlf^mlfcben 
Sinlen über einerlei; 5Tre otircb benfelben <punft mit »eran- 
Miciem Sttobul. S>ie £>i|ferintialäleitbungi|tfflr M = A; 

T'eV l 
V~ 1" . ' 
(!tä«H5mlRM Jlnle. 4.) 

ps oy, adx' = -^-, ox' = logn y" 4- Court- 

0fc$m«t wir nun an, bie örbinofe bes gegebenen <punctt* 
(Hj=r a', unb bte entfpre^enbe Slbfciffe = o; fo ift 
Constfo ju befummelt, bajj ./ == a' wirb/ för.x' = o. 
%foConst=- — logn a', unb 

logn-Z, 

3t(fi) p = — _£, »nb y3y IogA -J, = — x3x, , 
I y^y logn y — y3y logn ä' = — xdx. 
SfUffc i$. IL @. 783. fjl 

I frSy logn y = logn j/ydj—fdloga y/ydy = $ y* logny— ä j'. 
I Wfb i y 1 logn y — f y* — * y 1 logn *' =5 — * «V 
V. © 



98 '."'-" Xnqtttma. 

y J' 1°8» i — *-5* = — * *'. 
f 1 — 2 logn 4 

■ • ■ . * = J .' 5 ~ 

12.«öttt)djMwfc Srdjeetoria aller .£n|Xt6efn Mit cht«, 
((i) ©ebeitel unt> einerle» SBittetpunfte, obre «ränSe* ' 
efct Hein« 3If e. Sie Sleitfung iß s 

*.«£(«"-..•>, p = g,y = ;££;! 
. y' -f 2 Conit s 2»* logn,i •- x*, 

cbet, fftr 2 Coust r= + c' : 

<Einemetft»ürbIa.e, »du 011c Setnoulli (Act. Ernd. 
1716. p. 227.) gegebene, Sonffrection bitfec Jrajettoria f|l 
folgern*. £>»rd> ben tnlUfütirlf^Ktt $nnc< D (Fig. 8.) 
befcbteibe man einetogaritt)mif4)eS!inieDF, beren@ubfan; 
. i jenft == a ; fo ifi für CE = x (Sogarit^mifc&e Knie. 4.) 
, CEF = *, EF b= a lognx. SBlan neljtm nun 
EG = 2a, anb b«fä)relbe über FG, fo rele aucb bann 
aber HE einen Jpalbfrei». Diimmt man hierauf HK=CE 
ss= x, jiefit KE, anb nimmt le = KE; fo i|i L ein 
ipnnft bet Srajectoria. Denn HE« = GE . EF = 
2a»Iognr, KE»=HE J — HK a =2a s lögi>x— x", 
atfoKE , =y» filcConst:=o, unb betnnaft LE = KB 
= y. 3[fo L ein $unft ber Srajectorta für Const=r:o. 

13. Orthogonale Srajeetoria aller SBipfeit mit einerfen 
■Öauotare, aber t>eranberlld)er Slebenare. Die @(ei= 
ejanj iff: 

woran« alfo erneuet, bafi ble obigen eniofen (Fig. 8.) ble= 
fette <Jrajertorio rjaben »ie bie Jgnperbeln In (12.) 

14. Sie (Elimination Sit Srögeafonn Jfters @d)n>te> 
rlgfeit tnaä)en. «Jnler, anb nacb ifyit Socroir im 



2rajertoria. 

Traite-du catcnl diff. et int. T. II. p. 454., lefi>t fot. 
gettbets ©erfahren, 3Ädn futf« bfe eine ber ©rögen x', y' 
aus 6er @[et$ung ber gegebenen Kurven bunb bie onberr 
unb burd? « auejubrütfe n,, 2Bir tvoden annehmen , baf 
y'bun&x', « attßgebrikf t fetf. SSuii er$eflef Itftbt/ fcag 
Bon einer Drbioate PQ (Fig. 9.) b« Ztajtcttrtia ju tw 
tiäcb|Tfolgenben Drbinafe P'Q' berfelben übergeben, eben £f 
feiet ijr, ala von ber Orbinatt PQ ut £urw B' C jur Or= 
binafe P'Q' bec n<5c&ftforgenben <tattt BC übergeben. ©er 
Uebergang sotrb« Curtfe ß'C' ju.bcr <£ur»e BC wirb aber 
bebtagr bur# bie SOerinberung bec @r5f e a , unb bet Ue* 
btrgang tton PQ ju P'Q' bnr<& bie Sßerinberung »o» x. 
"Sxä)« muß man , um von PQ ju PQ' äberjugefien, Y. 
als Function jroeijer unabhängiger »eranberlidjer ©regen 
«, x' betrafen, jte naej? biefen beiben »eränber liefen 
©röfjra ttjferentilren, unb bann x, y für x', y' feiern 
@<ij bemtiad; 

*•=$)*• + $:)<,., 

Jy* ^ p'3x' + q'3a. • . 

33e>i<&net man min bie 93Jertfje ; twtc&ep', q' cfyat> 

«n, tetm x, y für x', y gefegt werben^ burefc p, qj 

fo«bjlttntanßy = p5x + q5a. Slber naefc (2.); . .„• 

(1 + p>) «5* — (1 — *p) qö« = 0, \ 

»» p, q mit x unb a entfetten. £><« SnKsral biefer 
Sltiiung siebt, bie DWation jrcifiien x unb «, unb bie 
Elimination »on a aus biefer ©leidjung unb ber gegebenen, 
*am man in biefer x,' y für x', -y' fe«(, s"*' *». S'« 1 

d>ung ber 'Srajectoria. 

15. £on|?rtiirt »Irb bie Srafectotla auf fbljmbe STrf, 

ofyie bie (Elimination von a felbfl auosufihjren. Säe einen 

»iflfüfirlicb angenommenen aBertr) »on x befrirmne man 

mitteM bee Buro> bie 3nteo,tation erbaifenen ©feldjungben 

. e . j Uoogk 




loo Stajtrtwi«. 

SBSettfj wn a. gut tiefen SBetf$ Mit <x btffl)eelbe mm 
mittctfi bet gegebnen ©Innung bie ftu butcWa)neibenbe 
Euroe ; fo l|t bet S>u«f)fi)nittS|>unf t bttftr £ur»e mit bir, 
ju bec angenommenen äbfcfjfe geijörenben, Dtbtnatc (in 
JSunff be» Stajecfotta, unb es erlitt (ei*!, ba|j nun 
auf Mffe ärl fo »ieit fünfte betfelben (inbtn (ann, '«(« 
nun MX. 

16. Sie Stellungen tet Enctoib« (titb na* t&ll 
«. 601. 

X' =S A (p — SKI ff), y' t= tt (1 — Ml ff), 

ober, wenn man ben 3>ut<t>me(fet bes etjeugenbeu Ättlfts 
ol« %t unb ben älnfung bet Eodoibe als Slnfang bei '36' 
feiffen annimmt: , 

x 1 es ■ (1 «— «öl ») | y* =b « (» »— «in »). 

93efttmmt man aus bet etfien ©leirbung bie SESetf^e Don y 
unb sin y, unb feJjt jie in bie jiveife , fo etfjaft matt : 

♦*ö « Arotin »fi« X — TW — A 

ob«, wenn man ben #albnteffet beer etjeugenboiÄteifeSal« 
»et j'nbetHä) , ben SInf angepunet als tonff ant annimmt: 



Y « a Ate lin »ert — — > 2«x' — tf». 

J&S«4(I y' fd)o« bnto) x', a (14.) ausgebtiWt; SeSen' 
ttit nun x, y ffle *', y, unb i = z; fo mirb 

y = ■ Are lin. Verl ■ -?■ dl2i — ?» 

obet, |nt SltWrjung, y=aZ, »o 2 nut eine gunttlen 
»on z i(T. 3|! nun «Z = Z'fe j fo i(i bnteb pattMIe SOif- 
fetentation5y=aZ'i)z + za«. Ü5annn 
a.g,'*'^ »fr, f. -=.*■-- »*■,. 

fo «t&>tt nun W*e 

9y = fc'3* + (Z — Z's) 5«. 
aifop=:Z'', q = z — z'z, »o p, q Beibe nut »on * 
abgingen, ffltfo nad> (14.), wenn man In bie bottige W 
Steigung ben obigen SuiSbtutf »on Sa feejt, naib ge&4* 
get SXebuttibni 

- & + (1— *p)q^ M 



' Swjatoiü. • im 

3)a tiimftcE) fit ber erratenen SJtffrrentlalgt'i^mtrg We »er« 
fabertldfren ©rögen gefonberf jmb, fo Üjjf tfe ft$ inrcgcU 
■ ttn, uttb iie ©teüfcjmg bet Stajectorfa fcmn wie in (14.) 
jtfunben, fo wie au# bie 2mie felbfiroic in (15.) confiruirt 
»trben. C iß an fi# willfiu)cli<&, unb fattit nur butdb ge» 
gtbene 23e|iinimungen , betten bie Sraj'ertorta no$ genagelt 
fflfl, beflimmf werben. 

17. SBorjügltö »fc&tig hl bet gall, wenn nur fcieS>if* ' 
frtiitfialgldctjung btr ju bunfcfäjneibenben duften gegeben 
iff. 5Die gegebene ©Uit&ung fei), nac&bem föon x, y für 
*/ y' g*fe§( »erben, dy = y>te. 3ff nun u überhaupt 
eine gunciion jweijer «erinberti^er @r6jjen; fo iß (X)if ; 
fatMiaigUic&ung. 12. 14. Sanforö Se&rfa<|. 8.) 




tP, u«s/p3x; 

/<&*'-<?&> 

3BfoplrP=p., y^=a mit Sffieälaflititä t« 9>«en(5«r<« ? 

(1 + p>).&_ (4 -. P ]8.y j| 3x => «< 

Biefe @[eia)umt i(i in Bejti«, auf x unt! o litte Di(ftt«ifiaP 
, |Mä)utta,t»iner|{eii Srabe., biefi$#s, baaud>J£3? 
| inSesug oufx immer gefuttbett werben form/ immer in» 
I «jriren (Jgt, »oraii» (iä) bf« gefiKf» SMarto» »wifibtti * 

unb a ergiebt. (14.) 

.--,'. .■ »„»„Google 



102 .' SfetJCCtW.«. 

- 18. @eljt man ■ = f; wo •' Me Solana««« M &• 
gtbenen SBraW« o«j«i#ntts fo «tfilt «uro:. 

■ (i + f) &-(.•- 1) «./gjj k.p ■>• - 
iülfo föt orthogonal« Srajedotta / wo a' == o i|i: 

... ' (1 + p>)5x + vd'f£ ftt e *» 

p ■ 
19. SBrins« mon We ©tdctJuag In C*4.) ouf We Socm 

fo «|t[!t au« ber »«fannrtn otä»mtlntn ©Icicbtms: 

unb bat fd)on oBtn gekauften ©a^e: 

.baß, twmt Meft'BWcJwig tut* SBrollfpIlcatioii mit et 
netn gtwiffen gaetor A, ber nur eine Sunction »Ott a iff, 
woburcb man 

A( l +p»)a ai , ._ a " ' 

. , : «p-1 « + **• = » 

ertjalt, inttgra&et gemußt werben foO, immer 
. A(< + p-)« 

' v 1 -'f'H . • 

fetjn muß. 2I(fo . ' 

».ÜUtÜJ . ■ 
■p — * »^p-„ 

. gnttolcMf man nun bas «fr« SiffereUflals fo agteBt ft$ 
• a + p 1 ) s» _ < + «■ . A |e = o. 

■p — 1 "3b" l ap — 1 )' 0a 

Siefe ©feicV>uitg rcfrb, ba man x Ü6eral als conffont 6t. 
' trautet, btog in Sejug auf a inttgri«. SHan »erwaru 
beit f« (elebe in ' .,"'■.- 

■9a _ + *-)Sr 

. A. (I + p') (.p - 1) ~ ■ . - 



Stojatori«. 103 

•Hl. |.'(H-p')-(«p— l)t>p-HII H _ . 
1 0+p*) («p-Ü " 

■ x. - * 5=i + rTr + *1V "■••■- 

u»rauB> wenn X irgenb eint roiöfilijrlicbe $unrtion Don x 
bebeutet, tmb bi« arbiträre Eonfiante, ba x als conjtant 
lettatJSfet Wieb, ==a logn X gefeljtttiirb, buräj ltia)te3n. 



o logn A — 


a logn (ep - 


-0 + * 


..logn (1 + P») 






■f Are 


Uag p =3 a logn X 


ritt 








■ logn A sa 


* logn (ap - 


-i)-4 


■ logn (1 + p») 



— Are taug p -4- » logn % 

QofearalforiMi. 5. 15. 16.) 

20. S»t)tt man wieber bie Eotanaente bes gegeben«! 
SSinfel« ein, intern man a = j. fest; fo erhält man bit 
Sif crenf totgteidfpuiiB t 

8 * - 8p. (pj-«-)8p . 

x=?=7-t¥f^ .. ' 

lifo für orthogonal« Srajeitorien: . , 

8a Sr pS f 
TT". .Tp» 

logn A ss logn p — \ logn (1 + p») + logn 2, 

»troiia man, bo p = % i(i, lejajt err}M<; 



= / v ^-.H 

JrWSS 



Vi'— 4» 

M A eine Sitrtetinn Win et, X ein«"Sut«t»tt »«t x, C 

eine »iBfüIirücbe Eonftante i(i. ©o mag alfo bie gegeben« 
SMferentialgleicbung befcbajftn fenn, menn bie ©feitbuna, 
in (18.) für orthogonale Irajecforien bureb ÜRuttipIication 
mk bera gaefor A integraiel f<»n foü. Sa. 



i(t; fo erhält man Webt 



104 Srojötori«. 

;af»w*(i8.)»(tb(i70j 

et« jut Sibfilrjung Mäx + Nte = o, fät 

S>o nun Max + N3a nacb bet SSotansfeljuna in (19.) ba« 

»c-ß|tanbiae SDijferertttal einer gereiften Function »on x 
um>ui|t; foifi, wenn mit bfefe Function = üfejen: 

SItfo du = M3r, u = /Mfts + T, »oYelnettiahttjr. 
Bebe Snnrtion »on a bejeiä)net, ba o als" cen|ia«t 6ettaa> 
tttnitb. £>emnacb 



-/*• 



« =/m* + / Qt- s J%p) B. + Q. 



3n nnfetnt gat«, »o 3a = o, atfo u ein« Eonpantt 1(1, 
t)af man olfo 



vc- 



wo bat) jtbeite 3ntegtar,nut a enefjalren fann, ba Y mit 
a entölt, SJa&et i|l ofenbat blefeo 3nregra( bau 3»K- 
gral »on ben ©[lebetn in N«o =s Agätt, »el$e »on x 
unabhängig ffnb. 

21. SBIt »ollen tiefe gormefa auf eine in bet ®e. 
f*)id>re be« ^tobten« bet Srajettotien frt)t wlcbtige 2tof< 
gäbe anitenben. <£e fenen nämiia; aunactyt 

■ Uebet AB (Fig. 10.) atü %e bnc« ben <pnnf( A un. 
enblid; »ieie Kursen ju betreiben, fo baf bieÄrümmimg«' 
tjalimeffer bet elnieinen €ur»en ton bet 2re alle in einem 
gegebenen S8et^a(tni(fe, + SS. DF : DE = 1 : n , wenn 
BF bet £ti5mnrana»1)arbinefl"et filt D ift, aeftbnirten 
. »erben. . 

.'.."' ' ■ : .» Google ■ 



Sxtfmtk. 105 

Wlan ntfymt bie auf AB bur# A tniäftttt @mr>e#t« 
AG alt «Sre ber Sl&feiflen , fo bajj AH = x , HD = y. 

©er .^mmungetjalbmeffer *>&* &efanntfid(> Immer 
auf bee conca»en ©eife bei; Curve genommen. SDaljet 
werben nur bie ÄrilmtmmgBljal'&mefTer aller ber gegen AB 
concatoen Surfen tum A3 gefifcnitten. $>iefe £«r»en finb 
aber gegen AG con»er, unb folglich )^| pofitfü (Soncav 
unb <E«n»er. 10.)) ba wir y ol« pofiä» annehmen. 
<3eljen wir nun ben ÄüfimmtmgsJjatbmeflee = rj fo 
iftamp' 



5? 


1+ 5? (&■ +8j-l» 

— <W"y 




pofitiö, nnb&at)ei;r, 
nommm wirb, niefct 


tt>e(d)es §f(t 


Immer ate po|ifi» 


(Mäh 


= - 








(Xrirnmmsrtrti«. 3 


:.), fonbem 








(&' + cV>* 







ju ferjen. 

Die (Stellung tec Diormate, 
B(«t, i(l ■ 


in rKtcJer . 


r immer 


.■-j = -«- (»-»>.■ 







wie fTdtj burd) eine feilte geomefrifctie Setracfcfung. mittel)! 
(Sinie, gerabe. 17.) unb öen allgemeinen gormein irt b,em 
31«. 33etiu>enbe ergiefct. giit ben 95»nftE i(i z. = AE, 
n = p. aif» 

IE-,** AB^J+f, : 

KE = lE-y = ^s 

DE' = DK' + KE> = ffo'fi'l 
T öy» 

Sfffo noc5 ber äSebinaung ber äufgate 

' {(V 4- 3y')^ xtflx' 4- fV)* = i ■ n, 
iW'j ' 3y 



10« ' Stajtrtoria. 

■ E?= " frft ' ' '■ ä? = T« + S> 
»««»8 für j* = p, j{J = | , «fyta »W: 

T K ^|i +p*)' 
SHfo füt p* = z, 1 + s — vi 




stet ouä), fät'c = c": 

reo trau no$ eine reidfilfirfiede e»n|icmfe 6<ijufägfri l(i; 
reotmnft wegen ber bappelten £on[iante bie ÜJlannigfaitig- 
feie biefee €urven fclir groß wirb. Sei; ber 3ntegratioit 
im allgemeinen bürfcn wie [jier ni4>f tlnger »erroeilen. 
gut n = 1 ttf)a(f man 



bieSifferentialgfti^ungbesÄteifes, wie«u«baSlei4«i«ä 

teiefct abgeleitet wirb, 
gär n = $ »Itb '. 

woraus man burefc Integration er§4(t;; 

gär Ar» taug fj^-, == ¥ wirb! 



Stojectota. ioj 

j = (CC2j-i!«2,), i = 40(l-co.2,), 

»ttdjecNe ©leiärnngen bet Cncfotbe finb (16.). aifo tjof, 
bie Crdolbe bie eigenfcDaft, bog Sie JttdmmongStjalbmef. 
fet »on bet 2Saf« tjalblti werten (Enctofoe. XI.) 

gtlt&itiKn, bie gegen AB tonnet |inb( fonnfenun 
»en •Ätumimina.e'Satbmefiet fiä; auf bie conuej* ©eile »et? 
lange» benfen, wo et ebenfalls t>on bet äte gefcbnitten 
«w'tb. SJut ift tyü, »eil bet iStämmungslial&niejjet. Im. 
inet als pafttlv angenommen reirb, jufciitnl - 

. - _ (fr- + fr-) *■ 

<S3*y 

@onft B|äl( man ganj wie sottet ; 

x _ »(fa -.+ay) 

log»» es — ± logn jl^. + am«, 

»bet, wenn man bie Condomen butdj — i logn c aus. 
btüeffs 

SBeibe San« fann man in bie Jortntl 



. "VT? 

«nfammenfaflen. 3u8 bet füt biefen Sa! jefimbene» Stet, 
cbnna, ettjatt man fetnet: 



obet fiit C = c»: 

,- f * '.. 

Satn = ii)Ialfoy = 7 ^! 

wotaus bntn) SMegtatlon t' 



tos ' StujedMifc 

ob« fft »-T- g'x=*s 

fo bog alfo| feit gefügten €urben 9>atabefn (inb. S«!jer 
werben bon ben bertangerten Ärümmunaofyai&meffem 
biträ) AB ©tlicfe abgefdmitfen, toeltbe bem falben .firum; 
ninngefydbmeffer gleich (inb. Sie 3tbfci(fen »erben auf 
AG genommen, unb bie (Entfernung bete ©Beitels tjon A 
ift bem bierten Steife beet ^arameter« gleid). 

Steuer aufgeKfefe aufgäbe mag jug(eid) oft i?eifpti( 
für ben oben angegebenen ungemeinem Siegriff ber 3ra» 
jeetorftn bienen. 

22, ©od nun in Sejug auf ben«|ien gal, inbem c 
als beranberlia) angenommen, atfo 

8 — ""d* 

gefeit wirb, bie orthogonale Srajecurla gefnnben werben; 
fo §at man (17.) 



woran« man > bergllcjen mit (20.) Ieid)t erhält : 



A = 4, Is- 



ri> — a* ne,»-i» 

|jSi = — ,■•- 1*. (...— x'.)~*.8x, 

ober, wenn man Sie« in eine Ktifie na<b 55oeenjen bonx 
entwicfelt: .,'-■- 
5^5«:= (aw + Bi*» + &*■ + ...) fo 
, ■/£«, =, ***+'+ v, "*' +e,f*' + , . 

©e^t man nun Ijfer bie willfufjtu'cbe €on|Tante =: o; fo 
enthalt/ ba n immer ate pojtti» angenommen wirb, 

A,3. = (HV+' + B"x»»+' 4. ff*««*! 4. . .) A, 

fein Bon % unabhängiges Stieb, fo ba« alfo (20.) 



■/(' 



-•SP 5 )'* 



UBb fotgliä)/Mdx = Const, b. I. 



A 



ift. 33le Aufgabe Iß afforoleber anf He^Wegre/ion eta<r 
®iffVrtn(ia[gtc»4iuns be« erffen Stabe« gtbracbf, unbbab« 
als atifgeBfef aitjuf«$«t. , , 

Site bl« gegen AB (Fig. 10.) cömeren Curwti i|f 



.gjj 3x =■ .- nx>».>*-' (•*«»— 4> T ?. flx. , ■. 

<Snft»Wett man fei« in eine SW&n fe überieuät matt fT4> 
gani ttiet>or$«v böf /M5x= Const, b, I. 



/rf 



i — a 



3o§annS3etnoui(l glebt folgenbe, eon feinem ©o§ne 
Sflicola« Setnondi Act. Erud. 1718. p. 253. o&ne 
3tna[n|ts mifgetbeüte Confituction für ben elften gaO. 
AB', AB", AB'", ii. f. f. (Fig. 11.) feoen Die gegebenen 
Htmtn. gur bie fnccefftmt äßmlje »on « bef<btei6e man 
We £«r»en Ab', Ab", Ab'", tt. f. f., beten ©letcbung 



iftfo bag In 23(S"S auf bic SBettlie t>on «bie gurten AB', 
Ab'} AB ', Ab"j AB'", Ab"'; u. f. f. dnattbet «tffprecbefi. 
2>ann fcbneibe man von bm Ufjtern £utt>m Segmente 
ab, beten gläcbenraum bet conftanfen <9t8jjeC gleid) ift, 
bntcb bie Linien DE,D'E', D"E", ».f. f.; fo ift, tvetin 
AD, AD", AD", n. f. f. butd) x btjeicbnet »erben; ' 






(Ouabratut 80 , wie erfotbe« wir». SOtttangett ttiati.alfb 
ED,E'D', E"D", «. f. f., bis fi« Weggegebenen ?urt>en 
in F, F', F", u. f. f. fcbneiben; fo (inb bies Ranfte bet 
atojectttia, beten (tcj) aifo eine »Mürfieje ainfcnjUfinbeji 



liö SEmjectoti* 

Oft. SBfc Mefe eonfftiktlen auf feie amntym ©irwit 
aitelsii6er,nen iff, erhellet lei*t. . 

' 23. Um itocti ein, einer anree*iuna; fälliges, ; leictrte« 
S9ei(pieltet orthogonalen Srafectoriettju geben; fo fer, tiie 
orthogonale $rajecroria aller lim einerlei 5ßfifte[piinft be= 
fcfjriebenen al>n(i<t>e>*g[Iipfen ja (inSen. S)a feie SDipfen 
a^illl* (ino ; foi(l 

»-T-S- ' ? -Sf-T'.. 

n> logn y == lojpi C*, y* = C«. , 

@ofl js= k feon fite * =zh j fo erlitt man ofo ©lehfrung 
berSrajecföriat - , 

i=<£)"* * - 

Eßimmtman an, feajj bie (Erbe au.« (auter amcentr[f$m, 
tmfe.r einanbet (S§nfict>en ©c&icfcren tefretye, bie. für |i<fc im 
<3tef#gewtc&te ftnb; fb befHmmt tiefe Srajectcria bie Dticfr« 
tutig, naa) »elc&er in jebem fünfte bie ©cbwerfraft bie ' 
Äerner gegen ba« innere ber (Erbe §inabjte$f. 

@ e ft& i $ t e. 

,25. Jfjutjgens ^atfe in feinem Trait«? de 1« lu- 
miere. Leid. 1690. 4. bie 3bee »«"getragen, bafj ba» 
Sifytbavä) eine wellenförmige Bewegung eines feinen Ste? 
tljers fertgepfianit »erbe, unb baß) wenn eine folcbe 
SHJeje'ba« 2luge betöre, ber 9>unft, mr »fiebern fte aus« 
ging, nu# einer auf bteftr SEBeße fmfredjten Dtic&tung' er= 
f4>eine*. ' (Ein £i#t|tra()t wäre otfo nd^i'biefer £npotljefe, 
weltbe nur er|l neuetßgjf burcb bie merfwütbigen SOerfuc^e 
»oi» "^ttbraas ?>oung in Jonben einen neuen bebcutenbcn 
®tcfo »ort SEßaifrf^einU^fcit erreidX fjbt, eigentlich eine 
Sinie, wetdpe alle - 9ßeflentinien bts beweglichen SM)"* 
fetifce#t bura)fc(>neibet, unb ber ftcbtbare tyunU erfcbeint 
ttacb bipSerüfjtenben biefer Jitrie. Sflan |te§t> wie 3o £j anu 



', Srajccfora. in. 

S5ttno*(ti, tta* fettet eigenen Etjafytmg ( Act. Krad:' 
1697. p. 211.}, bierBtlcd) «Bf tat probten bec otrtjogo. 
nofen Srajectorien geleitet »erben tonnte, a. o. 0. («gt 
er biefes «Problem juerp offentlicb wer jebod) mir für txtt 
Sali ber legarifijmifcbett Knien (11.)/ inbem er äiigleid) 
für ben gaü .ber £nttoib<n eint Souffruction »rjue Seneit 
miMfKflf. lOat »ergetegte ?r«6Ura, nefeff nod) einigen 
«n&eoi(* — 14.), (6fett3ac.Setn»alll in ben Act. 
Etui 1698. p. 230. auf, roorauf 3ol). SetnouUi I« 
bemfelbflt 3af>rgange p. 472. feine ano?txift(K Siuflofung 
tut 8«I* .*« (t>3acitt)tnif(i»n Knien tnint)tiftt, ba 3<>c- 
Betnoutlimir eine Conffnictien gegeben Ijatte. S**»* 
fem auffalje femmt bös SBort Srajectorta jaerjr 
wc, unb riifjrt fotglia) aueb t»n'3e.r). <©ttne.u(tt ber, 

inbem er p. 470. fagt { „Supet Birnt notanda quaedam 
errca lineas, quos vecabo Ttajectorias," 3uglefd) IC« 
Jafift er, bafj er ba»3>t»Memf(bon<ttn 2tett@eptbc.te94 
an Jelbnilj gef*™*«, unb filrbie »on feinem Srutü 
jntfgelcfeMn JMe auffsfiingen gegeben f>abe. ämi> belmt 
et t/let baei Problem auf Jrattcforieit mit »illfiShrffcbem 
iDnca)fd>nittetnHnFtI an?, unb bemerft; bajj auett geibnife. 
ftbon bamalö in einem ©riefe an if)n tief in baß Problem 
«ingebrungen fen. Seit bern 3ob>e 1698, wo tiefet auf. 
faij,»on 3ofi. 55ernou(U erfeftien, tutete bie aufgäbe - 
eine siemiiebe Dtei^e tton 3^ten. atss man abec irt'bem 
taugen @tteite, »efeber übet. bat: ^riotieJestecbt bet Cr» 

gibung b«t XNffetenfia(red;nung swifeben ben @"ceraetetn 
ritannien« unb be« ßefUanbes gefilbrt würbe, babin g& 
fommen war, bfe gegenfeitigen .Kräfte burä) »«-gelegte 
fobwietige aufgaben ju meffeh, «öffnete Seibitlis ei* 
3<it)r »4c feinem leibe biefeii nterftturbigenSkpbtenwnfrit«, 
mit ber aufgäbe bec ortbogonalen Irojertorien, inbem 
ec Im 34« 1715 btn (EngTimbern bura) ben abbe £onrt 
ben oben (12.) bcrjanbclten gaH »en- ben ^npetbeln vottfr 
gen ließ, „eo fine ut ad pulsura Anglorum nor-nihil 
tentandnm illud illis proponeret." (Acta Erud. 1718 
p. 251. Re'cucil de diy: pieces suir Ja phil. etc. par 
Des Maizeaux. T. IL p. 11.) Slewfon ettjielt, 
wie gönteHe in feinec £obfd)cift auf u)n «rjdtjtt, bau - 



.112 SwJttfO«*, 

(probt em, a\e «um *>ier U§r fe^r ermdbef iu$ $msfe 

tarn / unb fegte |td> Bi#t etjer nieber , ata bis er eß anfge. 
löfet . ffatt«. Sie 3l«fi&fung md$f e et in ben Phil. Trans- 
aft. 1716. mit wenigen 2Sorttn bttannt, Ijatte ab« ben 
43aupfpimft , bie ^nregration ber 3M{feretittai$ki#ung, 
»nbetüljrt gefaffen , weshalb jf>etrmann in ben Act. 
Erüd. 1717. p. 348., wo er bie 2Iuf(6fung CHe wton« 
ebenfaß* mittljeitt , tfe nur ein j tentamen solutionis 
nennt. 3ot). Sernoutli maebfe hierauf 2ei6nigen 
bemerftid), baff bie Aufgabe ju leia)tfe», unb teilte ib,m 
jutn ©eweife bie Bon feinem, bamats notfc fefjr jungen, 
@o$ne Sfllcolaa (geb.1695, gefr. 1726) gefundene 2Iuf. 
Üfung (12.) mit (Act. Erud, 1716. p. 227.), worauf 
ifjnSefbnift ben 31. Januar 1716 bat, baß er itjmeine 
untere Aufgabe »orfcblagen mo$te» 3ot). ÖeritouUI 
ftbfug «)m baljer in einem Briefe vom 11. 2Kacj 1716 baff 
oben (21. 22.) aufgelöfete Problem »or, wobei jugteitfr 
bie SJebingung gemalt würbe., bie 2Iuftöf«ng wenigflen« 
auf eine ^Differentialgleichung »om erflen ©raöe jurärfs«« 
führen, weiche tmtttffl ber ßuabrat umt einer <£on|iruction 
fäljigfen. Sie ©aerje ber Sitglänber übernahm fcanlor 
(Philos. Transact. 1716. 1717. 1719.), von beffen Sluf. 
ttfung SWontucU (T. III. p. 333.) urteilt, baß fi# 
nichts gegen jie einwenben laffe, unb baß er bie von 3lic. 
Sernoulti bagegen gemaa>ten SSemerfungen für (jljtfa« 
nett $atte. ©le übrigen IjteiEjer geMrenben 21&b>nb(unge« 
■ftnbet man äße in ben Ad Erud.: einen 5Iuffaf$ von 
Wie. Sertioutli (1718. p. 248.), worin feine* Katers 
.3'o$ann Sfoflofiwg (22.) objie S?eweüJ mitgeteilt un> 
bie ©efüji^te bes «Problems furj erjäljlt wirb; einen 2Iuf= 
faijvoÄiJtie. Sernouitt, bem^5o£tte Jtacobtf, ^ro< 
feflbC ju ipäbua (1719..p. 295.); ben 93efa>luß maibt eine . 
.«uefüjjrlidje Slbfjanbliuig bes er|tern ..fftic. SQttnouUif 
«elfte- juglejft efne-Äcitif ber frühen SOerfucbe entölt 
,(1720. p. 223. Supplem. T. VII. 1721, p. 303. p. 338) f . 
Slufiecbem iflnoft ein. frieret 2Iuffa& von ^etrraantt 
(1717. p. 348.)>'mit jwrr maebfragen (1718. p. 335. 
.1719. p. .68.) ju erwähnen, worin bie oben mit a bereift* 
«tfe .©rö$e SMobulu« genannt wirb, ^n neuerer Seit 



8twp»&. 113 

bat Sit f er ffcb bie melften SQetbietrße um bau «proMem «* 
mocben, Digressio de traj. tarn ortbogonalibus quam 
obliquangulis. N. Comm. Petrop. XVII. p. 205 — 
248. Coneiderationes de traj . orthog. N, Comm. 
Petrop. XIV. Considerat. super traj. tarn rcctang. 
quam obliquan. N. Acta Petrop. 1782. P. 2. 9Iud) 
titie SibEjanölung toon Sremblen Inben Mem. de Ber- 
lin. 1797., unb jwei Shtffalje »ön ?>atmauift in bra - 
6*nwb. 2Ifab.2lbbanbl. 1748. ©. 17.©. 8J., fo nie boit 
Sflicol« in benMem.de Paris. 1715. 1725. Shwenbun* 
p ber Srajectorien auf baö^dcbncti ber2anbd)arten f.nt. 
in Lamberts SSetftagen. III. §. 65. Eule'r de rc- 
piaesentatione superficiei sphaericae super piano. 
Comm. Petrop. 1777. P. I. p. 107. <£ine 2Ib!janblunjj 
Bon Sagrange inben Me'm. de Berlin. 1779. 9laa> 
SHö^et (^tofr. ©eom. IV. @. 445.) finb bie Sormew 
. ptaftifcb nidjt braud)6ar. 

. Srafectoria,,reci>rore, ober geg/nfeiffgt, 

Wflt jebe über einet gegebenen Slre AB (Fig. 12.) befebrie* 
bette £ur»e CDE, .welche fo befdjaffen fff , baß fie, nenn 
man fte |idp in errtgegengefeljter Sage rote cDe benft , unb 
läng« ber 21re AB mit ftcb jelbff parallel bewegt, bie Strtte 
CDE immer unter ein unb bemfelben gegebenen SBinfel 
toiKbfdjneibef. - . 

1. @en D' ein wiu*fu&rfid)er funtt In ber State 'GE, 
butebD' bie Sinie B'D' parallel mit ber 2lre, «nb auf beb 
anbern ©eite in gleicher Entfernung »on ber 3Ire, ebenfalls 
parallel mit u)r, bie Sinie B"D" gesogen. 2>a bie beibert 
Kurven CDE, cDe auf beibert ©eiten ber 2Ire auf gteiebe 
31« liegen; fo i)t offenbar ber SBinfel CDB = cDB; 
CDc = 2. CDB , unb CD"B" = cd"B'. SSJeil aber bie. 
Suc»e cDe parallel mit fieb felbfl längs ber %$t bewegt 
«erben, unb bie Sötte CDE immer unter bemfelben SBinfel 
fibneiben fou" ; fo ifl c'D'B' = cd"B' = CD"B", CD'c' 
= CDc. 2Ufo CDc = CD'B' + c'D'B' = CD'B' + 
CD"B". jjiferburdj wirb bie Aufgabe, reeiprofe "Jrajecto* 
rien ju finben, auf folgenbe Aufgabe surutfgefüb,rf. lieber 
rinn gegebenen %e AB eine Surue CDE »on folcfcer 8Je= 

V. , , * Goosk 



tu . SmjWwm, 

|*iffra$<ll J» ttftrt&m bojt, Man man mf Mtw 
€««■> ttt äjrt, in jltüfen Snifminnj m flu, tnlfi$c> 
H* 1* Harald« BD", BT)" j«$t, Nr 6«nimt lw 
OMnM CO'B*, CD"B* lin amfmtt Sr»ft = CDc = 
2. CDB $. 2». f. 3»V SJernmlli i. Act. Knid. 
1723. p. 398. Suppl. T. IX p. 267. 

2. g<D nwtintuf ABfnftattt Sunt «tSn mS 
B t«»tofa»s tmabjäjf«, BB , = »,ITD'=j r BT 
= x", BT>" = y 9lf> (Sni&rratt Sink. 1*.) 



t»-lB Üt OrtiKUnurr ig. Sa na. Mm ■* CDB 
= c frt}*». anm CD* + a>"B"=2cj fti$(<B* 
mmatk. 33.) iiwMt 

^aUnittniBa — xjBnifcjt. &*c*»*^« 
i =r& fc * i-= » {— ^. -» fttes* 



«x = tiR2: vx, Mcaf mm «n£t ßifr . «nl MB« •£ 
tnfeur «& * . — x~ jfe anesse . jlv m jftrai« $■* 

• fX-J 




M 9r ■ ***- » 5 

«>»«>, nenn nun — «pattxftst, f,„ 6 *^ 
• ■ v = a + j j x + Ci , + Di , + * 

/ *» <*« 3/* =2o_i -»■- V -«*■-. .. 

'•**-» , «rÄ^ , ' + *■-"**••• 

63 A — Bx + Cx 1 — Ox» .f. 

«sirtf. atro =4+c, ' +E " + G * + --'-" 
&. t „»ür i+ B (B + "" + ■- + *>■ + . . ., * 

5. 'S' »tätet 1Z.V/ *M««I« «ine 3"»ctu>ii wn 
5U fo »«<* W ntdu fort«, miu. n.M. _x (iott x faf. 

Ha Co« c *\ *■*« «= + taug Pi 

| So>?- ~ e - Ua * P* = co« c* — .rät oalL tangPx 

*'™""I'" •» c c c + n t'.taD,S 
i= * , ± co ' »5 — «h» 2c. Hy P. 
f 8)6 . •»»■l;U+o»3c} tanglV 

I ""«"nwo *-»•«-»■ _ E r JT 

» ^ """" «"ijc — K w: 




■O,,^ ""«M+EtanjPj| 

fc? h2L*2Lä '.S*'"' ■«■■«■-* für X ftt, f. 



"•*"'" "*P» P»V "«* ■vi.iywuf-f. Dltrtp 

X irgmD eine gtmrtieti bcbeuM, 
$2 



116 £rai«tMi«i 

«Ai)t für tl = — * unjrttibttt btobf . 2flfo tft bit algti 
mtine X>i(T<ntttiaIgUi4nng 6« ncipruftn Sro(«toti(H: 

*-*-*+ AISÜ- 

eber bie ©teiibung. fetbjf : 

$>fcfe fibon wn (Eutet gefunbene ©leidjung ftntxt 2a= 
croip im Traite du calc. diff. et int. T. III. p. 5(16. 
mit pfiffe ber e'quations aux diffe'rences me'lees, wat= 
über in ben aufäßen ju biefent SEBetfe bafl SSJeifcre »orfom= 
nun wirb. 

3. gut Xc=o tt^äff ' man (eic(j£ , wenn man bie £cn= 
jtante = C == C tang-c fefcr: ■ - • . 

x = ytange — C, 

bie ©teidjimg bet gerdben 2f nie, wetd)e affo , wie fid) übri= 
: gen« aud; »on fdbft tterfle^f, au$ ju ben teeiptofen Xxa.-- 
l'ecrorien gehört- 

4. gut X = x 2n credit man etwn f© feic&f t 

*■"" '»-ak|» + '/:=£rrl' 

.5. S)ut<& eine ffcitffle&e SOeranberimg be« £oorbma=. 

fenfijjfrms ifi bie allgemeine ®(eicbung einer Sßeteinfatbung, 

fäfjig. SRimmt man näniHd} b"b' (Fig. 13.), we(d)e mit 

. AB einen SEBfnfel ABb' = 2c einfthtieff, als Site bet 216. 

■ . feiflen an , unb begeiebnet bie Soorbinaten m 23ejiebung auf 

.■ tiefe*' ©itfem bureb x', y'j fo i|?, wenn mit bie 9Htfdfen 

auf ber red)fen ©eite von AB o(« pofiti» annehmen: 

BB' = x = Bb' . coi (2c — 90°) es x"»ia2c, 

B'D' = y = b'D' — bW e= y" — Bb' . »in (2e — 90°) 

= Y + x"co»2c; 

dx ss etfri» 2b, &y = 9f + dtf o«2c 

£>ie* muß man in obiger ©leidjung fubfHtuiren. 2I6er 

X = A + Bi 1 + Cx* + Dx« + . . . 

©eljf man alf« x'sln 2c für x; fo erhält man 

X ~ A + BV* + Cx'* + dv« + . . . , 
eine Function von af>nlid)er 3orm, unb es erbeSet, baß 
burtb. tiefe ©iibfrirutfon Xx in Xx' ilbergeljr, )»oX' trgenb 



f/tafytctt. ii7 

eine Sroirtlon »im x' »(beutet, wetajt tTo> triebt toben, 
wenn man — x' fit x' fegt. , äifo 

ober, wenn man wfeber x, y fiatt x', y' fcbrei&f : 



I ' + 5 I 



&. 



Sa naeb betn Obigen p' «u» p «tjalttn ltiirb , Kenn matt 
— xfüStxfefjt; foiß • 

1 + X« ■ " 1— Xx . 

worau* augenblicfticb. folgt: 

W T 1 > 
«ine merfwurbige, febon »on 3o!j. SSetnouUi (Act 
Eni. 1722. p. 398.) auf anbtrm 3Bege gefunbehe SM. 
ctmng, wobei mit ju bemetfen, baß fies Slilee in öejug 
auf ta8 sweite (Eooebinatenf!j(!em gilt. 

6. Xxfen = u, roou ijbetljaiipt eine Function »Ott 
x Ifl, wefebe füt x = — x in — u üb<rge|t; fo I|J bit 
©leicbung bet retiptofen Stajtrtotien: 

1 — U ; 

Euleri Opuscala rarü argumenti. HL p. 57. 

7. 3|i P einegunrtion, we(o> fotx== — x ft)ten 
9Btrtt) behalt, Q'bagegen eine fölcfce, welcbe naa) tiefet 
tStifeftitution im entgegengefefcre ubetget)!; fo|mb i, &, 
PQ gunrtionen »on bet gßrm wie u. 25ieö giebf fofgtnbt 
neuen ©letcbungcn bet teeiprof en Srajectot ien : 

8. Safjet fann man and) gang aflgemelnfeljtn: 
X)ann fe« i ' 

,« = A + Bx -f- Cx* + Dx>. + . . . 
y C— x) = A — Bx + Cx» — Di 1 + . . . 

3ttft px = <A + Cx* +Ex« H ) + (Bx + Dx* +Fx> + ...) 

= *+.Q, 



ü8 Sxtftti&tk, 

„(_,)= (A + Ci> +&•+...) _(Bx + Dx' + *!' + ..) 

= !-«■ 

Bit t« feint mitf PO' 

9. atfo oiicj f* Jet« n: - 

.10. Bio* (8.) finb a(fs 1.8. 

Q » — ' *a_ ' a a 1 — fcx + x* « 

*-»jT* fa > * ■ .■ + .«+ ■ . ■ fr . 

_ ■' — . h ] Ä + rat' — x 1 a_ a. Tn— x, 

fr = .■ +. hl. ., ■ + .- *• » = fgpfr 



. T— X.T«' -!« + »■ y„ [■-■)'4-|t-ll' a^ 

s?= r.^-, . ry + KT ? ' a? ~ («+')' + ("4-')' * 
©iffcrentialglntfcungcit rectpcofer Srajectorten. 9J(Ie tiefe 
Seifpiete jU6( 3ob. »etnettK.I a. o: O. pp. 398. 399. 
3ntegtirt matr bw ctfte gomtet; fo. ettjätt matt 

7 = 2« logn'<«+x) — x + Const. . 

ats ©Utc^uttfl einer tcciprofen 

11. <Es Ußt fia? aua> umgefe^ct beroetfett, baß jebe . 
Eutue, für »efcbe pp';=l i|?, ju bm tetiprofen $ca>. 
jertoriett gehört, ©en oamlicfr.. 

,p,= A + Bx + Cx> + Dx 1 + . . ., 
p' = A — Bx + Cx» — Dx' + . . .; 

fo folgt leubt n>ielit(8.): 

p = p + q,p' = p-Q; 4 

pp' = (P + Q)(P- Q) = I;, 

aUatt fejpt nun ■ , 

P = l^=P + (!i 

fo I« . = ?»S-.', p=* _ 1 + p + q + .. 

' P + Q-+ 1 ' 
T «• — Q P^Q 



traft fo%(icj> .. 

f-t-Q-t l-P + Q 
P+ Q + l _ 1 + P - 9 ' , 

SfBegen ber Otaut btt SnncfionenP'nnb Q wirb nun, wenn 
— x für x g«f«6f wirb: ^j.- 

p + q — 1 . p — q — 1 ' ' . 1 -r p + <? 

p + Q + «7p-Q + ä~ " i.+ P -Q' 
fo bog a(fo p^~| «in« gunction »on x iß, writbe 

fBt x = — x in» ©Mgegengefe|fe ubtrgefit , nnb foIgtirt> 

= u gtfeijt wecben fann.' 2Ufo 

wie es fit bl« redproftn SrojKtoritn fenn muf (6.). 

12. 3obVS5etnoulli {«l)t( o. o. O. J>. 403. dne 
fer)r «[«gante Semfrttction reciprofer Srajectorien , nenn 
bcc gegebene StBinfd ein webtee i(t. 3Han befebretbe in 
-SSejttg auf redbtwinftige Soccbinaten ein« »iafüt/riiebe 
€ut»e FF (Fig. 14.), welcfce anf beiben ©eilen »on AB 
auf »8üig glente %t [legi, ne&me FD = FD, FE = FD, 
Ve:~ F'D; fo (inb E, E' fünfte ber gefuebten Srajec* 
tocia, beten man atfo eine n>iilfiu)rfi<&e 2InjabI finben fann. 
Um bies ju Betrafen fe» FK = F'K' = y', EK ss y, 
BK= — BK'==x ; fo i|i (SSertifitarion. 3.) FD=F'D' 
—jTix* +Sy'>. S)a bie £u~r»e FF" aber auf beiben 
«Seiten »on AB an)» einettei 9Ict liegt ; fo iß y'ieinegunt tion 
»onx, weiebe fücx= — xujren SEÖerrf) ntebt änbert, unb 
fann alfo == X gefegt we rben, fo bafj nacb bet €enftruc> 
tionFE = F'E'=/K«x»^+i)X , . "9lberEK=FK 
+ FE, E'K'i=FK — FE. aifö, bo MeüBurjel, nnb 
folglich batf 3nt«grat poftti» unb negati» genommen wer* 
benfann, fS beisegaBe: -"._ 

Sliid) Sern Obigen fann man feten: 

. X =s A + Bx 1 + Qi« + D» 6 + i • 

• .. , .,, .„„Grtoglc • 



ISO SttjMfMto 

|J = 2Bi + 4Ck> + 6D>> + . . ■' 

fo bof offo || fit x = — x jn'8 gntgeatnäfftve 46er= 

9e$<. aifo ■; : ■ ' 

woran« auäenNicfUctifotgt;, /"■'"' 

. . ]»'=«*.. '_ ;-■'•'.. 

fo bof; alfo feie oefcijriebene Surbe eine reeiprofe Srafecforia 
i|l(110) »«m®(ri<Siiitä[«ni!Di(f«eBtWäfel*nn9: ' 
s, = ax + .rSPipSx», , = x Hi/rä?+"3xT. 
■3>a bet goorbinafemvinfet — 90" angenommen nwben 
l|i; fbi|}au*2c = 90°(5;). ; ' .... ■ 

' 3(1. bie erjeugenbe.SurW'eine afgebraifäVEwroe, Uc 
tf* algebraif* rectificiren tagt ; fo i|t f foe , bau bie etr)cu% 
tene '-tcajeeroria aucb eine algeb'raiftbe 2inie ((?. 

13. 3(t bie erjeugenbe Suree ein Ärei« (Fig. 15.5; 
fo I|1'MN'=1K=-Jra, nenn r ben Jjjai6me|fer btefee 
Äeeife« 6e|eic6nee. 9I((b na* bec Sllalut bes Äelfe« 

»otaus |id) (eitjit ria$ (120 ergieot: 

Owejtolfocmel 49.J. 

@e»(mannun,Kü = x,, üV==y lS fo iß, »a 

BS = x, SV = y» 

«.'=' + *, j, =4 m. + j. 

0U*«ej8cisee @ub(«(oHon fa obige ©(eicjmng, inbem 
»ton bie gonfianfe fo 6e(iimm(, bog y, = o »leb Mr 
x, = o, etrjätt man leiepc 

J. = »"ilrx, — x,' + r Are rin ven il, 

tioraus fl* etgiebt, bog In biefem ga[« bie reeiprofe Sra= 
l'eetocia eine gemeine Cocioibe i|t. <SrofeetoHa, 16. , wenn 



. Keriprefe. i?j 

man an biefem Orte bie Soorbinaten nur fo «räubert, ba$ 
btv ©Reitet ber (£r>ctoibe als Anfang, unb %e 2Ire als 
3fre'ber SIbfriffen angenommen wirb.) ■ 

14. JÖat man für einen SEBinfel DBb' (Fig. 16.) eine 
recipwfe Srajecroria CE betrieben, fo lä'fjfflct; and? leitet 
für jebett anbern 3Binfel dBb' eine beföreibea. SDJan jie^e ., 
nur bie Sinfen Bd, b'd', b"d", u. f. f. einatibet paraM, 
tte^me Bd == BD, -b'd' = b'D', b''d f ' = b"D", u. f. f., 
unb befdjreibe burd) bie fünfte d, d', d", u. f. f. bie Suree 
ce, rcelc&e bie gefugte feijn wirb. S)enn es Bleibt, wie 
man audj bie Örbinafen neigen mag, nacb tiefer £on» 
ffniction offenbar immer y =/^rf &c. 2>a man ,nun 
für einen tecfcfen SBtnfel reeiprofe trajertorien ibefajreibeu 
fonn; fo fannman ess auaj für jebeo anbern. 

15. 2to^. ©er noutti f)at aud) fofgenben metftvür* ' 
feigen ©oß («• a. Ö- P* *°6.) gefunben. SEöenn Cfi 
(Fig. 17.) eine reeiprofe Srajectoria, für -benSBimM 2c 
iß, unb man nimmt DG = CD, D'G' = CD', 
D"G" s= CD", u. f. f. unb befdjreibt bie CwttXB'j f» 
iß biefe eine reeiprofe "itajertoria für ben SSJtnf et c. Wlatt 
f«§e, um bie* jubeweifen, BF=x,F'D'=y; ßF'=x', 
FG' = y, unb ^albire ben.SBinfet ABF' burd) BK. 
0tun ifi 7 »ie fta> teid)t au« ( Dtectfßcation. 3.) ergiebV 
wenn man bie formet für fdjiefwmflige Sootbinaten ein* 
rietet: - , " 

CD' ssJTdf + 2<*w)yco*2c +-<3y*, 
- y'.— y +/r dx* + 2didycoi?c + gg", . 
Öy" = «9y + r(J I * + 2örfjco.2o + öy><. 

OKmttrt mau aber BK ole Stbfriffenare an; fo «feilet au* 
. flenblkflia), bafc für BH = x", HG' t= y"i 

x = $ x" mo c, y/ = y" -f *. '■ 

—i&^-^p — 1.+ Tl + 2p«»2e + p». 

Sejdebnen wir nuit §£ burd) g, unb feinen SEBern) fftt 

3" = — x" bura> q'j fb ifl, weil furx"=— x"aud) 
ic = — ■§■ x" sec c = — x wirb: ' 



114- , $w|Kfi»ii<!, 

fojoffenficit |u befcfireiben, bafl, utm man auf belbm 
©eiten betete, in gleicher Snrfernung «on u)c , roiUfnljt* 
fid) l)ie parallelen B'D', B"J>" jie^t, bif ©umme ber 
SSinfel CD'B', CD"B" eint ran(!ante Stift = CDc = 
-2. CDB.ift ÜB. 3»^. »trnoutti in Act. Emd. 
1722. p. 398. Suppl. T.IX. p. 267i 

2. ©en nun eine auf AB fenfteebfe Sinie bie 2Irt untf 
B bet«nfana ber äofeiffen, BB' = i, B'D'=y, BB" 
= i , B 'D' = yv älfo (Setu^renbe Sinie. 14.) 

t mg .CD'B-=> = i, t„ f .CD-B" = g = I, 

baAB bie ßrbinafenare iff. 2>.a nun, wenn wie CD B * 
= e feera, tarnet CD'B' + CD'B'' = 2c; fo |f| (fflo= 
nicraettie. 33.) immer 

p + p' 

£Ra# ber Sebingnng ber Aufgabe t(i a&er immer x= — x\ 
2l(fo wieb y' au« y/ unb fotglkfr a«4" p' ober i, aus p ober 
- erhalt«!/ wenn man — x ffott x fefst. ©djen wir a(fo 
| =yx, fo ijt Jr= 9 (— *)> «nb fofe«* 



, P (-*) = 



tang 2c — yi 



T 1 + taug 2c . 

Xiie Sotm ber Function <px mufj otfo fo beflimmt werben/ 
bamit (je biefer @if«&ung genügt. 3*u bem (Enbe feije man 
yx = tang yrx, worauf man feiefrt faßt/ weil bann of= 
fenbarauebyC^x) als Sangente, atfp in gleitet 5»«»= 
cttoneform mit <px, autfgebrücft wirb, inbem näm(ia> 

'H»- ,B;iL3;T. -°"«^ 

(©oniometrie. 33.)- $fu<& gef$ie$t ^ierburcfr ber 9Wge= 
mein^eit fein (Eintrag/ babi« frigonometrifdi« Sangente 
Ut amttlid? jeben SEEJertt) annehmen fann. 3nbem man atfo 

«a = tuig v«, »>(— «) = tang (2c — y«) 

fe£f , wirb im ungemeinen ber ®teia>ung 

genügt. Um aber and) btt {weiten Säebingung jti genügen, 



.Steciptofr. 115 

bog y( — x)ober taug (2c— yx) au« <px ober tangyx 
erhalten wirb, wenn man — oc pari x fe^t, feij 
- . yx = A-f Bx+Cx* +dä+. . ., 

3c — V» = 2c — A — Bx — Cx> — Dx» — . . . 

3Da aber 3c-!-y* <iuef yx crf>aften werben fo0, wenn man 
— x ftatt x fej&t} fo muß au$ feijit 

■ 2e — y* =: A — Bx + Cx 1 — Dx» + . . . . 

woraus fftb, We ©(eidjung 

• 2c — A — Bx — Cx» — D*» — . . . ' , 
>. . = A — Bx + Cx> — Dx» + . . . 
c = A + Cx» + Ex« + Gx« + . . . 

erglebt. 3tfo 

' A t- o, U --i o, F. = o, G — : o, . . . 

unb fotgfi<&. 

yx = c + (B + Dx» + Fx* + Hx« + . . .) x 

b. f. yx = c + Px, wo F überhaupt eine Function »on 
x iff , welcfje fi# nUbt itaberr, wenn man — x ftatt x fegt. 
SUfo 

¥ X = t«lg(c +Px), . _ 

für jebe5uncrionPt)onx, wefc&e pdf» nictrtanbetf, wenn 
man — x für x feijt. Um nun bie ©if ewntiataUtöwng 
bec reriprofen $r«jectorien jtt fmben, ifl 

* . OW V T J UHg c + taug Px 

■ * aH K Px „ coi c 1 — .ria c co» c. tangPx 



■in c + cot c. taug Px sin c. coi c ■(■( 
■; 1 + co> 2c — «in 2c. taqgPx 
_ «n 2c -^ (1 + co* 2c) tiagPx' 

SHfb, wenn man 4jf°^S = E fe§t: 

' _ co. 2c (J4-E,tgPx)+ 1 — ri»2c.t g Fx- C M2o,E.tgPx 
. * ~~ «in 2c (1 + E tg Px) ' 

_ <=°«2° i. 1 I I - E tang Px I 
•in 2c T «in 2o ( 1 + E lang Px { 

©aminPfra^nfät inbat, wenn man— x fiir xfefcf, fo . 
wirb nad) biefer @ub|tttution E tangPx = — E tangPx, 
fo baß alfo — E tang Px überb^upt eine gunction i(l, 
»e(d)e für x= — x in u)r (Entgegengejeijte« Ober» 
geilt. (Eine folffce Function M$t (icb aber überhaupt burcb 
Xx twfiellen, wenn X irgenb eine Sunrtion bebeutet, 



116 £tai«foti<v ■ 

»rt4< für x = — * imjeanbett Watt, Sllfo i|I bk äuge. 
tmiiK 3)ijfne«tial9(<i*unä b« «tiptofoi /Srajecforieit: 

ober bit Shilling f<(6|l: 



i/H 



S)iefe fcbon von (Euter gefunbene ©tcidbung frabe* 2a« 
croijfc im Traite du calc. diff. et int. T. III. p. 5fcS6. 
ttltt Jpjätfc bec equations aux diflerences me'le'es^ WOV- 
übec in ben 3uja(|en ju biefem SEBerfe bae Weitere »otf em- 
men wirb. 

3. gür X=o (ttyaft 1 man leiebf / wenn man bte £on» 
jlante = C == C tang c fefcf t . 

ia y'uigo — C, 

bie ©fetdjung ber gerabin 2inie, we(d)e affo, wie ftcb fibr(= 
gens aua>t>on felbjl »erfleht, aucb ju ben reciprofen £ra- 
jectttien gehört. 

4. gut X = x 2B erhalt man eben fo Teilet j 

.5. 2>urdj eine fd?icf fic^c SDcränberung beö £oorbina= 
ftnfoffemtf if! bie allgemeine ©leicbung einer Sßetemfacbung. 
faijig. Stimmt man nimticb b"b' (Fig. 13.), wetcfee mit 
. AB einen 2Binf et ABb' = 2c dnfä)Hef t, als 9Ire Der 2lb. 
■ , [äffen an / unb bejeidjnet bie Soorbinaten in SEJejieljung auf 
• tiefe» @tj|tem burcb x', y'; fo ijt, wenn »fr bie 3ftfdffen 
auf ber rttbten Seife von AB a[« pofiri» armebmen: 

BB' = r =a Bb' . co« (2c — 90°) = tfänllo, 

B'D' == y = b'D' — b'B' = f — . Bb' . »in (2c — 90°) 

= y + x'cm2c; 

3x = dftht 2c, 9y = 3f + Ar" coi2c. 

SDie* muß man in obiger ©leicbung fubfHfuiren. 2I6er 

X = A +.Bi* + G* + Di« + . . . 

€c$rmana(f» x' sin 2c für x; fo ec^atf man 
x = ä + by* + cv* + dv« + . . 
eine guncfien von ab>Iid)er gorm, unb eö etfjellef, baß 
burtb. tiefe @ub(l itufion Xx in XV äbergebf, »oX irgenb 



Stoiptttt irr 

«Ine Sunrtlon Bott x' beteuert, mU)t ft* nicjif anbtrt, 
wenn man — - x' für x fegt. , 2l(fo 

c*tt, »am man »itt« x , y |tott x', y' fo)rtlbt : 

3>a na# brni Obigm p' aus p ehalten wirb, wen« man 
— xfitrxfefct; foni >v 

1 + Xi '. . 1— Jx • 

»oratio augenblicfUä? fotgr : 

eine merfwueblge, f#on »on 3otj. SSemouflt (Act. 
Erud. 1722. p. 398.) auf anberm SfBege gefundene &Uh 
cljung, wobei nur ja feemerfen, baß ttiee Wie m Sejug 
«uf bas jroeite £oor&inatenfij|i:em gilt. 

6. Xx fei; = u, wo u ijberljaupf eine Function von 
x ifl, welche für x = — x in — a iiberge&t; fo ifl bte 
©leidbung bec reriprofen Srajictorien : 

Ealexi Opuscnla varii argumenti. III. p. 57. 

7. 3)1 P eine SunctloB, wetdpe farx== — x ftjren 
SÖmf) beljÄlf, Q bagegen eine fofdje, wet^je na$ biefer 
©äbfHttttion in« C£n(gegengefeß(e übergebt; foßnb I, &, 
PQ gunrtionen' »on ber §ocm wie u. ©iett giebt folgenbe 
neuen @(ei$ungcn ber redprofen Srajertorien : 

8. ©a^r fanu man and) ganj allgemein fegen: 

, ™ »t— ) 
X)ann feij * 

5* = A + Bx -f Cx» + Dx» + . . . 

9 {— x) = A — Bx + Cx» — Dx> + . . . 

3(ft> »x = <A + Cx< +E.« +...) + (B.+ D»>+F«< +.;..) 

= P + Q, 

■ "■■ -Google 



U8 Staftästk, 

?(-.).= (A + C + B.' +...) — (B. + D«> + »• + . .) 
= P-Q. . 



wie es feint mufi (7-)- 

9. 2Hfoauo>fat jebeän: - 

10. £«a* (8.) pob alfo 

a ■ — ' *n_ • a_ ■» — Iw + i* « 

* = rr~i • ' = ■■ + h. * *_" 

"« + ■ 



V +■ t 1 ! + M 1 + .* 



3Mtfe«ntialgtncbutigen teciyrofer Scajectorien. 9Ißt tiefe. 
Brlfrfete Jlibt 3ol>. SBecnoulI.i a. o. O. Pf . 39£. 399. 
jjnteäri« malt Ml et|ie gönnet; fo .erlitt man 

y = 2* logn'(.-fx) — x + Cowt. . 

afc (Steigung einet reciprofen Srajectorta. 

11. (S« iäfjt ftä) auo> umgeferjtt beweifen, bog jebe . 
Eutue; foc wtfcbe j>p' = l i|t, su bea ruiptotVn Sca» 
jectocim ge^6r(. @cn ttamffäl. 

,p,= a + Bt + c» + d» j + . . ., 

. p- = A — Bi + c» — D.' + . . .; 

fo folgt teio>t tele in (8.)! 

P = P + Q,p-=P-Qj 4 

pp' = (P + Q)(P-Q) = ii - - ' 

- p + «=p-^' p -<2 = rn5-, ' 
0Ran feje nun 



foifl. 



P + Q-+ 1 

as« p + q - 1 = -J-. - , = i^-+s, 



unb fotalid^ 



p + 1 ■<■ ' = f— q '■ 



r+Q-l _ l-T+q 

P+ Q + l - l + P - q • . ■ ' 

SSegen bet Statut bet SuiKfiijn« T un&Q wirb nun, wenn 
— xfto xgefeijtwlrb: ■ ,j ' 

P + Q — 1 _ P— Q — 1 '_ .' ' 1 — P + Q 

P + Q + 17 P- Q + >.."" \" '.+ P-Q' 
fo bafi alfo p j;^~| tint gunetjon »on x iß, welcbe 

fiu-x = — x in* Snfgegengefe|te übergebe, unb fotgtieb 
= u gefegt werben fann.' Sllfo 

a, = ±±±&, .■■..'■ 

. 1 — u 

tele « für feit reci»tofen Srajeeforlen ftnn muß (6.). . 

12. 3o|j. Setnoulll leljK.a. a. 0. J>. 403. eine 
feb> ttegantt Sonftrucfion reriprefer Srajectorfen, wenn 
Ser gegebene 3Binlel ein teebter i)l. Solan betreibe in 
-Sesug auf recbiwintlige goorbinaten eine willfübrlitie 
(Eunte FF (Fig. 14.), welcbe auf beiben ©eiten von AB 
auf »bllig gleicbe 91rt liegt, nebme FD = FD, FE = FD, 
F'E*=: F'Dj fo ftn& E, E' fünfte ber gefuebten ?tajec. 
totia, beren.man alfo eine n>UIfut)r(icbe Sinjabl ftnben fann. 
Uro bie« ju betrafen fe» FK = F'K' = y', EK = y, 
BK=— ^BKj=x; fo i|K01ecti(ication.3.)FD=:F'D' 
=zfy~Sx' +Sy'. 3>a bie Cu'tbe FF' aber auf beiben 
«Seiten »on AB auj» einerlei Slrt liegt; fo ifr y'.einegnnrtion 
»onx, welcbe für x= — x üjren 2ßertb ntebtanbert, unb 
fann alfo = X gefegt we rben, fo balg nacb ber Sonffruc. 
ti«nFE = F'E'=/rsxM-< ) X«. ' a»erEK=FK 
+ FE, E'K' = FK — FE. aifo, ba bie SBuriel, nnb 
folglich ba« 3""9'al »öftere nnb negati» genommen wen 
Mit fann, fureetotSallei 



.Google 



9ta# fcem £>%cn fatui man fpfee n: ' . . 

... x =s a + b» 1 + c«* + Dx* + , 



130 £rtj«fet|<i, 

H =. 2& + 4Q' + 61*' +' . . 

fo baf affo || für x = — x to's gntgeäengefejfe 48«. 
je|(. aifo .,■■.' ■- ' , 

woraus aiigenblicflicb folge; .''.'"'■' 
. . , -jw'-ir. '_ ,-" 
■ fo bog alfo bie Betriebene Surbe eine reciprefe Srajecforia 
iff(110, berenWeiifrüri^urÄSifferennatgtalcbmtgs 

Sj = si + .rii<n(-^x>, , = x +/r<!i> + ax-. 
S>a ber €oorbfaatenwinreI = 90° angenommen warben 
iff; (b iftautb 2c = 90» (5;), ; ' ... - -. 

3(1 bie erjeugenbe.Surbe! eine atgcbraifcbe£ur»e, bie 
fi* atgebralfeb rttrljulreh KJtj foift flar, bafj bie erb>fc 
fene Srajectoria auä) eine alg*8raifcbe 2inie Iff. - '. 

13. 3(1 bie erjeugenbe £ur»e ein $me (Fig. 15.5; 
foi(iMN=LK=4rii, roenn r ben £a(*mtffer blefes 
Greife» bejeicbner. Slfo naeb ber SBatur beS Greife« 

woraus ficb (eitbr na<t 1(12.) ergiebf: 




QMegra(forme(49.). 

©eStman iura .KD = x,, UV = y >5 fo \fi, fc, 
BS ==x, SV = y: 

«.'=*+. «.ti x|» + r. 
9Jod) gebäriger eub(h'fu(ion in obige ®(ein)ung, fabeln 
man bie £on(ian(e fo be|}immi, ba|t y, = o wirb für 
x, = o, erlitt man Mibe 



Ji = ' 2re, — i, 1 + r. Are «in von — , 

woraus |ic& ergiebl, baf In biefem Sa«« bie reeiprofe Sro, 
jettoria eine gemeine Socloibe ift. <$raj«etoHa. 16. , wenn 



.9&<ip»&.~ 121 

man an biefem Orte b(« €eort>iruifen nuxfimlmbttt , tag 
i>er ©Beitel ber (Snctoibe als Anfang, unb tEjre 2Ire als 
3fj* ber 2lbfcijfen angenommen wirb.) . .' 

14. jftot man für «inen SSJinfel DBb' (Fig. 16.) eine 
reeiprofe Srajecforia CE befebtieben, fo Wfjf fl$ aueb Ui$t 
fifc jebenanbern^infef dBb'emebtfdxeibeu, 3Han jiefce., 
nur bie Sftnien Bd, b'd', b"d", u. f. f. einanber parallel, 
neljm« Bd == BD, .b'd' = b'D', b"d" == b"D", u. £ f>, 
unb befdjreibe burdj bie fünfte d, d', d", u. f. f. t>fe ®ur« 
r.e, ivelc&e bie gefachte feijn wirb. 3)cim es bleibt, wie 
man oud> bie ßrbinaten neigen mag, nacb bfefer £on> 
(fruetion offenbar immer y =/^5 ^x. SDa man .nun 
fÖr einen «dbten Söinfel reeiprofe "irajeeterien :bef<fcrei&ea 
fann; fo fann man es audj fftt jeben «nbern. 

15. 3o^. SernDuIli ^atoud? fslgraben merfwdr. 
feigen ©afc (%. a. Ö. p. 406.) gefunben. SBenn CE 
(Fig. 17.) eine reeiprofe Srajectoria, für ben Söinf ei 2c 
ifi, unb man nimmt DG = CD, D'G' = CD', 
i>"G' = CD", «. f. f. nnb befdjreibt bie Surtte.CE'; fo 
ift biefe eine reeiprofe Stajeetocia für ben Stßinfel c. QÄan 
felje, um bie« jubemeifen, BF^x, F'D'=y; BF'=x', 
I"G' = y, unb H&ire ben.28infel ABF' burd) BK. 
Sinn iji, wie ficb tefdjt aus (üRecfifjcation. 3.) ergiebt, 
wenn man bie Formel für fd)ief»infUge Eoorbinaten ein« 
riefet; - . " 

CD' =fT8x* + 2öxc)yoo*2c + dy*, 
- .y.a , +fT dx* + 2fW yc0 »g g + dj*, - 
Sf = dy + rJS" + 2didycoi2c + 3yTi 

Stimmt man aber BK als Slbfriffenare on; fo errettet au> 
. genblUfUa), baß för BH = x", HG' = y": 






: p - 1 + Vi + 2pco*2c + p 2 . 



©ejeiebnen wir nun ^ burd) g, unb feinen SBerftt fite 
3c" = — x" burd; g.'j fo ift, »eil für x" = — x" aud) 
k = — \ %"■ sec c =£:— x wirbi 



122 SMjettora, 

^5 = p — 1 + » i + ap cm 2c + p s , 

JJj = P' - » + ri+2p'j»lSc+p'" • 

äb«pp- = l(5.j äffb 

^J; =P - ' + n + 2p'coi2. + p>, 

I>unt) £tnut(ip(lcatiort «^atc man t 



ijl. 



2(1 + ooi2e), «rfss- 



Blfo 1(1 CE' tine tetlprofe ta/ectorla für beo SBinfet 
4BS=c. 

äBie man burd) melirfac&e äimxntnnä biefer Eon. 
frructton, wenn wir 2c = c fegen, »ctpeofe Zfaitcta* 
Hen fite ble SBinftl c, t "'» i °'i i «'/ »• f> f> (inben 
fann, erb/euet angenbtiaHicb. 

16. @inb CE, C'E' (rig. 18.) jwe» tedpttfe Sra.' 
jeeforien für bie QBinfel a, /?, unb maß betreibt eine 
SlnieCE" »on'foItberS3efcb<iffem>it, ba(j füc >'ebe Drbi. 
nare PQ, ein Kcb.»infiige$ Ec-orbinatenfallem ttorousge* 
feist, co^=cf> + i/»i(r; fo ifl C''E" eine wripre-fe $rat - erto> 
tia für ben SEBinfet a + /?. ©enfe man (itb namtict) bie 
fccer; Linien in umgefebtfer Soge; fo i(t ip = 9)', y=y/, 
to == co'. 2Iber w^=(p-t- y, w*=<p +y/, alfo im* 
mec a» + o/ = y + 97' + y + y = a + ß> Swc 
Bf = X, PG = r", PG' = y 7 , PG" == y l(t: 

wotauä teiebt nfydttn Wieb: 

■■* Ob* 
\ * = 1F + ~f^" ..." 

bie rOiffmntlalg'eufnraa, bet €im» CE". 

17. $ierr)et geMtt web bau <Jfro6tem »on bergab 
logonio (SB. f. bitftn artifel), ton Sleicbuna. »ir bter 
auffneben wollen. 3(i bie (Fig. 19.) »erjeiebnete Euroe 



bie^Santogoma, FE eine »iDf liljrtitbe Sötbtoate , fo wie 
FT, f F"E" jttei anbere'baWn güitfroelt abfleijenbe OrbU 
. taten; fo ifj b«o> bec £rfMntng (a. a. Ö.). unb no^ (1.) 
immer 2y := V + «>". Sttfö/ wenn. wir AE = x,' 
AE' = x', AE'' = -£' {«Jen: 

i : 2 = 9> : q>' + *", x : 2x = 9 : y* + <p", 
x j x- + x" es 9> s ^ + y", 

ba x' + x" = AE' + AE" = AE — EE' + AE +EE" 
= 2AE±= 2x, we« EE' = EE" 1(1. 0«mm( man 
nun bie Drbinaten in unenbücMiefnen fflbffönbejt, fo .geljt 
x* + x" in 2x", unb tp[ + <f in 2y" dber/ unb obige 
5)eoportion»etwonb£l(fio> in; 

i : «" = 9 : g>'' 

SBan Bot atfo für bie ftetige 9teit?e bei; Orbinaten, »enn 
nwn.ben auf bee linfen (Seite vorx' Uegenben ^bfriffen 
kie 5nbife8 «nf t beifügt t 

"x:'x =>:>, 

x\- x ~ V: <p, 
it«"=9:f, ■ . 
1 *': x"' = 91": 7?'",. 

woraus fi# nrnttiftelbar ergfebt, bag bie Sfbfajfen fiefe wie 
bie ^tnfel vergalten/ »elt&e bie *p<wtogonia mitbenQtbfe 
nafen einfc&tiefjt, wiä)t$ fic& aacb. leitet urogefc^tt bewei= 
fmttfc ; ' / . - , 

- SSlan b^eiefme jefjt AE burdj x, benfe fidb mit eineis 
ttiOfüb,cUo>en Diabiue r einen Äceis betrieben, unb von 
tiefe tu einen Sogen obgefdjmtten, irefdwr ==x' j|f ; foijI>, 
totnn »fr bitfeg Sogen« ©tnu* bu«& x bejeii$neu; ' 

x* = » Are «in — , 

3ftet (Streifte 2htte. 14.) 

«V '.. . ftrV -.. 

,.*»g f = -gj-i f» =.r Are trag 7^> , . 

wenn 91 ebenfalls auf ben. örft bem CÄabius r ief<&rf ebenen 
Ärel« bejogen wirb, .©efce-tiwir nun ba« eonflante Sßer* t 
Wftnig' bec abfdffeff ju ben mit y begegneten StBinfetn 
= 1 : n ; fo- ec^iit man bie ©tewfcung 



124 Swjecfima, 

Are taug ^- = n Are im — . 

■ * fr 1 — x». 

Am tia- — = Ate taug — =>= 
r ' fr 1 — 

, : *9* . ' * - 

Am taug — -— 3=Ä==nArctang - 



gut > = 1 ereilt matt otfoj 

rek ___ x rftt __ . 

J«C+ logn x, 

obecffirr=a f C=.c — alognb: 

, < y = c + a log»'-g*- 

SD. f: qi ffl. ©. 710. Sät ri = 2 l|t 

2 Are taug j = Ar« Unfl? 3 



i ßyTr ä — x» 

Shtf A^n([$e 21« föc «rtfere 9Berf$c »oit n. 

18. 3o^. S<tnoutHttnb'öOCiiä9[(c& (Sw[et§fl6m 
fiel? fette viel mit bet 5luffmbung algebraifd?« reeiprofer 
?ra;ectorien beftfräfffgt. (Sitte gufammenfttttang ber »er* 
f<^ict)encn-SERetijo&<n würbe eine weitläufige SÜbfjonfcfung er= 
farbetn. 3<& J^S^d* mi 3> tKÜ)er.|ier nur.bie eine SMe= 
ftyobe CEuier« in benOpusc. varii argumenta T. Ilf, 
p. 34. rmfjutfjiilett, »e(Ae, wenn ottd? gerobe niefct tte 
«flgeraetn'jle , besljatb bejonber* merfwnrbigjwfeijnf^eint, 
weif fie gar feiner Srttegration bebarf, ttelcfre« (Euter 
p. 60. fetbfi als einen S3orsng biefer SOict^oöe angiebt. 

19. guben obigen allgemeinen @Iei$ungen reeiprofer 
Srajectotien fügt <£ u l e c nod) bie ©WctmngeR : 

ßj = (V"l"+ u» + u)- . Ä, 

■'.'.'., ->-(r^-^. ■■'■■.■ 

reo fx = vst i|S, unt t eine utile »esitat>Mli<$K Srtjje tr- 



SHtäprtli 125 

Ixiifrt, vorweiset x fo o6$än8«, to(i * In— x itter. 

äelit, für t— — t, atfo 

x = At + Bt 1 + Gt* + Dt' 4. . . ., 

Sx =3 (A + 3Bt* + 5Ct* + 7D*< + . . .) St-, 

unbfolälitbv eine guwtion von ti|l, wellbe für t— — t . 
iljren Sßatf) ntcfet dnbert. u f)at immer ote SSebeutung (6.). ' 
5Da|j beibe 8 ©leicbiingen reciprofer %rajertorien fmb, 
folgt (ei*t du« (11.). Senn in Stjua. auf bie trfle ift 
P = (t i + w + tp-, P ' = (Ti-fr u- - »).j 
pp' = [ (» l + «■ + u)(>i+u' - «)!" = >. 
3n SJejug auf bie (weite iß 

(Eben fo tonnte man (eigen, baß 

Wim ©leicbung reciprofer Srajectorien iff. 

(Euler le^rt nun bie (£r|inbung algebraififcer Srajecto* 
rien aus ben vier §ormetn 

anf folgenbe 9h, Kenia ffcp eben fo viele ungemeine Sie» 
gein ergeben. 

20. 2>a u negativ wirb filr x = — x, fo entfprubt 
tent 9Bertb> — u von u offenbar au<p ber 2Bertty — x 
»onx, unbxi|I folgli* eine ungetabe Function von u. 
2Ran muß nun unterfutpen, wan für eine ungerabe gu tti 
«ionxvon ui(I, bamlt j-i~j 9x integrabel, unb juglei* 
y algebraifä) buro> u ausgebrutft »irb. 91aö) SM. n. 
©.783.4|t 

y >-» Ja-*)" 

fb baß alfp Hof nod> / (1 !f" u ., afgibraifd) integrabel ge= 
nwo>t gu werben brauebt. §u Dem <£nbe fest £» (ex, 



126 ', 2MjttJWi«, 

»tnn f-ftgtnb «Int gtnfct, qirgtnb «ine ungtwbt §tm= 

trionbonu bleutet: 

„< ■ A _ (p-MKl + iQ •-• - 
7(1-«)' i-T ' 

woraus burdi Btfftrtnfaclon 

21 = <l-»')jj; + (1 - »•) jjf + 2(p + q> 

für jtbes u. glimmt man nun «He gerabm Mb tfle nngtra* 
Um gunctionm »on u jufammen; fo trf>4lt nun fiir 
itbtt a : 

a -("-■>') *£-<*> = »-«■! |j + *, ' , , 
»tlcbtt-lm 31tla.emelntn für jtbes u nur bann |iaK finbttt 
farin, wtnn fnt fnb; 

9> - (1 _ u')|E - 2, = •>, (1-«')|J + 2p = o. 

Sit«, in bit obige algtnitint (Stticbung fu6|!i<ui«, glebf : 

(«p + JjKl +u)l 
J : ; 55» ' 

ttoburcb offenbar y algtbraifcb burd) u benimmt -i|f , wtnn 
nur p, q, algtbraif$e gnncfiontn ton u finb. Zittaus 
trgiebt (i# bit '.'■•-:'-., 

Sr|Je Dtcgtt. SDlan nrf)mt irgenb tint nnjttabt 
guncrion q von u, fucbt baraus 

p ~ s3ä ^ 

(bwirb 

: (i-u-)ft» ,' ._ (<V + <%(< + <■>■ ■ 

33ä T,,I ~ 2()u * 

(Eiiminirt man aus biefcn beibm @ttia)ungtn u; fo erbäte 
man bit ®[titbung gwifcbtn x »nb y. 

gär q = u', wtnn 1 itgtnb tint ungerobt go^l i|i, 
erl;ätfman: 

* = - «><1 - t) o 1 - s +}(U+2)n'-Jl(l+l)B 1 + 2 , 
I = 1 lu i_1 (1 - J + u + 2u) (i + „)■. 

3«r » = 1 »itbj " - . 



8fen»rofe. 127 

»otau«- « = r5 -.ijm- r + ifip — »■ 
IDifStälK — y + iy~iy-i»(tb = <>f»ry = o unb 

r=V- - ,~ 

Dtecbnet man nun bie Slbfciflen t>on einem fünfte an, 
»elcbet ntn eine bet <Einc)tit gleitbe Stege »om ptimitiwn 
anfQ»9«|)nn(te weitet nod) bet pofitiwn «Beile bin liegt; 
(b Wieb obige ©tetebung 

« = »f^?- r , . 
unb bie Ütbinatenote wirb Don ber (Tutbe jirei 9M, für , 
y= ö unb y = ¥ , 8<f*»i«en. 3n (Fig. 20.) i(l bie 
iSjmt fue einen &utcbfcbnitte;minfet = 90° »erjetcijnef. 
SSeraeifete Man bie Dtbinaten mit ben abfeiffen; jb wirb 
We 8(eid)ung , 

J = jrc^- I , , + , = ifEi. 
§attitt man ben reebeen Säimfel GAD bureb AH, unb 
fUf AF = x', FC=/;-fo i(J, wegen FE=AE=x, 
AB = y; 

»oraus telctit folge: j'< = V **• 
511fo t|t biefe reeiprof e ^rajeef öria eine Farabola cubicalis 
seeunda (161. HL @.725.), beten ^ototnttet = ¥• 
3oS.SetnoulIi nenne (ie (Act. Etud. 1725. p. 319.) 
Farabolam ciibicalem seeundam semireetam, weil bie 
, ^bfcijfen mit ben Ot&inatett einen balben teebten SBfnfet 
einjebtießen. ©ie i|i i&m Trajectoria reeiproea , quae 
iutcr oaines algebraicas possibiles est simplicissima. . 

21. au« Set juxtet 8o«ml in (19.) etbält man nad) 
bet atebuttionofotmel (Ibl II. @. 783.) wie wtta 

»otou« bnro>S)i(feteniia(ion: 

i = (1 _ u')^j + Ct - •■)g[ + > II + 0. 



128 SrajcctotiS 

unb folfsfl*/ wtim •*<* triebet alle gnati« unb unjerabe 
gunclioneu »n u pfammennimntu . 

, L (l-u')j£ - au, = ., (l - u'jjS + a.p = .. 

0t ± Sq\ (1 + u)-" 
1 (1 -.]— . 55 ' 

35ics girtt bie 

gmelte SSeael. @en qlrgenb eine ungecabc Sun> 

etion von u; fo neljme man für irgenb ein n : 

» — "MS?*- 
3>ann 1(1 

* - -«?.+ ^ ■ y (i — u)— ' rti 

®uccb CEtimination Mn u erfüll nun eine Steigung 
jtpifcben x unb y. 

Sät 9 = 2nu ä , t»o ). Ccgenb eine ungerabe ga$t ijt, 
erhalt man: 

I = o 1-2 j - 1 (1 - J) + t (1- + 2»>)o' - i(J + l).n< | , 

, = _>.»-" |»_ < _*.-. < i + o..j:g±^ 

22. £0 ereilet aber teicfcf, baß man au$ Bei jebcc 
reeiprof eit $rajecroria bie Sootbinatett ficb in einerlei S0ec« 
$aUni|j öcrÄnbscR (offen fann. £>enn ifi )J = p; fo ffj 

§£t£ = S£ = £ = *" <* an* in tiefem 
"Saffe , wenn man — x für x feljt, ber £>ifferentia(quo* 
tltat = p'/ unb folgti$pp'= 1. 

- 'Stimmt man taljer, wie (Euler tfcur, bie goorblna; 

fen Ijal5 unb entgegengeht; fo ersiebt |tcb: 



S&ciprafe. . 129 

,„'-i\>^'. ^ ' + ■„■! (■ + »>•" 

7 (2 . 2 J "(I -r u)*-t •, 

"■ 23. Süt-q 5= 2nu" (1 — u»)» erhalt man', wenn 

man beiß? Soorbinaten enfgegengefe^t nimmt: 



woraus für i = 1 unb m =£= — 



:«*«, wenn man beibe Soorbinaten ml( 2(a ,^, T mulfi- 
»licitt: 

— 2a " , - /"* + »V « C" — 2n + nu') 

!-»■' ''"v- v'w - o (■ - ■')• 
Stimmt man aus ber erfien blefer Sieicbungen u, unb 
feist cß in bie j»eite; fo «-hält man 

... ( B rr+'?- x) <r «* + x' + 1>» ~ 
.»■=" (»• - o •■ • • 

. 24. Ei« merfwürbigen gormeln, welcbe Eulet dv«; 
O. ©.81. otine SSerceiS giebf, [offen ftd) auf folgenbe 31» 
allgemein beweiftn. SRan fe^e: 

(»V + >■ + x). = p. + Q rV+— i 

fo erb/alt man bureb Differentiation : 

n(T r i T +x r 4- x)- 3x = (a» + X 1 ) 3Q + Qxdx ,f- dp , TV + x» « 
=3 n Pdx + n Q5x . Va» + x* 

füt)«be«x. äifo (ann man feüen; 

(«>. + x*)3(J + Qxdx = nPc?x, ffP = »Qdx, 
ob«: <•" + x»)^- + CJx = »p', § = -q. , 

©oa nun (Ka ä + x 2 +x)" In |i»ei Steife genjei« »et. 
ben, baß ber eine Vftii .bloß gerabe, ber anbere blofi uru 
getab« $k»en|«n enthalte; fo felje man; 

P = A -+ Bx* + Cx« + "Dx« ■#■ . . 
Q = A'x 4- B'x 3 + C'i» +- B'x' + . . . 

ä(fos<cmege obiger beiben'Sletcbungen: 
V. ' ... 3 G'ooqIc 



130 Stajcctorfa, 

a*A' +-3* , B'x* + Sa'fi'x« +, 7a*0'x« +-. . ] 
+ A'x' + 3B>* + 80'** + • • | 

UItt> 



. ^. . A'x» + B'x* + Cx» +.. 
n A 4 nBx 1 + nCx* + uDx* + . 



2Bx +■ 4Cx» + 6Dx« + 8Ei* + . . . 
ss nA'x + nB'x' + nCx» + nD'x' + . 

3fu6 ter jtseff en erljtttt man: 

2B = iiA'; B sei £nA'; 

4C = nB'; C = jnB'; 

. 6D = nC'j D = JnC; 

6E = nD'i E = £nD'; 

II. f. W. ■ u. f. ». 

©iettffea,(dlfia'A'=nA, " ■ 

. .'; _ > »B'= ; i.B-2A- = (, "-T 4lA '; 



9UfO 



u.f.f. uf.f. 



A' = ^, 



_ n(n'-4)A 
2'. 3a* » 
n( D '-4){n'-16)A 
2 . 3 • 4 . öa* ' 
_ n ( n' — 4) (n* — 16 1 (n'. — 36) A 
2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7a e ' 

».f. f. ».f. f. 

_ n'A 

~ 2a* ' 

nM^- _4JA' 
= 2 .'3 . 4a* * 
_ n»(a'— 4)( n »-i6)A 
~ 4.3.4,5.6a' ' 

«'("'- 4)fa»'- 16)<n'- 36)A 
2.3.4.5.6.7. 8a» ' 

«.f. f. «.f. f. 



Sttfo i(t Mof nwf> A ju itftlmmui. 5är x = o wirf> 



Ötetiptofc. I 131 

F= A, g ■= o, (fa> + '*» + x) ■.=.»».. a(Jb 
A = a"j ttnb fotgü^ ■ • 



• c 



' _ . »(n'— 4) ._4 _» ■ i 



«r»-— «»»*— '<o . 



rr+7. 



■2.3.4.6 

S)ii8äieKna«(23.): 

tu' — l).-y=C"P-Q"> r.' + x' +nQ(." + «*)— Px 

= b»'+ -^-j — a-=«'.+ 2T3T4 7* ' 

I ' +!K=«ß=SP= a -'- + 

+( .,_,,„ + ü^-.. * £*£&£» . 

-4)(»--16) , , 



T 2.3.4.5.6.7 

tltu fr$t aflamteine' SW*unj teclptofer Stajectotlen, 
»e(«e |i#, rcenn n diu jetabe 3a%li(J/ jttetstit auf einen 
enbltfien ähiotaucf tebutitt. 

gut n = 2 er&Mt man 

3tt y _3»*x — 2x» = (2»' + xx^lV+x», , 

Kotaus iura) Üuactituna, etfyltten toltb ; 

4.* — 9.-J' + 18«"xj + 3«'x' + 12x"j = o, 

oierfilta» = <./}: 

4.V' — 9"J»y' + 18«^y + 3«j*x' + 12jx» = o, 

nie aü* f*on 3»J. »etnoulfi (Act. Erud. Suppl. 
T. IX. p. 277.) a.efunbeh (ia(. St nennt Wefe Kcipwfe 
Stajectoria omnium algebraicarum post primamaim- 
plicissimam. 
25. gut 

P =j Ax + Bx» + OK« + Dx' + . . . 
■ Q = A' 4- B's' + C'x« + D'x* •*. - • • 

tttyUt man mitttift «etfrtSen (t»ei SDiffetentWatetcfrunäe» 
gotti-ivü««!)«: ; 



132 Xxaytcten», 

(r 

. »(j-l)(»'-M 

"•" 2.3.4.S " * T .' 2.3.4.5.6.7 

j* + 2 r 27171 

[ + orf.i.6 * • + - 



-«„=„•+. + ^fil^^^^ii 



2.3.4 

Ufa'—«.. 



|. (n'-7)(n--l)(.--9y..--25) .._,.,, I 

f^ ET.4.5.6.7 ■ »T-......-J 

: 26. 3(1 n ein S3m« = £ ; fo glttt bie ®(eia)itmj in 

(23.)Ieidjti 

wx)".(>l 4- i' + x)-.m- 



. •> (.»■-» 

wenn |ua.lelcb » == 1 gefegt wirb. 
, gur m = 1 g.iebt (Euter S. 75. (int rjlerau« b»r$ 
^nbuction gefundene, »on ber ^ttfatfonatität befreite 
(Bfeicbuna, , nibfl fiebeti fpecieüen Sälen , »btuber man bie 
2ibbanblung felbfi naäjfeljen nuif . 

27. Sin« ber brieten Sormet ill (19.) erijalt man; . 
= , (IT+TF.+ „,.•_ n yüIIS+?>Lt». 

gar /■' n g|^ S = (pH-,)(rMr^ + «i. ."• 

erb^Slt man bura> Differentiation: 

ri+u> eu du 1 1 + u» 
Denft manfitb y i+u' n aj> tat binomlfeben $eb>fa$e 
enmieMt; folfiHar, bafjj^i+u' eine gerate $tmcfion 
Don u ifi. Da nun x eine ungtrabe Sunceion »on u i/t j' 



SXmpwfe 133 

f». i|f. offenbar au$ p=L^ eine ungerabe, tinb eben fo 
p=J=eüiegefabe, p=^=bagegeneintungrrabe. Sßfmmt 
man bab>r bfe geraben «n& ungeraten Functionen jufam; 
men; fo erhält man 

i dp b<j, ,flg , w ß 

rf+^ "* Ä " rr^ ~ 3» + rr+«' 
SHfo rote oben ; 

£ienmS etfjatf man 



um) Ijierauö entfpringt bie 

©ritte SKeget. SBan neunte i rgenb ritte «ngerate 
gimction q wn u* fefce p = — ■ *%j^ °V unb befHm* 
me x, y na$ ben obigen gormetn; fo gfebt bie <Elimü 
notiert von u aus tiefen beiöett ©(eicfcungm eine ©feitbung 
j»if<ben x unb y. 

SefNmmf man au« bet erffen formet % «nb «Hmlnirt 
P an« btn gornwln fär'x unb y; fo er$4(t man: 

"™ " * ndu ' ' ncJu* *■ 

»«aus, u»nn )■ <in« unjtrabe 3»^t btjtUfcn«, füt q= u» : 

x =(n»-i»)u J — ip— l)u J ~* 2 , . 

i=— M* -J (i-i-i.urrTE+'»')(rr+^ ! + u >'- 



134 Stattetet«»,, 

Bttst mm In tun Selben «ff«» S«™"'" * — "' 
nimmt Mit Eoortinaten negativ, mu> blnibiet pe burcb 
n — lj fo trfjatt man: 

woraus für n = 3, wenn man (y"i+x* + x) 3 nacfc 
(25.)ent»itfett, unbba« 2Bnr|efjeicben»egf<bafft: 

4y» — 12x J j — 8x*j = 4»' + 3«*. 

28. 3n ber »irrten Sremtt in (19.) I|t v eine getobt 
Function »on t, u eine ungerabe^unction wtt t , atfo aucb 
t eine ungerabe Function , -v aber natürlid)'aua> eine gerabe 
Function uro u. «Jutet feijt v == 1 — u", n = l; 
fo-il» 

H = t& = (1 -«•)*, 8,= fj-±-j'Y* = (1 + n)" . ft, 
I = t — fa'St, y = t + 2/uft +/n"5l. 

Sttfo niäflen u«t unb u»ap algebtalfa) integrabet fenn. 
e«i)l 

/nüt = ut — /*ßu. 

©eljttnannun, »ennp immer eine gerabe Function »on 
Hbejeidjnet, /tSu=p, atfot= |f; foi|l . ' 

/jj*5t = n»t — 2/tnda == ^4j2 — 2/udp 
■ = "-$. _ 2 ,„ + S/,5». 

SBanfeije/p9ii:=q, wo q eine ungetabe Sntictlon nun 
n 1(1; fo ifi p = jj, ,ine gerabe Simenon Don u. atfo 
J& = k!, «nbforg«*! 

rZ—T^-S." ■■'■ ' 
X = tt^g)±3 + ^J_ 2 „ 

I + 2J. 



hieraus enffpringt ble, 

SBiette Sieget gut Irgenb eine iingerabe Sunction 



.'.■ 98tci»rofc. • ■ • »S 

q von u beregne man x, y aus obigen Sleiebuitgen, unb 
climinire aus benfelbeB u. 

gurqsru*, wo i ungerabe , erhalt man: 

1 = 1(2 — l)» 1-2 - (1 - 1)(1'- 2)« 1 , 
j=ICl-l)« I_2 +2><l.-2)n' _, +(l-^l)l>-2)»', 

woraus 

i l(i— ih— '(1—0(1— au»' 

j _ l(l-l)(l+ii>>-21(l+ii>u+8il-- 

SWuttlpticirt man ilbtr .Sttuj, fo ergiebt |td) in Stjug auf 
u eine quabratifebt Sleicbung, aM ber man erbatt:' _ v 

_ — 'l(l-Di±T'l(i— »[(l-DT 1 — »') ■ . 

(l-«ll-2)(l+J) • ' 

weta)e«/ in 

« + j = 21|l-| + (l-2in)«'- 2 

gefeilt, eine Steigung jwifdjen x unb y siebt, au« bei' u 
eliminice i|i. 

Q e f 4 I. 4 t t 

29.S>aS^ro6(tro»onbenrecl|>rofen$raJeetorien»arbin 
S5cjug.anf einen ®urcbf4nitt8l»intel, ber ein reejxer l|t, »on 
SRicota« Sernoulii, bent @obne 3«&ann<l, |uet(l 
im 3abre 1721 in ben Act. Erud. Suppl. T. VII. p. 352. 
»orgeiegt, wobei Olic. SetnouUI juaMcb anzeigte, bafi 
fein SBater fd)on bie 'ilufwfung gefunben babe. SRit 8er. 
felbenbefcbaftigte ft« »otjügti* 3or).,S3ernoiil(i uns. 
ein ungenannter Knglanber, »on nKlttKm man jebod) 
noefcber erfuhr, ba|j e« bet Sc gSetnberton gewefen. 
3or).ä3ernoul(i trug burd) bie ©rgani, aUgemeinfjeit 
nn1> einfadjbeit feinet Suflofungen ben Sieg babon. 83e» 
biefer.Selegent.eit fam an* bie grage »on ber »on 3« 6 - 
Sernouiii juer(i fo genannten ipantogonio |ur ©oracbe, 
toclebe »onbem anonymo Britannoinben Philo». Trans- 
act. 1722-aufgeIofet worben war. SOt. f.aud)Act.Erud. 
Suppl. T. VIII. p. 235. p. 253/ 3 oft. SBernouIli 
«ab feine äufwfnng Act. Erud. Suppl. T. IX. 1729. p. 
265., etaauffa«, weitber in moneber OuSctftdx merfwur. 



136 • Srontfcentxnt 

big «»* inteteffant ff*. <Er- |b$t barin fe$c gegen bfe €119. 
lanbertos, inbem er*. &glei$ju anfange jagt: „apud 

„Anglos quamplurinii sunt, qui immani odio erin- 
„vidia flagrant in exterorum virtutes et merita. M 
9Ran muß anneljmen, baß er burdj bie öielen Banfereien 
ber (Engtanbec, befonber» mit feinem,, nunmehr tttrflors 
benen, greunbe Xeibnig fefjr gereift war. £>fe äufle« 
fungen be& anonymi Britanni fabelt et fefjr. 916er metf» 
warbt]) iß aucb bas Urteil über ben nad)^er fo berühmt, ge* 
fporbtnen 2eon()arb (£n(«r am ££nbe biefe« ätuffa^es 
■ (p. 277.),: „felicissimi ingeniiiuvenis, a cujus sa- 
„gacitate et acumine Biaxiräa quaeque nobis pblli- 
„ceraut, postquam.vidimus, quanta ille facilitate 
„et soler hia in adyta .sublimioris gcometriae jnostro 

„auspicio penetravit." QEuier, berbamalsMtcx&SSer» 
noulliß ©c&üler war/ fjatte nämfid; eine Sftetfcobe ge« 
funben, au«, jeber Orbmmg, bie jweite ausgenommen, 
eine reciprofe algebraifdje Stajectoria ju finben, wefc&es 
er fcbon Act. Erud. 1726". p. 363. anfünbigte, unb bic 
SBet^ebe fel&jt Act. Erud. 1727: p. 408 — 412. mit- . 
teilte t inbe.m -bie $rage von ben a(gebraife&en reciprofen 
$rajectorien fcbon »on 3t)f). Serrtoutti mehrere ÜRafe 
jüt<Spcad)e gebracht werben war. $>ieE>ierl)er gefjirenbett 
Slf fenjlütfe flnbet man äße in ben Act. Erud. $>ember> . 
ton* Mufftet 1721. p. 156. SuppL T. VIII. 172*. 
p. 40. p.234.. SBernouUi'f) «bfanbuingen J 1722. 
p. 396. 1723. p. 75. 1724. p. 297. 1725. p. 318. 
Suppl. T. IX. 1729. p. 285. «uler tyjf fidb vkl mit 
ben reeiptofen Srajecforien befetjafttgt, forjugtieb mit ber 
Sluffinbung algebraifdjer reeiprefer 3ra|ectoefen; Saga 
.ben beiben febon angeführten ^uffdge» in ben Opusc. var. 
argumenti unb ben Act. Erud. f. m. Mrjügtieb/f Comm. 
Petrop. T. II. T. V; Uttb Act. Pctrop. 1782. J. II. p. 1. 
wo bfe Unterfuc&ung fefjr allgemein ange|Mf »orten i|t. 
3n unfern 2ef)rbäa>ern über bfe fj&fjere ©eometrie finbet 
man wenig über tiefe merfwürbige .Klaffe (rummer Linien. 

XrCinßcf ntent / (quod vires Algebrae trans- 
cendif), eine bon Seibnift eingeführte S5eneitntittg.fot> 



SronScratont 137 

4kT Operationen, nrrttfee nicbt ja ben afgebrarftben fgeb> 
reri. Jtegtete fmb bie vier 3\ed)mmgßarten, bie flöten jer= - 
bebung unb 2Burjelau8jieljung, 'iranseeubente Opera» 
tionen füib biejenigeri, wo ju einer 3afj( See Stogarirbmuo* 
ober umgefebrf, jh einem Sogen in rein arifrjnietifcbem 
@inne eine trigonomerrtfebe gurtcfion, ober umgefebrt ge* 
fuebt wirb. Irans cenbente Snncfionen unb ©Uitbungen 
jinb folebe , wetebe tranecenbente Operationen inr-ormren* 
transcenbente Stirnen fclc^r / twfob« burd) traiwsctnbente 
©teidjungen beflimmt »erben.. (£. ®. §ifcber (Unter- 
suchung über den eigentlichen Sinn der höheren 
Analysis. Berlin. 1808. S. 82.) giebt ben »eferttfieben 
Unterfcbieb jroifd}en>beibert ?Irfen »on Operationen, wie e« 
mir fd>einf , retbt gut, auf fofgenbe 2tr( an. Söae burd?. 
eine atgebraif$e DSet&nung gefunben wirb , ergiebt fieb ent> 
weber bureb eine einjige Operation, obgleich biefe in gewif« 
fen-Sdflenunenblicbfetjn fann, wie 5. SS. bei SäJurjefonfc 
jiehungen, ja felbfl bei ©miftoneu, bie nidjt aufgeben, 
ober burd) eine befUmmte enbiiebe Slnjabt foieber Operatio» 
nen. SBas bureb eine transcenbeme Operation beßimmt 
ijr, fann nur bureb unenbiieb pielmatige SSiebetholtmg be* 
jttmmter atgebraiffbet Dvecbnungöoperationen gefunben 
werben, bie man niebf als biege ?beile einer einjigeriOp** 
ration, wie ben ben SBurselauBiiebungen betrauten fann. 
©od j. 25. ber üogarittimue einer JjaEjl gcfudjt werben; fp 
gefdjieljt bietf offenbar bureb lauter atgebraifebe 9Cecbnung&> 
arten , aber offenbar bureb eine unenbiieb pielmallge 9In* ' 
wetrtimg berfelben, wet<b«8 jtcb in ben unenbtfcben Steiften/ 
feureb bie tranecenbente Functionen immer bargeftedt wer* 
ben, in ber unenblicben ©lieberjabt angebeutet ftnbet. 'Sa* 
rjer |tnb audj ben biefen ©röfjtn Zafetn, top man baß ein 
für aßemal beredinet finbet, was man in jebem einzelnen 
%a\lt burtb eine bejro grofjere Stenge »on Operationen futben 
mü]Üte,je genauer mati[ba8Diefultat haben wollte, unentbehr» 
liebes 25eütlrfnij}. Differentiationen unb Integrationen tbtu 
-nenaufalgebratfcbe fowobi, als auf tranocehbente Sunctfo« 
rten führen, unb (Inbbatjer nacb biefen Sinjühten, rote ee mir 
febeint, eigentlich wob! als gemifebte Operationen ju bc> 
"trachten. $at man algebraifebe guncfjoiten j. 25. ju biffe.- 



138 SMotttetttale Stfnatyffo 

/ ttntüvm, fo gelangt man ojfeneatbitrtfc eine enbficbe 9Ut> 
jaf)t bdh Operationen jum ^Differential S3e» ber X>iffe» 
»ntiation rranscenbenter Functionen m&cbfe inbejj fdjon Die 
<£nf»irfctung ber ©iffereiij in einciJieuje nach po|itt»en 
gansen^ofenienbesÖncremenfo', reelcfee eigentlich immer 
»«ausgeben mu{j, unb in biefemgalle immer unenbEicb; 
fenn wirb/ eine unettbtieb oft wieberljolfe 3Inwenbung von 
Operationen fenn. Ui?b foflfe and? »itfleiebt in biefer $5t= 
jfiljung nod) einige Unbefhmmtbeff jurflrfbtei&en; fo würbe 
fie boä> nur ben ©ebraueb be* SSBortee treffen , nicht t>te 

' ©acbe fttfcjr, ba bas marbematifcb^ranscenbtnfale »öüia,er- 
9!uffidtang fibjg i(I, wogegen tote neuern fptjüofopben 
tfie0fia)t nur ba« tranecenbent nennen/ . was nidjrt 3» o&fli* 
ger X>eu£ltcbf eit gebracht werben fann. . £>te tran«ceni»n> 
ten Functionen ftnb von ben QÄattjtmatif ern eifrig unter» 
fuebt werben. 3>ie Logarithmen , Stponentfatgrifen unb 
feie trtgonometrifcbin Functionen »orjügttcb tien Sultr. 
©er fegenonnte 2tntegral*2ogariftjmu8 /g- »on SJJafcbe* 
ront (Annotation es ad calculum integralem Euleri) 
@0 Ebner (Theorie et tables d'une nouvellefonction 
transc.r Munic'1809;') unb © e ff e 1 (Pönigsberger 
Archiv. I. St. S. 1.); bie fogenannten transcendantes 
elliptiques »on Jtgenbre in einem befonbern Memoire 
(Paris. 1794.) unb-feen Exercices de calcul integral. I, 
Paris. 1811. p. 1. unb »on 2lbel unb % @. 3acoM 
in »erfebfebenen ^eften »onCrelle» Journal der Ma- 
thematik, tjorsugfieb, II. 2; IIL 2.$'fvr**Bi »onÄramp 
unbSaplace, u. f. f., Seifpiele, beten gaijt ftcbleicbt 
vermehren ließe. 

Zxan&ttvtotVtaU ÖfoafyjiS iflbaffel&e, wai 

man fon|l fixere 3Inatn(iie , Analysisinfimtorum, b, i. 
©ijferentfal* 3ntegcaU.unb23ariatidnsrecbnung, nennt. 

XrOttäformattOtl, f. Umformung. 

•■ ^raHÖmutation/ f. Umformung. 

Transporteur , f. SBinfetmeffung. 

n. ;ec=v Google ■ 



Xmn6pofitl'Otl , ifiUt Umfeljung ber ©Kebrr einer 
©feiebung auf Die anbere ©eite best @teicl)f)eit«sei#en« mft 
t»tgegengef«$tett Q3etjeid;en. ©. ©((Übung.. (20.) 

-Transslnuosa , iffbeiSOfeta (Opp.p. 323.) bie 
©tränte. 2fe$t iß ber 91u«bttuf gar nic^t niebr.ge» 
Wn»#id>. 

Transversa diameter, |c{fftei SfooUottlutt 

(Conica. ed. Barrow. I. Des. 13.) : jebe gerate Unit, 
weldje aße unter einander parallele ©efmen eint« .ÄegeU 
ftbttiftS t>albirf . ' Axis trän »versus , latus Irans versum 
' hütüM fcie Jjiaiiptöre ber (Etlipfe unb . Jptjperbet. ©. . 
Latus. 

SranSoerfale, il* !. Jebe ber fa)iefen gerabert «. 
nie», wetdje auf bem »er jungten QÄaa^fiafee unb Älter«: 
SEBinffl meffenben 3n|ttumenten gebraucht werben/ um 
Heinere aliquote Steile einer geraben 2infe ober eine« 23o* 
gen« an jugeben. £n<fco be 23rab e hat b.as Söecfabren, 
alötr 1553iu?eipjigfhibirte, ben bem wrjungteß3)Iaa§» 
(labe »on 3oljann kommet gelernt, unb es nacbl;« 
auf ajtronomifcbe 2fnfifrumente jttm SEBinfetmeflett ange* 
wanbt. ÄÄftner* @. b. 9)1. L ©.643. It. ©.355. 
381. III. ©. 355. Ülltnm. 9Tb> n. 5. 2Ib&. 17. §. 161.; 

2) jette gerabe Sini« ober £ur»e, weldje auf irgenb 
eine &rt ein ©nflem anberer i'inien, (Ebenen ober frum« 
men gfödjen bnrdjfd&neibet. %u$ (Ebenen , »elcjte auf ir< 
genb eine 3Irt ein folctjes ©ijflem burdjfdjnetben, fönnen 
Srans»erfalen genannt wertten. 9flit tiefen geometrifdjeu 
$ran8t>erja(en fcafcen wir es t)ier allein ju iljun. ^re 
$1jeoriei|rnaifc£arnof et Vorgänge (Theorie des Trans- 
versales. Ueberf. in Sarnot« ©tom. b. ©tellnng. 2f. 
b. S- ». ©dbumadjer. IL 2Htona. 1810. ©. 322.) 
wnben neuem, öorjügtid? franjofifdben, SÄatfjematifem 
»iel bearbeitet »orben. 3« beutfdben Setjrbfajjern fommt 
wenig barüber »or. HR. f. jebod) Grelle Lehrb. d. 
Elem. d. Geometrie. Berl. 1826. 27.1. S. 174—185. 



140 Sfcm&ttfitfe. 

girftemann 8«§tfr. b.Öeometrfe. SDanjig, 1827. Swet 
ter2K#ni«. 

1. SKJenn bie bren ©eiten eimsStetyerf« AA i A a eb« 
' iljre SÖerlängerungen von einer beliebigen ^ranewrfale ge= 
- fcbnirrett »erbt«; fo entfielen in ber SKitijfimg jeber ©fite 

j»cr^ (Segmente öon ber 5Sefcbaffem)eit, bog bas iprobnct 
breijer von irrten, bie feinen gemeinfdbaftlic&en (Jnbpunft 
$aben, immer bem ^robuefe ber bren anbern gleich i(I. 
$>urcb A (Fig. 21.) hitfy man mit bec ©egenfeitt ble 
. f)fltöa«(<Ak; fo erb>Jet leiäjt, baß 

A« _Ak_ AjB, Ai«, 
JE^T ^ A,«, ' A«, ** Ak * 

- A« A]fl, ■ Ak A,a 1 A a a, 

A,a'* K B V,'' Ak ^A^t 1 
' Ab > A,b, . A,a, =3 Aa,- . AjS . A,a,. 

3ft bie trang»erfa(e einer ©eife parallel (Fig. 22.); fo ifi 

^ A,u l . A,n, c= As,.. A,a,. 

fHber Aa = A t a = po; a(|o ebenfall« 

Ak . . A,«, . Ajäj r i Aa, , A,a . A,n,. '• 

2. SBJtnn bren fünfte a , a d , a a auf ben beei (Seifen 
AA ir .A t A,, AjA eine« 2)reijecf 8 fo liegen, bajjbfetor« 
ijecgc^enbe Delation fiatt.finbet, unb überdies bie >2fnjaljl 
ber auf ben EBerttngenmgen ber ©eiten liegenben fünfte 
ungerabei|t; fo liegen bie bren fünfte»/ & lf a 3 fn einer 
geraten Jinie. 

ÖIo4> ber Sßßrattsfejjung liegen immer jtven tyimttt 
enttveber ®*ifee auf ben (Seiten felbft, ober 33eibe auf ben 
Sßerla «gerungen, ©iefe beben fünfte feijen a t tim> a,. 
©er britte <punft a Hegt bann immer in ber SEJerlangerung 
,ber ■■©'«» AA, . 3ief>t mannuna.a,; fo mu£ biefe ge. 
tabe 2inie bie ©eite AA, notfjnwn&ig immer in iljrer Sßer. 
langerung in einem gewiffen fünfte d treffen» unb .man 
Ijat nac& ber S8orau«feü«ng unb na# (1,): 

A& . A,u, . A,a, s= An 2 . A,a . A,«,,' 
An . A,a v . A 2 a, = Ah, . A,s . A,a„ 

woraus burefc ©ioifion lett&t; ' 



)3 bz e ^v Google 



SwOsafat«. ■ 141 

Mfo Segot Ut 9m1tta, a flilti gj wg j* j . 
im«, iwnn blt« ni4u b«3o[ »äte, für Aa'jA,^ 
_-< A t _ femt imlrb«, twttbta oolg« ^»pocrlm »Ifcti-. 
ffria)(. 3hi« l Wif« Proportion folgt nunt 

Ad : Aa = A,a — Aä : A,a — . Aa, 
0&tt Ab j Aa _> Ao — A,a ; Aa — A t «, 

b. {. A« : Aa s= AA, : AA„ 

«Hb fofgfi* A« = Aa. atfo fäll « mit a juramtnut, bo 
«' " S* * Kl w» tj f°H<»> «nl> ", a„ a 2 «,,» ' 
folafofcitt cincrgnabat »nie.. 

3. £>« ©06 In (1.) gilt für ftbe» «8tne SBidetf. 
55a« SM*, fe» AA^^A^^A.. 5D.an|lt$eb„ 

Bujona.«. AA,, AA,, AA,,..,AA^,, unt> »e|tld)ne 
bu S>utä>fa)nitrepunfle btt ^raitsverfate mit ben ©titat 
^.t>en©iagona(<nnaa)b«ar«.lb>but<l)a, a., a-,... 
Vi» a., unb(a 2 ), (a,), (a 1 ),...(a„ 1 )j fo ff, in bm . 
1-ietaen iDrtw'cftn , in wtkbe bas S5ie(t_ bur* bfe iDio. 
8«naim,ä«^iit _irb, noo) (!.)!■ 

Aa . A,a, . A,(a,1 = A(a,). A,a . A,«,, 
• AC",) . A,«, . A,(aO = A(a 2 ) . A a (a,) . A )a „ • 
_(a,) . A,a, . A 4 (ä 4 ) == A(a 4 } . A,(a,) . A 4 a,, 

V"*-l).Aa_,a»_ 2 .A n _ 1 fi 1I _ I ) =: A(a I1 _ 1 ).Aa_aC«»"S)-A»-lA»-lJ 
A(aa— iJ.Aa_jan_j.Anaa = Aaa.An— itaa^iJ.Ataa— 1. 

-MtipHcirt man nun auf btibtn ©<i«n, unb §ebt auf; 
ftutyUtman: - 

Aa . A,a, . AjH, , A,a, , . . . Ana« 

— : Abu , A,a . A 1 a 1 • A 4 a 4 .... A„a 11 _ I . 

4. SBirb ein nldjt in »i n t r Ebott Hegenbts WtUd eon 
Akt Sranowrfalrfune gtfdjnifttn; fo gilt btt ganjt »ot. 
9<tgr>jcnbei.e„(ionod>, wenn man bit SDutd)fa>nitttiIini*n 
Kr 3{caMnrfa[ibent mit ben (Ebnun ttt imjtlnin SÖkos 
«fe, in wedit bae ÜMihef . tut« blt. IDiagonaim gtttjtkt 
wcbai, ate einjdnt «iamsMrfaim bitfet SJceftrft bt> 
ttaa)t<f. 

5. ©«»/tijt ' 

- I jecvGOOglC 



142 Zmtmfak. 

Äx» + Ry= + C+Z r=:0 

tlt (Steigung einer algebralfd?en £uröe, wo A, B, C 
', cenfTante ©rfipen fmb , Z aber bas Slggte'gat «Der ©lieber 
bejttdjwt» reeldjebie wraiibetUcb/ett ©cifen in einet nie= 
brigern XHmenfioii aU ber nten enthalten, gür x ■= o 
' unb y = o gelje Z refpeettoe in Y unb X &f>tt , fo baß atfo 

By» -f q + T = 0, A» + C.+ X — o. 

35ie crfle (Steigung enthält nur y, bie (entere nur x. 
SÄan »erwaobelt (le teidjf in: 

J x 8 t fl — ». » -r A t A — »• 

SDie SEßurjeln ber erflen finb alle 2Bertlje seit y, für weld?e 
x ±=.o r btt ber [entern aße Stßcrt^e von x, für wetdje 
y == 0. 85ejeid(>ner man btt abfofaren Sßertfce bec <pro= 
tue« aSer biefet SBertlje Don y unb x bnecfc (y) unb (x); 
f»ifr, babie confianfen 3f)eiie §, ~ bie probiicte aöer 
entgegtngefefjt genommenen SEBurjeln ber Beiben ©feid?im= 
gen finb (©lettbung. 151.), weim wir bie abfofuten 2ßertf)£ 
tun A unb Bburcb (A) unb (B) beseiten; 

SÖeratiberf man nun bas <£oorbinarenfij[Iem fo, baß man ' 
bloß ben SuifangÄpunctwcanberl, oljne bie £age ber %en ' 
jutteranbern; fo braucht man för x, y nur x'+ a, y'+ b ! 
Ju fegen, woburtb fidj bie gegebene ©leicbung in 

Ai*« + By^ + c + z' = » 
»erreanbeft, intern, att« bem binomiföen Xeljrfaije augem 
bücfltcb erhellet, baß Würbet? A, B ungeAnbert bleiben; 
wäffen. SDie« gtebt wie tjorijeri 

9ßf© (J) : W ■ (J'J : (*'), ot« W « K- Cr) i Cr').' 

2tß« gofgenbc begeben wir ber Äürje wegen nur auf 
bie .Äegclfcbnirte, cbglcid; es nidjf ftbwec feyn würbe, bie 
Unterfua)nngtn auf alle a%cbralfa>cit Surfen ju erwsifern. 
6. SOenn bie brei ©citen beut S>renecf6 A A t A z 
(Fig. 23.) »Ott einem Äegetfcbnitt in ben fünften a, a, 
a i/ «i/ ? 2 / a z 9*f4*ni«en werben J fo binfe man fic& 



t«tc(> A j tlt tyaraMt mn mif A A , gc jogen j fo ift iwcfc 
Km $Betf>erg4«nbert (5.): 

An, « A«, : A,a, . A^>, = Aa . An : A,n . A,m, 
A,a, . A,«, : A,a, . A,o, = Ajil . A 3 nt ; Ai« > A,o. 

Wfo btirdb, gufammenfegung: 

Aa, . Aa, . A,a, . A,n, : A,», .jl,a, . A,S a . Aj«, 

sss Aa . An : A,a . A,», 
Aa . Aa . A,n, . A,a l . A 3 a a . A,a, 

= Aiij , An, . 'A,a . A,n . A.n, , A,o,. 

fytyify gilt bet 0alj In (1.) a«ct> für jebe Sransüerfale, 
iwtcfte ein ÄegelfdbniK ift. 

3)1 ber Äegelfcfcmtf ritt Jtwte j-fe fonn ber @a^ mit- 
(dp €Cem. IU. 35. 36. tefcb« elementorifcb betr-iefm 
tttrbeif. 

7. gut ein enfroebertn e.iner. ober nidjtin einet S6ene 
IttgenExö Sßielecf gilt biefelbe ©!«4jung , wenn alle ©eiten 
brt SOietecf 6 im erften §au*e von einem .Segelfdjnttfe, im 
onbettt von «inet trummen gläcbe bes ■ (weiten ©rabes ge= 
(Quitten »erben. 

S)a* Sßietetf fen AA, A t . . . A,,^ A n . SBan jerlege 
tsturd) bic Siagotioten AA 2 , AA 3 , AA 4 , — AA„_, 
in S)rei|ecfe , unb bejeicljne bie Sijrtbfcj)niffgpun!fe bes i?e= 
geffctjnifta ober ber ftummen $\ä$t mit ben ©eitert unb 
Stfagonafen burefc a , «; a i; «,; a s , « 2 ;...a n _ ir «„_!$. 
a„ «.; imbb a , ß i b 3 , /? 3 ; b 4 ,./J 4 j..lw, /U t J 
fe ift, ba bet ©unbfcbmtr jeber (£bene mit einer gtöcbe bet 
(wetten Orbnnng ein .ftegetfönitf IpCJfomttm gUcbe. 16.), 
in ben einjelnen von ben diagonalen gebitbeten Sretjecfen 
iwa>(6.)« 

Aa . Aa . A,ft t . *»-, . A,b, . A,^ " 

— Ab, . AjJ, . A,a . A,B . A,«, . A,*, 

4b, . A£, . A,a. . A,«, . A,b 3 . A,£, 

=.Ab, . A£, . A s b 3 , A,/J, . A,a, . Ajo, 



Ab»~l . Afla~i . AE-.(a n — 1 . Aj,— i*iw-i . Anna . A n on 

=5 Ae„ . A« n , An— .ibn— 1 • An— .jj? n — j ■ A»"a— 1 > AnSn— ] 

MfipHcirt nun nun auf Uitm @ei«n, um) (übt auf; 
fo tr^ält man: 



144 SranöwrföU. 

Aa . A« . A,a, . A,«, . A,a a . A,a, ....,, A n »n . A B B n 

= A*n . Ann . A,a . A.« , Ajö, . *,«, . . . An'un — 1 • Anon — j, 

fo tag unfer @a^ alfo aud) für a0e »on ÄefldfdjniKeit 
Ober f rummeit gtödjen ber jroeiteri Drbnung burc$fd?mttene 
$8iefcrfe gilt. • J ' 

8. ©et @a§ gitt au$ für fpWrfffr ©ren* unb 20ief* 
erfe; wenn bie 3tran«wrfote ein Sogen eines'gr&(jten Ärei» 
fe« iff, unb man nur ftaft aller oben betrachteten i'ittim bie 
•Sinus ber entfprec&enben Sögen feijt. 

Sefracbjet man Wmlid) bie ©renecfe in Fig. 21. afa 
fp^atifd?, unb bie SranöixrfaU als einen Sogen eine« 
größten Äreife« j fo 1)1 (Sfigonometrie. [25.]) 

rinAja,: iijiA,t 1 = iinA,a t 'a 3 : fiö A,*,a,) 
•inAa : iinAo t =tinA ] a I a 1 :«inAaa,, 

aiiiA,«, ; «inA I a — sin Ah*, :*jnA I a 1 B I , 

'woraus buro> gufantmenfefiung ber Proportionen fogteid) 
ermatten wirb ; 

«inAa . «inA,«, . ■inA ] B 1 i— : sin Aa, , iinA 1 a • linA,a i; 

©er @al$ gilt alfo für bass fphärifc&e ©renec?. Sie (Er* 
Weiterung auf ba* fptjanfcbe Sßietecf täf t ftd; wie oben ben 
bem ebenen benwrfftefligen. 

. 9. Sflan wrbanft biefen £cwpffalj ber Sfjeorie ber 
^ranSBcrfalentjorjügticb/Sarnot (a.a. ö.), obgleich &<» 
fotiöere gäüe au* f^on beim ptoitm&ue (SHmagefh 
Sud? 1. Äop. 12.) für batf ©reijecf , unb in 9><t*cat« 
Essai sur les coniques (Oeuvres de Pascal T. IV. 
Lahare. 1779.) für ein ©pflem von »ier geroben £tnie» 
in ber (Ebene eines .Äege(fd)nitta »orEommen. ©er <§ag 
ift an gotgen fer)c fruchtbar , wovon wir t)ier. junädjft nur 
Gütige« beibringen wotten. . 

10. jjn bem Sßierecf AA, A,A S (Fig. 24.) bejeit&ne 
man bie X>uraXdjnitt$punfte ber &tittn.AA l , A 2 A 3 unb 
A.A.,, AA,bur*A 4 unb A,,; fofft(l.)i * 

AA, . A,A» . A,A,' = A,A } .A,A 4 . AA, , 
AjA 4 .AjA, . AA, = A,A 4 .AA, .A,A,, 
AA, . A,A, . A,A, = AA, .A,A, . A,A 4 , 
AA« . Ayi,". A,A, = A,A, .AjA, . AA,, 



inbem matt (Ine ©ei« naä) ber anbern a&t $tan#oafatt hu 
trautet. Solgticfc, wenn man We erfte tief« »ier©fei= 
(Jwitgen mit jeber bei- brei folgenben muttiptteirt: 

A,A, . A.A, lA,Aj . AA, = A,A 4 . AAj ; A,A 4 . AjA,, 
AAj . AjA 4 . A,A; . A,A, = A,Aj . A,A» . AA,.. A,A„ 
AAj . A,A, . AA 4 ■ A„A, = A X A 4 . AA S . A,A, . AA,. 

11. 3n ein in einet ober nidjt in einer (Ebene Hegen* 

trt Sßirfetf A A £ A 2 . . . A„ fen ein Äegelfcbnif t ober eine gia^e 
ttS'i»(ittn ©rabes betrieben. £>ie SJerutjrungspunr'te 
ftnoi a, a,/ a a ,...a a/ wele&e in biefem galle mit ben 
fünften «/ a t , a 2 , . . .a a (7.) sufammenfaflen. ©aijer 
»tobfeberrige@t«a)ung; ' 

it' . Aj«,* . A 1 B 1 > ...AnSu 1 = Ai» 1 . A,* 1 , Aj«, 1 .. .A»»b— i*. 

t* . A,a, . AjB^ .... A B Bii = Asn . A,n . A,«, ... A b «b— 1, 

worin eine fef>r merfwütbige, leicjjt in SSorten auejtu 
inlifenCe, (Etgenfifcaft ber Sinlen wnb glasen be* jweiten 
<9rabc0 enthalten ijl. 

12. SBerben bie ©eifen eines «ic&f in einer Gben( 
Gtgtnben Sßieletf* (polygone gauche) »on einer -Srans* 
wrfalebene gefdjnitten, fo bafj biefelbe jeboef) burcfci feinen 
50tnfdpunft bes Sßteteds fctobunfr gelit; fo ifr bie 3toja§l 
UrBeiten, welrbe felbff (nufet irjre Verlängerungen) sott 
ber Sranawerfalebene gefdjnftten werben« immer eine ge» 
nbt^aEft. fsfa bae ©retetf tfi ber@älj offenbar, ba augen= 
fifrrm(ia) immer nur ober 2 ©eiten fetb|t von ber $ran& ; 
enfalebene gefönitten werben, »oraußgefeßt, baf fteburdb. 
(eine ©piß,e bes Sreiecfs get»t, reeit fonß alle brei ©eiten 
gtfebnitten werben formten (Fig. 25.). ©er ©afj gelte 
nun für jebe« nejf. 3m (n+l)e<f febneifce man burd; «ine 
diagonale «nSJreiecf ob; fo ifibieSlnjaEilber »onber Sramfe ' 
vtrfatebene fefbfl gef#nittenen©eften besneefs atfo= 2^. 
Siegt nun bie diagonale auf beiben ©eiten ber ?ran««t* 
fatebtne; fo werben 1y — 1 ©eiten be« (n + l)etfßfelbfi 
wn berfelben gefd)nitten. 3m£)reietf muj? aber, ba bie 
Diagonale aw& eine ©eire befietben iß, noc&etne, unbjwac 
nurnoa> eine, ©eite gekniffen werben, fo baß alfo bie 
fttjabj ber von ber Sranwerfalefcene felbji gefdjmttentn 
©eiten be« (n + l)etfß == 2y — 1 + 1 = 2y iß. Siegt 
Hie Diagonale auf einer ©eite ber&antwerfafebene; fo 

v. ^Google 



146 , Sratöttcrfak. « ' 

ißMe9lR|a$i bet ff ftp gefdjriittenen ©elttn be« necf« =^2/, 
nnb folglich, ba im ©reiecf nur noc&Oober 2©eitenfetbft 
gefc^nttten werben muffen , bie 3ln jatjl ber fctbft gefcfcmtt(= 
nen ©fiten b(8 (n + l)etf8 entweber ss 2y + 9 = 2j> 
ober=2v + 2. 5*(gticb gilt berSafj ffir ba«(n + l)etf, 
wenn er für baß necf. gilt, imb ifi temnacb allgemein, ba 
er für ba« 2)r«i*cf gitt. Sie Sfnjaiji ber in tfjren 23er(5n= 
gerungen gefcbnittenen (Seifen ifi folglich gerabe ober «n= 
gerabe, jenao>bem bie taüja^tber ©eifen be» Sßietecffl ge= 
raöe-Obcr ungerabe ift. ' 

13..AA t A., A„, fen-ein nm eine$(fM>ebeSiwei« 

' fen ©rate« befa$riebtne3, ni^t in einer (Ebene (iegenbeü, 
Sßieterf. ©ieBerüfjnmgSpunfte feiert a, a t , a 2 ,,..a nl 
unb feiner berfetben faße mit einem SSJinfelpunfte jufimu 
men. SSenn nun n ©etmjrungapunffea, a it a t ,.., 
. a^ ± in einer (£bene Hegen, unbbie2fnjaljfber inbenSJJers 
längerungen ber Seiten (iegenben Seru^rungepünefe ge= 
rote ober ungerabe iff , je natbbem n + 1 gerabe ober um 
gerabe ifr ; fo liegt aa$ a a in betfeiben (Ebene. 

£>ura> bie fünfte a, a t , • 1 ...* Dr .^ lege man eine 
3rantft>erfatebene , wetcfce bie ©eite AA a in a, ffcneibe; 
föf(rna*(^)nnb(nO; 

Aa.A.a, . A a a, ... An— l" n — 1 .A n o n = Aa n .A,n . A,«,....An»n— * , 
' Aa . A,a, .A 1 a 1 ...A„_ I u 11 _i . An*n = Arn, . A,n . A,a 1 ...A n a D --i, 

woraus burcb©h>iflont 

3Da nach ber SBorauefeljung fein SSinf elpunf f ein 23ertitj= 
ru.ngeptinf t i{i ; fo geljt bie $ran5»erfa(ebene fcurd? feinen 
•SBinfetpunft, wenn ni$t etwa«, mit A ober A„ jufam* 
menfaHt, welkes aber nicbt möglich iff, ba fonft entwebcr 
A„cc D ober As,— o, folglich auch, wegen obiger Proportion, 
A^ober Aa„=o fetjn müfjte, ba bo# f e inSerityrungspunf t 
mit einem SBinfefpunfte }ufammenfaflen foff. 2IIfo ifi ber 
in (12,) benyefene ©aß tjler anwenbbar. @ep nun 
■ 1) n + 1 gerabe; fo ift bie Shlja&J ber bon ber Srane* 
»erfaiebene in üjren SßerWngfrungen gefcbnittenen ©eiten. 



gerabe =5 fy (12.)- ff'3( nun «» in ht €Wft AA, 

felb|J; fo Eugen 1y tn fünfte a, a^ a 2 ,./..a n _ ± inben 
SJtrläna,eningenber@etten, unb es nm)j folglich aueb a, in 
ber ©.eite AA n ffl6fl liegen, weit fonfjt bie 2lnjalji ber in 
ben f8er(ängerungen ber ©eiten liegenben 23erßl;runijs= 
punfte = 2y + 1, alfo/, gegen, bie Söorausfefjung, ba 
n + 1 getati«/ ungerabe wäre. , Siegt aber « n in ber 
ajerlängerung b*r ©eite AA„; fo; liegin 2y — 1 ber 
(Dtinfte a, a jA a 2 ,'...a„_ 1 in ben Verlängerungen ber 
Seiten, unb eemuf} folglich aueba, 'in ber Verlängerung 
»cn AA» Hegen , »eil fünft bie Stoiaftl ber in ben Verlan* 
gerungen liegenben S9eru^r«ng8punfte = 2y — 1 , alfo, 
gegen bie Voraugfeljung , wieber ungerabe märe. 2Iuä> 
rieflet leidjt, baß im ledern Solle.«« unb a„ in ber SSer« 
lingerwtg »en AA B beibe auf einer ©eite »on A ober A B 
liegen muffen/ weil, wenn j^ 25. a n finfö von A, a„ reebts 
wn A„ (ige, offenbar A n a n > Aa„, Ä n « n <; Act, fenn 
mürbe, welches, wegen ber Proportion A"„« n ; Aee, 
= A,a. : Aa n niebt mßglicb iff. 2Iug s bieftt fJropor? 
ftimfolgt: • 

AaBn ± Abb : Acr n = An»u + Abb,: Asil ; 

b. t naefc bem $3orb>rgeb>nbenr 

+ AAa :-Aan = + AAn ; Abb, '» 

tmbfclglicE) Aß„=r Aa„, fö baß alfo bie fünfte «„ unb 
a, jufammenfatlen muffen , unb bemnadj auo> a B in ber 
buro>a, a, , s,,..^^ geljenbehtroMSVerfaUbcne liegt. 

2) 3|l n + 1 ungerabe j fo ift bie %ni<xfy ber Von ber 
SranßDerfalebene in iEjren ■ Verlängerungen gefebnirtenert 
©eilen ungerabe (12.), .= 2y + 1. Siegt a» in AA tt 
felbft; fo Hegen 2y+ 1 berJ3unffe a, a i , a 2f ...a B ^ i 
in ben Verlängerungen ber ©eiten, fo bajj alfo aiid) a, 
in ber ©eite AA n felbft liegen muß, weil fonfl -bie 2(mat)l 
ber in ben Verlängerungen ber ©eiten liegenben 25erü$= 
nmgapunfte2^ + 2, alfo, gegen feie Vorausfefcung? ba - 
n+.l ungerabe fff,. gerabe fenn wörbe. Siegt bagegen 
e, in ber Verlängerung ber ©eite AA B ; fo liegen 2y ber 
fünfte s, a 4 , '• tr ...rt» -1 "ta ben Verlängerungen ber 
©eiten," unb ee mnf folgli* aueb*. in ber Verlängerung 

s " Ä 2 .,■-;.. 



148 - SronftcrfMe. '• 

twn AA n Hegen, weil fon|! bie 2fnjal)l ber in ben S&rloiu . 
gerungen ber @eiten liegenden ©crü^ritngspunfte = 2y, 
o'tfo reieber, gegen bie Sßeraußfe^uiig, gerabe feijn würbe. 
3"3lfi* errettet, ba£ int ledern gaffe °n unb a n in ber 
£3et(ängerung »onAA n beibe auf einer (Seite »onA, ober 
von A Q Itcgen muffen ,. weil , wenn j. 93. | a„ tinf & von A 
unb a n rcifct» öon A tt (igt, offenbar A„a„ > Aec„, 
A n a n < Aa„ feijn würbe , welkes , wegen ber oben bewies 
' fene'n Proportion A„a a t Aa n = A a a n : Aa„, nidjt mbg= 
flcjj i(!. ©aß bie fünfte a» unb a„ jufamntenfaffen muffen, 
wirb ganj wie oben$e$eigt. 

(Es liegt alfo a n immer in ber burdb a, a t , a a , ... a n _ t 
gelegten 'irangaerfalebene , fobaß.otfo, unter obigen Eßor* 
auefeljungen , ade n + 1 33enlf)tung8punf te in einer (Ebe= 
ne liegen/ wenn n in einer (Ebene liegen, w. j. b. w. 

14. 2(n gewiffer SKätfftcbt gilt ber ©afc aucp für ben 
Salt, wenn, wie es bei nicb/t in einer Ebene liegenben 
£öielecfen wcfjl ber Sali fenn fönnte, SBinfetpunfte jn= 
gleich Serfi^rungsfptmf te fmb, nur muß man jeben folgen 
^Punftboppelt recpnen, bajainifcm jwei ©eitcn juglctcp 
Beruhet werben, ©lebt es nun, bfes »orausgefeljf , unter 
feenn + 1 Serütjrungöpunften m + 1, weiche jugleirb 

■ SBinMpunffe bes SStefecf* finb; fo giebf es, ieben ber 
ledern fünfte bloß einfach gerechnet, eigentlich überhaupt 
nur n + 1 — (m+ 1) = n — m ÜSerüljrungeipunffe, 
wo alfo n — m ^ n. Siegen alfo (naep obiger 2lnna&me, 
jeben 23erüb,rungepunft, ber jugleidj ein SHSinfelpunft i|f, 
boppelt geregnet)« Serö^rungspunfte meiner (Ebene; fo 
muffen natürlic&atwb, ade SJeräijrungspunfte in einertEbene 
liegen , ba bie Üfojajjl aller (bie eigentlich, nur = n — m) 
; <nift ' 

15. 3fi bat Sötelecf ' ein nic&t in einer (Ebene liegenbe« 
, Sßferecf (quadrilatere gauche); fo ergfebt' fid>/ ba brei 

fünfte immer in einer (Ebene liegen, unb bei einem SBierecf 
offenbar überhaupt nur Pier, ober jwei, ober fein 33erüb> 
mngspunft in ben Sßerlangetungen ber ©eiten liegen 
f&nnen, fotgettfcer ©afj : 



3n jebem um eine Sldc^je bes jweiten (Sjrabe* befd)rfe= 
denen, nt^jt in einer (Sbene Iie<jent*cn Sö.te'tecf , Hegen bie 

t-ier Setüfyrungepunfte In einet (Ebene, 

S>iefen merfWtrbtgen ©afj !jaf S3 r i a n cb o it gefunben. 
SR. f.beffen Memoire sur les lignes du second ordre. 
, Paris. 1817. p. 14. 2>en allgemeinen ©a& (13. 14.) pn= 
tet man otjne Söerods in Poncelet Traite des pro- 
prie'tes projeetives des figurea. Paris. 1822. p. 81., 
einem t>oi'ftt(f!icben, »tele neue ^een enrfjaltenben SBerfe, 
<w<b in SJejug auf bie $wnejerfa(en p. 76 — 98. SßJef» 
f(H£Tla<bticbtba»c<ngebeitb im2lrt.$8leretr' (16. ff.) &ucö 
geflÖrf liierter: BHanchon Application de lathe'o- 
rie des transversales- Paris. 1812. 

16. SBenn aus D (Fig. 26.) in ber (Ebene eine« $rei< 
«fr ABC burä) bie brei@piljen'Sratt8t)erfalen gejogen finb, 
weEcbe bie Seiten in a, b, c febneiben; fo t|r immer 

Aa . Bb .Co = Ac . Bi . Cb. 

Sciif£ man fid) namtieb bie Beiben Sreietfe ACa, BCa 
M>tfe3*anst>erfa(enBc, Abgcfdjnitien; fo iß nacb (t.) 

Ac . CD . B. = AB . Cc . D«, 
Cb . AB . Da = CD . Bb . Ai. 

SBMtipttcitt man nun auf beiben «Seiten in etnanber , unb ' 
^ebt AB.CD.Da auf beiben ©eiren auf; fo erfeitf 

man bie jn bw eifenbe ©leidjung. £>iefer @afj tft öot? 
Sofi^ernoulli gefunben. Opp. T.IV. p. 33, 

17. jfjaben umgefeijrt bie fünfte a, b, c auf ben 
tret ©eifen be* ©teietfa ABC eine fol<be Sage, bag 

Aa . Bb . Cc = Ac . Ba . Cb 

i|*, unb ifl Mc'3bp$t ber auf ben ©eifen be« SSrefetf* 
ftlbft (iegenben fünfte ungerabe; fo febneiben fieb bie fcrei 
Knien Ab, Bc, Ca in einem fünfte. 

SRatb ber SÖotausfeßung muffen immer j»ei ber fünfte 
a, b> cenfweber beibeauf ben@eiten bes©rHecfefelb|V 
65er beibe auf ben SOerlangerungen liegen, ©iefe beiben 
fünfte feneft b, c, unb D feo ber $)ur<bf<bniM8minft bec 
Xinien Ab," Bc. £>ie Sinie CD febneibe wrlÄngert AB in 
a; foijt t\acb. bet SSotaustfeljung unb nacb (16.) 



.150 . St<m*oetfttte. 

Aa . El) . . Co = Ao : Ba . Cb,A« . Bb . Co = Ac . Bo . Cb, 

worauu bwtb SHvijIon; 

ÖIus tiefet Proportion Uittt man galt) wie in (2.) ah, baß 
bie^wiftea, « iufammenfaßen, unb'Ab, Bc, Ca jio> 
alfo in einem fünfte ffbneiben. 

18. (£ine unmittelbare Sofge $ierau* finb "bie fc-eiben 

1 tmrfwilrbfgen ©A'^e, baß 1) bie bcei »on ben ©püjen eü 

«So ©rdeüfs nacb ben SKitfelpunften ber ©egenfeittn, unb 

2; bie brei Höhenlinien fio> immer in einem fünfte 

ftjineiben. 

3>a namticbfnSeiug auf fflo;l.Aa=Ba, Bb=Cb, 
,Ac=Cc(Fig.27.)ift; foifiAa.Bb.Cc=Ac.Ba.Cb; 
unb basier offenbar a, b, cafle brei auf ben @eif«rfe(bfr 
liegen; fo fcbneibenAb, Bc, Ca fictj in einem fünfte 
(17.). 3« Sejug auf 01o. 2. ift (Fig. 28.) ÄABb«, 
ABCa, ABCcwACAb, ACAa.»AABc Sflfo 

AB : Bb = BC :Ba, 

BC : Co ss AC : Cb , 

. AC ! Aa = AB : Ao, 

woraus naä> 3ufammenfe$ung ber ^Proportionen Webt ge* 
ftbtoffen -wirb t 

Aa . Bb . Co = Ac . B« . Cb. 

. -35a nun in biefem i^atte .offenbar immer brei ber fünfte 

a, b, c, ober nur einer, in ben ©eiten fetbfl liegen; fo 

ffbneiben fub bie brei #S&entfhien in e i n e m fünfte (17.). 

.19. Otunrnt man auf ben brei ©eiten eine* 3)refecf« 

brei fünfte a, b, c fo, baß 

As . Bb ." Cc. — Ac . Ba . Cb 

ift; fo liegen tiefe brei fünfte in geraber Jinie , ober bie 
SinienAb, Bc, Ca laufen in einem fünfte jufammen, je 
naebbem bie ^njabt ber auf ben ©eiten bee ©reieef 8 felbfi 
(iegenben fünfte gerabe ober ungerabe ift (2. 17.). 

20. 3n jebem »oHfianbfgen SOferecf («SierecfO f<feneU 
ben jebe jwei ber brei diagonalen von ber Dritten propor* 
tionale ©töcfe ab. 

FBCDEAF (Fig. 29.) feo ba« gegebene MlIfMni'lge 



jf. ' Scatgottjölir. ■* 151 

I SQietetf. 3m ©refetf CDA ftnb t»n B na* fcen ©p'ifjm 
&ie?inienBC,.Bp, BAgejogen. 2Kfo(16.)\ 

Im . CB . DF = AF . Cm . DE. 

$3efta3>ret man aber EF als trans&erfale' tiefes $>re[ecf s ; 
foip(L): . ., 

AF t Cq . DE = An .. CE . DF. 

[ S>urd> SOMtiplicaffon unb 2Iuf£jebung ergtefet ff#: 

Am .. Cn = An . Cm, Cm : Ca = Am : An. 

i $ör bie arifcetn ©iagonaten Wieb ber SetveiS auf ganj a$n» 
| lia)e %tt gefü-fjrt. 

©iefer ©afj febeinf fdjen feen 2Kren befannt gewefe n ju 

f«)ti, ipte.au« btö ^3ap puö Collect, math. 1. VII. p. 
: Wl.erijeSef, ©ann finbef er (iebin Gregorius a St. 

Vincentiö. Opus geometricum. pag. 6. prop, 10. 
i 9flt<t> bt"Xa JjMre (Section. corneae, p. 9, prop. 20.) 
! WO ©dpOOten (Exercitationes math. 1, II. Ap. 

prop. 5.) gebraueben ifm bei Ber 3IufI6fung »on Aufgaben. 

21. SEBenn auf einer Sinle AB (Fig. 30.) bie fünfte 
", b fö genommen fmb, baßAa:Ab = Ba:Bb \{t, unb 
man jieljt- bon einem »ittfübrlicben fünfte C bie Stnkn 
CA, Ca, CB, Cb; fo wirb von biefen 2inien jebe $ran8- 
»tfate A'B'nacbbenfelbenSOec^(fnt(fen gefebnitten, fobafi 
i ÄV:A'b'=:BV;B'b', . . 

S)enne«ift 

a. _ AC.«mAC« „, _ A C.iinACb 

•m AbC ' ' 
BCb ' 
>C " 

fiievauö ergtebf fi^mittelfifcetnJcrauaf^ung, unb mit 
smÄaC= sinBaC, sin AbC == sinBbCift, hifyti 
«mÄCa : «in AGb e= »in ACa ; im BCb, 
, ; ttnA'Ca' : ihiA'Cb' ~ rinB'Ca' : unB'Cb'. 

Sotgl»^ wenn *le beiben etfien ©lieber mit A'C, bie bei= 
ben legten mit B'C multipltcirt , bie S&orbergüeber bureb 
sinAVC=8inBYC, bie J&intergfieber "burdj sinAVC ' 

=sin B'b'C biwibirt »erben, nat&.ganj abjilicben gemein 
»ie oben : , ... 



152 SttnfterfMe. 

22. 3>erfelbe@afcgutött(b, wenn bü Sinien CA, Ca, 
CB, Cb einanber parafld flnb (Fig. 31.), wfe augenblicfc 
Ha> erfüllet, wenn man bur* A' unt) a' *parafleien mit 
AB jiefjt. 

23. $a« einfa*e SÖietecf ABCD (Fig. 32.) werbe bon 
„ ber 5tan»wrfott\mq gef*nitten; fo wirb ber $,r)eil mn 
* betfelben, welker jratfiben ben diagonalen liegt, bureb 

bie beitrat fiinien, "bie man au« bem ©urcbfcbnitespiinEre 
berSHagonatenG nao> ben beiben fünften E, F jiefjr, in 
benen fia? bie gegenüfeerfteljenben Seiten bes 50imcf s fdjneU 
ben, in proportionale «Segmente getbrift, fo baß 

mp : mq = Tip : nq. 

Denn in bem »olI|tanbigenSßierecf FBCGDAF $,(20.) 

DH : DE =s CH : CK. 

SItfo für bie Sink mn gwiftben CG, DG, swiftben benen 

QU4»CDHegt: inpimq =np:nq (21.) 

24. Sine gerate Sirttc fei? ber gemeinfcbafttidje Surcb» 
f*nift »on vier (Ebenen, «nb jwiftben jweien berfelben eine 
Sranwerfale gebogen. SEBtrb nun tiefe ?rans»erfa(e »on 
ben betten anbem (Ebenen in proportionale ©egmente $u 
rte fit; fo gilt bieg au* »on jeter anbern jwiftben ben erfren 

. Cbenen gegogenen tranwerfate. 

9ftan projlcire bas gange @ij|iem ortljograpljifcb auf 
eine (Ebene, wel<be auf ber gemeinfcbaftUt&en ©ureb; 

. ftbnitf'tinie bet trier (Ebenen fenfreibt iß, unb Fig. 33. 
fei? biefe $rojection , fo baß A" B" bie ^rejeetion bet nacb 
ber Mnnaljme proportional geseilten Linien AB , A'"B'" 
aber bie ^rojeetion ber (wetten $ran*»etfa(e A'B' i|i. Otatb 
ber Slmtaljme i(i Aa:Ab = Ba;Bb, woa, bbie&tttdb* 
fdjnittcpunfte ber er|?en ^rans&erfate , a', b' aber bie 
2>ur#fcbmttspiiiif te ber {weiten Xrane&erfafe mit ben betben 
leljtern (Ebenen , unb a", b", fö wie a'", b'" refpecti»e bie 
^rojeetionen biefer fflunffe bejeicbrten. ^Danun AB, A"B" 
jroifdKn benfefben parallelen liegen ; fo iff nacb ber £3or= 
auafifcung aueb A"a":A"b" = B'V':B"b" (22.) 3I(fi> 
au* A"V":A"V = B'"a'" :B'"b'" (21.), Sl&er aueb 
A'"B"' unb A'B* liegen jwifeben benfetben^rattefen. 2Ufo 
ifiÄV:A'b'=?=BV:B'b'(22.), w. j.b,w. 



Sron&aföU. 153 

25. SBenn man *on einem fünfte A (Fig. 34.) na* 
einer gerat en Sinie %ß gerate Sinf en AB , AC , AD, u. f. f. 
in TOiQf »(jrfteber 2fajatji , . unb bann eine beliebige Srans« 
serfafe2f& jiejjt; fo Hegen bie 2>tlrcbfcbniK8p«nf te b, c, 
d, e, u.f.f. berSDiagonalenberSßieretfeBCSS, CDS©, 
1>E£)(E, u. f. f. mit bem fünfte 21 i» einer geraten Hinie. 

3»an bettaebte bas DolljUnbige «Biete* 9l£8bBC'2l, 
unb jiefje Hb ; fo iff 

BA : Bn— SBA ; B» (30.) 

9Hfo(2lo: 

.CA : Cß= CA : f&ß, 
DA : D/ = DA : tly , 

EA : EJr= ÖA : <BJ, 

M. f- f- 

9Ban fie^t , baß biefe tSefracbrung nidjt auf ben spunft b 
efogefebränft i|t, fonbern für ade übrigen fünfte c, d, e, 
. u. f. f. eben fo gilt, fo baß alfo bie Linien B23, C<£, D3>, 
m, u. f. f. von ben Linien 31b, Sic, 2fd, Sie u. f. f. 
immer fo gefcbmtten werben/ baß 

BA : Bo — fflA : S8a , 

CA : CjS = SA ; Si«, t- ,. 

. DA: Dx=s »A : SDy, 

EA : E3 = @A : <W, 

u. f. f. «. f. f. 
Mo, ßt Y f 3, u. f. f. nad? ber Stelle auf 91b, 31c, 
S!d, So, ». f. f. ju beliehen finb. Sotflli* muffen leg. 
itcre Sinien: alle in eine gerate Sinie jufammenfallen. 
SDemt wäre a ber £>ur$f$nift8punft einer biefec Sinien 
mit BS ; fo iff na* bem Sewiefenen BA ; Bo' =S3A ! So', 
»nb in Sejug auf ab aueb BA : Bo = S3 A ; 35o: atfo 
Bo:S«=Bo':So', Bo +■ 8«: Bo' + S5o'= BoiäW, 
BS:B8 = S«: So", aifo S5o=SV, fo bo| folg. 
lieb o, o' iufammenfallen. 

26. 2öir geben nur nod) einige anmenbungen ber 
S^eorle ber.transwrfalcn auf bie Sewcife mebrerer merf. 
»urbigen @afie. SJer f«on 16t. IV. @. 876. unb Sti> 
gonometrie.. (22.) betoiefene merf»urbige@ais(ä|ät fid) hier 
auf folgenbe fe§r einfadje a« betoeifen. S3eseid)nen wir 
bie J&albme|fer ber um C, <:', C" (Fig. -35.) befebriebenen 
Äreife burebr, r'/ r"; fo i|i offenbar, »ran A', A", A"" 
bie Suntfebnlttspunf le ber äugten Serübrenben finb : 



154 Svmtottfcte* 



■ AC.A'C'.A"C* "~* li 
AC . A'C . A"C" « AG" . A'C . A-"C. 

3«1flU<b ifr AA'A" eint gerate Jinie, ba oft. ftanfft A, 
A', A" offenbar alle brei auf ben QSeriaitgerimgert bec @ei= 
ten b« SJreiecfs CCC" üegcn (2.). 

27. 3n95ejug auf ble irinern ©erityrenbenbec brei um 
C, C, C" betriebenen" greife (Fig. 35.) t(l offenbar 

r __ B'C r' _ B"C r" BC 

* 7 ö Fe 7 * ?• — FE 7 " T = bc ' 

r.r'.g" B C'.B'C.B"C _ 

r.r'.t'* ~ BC.B'C'.B"C" "" ' 
BC-, B'C . B'C =t BC" , B'C . B"C. 

3>a nun B , B', B" offenbar immer alle brei in ben ©eifert 
bee ©reierf« CC'C" fel&ff liegen; fo febneiben (io> bie SU 
oitttCB", Cß, C"B' immer in einem fünfte. (17.) 

28- ®<» 7— £? == s£ (26. 27.) 1(1; fo ßfg« A', 
B, B" in einer geraten Slnle. X>etm in bem öoflfmnbU 
gen Sßieretf CBC" B'C SIC i|t, wenn mir ben ©«&= 
febnittspunft »on BB" mit CO tmrä) a bejeu^tien, 

S "•-■& w)- m f° AC : A ' c == aC ' % ■<* 

A'C— A'CjaC'— aC= A'CjaC = CC i CC\ gotg« 
11$ A'C = aC, fo baß a(fo bie fünfte a unb K jufam= 
nunfallen. (£ben fo liegen aiitb. A , B', B" unb A", B, B" 
in einer gerabeu iinie. 

29. A, B/ C, D fer)en bie SRitfetpunfte bon biet 
Äugeln, beren £albmeffer: mir wie lt)re ÜERfttelpunfte be- 
jefcbnen wollen, ©ie werben ju jmeien von fecb> .Segel« 
(Weben eingefüllt, bertn ©pifjen wir burdb a, b, c, d, e, 

f bejeict)nen wollen; fo erfüllet teiebt, U$ — ■= ^ ., 

B Bb C Co D Dd ~ „_ „ k „ j v; a 

"c; = ÜE' TS ~ DT* A ~ AT' wenn *' b ' C ' d bie ' 

bre ©pirjen ber jfegelfßdjen ftnb, n>eld)e bie Äugeln 
A, B; B, C; C, D; D, A, einölten. £)urd> 
SOlultipficadon^ erlitt man leicbr: Aa . Bb . Cc Dd 
x='Ad.Ba.Ch.Dc r woraus folgt/ baß bie fünfte a, 



. JErönAKtfale. 155 

b, c, ä iniintt (Ebene liegen. 5Öenn »erbe bie »er»" 
Ungerte 2inie AD von ber erweiterten (Ebene abc in d' , 
gefdjnitten ; fo ift * für fca* Söieretf ABCD naa> (4.) , Aa . 
Bb.Cc.Dd'=Ad'.Ba.Cb.Dc<, woraus, in SOerbin* 
bung mit obiger @tei<f>ung, fcgleid) Dd ;Dd' ss Ad: Ad', 
alfoaudj Dd — Ad.jDd — Ad'= 1 AdiAd' / AD: AD 
= Ad;Ad', Ad = Ad' folgt, ©a nun alle ©p%n ber 
Äegelffäcben in bert SDerlängerungen ber (Eenfrattinien ter 
Äugeln liegen j fo fiSt d' mit d offenbar jufammen> unb 
a, b, c, d liegen in einer (Ebene. (Eben fo jeigt man, 
baß jebe »ierber fünfte a, b, c, d, e, f in einer 
(Ebene liegen, 23lfo liegen tiefe, fünfte alle feebs in tU 
ner (Ebene. 

30. gotglid) liegen aud) immer brei biefer Ranfte, . 
weldje ju betreiben brei Äugeln gehören, in einer gera- 
ben Sink, inbem j. SQ. wenn a, d, f ben brei Äugeln 
A, B, D enrfpredjen, biefe brei fünfte offenbar in bem 
gern ein fifcaff lieben ©urcbfdjnitt ber (Ebenen abedef unb 
A, BD liegen. 

31. ülimmf man auf ben bot) A (Fig 36.) au*ge$cn* 
ben Tanten einer breifeitigen spm-amibe wiflfüfirltcb bie 
«punfteb, c, d, jfebt bierauf bie fwb« diagonalen ber 
SBiererfe BCbc, CDcd, DBdb welcbe ft# inD', B, C, 
fd)neiben, unb liefet bie Iranesserfalen AD', AB', AC' 
weltbe bie Tanten BC, CD, DB in d', b', c' fdjneibenj 
fö ftbmiben fidj Bb', Cc', Dd' in einem fünfte ber 
©runbfUdje.; AA', BB', CC', DD* in einem fünfte be« 
Staunte*. ' 

SRatb (i'6.) i|r: 

Ab . Bd' . Cc = Ac . Bb . Cd', 
Ao . Cb' . Dd = Ad . Cc . Db', 
Ad. Bb . De' = Ab . Bc' . Dd, 

Woraus (eiebt bureb SRultipticatlon j . ' 

Bd' . Cb' . De' = Bc' . Cd' . DV. 

©anuninbem in ber^igur bargefleßten gaffe b', c, d' 
alle brei auf ben ©eiten bes 5>reiecf6 BCD felbff liegen, 
übrigens aber leid) t erbellen wirb, baß aud?, wenn b t c, 
d auf ben SßerWngerungen ber »on A ausgebenben JEanfen 



156 Ztcm&mfak. 

genommen werben, bocb immer eine ungerabe Smjaljl bet 
fünfte b', c, d' auf ben genannten ©eiten felbfi liegen ; 
fo fcfcneiben ftd) Bb', Cc', Dd' in einem fünfte A' ber 
©rnnbfW<fre (17.). 3>ie Jinfe AA'. 'liegt folglidj in ben 
brei (Ebenen ABb', ACc', ADd' jugteidj. 3n bec gbene 
ADd' j. S3. liegt aber aud? DD*. 3©lgli<irniuffen AA' unb 
DD' fttb offenbar in einem gereiften fünfte fcbneiben, unb 
ebenfb jebe jrcei ber ginien AA, BB', CC, DD'. $>a 
aber m'd;f brei btefer Süiien in einer (Ebene liegen; fo 
muffe« fte fttb offenbar ailt »irr meinem fünfte bee 9?au» 
nies fcbneiben. 

■32. @e»en jegf tvieber A, B, C, D bie SDtittelpunfte 
t)on vier Äugeln ,' unb um je jtvei berfeUjen innere , fte 
berüfffenbe, Äegelfföcben b'efcbrieben , beren @piijen mit 
burcb a', b', c', d', e, F bejeidjnen wollen. 9Han benfe ftd) 
jefjt ABCD ältf eine breifeifige ^tjtamibe. ©ie in ben 
«Seiten btt ©reiecfs BCD Uegenben Äegelfptijen fenen 
tf, .', Fj fo ifi offenbar J-g ..{j-g, g.g, woran« 
W*t: 

Bd' . Cf . De' es B'a' . Cd' . Df. 

atfo fdjneiben |id> Bf, Ce', Dd' in einem fünfte (17.). 
©ben fo in SSejug auf bie übrigen (Seitenflächen. Sejeicb^ 
nett Wir nun bte gerne infebaftlicben ©urdjfcbiittföpimf tt ber 
brei tranwerfalen auf ben ©eifenfüctjen BCD, ACD, 
ABD , ABC burcb a, ß,y,8\ fo fdjneiben fidj> bie vier 2U 
nlen A«, Bß, Cy, DJ in einem fünfte be« SXaumeö 
(31.), welcbe» ein bem in (27.) bewiefenen analoger 
@a$ rft. 

- 33. ®en ABC (Fig. 37.) ein eingeftb'riebene« £>re(etf . 
gie&t man burcb jebett ©djeitel eine 93etubtenbe ; fo liegen 
bie brei ©urebfebtüttspunfte a , b, c einer jeben berfelben 
mit ber gegenuber|teijcnben ©eite in einer geraben £inie. 

3>a bie 2>reletfe CAa, BCa offenbar «tynlidj fmbj fo 
i|t Aa:Ca=Ca:Ba, Ca*=Aa.Ba, Aa:AC^=Ca 
:BC, Aa»:AC*— Aa.Ba;BC 2 . Sllfo 
Aa_AC_' Bb_ABJ C_c_BCJ 
B« — BC* ' CT~ AG 1 ' Ab - AB»' ' 



- Sronö»crföle. 157 

tDorawfl fo^lei^: 

Am . Bb . Co = Ao . Bm . Cb. 

2Kfo u> gen a, b, c in ei n e r geraben Sinie, ta biefe fünfte 
offenbar ade bret auf bm SJertöngertmgen bet ©eiten bes 
©reiecfö ABC liegen (2.). ' 

34. SBJenn (Fig. 38.). in unb um einen i?reis ein 
SBierecf begrüben iff, fo baß bie ©eiten beö umfcbriebene» 
butcb bt'e ©pifsen be8 eingefcbrifbenen geljen; fo liegen im» 
mec bie »ler '£>urd?fcbnittspunf(e a, b, m, n bec ©tgenftU 
teil tiefer beiben SOierecfe In einer geraten 5-inic. 

S)a in jebem eina,efcbriebenen Sßiererf bie ©nmme bet - 
©egeiwinte! = 180° tfr, atfo bie ©itiuö ber@egenwfn> 
fei gteieb fn\b; fo rcirb mit Jgialfe von £reis (30.) feiebt 
We Öticbtigfeit felgenber Proportionen erbellen : 

AB : Bb =3 iin ß : tin A, 
Cb : CD — iluD: tinß. 



Fu : AF --. iin * : sin r, 

AC t AB = tinD : sin 3, , 

CD: AC = tiny : »inD. 

@eijt man nun tiefe Proportionen jufammen; fo ergießt 
ftcb leicbt 

: 1. 



Cb . Bb . CF . AC . Fn 



Bb . BC . Fa . Cn . AF 
^Hber flUCb AC : BC = «n B : du 2, 

golglid? Cb . Ba . Fn = Cn .. Bb . iFa. S)a nun 8/ b, n 
offenbar wd> ade brei in ben SBerünqtrungen ber Seilen 
befl ©reietf« BCF liegen; fo Hegen a, b, n In eine r gera* 
ben änie (2.). Sben fo jeigt tuen, baß a, b, m in einer 
geraten 2lnie liegen. 2üfOvliegen a, b, m, n in e i n e r. ge* 
tollen «nie. (SBiererf 27.) 

35. !Dte ©urebfebnitttpunfte bet ©egenfeiten eine« 
eingetriebenen Setbseef» ABCDEF (Fig. 39.) liegen 
immer in einet geraten Äinie. 

SDenn es i)I (Äteiü. 35.) 



158 -~ Srmtftferfofe. 

.»'C . **D sb ■'E-. «T, bT3 . b*F es b'A . b'B, 
c'A . c'B = c'C . c'D, 

tmb mub (1.), wenn bc, DE, FA afe Iranswrfalen be» 
JÖretetfs a'b'c' betrauter werben t 

»'o.b'B.c'C =«'C.b'c.e'B, a'E.b'a.c'D = tü.b'E. c'a, 
»' P . b'A . «T> = «T> . VF . c'A. 

SOMriplicirt matt nun auf beften ©eifen be« ©leidJljeifiJ; 
jeidjens tiefet fecfc» ©ieicbungen, iinb ftebt gleite @rofen 
auf; fo erlitt man 

n'c . b'a . c'b — »'b . b'c . c'a. 

3I(fo liege» a, b,c in einer geraten jinie, ba jte alle bret 
auf bcn SDertöngtrimgen ber Seiten »on a'b'c' liegen (2.). 

(Einen anbern »telttm'tiauftg'ernSeweiflbiefrtmerfoür* . 
bigenSafjeij f. m. %$.W. ©. 130 — 132. 3tir Sßet»ott= 
ftdnbigung ber bort mitgeteilten t)i|Torifd)en Stofijen biene 
gotgenbe«. ©er ©a(J fomtnt juerfl in^ofcalß Essai 
sur les coniques. 148. Note, fcor. Sftacb einer Hemers 
fung2«ibnißen6in einet» ©riefe an tyttritr, ber fU^ 
in Oeuvres de Pascal. T. V. beffobet, f|t biefe (Eigen* 
febaff be» eingefdjriebenen ©etbßecfe bas fogeiwnnte Hex- 
agrämmum m*y sticura, worauf *Pa 8ea l fpärer= 
Ijineine 2lbtjanbltmg ber .Segel fdjnitte gegrünbet fjaf, bie 
niebf mebr, »or^anben ift. Stadler tft ber ©a£ in bie 
©griffen SÖlactaucfn», 9t. ©imfon« u. §1. tlberge= 
gangen. (Einen frtgonotuefrifdjen SBeroeis gtebt Sörnot 
(@eom. ber ©tettung. H. ©. 353. SÄ. f. au* n. ©.215.). 
Obiger SSeweiö f|t Don ©ergonne (Ännales de Math. 
XVIL p. 143.). Slud) f. m. ij>onc eler o. a. Ö. p. HO., 
unb eine Slbfjanblung über bie Äegetfdpnitte im Journal 
de l'e'cole pölyt. Cahier XIII. 9?ojb einen SSerceis gebe 
id>tm2Itt.Sßierecf.(27.) 

■ .36.X»er©a§gittfüraBeÄegeIfdjntlfe. ©e^ABCDEF 
(Fig. 39.) ein in einen JSegelfc&nitt befebriebenee; ©ecbeerf , 
unb S-bcjeicfene bie ©phje be» Tegels, aus »eltbem bee 
Ätgelfdjnitt gefebnitten. 3Bän jte&e in ber Äegetftöä>e 
SA, SB, SC, SD, SE, SF, unb erweitere bie Ebenen SAB, 
SDE; SBC,SEF; SCD/.SFA, bisfie ftd? ju jroeien in 
Sa, Sc, Sb fdjneibett. 3)ann beute man (Ja) bie (Ebenen 



Sranäwfale. 159 

Sbaj Sac, wUbt tf# (n Sa fdbnelfeen. *J&ierauf fämefbe 
man benaget bur# eine Ebene fo, top ber ©cbnift eilt 
"Ätei» wirb, unb bejeftbne bie ©urifcfifcnftKpunfte berfel* 
bell mit SA , SB, SC, SD, SE, SF, Sa, Sb, Sc, burci) A', 
B', C, D', E', F 7 , a', b', c'; fo iff A'B'CD'E'F' ein in 
einen Ärtis betriebene« <Se#secf , unb folglidj b'aV eine 
gerabe ginte (35.) ; b'a'c' i(l aber ber ©Hra)fd&nitt ber 
<£bene b« Greifes mit ben beiben (Ebenen Sab , Sac, unb 
folglich muffen Sab, Sac uur eine (Ebene' bitten , atfo 
üui) bac, ber Storcbfcbnitf ber (Ebene bee ÄegelfdjnitrsJ mit 
Sbac, eine gerabe Xfnie feim. 

SBegen (8 ) wirb ffa) ber ©afj au$ leic&t auf gigureit 
in ber Oberfläche ber Jlugel erweitern (offen. 
* - 
37. aJMtWtff ber »orljergeVtiben $&»rie (Aßt fiä> aucb 
ber mertwarbige @afj beweifen, bajjbie 9)litrelpunffe ber 
brei ^Diagonalen eines jeben tioflflanbigen Sßieretfe immer 
in einer geraten Senfe liegen, ©et; nämliffc abca'c'b'a 
(Fig. 40.) ein voflftanbigee Sßierecf ; fo ifl aA:aB = a'A: ■ 
a'B, bB : bC = b'B : b'C^ cC : cA xs c'C : c'A (20.). 
• <E« i|t immer aA > a'A.. 2Ilfo aucb immer aB > a'B. ' 
3lu<b ifl offenbar immer jugleicb bC § b'C, cC ^ c'C. %U 
fo aucfc immer jugleicb) bB ^ b'B, cA ^ C 'A. JDemnacfc 
fallt ber SRiftelpunft a" von aa' immer in Ba, b. 1 in bie 
Sßerlongecung von AB , unb bie" SDlittelpunf te b", c" von 
bb', cc immer in bie Sßerlängerungen wem BC, AC, fo baß 
olfo bie fünfte a", b", c" immer alle, brei in ben SÖrrlan* 
gerungen ber ©eiten be$ ©reiecf* ABC liegen. - 35a nun 
nact) bem Obigen aA . a'B = aB . a'A ifl; fo i(i (a'A 
+ aa') . a'B sr (aa' — a'B) . a'A, a'A . a'B + aa'. a'B 
:=aa . a'A— a'A . a'B, 2a'A . a'B ^ aa'.(a'A-p-a'B), 
a'A .a'B = £aa'. (a'A — a'B), a'A . a'B . (a'A + a'B) 
= 4«a'. (a'A 2 — a'B 2 ), VA 2 . a'B + a'B 2 . a'A= |aa. 
a'A 2 — ^aa'.a'B 2 , a'B 2 . («'A + $aa') = a'A 2 .(£aa' 
—a'B), a'B 2 . (a'A+. a'a")= a'A 2 . (a'a" — a'B), a'B 2 . 
Aa"=a'A 2 .Ba". Sfritvoüt, unb gonj ouf db^nlidpe 5Irt 
für bie anberh beiben ©eiten bes SDreiecfB ABC er&^lt 
man; 



{60 Transversus. 

^A»2*"" b,B *J:2^ c'C*_gg". 
jnP^Bff*' b'C» *" CF 7 ' c'A 1 Ac"* 
- ' a'A 1 .b'B* . c'Ö* Aa".Bfa" . Cc" 



a'B 1 . h'C 1 . c'A 1 — Ac" . ßa". Cb" ' .- 

«6« na* (1.) 

«A . b'fl . c'C =1 aB . b'C . c'A, 

( unb na$ bem, Obigen: 

a'A . nB = nA . a'B, 

woraus bur$ tOluttrpItcation ; 

1 _ *'A '. b'B . cX = a'B . b'C . c'A. 

5Kfo au$ 

. Aa" . Bb" . Ctf* = Ae" . Ba" . Cb". 

$>emnad), unb weit a", b" c" immer ofie fecei auf ben Söer* 
Idngerungen tote ©eitert be* Sreierf» ABC liegen, iji 
a" b"c" eine gerate 2infe (2.). 

Slufjet lien angeführten ©griffen f. m. Aber bie Ztans-- 
»erfaten awd> einen Shtffaij tion gerriot in benAnnales 
de Math. XVIL p. 141. 

Transversus; f. Transversa. 

Xxüptftüfttf aucJjSOIertfuta, unglei^eober um 
g*f<t>irf*e SÖterung beUltern beutfcben @d;riftfrellerrt, 
1(1 nadf (Euclib (I. Def. 33.) jebea Sßicrecf, welkes fein 
^Parallelogramm i|fc . 2lrd?tmebe(S (De aeqaiponde- 
ram. 1. 15.) fdjerof baffelbe barunter ju »erftefjen. 2Bolf 
(Elementä Geom. 99. in brt altern Slutfgabe), nnb roet)t 
bie mei|!en altern ©cbrtfttfeSer / j- 23- Raufen, Dja* 
«am, ©djwenter, 93eute l, u. % geben btefelbe (Ers. 
flSrung. ^eboct) bemerft SSSolf fa>on in ber ilteßen 2lue= 
gäbe be« matbematifcben ?er ieone , nnb aucb in ber neuern 
3tu«gabe ber Elemente (Geom. 103.)/ baß (Einige bartm« 
ter ein Sßieretf wrfletjen, in welkem nur jrcei ©eiten ein* 
anber parallel fmb. £s wirb am ftbirfttcbflen ferm, wie 
au$ in ben meifren neuern Seljrbuc&erri gefcbiefjt, biefen 
(etjtern begriff beibehalten, unb jebe anbere »ierfeitige 
Sfgur, wel^e fein ^araHelograirfm ift, ein Sßierecf fct)[ed?t= 
bin ju nennen, tuobitrd? benn aucb bte von (Einigen , j. 25. 
© r ü f o n, gebrauste Benennung ^arattettrapej «öflig über= 



Srofwjium. 161 

fttfltg wirb. * ,&k titlnat Uv beiben parallelen Btittn 
eine« Srapejii ijttfjt in ©eroerta ©eometrie ,Cap. 47, 
coraustus. 3h ber erflett gebrucffm 9Iuegabe »on <£u» 
ctib« Etemettten (Erhardus Ratdolt Venetiis impres- 
sk. 1482.) Reißen Stope^en . Helmuariphe. (M&ftatti 
GS. b. 9B. I. ©. 294.) Trapezium irreguläre, 
Trapezoides, Trapezois (ein 50ieretf t in mü- 
a>m feine ©eife ber anbern parallel ift), Trap-ezium 
isosceles (einSÖürerfv worin jt»ei@eifen paraßet, bie . 
beiben anbern gleicbfinfc), Trapezium scal.anum 
(tin SOjerecf , worin j»et @ei(en parallel, äße aber ungleid) 
ja«), Trapezium. solidum Cbie abgeformte vierfeU , 
ttge ^»ramibe)/> ftnb btrafttte unb überpffige .fiunjtautf* * 
fcfcfc . 

1. 3ra Srapejlo ABCD (Fig. 41.) fe» AB=a, cp ' 
= c, ba* 9>erpenttfel AE= h i fo if» A ABC = $ah, 
ABCD =£ch. Sllfo ber 3m)al( b<8 $rapeiiuni8 = 
i(a+c)h. . ..,, 

2. 3ie^t man AF mir BD parallel, imb.fe$rAB:=a, 

BD=b, CD=rc, AC = d, CF=c — a=e, AE 
= x r EF=yj foift 

i'=tb* -j'ad' _ (—y)', 
__ «>'«»— fb' 4- «'-dl* _ [(b"^ : e)'-'d']td'^(b--«in 

(b+e + d)(b + e— d)(d-Hb — «>Cd— b+e) 

. 4« 1 ■ ' 

uwau8 man nad) (1.) ben 3n|aU be« ^rapejium« au« |ii« 
ntn vier ©eiten -erlitt / 

~4(o— •)/ («+b— c + d)t»-b — c+-d)'- 

3. SftberSla^ninVtremerfrummlinigenSIguran* 
ni&ernb ju bejtiminen; fo neljme man eine £inie an, unb 
fdUe in gleiten Slbfränfceh p auf bfefttbe . q>erpenbifef , 
P,P,, P a ,..P»j fo entfielen, wenn p ((ein i^.ji^i 
Sfetlcrfe unb mehrere Xrapejfen, bereu gta^ejtraume' , 

Pj» (P+PQP (p.^'pqp .. . a [ 

2* 2 ' 2 ' * ...-■ 

<P^-l +Pni- j>p (P-^+T-Öp -P-P/ 

- l /:2 1 .'..•! rTrP.T '!:i- ', 



162 ' Stapejium. 

ffnb, »«tau» man f ät ben g[<!<6enin$att btr gegebenen Si. 

(P + P,. 4- P, + . . . + P.-. + POp. 

3ucb bei ber änalbereifnwnä met)rfei(iger girabtiniger 
giguren i|t eine äljniicbe SRet&obe anrcenbbar. ' 

4. Sine fcbon in C (Fig. 42.) geteilte 2inie AB in D 
faju ft'iltn, baj AB»— AD« = AD»—AC» iftl (igt 
matt AB = a, AC = b, AD=x; fo ettyUe man ott« 
bet gtctcbiros »'--*' =** — b '' ttl4K! 

Um x buttb £on|fructcon ju finben, ma$e man ba« ^Jre. 
ptnlifel BE= b, jlebe AE, §albire (t> in F, trricbfe bat 
Iperpenbifel FG = AF, jii()e AG, uttb betreibe bamle 
al« ^»albmeflic b<n SBogen GD. Sinn AD» == AG» 
s=AF» + FG»=iAE» =i(a* + b»)=x». 

5. Sin gftitbftbenRIge« Stapejimn ABCD (Fig. 43.) 
burd) jrctl auf einanber fenfcecbfe grabt Sinlen in vier ■ 
g(eicbel&,elIe'eutjurtMlen, MrUngtre nunbit aWeben ©et 
«tu, bis fie fitt) in E febneibet», fale bos (ßerpenbifel EG, 
unb futbe tintn 5>unft H, bafi bit bunb H auf EG @enf> 
ttd)tt KL bat ttaptjium AFCG batbi«. 3u bem (Enbe 
fetje man FHr=x, AB =2a, CD=;2c, EG=b, EF 
= di fo i|l AFKH = i(a + KH) .x=i(o+a). 
(b — ä). SIber 

. nisbid, ctiib+daitä, 
<c+.)(b-d)ib' — d' =. : d, 

■ H.+«jr>-0.. " >1 1 7i"> . ' 

■ JH 1 ■ = d + x : d, KH + i : ■ ss 24 + « i d. 



• Q>*~ d')_a»f2d4-*) 



•r* 



«Man niu{ alfo , um H |U |tnbett, ba« (ibon in F getljeffte 
EG in H (b feilen, ba« EG»— EH»=EH*— EF* 

i(i.(*.). •■•- •■:•:■:. 

6. SSon »em Staptjio ABCD (Fig. 44.) bnrcb «Ine 
^araOtle GH ein BfiStf ABGR »an gegebenet ©tag 



StupejixnB. 163 

= p* tttaffatüm, f«8e man AF = x, GH=y. AB 
=a / CD=» + d / AE=h; fo ijl . " ■ 

«rt, wmn AK mit BD poraBrf: CK : GL == AC ■ AG 
= AE:AF, , 

*iJ--iBlii,.h (j— a) = di. 

2>i(8; mil trat äusbruef fdr p> multlplicirf, äirtt; 

}h(y>_..) t= dp", 

eonwräirmAC, BDitocfrmtienj fo ifi a nt«afo i» f<6«i» 

3m ttpn Solle fc^e man 

i. gdp'_*+»Hiy ...... ?*».? 






d J «ot^y — nn|9)| dCcoi^ip— «li£y) 36.) 

«in (45"— JflO = «in 45° . cos jg> — co»45» ..iln £aj 



©«tt| onf 4|ttt($e 81« «t$a(t man föc 

a'h — l-J-tiny ~ 1 + iinyr' 1 

imjwtitengaße: 

jpef juc togaci^mifcE«» SKecfetititig bequeme gormein. <E* 
(«nmt feto« auf ben abfsliitm 28«tl> uon x eit, tw x int* 
»et pD|irft> iu nehmen i£. , 

. IJL Google 



164 SrapQoifc*. .- 

7 ©fe «reafbeW*nntto, eine«MnjweiqWalMt'teifen 
tat) iwti SBleribtaen ringefcWoflinen fp^atifcben StapeSM 
f.m.inbem21rtifel3one(4.) 

SrdpcJOtbeS , f. Stapejium. 

Srapejoi*, f. ttopijium. 
Triangel/ f. S>«i«f. ■-' .^> 
Triangulum quadrHaterum, Ijeijit in Bet- 
tini Apiaria pfiilosophiae mathematicae. T. I. 
Bonon. 16*5. fol. Ap. III. Progym. 6. Prop. 1. ein 

Sßitretf, M» Hm» «lw4tt»M$«nbenäBinrrl t)af. Sali- 
ner erftärt ftd) gegen bin 0ebran$ bes^Borts mit SXecfK. 
®tom. «bt..- I. ©. 27. 

• Tridens, f. .Stumme ünlebet jweitenÄiafle. (64.1 

2r(9CnaIja§r/ ätti(fckbeMatbmit$rianäular)a$l. 

Trigonometria catholica, f. trigonome= 
tut. (79.) ■.,,.,, 

Sriaoitomcta'e, imengem©inne,t»5rf(iä)!Öre> 
eefmeffung, 1(1 bie 9äSf|finf#aft, Wieb«, wenn »oft 
bin ©etpe-n unb SBinftln diu« SDmetf« btel ©ratf« in 
go&len gegeben |inb, bie übrigen btet©tiicfe burcb SKtd)-- 
ming ju finben tet>cf. . Sit« i|i eonfhructfon 3n>ecf betört 
ßonomeictc , rcesbalb fte puct>. porjoglicb praffifc^er anteen» 
biwgen fätjig i(i. Slfirommiit rntb SeoMfie wrbanfen n)t 
^auptflcblicb bie Sknaulafett it)rer Sfefultatt. 

1. @ie jetfalt in bie ebene, fpt)ärtf<^e nnb 
fp^äroibifdje Trigonometrie ', jenad)bem fie (leb mit 
ber Setecbnung ebener, fpMtifctjei: ober fpEjärc-t&iftfrtr 
Kreiecß befcbaftigt. Sie fp^ariptxn »reitrfe reeAejr 
auf bet- 0berfläa)e einet Äuget Bon brei SMgen gro= 
(jter «reife gebllbef, bie fpr,aroibtf(f)tn bagegen liegen 



" £rtij<>«Mttftfo . ■ ■ 165- 

aitf bet OUt$&ä)t efttf* rffiott fcbe tt ©f^atöft« , : fotI(n abet 
tteifer unten nodE) beßtmmter ■ erftärt weroenv 

2. Olacb einem affgernemetn, fn : i>eri nwlfrth 2er}rtiuV 
(bern feftgef»a(tenen, ©(griffe iftbfelrigttiwnetciebie ganje 
Mrenon beti tfreißfunctfonen , «eb|? beren ^inroenbung- 
aufbieSerecfrming bet &rei«fer unb begreift äff© ben 3ite- 
fcattbtr 2(rtifel ©omot'nefrie, (Sncloraehle, JS^clott&nie' 
unb Trigonometrie biefes SS&rterbiicbe. -$nbef) fmb bie in 
ben brei erften enthaltenes ©äge eigen* iieb nur Äutfefetint« 
nifle brr Srigonomefrie im engern ©ittne. ©iefe bebarf 
jener, aber nicht umgtfe^rf. 

3. Stuftet SEBinfeut unb>@eiten fäimen in einem 35reU 
tat noa) mrfcbt'tbene anbete ©turfe, j,©. Umfang 3n. 
$a(t, £6Ije ', u. f. f. ju finbenr fenn. , 2We r)ierf)er gehören* -. 
bm Aufgaben, aue benen " Q3 1> i 1 1 p p Staube in benMis- 
celLBerolin. T.V. VII. eine eigene 2Biffenfcb.aft — tri« 
jonofropie ^-'bitben wollte,, finb ttrtxjj, nur ats 2m. 
nxnbungeri bet eigentlichen ^rigonometsie ju betrachten. 

4. 3n Öejug auf SBetljobe ift bie Trigonometrie ent» 
Weber fonttjetifcb; ober annlntifcb. %tnt (eitet Wti aas 
geometrifdjert £onftr«<fiQnen ab, unb fang fejer 'aje au* .. 
bell (Elementen binldnglid? befannf angefeljen werben. 2c§= ~. 
(ere bagegen beweifet hur ein ©nftem eirifbc&ee gortffeut 
hrcbeiHc ganj leiebte geoimtrifc&e SSefratbtung, unb ge> 
langte aßen übrigen SXefüttaten auf bem HBege beß <&aU 
culs, mittelft goniometrifeber unb rndornetrifeber Formeln, 
äla weniger befann-t , unb, wie iß uns febeint, btmSße«. 
fra bet Trigonometrie am metfien «nrfpr.e«3eob, ftff bitfa: 
SÄetljobe in bitfem Ulrtifet burebgängig angeroanbt werben, 

L € &e n.,e £ * i 0.0 n o.m e 1 1 i e* , 

Gnfroirfelung bet ©funbformettt. 

5. $>ie brei SBinfel eine« jeben ebenen ober fpMrifchen 
Sret/ecfa werben immetbureb e, ß, y, bie gegenäberfte> 
^enben ©eirett cefpettiiM *uc# a, b, c bejeicpnrt. <Eu« 
tet rjatbief*, title KJMtfyfiU barbietenbe, SSejticbntuigßart 



166 Srtsonomrttt^ 

ju'ttf? Qttewibt,, mm wb nad? tym bie SBinfel eigettt. 
[idjiMird? A, B, C b/jtWjnef »erben. £>er Jgiatbraefl« 
- (er tafeln wirb immer.. = 1 gefegt. 

6i ©eij nun ttfe (Fig. 45.) ein b<i « fpifj=, ftumpf* 
ober redjtivinfliges ©reijecf. SOtan neunte « altf Anfang, 
,«/? a(e 3Ire b« s ilbfciffeti an, tiiib begeiebne bie (Soorbinafen 
»on /burdjx, y; foifiin benbrei mftgßt&tn inber3ia.Bc 
bargeffratengälftn:. 

. ! = + •*, J^ + Ht 

.* — — •*> t = + r*f 

* = °i y = + «r- 
, Stimmt man nun acT = 1 iwb errtt&tet ba* ^erpenbifel 
y'J'i foiftim erffengatte: 

oel" : j»'J* — mS : yt? xs 4" a3 i •}• fffp 
1 : tang « = i : y. 

3m swfltm gaße t(I: 

aS" .* j-M' = «J : y£'3= 1 : ttng yaJ, > 

— aej i + yS := t ■ — tang yaS = 1 : tang o, 
1 : tang t - i i y. 

SKfo In Seiten gälten: 

y es JtMg a. 

3m trieft* Salt ,|r tang oi = »= •£•. älfo 
xtangos=o . i = y, fo baß olfo ble oSige gormel 
auo> füc tiefen Soll gilt. 

Sa (c — *)' Immer i>o(iti» lü, fo «gellet, weroi 
mon nur auf bae20orjei#en ttonx a,et)kig9iutffid)r nimmt, 
(eia)t, baft immer (c — x) J + y* = a« ultbx" + iy» 
5=bM|i. Sie brei allgemeinen gormein 

y = x tang ■ | - 

<•-•)• + j* = »' Im " 
«. + ,.=b>| 

fint) bie ffitunbf ormeln ber ebenen Sr Igohomerrie. 

7. Euminirt man aus tiefen Sleicbungerixunby, fo 
geben bie erfte unb briete: 

x 1 .bc .' = b> , x = b cot ■, 

wobei) nun bewerfe, bau •> immer popei», x'in* •»> « 
ob« offenbar luglei* pofitto nnb negnth? flnb. Sur* 



€6o». 167 

Baltnetim rrab ©»Bfiituiion «^Utauitaii« t>« jtwiKn 
unt> dritten Sliliunj ; 

c 1 — 2ic coi « is •* — b* t 

äifo 

■* =3 b 1 + c * "■» 21,c co ' " 1 

fr> > »» + c* — 2.0 cot )» [ [2] | 

H* = »* + b 1 -f 2*b 091 r ' 

8. 3)utdj Sfcbitlpn fces iwdteit imb beiffetj Qfel&iuig 
cr^AIt mau Uidtt: - ■ 

fl^ja" -> 2ne co» /l — 2ab coi •>. 

Wo 

• = c 001 > + b c« y 

. .bsi ooj y -]- c cos a 
6 = b coi « + • co« £ 

9. 01o*[2.]l|l.. 

b* + e J — •» . ■* + c» — h» 

Cot o ä ^ ,7i ' 1 Mls 1— ^ , 

2b5 ' r 2ac * 

tsorauö man leitet fowotjt färb 3 aina 3 , at«M sin/5 3 , 
tonSStrtf) 

g;.'b' + «'c- + f c») — (.' ■<, t» + c'> 

rrtjMt. aifo 

■ rä =f b >iu • \ 

b «in y cn o «in /t I 

5= tin f 1 »in f 1 

1. |. In jettin Sreitrf »erfjalttn ffcfc bli Sti((n wie bit Si- 
nnt tet $t$tyi&t<ftt)mbta SBinftl. 

10. aifo 

ttorou« (i* tut* SSerbinbuna, mit btr 5>ropotrta> 

« : b = nn « : lä £ 

fckStetgieW: 

■ : b + C = «in f • cc» 4 « : »in f (£ + v) ce» } V + *)■ 

aWti« + i/» + iy = 90», aOosinK/S + y) 

= cos J-a, cos.J(^ + j-) = jin$o. goläii* 



168 > 2ri9Momettie. 

a : b + c ~3 lia £ o : cot \ {ß — y), 
m : b — o = cm $ * : «In } (fl — j). 
m cos £ {ß — f) s= (b + «) «n 1 " » 
b c« |(« - r ) = <a + c) rin 4 ß\ CS] 
«i"M(« — « = + M «*" f rl- 

,* .in $(ß — r ) =Q, — c) co* i ■ | " 
T> rfn * (- - r ) « (, r C ) a „ j /j jBj 

c «in i (o — 0) fc='(« — J>) cm i $ r ] ' 

11. gfic K^tffiitiffige ©referfe m&tmn alle bisher Be* 
tvieft nen Sfalationen eine einfahre ®e(laft an. 3(1 ndm= 
U(t> tmmec a = 90° , fb ift sin « = 1 , sin fee = 
cos^a=cos45°=:r4- 9Hfo an« [2.]. 

«V'as ib* + e* ) ■ 

o c= c — • cö* ß I pq 
, O, SB b — a cot /■ * ' ' 

fn«[4], [5], [6] et&Ätt man: 

«du /» = b V ■ 

-btangj- =s c, b =3 c lang p\ [8] 
O = a «in j> , J 

■ -mcoti iß-y) e=(b+«)rj I 

bcw (45° -4rt = Ca + *).i=4^Jl9J ' 
..«cm (45" — tf) = (a + b) .in | r J ■ 

b«in(45 l> — *>-) = (tf— c) cMljjlpo] 
otin<45° — *« = (« — J>)cosi r ) 

S>a aBer $• (£ — y) =^ 45° — 7 i(l/ fi> traosformirt 
man biefe ©tet^unseh Eekfctm: - 

a cos (45° —)•)=! (b + «)r* . j' 

h eos i A — 0» + «I «*» i ß [ E«I 
C.coi i r ~ ( a -+ b) iin 4 7 J 

» na (45° — r ) s= (b — c) ri I 
.v . b rin i ß = (a — |C ) «u iß | [is) 
, c im | r s=i(a — b) CM^ r ) 

> »in (45*- T ) = 0» - «) Kf \ ' 
* cot {45° — |r) =a (b + c) jf $ I 
b taug* jS =='« — o" f 
b muß "« ä+o" /Ml 
• .e tangir s= ■ — b 1 

c cot^y es a + b J 

S5ür*©it)i(i<)B 6« «|fc» beibm Wefte 6Irf*fltt«a et* 



e&me. : - m 






StUgemetne Sfufläfttitfl öHet SMe. 

12. $olg*nbegMe Finnen nur »orfemmeii; 

a. ©egeten eine ©eite unb jwei SEBinFet; a[fo im» 
mu oudj ber trifte. , 

b. (Begeben jreei ©eiten urtb ' 
c bec elngef<fcfoffene; 

/?. ein ©egenttnnM. - • 

c. ©egeben ofle b«i ©efteit. ."■'■' 
, S)oß aue brei SBinfeln ein ©reitd* n!d£K &etee$netr«r« 

bm famt, folgt fcbon aus ber 2et)re »ort ber Songruenj, . 
lann ober aucij fo gejeigf Werben. Stimmt ttmn-nirm(ic& ' 
c, /?, y alt gegeben' an, fo erruft man, wenn je jtt>el 
bec ©leidTtingen [2] ju eirianber abbirt »erben; 

o c= n — t cot j* — b cot f, 

o = b ■*— o -co> * — « cot y, . «, 

o =~e — b cot o — a cot ft 

ttie aucb f^ort in [3] gefunben. SUfo 

a'= (o co» j- + c l'iibo) cot y + C cot f . 

b • ce» y*_-f* e («ö* fi + «* * cm y), 

unbe&enfol 

c =a o mm »' + * [ co ' ß + o0 * * ooi y), ' 

twraiw bitct^ ©ubflifirtion imb £>i»ificn btirdb * tetel)(. 
folgt: 

' T k 1 — co» ** 

clfo feine S3e|rmimimg »on a. Ölacj einigen leisten Dfe» 
büctiönen err)i{( man foigenbe metftoärbige ©teidjung jn>U 
fa>n ben brei SEBinfetn ; 

4 — co! «' - co»^ 1 — Mt y* — 2oo*« coi/S ooty sa o. 

©efct man •-== a', £=b', -j- = c'» fo affiU. matt 



170 ' St^Momcttit» 

ou« im itti o%™ Sfelcjnmjm Wä)f 2(u«brilcft für V 
ur* c', reotaus |iä) «ucb a' = jr (ifobt ttglttt' Olämlid) 

, ' co«y -f* co * a o°i^ 

tH/ -fv COiO COl y ' 

. , __ co»a -f* c°»J> ooiy 
coijS + ccis coiy * 

' .' cot« + c 9*£ co "r . 

, . , cniy 4- coia höZfi ' 

STCfo nrirb/ Wie au* fcfe Stomttrit tt^irt, turcb Metttl 
2Binf«( nur Das Sß(ttii(tmp ber @ijrtn benimmt. , 
v ,' 3Bic. venbeu uns nun jur 2!uflöfung ber elnjetnen §ö[I* 
fetbfl/ t»oBel wir un« nur auf M obige @cbema besiegen. 
13. ©egeben a, jj, y I 

©(fudjt «, b,,c I l "- *' 
S>a« + /9+ y = 180«l|i, fo l|{8ina=sin(/?+3<). 
aifo ftnb no(b [4] Die jur SIiifTSfung blenenben gotmeln : 
• = (*>•- tf + f), 

" — -w o» + ^> • ■■ 



14. ©«gebe» b, c, a I 

©ef„*. /?, y, «lC 12 - b -«> 

Sind; [4] «nb Kliffs 

• t'mß ;= h tiaa, a coi£ =s o — b cois. 

ffllfo burcb. S)l»l(ion: 



py, g>' ««ßbftt 



^Google 



.• ffifew. 171 

~_ ■ — btlno btina . „' 

*"«' " t(l*-°*t,7 "• 4b.in»*- • 

S)l< Sinttnnns »er Jjidlfswfafet y, </ if! not rnojltaV 
»rat i-^. £-^i bje Cönfait nicbt ibet|Jel$en. <£in« 
bieftr SBrücbe l|t aber Immer < 1. ©ran mar« j. 8/ 
—^ > 1, .b cos« > cj fo Ware b > c, ba cos a 
«b>l. aifottm (om<5tb>ccpso, obec^^"<l. 
Einen ber bellen ^>iüfst»inf el beauefcf mos aber' BW/ rceiiy 
wenn j. 55. /? gefunben, y fieb auflenbh'cfli4i aus b«Sor« 
»el f = 180° — (et +/9) «siebt. 

Unmittelbar ouü ben SDati« mieb a mitteilt btt §«mel 

a = Tb' + c»— 2bc ööää 

jefuntou. ®ie StSge unter bent 2ButieIjticf)en i(i,.t»emt 
nun 2 cos $ a J/T5 = k ftjt : 

s= b 1 + 2bii + o» — 2b« (1 + GM«) 
\ ■ ==(b + c)* — 4Uc cos 4.» 

= (b + c)' - V, 

*f> . = r ( k + » + t) ( b+ o-kjj 
eint gut togaritbmifd)en Sfecfcnung bequeme formet. fOtan 
tann aud) einen #ülfsu>infet y ans bec gormet 
g«m i.rt; 
■"«v ° t _ „ - . -:. : 

btKcbnen. 35ann $of man .■•*.. 

»* = b 1 — 2bc + c> + 2bc(l >- est«) 
= (b — c)» + 4bc tjnl« 1 ' 
t=(b -o)' + (b _.«)■<•««>• ■ 



CS (b — c) 1 lec v 1 



«WH aittb fe^en 



-biri • 



m . " SrigMfopKfricb 



* == b»,+ ftt + C' — 2bc(l + coi«) 
■ 'sa (b + c) 1 — 4b"o coi i ö* 
e= (fc + c) 1 — (b + oj* liav' 1 
ss (b + c) 1 coi tj/\ \ 

' ' ■■ n =.: (b + c) coiy'. ' 

*ta)1(l '■'■'. ; 

.at == bU»»i«? + ewfo>) + c\(ii»Jf» .+ cpij«»)' 
— 2bc (coi Jn 1 — linj«*) ' 

■ ! =(b -fc e)> ata J«> + (b— c)" •»(•■,•. ■ 

6, VNe ®eltt a iH,Nr JJinMStenufe eines retbtu>inflia,eit 
»«tief« gleia), beffen Sat$rtfti(b + c>siii i a, 
(b — c) co» 1 «. fint>. 3>i« giebt au*f ofatnbe S5ereo> 

mina&Mta:. ■ 

.. = <b + o) .i» $ . r^+Crf^ "'**)*• ;. 



b + c 

. ..(b:+ b; 



i • == tang e» 



Jjn ben (Elementen »irt gembbnlid) fotgenbe Sfufttfung 
US »orltegenbcu^&IIeB WS einer JSönftruction abgeleitet. - 
iltas [5]vunb [6] folgt bur# ®C»ipon äugen«« li(b 

Uog> o»— r>=Sg^|cot|., _ '•. 

. »6« ia f« + iß + ir — 90 ° %'• .' 

tmg}G>-iO = s-qr-f'»'e4'<i' + ri; ■ 

to»g f 0» + )0 : tang i CA — rlsi + ilb-e. - 

«kraus finbet man $ (ß— y). 3ft nun * (ß—y)=3, 
j. (j9 + y) = 90° — i « — o; f» «9'* C* ,,(i * t 
ß-^a + S', yzzza — A, »oburcbß, y f alfo autb a, 
feicbt gefunbcn werben. 

■— Ä» bfefer Sfoftöfung (|l rt.aff Set gat,. bafi b, c 
i^rfcurcb ib«2ogaritb>ren gegeben finb. Um nun niebt 
afb, o In ben Safein auffueben |unul|feu, tonn man. 
(i* ber Keinen »on fflauj (SKonatl. eorrefp. XXVI. 
1812. mo»embre=@tucf)juer|tbe(annf gemachten Safein, : 
«tu log b tmb logc fagleicb log(b + o) unb log(b — c) 



. EJ«lfc. • 173 

Itt fnuKit, ita aud; bu grogern SBSetfä: lafel „ut tequb 
mm 35ere<s)nung bcs SJogarttbritett bet ©umme unb Siffe. 
wnj iroeier ©röf'en, u«(cbe felbft nurburefe ibre ?ogarttbj 
men gegeben finb. (93on <E. ».SOlaftbiefett). ätfona 
1817. bebtenen, aber auf fo(gtnbe2l>f(Pui s aaht Trat- 
te de Geodtsic. Lp. 54.) tserfatjren. SBon fetje. 
— = tang if, m, wenn wie B,> o annehmen, 
tang5p>l, jo>45'' |(l 36« , /..,., 

Uli, 15-) - *"'"' ~ ' — * — » . 
SHtfO tang i iß — r ) =s taog;(*> — 45°) . cot | o, 

»oburcb tang 4 (/J — p-) nue mit £Mfe bet Sogaritljmen 
»Ml b r c, obne bkfe ©etten felbft - ju (innen, gefun= 
benroitb. 

SHe ©eife a fonit mon autb nad) [5] uns [6] mitt«((l 
fbtgtuber gormetn bttecbnen : .'.'.' 

nj« _. (h — riwj ■ 



(b + .) ... » {f + ,) (b - c) .in » (» 4-,) 

, ... *o< — rt «J i tf - ») ; . ' .- 

SMe Seredmuna, beruht ganj auf ber ä$efeä)nung tton y, 
weiebet buccb feinen ©inus beftimmt rcirb. S)a nun jebet 
©inu« „u jnlei SBInfeln gebort, fo Ijat au* * imSHIgemel. 
nenjwei einanber ju 180° ergänjenbe SfBenije , unb folg. ' 
lieb aua) a unb a. SDtefee Satt l)eijjt bober bec unbeftimm. 
t< ^all ber ebenen Trigonometrie. 1 ÜJidn unterfebeibe Je. 
boa) folgeube Säle. 3ftb>c, alfoaucb /?>;-, fo fft 
y<90°, unb bie aufgäbe folglich »bilig beftimmt. 3|f 
b = c, a(fo aueb /J = y, T» ¥ •* aufgabt ebenfall« 
»6tig beftimmt. 3(taber b<c, /5<y, fo (anny fo. 
t»ot)f > aus aneb < 90" .ftjjti, unb eis giebt folglicb jtoel 
SuifUfungen. 

16. Begeben tt, b, c I 

.. '. . . ■■' . „ CoöglC;- 



1% Srigwieraetric, 



Bona 



b' + c' - 



%m (ojatit^mlföttt 9tea)itiiiKj nxrten bitft gormein auf 
folgt»!» 31« bts/umt «tta,H:ia)tee. 

2hg jf (b' + c' — ■») 



I + com = 

. (> .4- -)• 



„).' 



2sin£ •* 



2bc 
. »■ — (1 - .)» 



(. + b - «K« + = - b) 
2bc 

©«(!( man nun i (a + b+ c) = », fo erholt man l«i$«: 






-b)(.-c) . 



■)(i-ä 



■)(■ - w 



b)(. 






tangir 



y -fr -»)(■- 



) (■ - 1) 



* « = k*-C'-')» : 



■in» = ir.(.-i)li -!)(•' 



«« » =a' , 'i«-«](«-i>K''-* 



S&fllfc 175 

Ittltm gormefn finb nlcix fo bequem tele bie er|Tern, ba 
bie tjalben SEBinfel immer fpt£ (ini), bei ben legten gormefo 
bagegen immer eine befonbere Seurrljeltuttg ber ülrt bei 
SBinfet erforberllä) feon würbe. 

Slucb folgern» Sormeto feinen ned) einer Ermahnung 
juwrtienen.: 

_ v j - ■)■ (■ - .)(■ - •) 

y f. -.«.)■■(.- .) . 
-/..(._t)(.-c) 
_«-« v fr -!■)(■ -°> 

.-•-° V ■•(.-■> 

-/(.-bk.-o- 

taug * = ££ tMgl« = i~ eotja, 
tang f j-ss j^ tang}« = ~^- eotf«. 

17. Sei den reefruinfligen breiteten brauebr nun nur 
fofgettie Säle ju unterfcbelben: ■■ 

a. (gegeben ein fpiljec Säiinfri unb 

o. bie Jjijpotenufe; '-i 

ß. eine Safere. 

b. Siegeben eine £atrjete nm> • • 
a. bie $npotenufe; : 

ß. bie anbere Äolljrte.' 
a. o. ©egeben/3, a; .- n 

6efutt)t ti •>».«; 
Wh« n immer ben testen UBInfel 6ejelo)net 
, = «■-?, 

b -- «tin?, e = |HI^ fl. &]• 

«. /?. Begeben /?, b; 

Sefudjt y, -c, a. , -. 

r _ 90" - u; . 

c es b Ung r = b cot^ [8], 
*ss ™ =5 b eoMcjs tsl- 

3ta* ip, nenn y, c fo>n gefimbe» / . m* [13]J -. 



176 STrigonoweftte, 



' * — xo.<45° — »1 ' ' r - 



" s «n(45' — r) * ~xo.(45° — r) ' ' 

b. a. ©egeben a, b. 
8«|ilo)t jS',V, o. 

Ä|I = i [8], , = »•->. 



e = « dar = ■ "="»(* M = * *'— »» =i >(*+»)(»— »)• 

b. ß. ©«gegeben b, c. . ■ ' ■ . ■ 

©efut*(/3, y, ■. 

tujgj» = — , tangy = -g- [6]; 
"»gl«' - « = f^|. U»8(«' - f) = ]jj| dfl i 
• «n£ iinj- ; - ■ 

SBiren ntte brel (Seiten eine« rectfrainf (igen Srelecf« 6b 
fannf, fo (innre man ß, f autf) nacb ben gormeln [13]: 

ml * />= t-^' «■". * /• = 1 4- 5 »' 

fang } y =; * ~ b , cot^y =s ^-^-^ I 

jtnben. , 

@leicbfd)enf(igt 3)reieofe (affin |itb Immer in Jl»ei 
recbtwinflige jerlegen , »elcbe« ibre &ered)nung erleichtere. 

18. gwifcbtn ben Sßinfetn eine» Sreiec!« giebt es ge> 
wtffe Delationen, von Senen wir biet einige ber merfwär* 
bigpen mit tljeiten , wobei nur immer ju bewerfen, baß 
a + ß + y =' 180°, 2a+J/}+2y = 360 l> i|Ii 

C0«o = — OMf/.+ y) = — CM/ CMJ- + lir>0 Mit}-, 

(coio -f. coi A CO»)-) 1 = (1 — COi^')(l — ooiy 3 ), 

woran« rann fbgieieb ertjMti - 

o = t — . cos n 1 — eo*^ 1 — . c.oty* — 2 toio eoj,5 eo*y, 

wie febon in (12.) auf onbere ärt gefanben. gerner l|l 

s Bw-rr; i — uag gültig). * 

welcbe«, weiter enereicfelt, giebi: 

tango + taug^ -f. tang r = Unga tangj* tangy. 

Säucbifl , 

lipo =a sin(ß -pf) ssünQ amf-fr cM0 änj, - 



■iii«+ «Kl* **r = */(f + «>*rt + ds r (i + om>) 

= 4 sin 4 /t co»4 jJ co. 4 y* 4 4«in 4 y coi 4 y co« 4 p 
= 4coi }jS«M i-y 1111(4 £ + 4 r ) = 4to» 4 « eoi 4 cos 4 *. 

<£6enfoi|h 

coi. = — coiiß 4 r ) = - eoäfi oosy 4 iinß «n r , ' 
1 + co.« + coi/» 4 CM). = 
• _ co»jS(l — oo»)-) 4 % 4 co*y + iinjj iü, r , 

■52(1 — 2mh4^') «in 4 y? 4 2«w 4 y* 

+ 4«ii 4 iin 4 y ool 4 cot 4 f 
• =>2 + 4tin4 / »«n4 r c ( ).(4/» + 4j,) . ■ 
co«.. + cotfi + co./ =s 1 + 4mn 4 • md 4jS «in 4 r . 

gern« ifl 

CqtC^-COt^y)^- ° 0t *--^ t ^"'*r, 
wto 4. coto cot £ taug/ = — cotj« -f tnngj-, 
cot* (cot jJ 4 C0t y) = 1 — cot£ cotj-, 
coto cot/1 coty =3 cota — coto 1 (oot£4 coty) 

= coto + cot/»4 coty — (1 + coto>)(ooty* 4 eoty) 

« cot. + cot/» 4 coty - co«c . ^^ 

* 00t. 4- «t* + coty -00.00-. -^-Äfcg-j-j . 

SÜfO |(f cot • + cotfl + coty = 

COt« cotjj coty 4 COKOa COWCJ» co.eCf. 

t)o 2a, + Qß + 2y = 360° i|?; fo iff sin2« 
= — ain(2^4-2y) 

= — Mn2/f co>2y — C0«2/!»iii2y 
= — »in2jS + «n2/»[l — co»2y} — «in2y 4«in2y(i — tm2ß) 
M2a4.•ill2/J4«ill2y = 4•in/»co»/JMny , 4 4iiny coty tlnp* 
= 4.111,8 ilay iin(/) 4 y) — 4iiflo lin/I tiny. 
66«* fO 1(1 coi2« = co.(2j»42y)=so6i2(9oo.2y — «n2^ rin2y, 
«o»3»4 co* 21 4 <*>»2yna co«2£(14coi2)04coi 3/ — Ün2ßtin2y, 
1 + coi 2» 4 00» 2p 4 «o» 2y =3 
(1 4 co«2jt) (1 4. co*2y) — 4«njt «in y co*£ caiy 
=>4aa*j9caty eoi(j9 + y) ^= — 4coto eotp ooiy, 

21^Bli^e3?eiattonett Idffen f«fr mehrere finbm. 9Ä. f. }■ 35. 
%bu$ fcec ©com. unb $rig. v. £reUe. SßecUn 1»26. 
L@.422. 

v. , a» 



170 ' Sriä»ttomrtri(, 

ou« ben brei obigra .Quittungen leitbf $tn«brutfe für V 
»nt> c', woraus fitb oittb a' = V leicht triebt,' öiamlitb 

, __" co»y+co»» co»^ 

co*/* -j-.co>o coiy ' 

fa , _ «Pia + eotß coty 

muß + ooio eogy.' 

,' ■ CM» j. BMI co«y . . 

■ . , ~ cMy 4- coia cotj}* 

Stlfowirb, wlt ou(6 Sit Oeometrie t.ljrt, fcnrdj bie brei 
SWnfet nur bas gSrcrjalfnifi ber ©titelt Se(iimmt. , 
v ' 3Bir. roenben uns nun jurSMuflofungbertfnjetnenSafle 
feit)!, wobei wir uns nur auf bau obige ©tbema bejitfjtn. 
13. «Begeben*, /9, T |„, 
©rfurfrt «, b,,o |l"-W 
3>a et + /?+,• = 180° ifj , fo Ifl »in a=*in(ß + y). 
Sllfo (Int) na* [4] bie jur aitipSfung bienenben gormetn : 



l>= ■ 



n? 



ZW**)' - 

' _ ■»in)' 

" •>(» + ()' 

14. ©«gebM h, c, e I , 

Sef«<bt/?, y Ml (12 - b -°' ) 
Süo* [4] unb [3] i)J ; 

« *in^ ;=h lina, ■ ool0 M c — b einer, 

2tIfo burd) »tolfion: 

b «in* , 

ysito'-C. + At«»»s. B -^ 5 |-; . 

33o bie Sopmel» fit «ang/9, tangy |ur togariftjinlftSot 
iÜecbitung unbequem (inb ,' fo bertebne man <p, <t' tut« bttt 
Sormeb: " 

b roi * , c (ou 

. •■ Mty = — , CH« =— ^— , 

(6«ri,SlrmonIekb(: 



'.■ f£Um* 171 

B P c(l — co* fj 2c «in 4 ,» * ' ■ . 

3>ie 25ere#mmg 8e* ^üiföreinfcl <p, <?' fff nur moglttÖ, 
wenn b c "* , S- ^— - bje (giiujeif nfcbt äberfleigem (Sin« 
tiefer 33rüc£>e ifi aber immer < 1. Senn »irc 3. §3, 
b ^"" > 1> b cos« > c; fo »4k b > c, ba cos a 

nfe>l. SSIfottm (ame^r b>ccosa, ober c ^" <U 
(ginen ber bcibcn Jp&fßttittfel braucfef man aber nw, »wir,' 
wen» j. ©. ß gefunben, y ft<b augenbltcflkfcl au« ber gor* 
me( y = 180° —(« + /?; erajebf. * 

■ Unmfttettar aus ben ©atis wirb a mittelfi ber Kernel 

■ aa "Tb 1 + * — 2b c oo*" 

.gefunben. JDie ©röge unter bemSEBurjefjeicbett Ifi/. wenn 
man 2 cos 4 « K~bc — h f e S (I 

= b» + 2hc + c* — 2ha (i + cot«) 
'_ • = (b + c)* — 4bc CM^.» 
« 0> + *)» - **. 

3«fo a=r(b4:« + k>(t + «-W); :■'-■: 

eine jur togarirfjmifibett Sfedjmtng bequem* formet. SWatt 

fatm au# einen Jptilfßitmtf et y an» bec .gönnet . 

t«ngV = b - c - ■ . 

berechnen, ©ann $at man '..**_. 

»> ~ b' — 2b' C 4- e* + 2bc(t *- tui) 
^(b -c)» +4botiii4»» 
s (b — «)' + (b — .«)* U«tv» ' 



»Da, wegen (b — c) 4 = b s + c» — 2be, immer 
b*+c J 52bc, aIfo(b + c) 2 =b>+c a +2bc>4bc, 
b + c>2|TbT, b + c>,2cos£aJ/"Wtfl} flfan» 
man aua) feijm 

• ■ •' > «m «y rs 

"■* - ST« • 

; i? g ize« C vGoogle, 



*72 , Stfgwiojncftie, 

a* == b». + 2bo +• c> — 2fce(i + coi.) 
■ "'p= (b + c)* — 4b"c co* J b* 
.;.■• c=(fe + c)> -(b + c)'. ii«y» ' 

c= (b -f* ")* coiy*'. 

':'■.' ' * ~ (b + c) coi y/, ■ ■ ' . 

*«&# " ". 

«> = h>(n«).' + =»•)•'> + «' (•"*•'.+ «■)■') 

— 2bc (GO.Jo 3 — tin^a 1 ) ' : 

= (b 4; C) 1 «infB 1 + (b — C) 1 COf^« 1 , 

b. $. bie@iltt a ij! ber J&tnjofcmift cfm« retbtaraftigett 
S>refetfe gfeid), beflin Saroten (b + c> sih £ «,: 
(b — c) cos i a finb. ©ietf giebr aucfr-foigenbe 8erea> 
(ulläMtia: 

• = (b + «) .in i . fl + (5-J-|o«l.)", . 
f^-j cot i »-*■"«»> 
* _ co.« " 

3n ben Ctememen wirb gewitjnlicb frfgenbe SiufUfung 
bes »orliegcnben SaöeB auet einer Sonfimcrton abgeleitet. - 
%h« £5^; unb [6J folgt bunt» X)itpif?oit 

*«»* * (i* r- r> = h^-| Mt 4 • > 

. ibn: ba f « + 4/9 + 4-y = 90° iff: 

t«»8i G> — rt = |-qr-f "»8 i'f + »>. 

$hrao« finb« man f (ß— y). 3f nun^- ((9— j-)=r<J, 
} Q9 + (0 == 90° — i a = o; fo ergiebt (Üb «fei*« 
ß==o + d, yc=o — d, »fiburcb/9, 7, aCfo aucb a, 
leitbr gefunben werben. 

'Sin bierer 3Iu(I5fung Ift tt oft ber $45, baff b, c 
gncburcb ibrt £ogarit$mtn gegeben finb. Um nun nicbt 
erft b, c in ben Safein auffucben su muffen, fanrt man. 
fi* ber Heinen tion ®auj (SMonart. gorrefp. XXVI. 
1812. aio»emb(r.@tutf)juer|tbefannt gematteten Safein, 
aus log b itnb log c fogleiä) log(b + c) unb log(b — c) 



...efcHt. ■:".- 173 

)u flnbot, obre aucb bees ojafem SÜJtcf«: 3afe( jnt iecn«. 
Dien Söerecbnung bcs Sogaritbrnen bet ©tmime unb Stitfe* 
renj sreeier Srogen, veelcbe felbff nur butcb ibce üogortljj 
mm gegeben finb. (58on IE a. SWatfbiefen). aitona 
1817. bebienen , -ober auf fotgenbc 2Ir t (P u i s s a n t Trai- 

te; .de Ge'odfc'sic. I. p. 54.) »erführen. SJtott felje, 

— = tang <f, »o, nun» Bit b > o anne^mcH, 
tange/>>l, c/^45 1(1 36« 

■m,'-, 45-) = ***\ -" ' =. ^=j .' 

3Kf6 tang | {0 — r ) = tangf*. — *»•) . cot f a, 

»oburcb tang i (/? — f) nue mit #4ife bet Sesaritlgmctt 
»cm b, o, obnt blefe ©eilen fetBp ju fennen, gefun. 
benwftb.' 

Sie ©elfe a fann man aucb nad) [5] unb [6] mitfetfl 
folgenbet Jornteln berecbnen: 

* fl> + c^iin ja , (b — cTcot | ■ 

(b + .) cm t (» + f) -..., (b - «) tin t tf 4- r) 

— o. *«-):) «MW-rt"- "■■ 

15. Begeben b, c, ,9 1 : , , 
' ©efucbt.a, r»»1° *' 

SDie &erecbnung beruht ganj auf bet SÖerecbnung »en y, 
welcher burcb feinen ©inus beftimmt wirb. 3>a nun jeber 
©iniiß ju.j»ei SBtnfem ger)6rf , fo $at aucb y imaOgemeU . 
tun jrcei elnanber )u 180° crgängenbe SBertbe, unb folg? ' 
Ua) aucb a unb a. SHefee Saß bei(it baber bec unbeftimnu 
U Sau ber ebenen Trigonometrie. SMan ynferfcbeibe je= 
bod)fi>(aenbegaae. 3(tb>c, olfo au* /?>?<, fo hj 
y<90», unb bie aufgäbe fofgli* »6Big bc|iimmt. 3(1 
b = c, atfo aud> /? = y, fo ift bie aufgäbe ebenfalls 1 
eoflig beftimmt. 3(tabetb<c, ft<y, fo Fanny fo* 
»obt > a!« aucb < 90" feijn, unb ee giebt folglicb jwd 
&ujldfungen. 

16. «Begeben a, b, c | ( . 

eefuebt «, /j, rlr** ) - : 



i°fa SrigonoxKtric, 



am? i 



»' ± b - c 



3« (o8oti(5mlf*<lt 9t«t>iiuna wtrten Wefe Sotmrin auf 
foljtnbe Slct btüuemet tingmäiter. 

am* P" + ■■ — «?) 

l±ooi.= 2|,o ' 



«».• 



, <b + «)■ 



. . _ (. + t + c)(t + c - .) 

■ ■ 2bo 

, : -»*^ - --£.-•>; . .. 

(."+t-o)(.4..-H 

2bo * 

(Stljt man nun 4 (• + !> + c) = s, fe ereilt nun (<i$t: 
y (« - ■) 

' — ( bc » 

■=r-^' • 



tang 
fang 

tarig 



v -fr -.)(. -M 

r f ab 

.1 ^. -!>)<■- o| 
'-f .f-«) 

_y -» -■)(■-!>) 



ir.(. -a)(.-b)( 1: 






State. 175 

ftgrere gormtta (in* nl4>( fo Bequem ftie ble «fmt, ba 
Sie fjalben aöinfct immer fpift |inb, Beiben (eisten Jormeto 
Wogegen immer (int Befonbere S3e«rff)d(iitig öee 21« ber 
Söinfet crforbertlcf fepn rcürfce. 

aiucb fotgenbe gormein fcbeinen nocb einer <£rwfttjmtng 
juuertiKiien. : 

.■■f ('--) 1 (t-b)(i-«) 

•»«t'-f (.-!,)..(._., 

"/ .■(.-!,)(.-«) 

. _. , ^(. _ tl(t - c) 
~a-b [ .(. - .) , 

. i t, - i)(. - •) • 

tug t = J^£ tittgja ss i^ 00t|«, 

i— a •— & 

taug f y = ' i taugen =s i ' cot|n. 

17. Sei btn recbtoiuf (iqen SDrelecfen Brauet man nnr 
fotgenbejllle jci nnterfebeiben; 

a. (Begeben ein fpi^er SBinftt wtb 

o. bie Jpijpotemife; 
ß. «ineÄMfyle. 

b. Segeien eine Sattytt unb • 
a. bte $nr-otenu£e; . 

ß. bie anbere Jtofftte.' 
a. o. (Sege&en/J, a} 
(Sefutrje y, b, c; 
wenn tt immer ben reebten SfflinW Bejeutnet. 

r = 90"-/l, 
b =s atinp, c =: a coi^ [7. *,■} 

a. /J. (Begeben /?', 6; 
Stfuiäbt y, *, a. 

, = »'-;; 
c J= b tang* = b totfi ßl» 
• sa j4-j = b voneß pj. 

Äiicb 1(1, wenn y, o .ftjan gifunfcra, rnd) [13Jt .-. 



176 •Stfgwumiettie, 

b ■+ > 



■ r} = 



" «n (45» — y) ' 

b. a. ©egefcen a, b. 

©tfinbt /S,V, o. ' - ■ 

*»s;«l,r»»->, 
: • ss « iiay'= * co»(J [8] = r *'— b> =b > (a-J-b)(t— b>. 

b. ß. ©egejjefcfn b, c. ■'. :■ . 

©efu<$t/3, y, «. 

taag.J» = — i t*»8r = £ PQ» ' - 

t~g(*5- - « = i-J-jj, «ifff - rt =.|j| ["] ; 

SBdren fltlf bcei ©eite» eines ret&fwfnflige n ©ctietf g Be* 
■ fowit, fo Wim« man /?, y aa$ näcfc ben Sotmem [i3]: 

■ — b » 4- h 

froben. i 

©(eic&fc&enflige Sreiecfe laffen fl# immer in jtt)e£ 
«c[j(»inf [ige {erlegen/ »etc&es itjre 25ere<t»jung erleichtert. 

18. ^wif^en fcen SEBinfeln eine« £>reietfs giebf es ge* . 
wiffe 9Watiot.cn, tton benen mit $er einige bei: merfmÄr* 
bigflen mitteilen; wobei nur immer ju bemerfen, baß 
a + /S + y =' 180°, 2« + 2/3 + 2^ = 360° i(|. 

004« = — coitf.-f )•) = — aotfl cot r + «n£ «in r , 
(co»o + cotjJ coif) a = (1 — coijJ>)(1 — cosy'), 

woraus man fogleicfc erEjält: ■ 

= 1 — co» a 1 — cot/ 1 — co*/* ■*- 2 co»* w»ß cot f , 

Wie fcboti in (12.) auf anbere %tt gefunben. ferner i|t 

b.,. = -»„, + ,| = -ıÄ, 
wetebe«, weifer enfwitfelt, gießt: 

tanga 4. Ung£ + ta^gf = taug a tangß taug)- 

aud>ifi .; 

»Ul« = (Ü3 <j3 -|~ ,•) Ätin^t C0f)>.-4> C0*£<ü.jr, 



' du« + « nj J+ »Hj. = ii«>(( 4. coty) 4. «te r (i 4. c o«>) 

= 4 «in 4. ^ cot * £ cot | y» 4. 4 «in 4 ,- co« 4 ,. cm 4 ^ 

= *<so* i P co, i? iin(± ß + $ r j = 400* J« ooiijJeojAy. 

€benfoi(i: 

co«» = — coitf + y)a-co./»ooij- + iin^«in r> ' 

1 + CO*« -f- COS ß -f- CO«)' == 

- _ coiy»(l — coi ? ) 4. l + ooiy + fin^ iin r * 

k 2 (1 — 2«in * ß*) ritt f ** + 2co* | ,> 

4- 4 «in i fi &t$ r au ifi co* $y 
- =2 + iiintß,i aireat ( i t3+ ir) 
COia 4. ao,fl 4. to. j- es 1 4. 4 «n j •'•in 4.^ .in 4 j-, . 

gttimri)l 

cot« a - cot« 4. y) » - ™±<L^£Z 

cot a 4< cotu cot£ Ungf = — cot^ 4* '»ngri 

r.oto(cot^4- cnty) — 1 — cot,fl cotj', 

cotacot/J cotj' = cottt— coto' («>*£+ cot?) 

_ accota4-C0tA+ootr— (1 4. ooto')(cotjS 4- cot)-) 

sacot« 4* «**£,+ coty 

= cot« 4- cot;? 4. cot y — coieca . -1 -- — -■..__ 

aifOifl cot«4-c«Ä4. ot r = 

cot* mtß coty 4- coieco co»ec£ cOMey. 

3>a 2«,+ 2/J + 2y = 360» i|J; fo i|{ s in2«' 
= —.111(2/3+27} 

ss— dn3/f co»2j- — CQi2jS«i'n2y 

= — »In 2ß + »in 20 (1 — 00* 2]-) — «in 2y 4- «in 2j- (i — co»2#) 

»in 2o 4- *>« 2/1 4-»i n 2y ==4«iii£ cos;? «in y 1 4- 4«iny co«? «injS* 

= 4tinj9 «icy tin(/J 4. y) — 4«iia «injS «iny. 

CBctt fO ift co« 2« = co« (2^ 4- 2 r ) s= co* 2^ co« 2)- — «in2£ *in2y, 

ca. 2« 4. co*2J) 4- co*2j-=b co«2|S(14-co«2)'}+oo«2}< — «in 20 «in 2r, 

1 4- co« 2(1 4- co» Iß 4. co. 1y-^ 

(1 4- «o«2£)(i 4-cd»2/) — 4 . in/T «in y co«£ co.y 
=s4oo«^co*y eof(J14-r) = -~4co«a co«/! oo«y. 

^nlk&cDtctatfamen [offen ftd) mehrere fmben. SÄ. f. j. 25. 
Sefjrbutfc ber ©»m. unb Srig. ». £re(le. Sfrliit 1826. 
L@.422. 

V. ,3» r . , 

, . ;, .Cooglc 



'178 j ; . -SErigntometriev 

- einige 2tnn>«nt>ungen, 

19. £>ie Qfyt beg Üttkde in 25ejag auf bt,e ©eife c ' 
fen =±: c' ; fo liegen a, b , c' offenbar In einem re*(minf= 
ligen SDrekcf , bejfen £upotenufe = b t|f. 2Hfo ift" 
c' = b sin et, unb folgte ber 3nljatf bee £>reiecfß 
auß jwei ©eifen unb bem eingefcfe/loffehenSÖMnfel = £cc'" 
=^..bcsiiia. ©eljt manfür sin « ben5lusbrutf in(16.), 
fo er£)<t(f man ben ^n^att burcb ble brei Seiten ' 

@mb eine ©eite c unb bie beiben anfiegenben Söinfel «, 
ß gegeben; fo ifl na*' [4] : 

. "- .in, -»■dCH-/')* 

_ c'wna «in,» _ ' c^ ._ 

„ ■- 2»in (o + j«> 2 (cot 9 + cotjJ) ' 

wenn wie ben ^n^alf immer, buro*> A bejeiebnen. ©inb 
• c / ßt Y gegeben, fo f)at man ; 

' _ c*sin« ,inß _ Cin^iinl-jt+y) 
. - '2 »in ]< 2 «in j- * 

1 . , ■. Sinb.b, c, /$, b. i. groii ©eiten unb ein @egentötn= 
fei, gegeben; folftnw&p]! 

(a — c cotß) 1 = a* — 2ae cotfl + c 1 co*)» 1 
aa a* + e 1 — 2ac miß — etünß 1 = b 1 — o 1 liu^', 
NHHttlttf ' 

a as vtioiß + Tb 1 — c 1 «in/»*. 

3Hfß'A = £ ac sin/S . . 

= icH n jJ(cc6./J± Tb»-«*amf> 

' ©a« böppette Seifert jeigt einen boppelcen aBerrfi" beä 3tu 
^atte an. gür b > > c ifl befanntlüfc/ nur ein £>reiecf 

■ m&glicb (15.), unb in ber ?|a( i|t in biefem gatte 
b 2 — c 2 sin/3 2 > c 2 — c 2 sin ß 2 > c 2 cos/? 2 , 
F b» — c* sin£* > ccos/?, fo baf» alfo nur ba« obere 
^eteben gelten fann, ba bae untere einen negativen SEBerrt) 
»on A geben würbe, reeteber fn'er feine Sebeutung b^ben - 
fann, gür- b= eiff/? nottjwenbigfpüj, cos/ipofitt», 
unb b» — c 2 «in/? 2 =ic l cos/3 2 . .'SEBoIIte man. alfo 



boe uttfere getyen nehmen, fo wärbe A := o. atft 
nuigman 6a« o&we nehmen, unb «8 IA in bleiern Sah 
A . ä 5i B ' s J n2 '»' Äi .3(i inWi*B< c , (biuft, 
csm/J bie %if)t be« iDreierf« in 35ejit 9 auf bie ©elte a ili,. 
niecsin/S>b. atfo b' — c» si ri/ä» < c' — c » sin 13'. 
< c* cos/J", J^ET^T . aril;S , < c COJ a ©,„,„„((. 

(iitb in tiefem Sau« beibe 3eia>n Braucbbar, unb e« aleit 
»ie in (16.) jicti SJrdecte, jwei äBew&e t>on A; giu'f 
fitcsmßi~b, »0 6a« Snittftedjlrwinf Ha mirt, aiebte« 
nur einen äBettt), = 4c*sin/?cos/J = .$o> sin2£, 
20. äb6ir'r man 6ie Bteicimmjen • 

ju eitwnber; fo etfySlf man 

- (» +b + t)iini ■= «(iina-f. «ny* 4 «0)-)* 

C6et nao> (18.) füt i(a +b+ c) = » j 

- , _ 2»iip« _ 4« «in | ac oij, 

•ia«+«injJ + *iB y 4co»$* om^> co»if ' 

b. i. . = '*"*• . , 

tOt$p cOä-f ? ' 

t= ."">" ., 

, COJ^O COS £y ' 



©a A s=4bcsiöa (19.) ift; f6 ttffit man feiAf 
tjürauä : 

A'=: ■' Ungj.<ittaag |,ftang4 r , , • 

• = y A cot^a cot £ tJ oot^)- 

(©omernietrit. 57.) 
0la$ (19.) ift '. 

a 1 ss 2Ä(cöt/ + cot?Jy s 

fc = — 2A(?ota + cot}'), ' / . 
•»"= 3 A («*■'+ cot/J), ■ 
■* + &* + o* =s 4A (Cottt'-I- cotj» + cof #, 

' '«- - ■■,+ *•.+ ••■ 

. 4(coto + cot? + coty)' 

S8etgteia)t man Hefen SJustrurf »on A mit beut »ort« 
SOI 2 



180 £riflÖttMtKtW, 

gffunfctwn, föedj(.(fmatt, feennmonffattW^uigeitfentrie 
Cotaitflfnfen (inffi^rf t 

<a 4- b + c>« _ cot4» cot-ffl cotly 
»' + i 1 + c* cot« + cot£+ cot)- 

cot 4« j- ggtjj + cot -t-y 

~~ cot« -t» COt0 + COt)» 

21. ©e^cnr, r bfr fyalbmtftn US um unb in bat* 
3)r*ied fcefcbriebm«. Äreife*. 3n Fig. 46. ifl effmtat 
^.3 = 1y, <£aß$ = 90° — y. Sffo c J r = 
ain2y : cosy. 

— tini)' 2nn}» 

3« Fig. 47. 1(1 ^ 3a, = J «, ^ tßt = iß. «fo 
r (cot 4- tf + cot4-/9) = c, unb folglich 

, oi»i« ■!.»/» 

^ •»'*? ' 
6a, cosf y = sinf C« + ß)- SMTo 

=i coli + COljS -f- CNf — 1 (16.) 

. + co.f + oo.,. 



'+»'. 



51«* jftwie »or^ec: 

1/(001)^+001},) = ., 

/(OOt)o + oot4y)=£-b, * 

«•(ool f. + ootifl = ej 
Sr'tcot}« + cot}/» + cot} ,-) = a + b + e, 
.'C+b + o)- 
' 2A 

" + i~+ 

at«t2A=atislnj'(190. 



« + b ■+ c (20.) 
r*sa- 



siu* i(i • 



abe 



4t, (. 


- ■>(■ 


-b)(. _ 0). 


ir.r. 


-«(. 


-b)(. _o) 




a + 


+ 



€6oie. " . ,181 

@mb in Fig. 48. S, e bie SSÄttMptmffe bes um-itnb iifbaet 
©reietf betriebenen Äreffe*; foift, wenn«)?, e#aufa/9 
f*nfc<ct>r f?nb / UBtxfytmfajSpamtteUff, wrif^JJ«, als 
Rottet <£enrra(winfel, =j'i|i, für 3tj = x, «f!==y; 

•i = r'eot-J-a — riinjr, y = z' — reo«]'. 

3ftfo, für Je = d, d' = x' + y' 

= r' 1 (1 + coli«*) .— 2rr'(tioi)- + not J a »iny) + r* . 






■' + - 

! + ■■, 



*r +■■$* + KP — y)==90°if*. «6er 
3Hfo 

d- = J~- + ,» U 2rr- - 4 "' *j |L£ *f . 

=3 /' + r» Stt- - rf '^ ' ' 

•inj«* •* "* iijifo " rsin i«' 

banatb bem Obigen 

-— = 4iin|n iin^/J tia|j- # 

hieraus folgt unnikfefbar 

d* = jf» — 2rr', d = Tr(r %-3x!) t nd=d.r— fcr'. 

tötete ©<Slie vom&reiecf, fxigonbmtfrifa) bewiefen, fui= 
bef man fnfotgenben ©ebriffen: tlebet einige CEfgenfcbaf» 
tett bes ebenen ©reieefß, von, Stelle. Berlin. 1816. 
©genfdpaften einiger .mert'ttttrbigen fünfte bes. ebenen 
©reiecfsttonSenerbacb. £ftürnb«rg. 1822. Detrian- 

galorum rectilineorum proj>rietatibus quibusdam 
nondum satis cogmtis, auctor'e C. F. A. Jacobi. 
Numburgi. 1825.4. Aufgaben übet ebene SDreierfe, 
worin Summen ober SDiff erenjen vonseiten oberSBinfefn 
gegeben jinb, üonÄroll. fsattt. 1826. 

22. Um bie ^nwenbung bes tttgonomtfrifeben &rfcut« 
bei ben SSetteifen geometrifebw ©äfje ju geigen, wollen 
wir ben febon $$, IV. ©. 876. fonfbetnjfc bewlefeaen, 
von 9Jtonge gefunbenen ©otj , bajj bie breÜSurcbfcbnitt«» 
fünfte A, A', A" (Fig. 49.) »Mi je, jwei ber an bret£rei= 
je gejogenen feebs äußern Xaiigententen in einer geraben 



182 Sriäottwdtie, 

Stele tUm. Sie ©eften unb SStefrttK« «öwlettt CCV 

fegen e, c', c" »n6 C,. C, C", Sit JEwIbtneffer 6« a,eae> 
benen .Äreife r, r, r"; 6te SJÜtofet AA'C; A"A'C aber 
y, y'. (£6 ift offenbar 

A'C : A'ff = r i r, - . ■ 
A'C : A'G+ c" = r: r, 
A'Ct c" = t j /-■ r, 

A'C = ;Ä-, A'C 53 j,~j , 

mit janj rte» fo; 

AC s= j^j, A'C = j^p. .' . 

ginnte nian nun (eigen, baf tang^+gO^o Iff, fo 
roäre 6er ©alj berciefen, Im bann <f + f' == 180°, 
«Do aber ••..-.'. ' 

«WS^TP' l—UngjiUiiggi 

ift,fobrauä)emann»rjnselaen,ba|jtang9+taiigai':=oi|t. 
SDiefer 34f>ler fff aber, reeitn man für bie Stanomfen lljre ttigo= 
nomefrifcfcen Staebrutfe bunt jroei ©eiten unb ben eingefebjof. 
fenen 30inW In ben Sreietfen, ACA', A'C'A" feist, == 

c'r(r' — r)|cV(r' ^- r"> — crV — r)co»C'j»inC 
^-oftr" — nlo"r(r" — r, — c'T(r' — r)w»C| einC 
= o'rCr' — ^{oVt?'— r")— cr , [r'~r)«»«c}- ^!— 
+ vf Cr' — r) | c"r <r" rr r) — c'r (r' — r> cm C | «n 0" .. 

Sltfo prangt man blo jj |lt (eigen , bafj 

' c'rjo"r'<r'-r':)-cr'(r'.-r)co 1 cj . -J 
+cr'lo"r(r'Vr)-re'r(i'-^r)OT.C| , • 

ober 

cc'r |cV<r'-r")-*crV.T.r)co<C'| 

+ cpV to"r(f— t)— ertr 1 — r)co»Cl , . 

Ober 

r | c'Vfr' — r") — er' (»' — r) co« ff | 
+ r'|o-r(r" — r) -rfo'rcr' — noo.01. ■ 

', c= o Iff. . Severe >5r6|je i(i ober, wenn nton ba<9tefnIfot 
burtb rr'fcfojbirf, =t= 

r/ö" — c [r' — r) etw q' — re" — o' (r' — r) cor C 
== fr' — r)(c" — ccoiC — c' ooiC), 

»«{(bis = o iff, wenn ein. Sartor blefeü ajrobnrtes ss o 
ff, ef(od>[3]l|tob(t 



£6me. ; 183 

. ß'ooiC+ <s' cnC« c", 

. alfo -»irjfltcb. ber jweite gartor = o. go,fgUa} i'j! 
ta n§(<p + <p') = o, <p + y'= I80°,'ba «e offenbar, 
nic&f = ofenn'fanm SBIfo (jl AA'A" eine gerate Xinie. 
£Rm& einen 35eroei« f. m. in berührt. ?ranot)erfa(e. (26.) ' 

©elir ti«{« 51m»enbungen ber Trigonometrie,- .aucb; auf 
©eobäfte, finbettnan in fotgenben SBJerfen; tyt, J^irftfr 
geometr. Aufgaben. €rjie.@ammf. X. SDlaner« praf= 
tifd>e ©eometrie. Sambert» Beiträge jur' SRatljem. 
(£rffe ©ammC 9>fletberertf Trigonometrie. £tn» 
benburg« %*!». £eft II. ©. 318. Sßor'jügfid; bte 
brel SEBerfe t>on <putffanf: Recueil de div. prop. de. 
GeOm. reso!. et demontr. par l'Analyse! Paris. 1809; 
Traite de Ge'ode'sie. 2 Toni. Paris. 1819. 4.; .Traue , 
de Topographie. Paris. 1820. 4. $uic& CagnoK 
Trigonometrie traduit par Cho-mpre. Paris. 1S08. 4. 
0*«lj^afdjenbu*berS9?eßfunft. ' 2tty<. 

23. Sie ©eiten unb 9BiW eines ©referf ö (offen fld) 
oud; aus ben/redjtwinf (igen (Soorblnotenx, y/' z; x', y', 
2.'; x", y", z" feiner ©pf^en befiimmen. §är bie ©eife 
a£ (Fig. 50.) fenen aa', ßa" auf ber (Eben* ber xy ; a'c', 
a"c" auf ber%e ber x, unb a't>', a"b" auf b« 2lre ber 
y fenfrccbt; fe i|t, wenn «d mit a'a" paraßef/ alfo auf 
/?a"fenfred>ii(t: 

*jJ* = jSd* + od' = flä* + a'ä" 1 
= jJd' + fa'b "» + c'c' 3 

n (x - O* + (y - /)' +" C» - ■')% 
Die brei ©eiten unferes 2>reiecf8 finb otfiK 



= 


IV 


- o 


+ ly>- 


- j") 


+ («■-.«")' 


= 


t* 


-x") 


+ Cy - 


- y' )" 


+■(•■- O" 





■-,= .?<•- 


*')• + ly 


-D' + ("- 


- .')'. 




Do 


ttnlt cosa = 


],' + „• 

2bc 


^ i|i, fis erhält man 


für 




7 — 3 


-»•'H 


^' = »-i 








'^i 


= *■ H 


rz' = * * 








.„.* = 




.+ pp". + qq' 








rV+»- 


+ »'H1+P 


' + q ') 












.. ; ,4" 


oo^I 



184 . SrtgonoratfW, 

woraus (tcb lelcfcf ergiebt; 

ri-, _ K (p = P'^+(< i -q'> 1 +(pq'-p'ql j 
"' (i + p'+q'Mi +>'* + **). 

"■»■- i + pp +9<r 

'Sfegenbie£oorbmat^tt^nein^rJ5bette; fcii(tz==z'=z' 
=eö/ q— =q' = o. 9Hfo 

i +pp* 



M,, *~ra•fp*^ü4.p■"> , 
5difu5fiing tet 5>ret«Fe in &efütit>ern $4ttm. 

.24. Sffiir wollen nun tiod? einige &efonbere gäffe bt> 
froebten, »elcfre bei ber 23erecbnung ber ©reierfe »orforn^ 
raen fennen, intern wir gormein auffinden, bura) welche 
in geroiffm gailett djeil« Die Dvedjnung erleichtert, ttycitö 
ein genaueres Sfefultat gefuttben werben farm. S)a näm= 
It(b fowolil bfe eojtnu* fefjrf leiner,, als au<# bfe ©trriis 
ber bem üuabranten nalje fommenbenißögen, fi$ mit bem 
felben nur fefjr wenig änbern, fo baß bie Slenberung mcfjt 
immer fd?on in ber fiebenten ©ecimalfieße bemerf bar wirb/ bis 
wolmi bie gewjljnlicben tafeln bod? nur reichen; fowirb baff 
Sebfirfniß fühlbar, im 35e|u}e. »on gormein ju femt, wet* 
0>t in fbla)en gaffen eine genauere OCecbmttig gewähren.' 

25. @o(Iett in einem recbfwinf ligen ÜDreteef b , c au* 
«, /JbefHmmt werben; f« f«4»e man, wenn ß fe^c nalje 
s= 90° ifl, ju erft c=s=acos/9 , unb bann b aus betgor* 
mef b = )Ö> — c)(a ■+■ c), ober au* ber gormet 
a — b sc ctang-J y = ctang (45° .— i ß) [13.}. 

3(J'/? feijt «ein, ffr fjnbet man c mit mefcr @enauigfefc 
<w« ber gormel , 

c = d{u<ni^* — sin^^ J ) 

= ■ — 2*wnf£» = « — «»inj» taug}/. 

©pö a aus b, /? gefunben »erben, fo erb^it man, wenn 



. ©OK. 185 

ß no^e = 90° Ift, a genau« ab lud) in ge»6$nfio$tB 

Sormef auf folgern« 2irt: 

= b + b Mf laoei«» — »«. (tSoniometrie. 39.) 
»»* ift 

» = b + btangycotj)" 

@oD au« btnnenig tun elnonbet wrfAlebentn Seiten a, ft 
ber SäJinfet/Jgefunbenmrben, fo fonrait ß bem redjten 
SaSinfri fe^t nal)e, unb bie gocmei sin/9 = £■ gfebt ß 
nUS/t ^inreidjeiib genau. Slaa) [13] t}at man 

cbmgjj> c= a — b, c cotjj ~ a + b. 

3[fbbnt#3>u>i|Ion 

'«"«♦»■«= fjf-s. ta.jji'» rF§-i ' 

Solaficb $of man 

•tat«- -4» = / 

<»•(«• - jß = 

jut genauem Smcbmina wn ß, 

26. ÜSit ©Ortzeit fann man an bie Stele bet metfien 
fo eben gefunbenra gotmeln gtaQerunaaf oraieln reden, Kot ei 
wir foajeub Ijter ein für alle SBat auf bie in bem Greifet gijcto« 
m'etcie enrnntfelten Dtct&en wrweifen. 3fr j.95. inber§or» 
met c = ncoißia Sfflinfel ß feb> flein; fa i|l, wen» /? 
In SijtiUn 6es SSabius ausgcbrücft 

3(5 ß in Secunben autgebrüctt, fo ekelet Mit, bafi, 
»enn <> = 206264, 8062471 (6. 3?l. L ©.643.) 
bie Srnjacjlber in einem, bem Jpalbme jfec gleiten, SJagen enr* 
§a('encn Secunben teieiä)net: 

.».-,, (£)'+*. ({)•-.... '■' 

Sie 0tenje cotwergirt beffo fideter, (e ((einet (J ifi; ©eist 



186 STrisenotnetner 

' moitV* (£)' = 0,000001 , fo «girtf (I* Wi&t /S = 
.4° 37", fobafmanalfo, roenn ß «icbt > 4° 1)1, mi( ei. 
mm Seilet < 0,000001 .a, .fi^cn tonn: 

3(1 ?*ft$r Rein, a(fo /9 na$e = 90% fo i|l in leiten bt« 
SKabtti«: -' 

c = iiinj. = «j- — f 8j^ + t*w V — • ■» 

ober / wenn yin ©efiwben auftgebrßtft ifl: ■ 

' -, — (f) -,♦•£)' +*■<£)''-■ - 

.gjky=:l°ljHa«iiMite Stieb no*md)(=0,000001.a, 
fät jf = 3tf nod) mit = 0,000001 .£ Sann man 
«(fo folcbe gelter »etna^lafltgen, fo 1(1 6torela)enb- genau 

■•-'(f> . '.. 

3>a tmß^m- if, fo 1)1 In feilen be3#atbme|fer»: 

unb in ©trauten: 

■ '-$'**(&-:**(.&');— 

■ ©e&!mant>a8|n>eiee@(it6:==0",001, obet=0",0001; 

fo «laitDM» 4 = gJjs obet = 5^. 3d «Ifo r 

»'«)< > tJt *« tJt i f« 8' 1 '' Ml Sotmel ß == i e 

Den SfBinfel /S Bis «uf 0",001 oder 0",0001 genan. 

©od/S aus a, c gefunden rocrbcn, fo i(i nacb (25.) 

2Hfo nacb bet SXeilje füv ben Sofien bitrdj bie Tangente in 
feilen bes Jpalbmejfere; 

imb : ta©ecunben: - . < . . 



..': &m. 187 

©inb i, o feb> »enig »on eiiKitib« »erfebleben, fo tan 
man yS ==: 2? Q-^f) fe^en, unb be« (weiten (Stiebe« 
fta) jur ©tb«e.niig beä g(t)[er» btbllttttt. 

27. 3ftin einem fcblefrctnf(igen,S)relecf, wenn eine 
©eile anb jmef ÜBinftl gegeben finb, ein SÜJinW, j. 8. ß 
frhr Hein; fo. fann man b mit SÖort^eil nad) ber formet 

k = E(7+T5 «■-*<" + *<" -■•••>• 

(ered>nen. ©Inb beibe SBinfel ß, > ftr)r Keini fo 

e}atman ' 

•> + r-t«+ rH + iblf +«•-•-. 
. „-.| / r_ 1J ,. + ..j.| ? ^-+^o'+r) + -;)| 

■= ?$f|«-- * '■ + •(• l 1 + w + ->y +vj 

mit 58erna<bIafjigun8ber@(ieber»on bec Dienen Orbnnng. 
Eben fo ift 

'"tfll 1 * »«* + «[' 
ober r wenn /?/ y in ©ecunbenauffgebrucftfinbi - 

woraus leite folgt: 

Äommf $. 8. /? bem red>(en SBinfel fer>r na§e, fo i|t fut 
t ji = ni ber Sogen n" — ß == /S* fe&r fleht , «nb folg= 

•-«irräF« -«({)>>({)-•■ I . 

; '-..'.'-, „,,.. Google, 



188 SrigMMKfritr 

3H M* y «ab« = 90° , fo ift, für rf — y = /, 

4 _ .^»f »•»»• 

*=sn^- /i-,)- «(»■-/ +»--i) 

= «■(/>■+ r> : 
6ob|titttirt null nun für bat @imM imb Loftan« Bieter 
bie frigonometrifcbenSiii&en, fo erb» man wie oben, mit 
Sßeoiaeblofiigwu. 6er ©lieber brietet Orbnnng, nenn ff, 
/ in ©erenben ausgebtia"! fall): 

3Bore /? luuj« = 180«, fo fe«e nwnsin/*= sin&i— /?), 
m«-^ febr {bin ifl, nnb »erfahre wie »orber. 

28. SSSenn inbemSofl«, M b, c, o gegeben finb, 
a febr Hein i|t, alfoo, c uienig Hort einonber oerfcblebtn 
fjnbi fo be|rimme nun nie in (14.) y ane ber Sonnet 






Sann ift 



SBiefe gorme( tum nun aber and) fo burfMen: 

-i (b — c)(i -f. taug v> *«'«*¥') 

— b — c + 2un ■}« taug | v r'ta . 

3)1 ate a feljE (hmtpf / olfe a »on b + c wenig »erfefrie * 
ten; fo beflimmc nun »ie a. a. O. y' au« Die gotmel. 
. ' 2co.4 B rb7 

«"V " h + c * 

SJannip 

* = (b+ o)«»?*, 

obec ■ = (b + e>(t + «<»*' — i) 

= b + c - (b +c)(l — c«¥.-) 
s=b + O — (b +■ cjiiny.* ttwgjy.' 

— b 4- c — . 2cu*f a tang-Vv'rET- 



gfetC. 189 

jjoriwm nun a, (i) atyiitmmß, y tut« bei» in (16) j». 
If(j( bcteiefenen ^otmeln. 

®o o fefit fhmtpf tfi, f» 1(1 fte«=180°— 0, 0ft$t 
fftra: aijb im* pj! 

«* = b> +. c» 4- 2bc oMS 

= b' + «• + »c(l — i 8' + J, 8" — , .), 

ttwaus mit 33«n<>$[äf)igung t»c »ietfm pottnjra mit 0: 

»» = 0> + o)* — bc8», 

mm ö in &tamim gegeben i|J. 
gttn«l|lit«tl(14.) 

b rio« fc«i n8 

**"«' = o-b«... ~ c + bc»8 



• -m|' +*•' b + « | ■ 

% na* bec 9ttu)e fuc ben SJinfel bur$ ble Sangenfe: 
- ... 1-8 I ■ fr-pce-) 
""E-qr^j'+t- (t + c). I' 

tarn« mit S8ema*(Jffi3utiä bec ©lieber Diert« Ort» 
nung. 3)1 alfe a fefjt jlmtiff , unb in ©etunben geg« 
ben, foifit 

■'-«¥-.)• *»*f* (f)'l- 

■ _ '« I. ■•■ q» — «oi» /8V| 

' = rr«l 1 -*-(b-+TF';(7/|-. 

29. SJurcb Steitjt» rann nun ben wtlgm Sau aud) fo 
infUfen: 

^^ p «^B cm« w*fl ' 

Süf» , »enn man fär bte ©In«? in* ecftnu« bfc litiaain». 
Ten <^t»nentlatcm«briWe 3$l 1. 6. 877. fefjt , naa) eint» 
9tn Ultjien Kebiictionen; 



180 Stiaemsmeftty 

«funlxmn, ftaWltau, toai»man(l<iKWcSon9(tietnWe 
goiansrnttit (Infö^ct: 

<«4t b + <=)* C °H» coUl °°Hy 
»i.+ b 1 + c» ~ cota + cotj» + coty 

- c&U" + ooUfl + cotfy ^ 
"" cota H* cot J* + co *J' 

21 ©<5<iir, t' bit ^albmeffa be« nm unb in tx>* 
SttiKt bcfcbriebmm jtrtifrt. 3n Fig. 46. i(J offoiBac 
2(>=2y, ^«^<ü=90° — y- aifoc:r = 
sin2j-: cosy. 

. _ Ü^Z = _£_ . 

<*„ F ig. 47. (fl z: An = i «, 4- ißt = i/?- . 2Hf» 

7(cot i « + cot*/J) = c, utib folglia) 
'Hmiety =-*»*(« + Ä- SB|b 

— =: 4iin}a «af ^,*™i)' 

=5 MI + co»0 + co»r — 1 (W.) 
^±i= CötO + COI^ + CO»).. * 

• (coti^-f- ootfr) = ". 

r'(oot£a + col4j-)=-b, 

r'(«itf« + coti« = c; 

2r-tcot4« + «rt^> + cot4^).= a +b +*, 

!'(■+'> + ')'_. | !■■[■. po.) 



-.« + !> + •■ 
86« 2A = a6siny(19.). ällfo 




4ri(; 


- •>(• 


-»)(■ - •)/ 


ar,{. 


-.)(. 


- b)C - « 




■ + b 


+ • 



€5tttt. .181 

©inb in Fig. 48. S , t bliüBitttftranfft itt umunb intw« 

Jlceiecf betriebenen .Srtifes; fo ifi, reenniE, e* auf o/S 
fmf«4>( firtb , lurt>*imlfa/9|XiralMi|I, vui^fta, <i[« 
Iiolbtt (Jentrofoinfel, = yi|i/ fäc<Jij=3x, «j=y; 

■x = r'cot^a — rnllf, J = *' — rcoif. 

Silfo, für c?8 == d, d> = i' + y* 

=: r' 5 (J + cotl« 1 ).— 3R , (cMf + coli« •>»?) + r» , 
_ r'' 2wf' »infr + * «) ' 

toy + ia + K/J— >•)== 90° ip. 36« 
d- , ,£- + ,. - m - *"! •'". V *!iZ , 

«lala 1 ■ im{a ■ 

=, ^£_ + r * „ jrf _ _^_ .. ^Il_. 
•Ulla 1 Nn|a rnnj« 

fca nacb bem Obigen 
JpieraueJ folgt unmittelbar 

d» =r> — 2rr', d =3 f* (r — Äf,), nd=d:r— 2/. 

Sßiete ©dtje t>em ©retecf, trigonometrifib beroiefen, fTn= 
fcet maninfotgenben ©cbriften: lieber einige (Sigenfdjafc 
feu beö ebenen ©meefß, von. Stelle. 83er((n. 1816. 
Gigeitfc&af ten einiget: merf würbigen fünfte bes . ebenen 
©reieefe t?on getierbaifc. Dlürnbsirg. 1823. De trian- 
gulorum rectilineonim proprietatibus quiBusdam 
nondum satis cognitis, auetore C. F. A. Jacob». 
NumBurgi. 1825.4. Aufgaben über ebene Xreierfe, 
worin ©ummen ober SDiff erenjen von @eiten ober SBinfetn 
gegeben ftnb, »onÄrolt. £alle. 1826. 

22. Um bie SInwenbung be* trigonemtrrifdjen dakutt 
bei ben SSeweifen geometrtfeber &ä%t ju jeigen, wählen 
wit ben febon Ity. IV. ©. 876. fotttbeti&b bewlefenen, 
von 9flcngegefunbenen@<ii$, ia$ bie bm3)wr(jjfdniitfs* ■ 
vunfteA, A', A"(Fig. 49.) »e*n je,jweibef anbteiÄteis 
je gejegenen \vfy$ aujjern tätigen tenren in einer geraten 



182 Srigottonwttie, . " 

Slnie (iegen. 35i( ©eilen unb 2BWetbe« Drei«!« CCc" 
feijen e, e', c" unb C,- C', C", feie ^albmeffer bet gcge* 
boten Äteife r, r', r"s bie üBinfel AA'Cj A"A'C aber 
9, f', <Se ijl offenbar 

A'C : A'C jsb r : t* f ■ . ■ 
A'C : A'C + c" =r : r 1 » 
' A'C j o"s=lf i r* — r, 

A'C = p&-, A'C = piSU , 

nnbganjebenfo; 

AC = j^-j, A-C r^jrg;,.' , 

konnte man nun jeigen, ba(j rang(y + ^')^=o ift, fö 
mite btt ©«8 bet»lefen, t» bann 9 + 9'= 180°, 
SJaaber 

a«,(, + rt = JHUL±ÄS£ ' ■ ' - 

■■ T "' 1— taug? ungy 

ift,febrauefrmannnr$u}eigen,ba$tangg>-r'tangqD'?=oifr. 
©iefer 3dt)Eec i|t aber, nenn man für bie Tangenten tt)re rttgo= 
nomefrif<&en2In6bru<feburc&jtt>ei©eitenunbbenetngefa)lofs 
ftnen SBÜnfel In bot IDreiecfen, ACA', A'C'A" fe«t, == 

Ci(t'-r)|?r'B'^i-)'-or'y-OcoiC'|.ii.C . 
^- cr'G' — r)|o"r(r" — r) — c>V — r)e<uC| finfl' 
= c'rf/ - «){oV(r'_r-)-o r '(i'-r)oo.c)-i^H" 
+ cr'Xr' — r)|o"rCt"^rr)— o'r(t'— rjctwCldnC/ 

Sltfo braucbf man bloß 111 (eigen, ba|j 

' c'rjo-r'(/-0-cr-«'-«)«i»'cj-'J 
+«'lo"r(r"^r)^o'r(r'^T)oo»C| , 

»bet ■ .' 

co'r lovac-o— «'»'— nooic'i 

+ cpV In"««--!)— .'rO'^ilmiCI , 

«bet 

r | c'rV - O — <"' tt' — O 00. C | 
+ T'(c"r(r" — r)^o'rCr' — rjcotCL ■ • 

= o i)t. . Severe ©tffe i(i aber, wenn man ba«0tefu(faf 
twra) rr'ifojbirt, = • 

i? -, oCr* — r>cb»Q' — rc" — e'(r' — r)coiC 
== C''— *)(«" — cooiC — c' oofC), 

»eId;(«='oi(t / wenn «in Sartot biefr« OSroturte« «sei- 
lt, ffla«[a]i(tab(t 



£6«te. - '183 

O Mff + c' ««Ca c", 

atfo wjrffidj ber jatetfe gartor = o. gojgtid; i|t 
taBfitfl» +V) =s:o r g> + g>' == l80°,-ba te offenbar, 
iwfof = o fenn Tonn« 2I(fo i|I AA'A" eine gerate Sintf. 
9io4> (inen Söeweis f. m. in bem 2lrf.^ransw'ecfa(e. (26.) ' 

@(^r tiefe 1Hm»enbungen ber Trigonometrie , .aw& auf 
©eobäfle, fmbet man En folgenben Werfen; 93?. Jpir fd) 
geometr. Aufgaben. (Srfte. (Samml. ?. SBtaner« praE* 
rifdje ©eometrie. Lambert« SMträge gut' üfiiwijem. 
(Erße ©ammi.' 9)flef&erer$ Trigonometrie. £In* 
benburgs 2Ir#lt>. $eft II. @. 318. Sßorjuglidj bie 
brei SEÖerfeeon ^aiffant: Recueil de div. prop. de. 
Ge'om. resol. et demontr. par l'Analysei Paris. 1809; 
Traue' de Ge'ode'sie. 2 Toni, Parjs. 1819. 4.; .TraUe , 
de Topographie. Paris. 1Ö2Ö. 4. SHwfr Cagnol'" 
Trigonometrie traduit par Chompre. Paris. 1808. 4. 
e$Hlj.3af(&Mtbud;b«r aWefjfunjr/ 2 ttjte. 

23. SMe ©eiten «nb SEBIhfet eines ©reierfa {äffen fia) 
au<b aus ben redjtreinfligen (Soorbinaten x, y/ zj x', y', 
z'; x", y", z" fein« ©pfgen beftimmen. gär bie ©fite 
«/?(Fig. 50.) feijen aa', /Ja" auf ber (Eben/ ber xy; a'c', 
a'V'auf beehre berx, Hnb a'b', a"b" auf bee 9lre ber 
yfenfredjt; fo tjt, wenn od mit a'a" paradet/ atfo auf 
/3a"fenEce4>tifti 

B p = j5d» + ad 1 = ß&* + a'ä" 1 
= ßd* + b'i)" a + o'e' 1 
m (i- jO 1 + <J - /)' +' Öl - O'/ 

<Dle bfet ©eiten anfere* ©reieds ftnb atfo-; 



, = rv 


— *" 


" + (j ! 


- j"> 


+ (■■ 


- «")' 


b = ,r<» 


-«") 


■ + CJ 


- y )' 


+ (« 


- "')' 



c = T »-»')• + Cy-D' + <•.— • 

3)a nun cos» = — ± ^ B ~. *' ift, fa et^tt man fäc 



»\i ■+ p' + 5')U + p'' + «■") 



184 SMaoirewftw, ■ 

rci)KmS(kj> leidet crgittl 

j„. _ K' ft-p'i'+d-'P'+ipi'- p'i? 
' u + p"+q")(i + p" + q"). 

„,,, _ >(p-p , ) 1 +(q-q')' + (pq'-p'i) 1 . 
"»■ i + pp' + q<f 

Si(3mbleSoocbina(mlitefiKt(E6raii foi|tz:=z'=:s' 

KCdf q^=q' = o, 9Ufo 

1 + pp* 

'"■■^ra+W + W 
ÄttfWfuns tet JDreiwfc in Geföntem S4B«u 

.24. SBir wollen nun no<$ einige befonbere gaffe be= 
froebten, wefc&e bei ber &erecbnung ber ©relecfe twrfom- 
ratnf&nnen, inbem wir Sormeln auffueben, buc# we[<be 
in gewiffen Raffen tfjeilö bie Sfccbnung erleichtert , t^erts 
ein genaueres Ofcfuftat gefunben werben fann, ©a ndm= 
lieb foreoftl bie Sojinuö fefjr Keiner,, als au* ble ©irtutf 
ber bem üuabranten na$e fommenbeji Sögen , fieb mit ben* 
felben nur fefjr wenig «nbern , fo baß bie 2Ienberung nicht 
immer fä>on fnber fiebenten 3>ee imatftefle bemerkbar wirb, bi«r 
wobfn bie gen>e}fmlict>en'£dfeln boä) nurreieben; fowitb bat 
Sebörfnig fällbar'/ im Seltne, von gormefa ju fem, roet» 
(be in folgen fallen eine genauere Dtecbnung gewahren. 

25. ©offen in einem reebfreinfligm ©reterf 6, c au3 

, a, (3 benimmt werben; fo fuebe man, wenn/? fefjr nab,e 

8=90°i|t, ju erjt c^utcosß f unb bann bau« ber gor» 

met b = yX* — c j(a + c)r ober aus bet formet 

a — b sc etang^. y = etang (45° .— -J-/3) [13.]. 

3(t'/9 fejjr Hein, fo flnbet man c mit tne§r ®enauigfei< 
aas ber gormel , 

C ;= a{uojl J 9 1 ■»- sin j/P) 

= « — 2«»inf ,** =i • — asinß tang^jJ. 

©off a aus b, /S gefunben werben, fo erhalt man, wenn 



&tm, 185 

ß mfyt = 90° (|t, a genauer als nacb fett ge»o$n«a)<n 
S«mel auf folgenbe älrt : 

. m'-X = b*b . S!i . L=J™£ 
30/1 ' T un^ coi^ 

oit'l Mf ta»«(«" — »«. (Soniomettle. 39.) 
9(ua)i|l 

• = b + bUMgjrCOtJ).. 

©od au» 6m wenig von etnanber »ergebenen ©etfett a , b . 
ber2BmM/?gefunbtn »erben, fo fommt ß dem re(bten 
SBInM fe^c na^e, unb Ue Sormel sin/? = ~ glebt /3 
nicbe fjfattidxnt) genau. Otoa; [13] $at man 

ctol «4r = »,— b» oeot^y =i« + i. 

Sflßi burc& SXtiiflon 

SoIgHa) 5« man 

001(45« -(j!) = f^Ji. 

gut genauem °dmd)nung Don /?, 

26. SWit SJorrtjeit faun man an ble Stele ber meiften 
fo eben gehobenen gormein 9Ut)eruna,sforme{n fe&en, wobei 
Kit foglefa) Ijiet ein für ade SM auf bie in bem artif et £otlo> 
metrfe mrwicrcftenäRenjeuberwcifen. 3ff j.S3.inber3or« 
tue! c = a cos /? ber SSSinfel /S fe^t Hein; fp i|t, wenn /J 
fct feilen bee) SXabtas ausgebrütet iff: ."■.■' 

3C /9 fn ©ecunben auegebcütft, fo ekelet (eitbt, tag, 
»enn p = 206264, 8062471 (S. S|(. I. ©.643.) 
bte21njal;lber meinem, bem#a(bmeffeegtcKben,S3ogenent= 
$aitenen ©ecunben bejeitbnet: 

. = „-*,(£)' +*.({)*-... '.' 

Sie Steige contttgit« befto (Mrfer, je Keiner ß tft. ©eijt 



186 Srigonwitrfrie, 

' tnait'A (f )* = 0,000001 , fo «gfebt fla) teiifct /? = 
4° 37", fobagniattatfo, mm /9 «i$« > 4» Ift; mit ei. 
Htm geilet < 0,000001 .a, fejen tann: 

'• = •-*■ (#-. 
Htftr.ffc-tW** alioßtK^t — 90\\oift {greifen bc« 
- 0tabiu*i ' 

e = äiby = ■)• — | «y» + rf* «7 * — . . , 

ob«t, wenn y in <S«unb«n auagebriltft ffi: 

... c = . (f) _ i . ( z.)- + ri „.. Cf )'_.. 

.Säty= 1° i|t tos |i»eite Blieb no4ni*t=0,000001 .a, 
fit y = 30" nod) ni<tt = 0,000001 .£. Äornt man ' 
a((ö foI4>e 5tiiter wtnadjläfjigen, fo Ift flinretc^cnß ■ genau 

<=="(f> . :. ■; * 

Sa sin/J= i i|t, fo i(( hineilen besjfjatbmeffers: 

.untin@ecunbm: 

. ,ii, +t (i)\, + 4( -i)';, + .... 

. ®efj<manbas j»ette®Iieb=:0",001, obet=0",0001; 

fo aiUt W« 4 = äSB <*« = Tob; .31» «lf« T 

«id)e > ^fj ober ffo, fo siebt bie gormet /? == ~ p 

Den äBinf e( ß bie auf 0",001 ober 0",000i genau. 

€ot/Sau« a, r. gefunbtniwrtcn, foi|5naa) (25.) 

21lfo nacb" bec Steige fik ben S9oam burd) bie Tangente in 
?^ei(en bes^aibimffito: 

.-'. *' = CrTt)*-'(nH)^*.CrfC)--.- ; - 

Hnbfa@ecunb«t: -..'.- 

H'-*CT3+'(^)"~hr?fl- 



g&oi*. 187 

@int>a, ofeb> nxm'3 non elmwb« «trieben, fo fonn 
man/?=^2?(5-^) feljen, »nb beS jwefcen Stiebe« 

|td) jur ©(bäjuitj 6e» Se[)(er« (ebienen. 

27, 3(1 in Ann fcbiefielnftigen iDreteif , wenn eine 
ßeite nnb jtvef 5ßinfel gegeben fmb, ein SSinfet , j. 95. /? 
fe^r ftein; fo fann man b mit SÖortbeit na# ber $ormel 



1, = E^7T7) 0, -' I " + *'"-'-- 1, 

= « i( j>*+ ,1 \j - * (7)' + *(tJ' - "-I 
beteebnen, ©inb beibe SBinfet /}, y febr ((ein j fo 

hat man ' 

l— .' <*-* £ 4-Ttif? 1 -. ■■ 

/ + r - i,G> + !•)?+ STB +»)'--. 



/> + !• 



i+nw+f 



mit S8crnaa)(affisuna. barfflOebet »on ber vierten Orbnung. 
(Eben fo iß 

ober, wenn /?, y in ©ecunben auogebräcft (Inbt 

'.-*l»+*.(*fOf|v..- 

»«raus leiefct folge: 

■> + .-. = •£. 
fiomrat j. 35. (3 b«m reiten SBinf et frt> t naf,e , fo 1(1 fit 
4 ji = ri Ml SSogen rf — /3 = /^ fe^t (lein , «ob folg* 



l_4yr'+AU''+.. 



•»■<i> + r> I 

■ '. Google 



t88 Srifpttontefrle, 

3|1 oo* y noBe = 90» , f» f(J, fte rf — y = ■/, 

. acpi f aoo'j»' 

b 3 «in(* — p — y) ~ •"»[••' — * + "*—*) 
■ c-jf 
. «»(7 + 73 .: ' i . 

CttbfHtultr inoit nun fät ben @lnn« m* Eofinu» »lebet 
ble ttlgonoroeltifcbenüni&en, fo tt^att man wie oben, mit 
SBetnacbtäffigung bet ©Hebet btltiet Otbming, wem» ff, 
/ta©e«nbenausgebruefe|inb: 

•'■■ • y-ThY-*Wfr»m- 

. aBate/Snabe==180 8 , fofe«emansin/9=sm(ji— /?), 
tttn — ß fcl)c Hein i|», nnb »erfabre wie »otbet. 

28. 2Benn in betn Saue, »o b, o, te gegeben (inb, 
aftt)t Hein i|i, oifob, c wenig »ort elnanbet »etfo>leben 
1inbi fo befHnraie man wie in (14.) y aia bet gotntel 

w» = ■ "!., • 
®anni|l 

— b z^g . 

SJiefe gmmei tonn man abet oncb fo botfieüent 

« = (b-.)[n- ' ~,.7*| 

= (b — c)(l + taug y taug +y) 

=5 b — c + 2 rin 4 o Ung ^ y KE7. 

3H abet o febt (iumpf , alfo a »on b + c wenig «etfcbie* 
bens fo bcßimme man wie a. a. 0. y/ aus bet Jotntel. 

-"*- b + . ■ 
S>annf(J 

» = (b + o)coiy', 
Obet • = Cb + 0(1 + i».y.' — 1) 

eb + u -(b +o)(l-co. v .'| 
= b + e — (b + c)iiny' taugjy' ' , 

= b + c — 2co»^a Ung^vTET- 



©Mit. 189 

§a( man nun a , f» ertySft man ß, y mt tat In (16) ju. 

Itft dewiefenen jormeftt. 

Sa t< ft&rßumpfiß, fo iß fut 0=180°— 0, 0fe6t 
(fein, aifo im* [2]: 

a* = b J +.e* +■ 2bo cOi9 

»erat» mit a!erna*l«fitgung »er inerten ^etenjen «on 0: 

»'== (b -t-o)* — bcö», 

... . beB- 

. = >+.-«. (t 4. ,.),, ■ > 

Kenn in ©ecunben gegeben Iß. 
getnet iß naa) (14.) 

b liBB bwn9 

^»J» - _bcw« c + boor» 

b(«— ig ts 1 - t »' ' 

- « + bji -»«■) = E^r; • t _ ^ b j e , . 

SBfo na* bet Steige fut Den 9BinM but* bit Sanatnte: 

tarnet mit S8erna«rafßguna, bet ©(lebet »leitet Ott» 
•une, 3ß alfe et fefjt ßumpf, unb in ©etunben sege» 
Jen, fo-iß: 

. = b + .- t . b -M- c (f)- 

rt I, .. (b - »)b »eyi 

29. £>ura) Steifen fann man ben wtigen 3«H «"# f» 
anftöfen: 

aift , »enn man füt bte Sinn« unb eoßnu« bie Imagin*. 
ten etponentiatautfctucfe Z$. I. ©. 877. fe«f , nad). eml> 

gtn leisten SKebueticnen: 



Sriäonoroettk, 
h.. _ ' bC-v^-. .— T?T) 



SDitfe Slusftrucfe einaneee steift gefegt/ unb iüKte Äteuft 
tnuMpiititt! , 



Sorg«* na* 6« 3tt«> ?6I- ni. @. 492.S 

2flO? ■« log» (c — be"~ "l'^— log» (c — bo" 1 ^) 

= logn (l - ^V "T^T)— Jogi (l — — s"*^ y 






,2"i-=r_..-2>r=T 



,vr=r 
- — - + . 



sr=r 



|> = -,ta. + gK do2„ + ~£ dn3. + . . . , 

mit eben fo; .'.■,' 

■ ' = T ,i '"" + äS* i " J " + äl5' i ° 3 * + -- '.. 
SWuMpIicirt man Mtft BtiSenDfri^n mit p, fo ecfratt man 
/9» yix&tamtiett. . Dia* "^ u i f fa D t (Träite de-Ge'o- 
desie. Lp. 10*.) (ins bie|e Kei|eti jtKcjl »on Seiant« 
bce gcfunbcrt. SB. f. ainfcMe'thades analytiques pour 
In determination d'un arc du tne'ridien t par D e- 
lambre. Paris, an 7. p. 111. gine berf<(6(n com 
wcgitf iinmer. 

S>le 3uis|lt6una, bre ÖiubrotiDutjit na* 6rm fcinoml» 
ftiWB Xe^rfage gitbf tnt(»t|) 

i , *» = b — B cm ■ -f -v lin e' + ^t-j »in a' cos « + • • • 

(int na* taem t*b< in bie Singen faOertbtn gkfrlje fort. 
f*»itenti Steifte, X>agea,tn iß , , 



. es««. ■ 191 

c=:-b(b — m* ^) + o* — bt«~"' Y ~^ 

= b(b _™-^ r i') + o,. .."i r ^'..-"^r-i,o«-"' r= S ; 
= (v-c-i-^Xb-»— r=T).- 

- 21ogna = aloßnb + logn A — t- «"f— Tj 

+ i"e»0 -■£•.— f=i) 

aif», wenn man We 2o«aritfjmen nadpbtr Dttftje $$(. III. 
e. 493. «ntwWelr! 

logaa =3 lognb — ^- . 



b 


2 


^b s 


2 


afa j 


i 



log* — logbi-'M U- com + -r; nol2tt + ~ J -col3o4 : "j> 

unb eben fo; 

loga — : logc — M — co» o + — j cot 2» +j~ COi3#. + . .[ . 

©ie einebiefer »eiben Dteüjen com>erju'rt Immer. ^uff> 
fant o. a. 0. p. 105. eignet fie Stjenöce ju. SB?, f. 
ano> beflVn Eile'm. de Ge'om. p. 430. 

30. @ol y n<4) ber gotmel siny = ^!££-t<|timmt 
werben; fo i|l . 

aifo, wenn'/? fe^t Hein ifl: 

goljliti; na$ bee Oteftje für ben Sogen bunfr ben ©in»«, 
wenn man bei bem jtbeiten@({ebe fielen bleibt: 

■ -H'-^-(t)'I- ■ - 



192 Srigotwmrtrie, 

gut c < b 1(1 y < 90% trab foujlitb die 5mfäa6e »6819 
befHmntt. 3(i /3 naf;e = 180°, fo felje mon n ~-/3 
fmttß, t»elcbe«»<r|tatt«i(t, »eil sin/9 =,sin(»i—/9). 
gut c > b gtebt e« • j»ei StBecfr)« von j*. %at man mit= 
tel(t öliger $orme(n einen gefunben, fo i(t bec anbete 
= 180° — y. Um a nacb bet Soroiet 



«E? «« (• + ?> 
gu finben, tebitne man (!a> bet SRetljobe in C27.)- 

3ftbnar}e = c sin/S, fo ifl sinyiKu)e=l, ynat}e 
es 90° , nnb »Itb alfo bura) bie gormrin sin y = 2!j!£ 
, nidjt genau genug gefunben. SSan (ann in tiefem S<uk 
ip au« bet gotmel 

«•inje 

ieeea)ntn; f»i(i 

(J$(. n. ©. 5230, woraus man 45° — iy, alfo auib 
y, tjinlaiiglid) genau pnbet. 

SBet«#tttt8 t>er KBtttfel aut &en «Seife» 

o$ne frigonoinetrif^e Sofcln. 

31. 3ebe«filiefwinfBgeS)reietf, be(ren0eiftngegeoe» 
finb, laßt fld) immer in j»ei recbtwinrtlge seriegen , beten 
©ertett ebenfall« gegeben finb. (3fi nämttä} yj = x, 
<n* = y, ßl = z (Fig. 51.); fo.erfcalt man au« beit 
©lefcbungen: . 

x* sb b 1 — y» = »» — (c — y) 1 =s •* — «*» b» — (c — »)' 

futa+b + c = sleid>(! 



(0 bafj unfere Aufgabe fü» alfo auf bie S9ertd)nung bet 

''.'■'. . ■ Google 



" ■■','■ €fcne> ■• ■ . .193. 

SSSteM eines C«t><tutnf0sot SDreiecfs all« feinen ©etat 

re&ucirt: - * 

-Alf 1 '*'* f ° i,l(Umf0C - 

' . = *> ""f (l + i ■!»•' + |^nn,« + , . .) . 

Sntwufett man tiefe Stelle in einen .Sefteititiicp CSD» f. 
Uefa attifet. 60.); fo et&Jlt man: • ' 



3.4 

5.7 ' 



See j»ei(e 31äf)<riina,st»mlj äiebt: 

liny coly 3iin2p 

' = 1 — }iin,> 2(2 + 00.2,) ' 

eine f*on »onSmittebrotb ©itellius gefnnbene 3ot> . 
m<(. @. ?5(,i. @. 650. X)a nun In einem Sreiecfe, 
m o = 90» i(!, sin/? = i, cos/J= i iffj fo gleit 
biefe Sotmel für 2<p == /?; 

- r 2« + c ' . 

In feilen bes £a(bmeffet«; unb In Stoben na* SM. L 
S.643.: . 

3itf)t man 

dnep coi^ ■ . L -y 2 4' ■ 

»tn ber obigen Steige für </, ab; fo er§j(t man fei*t: 

- 3.JH2,. 

» 2t2 + c.,2») 



; + Af" + . ... 
'■"5TF: + «*•'* + ■••• 



v. »(. 



194 Sriaonomettie, 

unb bet gefiitt bei ©netliu« 0teo,e( Utt&gt al(b ito^e 
+ Tiir/3 S 7 I« teilen b(« £dlbmefr<ts. Otocb Stift, 
net« ®. b. SB. I. @. 415. fannte auib ftbon bet tfatbinal 
SflicoUus ie Sufa tiefe Dtcgcl. @ne((iu«S8tn)eiä 
§1t nacb Jg) u ijgfrt s in bee@cbtift de circuli magnitu- 
dine inventa. Lugd. 1654. 4:, wo et felbfi einen S3e* 
roelsgiebt, ungenugenb. ^n2ambett* ©ertragen. IL 
*3IbI). IX. $. 11. i|l bie formet aus einem allgemeinem 
©afie abgeleitet. 2öiebee^o[t i|t fie in Table* des sinus, 
tangentes, etc., par A. Girard. A la Haye. 1626., 
t»o atet@itatbnocb eine anbete gotmel mitteilt, tveü 
<be ben SCDinfel ju 8to0 gieb». <£$ ift nämllä) (tfi(. L 
@. 618.) 

,.*, + t .sje + £».*£♦■•.,. ' 
-^+t.^=*H^.*....- , 

TOtaue lef cbf butcb Siibtt action : 

f = 5 ; &ß' - ■ ■• 

Sllfs n<K)etitna.«ttieife: 

. . ... tmg£ 4- Zdaß _ b(t' + ge) 
p 3 3ao 

in Reiten b<« Stabiuü; unb in ©tabeni 

y-^ir* •»••»*■ 

©et geriet i(I unäefab>:= — Ä/9«, b. I. etwa neunmal 
foa,ro(j, al« bei ©netlius gotmel, itnb negafi». ©od 
bei ©neliin« gotmel bet geiler nod> feine SBinutt be. 
nagen; förmig ■r^y/f'.C^-gj fenn/ »otau« man 
ß < 31» 46' «tut, nnb ba 'btt geltet fflt ein r)aI6 fo 
gtoji eo ß, 32mal fleinet uitb, fo folgt, bog betfelbe fut 
ß < 15° 53* itoä) niebt 2" auenraebt. Dlimmt mim aus 
belben gotmetn bao Mittel, fo giebt bie gotmet, welcbe 
man ttijalt, ben SBmfet ebenfalls p grog. öloeb eint 
gotmetf.m. in £ambttts gulajen ju ben log. unb ftlf,. 
Saftin. @. 151. 



(SSme. 195 

33. SlneScrmtl, »et*« Mog bie .Sennfnlfi bcc beiben 
.fiatljefen erforberf, ^üf Oibet» in ber monatl. <£orre= 
fponbenj. S)(t. 1807. g<6r. 1808. • gegeben, e« j(i 
namlia) 

» ~ r=r?sp + •" + • • • 

r + *»■ + •'■'■. 



r + *»•+■ • 



- 3 + lüi? + *»' + ■ 



_ MC' 

' = .- + 3=' + 

Soigficb. nä$enmgs»elfe: 

„__3to 



* b' + 3c' 

taSb/ifen betsSfabin»; mib In ©taben: 

S)'er.geljteri|t=-Ä-/5' =^yj9», «(f» ungefaßt 16nwt 
fo groß rote bei © n c 1 1 i n 8 gormei. SRon etiiälf bie gor» 
mel aua) ang bent £etten6rua)c für Arctangx in 'SfjUV,, 
@. 97. 3>ie 91aE)ermig wirb weiter getrieben / wenn matt 
tlidjt febon bic fünften $otenäen »on ß tKrnacbläfjigt. 

34. SDfc f. ober ben tjiec beftanbeiten ©egenffanb. autb 
Navigation new modell'd. London. 1715. Bondens 
r» SBitfon.' 2>et Otec. in ben Act. Erud. 1716. p. 
165. fagf, bagSutbfen wegen biefer Regeln gefd)cieben. 
3tucb Gietermalier t'vergulde Licht der Zeewart. 
Atnst. 1693. 4. £4|tnere gtom. W>1). I. @. 157. 
J.i eilten auffaB t»n SBoll in ber 3fi« »ob Ofen. 
Sänfte» .fceff. 1826. ©. 493., nnb befonber» SRolI. 
»eibe än(Bfang ebener Srelette olwe Jä>iilfe ber «ig. Sa. 
fein, »orjugfieb junt Sebrautbe ber @d)lffer. üüonotl. 
Cerrefp. 3ul. 1807. @. 18. Sagnn In ben Mem. de ' 
Pari». 1725. giebt bie SäSinfel in unenbliojen 9SeU)en. ®b 
brausen mir bie franeformitte Steige in (32); fo i|» für 

x = tau» = - , - = ,,'''■■; , " 

■■ ., LCoosk 



I9ß Srigwwmdtttf 

' —iL. bc ' 

1 + x» a t* + c» * 

■'-■P-+T? J 1 + * • srqrP + r^MTW + •"( » 
eine fUrfer com>ergirenbe Oteifje aU bie son Sagnt; ge- 
gebene. 

Dlaf ionale ©ceierf* fitib foldje rec&twmf (ige £>m* 
ecfe , beren «Seiten 4de brei rational ftno. S5as 21iifftnben 
fbt<J>et ©reierfe gcünbet fidfr auf Die 2xmerftmg, baß, 
wenn tang£/S rational i(T, immer au$ sin/?, cos/3 ra» 
tfonatfmb, baföt tang£/?=™t 

, „ 2imj „ n* — m 1 

Sic ©efanfe i|l ebenfalle rational: , 



r n 1 — pi J - oosfi 

Dliramf man nun fflt m unb n Irjenb |»tf ganje gafjlen 
an,; fo»gf|icb/3au«.bereieiä)una.tang.^=ip befiirr» 
nun, ba bie Tangente (eben SEßerttj $aben fann, nur ttiuf 
immer iu < n feon, bamit iß < 45°, ß < 90» i(l. 
©eist man nun bie J&npotenufe a = m* + nfj fo'finb 
bie Gafften = asin/3r= 2mn, unb = acosß = 
n 2 — m 2 ebenfalls in ganjen ^qfyien ausgebriicft. SNe, 
gRationatc. Snaonometrie überfcbriebene, Safet in 
©d)uli«'6 ©aaimt. iogarit^mifcber u. a. Safein. n. 
»erlin. 1778. ©. 308. bient j«r erielebterun«. obiger 
. Stecbnung. JUtfners.geom. 3ttnj.I. @. 172. ätiaf. 
enbl. @r. @. Iß. 

Stffmntiaffoweln füt c6ene Steterfe. 

■ '35. ©Inb bie jur S3e|?immung eine« iBteietf« gemef. 
fenen ©tntfe nicbt janj oljne geriet; fo 1(1 es nöt^fg, ben 
©njiufj beurteilen ju (innen, n>e!a)en bitfe geilet, aufble 
beretbneten ©tucfe baben. IE« erteilet hiebt, bog bie 
(Entnitfelting ber (Slticbungen jniifcben ben cinjcfntn 3<6= 
(ern eine Aufgabe ber 3>ijferen|«nrea>nung i(l. SBotaus. 
. gefegt aber, baf bie 8e$(er nnrfejt ftein ftob, wie es bei 



■ ebene. 197 

giicmSeoba^KutigcH immer ttft gaH tff , ffinnen uferen* 
,fiate bi« ©teile ber ©tffereiijtn vttttettn, un& bie Unter* 
fac&ung »erpHf alfo ber ÖtWbmmg mit pattleOen ©ifferen« 
Mm, ba bie fittytv ber gern effenen©tßcfeojfen&ar,ate' 
gah} unabhängig »on einanber jit betrauten finb, 

' 36. S>Hrc|> parriettc Differentiation ber gormefo 

•'s!'- 2bceot« -(- c s , 

Mtb a sin ß — b sin « , unb bm$ Sßetfaufcfemig ber 33ucb> 
(laben er^it man («4»(: 

aöii = (b — c cos«) ob + (o — b cot «) de + bciinnfl» 

= acojj-äb -f. acoijSßc + bcHnodt» 
Mb = (a — cco*jt)da 4* ( c — acoi0)dc + ae*in/!d£ 

= b cos}" da + b com pc -f" acsin^dj! - 

cdc = (a — b coi 7) da + (b — • aco*y)db + abnnydr ' 

— : ccoi^da + aeotiidb + ab sin y py ; . 

ain^da — ainadb = bcosada — acotßSfl 

tmyCh — lin^dc = ccasßdß — b cos/dy 

sinudc — aiayda, = uccsj-dy — ücowda. 

Sitoimf mm biet ju nocb bie mg « + ß + y =* 180" |i(b 
ItKtt ergcbcnbe ©lei*ung 

-*a +■ Bf + 3j- = o; 

f> 5« man Sit Sunbamentalformeui ber §tfymeäimm$ 
to ebenen Stigoiiorntttie. Sie einjelnen gällc finb 
fötgenbe. 

37. (gegeben«, /?, y. 
(Sefncbl et, b, c. 

c!«= — hß — 3y . 

;, _ wngfli — bcong« + »cotfldt . , 

tniteeift welcbet gotmefo |i<6 jutt|i Sa unb bann ab, ac 
lerecbnen (offen, SBlan fännte aueb — Sß — Z? für 3« 
In bfe Stoobrucfe für 5b, .Sc fegen. 

5>«bcosi» + acos(3 = c[13]; fo erbau mon fut 






j M, coty + r) - H 



198 SMäoitroteft», 

w* gsnj efon f» fät 

^ = ^ + M-a, _ n*. . 

SS. f. ffllagets praff. ©nun. n. ©.447. 3)ur$l>itfe 
Sormetn reirb fcaß S8ei$lttni|} »Ott cfb, de ju b, c 6t« 
(iimmt. (Ein Simpel f. m. o. a. 0. @. 453. 
38. (Segefeenb, c, a. 
eefmkt/», y> «. 

n ■eoij'flb + ■ wggjg + bcjfewrjj» 

_ (h— eoo« a )fa>+(c— bco« B )<)c+B<iii] 



» = 



bffb — bcotyda 



c(tc — ceo»^^H 



©et erfte 2Utöbrutf für da giebt <m# 

5« • • fi *)b " " o de . bo , . 

— =* eo, r • « ■ 5* + eo *£ * T * T + « • ö,Ba ' 

~ .ina ' ** — »in,, " Ä aiTS 

Tr*r+.«i* + w» 

39. SeätJen b, c, ß. 
Seflllbfa, y, a. 



bdb— bt 


«»de - s 


atlnßSß 


iin^(?a — 


bco., 


aotfßdß 


4*0. , 


bco.« 
aitiydb +' 


ccotffl» 



b«o»r 



©fatfc 193 






©uro) ©ubfüiuelon be« äBer^es um 3a in ben ausMuef 
für 3» »urbe man rfn(n ton 3a inntjüngigtn 3usbrmf fär 
da er&aften formen. 
. 4Q, (Serben a, 6, c, 
etfmjit «i, /?, y. 
3>« ' 

iß, fo etgittt |t(6 bar* ®u6|iituffon ber au« Um OBigen 
bekannten ^lustrucfc für sin«, cos/?, cosy bunb bie 
bwi ©eiten, für » == iCa + b + c), jugfcicb mit S3er= 
tauf^jimg fccr fflucdfiatcn, 

?> _ 2«bo3a — (a'+b' — c'?c3b — (■'+«» — b')b3c 



9^ 



. 3abc3b — (a'+b'^e^eäa — (b' + c 1 — a')a3c 



2ac)'.(i— a)(i— b)tt— c) 
g = gäbe 3c- (a'+ c' — V)b3a — (V + c»— a')a3b 

41. SJicfctio, ftnb au(b bit Slricbunam )»if<()en ben 
Sßeranberungen ber ©türfe eine? äDreiecf«, wenn jwei 
©tütfe Ate unt-eränberllcb angenommen werben, S$lan 
Fann aber als uRveränberlicb annehmen : 

a. Sine Seite utfb einen anliegenbtn SßinM. 
'6. Sine Seite unb ben gtgcnübccfle^entctt SSUinfet. 

c. 3»ei Seiten. . 

d. greei SBinM. 

42. Unberinberficb s, /3 : . ),,.-,. 
S8eranbetlia)b, c, a, j<p '*'' 

Slatb ber anno6nufi|l 3a = 3/3 = o. 2>a nun immer 

3a + 3/3 + 3y=:oi|t, ft ifSa + Sy=o t Sa=—Sy. 



200 SrigonoiKcfrie, 

@ctf man mm an$ in ben @tei$tmgen in (36.) 9a szBß 
= o; fe erlitt man . 

bdb = b cotitSe, 
O = «aa3b + h cot* dt. 

0Ran (jat a(fo nag einigen Itigtra Stebnctionen folge nbt 
, ©leigangen: 

da = — B?, 

3b = cw.de, 
bd« = — taii£a('b l 

jwif^wn db, de, da, 3y, aus benen fieb, wenn irgenb 
eitfe tiefer ©r&jje'n als Befannt angenommen wirb, bte 
-. übrigen Beregnen laßen. 

43. Urrofranberlig & f a. ; ) 
; ©eranbertigb, c, y9, y.j (4 ° 

5» s 3« b= o , dp + fly = o. 

»W Ben ©lagungen in (36.): 

o =s «ooiydb + aoußBc, 
. — roa3b = — a.co*ßdß. 

Srigflg nag gehöriger Dtebuctiont 
3ß = —B r , 

(eoißde = — cotj'db, 
ncotßdß = rinndb. 

. ©Ie fegte ©fetgung fann man aug fo barftfflen: 



SIBet asm/?— bsina. 2Ilfo 

bd£= tug^db. 

44. Um>eranbetKg a, b. I , 

«Jeranberttg a, ß f . r , c\ "** c-) ' 
Olag ber 5imwE)me i|t 3a = 3b == o. 3Hfo nag (36.): 

Sa + 30 + Br = o, 

o = acoijjfe + b.ciin«3s, 
O = b cot «de 4- ictiaßdß , 
c3e = «biinj-tty, 

O = bcoaada «— tcaafl Sßi 

Sber — bcnna3a H aeotfä:, 

— tatinßdß = bcois3o, 

* - ' e3« — abiiiijrd^, 

»cotßBß = faooiada. 

'■ „.„....Google 



201 
SDfefe ©felifctingen tatfen fitb aber (tHOrf«." & ift 

- i — h»*mmünß8a = hiinßevßdc, 

— bctiuittaagßrla = a«in/?<9c, 

-cuugßda^ßc. 

«6ettfo— ctangad/?=dc. 3«iwr ifldc=a.^iz.dy 
= b • S ? r . ■ ty==asin/?dj>— bsincdy; iHi&ttifclt<$; 

•«ino»in0eo./)d£= biinoiiu/ico.ada, ' ' 

arinßtangadß = btine tangß Sa, 
*,inß = bHÜ a , 
tongadß = Ixngßfc,. 

2Hfö ljatman fötg>nt>e (Steigungen; 
5« 4 dj* + ö}-= o,- 

— ctaog^öo = 3c, ' 

— ttaxtgaSß = de, 

de a niiaßdy ■--. bünadyl 
tangadfi = Ungßda. 

45. Um>«<to6erficbß, /?. , | 

4 . Sßtranbettitb'a, b, c J (41, a *> 
£)a offenBar au* y unwrättbttu'ib Iff , fo i(t a«4» fly ~ p, 
«nö man Bat foIgli# itact> (30); 

da = cosjdb + eoȧdoi 

fib == co« yda +■ cot o<9c , 
de = eoißd* + cotaSb, 
nnßdt — unadb = o, 
' Mnyßb — tinßda = o, 
•in ade — tioyds ■—: o, 

'. db." maß ~ h"» 
■db _ «n£ ' b_ 
de "™ ' «in/ — c * 
9» ' iiay __ o 

iE — " »ina """ "ä" * . . ^ .. ■". 

OteC bda = adb, cdb = bde, «de = cds. 

46. SHtwnbeiSDlopet a. a. Ö. 6. 491. 492. ange« 
fä&rttit ©Reiften, worin biefec @«a,m|foftb t^eite fijRtlje» 
tif4>, ^eilje' analijtifcEt abge^anbrit i)?, füge i# uur.ttMp: 
Aestimatio errorum in mixta mathesi per variatio- 



202 SEtigonomeftie» , 

lies partium trianguli pLmietspnaeri'ci. Lemgoviae. 
1768. Camerer theoria aestimationis error, in 
triang. planis et sphaericis. Tub. 1783. 4. unb 51flron. 
3ar)rb. Suppl. I. S. 149. Cagnoli Trigonometrie 
.parChompre. Paris. 1808. 4. Chap.XII. 



II. _@»r)<lrtfc$e Stiäoitomettie. . 
Entwirf elung b e r ntnb forme In. 

47. @tn aßy irgenb tin fptylrifcbe« 3)reierf , ba» 'auf 
ber Oberfläcbe einer Äugel gebaebt wirb, beten SDtittefe 
punft O, DiatiuB r i|i. Es i|t «trftatttt anuinetjmen, 
bafi.f eine Seite biefe« Sreierfs bie Eialbe 9>tripfjerle übet' 
fietgt, weil es in einem foldjen Salie offenbar immer ein 
Olebenbreied bes gegebenen giebt, beffen Seiten bieiEr* 
ganjungen tieft« ju 180° , unb olle deiner als 180° ftnb. 
iDiefcs ©reierf iafjt fieb ftatt bes gegebenen berrebnen. 
lieber bie geometrifebe Srjeorie fp§äcifa)er SJreierfe f. m. 
benartifei£ngel.(16.)ff. 

48. 3ebe« Mltifebt £reierf fann als bie ®ronbflaö)e 
einer F&rperlicbrn (Srfe betracbtet'werben, beren ©pißt unb 
Tanten ber fSRitfelpunit unb bie Diabien Oa, 0/3, Oy 
ftnb. Um bie Unftrfucbung. in m&g(icb(ier ÜICfgemcint>eic 
anjufteffen , benfe man ft<6 bureb O brei recbtwmfltge 21ren 
gelegt, 'beten pofitibe Seifen Ox, Oy, Ot. fetten. *>ie 
Sage »on Oa, 0/3, 0/ befrimme man bureb bie Pen biefen 
2inien mit 1 Ox, Oy, Oz eingtfebtoffenen Sßinfel, inbem 
man biefe SBinfii »on o bte 180" jablt. S)l<m bejeiebne 
biefe SBinfel bureb x, X, py *', X', /*'; *", X", p". 

49., Siege nun Oa in irgenb einem ber aebt, bureb bie 
brei Srengebilbeten, firperlicben 9Binfei, unb fenen x. t 
i„ /*, bie »on Oa mit ben junacbflüegenbett litilm ber ■ 
brei Spen eingefcbtolfenen fpieen SBinfet. gäHt man »Ott 
a (Fig. 52.) auf bie g6ene ber xy bas <perpenblftl aaV 
jie&f Oa', unb mit Oa' uttb ben ären ber y, x bie <$<u 
radeleu ae, a'a, a'b; fo ftnb, wenn man noeb aa, ab 



fiföfeifte. 203 

jfc$t, ble-Stafen aa, ab, «c auf ben %en ber x, y, 2 
fenfreäc. (<E6erte 14.). SHfo . 

O» = Oo . CO« x it Ob == Oo . coli,, Oo = Oa .' CM/.,. 

2tter o« j s= O0' 1 + oa' 1 = 0a 1 + oh* + de 1 

ss Oo* . [co»*, 1 + coli, 1 +■ eo*/!, 1 j , 

i == toii, 1 + coli, 1 -(- CO»/*, 1 . 

£)a nun aber J>ie SBmfet«, A, ft offenbar bie SESinfel 

« lf l t , n t feibfr, ober ifjre (Ergänjungen ju 180° ftnb; 
f* iß, tveil bu8 Sßorjeftben einet ©cöjje feinen (Einfluß auf 
ba« ^eiiben ty" 8 üuabrateß Ejaf , ,cosx t 2 = cosx 2 f 
cosAj 2 =: cosit 2 / oos/tj 2 =cos^t 2 , unbfolgiiä): 

CO««' + COBl* + CO*/. 1 = 1 \ 
CO!«' 1 + OD** 1 + CO*)«' 1 = 1 j £15) 
CO*^' 1 + COtl"* + CO*/!" 1 Sil 

50. 33e$tu$net man jefjt bur<^ x , y, z bie Coorbma* 
im be* panttti a; fo 1(1 (Fig. 52.) + aa' =t z. £* iß 
äbet flar, baß aa' über ober unter ber (Ebene ber xy liegt, 
b. i. poftti» ober' negotii» ju nehmen iß, jenaä)bem ber 
Söinfel fi < ober > 180* iß. S)a nun eea' = Oa . cos/* 4 
(49.) = rcös/^ iß; fo iß + aa' === z = rcos,«.- 
3Ufo x= rcosx, y=zrrcosA, z==rcos>, woraus 
jta) nad) (49.), wenn bie (Soorbittaten »on ß unb / burä) 
x*, y', z'; x", y", z" bejei^net werben, augenbUtflia) 
trgiebt: 

i* + y« + 8 * =«M' 

rfi + y ^ + V» ssr 1 " [16]. 
x" 1 + y"* + »"* = r 1 ' 

51. £)fe ben ©eiwi a, b, c beu .fp^rifdjen SreiecfU 
tntfprei&enben @e^nen bejekbne man burä) a', V, c'; fo 
iß, wenn man jicb, buttyß brei neue, mit ben primitiven 
parallele, SooröinatenapeB gelegt benft, unb bie (Eoorbl* 
raten ton y in Sejug auf tiefes ©gßem burtb x t , y t , ■ 
z t ^ bQeicbnet, naef) (50.) : 

«»* + T." + t ( * == •'». 

StagenKuftfa) ereilet aber, baß, mit gehöriger SBerücfflo)* 
tigung ber SRorjcicfce», ba bie Eoorbfnaten bee neuen #tv» 
fangepuntte« x', y',z finbi 

*, = *" - «", y, a y" - y", ., et x" - »'; 

alfe , . . 



204 ' Srigottometrie, 

,. , -(x" - xy + (y" _,-)>+.(»"_ O*««*») 

(x" - *)> + (J" - y>» + {%" - >)> = b'» [17] 

■ ■ (x* - *)* + tf - J)» + («' - »)» =*.•') 

il?. * ; 

52. (Snfiutrfttt man tieft Steigungen, fo erbat* man 
mtt25esitgaiif[16]iei(&(t 

, 2r» — ■'» ä 2xV f 2y'y" + 2t**" j 
2f> — b' 1 = 2xr" + 2yy" + 2m" j [18] 

53. ©eljf man nun in tiefen Sormeftt für He Coorbi» 
naten bie 'Siuebnicfe in (30.), tinb bejeicfrnet eine ©röfie 
wnbergetm 

cai* . eo«*' + cosl . cotl' 4- CO»// . 00* /t' 

*ut(b^(j^»0; foerfjatfman 

2r» — a" 1 = 2r* . ?(.*, »") 1 
2r»^b'>=.2r* .»(-,"") [[193 
2x' _ „•> _ 2r" . *(*»*') ) 

54. 35a nun aber in bem ebenen ©teieefe /?0y nadb [2] 
offenbar , 



ift; fo.ergiebt Ji4> au« ben t>or§erger)(nben gormela fr^c 
lei^t't 

.,o»a = *(«',*") 1 

co.b = »(«,«") [[20]. 

«MC = ,>[., *'j J 

55. Um ferner" Shrtfccurfe fttr bie Sffiinfel be« fp$&rf* 
ftben ©referffl ju-trfyilten, erric&te man Bon O aus auf bie- 
(Ebenen cO/3, «0/ jwei <perpenCiM ; fo werben tiefe 
^erpenbifel offenbar einem bem 5Binfrf a gleichen 3Binfel 
einfließen. Sejetcb/nen wir nun bie'tton biefen beiben 
perpenbifeln mit Ox, Öy, Oz eina,efä>toffenen SBinfet 
'bureb;«, i}, 0; «'; tf, & ; fo f(f, tax biefe ^Petpenbtfel 
aufOß, Qy9; Q«, Oy fenfreebt finb, unb bie gormetn 
[20] offenbar überhaupt ben Sojimis eines von jwei Linien 
im SXaume elngefcbtojfenen aSinfelu borfießen: 



■;.".. 205 

O = «mxcoi« 4* cotlcati) +• ctsficoiG, 

O = cosx'co«« 4- «Osi'nOf I/+ CUBfl'cOlÖ, 
J -=S CO..» + «Mfl 1 4- «osÖ' [10] { 

o = cos*cö*.'.+ co»2co»>,'+ cos^cose', ' ■', 

= cos x" co* .' + cos X" coa ,' 4- cos fT eoiff, 

1 = co»«' ä + co«,'» + cos»'» [15]. 

(Etiminfrt man nun au* ben etfhh beibeit ©[eicfnmgftt jus 
erfE cos r}, unb bann cösö; fo ergie&t fitj?, inbem man 
eine ©cöfäe t>on bec §ocm '..'*■ 

cosxcosi' — i cos*'cosl 

ii(;,jop..o..«= ifb,/))?.««© 1 

|f(«, rt|«. co..' - |f(i, iOI*. -mm< 

|t(J,rt|'.«o.^a|£(> 1 /. , )|».«ii" l • ' - 

»otauö fic(j mittetfi bec brieten Steigung leicht ergie&t: 



(Entroicfelt man nun ben a,emeiiif#aftlict>en Diennet biefet 
Srütfce; fo credit man; inbem' man bie tytobuttt 
cos« 2 cosk' 2 , cos X 3 cos X' % t cosfi 2 cosfi' 2 in«, unb 
Don bee (Entwtcfelung abbirt unb fubtratjitt, mit Sjülft 
»ott [15] unb [20], tiefen Ofennet == 1 — \q> («, x')\ * 
= 1 — cosc 2 = sine 1 , unb fo(gUd) 



l'C« 


«i 


+ IK 
HC- 


•./Ol 

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»01*1 


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/Ol* 


cojö' 


IC(« 


ftp 




•■ ! 



unb tttn fo 



56. S3c|tlmmt w mm tjl'rau« coss, cos ij/ u. f. f/ 





= 


U(l 


(OIM 


5' 


l'C« 


ib 1 1 

*">l"l 


lf(« 


b> / 

m*l 






ib 3 i 



206 . Srigoittractrie, 

fo erijflt man für jcben <£ofinutf jwei SSJertbe, weites fie& 
leicbt barau« erflärt, baß von O ans auf jebe ber Reiben 
Ebenen «0/9, «Oy eigentlich jwei 9>erpenbifet erriefet 
»erben f&nnen. Obgleich ftc& nun jwar nwftf im2HIgeraet=i 
nen 6eflimmen lagt, mit wetc&em SBer jeteben jeber biefer 
(Eofmusf ju nehmen iß , bamit et- b e n beißen von O auetge* 
Ijenben ^Serpenbifeln entfpritbt, beren SBinfel bem SBJtnfel 
. a gleich ift ; fo i|t boeb golgenbes Hat. ©inb namlicb bie 
ISusbriicfe für cose, cos»?, cos 6 benimmt; fo muffen 
aus benfelben bie 2Iusbrücfe für cos t',, cos //, cos 6/ &er= 
»orgeljen, wenn man in jenen überall it", A" jlatt f*'/ X' 
fe|(. S>enn fe» j. 25.. einmal 



aber nic&e 
fonbero 

©teilt man ficb nun vor, baß fie& bie Sinien Oß, Op, 

alfo aucp bEe (Ebenen aOß t aOy einanbet näljem, fo n<U 
b>nt ficb auet) bie beiben $>erpeiiüif et, beren 2Binfel = a 
i|t, einanber immer meljr, unb fallen mit btn. beißen Gbe« 
nen gleic&jettig jufammen. &ann nähern fleh aber audj 
bie SäJmfel X', fi', e immer meb,r ben 3Binfetn l", fi", e, 
unb »erben biefen gfeicb, wenn bie<Ebenen jufammenfaHen, 
fo bajj alfo offenbar, »enn X' = X", // == p." wirb, 
cos« = cos«' »eroen muß; Unter obiger Slnna^me 
würbe man aber für biefen galt, ba augenfcbeinlicb aucb 
' b = c wirb, cos« = — cose' ersten. <£« ijl alfo 
ju gleicher %tit entweber 

cos f =3 co " fStt n~ e0 * — S2±£ , 

, _. CM 1 COt/l" — ccm1"co*a . 



eoslcoi/-- call 


COt/l 


tino 




«.»ICO./."— CM 


"com 


«inb 




co. 2" co. ^ — co. 


Icasp" 



=, Google 



U,' f— c o^i"coe/i — coajcogu" 



*!2lö . 



wo i tii : oiern uns untern Rieben p« auf einanber BeihB«. 

Wfo '(f immer mit seliger SBertaufcbung ber 35u<bf!abens 

' *».,. co.< = '('./)-m, »"> , 

— i —■/-*"•■£;£'* 

57. 35a«unna<&[20.] 

co»a e= CO«»CO»#' + COS(CO«^ + COI 6>COB ff 

•F} föerl)a(tmonau8|;23] 

(cosicoi/ — COTi'ooi/OCcoiicö«/' — co«i"co»/<) 
+ («..cw/ _ oo..'co. / ,)Co...co,/' _ co.„"co.,) • 
+ (co««co«i' — «»«' co. J) (cos. cos r — CO.*"cO»i), 

woran« po), twnn malt Die q>robuttt enlteicfctf, uns ble 
5tll»briicfe COS *» cos >l cos *" , cos i 2 cos J' cos i", 
cos«?*cosiVcos»t"juunb »Ott 5er (Birniitferuns abbirt 
tu» fubtrotjirf , (eio)t naä) [15] «siebt: 

Co* « np b «in o = « (■',«") — ?(■,*")• ,, (^ ,^ 

b. f., no* [20], jugteiä) mit »erfaufcbuna ber S3udj= 
(laben: • .. 

cot oobtbilna = coaa — coibcoio ] i '" 

cwS«na«nc =: cotb — C0.O.CO.C | [24] 

iDiefe gormem fnib »on ber 9r8|jeen Sffllcbtlsfeit, mit (io), 
«U8 iljnen Die ganje fpbärifcbe Srigonomefrie' Hur* Hofe 
Dtecfrnung ableiten oft, »elcbee bie SBeitHuligfeit bis 
obigen »eroeifes enffd)ulblgen mos- 2>M Streben na* 
gro^Kcatgimein^dt ijat uns ju bemfelben gcfiUjre, ba öle 
nn« fon(I befannt geworbenen Seroeife. nur für Sriitcft, 
beren ©rinn ben üuabranten niö>t iibecfieigcn, gelten, 
nnb/ folin (ie allgemein, gemacbt »erben, ebenfall« weit, 
läujise SetracStunsen erforbern. SO), t). jeboo) Grund- 



208 Stiä6ttome(tie, , 

lehren i. eb. u. sph. Trig. v. Münchow, Bonn. 
1826.S.131 —143. Hestermann Trig. sphaer. 
lege»erformulae. Vindob. 1S20. 4. Obiser SeweiS 

feijt bie gormein ber ono(»tifo>n gStometrle nicbt »nmit= 
telbar als befannt borauts. - 

Surcb Sonflruclion fann manbiefe-Sormetn, wenn 
feine ©eite ben Quabranten über|?eiat, (eicbt auf fo(. ' 
nenbe Slrt beweifen, , @e» aßy (ßig. 53.) bas gegebene 
3>eeie<f. SRan fäle »on r auf 0«, wenn O 6er SSitteU 
punft ber Äuget t(f, bau $>erpenbife( y<J, erricbfe burdp 3 
aufOetbaB^ernenbltel de, unb jiebe fc; fo l(l^lj-<J's=«;. 
' aber PJ*. 

yi> =3 (V + O« 1 — 20/ . Ot . MMR, 

yt a = y^ 1 + J» 1 — 2yJ . 3» . cos a. 

aber, wenn r Den ^aibmelfer ber Sugel be|eicbne(: 

y 3 == »inb, Ji =3 OJ . tango = rcosbtangc; 
Oy'=r,. 0« = 03.'ieco = rcoibaece. 

Iglid), »enn man fubffitutrt unb mit r* auftebt: 

1 4- ciMb'aeco 1 — 2cosBco>btecc 

= »irib 3 + coib'taogc 1 — 2<inbcosbuuigceoi«, 
" , co»b'»infl 5 ' 2iinbc oBbain ocoi« 
" ab + ooae . ~ ~ 7^77 r~ , 



= 1 + ; 



«inb^coic 1 + co*b 2 iinc J — 2iiiibcoabsiiiccof ccoi * 

2cosacosb cos c — 2ainb coabsinccoa c coso 

' +corb»U — jinc 1 ) + coac'O — linb 1 ) 
e= 2iinbcosbiiaccosccoio + cosb 1 coic s + ooac'coab* 
ss2iinboo»bBinccosccoso + acosh'coac* 

. coaa — sin b sin c cos a + cosbcosc, 

woraus bie beiben antern gormein unmittelbar bura> Sßer* 
taufäjung ber 2Sud)|iaben folgen. ' 
: 58. £8 i|l. alfo 



_ (1 - co,b-)(l - 



> ^wij| — cosc' j- 2cosacoibcoac 



@|#lriföf. 209 

©enfetten 9Ii«trarf ä$&U man gana auf a$nK<$e Strt, für 

Bin:/S 3 aina s . SHIfo ift sina 2 amb 2 =-sin/2 2 sma 3 ,.. 
unb fütglicfc, ba feine ©eife, alfo aufy offenbar fe(n SBin» 
M, > 180° ifl, bie ©imi« alfo immer pofttitJ finb: . 

•JnjlUno==*iti 7 imb I [25] ' 

■in y finita lin.linc | 

woraus tel#t ber berannte ©afj folgt , bafj in Jebem fi>6> 
rtfdjen ©retetf Die ©ÜtuS ber ©eiten fitb wie bie ©tnu* 
ber gegenäberfie^enben SSinfst »ermatten. 

59, Solan bcnfe fla) nun ein ©reift? «7?"/, ' befielt 
Seiten unb SSSinfet bie SBinfel unb ©eiten fces gegebenen 
©reieef« ju 180° erganjm (5OT. f. ©npptementorbreierf); 
fallt 

« + •• = jl + K == r + e' = ISO* ; 
■ + «' es b + F sb c + / s= 180° { • ' 

call' = — com, cotb' as — cns/J, cosc' = — ■ cot 7) 
cnis' = — CO**, coi^' s — cosb, CO«/ js — CMC 

Stterna* [24.]: 

com'tmL'tinc' = CO»«' — coib'cotc. 
— cMaiinjftiiij- = — cor« — votßcosy, 

ober 

Coin*in^smy =i com + cot^co«}' I 
cotb«inoiiny = coi/) + cos o cot y [ [28] 

co* c «anfing = eoiy 4- *o«a eo«£ ' 

3Iu« ber ffiergleidjiing tiefer gormeln mit [24] trfytitt, 
bog man immer bit ©eitert unb SSJinfel gegen efnanber 
»erlaufenen fann, wenn man nur bie £o(mu8 negatfo 
nimmt. 

60. Delationen jttifeben allen fedb« ©töcfen er&JKf 
man auf folgenbe 5lrt. Olatfr [24], [25], unb bcfaitnttn 
gomometriftben gormein i(i: 

■in(a + S) liDi . , Bin jfl 

1 " Z. r l = - — cotfl + -7-=- cot a 



*'" 



210 ' £tt8Mioit«ftie:. 

i cot« j* codb — cogaeoga — coab-c< 

. (....+ co,h)(i -cogg 



(Bans t6en fo erfiMf man 

■in»— f) _ ca.li — caaa . 
«inj' Ssinic* ' 

«m> am S'en germeln [26] auf n,[etu> 2Bel|i: 

' aiafa 4- b) cot.« ■*■ eotß 
.ioc . 2.iH,= ' 

tin(. — b) __ cos? - coi. 
»ine Scog^y* 

W* aua)nao) [25]: 



®ut$ diu Wdjte Transformation (Soniomefrit. 28. 35.) 
trgfebt fi4> aus ben erhaltenen Dvefultatent 

.in«, + ffliMtj. + /i) cc.4f. 4- b)c».4(. — b) . 
.in*ycos} r * co«|c» 
' rlc JC -. flcc.{(. - ß) _ .icil. -f t).i.t(« - b) 

ain«a' + b)coa^(a + b) _ eog^a ^/rjcngjja^«- fl . 

, .mjccctc ab*.' ; <« 

au.j<a-b)co.4{. -b) = gh.«. + J)gin«. - f) (4) 

au.}]. 4- )l).oit(. - ßt . •»<!. + b)cc.»f. - b) g 



(2) 



»♦(• 4- i»)»intC- - ffl ca.«« + b)d«j(. — b) 



(6) 



61. S>i»it>lr< man nun (5) &urd) (3), (6) &«•> (3), 
(5)turd)(l), (6)burd)(l)s fo erf)ä[f man : 

ein $ (a + jj) gin^y' cog«a — b) gjnjacoaio 
.. -CO'tC«"»-«' aul r - co»^ta + b)* eine" » 
■'"*(» -fl ■!■♦>' _ ■!!■*(« - b) gia*ccoa£c 
ct>a|(a— ß) ' ai nj . ain$(a + b)* aia c ' 
aiwita + b) . cca4c^ coa^a — ß) ainlycog^y - 
coa^ta + b) " eine cos^(« + /JJ" ahiy ' 

, ainf(a— bj cogjc' _ ginj<a_— £) gin^rcoajr 
cog^a— b) * ainc "~ na^a + «) ' aiu* * 

.Woraus fid; ferner ittgtaglrtt: : 






taMg4(a — b)cotfc 



j<« ~:fl 1 



— «• + » J 

5>i<fc 9tt(atioiien ji»if*tn fiinf etutfut, aus baten |i$ 
übafyint* JwSlf ©fei<t>un«.tn bnrfcSBtrtanfcfmnä b<r33uc&. 
Hak» ergeben, nennt man fcc'e Dieperfcben älnalo. 
gien. Mirif. Logar. canonis constructio. pp. 56, 61. 

62. SD!u((l|)(icff( man aber (2) mit (3) nnb.rt), p> 
Wie(l) mit (3) uni> (4); fo '«$#> man: 



•in*].» 




am j. 






= - 


*in| C ' 


' Cos4£a + b)sir 


i*<a 


-b) 


«b»K« — «" 


«in-K« . 


*■ /»)C0S + („ -ß) 






«wir» 




■inj- 






BW 


+ (a — • b} 


•ine 


■*f« 


^b) 


«•■*(« + i*>» 


8 in + (« . 


i- ß)coal(* - fl) 






■"»{r' 




amj' 




COI 


IC« + b)' 

C08|C> 


1 cos£(a — b)sin 


4(« 


+ b> 




Sin« 






•ii»4(- + A>* 


OTt*E> 


4-#rinf<«-# 






co«^' 




«»r 






CO! 


,ifa - by 


1 co* i-Ca + b)iin 


+(■ 


-b> 



wetou» ft$ r twrmSjje (5) mtb (6),"Jjitr# beiberfeitige 3)f= 
»ifiott-, unb 2lu«jie£)üng bec Ouabratwurjet/ lef(pt ergiebr; 

coh !-(<■ — £)sin£c = sin |(a + b)sin| r 1 
.to 4 C r- «"*• = *»H—. t)«t, 
co.J(. 4-fleo.Jo = co.S(. + l).i«ä, t L J 
.*!(■ + ffi».io = co4(*-l>)cGlJ, ) ' 

ffiefe rjicbft mtrft»iir6i3tSo(9tl'OnSI<i*u"8'" 5a' Saug 
(Theoria motus corporum coelestium. Hamb: 1809. 
p.Sl.oljneiSeroeiabefannta,emaci?r,unb|Tea(3fo(a?e, bte in 
om Seilt bütfoetn nocb' fehlten , befcnbere empfohlen. SJian • 
nennt |ie baber in Setitfcblanb gmo^iili!* Mc .Sauft 
. ' .' - 2 . , , 



,212 . Srifloiwmetrie, 

fdjen ®(eid)imgen., gu'oemerfeft ifl ater, baß SDJbtt» 
» tf b e fdjoR im £flo»emßerfti3rf ber monctti. Correfponbenj 
@. 398. 399. biefe(ben Sormetit Bewiefen, unb babei au- 
gteitb bemerfrfjat, baßße in ben ©fernen ber 1rigono= 
metrle nocb, fefjtten, obwohl fTe eine Bequeme 2t«, eine 
(Seite, oljne einen ber an berfelbeit anliege nbeti SBinfet ju 
tennen, ju.tfnbe», an bie j^anb, gäben. . Slucb bemerff 
SRollroeibe a. a. 0. atisbrücfticf), baß in ber bortigen 
©ejeidjnung y = f CB — C), y es *(B + C) fco, 
woburd) bie bortigen gormein augenblirflicb, in bie ifcne» 
oben gegebene ©eßalt übergeben. Slußecbcm E)af aucb. 
©etambre in ber Connaissance des tems von 1808. 
biefelBen gormeln befannt gemalt, weshalb franjöftfc&e 
@djriff|lefler fie gewMjnfid) naä) fijm benennen; Xiaßman 
in obigem SSerceife, wefcbes vtefleidjt einigen Steifet errc* 
gen fonnte, bie Quabratwurjel nidjt aucb negativ nehmen 
barf, errettet fogteidn wenn man überlegt, baß aCe 2ßin« 
fei 180° nicbt ilberffrigen (47.), unb baß, in ©ejug auf 
feie jweitt ©leicbung , a — ß negativ i|t , wenn a — b es 
i(t, ba bem großem SBütf ei immer bie größere ©eite ge= 
genüBerfltljt. anbete S3et»eife f. in ©niabedV« fvb.. 
^rigia.b.^oIn-öonSeibt. £pjg. 1828. @. 20. 21.; 
Conn. d. tems. 1812. p.349.; Traue' d'Astronomie 
par De'lambre. T. L p. 157.; Stoffe» Abregt d'A- 
stronomie. p. 110.; Annales de Math. III. p. 351. 
XV. p. 284.; Littrowstheoretund prallt. Astron. 
X. S. 10.; Puissant Ge'ode'sic. I. p. 65. 66. 



ungemeine «ufUfung «Her S4(k. 

63. Solgenbegtlfle fonnen »orfommen: 
'■ - a. (Begeben alle brei ©eiten. 
b. @egeben jwei (Seiten unb 
«. bereingefd;tofferie, 
ß. ein ©egentvinfel. 
c ©egeben eine ©eite unb 

n, ..-,■;■, Google 



€Wttif$e. 213 

o. blc Jetten anlfrgmbw Sßinfet, 
_ £. ein antiegenöer unb fcer geaeniJbrtffefeenW 
SBhtM. '■;--, 

a. &tgtbm ade fcrel SBinPer. 
64. Öegebrna, b, c 1 

afiot^pijifi 

rltf> _ wii — coabcoac 
"~ ' »iu b" sin c ' 

- coab — ctnacosc 



Um feister tntt 2egarWjmen ju «ebnen, beregne man bei» 
^ütfsrotnfer ^ mitttlfl öergotnwl cosy ^cosbcoscj, 
fo §at mon ' ■ 

«ob« a C °" — cw _ grinj(9. + y)ain4(y — ■) 

(linbaiac ~" ! »in b sine 

<£b«n fo ffir/Sunb y, gerner fft, für£(a + b + c)=:s:. 



: - 2«int(> + b + c)rin4(h + c — ■) . 

— ooti + (coabcoae + rinhainc) 

ein b ain c T*~ 

I g '»M(* + b ~ 0""l(« + c — b) 
. . ainbiino * 



.-r? 



1 l • - Bin b sine 

frinYs — blainfs - 



»in(s - «)»i.i( a — b)«i 



S5un(j SBtltmucfuno, 6« S5u<t>|iaben con(iruirr man fckfct 



214 Ztiwmmtttitt 

galt) Sfritidje 5ettti<(irfur ttt iMgen SBInM. 8»* Me. 
im 9u86nl(fcii «rartm |üfr Mdjt folgende SSttationeir s«t» 
, f$mafltnft*«@tu(»eit: 

■in(« — i)»b'i — b^»in(a — cj 



3 



■tang4«taiig^j8 tatigjy = ' 

r»in(B — .)ain(n — b)ainC8 — c) 

65. SejtBenb, c, o] 
Bla*[24]l(f 

Binacqs^ = ainc ' """ > 

' ■ cos a cos c — cosbeos** 

i «nbcoscooau 1= .- ' . * 



shiacoal 4- ainbeoae cos» = cbabsiiic; 

, sin b sinn .„,, . 

sin a r?= . ■ L 2 *] J 

■in/» 

ainbsinocot/i -}■ siabcoacfloso r~ cösbsinc, . 

cotbsinc — cos c cos u * 

..««» = - — TS ■-' 

cot c sin b — eoBbcosa- 
COty =s "»in«' ' 

toenttf /3, y tfynt %mt\btutl$Uit gefunbttt »«beif. ©a 
aber biefeSormem gut togarfc§tmf<ben Otecbnung unbequem 
jinb, fo berec&nc man lieber $(ß + y) W*4(p— ?) «*«' 
ben 9teperfa>n Analogien 

worauB man cBtnfaOs o$tte 3iw »(urtjW« 
» = *(/> + *> + ♦(?-/>. 
' r = 4(d + r)- ♦(/>->■>; 
erraff. Sit ©ritt a finbtt imn-aua 
.'.'■' . ' ■ •; »„„.„Google 



215 

.' Bfnbiina ■incm'ii« 

. tiaß »iny ' 

»» ob« ifflmtt «Im btfonbree SSeunfcifimo., c6a< 
obre > 90° , n6(^iä i|t. S>i«fe mmtlbu man, wenn 
man a au* 






W(b - c), 



■»*(/> + !■> 

BefKmntf. '2<ud) rann man |i<b, ba man alle br«i SBfnftf 
fennt, tic Saufifcfjtn @(etd>una,en guc Smcbnuna, ron 
a bebicnen. 2Iucb tft im @upp(<mcntarbniect nacb (64) 

1 I sin b sin c 

$(«' + V + c') + 4(* + fi + 7 ) = 270», 
|(b' + C _ «') + +0J + r - ») m 90°,. 
■iu4(**S- b' + c'> s=— co*4(b + fi + y ), 
■in.}(h' + «' — »')== eo»i(ß + r — o), 
4«' + (a = 90", b* + jS = 180% c' + r — 18Ö*. :. ■ 

woraus e&enfatt* a ojjne •Jroeibein'igfeit gefunben toict», 
wenn nadj.bcm Obigen bie brri ÜBinfel befannf |mb. '. 
Unmittelbar aus i>en gegeben«» ©liefen. i\~t n<4> [24] 

coia. =» cosbco*C -f- «inbunecosa 
I . cotbl 

i= siaLcoso jsmc + coic — ~j . 

2fff nun tanggj= ~; fbifi ", 

co»A BS ~ — (sine 4- coactang(() 

= ^ (»iucco.p + eosciinp) 
Hin y 

co»bain[c + y) ' ■' 

— "»ins» 

.Samt a bw^but <£afmus nify mit «fwbertufc« ®etwu» 
igfeit bmdjn« »At>«t;-fo ifr 

coaa = coabcosc + einbaroccoan" 
= cosbeoac + ainbaiuc(l — - 2rin$* 1 ) 

— coi(b — c) — Sninbaincsin!»' , 

- Dg l. M ;, GOOgk ■ 



216 . StigMiorarttic , 

unb fol«,n<&, Inbentman 

' CO«« =5 1 — 2sm4a», 

eo«ft — c) = 1 — 2(«lnJ (b — «)• 

©«»nun 

(Hfl . __ ___ 

•inia-ss rfn|(h*- «)> 1 + tauge« , 

= .mx(b-.).«e = ^ia=^, 

Bu* fo(a,mbe tFansformation fa)tin< b€mref«n«:n»T(&, 
S»an fite 

«o«ft = 2eo«f «* — i, 
cd«(V — o) sa 2(co«$(b — c»» — 1( 

f» jltBl Ne o&lä« goriml f te cos a : 

«,♦«■ „ COTt0 , , .,). . j , _ %";"".')•'( , 

Tut n<aa«»e XtyH ite HnbmlfSen Sactow muß < t 
1 (Van; rctfl fon(i cosj-a imaginär wart. S)akr tan» 
man fMjen 



■inij c 



»In 4« 



■Mtl. 



»i(o-.t) 



. ooif « «b coii(b — ,c)l 1 — «in«' 
V =eb«J(b — t)oi r . 

Sfto* <ln'e85<K(fcmin.g«art b<r@tftt a te6tt SW?(l»elbe 
in 6« 3«tf*rlf( für gflronomfe. L <B. 459. o&nt S5e< 
iMi«, bm icb btifug« will. ÜRatt fttje 

f.. (ff .»-f. ""«=»»> • 

8sin4«> isJl — cos« zc 1 _ (tlnbeincooi« + coaheo.e) 
= l — siubsin^cos-J.a 1 ^- »inJ-B J ) — coibcaao 
=3 1 ■ +■ »inkaina •» 2tri.ibMnccoa.4-tf 1 -f coabeqaa 
' =1 i — 2sinu» — coa(b + o) 
S= co»2h — coaft + c) 

■ ■ , . '■ -.',.. .Google 



317 

«■-'jXHr' ♦•>*<*+-■")■• 

@e$t man aber 

f'iff , ' 

20014a 1 = 1 + cosa =5 1 4- *i» b sine cos a 4- eosbeoia 

*e 1 + ,sinb«ine — SiinbeürcHit^a 1 4- cosbeoao 

K J — 2sin w 2 4- uns (b — c) ' ■ 
e co»2w + co»(l» — e) 

o»4s s= j coa/ ■ T i 4- wj)om^—^ — — w) . 

cos $ ay~ B 'mb sin eutfo sin $ety r »mh am ctinntn offen* ' 
Uz nie > 1 fron, fb baß ftc& aljb We ^illfsroinfet w, w 
immer befttmmeti (äffen. Serner fe$e man 

* ■ ainbsinciinacotj. * '. 

■ *M< = """< 

folfi 

*. — 2 rin b rfn c coa 4 » * 2«fatt* J 
" ■ «in(b + c> " Sä{E+5) ' 

SoToJIfrfc na$ bem Öbtgett 

ilsin^n 1 5= 1 + »in h »ine — Uugy«in(b 4- c) — coibcoao 

p«t- ' in 7» in < b ± °> - eo.(b + c) 
co*y . 

b ""'y — co«(b 4- c — j) 



I cogy 

au« t><m atuebruift ffle 2sinf a> «rgleM fW <nigtn< 

cosy .. ,f 



nosjaj= — ; ■■■ ■■ i ■ 

I co«y 



taog(— 3— ■^Mug(— 5— - 

(Enblt# fefte man n«b . 

*in b »in c jrin » ttfflg£ w _^ 



2« , ; Sri^onomrtrtc; 



- 2»inb«fncrinja- 
= ün(b — c) 



~ «n(b — c>* 

atlfS» na* bem 0%» 

2co«^a J sl-f iinbiinc — tangnin(b — c) -f coiboaic 



. '. r .<^M^--f) , 

■"?*»■■ I ts; — : ■• 

> t .. = — ^-t i,. • 

*t"»j «... ■ ■ 

, $at man a , fo tonn man ou$ fii _f Iti*t ffnbtn. 9Iad) 

<- m -W . " - . ■ 

*"l .in.iinl. _»)(,in U — b»' ■ 

' _ ■!"(■- ■) r»»l-'-»<i»(-^°) ■ . . 
— iin(« — b) ' »ini»i»(«.— a> 



•"8*1' = ^#-=4! u °8*"- 



SOI. f. aucb P u i s s a n t Geödesie L p. 93. Gonnaiss. 
des tems. 1820. p. 346. 

«u<b sie obia,e Socmel fät cot/?, unb tbm fo tfe. ffle 

coty, (äff |t* S»K& ©nWtunä' «11(8 $Mf8»lllf((» $ut 
tosarit^tntf<t»n £»edjinjli8 btouetmr tinriibtHi. ©eljt 
raonnamUd;cosotangb = coty, fo ojebt Megotmet 

tot^iiuo — cotbiinu — coi e cpso 



'e$itäfö*' ■ ' *Ä 



ung^ = 



: dnd — tfoiocot? 



>H° + v) ' 

tmbfo(3tt$/ wenn man für sin 9 (ehttn SBe*($ einfährt: 

göt cosataiagb = tang^/i»ürbä man ftttbm: .' 

c qt j? = c ? tn 7 io (c v ,- v ' > . ^ •■•' 

66.© ( 0e na ^., y j ■ 

etMt «> b, c p . ' " 

SWott tenfe (i* 608 @»pj;f<m«ittrl>Ki«f, fo i(i l»*'(65i) 



— cot ß sin y — 


- cot j-co* s 


cot/Sainy + e °*7 "' 


)sa 


cotyiinfi + c< 


.■fc 


««■ 



Sile SKtcdnmtä mit Sosarit^rti«« »irt «ftfefrtett, ttnm 
tnanc6Yatang/3==tanj*ipftlst, »orauS ' 

■inatapgl 



- s= riny + coiytang^ . 



Usgb S 



gär Sl = ""gV «V' ■"" 



SDIit cotc wrfafyrt man etm fo. 3i*e0- fofr<ni|t<& b/ » 
«ita) mit !«l*iljfdt &«* Sit 01e»«|$tn anatoattB: , 
»„Mi-.+ .j-aijJ^M*,. ... 

o^ltl 3»tii«»tiafeit pntittl. 
8tte^it«.man,n«b&mb,c^utitaiW»^&<»3o'W<» 



16.--,!^ — *' n " in T' . 
' iiäb * ■fnc""" * 

f» würbe eine befonbere Seutt&elluna, wegen bet Bn be* 
KMnfet« « n»tbja.1enn, weifte wrmieben Wirt, wenn 
mon(i*6et31epet(*en3otmeln 

■'■'-■ ■^♦•-■«i^ «♦»+*■ 

«iiU('b — c) 

beblent. Sfn* 1(1, weil nun nun alte brti' ©eilen Jen«», 
naa) (64.) 

au). = K"»-";^-,.) 

( llnbBinc ^ 

Unmittelbar airt ben sea,e6enen @(ürf tu erriett ff* o bat* 
bie gönne! [26]: " 

coa« =i «oia«in^«iqj- — cotßoo&y, 

»elfte jur Ioa.aritbmlfften SReftnuna. Bequemet etna.er1cbee« 
wirb, wenn man oosatang/?— cot© fe^t, woran« 
man erhalt: 

»in» * 

67. eejeteie,j»,yj 

©efnftt., b, | c63 - d -) 
0ta4[26]i|l 

Bü'l.'TT • ■".• + •"»•"»■ " 



0H>+ co«»eotr 

jüiminy 
; .y+.CI...O.^ 



uttb galt) auf a$nHfte SItf, wie In (64.)ln Stjuj auf bie 
Seiten, erbaft man 61er, ftie i(« + /S + y) ss s', in 
SJejUäaufbleSBinfel: , 

„),=rHZ35SSH, - 
^n.^r^ii'.'f; '■'-'', 

^ f «miliar 

■ - ^""1 001(1' E 0)ooi.(i' f= r).* - ' 



. %T*— cojs' coiiV— g) oo.(*~ß)cimi— r ) 



§ur cosß cos y ä= cosy ir^dft man 



68. @*gefcna, b, «(-,,-. ' 
SDlait fu^je jutrfl /J nadj t)tr gotmet. 

. . unbafns 
■ «".* = — £~ - . 

unb bann c, y nacfj ben Sßeperfifcen gorineln : 

■-*•«■ gffci-g •"♦>+-■■> 






int(» - 1) . 



'4<°-ffl- 



~iiii4t»+bj 

Wim hm (An öucfe c, / unmittelbar quo bm ^Datiö tu 
galten. @e^t man namli# cosbtanga — tangy; fo 
«|ält man mit fel|i b(t au« (65.) fia> leid» ctgebtntira gönnt! 

cotaiinb r= cotaiinj' -}- coibcoi^, 

iio$ einigen Stebwctionen: 

©eg( man bagegtn cosatangb=:tangy>j fo ec^ft malt 
au« btr gormrt 

eoibeotc + coiaimb»inc = cot« [34]: 
eot(c— v0 = - 



©« SBinfel /3, auf »ettbem bie gai-je erfle ^uftöfuttg 6c* ■ 
tutjet , wirb in biefem gafle fcureb feinen ©titu* gtfunben. 
35a$er farni ß jwei, tinanber ju 180° erganjenbc, SBertfce 
tjab<n, unb bte Stofga&e affo jwti Sfaftöfungrn jiitaflen. 
€0 ift baljer nötljig, bie mb&iitytn Säße iiäEjec ;u be= 
fHmmen. 



Wti —-i • — n ' 
T)a9nwm iama fpiänüfe SJrrinfr wramefittm, M* 
trän tri« ©ritt > ISO» i#; |* ig »fr crgr Sbtfl bicfrr 
BUßfenog , offe oo> bcr inKite, elf m&jr tonwr poftrdr. 
gelglitb maffr«, ba c« abfobrtc* SBenbf bm|(i — b), 
\{a — {f)yx9i$00" nübtübrrfirigrii, a — buba — ,3 
imturvm iwrid grüben fo«, b. b. b«c grö£rra föf ite 
mn0 brr'großcre 9Btnfrt gfgraäbrrfMxn, anb amgrtthrt. 
giroir folgt oae bot taten legt« ©Uufjuttjto [27] (rübt 
tmribSfoifio»: 

ipnglf« + b) _ anH« + Fl 

—tu* — ») «"§{(■—«" 
Sannt twbbraSor&trgtfrrnbnKa — b)imb f(a — ß) 
immer mn rinrrUi ^rieben, mtb < 90" (inb; fo ßnb an<b 
tang-Ka — b), tang-J-Ca — /J), alfo wrmöge obiger 
@(ci<bang, tang£(a + b), tang-Ka + ß) immer »OB 

rtotrfriStubni, fobaf alfojaäbubergettKM-b) =90», 

«« + £>! 90" ». ta# für H» + •>) = 90"» 

tang4-(a + b) = co , unb fefglub atub 

«-»«•+«= 5B&54} •<-.«• +■•> 

= 00, b. f.4(a + /?) = 90»ig / w«ili(« + /?)iii<b« 
> 180° fron tatut. 

eriiuiltl. 4(a + b) = 90»j fo M am* $(«+# 
3=90», a+/3=180». aifo 

a. fura = 90°alld>/3=:9'0 o ; 

b. f4r«<90», /3>90«; 

c. für« > 90°, /i<90°. 

3» Hefa» Solle i|i olfo bie Slr'f von /i immtr eilig tt» 
|ilram(. 

2. S«t4(»+l>X90°i|Io«*«« + /5)<90°> 

(«+/?<• iso». aif» 

a. für a = 90», /» < 90°. 
. .b. 3(la<90», fo erriet Kftbr, baß W üb« bie 



«et wm ß dm aOgmtiiK etfUrnmung »lebt jrtra tägf. 
3)i !nbe|j ber bereiti«« (imn'pft SSJectfc »on/3> ISO. — a; ' 
fDiß « + /S5I8Q , babo<6* + /S<18O°fe0niiuifl;. 
!Dab>r (ft bec f»i$e SJertb. ton ß j» nebjnen. 3(i tut be. 
«Mutete (iirtipfe äBertb: wm ß < 180° — a, fo bleibt 
blc Aufgabe unbejn'mmt, unb es giebf jtvci SJujiöfungeB 

c. gär a>90°i|I/?<90» nnb bit Buf^be bfo 
ßlmmt. ■ , . ■ ■ * 

3. 5ttt«a + b)>90° i|iotl#i(a+^>90» y 
a + /S > 180°. ■ 

s. güc« = 9Ö°i(t/5>90». 

b. 3ntä< 90°i|t/3>90°. ', . 

c 3C « > 90 % f» Off P* '«ne ungemeine S3t|ifat. . 
tmntg geben. SBenn lnbe|$ ber berccEjnefe folge SBJertb ron 
/9< 180° — a f(l, fo i(i B + /9J t80°, 6a boo> 
o + /3>180°fe5timiif ( utib man mujj folgtiä; l>cn |iimi. 
pf<n2Bettb ton /Jnebmen. 3(1 bet beetebnete fpilseSBert$ 
»on/? ab« > 180° — «, fo gleit es jroei SlufÜ fangen, 
ba offenbar für belbe Sffiertje o + ß > 180°. 

69. 8«g«»<n.,.*,/9> 

Sefudbtb, cyl^ 3 - -« . , 
SDian fuebe b nacb bet Sotmel . \. 



«Hb c, y »le i» (68.). tDlatt fonit aber 0, / aua"> uth 
mittelbar aus beniSatiS ftttben. 9Iu8 (65.) erg'iebt £o> 
itamllcbleitbt: 

cotärinc = eotaiiAß + H*/totb 

JpieranO erhält man f»C cos/?tanga =? tangy: 

., . tanff S ain p 
wn(c — f ) = — ^ ^ . 

(Eben fo giebt bie Sotmel 



=, Google 



224 SriaoHsmrtm* 

San) h Nefem 8»*' «** ■>» aiif be^n BefRnitmtllg tfe 
er|te anlief ung gan) benu)et r bnra) feinen (Bimt* feftiramt. 
^r^rtannaud) r^flneUnbe|nmttn^cinmfeil. Stell 
unfrrfdwibe »kbtr folgern* ftalle. 

1. fit i(« + /°)=90° M Mg) (68.) and) i (a + b) 
SS 90°, a + b = ISO». 

.. gär a = 90» iH an« b ss SO*. 
b.gntn<90»lfrb>90». 
c fut a > 90» $ b < 90». 

2. SntiC«+A<90» i(l an4Y«a+b}<90«, 
a + b < 180». 

a. Snra=90»f|ib<90». ..' 

b. gut a < 90° (oft fid) feine allgemeine Sepitte 
munfl geben. 3(i fett berechnete (hlmpfe SSkrtr) von 
b>180°— a, foiffa+b>180», babod>a + b<180°;, 
«Ifo mufi nwn b < 90° neunten. 3(1 *** bereebnetc. 
(rümpfe aBirih »on b aber < 180» — a, fe ifj für beibe 
SBmrJc a + b < 180* , fo bofi bann alfo anei «ufiofuit. 
gen bet Aufgabe mbgUd) finb. 

c. 8uta>90»iftb<90». 

3. 3»t '*(« +ß) > 90° i|t i(a + b) > 90«, 
« + b>180°. 

a. 8«ta = 90»i|lb>90». 

b. gura<90°i|rb>90». 

c. gut a >90» fer, bet brred)net< fpige SBiwB Mit 

b<180° — a, o(fo a + bj 180", Dabo* a+b> 180". 
aifo mul man b > 90" feljen. 3|t abet bet bereebnett 
fpi«e fäSettli »on b > 180° — a, fo tpj fit beibe SBer. 
,t|e a + 6 > 180°, unb bie aufgabt fofglid) jweiet auf» 
lofimgin fäfclg. 

70. SDIe beiben borijergtrjenben gaQe nennt man bie 
uttbeftimmten galle bet fpr)arifä)en Trigonometrie. 3K. f. 

G. Heinsius, de casuum ambiguorum atque de- 
tp.rmiiiarorum in Trigonometrie, praesertim sphae- 
rica, duudicatione. Lips. 1755. 4. C. F. Schulz, 
de casibus ämbiguU , ijili in resolntiohe triangulor. 



©Pl&if^e. 225 

sphaericor. occnmmt, praemissa docrrina de.arigu- 
lo trilatero. Halae. 1825. 31«gcr bkffit fcefonbern 
©griffen »«jilgli<& iUjtners SlnfanjjegrüntKiinb Ber- 
trand Developpemcnt nouveaa de la partie e'Wra. 
d. Math. T. IL Trig. Chap. V. 

71 . S3ei ber 9t«ff6fung re<J>tn>inf liger fp^rifdjer Drei» 
etfe Pinnen / ba ber redjte Sttinfef a immer an fi# gegeben 
iß, fotgenbeSäfle eintreten; 

a. ©egeben jweE ©ejteu. 
a. £>ie beiben .Äatljeten. 

"/?. $>ie J^opceettufe unb eine £afl)**e. 

b. ©egeben eine Seite unb ein febwfct SSinfeT. 
a. (Eine Äafljefe unb ber anfiegenbe Sßmfel. 
ß. (Sine üot^cre unb bec öegeniuinfel. 

y. £>ie Jjtjpofenufe unb ein anliegenber SBJinfet. 
c Begeben bie beiben f<$(eferf SSinfet, 

72. ©egeben b, c ) „. 

am [24] unb [26] ttaitti p« für « = 90» : 

com =x coibtom, 
coij» = co»bsi»r» 

CO» y — CO* c «in /). 

Dlo*[25]"i|»aitt 



SBfo 



M. 

»4 ffcb &>«*>»« » in c = Sfr "9'* ' ■"* 8in c imm,t 
poftti« fff; fofynKtitangb, tang/9 1mm« ilnnteig* 
4tn, b. b. b, /J, unb rtro (« c, )<, pnb Iramtr wn eU 
nttfeSSrt. ■ ■ 

v. 9 

Cookie 




226 Sn^oitorntttit, 

■■" '*■££?* J i (".*»' 

©e(u*f c,/?, y( v ■' < 

2ßo(^ (72.) ijl cos c = ~|. Sfbtraucfi sina : sinb- 
= sina i sin/? = 1 J sinß [25]. 9Ilfo sin/? ss 
. !jj£,- woburtb /? »6ßig be|fmimt wirb, ba nacb. (72.) ß 
mit b immer gleichartig ifl. Subtil ifl na# (72.) 

. cot csin h co» b linb ' i 

* iin a tili a ' co» b * 

fc. j. coij> = cotatangb. 

©a (©oniomettie. 41.) iirtmet 

toB **>' ~ tanga + tangb = .in(a + E) '' 

. »c bis SEBurjel pofttiti i« nehmen ifl, ba 4-/ b«R Quabran* 
teil nic&t öberfieigt. SDiefe gormel ifl jur SSerwbmmo, be* 
fonbets brauchbar, wenn y f«$t fpitj ifl. 

74. Sin« ber §otmelfßr cosy in (73.) folgt lei4>f : 

tangb = tangaenty , lang C = tangufio»^, 
tangb + taug c -— tung a (cos y + eosß), 
taDgb + tangc = 2tangacot$ü* + t) «« i iß — li , 
taug* — tange = 2tanga«jin}&S -f r)d*lt(ß, '. ~ t)r 

' ©« bet abfolute SBerttj »ön b — c immer < 180° , ber 
abfohlte SBertb. mm 409 — y) immer <90°, übrigen« 
aber, ba ber gröfjern ©eite immer ber gr6jje« SBinfet ge« 
genfiberfletjt (68.), b — c unb 4(/? — y) immer einer* 
Jet Sßorseicben £abrn; fo tyaben au$. sin{bf- c), 
tang4-(^ — y) immer einerlei SOorjeicben, .»etd&e« a(fo 
wegen obiger ©Uicbung autb »onsin(b-Hc),tang£(/?+jO 
gitt. 3IIfo i|t jugfeieb b +c£ t80 ,'fO?+^ 90°,. 



Mw b + c > ISO«, ß + y > 180». 94t h + c= 180« 

. •"«*(/• + !•) "»«4(/'-r). . 
b. 1 taug. £f/S + )<)=;«>. #ofgli$ i(/9 + }•) üs 90», 
fS + j< = 180». , , . 

©tfutbt a, c, /S I l ; 

; 0)ocb(73.)unb(72.)Jftt 

. cot» = £2121. = co*y cotb , 
taagB ' 

.tangc' — rinb tangj-, catß sa coib tiny . 

©efucbe a, <>,}• | l ' - 1 

Bio* (72.) unb" (73.)'6ot man! «..._■ 

■inb co>« 

HÖT ' °* ,0=a J5Jb » 
eoijr = cutHtangb . - 

Suä) ifl sln^ = 5£ä. 

£>ie Uluflöfutig beruhet auf bet ©e|timntuna, »on a, 
roetcbea burd) feinen @inue gefunben wirb, unb bemnacb 
Itvej 28ertbe (ja&en fann. ©eo 

1. /S=90», a(foa + /3'=180», a + b=180» :• 
(68.). : »er b s= 90» , bo ß unb b »on einerlei 3rf 

fab ( 72. ). Slfo auo> a = 90» . 

2. /3<90»,« + /S<180», a + b<180»(68.> 
b < 90» (72.). £irr fann affrj a S 90» feon. 3|! 
jebocbber beregnete ItnmpfeSHSertbbona 5 180 8 — b, fo_ 
würbe a + b > 180° ferm, unb man muß alfo a <; 90» 
feilen} ble Aufgabe bleibt folglfcb nur bann un&effimmf, 
nenn btr beteebnete |iumpfe SJerif) ua a<180» — b iff. 

3. /S>90», et + 0>18O«, a + b > 180» 
(68.), b > 90» (72.). e« fann alfo biet »lebe« 
a £ 90» feon. 3(1 jeboeb bet beteebnete fpllje 2Bert& »on 
aglSO» — b, fa »ürte a + b< 180° fenn, unb 



228 SMjonoitKtrie, 

man muß H<!<i(b a > 90« ntjmtn, fe bafi elf» blt auf. 
gäbe nur bann unbeßimmt bleibt, toentt bec berechnete 
fpilje »«$ wn a > 180» — b i|l. 

76-, ©({.eben i, /9 I fc 

«na : f iu 1> : = «in« i nnß = 1 :. tin/f j 

olfo sin b = sina sih/?, wobutdj b oimt Broribdirigfeif 
beftimmf »itb , ba «J mit /9 alei(&artf« ift ( 72. ). ferner 
ergiebt ficb bureb fSertaufdjung' ber ©uebftaben leltbt 

colj} = cot« tange , 

P.<nB ' 
tatige :^ — p = c.o<£ taiifia j 

Slutf (72.) tt^itt mdn 

cot 7 = com taagf , 

77. f&ttümß, f | ffl ^ 

fflefutbta, b, e j 






78. färben Untcefcbfeb jrcif#cn btr ß-iportnufr wtb 
einer SLattyto §at tyvoni) (Puissant Ge'ode'sie 1. 
p. 64.) folgenbe -gornttln gegeben, &a 

»in(a-^ü) ^ «!ua cüso — • coiO »lue , 



l(*).-.#-gg(*i.i 



fo «IjM matt Uic&t 



_ »ab ooic , . „ 



. . ' 2tinO' - 

» «BS CHI C , s-^ 7 '■■ 



=, Google 



, :Sj>Wri$e. 229 



= »in boote; t*Mg^/S 
= — g ooibcotctang^jf 
= cosaungbUng|jJ (720 

<S6*n fo 

= cotbcom" + jj~ rin (72, 7i j 

= coib + {-,— - — eoibiinc frinc 
t" n P \ 

= ca.h + jjr|- — cotbiinc |tjnb»inp 

1_ 



cta»g4/J 



Ung(* — c) 



coib -(- oiiih sin dang 1 £ 
_ c°»»taogbfpg4|ä _ 
" coib + wob sine tatig |jS 



79. SR e p e C (Mint*. Logar. canonis despriptio. p.33.) 
Ultb 9Bolf in öeit Rlem.Sphacricorum etTrig. sphaer. 

100 — 113., tyabtn fcie Sluflöfmig 6er retblwinrfigenfp&iU 
rifctxn ©reietfe auf eine a(Ia.e meine Siegel ju bringen ge= 
fudjf , welcbe iefj jjier na* SBBolf barpeUen will. Sfflan 
benfe fid? Hämlid? mit Ue&ergeEjung fce» regten 3Bmfe(6 
feie 2Sinfei unb ©eiftn in ffetiger 3o(a.e un& neunte irgenb 
ein ©töcf als mittleres (pars media) an; fo nennt 
SBolf biebetoen unmittelbar taran liegenben ©türfe »er* 
butibene, bit von bem mittlem burd) irgenb ein anbert« 
©tfief getrennten bagegen getrennte @ttfcfe (partes 
conjunetas et sejunetas.). Seid>t erljellet, ba£ bie im 
SOorfjergeljett&en gefunbenen gormein jur tÜuftdfun^ ber 
redjtwinfligen ©reietfe |iä> audj auf folgtnbe %tt bar|le([en 
(äffen: v 

v cosa = cot/Jcotj'' (76") 

eo»(90' > — b) = cot y cot (.90° — c) (72), 

co» (90° -> c) =; cot jS cot (90° — b) (72), 

cosj* =; cotacot(90 B — $ (7J;, 

co«)' = cot «cot (90" — b) <73S 



230 Srigonomefm. 

9a« fcirfen ^oraeln folgt 11 tt mittel*« ©elf* jtveittr 
©afj (o. Q. 0. $. 108.): In omni triangulo rectangulo 
spbaerico, cujus nullum latus est quadrans, sicru- 
rumB, c complementa ad quadrantem consideren- 
tur ut crüra ipsa , rectangulum. ex sinu toto in co- 
sinum partis mediae qequale est rectangulo ex co- 
taugentibus partium conjunctarum. 

ger nee ift m$ Um Obigen : 

e« «st» (90* — b)rfn(90» — c) (73), 
coi(90 a — b) ^»fm.in^ (73). 
cm (90* — e) = «innrin)- (73), 

. co*l =i Mnr»in(90 e — b) (72) 
coi,. = .in sin (90° - c) (72). 

SDi« gieBt SEBolf 8 erpen @afc (a. a. 0. §. 100.): In 
omni triangulo spbaeric© rectangulo, etc. »je »crfjer, 
rectangulum ex sinu toto in cosinum partis. mediae 

aequatur rectangulo ex sinibus partium sejunctanim. 

3n obigen jeljn ©Itidjwngen, atfo aud) in tiefen beiben 
SKegefo, ift offenbar bie 2ltiflöfung Ader bei recfrtwüifligen 
©reierfen »orfommen&er gittf enthalten, 9R. f. au$ 
SBoIfe rriaonotn. tafeln. £afle. 1773. @. 3. 

Stimmt man nidjf (Tott b, c, fonbrrn (latt /9, y, a 
bie (Xomptementt; fp <rf)atten bie Sotmeln feigen*« ©e* 
ft<üt; 

W{W —■ ■) = tangf.QO» — fltang^ — y), 
»inb = tangOO" -fr r )t»ngo, 
•ine =.t»ngt90° — A)»"«I». ' 
•in(90° — /)) = Wne(9D° — a)tapgc, 
/ .in (90° — y) as tang (90° — ») taugb. 

Sinus tQtus 'cum sinu partis mediae acqualis est 
taiigenübus partium circumpositarum (conjuneta- 
ru»J(fl.a.O.$.Hl,) 

»in(9Q 8 — «) = coibcotc,, 

' linb ==co.(90» — »Ooo»^ — ß), 
»ine = 00.(90° — «)co«[90 e '— }■), 
., »in (90" — ß) ==j cos (90° — >) co» b , 
■in (90° — }■)== co. (90« — ß) fco* c. 
Sinus totus cum sinu partis mediae aequatur cosini- 
bus partium oppositarum (scjunctarum)(a,tt,0, §403.) 



. 23t 

SB. f.J6« biefe Siegeln, brren Sntrgriff 9Bo If Tri- 
gonometria catholica (Elementa Mathes. 103.) nennt, 
Bi ermann de regulis trig. sphaer, catholicis. Wi- 
temb. 1766., unb einen QfuffoQ »on ^tngre' in ben 
Me'm. de Paris. 1756. Sfontucla (T. II. p. 23.) 
labelt tiie fraiij6(tf*tn ®u>iftftru>r, baß fit tieft Kegeln 
übergingen, unb lobt 3Bolf unb bie (Engtanber. 2>a jcbes 
ftbiefroinflige Steierl in j»ei redjtrcinflige jerlegt »erben 
fann, fo ftnb bie Siegeln aud) bei ber Slußöfung fdjicfiotnf^ 
liger Sreicrfe brauchbar. 9Iucb auf ebene &reiecf e pnb fte ' 
amvenbbar, wenn man flott ber rrigonometrifeben Sinien 
ber »Seiten bie Seiten felb|i feijt. 

Sfufläfttn« fp&iärtfc&er ©reierje ,i» 6«fon? 
berit 8<S!len. 
80. 9ui»p90ecgiebtfi((> 

■ .■»■=« - i 






(•"-» + i)r-i 
£at man nun j»ifa>en x unb y bie, @(eiä)ung tang^x 
= ötang^y wo irgenb eine conftanfe @r60e bejeidj- 
uet; fo ifi . " 

.«=1 - i _ «(.?r=T_,) 



morau« fi<f) leidet ergtebt: 
,>r=i = ,-ir=r. 



. • Google 



■233. Srijoromeftfe, ' 

3b 3(ji(5»os auf ten «rfhn anstaut für .<r^T erhalt 
man ltl$t: . 

-io J »(i-«n rr T) 
= J r^r + ,(^r=T-.-n' ::: i') 
+ i.'(. 2 J^=r-.- ; w=r) 

+, 

+ }.'iMTr=r + -. . 

+* = i 7 + "*»iJ + i^tiuij 

(l«ä<ittt$miM. 25. «ty. I. @. 877.) 

3» Stji^uns auf toi latittn gMbruf fit «"l^T j|H 
«r=r = - jr=r + i«i«(i - -V 1 ^«) 
- _ „,.(,- !.-*=*) 
= - jr=r - i(.rr=r -.-jrqr^ 

-äh(.w=r-<-*r=r) 

«= — jr=T - -|-ii»y.r=r— Jjtin2j.r=r 
-^jta3,.r=r-... 

!• = -»- •j}-«"7 — äJ?- 1 " 2 ! 

. -s?"T'i-n' ,to41 

SMtdnt tir btitrnt fäc Jr gefuntititm Ditifyn »Irt öf. 
fenbac imitier cenvtrgiren. 

Da tang^y = i ung^x, unb 

Dg Irec ;v GOOgk 



. @ri*#e. 233 

'S" 1 i^e' 

F" i=nr5 •.-■.. 

■ff; fo erhält man fabt bur$Sßertaitf<imngto S8uc!>f[a6en : 

+y 7= ix — t»üi« + i«'«!!?« 

— i« J »in3i+ i« 4 .«in4x — . . . 

= _}. + i.dj 1 «-J T «i,2x . 

81. Zittau« ergieBt fitf) (int merfreürbigt SiifUfung 
feurcr) 9Wr>en für ben Sali, wenn |twi ©eiten um) ter ein= 
gefcjjlolfene 2Binfel gegeben fürt. SOerglefcfct man namlicfc 
mit bcr affgemeinen ©ieicfrung 

titng^i = Stangly 

tie OTeperfc&en @feid)ungen: 

ot*r 

fo rflin Se|«9 «uf tii etfh: 

ii = SO" - *(/> + »>, *y = 4., 
« == £}» - § 8 «* '" ®'»"S ""f W< *"""'• ' 

i« _ 90- - w - r ), 

3Kfonad)(80.), t» 

_ Mtru.«) — «ea+lb — Q 
.*■ " - «o.Jlb + c) + miß - c) ' 

auoi^bcoi^i; c 

*tf + )■) = t- — *- + ^J^~ 



-sg— +sg*- 



234 SrigOOMBrfnC; 

. = *■ + *• -issr - " 

, cot-tc 1 ', _ eot-i« 3 . 

.in^fb + e)- rinjCb-c) 
** ~™ »mi(b + c) 4. rfn4(b — c) 

2coiib«iaic tanf £« ' . 

J0> -r)= *«-♦•- ;=§**■;■" 

UDffJc . 



= *« + »• + 



Uag^t 



. . + ans d.2. + .""ff" ^.3. ■!■... 

SfMiOS + y); i(/J — y)trgfcbtfi*[<i*</'»nt>j<. 

35it ©cite a finbit nun auf fotgcabe 9trt aud) bnrä) 
eiiK5Xtu)e. Etift 

coia = ninbitnccoiB -f- cotbcoi c 

1 — ainbaiaccosa — cotbcMO 

«.»..= . j — , , • 

t _ 1 + iin b »in e cot a + coi b wi c 

S)en3Iu«titU(ffäfsinia a feiJ(man=p* — 2pqcos«+q?; 
affo 

P 1 + q 1 = - C " CO ' - , pq = juabune. 

, 1 » 1 — (1 — St ainjb')« — 2«m*c') 
p» + q» — ^_ __i 

's ■in^b'co«!« 1 + oo«^b 1 «n|c» - 
2pq = 2aiai hcoijc . coaj bsinjc. 

„ Ü>if ©urnme tiefet bctben ©ttitöungen gie&f auf bfitwii 

©citcn ein »oHfornmetiee Ouobrot. SHfo fß enttvctxr 

p s= iiii|bco*4c, q sss coijbsiiiji:, 

öfter 

, p sä coif bfinfc, q =s sin^bcM+c. 

2Hfo «ittffbet 

- p" iiu.jbTJoiJ-c *"" tangjb ' 

„. ■ .Google 



j£ ■tiUbcoa^c 'tangib 

p cös^bsinic tang^c " . * '; 

3ft«r p 2 — 2pqcos«+ q a ==sin4-a a 

.Bp. -3p,.« 3^! : — +q . . 

= Cp - «•• r =!')cp - q .— *=») 

woraus tf#, wenn man für -2- ben einen ober ben attbern 
obigen SESert^ feßt, (eUbt ergle&t: 

lognain-^it = logii(3m|boos?-(;) . 

tlna^c tanglc 1 

= lo 6 n(«.Hb™ i c) 
fug ih fngtb 1 « 

"^ taug \ c "™ ÄtaBf-^ c 1 , """ * ' * 

©eist man 

-coa^-a 5 = p* + 2pqcoss .+ V' 

fo erlitt man nad) einer gang ätjnli^en (Enflvtefefana, : 

logncoi^a = logn(cof,}bcos£c) 
= log.iCunib.inlc) 

82. 58ersfel$t man Me «Jätmcütt Srtiifciins in (So.) 
mit tvn Sltptrjtytn @[ei<t>ungm 

" ■' ' - ■ .-' : »„«„Google 



fo erhält matt U\ä)t dn* aufljfung. burd> tütifyn für b«t 
Sali m a»<> SBinfrt unb bie3n>if(ben(iiK gfgttai fl"*. 
3it »<jug «uf Mf afte Sitzung i|t ^x == 4(b + o), 

_ .w|> - ,) - «mW + r ) ■ 
' «<»lu> — r) + "»1 (# + r) 

•.* + .> = ♦. + '£&'".' 

Cfltt-y . 

^Ungi/t"" 



= -4— E 



>±&L_ Miu2 *„™llL 



3uag±/J> 3ung^ 

• "' »iaHfl - r) + n*i(ß + y) 

_ _ 2 c°«| JJiin.fr _ _ *»■«■<■ r 
— 2.tm\ßcfM%y taug J/* * 

*»-<>-*.- SS?**» 

. 2ung4^ ,m -" T aui J gj r >* ,niW *' • 
21uö tiefen 6eit>ett ©Uicfriingm fmijet man b, c. Um nun 
tio($ a'itt pnbeii, »erfeije man j'e&en S3u#|hbeii in be» 
gormrtit fflr lognsin^-a, logncos^a in (81.) mit ei» 
' nem3nöer, fo bog tiefe 8 w ««to für baß ©upplementor» 
breite? gelten. £)a abec immer ä' + a = 180°, b' + /3 
= 180°, c' + y = l80°, a' + a = 180°; alfo 
*a' + -^«=90°, $b'+l/?=^ 90% ^c'+4- y 
= 90°, £a' + *a = 90° ift; fo ifi sin 4Y =00*4.«, 
cos4- a=;=s ' n -i «^ sin-J-b'=:cbs-J-/i, cos^-c'n^sin-*-^, 
tang-f b' = cot£/?, tang-} = cot £ y> cot^c' 



= tang^y. . 9fo# i|J «' + a ä= ISO", 2»' + 2a 
= 2.180°, 3a' + 3a = 3. 180°, «.f.f.j alfoooso' 
= — cosa, cos2a' = cos2a, cos 3a' ^ — cös3a, 
«. f. f. 

lognooifa = Iogn(oo»f0iiii4f) 

, cot4r cotiy 5 , „ . . . 

= lo«n(lillj^«i«4 r ) 

+ 2Ü£« M1 -: ^Ul c«,^ + , - . . 

lognutijs = logaftiuißria^y') 

~ t«ngi ? CÖ " "stang^*" 12 *'-'-* "' " 
taugj-v tanciv 1 

-W^~*-5sltJr~"«--;'.-, 

SR. f. ÖBct biefc Sntrcicfetungcn Legendre Geome- 
crie. p. 420. Littrow theoret. u. prakt. Astt. I." 

S. 10. 

- 83. ©oll ou« beit brei ©fiten eine« fijtySrififcen IDrei. 
td$, «onbennt jroel/j. 95. a, b, na&e = 90° |tnb, bet 
»on tiefen ©eitert eingcfcbloflene SEOinfef gefunben »erben; 
fofefce m<tna=90°— a,; b=90° — b„j- = c+j^ 
r»o na* 6er äSorau8fr°.una. i, , b, , x nur (lein* (Srtjj en 
ftn». <E8f|i 

coic — cosacoib _ .. 



. coia, cojb; 

» +. .)0>, -jb,' + . 



(l -4»,' + . „Hl - *iV + . -). 



1 — i»,' — Jb.» '■ 

tttntt man ©rSfjett fcer t-ieefen Ortmutig »eritrtdt*C5ffTtjf. 

co« (c -f- i) — coiccoir — «inciini '' 

statu (1 —4«' + . .) — «acl« -Jt 1 + ..) 

. s= bois — xtinc , .._ . .1 ■- e •.'•■j 

wenn matt Uo$ fcie «rffe ^otettj »ort x /bei&efjätt. 2llfo 



238 , Sriflönomefrfe; 

' _ (cwo - a.b,)(l + »■■» + .+»;$ 
1 -W»,» +b,»)» 

Setjattman tumbtcfi^ 2 , b^bei; fo ergiebt ftdj 

coi« — Xiinc c= cotc + $( a i s + hi ] )co»c — », b »t 
x — "■*' ~ *<"'' . + fc. 1 )wc ^ 

- 3>ie*giebf, fuU(a, +b 4 ) =rp,' ^(a, — b t ) = q, 
a i =P + q,.B 1= p — q: 

— p* taug je — ij 3 cotj c. 

3n©ecunbeii i(!,n>etin au$p,q in©ecutibcn auögebrtUf f pnb: 

x = H_ taaglti — 3-cotlo. 

33ei btt Dfebuction bec 3Binfet auf ben $ori)ont in ber 

©eebäfie i|f tiefe @leid?ung von baußgem ©ebraudj, ba 
bie Ebene be« gemeffenen SLOtnfcte fetten bebeutenb von fett 
$orijonfafen abweist. 

. . S4.@inbbie©eiten eine« fp^rif^enSceUcfeinSejug 
auf ben SKabiuS bec Äuget, ju »ela?er es gehört, fefcr 
ftein, fo wirb man auch mit SBortfceil SRabemnggformetn 
gebrauten. 3|t r bec gafümcflet tfec Äuget, fo ftnt> 
F"' T* 7 ^ @«f«n beß mit bem gegebenen gleitbwinftU 
gen ©niecfs auf ber ÜbecfWcbe einer Äuget, beren J&atk 
tmfer =±= 1 if». 3I(fo 



Wy, -7* T W* '^nw ® cü * e fü*-' GntwicMt man 
bie trigonometrifcben Sinien in Steigen, fo erlitt man mit 
SBetnacbtafligung aliec ©lieber, beten ©imenfion b« »iecte 
uberßetgt: 

ha 4- c 1 — -■' . a« — y — g* . . yc> 



- ■ fco ( b- ■ c? \ . , 

SDhtttipticitt man nun im ßabVc ujnb, SRantor wie 



,@BWriföt; ??9 

. . . . T 5? + . sp • . ; 

fo erbätf nun immer mir ^Oernatfcläffitnuts tcr ©lieber fcort 
$of)ern ®ime'nftöneri als ber vierten:. 

tDlan tenfe fi* renn ein ebene« £>reiecf «, ß t y, , belfert 
©eifert ben ©eitert a, h, c bee gegebenen fp[)ärif4)en 
Dreierf» gleich (int; fo erjiebt ficö au» (7. 9.) cuje«; 

■warnt ■ 

bo . '•'■■' I 

CMlSCNf, — — Eins, 1 . .! 

©<6t nun atet o == o, + x; fo «ijj& nun nie in (83.) 

■ coift — epio, — xiin«,. ... r, 

9Kf03i=r: ^ sine«, , unb fo(gli$: 

, bo . r 

" = "'t SP '""'•.,. ; .-- 

t — P* +5P" n Ä» ' ; 

. ab . 
- r — ri + g^*in)V . , 

Sejeicbnet nun f ben 3i4ebeninr)a(t bes Sreietf« «, /3, /,; 
foi(i(190: . , 

aifo .=..+£. : ■• ■'■!■ 

»-r<*äpi ■ ■ ■ ■ ■'-■ -.1 

'. «i + J, + r. = • + * + r - i = 16W, '■'."' 

tto«v wie mit weiter »wen mit tDMjterem frbut werben, 
Der fpijärifc&e <Srce(i bes £>reiecfei .«/?;' jenon»« wirb, 

aifo 

., = .-*., '•"••' 

Jjietim« erätett rjifb-.ber nterfmlriig* @a$, bof ein 



54ö SrigowractHt, 

fptjSrifdje« ÖreJetf, beffcn Betten gegen ben 
Jjialbmeffer ber .Äuget, ju weiter es getjirt, 
ff^t ftein flnb, fidj wie ein ebene« aufUfen 
', Uff- wetdje« biefelben Seiten a, b, c, unb 
b+e "SEB-I-tt f c t a — 4*' ß — $ g t y — ^'e^at, ttxo e 
ben fpljarifcben t£jrce|j bce gegebenen ©reiecfs 
be}ei$ticf; b. &. ben Ut&etf4J»f feinet brei 
SBinfel ober 180°. 

, ©ieferfürbie@eobafie widrige ©aij iitöon Segenbre 
gefunbenworben,}uerfTobne33ewei5 in bt.ijMem.de I'Acad. 
des sc. 1787. p. 338., mit einem Seweife in De'lam- 

bre irfethödes analytiques poür la determination 
d'un arc du lne'ridien. Paris. An VII. p. 12. 13. 
SIucö £agrang.e f)eibdfetbrn@«e.intflitm Memoire" 
sur la Trig. sphe'r. im Journal de l'e'cole polytechni- 
que. Nr. 6. -ferner f. m. fllld) Buzengeiger Ver- 
gleichung zweier sehr kleinen Dreiecke, von glei- 
chen Seiten , wovon das eine sphärisch , das andere 
eben ist. Zeitscbr. für Ast*. BdL 6. S. 264. Kßon 
ber SStrgteitfcung ebener unb fpfjär. ©reietfe IjflBbetf tuieb 
uraltes in bem SlnffaJJet Analytische Betrachtung 
* ebener und sphärischer Dreieckt; und deren Analo- 
gie. Abhandlungen der math. Kl. der Berl. Alt ad. 
für 1816. 17. Berl. 1819. S. 65 — 133. ©eljr xtkcU , 
würcige (Erweiterungen tiefes ©«(jets f. ra. in ber überaus 
mistigen $lbbanbinng von @au|t Disquis'itiones ge- 
nerales circa superficies curvas. Gott* 1828., bit 
audj für fp^roibifdje Trigonometrie, wovon nadjtier bie 
SXfbe femt wirb, in vieler Sejietjtmg »on großer Süchtig« 
feitift , 

85. e täft ftä> immer aus ben gegebenen ©törfen br* 
qU ein ebene« betrautet en fp$arifdjen' ©reietf s beregnen/ 
tofftelft bei in (19.) gegebenen 5orMetnfärb(R3m>ft tU* 
«er ©reiecfe. ©enn b,at man f , Jo ^af man awb e — 'jj 
in Reiten bes £a[bmefTec«j- ba patärtjtb r ats gegeben an* 
jufeben jjl. -■,-■, ; 

nh 3|fttW* bte atjäfTfir in iyvfö&'Mtimil& 



feS, befielt £al6mefi>r = 1 iß, betrautet, enthaltenen 
©««mbctij fo^ofntan, ba Are!" — sin!" gefegt roer= 
btnfann: 



SEBfrm j»93. b, c, k gegeben; fo müßte man juerff bie 
Sängen »on b, c aus bem gegebenen DtabiuB r, baraii« ■ 
f =;^bcsin«, mtb Ijierau* mittelft' obiger gonmlx be» 
rennen. "Darm betrachtet man baS gegebene 3>reiecf als 
ein ebene«, in wettern b, c, « — 4.x gegeben ftnb, 
unb berechnet ftterau« a, /3 — 4.x, y — £x, woraus 
man bann, ba x fd)on gefunbett, au$ a, ß, y finbef; 
a muß man bann nur noä) in ©eeunben auebrürfen. %<a 
etnjetnen giflen wirb bie SKecbnung' noeb einige 3Ibf«r j'un* 
gen jutaffen, bie lcia)f aufjtiftnbtn ftnb. 

3>ie Suifl&fimg fp&Ärifc&er Meierte bureb gjlrfef 
tmb Sfneal tebtt Cagnoti im Traitfl de Trig. p. 339. 
hierüber finb mit ÜReljretem bie 2eb>bücber ber.befcrtpttsen . 
©eometne nacbjuf^en. 3- 2$- Lacroix Essais de 
Geometrie sur les plana et les surfaces courbes. Pa- 
ris. 1812. p. 37. 38. 

-$(4$ettin$'alt fp$£rif$er Stetere. 

86. SBon bem gtacbenin&alf fpfjarifc&er ©reieef* ift 
ftbon in bem Strifcl Jt*ge(. 35. ff. getjanbett. ^nbejj 
wirbeä, umlaöSanje im ^ufammentjange j« überfein, 
trienflcbfeim, ben Sunbamentaifalj E)ier nochmals ju wie» 
betreten, ba überhaupt ber geometrifebe Beweis btffet&en 
nityt immer gati j ftreng geführt wirb. 

87. SEBenn in jwel gleidjen Greifen (Fig; 54. ) 
AD = A'D", AB = A'B' i|r; fo ffnb bie SBinfet BAD 

B'A'D' einanber gleicb. Sie« folgt teiebt aus bec £en= 

grnenj ber ©reierfe ABC unb A'B'C'. 

,88. 3Benn auf jwti gUicben Äitgelftöcben (ober autb 
V. Ö 



24* SttemtynKtHeV 

auf einer) jtwi Segmente »on jwei gleite» $3og<« 
größter Äugelftetfe, unbjttititinbern Sogen, We ju jw*i 
gittern f tetnern Äugetf reifen gelten, eingef*leffen »er« 
ten; fo (int? bie beifcen @co,mente efoantw ßlei*. . - 

; @inb namli* ADB, A'D'B' (Fig. 55.) bie Brtben 
größten Kreisbogen, fo finb, ba .blefl Sogen einanber- 
gUi^finti, au* bir ©sfjneri AB, A'B', unb folgtub an* 
bie (u gleiten greifen g^irenben©egme»te ABB, A'E'B' 
einanber g(e(*. Segt man nun größte Äreife auf bie ©elj» 
nen AB, A'B' fenfre*t, fopnb EFD, B'F'D' bk SWd. 
gutigswinfel ber ebenen ADB> AEB unb A'D'B', A'E'B' 
gegen einanber. SEBegen ber ©tei*[jeit fcer ©egment« 
. AOB, A'D'B' unbAEB, A'E'B' finb au* »'* $«)«« &«* 
felbenglei*, b. i. FD=F'D', FE = F'F/. 2Hfo iß 
tta*.(87.) au* ber SßJinfel DFE btm. SEöinfet D'F'E' 
glet* , woraus unmittelbar folgt, baß fi* bie beiben Stu* 
geln fo in einanber legen [äffen , baß bie fpijarifdjen ©eg= 
menfe fi* becfen , atfo einanber glel* finb. 

89. -Jniei fi^arifdje ©reietfe aßy, a'ß'v (Fig. 56.), 
beren «Seiten einanber glef* finb, finb bem gtö*eninf>atte- 
na* glet*. aßegen ber @lei*b*it ber «Seiten finb bie 
©eijnen aß =± a'/y, ßy = ß r y' f ay == ay'. Süfgti* 
bie ebenen 5Dreietfe a/fy', a'fi'y' einanber cong'rneni, unb 
bemna* bie um biefelben betriebenen f leinen Kugelf reife 
elnanbf r glet*. SUfb finb na* (88.) a*^ bie Segmente 
o = s , & ^ s', o" = s". SQJegen ber @(ei*b,eit btt 
Keinen Äreife aßy, ctß'y' finb aber offenbar an* bie bei* 
be'n entfpre*enben 2Ibf*nirte berÄugelflÄ*e einanber, unb 
fotgli*, wenn- man von beiben bie glei*en ©rößen 
a + & + </' unb a + s' + s" abpe^c, au* bie fp$Üri* 
f*tn ©reteefe einanber gfci*. 

90. Sßenn fi* auf ber 0&erfW*e einer Jgwftfuget gwei 
größte Äugetfreife in a (Fig. 57.) f*ne"tbin; f* Iftimatt 
aßy + ade bem ja bem SSinfe [ a gefyörenben @egment 
ber Kuge(fW*e glei*/ weil, wenn man fi* bie ÄugelfreKe 
bi$ ju iljrem (weifen ©ur*f*mtt £ nerlängerf, benf t ,.. bie 
SDreietfe ade, ßy% offenbar gfei*e @eifen Ijaben, unb . 
bemna* baa legte« ftatt be 8 erfiern gefegt werben fattt 



, QSfWfäb- '■ ,- 543 

(89.), offo «ßr + «3> = «ßty, wefefc« wh tut* 
Segm abejetdttten »offen, ift - ■'_--- 

eint fit |w« fo(o> ©(«mmte Segm « uns Segm/J 
6l((iofcblie(ien6en35oa.(n, wie immet, fctteuifitt Äugifc 
helfe; f» 9 'P«n |u äleidjen SSBinfeln offenbar 9 Ie'icbe 
©egnten«, unb « i|i fotojlcl; für a = ^9 ud> Segn? q 
|Segm/S. älf» 

SegHin : Segmj* ss ■ i ■ 

(SBet^taif. 9. unb H.) 

Nimmt man Kar)« tat fi>t*Wf<ben ßtfaWfli j»t 51* 
«fcMinbeit, tat rechen SSJinfrf ,|uc SBSInfeleiaj&eit «u 

f>f> .' . ' : - 

S*gm« : 8 = » : i. ■ ■ ■; 

Jfff« Segm« = ^'= 2o. 

91. Saft rnoit 31c« wie wtjffe f» i(i (Kg. 58.) 
«E» + <«J« + ßtx + ßfy + n 3 -j- yStx =5 6er jgulfc 
tua,el + Ittßy, 6. i., wenn wir toi gfäcfcemnialf 6« 
?rei«fta/%b»rcb Abejeicfmeo, nad>(90.): 

Segm» + SegmjS 4-Segm>.= 4 + 2A 

2" +2^ + 2r = *.+ 2Ä ' 

A = . + /> + , — 2 , 

6« fp6Mf*t Ortont ai» g[a*eneinr>t'f , b(t rtcjte 88lnfet 
als SBinfeteinbeit angenommen. , . 

2>a A ni« niaoll», au* ni4t = o fenn fanit; fo er= 
gleit |i* au? Mefef Somiel 6« btfannfe @a&, 6afi 6ie 
irei SÜJmfef eine« fptyh-ifcben S'rrietfs immer jufammtn 
ttjer,t at8 2fi betragen. IDricft man 6ie äBinfef in 8ro. 
»en au«, nn6 fc«t 6i( jonje Äuati|ttcbe = rft'nj 
fowir6 

ö 490» T 90 o+ 9O° $F|' 8 . .' 

., (--M-t-- - lao-).^» 

180° 

S. wegt. 6en 3bt. £u$(l. 35. 36. 

. 92. fMon r>be mm ein frtjätif*« SBielecf »on n @ei. ' 
ten. Die Summen Set SBinM bff ©reieeft, in niela>e 

Q2 .,„„,, 



2*4 Stigwwnrtrie, 

« burc&SiagonaUn jttUgt Wattn tum, feten s', »", »"', 
u.f.f.; fofints' — 2, s" — 2, »'" — 2, i|. f. f. tu 
gljcbcnranme tiefer SDreierfe, olfo s' + s" + s'" + ,. . . 
— 2(n — 2)"==«,'— 2n + 4 ter giarbmraum be» 
Sßielecfsv wenn V tie ©imune feiner Sßinfel beseitetet. 
©int WeSEBinftt mBcaten cm6gebrütft, fo i(J tec giäcben; 
&ir)o« te« SBielecf« ""■'•. 

_ I • 1 e. _ » . !2I|. 4 jI= 

(90° . > ' : 90° ( 8 

(« — (u — 21 ■ 16b')'.r'» 



T>a tec Släc&jnint)ätt 'teiT fSfeUeft nie < o werbt» 
fann; fo folgt au« tiefer gormef (eia)tr biß immer 
s >(n — 2) . 180» , ober ■ > 2(n — 2) . 90°, 
s > 2(n — 2)Rift. äuä) if( bei einem [enteren fpb> 
rifcben SBielerf immer s < 2n . 90° , » < 2nB. SBltt 
nJmlitb.s > 2n . 90°, i> n . 180» ; fo wirr ter 3(4. 
cbentnr)alf > 2r*n, t. i. > o(8 tie SiJcbe tet goibfugef, 
rotlcbes, »eil tos SBielecf ronter fetn foU, . nio)t ftotf fln= 
fcen fann. 

lieber tie JlncSen fpr)ärifd)er SBielccfe f. m. anä> <Jue- 

tclet: Memoire sur une formule generale pour 
. de'terminer la surface d'un polygorie-spherique for- 
me's d'arcs de grands ou petits cercles. Nouy. Mdm. 
delAcdeBmielles. T. n. 1822. p. 105. 

93. 9iuS bem gSorb>rger)enbeii ekelet, bog bie 58e= 
reebnung bee" 3nr)aUe8fprj<lrifd)ec ©reieefe gonj auf bie 
Serecbnung tee fpfcarifdjen (Erceffee (84.) jurucffommt. 
2Bir fa|fen baber tie raerf würbigfren gormein für benfelben 
biet jufatnmen. E« ift immer e = a + /3 + ;/ — 180°, 
^=^0 + ^/3+^-90». 

3*. tag t , _ ^ j ( . + , + ,, 

_. »"■*(* + f\mjr —'■"♦(* + QSSÜl 
- »»«. +toc°>lr + =™*l" + ««»tr 

_ [o.}[»-b)- co.jli + b)|dn, ,.„ 

^_ |cw4(a — b) — cotjfa + ajUiny 



eWrifö*. a«. 



•%t man nun nad? (640 












1(1 - 


- b): 


>in(tt- 


-c> , 


_ *rc 


b) - 









2*in aiiub 

fo erraff man tetd?t 

u» i *- grr 

8i * 4co*iBcoi4bott»i(« — f>) — cm(( X b) + C 

©« {Remter i(i =s 

4cos-j.B 3 co»4b a — coiacotb + c0 *° • 
f=(l 4" co*a)(l -[- coib) — cotaootb + coao 
r.i 1 .fcoi* + cutb + coie. 

». f. au* (64.;: «,«. = , + ;ffij# 4- .... 



- 1 + «... + «>.b +; 

«in h »in c ti 



1 + coia +-co»b 4- co«c 

95. S>« na* [24.] . 

coaa = coiacotb -|- iinadnb «nj- 

ifl; fOlft 1+ co.a + CMb + COI« =3 

1 + com 4* cotb 4- coiacotb 4- tili a tut booif 

' = (1 + co«a)(l 4- co.b) 4- «ina« n bco» r 

=: 4ooE^a'coi ! : b» + Wn^acot^BiiuJfecot^bco»)'. 

©ei}f man nun bic* in ben Shtßbrucf für tang-j-e, jer(ea,e 
ben ^äfjfec in4sinf acos^asin^-bcos J-asiny, unbbi' 
»ibirt bannet« unb Dlemtermir 4cos£a 2 cos^b 3 ; fo 
tx^üt man s ■ ' 

OI 14" tangiatang^bcoiy 

96. Olaa) (94.) i|t 



cot4« 14- co* a 4- cö » » 4- c< " c 

S&er ct»}' = ■»*(■ + * + ?> 



; v Google 



240- Srigönfctttffrö, 

m rin4(. + flco»iy + eotf (• + «tin+ r 
= —2 zzji * L»n 

coijc* — h) — (coitrt — b) — co.$(a + bj|töi$V 

■ *co«|«coi|bc(n|(t— b) — coi(« — b) + cwc 

1 + coia + c*b + enie 

ȟiii(940- lifo 

21"L = 4riii4«co*^ii(:Di^bcoiic, 

■ . rr . 

"*** a ftcosj.«cpi|boo»|o * 

8djJÜ#, &acos£e = sin£« : tang£etft, tta$ (94.); 

l+'c«w + co.b +c<n« 

Sit görnwt für sin^e f. m. in einer äBIjaubfung von 

SeftttJ De propri«lat. circulor. insuperficie sphaer. 
descriptor. $. 13. Act. Petrop. 1782.'j bie fik cos Je, 
auf bappefte2lrt bnsitfett, in Etiler i variae specüla- 
tiones -super area triangnlor. sphasr. Nor. Act. Pe- 
trop. T.X. ■ . - 

97. gerner ifl nmt 

' 1 + 2ww4«".— * +-2 8014*' — 1 + 2coijc' — 1 
S * " ~ 4co.it co. 4*00*4« . 

_ CO.J* 1 + CO»T b ? ■+ CO.JC 1 -1 

" 2cO>iaOOl4bcOl40 . * . 

«4# = 2« n i.' = 



■ — cö.jb' — go.Jj.tt» + 2co»|a<!o»4bc< 



&tfytman rnitt tittftmtikn tc , ß r ? fär'-fa, 4-b, -J-c; 
fo wirb ber SAfjter, wenn man cos a*cosß* jn btmfeC&tn ao= 
btrt unb bat>on fuBtca^ict, 

»iiiB 1 «!!^ 1 — cotr* + Scosaeon^ito«)- — coi-a'ao«^* 
es line'wnjSH + «in o tinpcaxy — »inac.aiatin ßaot fl 

— tinatinßooiy — coi/ 1 + rtnc'MM/aotji 

+ dna«oMdn^nwa 4. aoaacoi /)om> — eo*o»oo(j»" 
e= , (linanaj) - + cotjr — cu»«ci»«£) 

XUina.inj! — ao*/ + eoiano» fi) 

= |ccu r _cet{« + jS?'ll«o»<« — 0) — od»)'l- , 



= 4.mK«+* + l')>'"i<A+l~«)'l»lC"+l'-»"»4<"+i'-r) 
=s4»iui(«4-b-)-c)iinUl>+c— «> «In *("+<:— b)»ro;(«+b-c)* ' 
as 4rinf«i"i(» - .»)«nj(a — b)«JBt(« - c); 



in(t — i)tm(« — b)im(s — c) ' 



"■*• = f — * ■ «.j.™.!»»..^ 

_.„'_ '"l' 1 = ?'"!'• 

•"«»■ — sEjrsrn «»*■' ' 

Sllfb na* (96.), wenn man fto L frliwn SBSett^ fefjt: 

' 4J fa»d.t(» - ■)■!.■<(■ - »)«- j ° 

t«Bgl«- 

ab« oDstitttin 
»otau«fi*lei*tet8i(bt; - 

Uiigi» = VtiLBgi»U>>gl(a - «)«">gtO» — KJtaSgil« — c), 

«tat »on 'S'$ullle t (3t. ««Jt. feto* au* 33i««f. 130 
«efiinbene, febr inetfn>utbla.e gormel S>a cos Je = 
srn^ettangisift; f» erhalt man M*e ou« ben.beib« 
gormein fäc sin£,e roib tang -t<: _■_ 

»tu — ■) cpil-C - b) «■■ t(' ~ ') 



< _ jTcft 



».J« 



98. 3*b>bebfc« bie obljen gormefa für ben fpbM. 
{*en £r«g »ot(üa.ti* au« ben ©aufiif*en Slticbunjen ab* 
geleitet, anbete Settltife f. m.in Legendre Geome- 
trie, p. 314.; Buzengeiger: EinigeSätze, den In- 

. haltsphaer. D. betr. Zeitschrift für Astr. VI. Nr., 9. 
10.} Hut ton .philosophical and mathematical; 
Dictionary in bem jäct. Excess. ' 

99. 3n ben «irtetlaen gormeta tft bi< Shifttfima. t>i« 
lerSufaaben über bin 3m)alf fi)batif*tt iöttieefe tntbafc 
ten. Senn fo 4ft s- ®. für Den 3nba(t an« ben brei Set. 
te>, inbem mit ben Octanttn al» gla*eneint)eit, bente** 
ten SBinfel als SSJtaJetetobdt annehmen, na* (97.) 

-UD^iA = Ttangiataneltfl — a)tfl»gH 8 — b)t Sn gt( s - <0> 

unb f 4t ben 3of>«Ü äu* jt»ei Seiten tmb bem iiii8ef* to ff<- 
nen SBinfet na* (95.) 

■ n: ..^.GooqIc ' 



248 Srigonomtfrie, 

" , fawg |b taugte na ■ 

eot|benttn j«0o«g 

100.3ran*<wlllreätllf|!^at^f4^llS)reit(fi|{lI=9O ,, . 
a(f» IM* (9*0, IX>S'n<*=l, *«=£(/* + >— 90°) i|l: 

i-iW +r-w>- rT^T^fqn^ 

~~ 1 + cotl» MI • + 5SSE «f cot e ' 

8=5 (.1 + eo«b)(I + ao»c) 
/ linbilnb * 

.* 4co<|b ! cos^c 1 

= t»ng|bUng|c. 

SÄ. f. Euler df: mensurO* angulomm solidorum. . 
,AcL Petrop. 1778. 

101. Da nun für teo>tu>tttf% Drriecfe A = 90° 
,+/3+y— 180» =,3 + y — 90° $$ foifl 

t«ng£ A = Ung^butig|e, cotJ-A eat|bcot$c,, 
IwiA _ co»4A* — najdf l 
•"»A nn|Aoo*|A ' 

■in|bco*|bsui^ecoi|c 
(t+ e o«b)(l+eo.c) - (1 — coihKl— co»c> 
■inbunc 



2cotA ss 



■ eotA = 
Uug^bUngfc = 



co.*A = 



. »**. 1 + Ung^h 1 langte' 



coi£b 2 coi-j« 3 + »iByl» 1 »in Je 1 " 

gut feen SRcntur «tyKt man leidjt $(1 + cosb cosc) 
= 4(1 +cosa)(72)=rcos|-a*. 2l[fb 

co.!|a 

©anj auf tyttffcfc 3fa ergic&t fic(j au« bec Sermel für 
cot^A: 



@p&4rif$e. aw 



1 00*|« 

SHfo - '. ' 

«in A i= 2«m| AcOi^Ä 

linbiinc 

= 1 + ■»•• ' ■ 
- ' WAkmjA' — naJA? 

_. ...t + «°.° 
- l + .o.. ' 

3». f.a»jeitg«läet o. a. D, Sftr. 4 — 6. 
102. 01a* (99.) Itf 

,.„-. A J- ^H 1 ""»!"*- 

1 •}- taug i bUng|c cos o 

götgficfj tia<^ berfelfren Sntwicfelung wie in (29.), wenn 
matt ba* bortige 4 = — tang^btang^c feftti ■ , 

£ A = tanfe^-btungjesma ' 

— jtangib 1 tniigfc 3 iin2t» 
'+ it«ng4b 1 Uiifi.o>«n3« 

— itMgJb*taag}c*iin4«i . 
+ X 

2Hfo , wenn b, c fe$r ritin finb: 

. |A = tang^btang-^tina 
f=|b . 4c*m«, 
A = |bc«in«, 

Wotan* erljeflef, baf» man bm ^nljaff eines fptjArtfcfjm 
SDreiecf« mit jWei fcl)r f leinen ©eiten wie ben^nljalt eines 
ebenen Beregnen fann (19.) , wobei man nur ecfi ©r6jjen 
Ut vltttm Drbnnng »fmatfctöfligt. 

103. Um bas fp^rifebe SDreiecf ju ftnben, beffen ^14= 
c&eninljatf bei jwei eonfianien ©eiten ein 2ßa;lmum wirb/ 
biffecenttfre man ben Sluebnicf 

OTB * Ö -I + tangihtangi ?««<,■ ' ' 

in Sejug auf ß als tterimberücb; fo ec^ätf man Uifyt 

fltang^A _ tang^tanglccom + tang^b' tangf c* 
. fl« (1 + tang^bUngjc)» 

3A " 
— ScM^A^.d« ' 



=, Google 



SSO Srigotiowcttic f 

3Hfo wegen bf « SDtarim um* o ~= tat ig * b tan g j- c co s a 
+ tang^b 2 tang^c J ,"oIwc f wenn man mit 

bfoibfet; 

o =a cot^beotf eoom -f. 1 

y = 1 + eot^l>cotic(i — 2sin-f-.') 

=z'i + ootjbcotic(2co«^«» — 1) 
= m»$(lt -*c) — 2oo«4boot4ciiD^«> " ' 

:= ■—- 0O».;(b + C) -f SCOf^bcüjJrCCOi^u 1 



i = tangi.'. 



cos+(b + c) " 

SJlad) ben SRepcrf^en Analogien aber; 

woran«, »era^enmitbemJDbigen, leitet folgt: _ 

tangj« = twgi&*-+ )-). 

' Da nnn bit Sffitnfel £« unb £(/? + y) beibe < J80° 

ftnt) (47.) ; f« folgt aus otiger ©(eicfrung ; 
*« = *tf + r).-> = <* + )•• 
3>ie« gieBt ben merftwörbigm @atj , feafj unter adelt 
fpljärifcfjen ©tciecf en mit jwei cort{ianten -Reiten baß ben 
größten gtacbemn^atf Ijat , in wetcbem ber »oft ben beibe» 
rßtt|tauten @eit«i ringtfötofTene SßJtnfel bec Summe ber 
falben atibernSBinfel gleidj \% £inm elementaren beweis 
f. in L eg e n dre Ge'om. -Livre, VII. Prop. XXVI. 

104. 58terfroürbtgf(!au*bieUfuf9äbt, aufberÖber«' 
f(4$e ber .folget bie Sinie ju ftnben, in welker bie<Bj>U 
gen aflec fpfjarifdjen ©teierfe liegen, »etcbe über einerlei 
©runblinle betrieben/ gleiten giat&enin&afc l&aben. 
Sine 33efKmmung bec gefügten Jinie (jat auf calcufafori« 
fl(>em SEBege juerft ? e r e 1 1 (Nova Act. Petrop. T. V: P. I.) 
ju geben »erfndjt, bte man autb in Legendre Geom: 
Kote X. ftntxt. Euter giebt in ber f#on (96.) ange= 
führten 2br}anbuing: Variae speculationes etc. §. 16. 
einen rein geomerrffd)en SetwU) bes JereDfdjen «Sage«, 
dagegen bat 3- @t einer tu« SOerbkn#, bie 2$e{Hm= . 
ntung fet)r fcerrinfaifct, unb auf elementarem SBege beroie= 
fen ju tjabeil (C r e 1 1 e s Journal für reine und angew. 



Mathem. II.1.S.*5.) SSIt tljellen *<*j« filnetrSSenxl» 
l)iet btm S8S*f«nrtt<i)t« «a* mit. 

10S. 2>afj in ehern «,Md)f4mf%n Stele«?!, wo 
a = b i|I ; au* Ml äBfbfel os, ß an Ott Srnnbltme ein. ' 
(Mtbetateiajfinb, f«ljt«iijtnMWI(*o««[24], »eil 

. Co«a — cosh coto 
CM " = ■ ft b«i : 

coi a (1 — col c) ' 



— cutnung Jn, 
" * ~ ". imuuiic 



= catatangic; x 

atfo cos« = cos ß, imt foio.li$, ba webet a'noa) ß 
180°46it|itiä<n, a = /Ji|l. ■■ , 

106. 3» tinen flehten ÄugelftehS fe» (Mg. 59.) tritt 
fptj<ltifa>ti SOtttttf ABCD eingetrieben, unb P (tn tet 
$ol be» fitinen Ättife«; (b (inb APB, DPC, u. f. f. 
gleia>fo>rafll8e3>teietfe. 3Kfo 

> = P, •'=*, y.se J, r' — P'i 
,.+ ■' + r + / = f + ^ + '» + 'l 

A + C=B + D, 

fo bog alfo in itbtm fpl>Mf«en KSieteef wie 'ABCD 
bie Summen bet «,eg«iuUJet|fc$ettbeB SSinW einanbet 
gleitü pnb. 

107. gietjt man (Fig. 60.) bie fptjäcifcbf SXagonale 
AC, uns conflruirt übet betfelben notjl itgtnb ein ft>t>4rl= 
(ibrt £>teletf AB'C; fo ift no« (106.) 

• + . + « + r= B + ■>•' : . 

.•+.+ c + ,= B'+D, 
,+.— B =D— a -u 
«.' + «'— B' a=D — i — r, 
' ■ + e — B = V + c' — B' , 

bi 5. in «len fpVMfc&en Dteiecten, übet betfelben Sem*., 
Unit/ ouf betfelben Seite , in ein« f leinen jtugetttei« be. 



252 £ä$M»mCftt<r 

(^rieben, IfE ber Unterfibieb j»iß»n bet ©WWW fc« 
SBinfet an txt ©runbltnie unb bem SBJfafel an ber ©pi^e 
tbu conflante ©r&fje, nnb umgefetjrt; 

X>it ©püjen aOer fp^arifc&en 2>retecfe über berfelbea 
©runbltnie auf betftften ©eile, in nwlcben sie Dijferenj 
j»ifd?en ber ©umme ber ÜEBinfel an ber ©runblinie unb 
bem 2Binfe£ an ber ©pttje eine conffanre ©rftße iff , liegen 
tn einem befKmmten ((einen .ftugejf reife, ber bureb bie 
(Enbpunfte ber ©runblinie ge$t. 

108. ©en ABC (Fig. 61.) irgenb ein fp^lrift&e* 
IDreiecf, unb AA', BB' J&albfreife. 2>fe fünfte A', B' 
feilen bie ©egenpunfte Bon A, B Reißen. Sleibt nun 
ber §£aä)eninf>alt biefefl ©reierfe conjtanf ; f« bleibt aua> 
naä) (91.) bie ©umrae ber SEBinfel a+b + c conftant. 
fcbetc'=:c, a' = a = 2R^a, b'=£ = 2R— b. 
aifö c' — (a' + V) = c — (2R — a + 2R — b) 
=:a + b + c — 4R, fo baß folglfä) , roemta + b + c 
conflant bleibt, aud> c' — (a' +■ b') confrout bleibt. 
SBleibt alfo ber gladjemnfiatt von ABC confiant , fe (legen 
alle ©püjen ber ©reierf e A'B'C , alfo aud» ade ©pifeen ber 
S»rei«rfe ABC, naä) (107.) in einem Reinem Äreife, »et 
eber but$ A', B', C gefjt, fo bo$ alfo bie ©püfen aßec 
©retetf* aber berfetben ©runblinie, welcbe einem gegeben 
neu ©reteefe Übet biefet ©runblinie glefcb fmb, in einem 
{(einem .Sugelf reife liegen , »elcber burä) bie ©pifce be« ge* 
gebenen ^Drefetf« unb bie ©egenpunfte ber@cunblinte geljt. 
2>i« iß ber wn © t e i n e t gefundene ©oft. 

3*0$ eiitifle @4|e tmt> Otelatfonen »ott 

fö'&drifc&eij Sretetfen. 

109. ©eo F (Fig. 62.) ber 9>ol be« Keinen Ärrffe«, 
tteldjer fiä> um ba« fpEjariföe ©reietf betreiben läßt, fo 
fint> bie Sogen Fa, P/?,- Py einanber. gteiä). SMan fege 
einen biefet Sogen = x. 3m3)reiecf Vay ifi na* [24] 



it. 253 



— - * *T, 63* 1»* ■ cotx _ «ob co t x 

"~ ki b (t + co* b) ' »in « "~ 1 + cqi b * 

<E6«n fö. - ooi ü-[- f) sa ' ~,7" *•** 

__ (1 — co»a)(l -f* coab) 
'. ■ . — «inaniil) ' * 

SB« , ""'»icrEi «»>. ." 

.." „ co«c — ooiBBoab r ., 

'. t -. : *"■= saa w 

Sit« gieBt mittel)! e%r 0[!i$ung (tl$t 

- C O« » + co< a c0 * 



Ungf == - 



21T 

twt>IK<$ <f 6(|Mmmt i(i. auäj i(l na* (97.) 
— c , - . ' ' ~ — + ■"'■ - •— 

Tl — ooja 1 — coab 1 — co«c* -f 2coiaco»bco«i> 

«voraus ft$ Uwbt ergiebf , feafj ttt $afyti »on 1 + tangy 2 , 
wenn man bat* Quabrat entwirf tlt itnb-auftefc/ feas £">|> 3 
peto iji t»on 

1 — cos« + co»b — cosc — cos«co*b 

' + cotac'oic — cosbcoso + coiacoabcote 
= (1 + cwb — co»o — <jo»bco»-cXl — co*») 
= (1 — co. «Kl + «o«bXi — co.c) 

= SiinjB'cosib'tialo 1 . 

1 2rinMc<»4b'iM« 

co., = nr 

Stötr nacji btm Ofcijtn 

eölf = '"'J^y 1 cot» = tuilbcoti, 
•* coifp coag) coifb * 

nr '" 
SHan finbrt titftn mntojtbfara äusttuif M XtjeBbt« 
«. a. D. p. 318. 319. 



35« Zmctumettk, 

110. SlfSl'-.ti'zrj — (fi—qf) 
= y — /3 + e— yi({; fotf,? =!*(« — /S+f). 
Stimmt matif>i«8«, »tgen teng4(<i+/9-l-}0= — cotf« 
(93.), ben%i»bruif für cot Je ao»(9«.)5 fetHtySttmiai 
mitte!|i (109.) fotflcnbe neue DCet^e merfiNh'biget gormein: 



u»g»(« +l> + r) = - 



, i* «■ i v 1 + *°«a "■ eoab.— coae 

•™g»(-« + f + r) = ^ E ärr ' 

., *it 1 ~~ «oaa + Mifc.— cosc 

■ugK« — * + !■) = — ^=- , 

... M ." 1— CM«— coib + <»o 

tM8i(* + A — 7) = 2r |- . ' , 

«mg«» + * + ») + •<■«(- • + A + !■) 

' + t«»g4C. -/> + >■> + i»«K« + *-r) 

,= Fe 

UKJ(.'+^+r) — U»g4(— .+A + rt 

1 + cosa aoosja 1 

"""TT FT" 

■angiC» - /> + 7) + «»8t(- + J — r> 



TT TT 

•™t)t(» + t + tf — UngJ<- • + + r> 

— taugte» — /i + : ,1 - tug *(• + f - r) 



r f in b sm"(s — a)ain(s — b)ain(a — 

•"gil- + f + r) 4- langK- • +j> + r) 

+ tafegj(. _;+,.) + tang tl . + J - 


r) 


,K ■ i li 


-1 aiaa-.ln(a — a)'.to( 


-J>) 


."■(. 


-') 



- b(ci>aa»(a - c). 

%t}n(i4e 3S<latu>Mn märt« fü> mutete Äiit-m loflen. 

111. ©I« Srei Sogen griff« grtift, »<l4x Sic btei 
SEBInftl eint« fp|drifcj>en Drattt« ftalbirett , fcbnsibtn ficb 
in tiRtm^>uncte. .@enen üdm(i$ bie SSMnfet a unb ß 
Sotblrf , fo oag fid> bie fjalbirtnben SjSogen In O (Fig. 63.) 
fftntltmt, unb ,yO gelogen; fc iß in ben SCrtiftfen 
oO/S, <<Ob': > 



■ - - *jj*rf — »Tu 0O ti««h' _' iiay o. ., 

»in 6 "~ rin^t. ' sinO ~ *üi|» ' 

jra.,S = ;ln£0 ■ ■■■,■" 

«Siöb' irnb'O 

älfo |inb in iebtm S)rti«f («/Sb'j> reo ein SBInfci MI« 
t)t, bt> <£mua ber tiefen Sßtnfef finfcbliepenbeit ©cittn, 
bm @inu(T«l bet tmliegenben äbfctmitfe ber Segenfei» 
proportional. .£>emno4 im S&triect aßy , m ß Mi 
Mrti|i: 

tin a/? liijirh' na aß lin jty 

liu/Sy (in jb" ain ii b - hd JP * 

5»taK* Jot% = ä^- - 

«in J* _ ilttO »in yb', ~_ rinO _ 
«in ßO ~ mff ' ■inb' O — iii« * 

■in y& ~ »inb'Ö. «inj»' — linb'O ' 

SÄtfo sin a' = sin (¥, tmö bemnatb enf roeber a' z= (? 
ober a + /^ = 180°. © 4 aber 2e$ft«s Riebt mögKa) 
»eity<l80°ifoi(la'=^. 

112, ©enft man ftcb'Oa', Ob', Oc' afe 3>erpe nbifet 
auf bie bref «Seifen ; fo folgt au« 

«inO»' = linOj- . «in » )• = tin Ob' (78), 
tangra'=tangO}', euif = tnngj-b' (73.)- 
Uiö}t, baß Oa' = Ob' = Oc', va' = yb'/ /?a' —/Je', 
nb'= oc', 2«c' + 2/Sa' + 2yV = a + b-+ c, 
2ac=a+b+c~2(jSa'+;'b')^a+b+c— 2(/3a'+ya') 
== a + b+c — 2a = b-fc — a, oc' =: s — a ift. 
©etjf man nun eins ber brei gleitben <perpenbtfrf* -b. I). 
ben fp^Ätififcen ^wlbtmffet bes in b« gegebene S>«t«f be« 
fd>ciebenen Äreife* , = 1 ; fo ifl na(b (72.) 

tangl = taug J-minac' , 
t). U '- ttngl^tang$.*iin{> — •) 

= Ung^Mn(i — b) 
■ =: tangij.»in(fl — c) , . >'. 

nwcauö/ wte-auep fd&em in (65.) gefangen, folgt: > 

!^£if _ »i"{« — ■) tang^.y _ «in (i — ■> _ '_' 

taugte» ••Ulli — b) ' tting^a »iu(« — «) '*" 

Sludbif! tangl» = \ 

tmng$*t*n%ißuiagiy *ih(* — n)nn(i — b)tin[» — o), 



256 Sttgrätomeftie, 

'obre, Wfmtntan-fartang-S-a, u.f. f. bieSIuebriicftbur<fo 
bie ©elfcn C64.) fest: 

mn.iv l -fco— >*<■-»*<'-"■» )* 



woraus mittt((l b« gotmel für sin 5. t in (96.) leiibt folgt : 

3|i 1' b« £at&mt|f<c tt« umfebritbentn Äcelfrt J fo ifl 
nao> (109.) 

„' 2(infarin4b*in4« 
. ... „ 2rini-aiin*biinAc , 

Sta*. ■ 

' tangltangl' s= 



•i».rr 

tnaelcotl 0= —. — — • — ;— . . 

^ •in«tangi»Ung|bUDg|c ,' 

113. Ol«* [28] ijf; 

rin+(« — b)«oi+C«-='b) = «in.+> + flri..f(« — ?) 

■ *■ ain-Jc co»4-c *"» + )' 1 * 

>in'4(« + b)co.+(. + b) _■ co.jf. +'flco.4<°-fl 
■' «micccic l .in*,' * 

• . riit (« + b) »m(a — b) _ rinft,4.flrin(« — ßj 

»in» 1 _ »iah 1 __ »in c r _ ain(« + b)iin(a — b) _ 
■ina* *°" «inj) 1 sin/ 1 "" iin(« ~^ ß)tin(a — ß) ' . 

eint merfwäcMge OWafiott. 
114. ' Stift ffEnäft (113.) 

■in(« — h) _ rinj-f« + flwn|(<» — fl 

■ine coa ir i ' 

■Jll<tt + b) _ ca*i( a + ß)cQ,i(a — ß) 



in+yco»!/ cos±y 



=, Google 




?Ä°,» mer " "**' um °" 8 a ' b ' -' <* ««***» 

1 — co.o = 2«n4c> = ' 

1 — cosacotb — »in asinb co*j- = ' 
i — cojsaeoib — wn*iinlj(i — 2«ja|j.i) • 
= 1 — co«(u — b) + 2rin«sinb«n}. ) .* 
= .2C*»t(« — fc0 1 +2iinaaiiib.üi4 r » 

Sana efon fb ftnbet man 

co.^c> = (<»,*<, + M . + aiu8lnllbc<> , frS 

wib mittrffl öes ©upprem«itocltt'(i«cf« etgfefjt fi^ Uitbf, 

****. -(»»*(•' + M B + ak«ifa/^« 1 . 
Sufcfiiralrt man nun MeSSSertöetionsin Ay* u „|, «,,.„, 
ui tu beton trften ®(ela>nnaen ; fi, n^K man fei<t,r: 

■;■ , ..-''■«■ - »»' 4- .ln. .i»l,Cc., t (. 4- <iv 
. —!-.-("■*'■ + ■»■ 4- ,m. .,„tf.,„.,._ rv 

116. g«net ifi na* (65.) 

cot« =3 BO '« 8in ° — ■iin co.l.Bn.. 

^utan« er&Mt man, rtenn cos}?* — siniv* «fett 
coay,; tut cos a sin b (cos -S.;-* + sinAy*) »„» 
co»asmb 9 «f(j(Bitb, (ei*t: ' - ' 



uns eben fo: 
V. 



258 • $ri$ömi8«friC, 

Sllfo 



riwfa +■ b1*iii *y' + auifa — b)coi4y* 
cot/1 = — ainhsiny . 



lil)'.co»fy 

Cotacot^ = ' ' ' " " " 

" 4»ma*inbcot«cot£ = (sin(a + b« 2 . tang-fry 1 

— («iiiu — biy.vottr*. 

117. SJtt^ecgiettffii&atrt benSormetn föt cota,cot/? 
reicht: ■ 

«inbcotl ± sinacot« = 

' ain(*±h) + ««(■ + b)co»y 
■inj- 
riiiU ± b)(l + coay) 

»et««« (ei<fr* «Rotten »tfti 

ainbcotjJ + ainacot« == «in« + b)tang| r , 
■ürbeotj) — ainaeota =a ain(a — b)cotJy, 
. ai.bcotg 4- amacft. _ gJ^LJJLJ) Mfftr « , 
■inbcotl — amacota »">(« — o) 
■in^co^ 1 — ■ina 1 Cot» I = sin(a + b)ain(» — b). 

118. SRo* (tnb falgenbe gormeto für ben Unttrfifcieb 
jtwier @rit«t met f »öcbig : 

^; n (a — o) = «iaacQsc — cosaainc 
tinbaina _ »inb MB y ^^ > 

= ain/J * 

coiy = coacsinaainj» — coBacoajS [26] 
— cos c sin o sin ß 

— (cosasin/siny — co«£cosy)co»0 
= CoacainosinA + cos y — «inj** cos y 
-coaaam/Jcot/Jsiny, 
O = coacaina — coiacoijlaiay — ainjJcoay, 
rin«co»c = cosacös>siny + sia/Jcosy. 

©uBßituirt man.biees in obige gocmel; fo ergfe&t fl<£ 

ain(a — c) =s sinbcosy — sin b coa a aiuy taug J/J. 

$tTMttfi 

cöab = coaacbs'c + «hitiinccosjS 

= MiieHO + sinasincfl - 2sin40'> 
, ' ,' =cob(« — o) -r- 2Biaaaiacaiu{ß r , 

coa(a—, o) saeoib. + 2sinasino■in|£ , 



©I^irift^. ■ 259 

=s coab + 2Mn«. / EE££p.. i i ll ^* * 
' =i cosb + ainaainhmnytimgiß, 

B _ Ungb(coa)- — cnn ainj-ta ng j-ff) 
1 + aioajangbain^Ungl^ " 

119. Sfiad? ben gormeln t>on©au jj ijl: 

am ,]. b coi 4 b 



"«■'^TnSJF 3 — !»•• 



*>"(■ — c) = 



j(. + r )ajw4(« -r)»' 



2coa^'- » 

coijQ + Qain^ Ca + c) 
* . «w*baiMb 



= «in|£» 



aii.(a + c) = 



- yjcoi-Ka — r)*'"'' 



• _ iinb(co<)- + coan) 

120. cos« — coaasin^sinj'— -cosßcoay. 9Tb= 
btff unb fubtra^irt man auf beiben ©citen cos/;, fo ec= 
Ijaltman '. 

«o>. ± co. r = \*»"™ß'i"r + 2«J»W»«Mr 

) co*a«in^iin r — 2ooi|/»'co« r 

_)2co.|C-+ r)™H(«-r) ■ 
)— 2wn4C« + r>«"»4-(» — r) 
2co«4(- + r) «*>•*(■ - » = - 

2ain|^>ooty + CM ■ rin £ «in j. , 

:«((• + r)»iai(» — r) = 

2coi^j5 ! coi/ — cosasin^slnj' , 
*Wgi(« + y)tang4(« — y) = 

2coi$ß*'coty — coiaainftjiny 

Sttfoflonen jwtfdjen btn itci Sßinfclrt unb ein» ©eile, 
woraus ficfj mittel)! bee ©upptemenfatbceiecf e meutere aiu 
bere mit Jeicbtigfett ableiten (äffen warben. 

121 . S(loa> einige Delationen jwifcben allen fecfeet ©f fafen. 
nfyalt man fo. 5)}ad? (118.) mit gehöriger SOertaufdimng 
ber3«i^jen, unb mitteilt bes ©upplementarbreietf e i|h 

«2 



260' Srisooowtfrie, 

oominj = co«ciin ac.otß + rnialinj*, 
— coiinnc — cos / »in a co» b — coiaiinb, 
coaaaine = co»«*inb — coayainacoab, 
coaaiin? = coaatnijl 4" SM,cainaC0BJt. , 

' Sflfö&unfrSMtriften: 

coagnnft + co» c «in n cot ft 



, COSHsillh — Coa y nin B COSb ' 

aiaß + co«ctanga;coaft _ »iny 

■ine ™ ainb — cos )■ lang «co«b 

CMBifa» _ coacaina _ cot» 

ciis a isin y ~~ co« a «in • — . cot a 



cos a sin ^ + «inacai^coic 

3u$ i(t im* (118.) 

, co» a sin 7 = co» b »in£. + coi c »in e coi/?, 

cot^ainc = cosbaina — cot y coi a sin b , 

~ cot /»sine 





coabaina — co« j- co» » siub ' 




;auf;^ +■ sin« co« C «in y 




"' CMtUHJ, -CO.f.Ull. 


122. 


3ta*(118.)i(l 




CM/fain^ = coibaina — cos « sin £ coi 7, 


3ol9li*! 


tttnti man mit cos/? mutripticirt ; 




sin 7 — ain/Priny 


( 


— coabaina cos£ — co»n»in/(co»/f co« y , 




riaßtiuy — cot a coi ,3 coi 7 




«inj. — c*»biin«coa,3 




miß 


aifo <w<t 






ainbeinc + coaacoabcoto 




■ine — cp«^*inaco«b 




unl> 


at«t 


' nay — * coi btin ■ coajJ 
ain£ 




^S) 1 - «»*•"' ; S;| 




.„■■ .„Google 



©ttyirififc. • - 261 



- cos b cos ß . ■ 



«inb »in c -f vosa coabcosc 

ebenfalls eine merftvürbige Delation jttififce« bert fccfo« 
©rjicfen. SOl.f. Cagnoli Traite de Trigon. p. 326. 
PuissantGeod. I. p. 79. 

35ie meiffeii bcr obigen SRetafionen finb »on 2)e'Iom= 
bre gefunben. 3§re ^Inja^t Heß« fW? nocfc »ermelJMtt, 
worüber nadbjufeljen : Delambre Traitej d' Astrono- 
mie. Tom. L Cl«ip. X. 



Sbifftttntialfttmtln für f>$4t'i* 

* f(^e Sreietfe. 

123. Sunäcbff femmr e« f)ier wieber auf bie 2)ifferen* 
tiation bcr gunbamentolgleitbtmgen ber fptjärtfcfeeit Strigo» 
nomerrte: 

cosn — tiabrin c Cosa -1- coubcoic, 
»inn linb £3 aiii^sin u, 
cos« = coia ■miliar -— vasflKoiy; 
Ott. 

5)ie erjle giebt 6uwb partielle ©iflferenriafioni 

ainada = (linbcosc ■ - nosbauic-KOS a)db 
+ (cos-baitic — «inbooiccoso)f)e 
+ »inbiinc«in«<3o. 

©aabet 



iß; fo ift ber in Ob muftipficirte $acfor 

_ «inb'co»c — cotacojb + co.b* c 

'"""'. »inb 

_ co» c — " coi a co*b 



»Google 



262 srrigoöometric, . 

unb eben, fo ber in* <?c imittipfidtf e Sactot = sin a cos ß. 
SDa nun auty [ ' - 

*£±*U*ß [25] . >• - 

. Ijt; (bereit man leicbt; 

•hiaö»— («nbcoac — cosb.in oco.«)f)b 
+ (cwb.inc - rfBbeo>doM«)do 

»inbdb = Oinacosc — coiaainceotflfla 

•f sin « sin C sin ,3 tty , 

■incdo =s (ainacoab — cpiaiinbcoiyjda 

■4- (cotasinb — sinacoibcn«})c)b 

+ Hmaxinbi'uydy, 

fa = co.j-db +• owjflo + ainedn^d», 

' ßb = <;o»i>(Jc + «uj-da +'iia«»ii»j'3/», 

de = cos/tAi + cow& + atafeiia«3r* 

Sinti bet jweiten Sunbamcntaft}(eic(?ting tcE)i(t man äugen» 

liaacoibdb -f cosasinbda 

s »in/icm n ö» 4- cos /f sin a^*, 
•in/Jcoicfr + co^sincfa 

— jin^co>b(5b 4- coiytiiib ß/, 
»in y cos a (Ja 4- coayiinn dy i 

= sinocosedc + eosnsin e<J«. 

3>ie briffe §unbamentalglei(b>ng giebC 

— »inada = (cosacos/ain j + siaßco*r)dß 

+ (cosasin/icosj' + cos /* »in y) dy 

— «in a sin £ «tu j» da; 

w«au«, wegen 

co*« + cos^coay sina'sin; . 

unßainy .in. 

ganj wie oben erfüllen wirb; 

— iiino((a= (cosacüs^siny + li»ß60By)Sß i 
4- («isasin^cosp + cps i 3amy)d)' 
— sin n sin £ »in )• da , 

— AaßBp = (cos b Cosi »in y + jl«cii!y)i)n 

+ (eos b sin p cos j- 1+ cosasinj^d/ 

— linbainaainydb, . 



— ninfßy =± (aoHuciihaainß + iinmeaaßjda 

, + (conetinaeosß + co»aiinß)Bfi , 

— Sa = eoacSß + coibdy — sinbainj-A. , 

— 3/i = cosa<V + co»cßo— »inc»in«3b, 

— 5y = cosh(?a + cusnc£ — sinaaiii/dc. 

124. ©egAetia, b, c 

©efutftfa, ßt y- ' 
Sflimmf man an, baßcc, /?, /auSa, b, c tartcbnef finb; 
fo iff nacb (123.) 

*=* 

; ' #« 

■ 5r = 

@elje man nun ftatt ber trigonomeirifdjen Simen btt5EBtn> 
fet fluß bem Obigen f^re^tustciicfe burcbbie©ciren: fo er* 
ball man für 

(ciosfi — cosbcosc)siau — Ä , * 

(ciwb — co«a<=oBC)sinb = SB, 
■ (coac — cosacasb)une = 6, 

Uü/t: 

a _ ■jnitjnbjiacrja — Z0b — fSBc. ■ 



S,-- 



s. - 


Cosydb — 


«»;& 


«b — 




=..,fl. 


S. _ 


co«/J(5« — i 


„.a, 



2sLiibsiiicr s ii 


'»«»<- - «)«»(» - b)sin( S - c) 
inbsincßb — gda — ärc 


2sinasmcrifii 


la .i nta -aJ B >n(.-b) S i n (a- c) 
mbrincdc —JBSu - Ädb 


U»ina«Jabl"ai 


n»in(a-.)>ln[.-bjd B (.-G) 



125. (Begeben b, c, «. 
®t|u<frt ß, y, sl. 
Sdo* (123.) i(i , 

. db — eol«flc — conyi?« 

" " — Hin n linv 



worauf!/ wenn man füc ^a aus (123.) feinen Söectlj 

Sa = cosy-tto + cosßvv + siucBiu/^a 

v i.:... ■■-'Google 



264 Sriflottomtfrte, ' ' , 

Htt Jtt«.W$ bnrifr Sßertotiji&itnä ber $ti$enj Ui$t «= 
fyxUttt wirbt 

£ l= . rinfl'fic — coastiinßiinydb — gin b coi fl liay fti 

126. gcgebma, ßt'f. ■' '. 
©tfucfct «/ b, c. 

0l4*C123.)i(l 

a, Sj? + co« a r?y + cwtf)» 

"~ I . aincsina — 

dff 4- co> ■ c?y -fr gwcjn 

tvocoue, wenn man für Act feinen Sßerrtj : 

da = Binbain r d« — coicß/» — cathßy 

fe§t, fckbt erfjaftea wirb: . 

-, _ Mnc'dft + tinbrinccoanfj)- + «inbcotcriiiyfl« 
» _ rinb'f'i' + »inbiinccog«dfl -f coghgincginff&i 

127. ©eg'efeen or, /9, y. , 
©efucfcr a, b, c. 

ERadb (123.) ifl »ieber 

3« + coicjg + cogbfly 



.tob*., 

-. 30 + cos a (?/ -1- e«s c cl« 


D,, .»V + BC,bfl * + ottUflü 




@eßt matt nun für bie f rigonomerrif^en Linien ber @e[(en 


iljre ifliie&nlcfe bur4> bie 38infel; fo credit matt/ für 


(pogo + cos^coBj-)rin» = IT, 


. (co./J + C o««co»,.)ii B/ l ^ff, 


{caty + eaaucotjl)iiuy = fS', 


lel*(: 


Ja lin.liifn.,9. + f()|I + Kür 


2mßm, r-co. .-..■(•'— .).oH.-/I)coi(.'-rt ' 


^ «Iti.Ma/Iiiny^ + g-fl. + räj- 


2lin.iin]'r — ton co.(s' — a)cot(i' — 0) .<>.<■' — y) 



W- . • 26S 

ßc _ »fii»«jii£tip : y£j«_+ yä, •+ y^ ,- -- 

128. ©igrtroa, b, «. 
31<x$ (123.) i|l 



a« ._«»» cotb 3h 4- eo* a »in h 3b — • n 


in co* ad* 


jj 3« — coij/db — linoin^ds 

■j Sc — cofS 3» — cpi a fJb 

129. (Begeben a, a, fi. 
©efuc&f b, e> ^ 

Otofr (123.)4ff 

a. h _ rin^co*»*?« +■ eotptianSp — cot 




sine- cos ti 
i, _ — Sa — eoicftf +. »inhtmrdi 


■■':' 


coib 
a ^_ <V + eo*J>5o 4- coM%Sß 





130. ÖHnttm* man i»ef @flWe aU nmttinbnliä) an ; 
fo ftob öiefelben gaffe wie in (41.) m&glicb, worauf »it 
wn* alfo b>r beilegen. 

131. Unwranbettfcb a, /3 '),*■» 
«Qeranbetficbb, c, « / y( ( * I ' a * ) , 

gih* 5a zzzdß ~a geben feie augeraeitttn ©leicbitnaen 
In (123.): ,..'.. ' 

•> üb := com de, 

■inacotbdb + co««4*nb a « = o, 

— da = cosb fty, 

brel@Wcbungen, lue Denen (ijb immer brei ber, ©trogen 
5b, Sc, 5a,'5y befrtmmenfaffen, wenn eine cte gegeben 
angenommen wirb. SXm'Ölrt man biegte ©leicbungburcb 
cos a cos b j fo »erben tiefe ©(eicbimgen ;, 

t9b. = coiadc, 



3 — tongb 5 
= coab Sv. 



=, Google 



26ft '?ri$önott«trie r 

132. Uneetanbwtle&a, « 1 ■ ' 
SEkranberH* b, c, ß, yj l * 1,p '-* 

§ür da = da = o geben bie allgemeinen ©leic^ungen : 

o =3 coij- Ab + coijldo, 
■inacotbdb = coi^ii^adj9, • 
= co»c^ +, coibdy. • '* 

smo sinf 

• in 5 av _ lilll, 3 . 

1(1; fo wecten biefe @lei4>«ns<ni 

catpdc = — cos/db, 
ungldb = u»gb5/», 
, ' ctticdß = — cosb^j-, 

aus Innen ft<& au*, wenn eine bet ©röfjen 3b, Sc, Bß, 
dy gegeben ifl, bie übrigen im immer be|timmen (äffen. 

133. Unwr4nber«(b a, b ] " - ■ . 
Wtt&nbtiW<*rßf Y> c i ■ ■ . 

g fl töa = db = oitl': 

« = aatfiSc + «in c»>"A &•> ■ 

o = cosoflc -f- sin a ain ]> rV i 

cuistiiibdi = ttHfiwin&Bfit 

obet ■ 

os% + aihetang^da 
' O = 5* ■+• üucttmgadß, 

■'.■ eo*«5a=eo*£. Jj^£«V =s mnacotßdfi, 

ober , ' ' , 

de =i — *factang£d*, 

3c = — luve taiigaf)^, 
tuiglda «= tangoß/f. 

134. Un»eränbec£i(b «, /?. )", - 
Sßeranberlitb a, b, c, y. JA* 1 '. 10 *!, 

3ürda:=d/S = oi(t , 

Einccosl) <5b = »illfS cOl»(5a, 
<> = i:osb ["7 — «inb unyda, .* 
o = cOiacV •" »io c <ifl ü <ib ; 

Dg 1,-ec, GOOfik 



®|>!><irif<$e.- 267 



ubdb = coufifl, 



irr co»b flb = ceia da ,' 
e = ßjr — ■ taug bris yd«, 

o =,(? K — " " . v ln T ab ; 

= 9f — lang« tlnjBh. 
9WfO ■ tang4(?b = tangb^B, ■ ' ■* 

5/ = tangbiinyrJH, ^ 

r/ = lang a liny f)b . 

in. © p $4t ©Ifc if# e SS t ig» itomet *f« 

©rutibbegriffe. 

135. Unter einem ©pljirotb »erliefen wir (IicHi 
nen burttj UmbreEjung einer tEtlipfc um i§re f (eine Slre ent> 
ftanbenen Ä6rper. 3)ie ©refjungsare Ijeißt fcfcledjfljm bie 
2Ire, «nb ttjre Snbpunftc bie 9>oU. £>er von bergrc* 
£en 3Ire bcr £Hipfe be|cf}riebene Are!« wirb bct Sie qua« 
tor, unbjcber, mitbemfelbenparoflele, ©4>nitt b«©p$aV 
reib« ein ^araUettrcU genannt. 3eber ©<fenitt 
fcurcfr'bie 2Ire ift eine ber erjengenben gleiche SKipfe. ©ie 
iwifcben ben beiben $ofen tiegenbeff^älften fetcfcer ©<&nitte 
füllen 9)1 e r i b i a n «'genannt werben. 

136. 2><r Slequatoc t^cilt fcas ©pjjaroib in jwri gif- 
ten, »on benen bie eine bie poftf ttte , bie anbete bie «egatU 
»e genannt werben foll. j)te beiben ^>ote erhalten nacfr 
fcen giften, in weU&eitfte liegen/ gleite Benennungen. 

137. 2egt man bur$ einen 9>unft auf ber 0&erfW#e 
bee> ©pljäroiög einen ÜKeribtan ; fo Ijeifjt ber fpüje SBJinf ei, 
welcbtn bie butcfc ben gegebenen *ptinft gezogene Stormale 
mit ber großen SIre bes SDleribiane e titfeb Siegt , bie Brette 
betf gegebenen fünfte«. $>ie Bretten ber 9>oIe pnb , 
=z90°, fonfifrnb alle Breiten <9Q°, unb »erben a!« 
pofitiö ober negativ betrautet , jenaffcbem bie entfpte» 



268 Srigraoraetric, 

ctjenben fünfte itt ber pofitibcn ober negativen J&olb* 
fuget Hegen. 

138. Wt ÜRtribiane werben von einem Seflimmfen 
SReribiane, reeller ber erfie genannt wirb, immer nocfj 
berfelben Diicbtung ringe, um bas ©pljäroib Ijerum gejagt. 
X>ie Sänge eines fünftes auf ber Oberfläche bes @pb> 
roibs ifl ber jwifdjjen ■fernem unb bem erfleh SReribiane tiad) 
ber Öficbtung ber SReribiane b,tn tiegenbe Sogen bes 5lequct= 
forß. 5Die hängen flnb immer pofltiv, unb warfen Mit . 
0° bis 360°. ©ie pofitive ©ifftrenj jwiföen ben ?angen 
jweier tyunttz tjeijjt biejängenbifferenj berfelben. 

139. Sie filrjefte 2mie, welche flcb auf ber Obcr= 
flacfce bee ©pfjäroibs swifc&cn irgenb jwei gegebenen <pnnf - 
ftn jiet)en lägt, foll fcfetdjtbm bie Aar jefte genanntwer* 
ben. Sine folcbe Sinte ifl natärticb immer natb einein be= 
flimmten ©efeijegefrümmr, unb fann alfo na<fe; bemfelbet» 
Aber bie beiben gegebenen fünfte fjinau» verlängert gebaut 



140. Die tta# ber Stiftung ber ?ängen,ttnb na# bet 
©eile be« poftfiven <pofef t)in mit ben SReribianen jweier 
fünfte von iftrer Äürjeften eingeftt/lojfenen SSinf el »erben ' 
äjimutlje genannt. 

141. Unter einem fpIjätoibifcEjen ©reiecf verfle* 
ijen wir bjer ein ©reif cE auf bee Oberfläche eines @pr)ä= 
reibe, beflen @pilje im pofitiven <po( liegt, unb weldjeß 
von jwe'i QReribianbogen neb|t ber jwifdben ben (Enbpnnf tcit 
berfelben (iegenben JSilrjeftui eingef<6b(fen wirb. S>aß 
»fr bie @plfte un« im pofitiven 9>ot liegenb vorfallen, 
Wirb ber Allgemeinheit nicht fdjaben. 

©on)r nennt man aueb, ©reieefe , welche von , brei für* 
ge|ten Linien auf ber Oberfläche eines ©pljaroiöö cinge= 
fc&loflen werben, fpfjaroibifcfce ©reieefe. 

142. Seijebem fpijäroibtfcben £>reietf fommen,, wie 
bei ben ebenen unb fpljanfcfjen, brei @eiten unb brei 2Sin= 
hi in iSetra&riiiig. T>e& eietfadjen praftifdjen ®ebrau<b* 
wegen, wehfeen man von ben garmein ber fptjäroibifcben 
^cigonametrie raadjt, b,at man aber feefcs anbere S3«jttm* 



«Spfcfoittftfc 269 

mwgsltutfe etngefltyrf. $>iefe fec&«-©färfe ftnb, twnn 
wie ben spot burdbP, bie tEiibpunffe ber SReribicinbogett 
aber buttfc A unb A t bejeicbnm : v 

1. JDie Äüriepe jwifeben A'iinb A ± , = s. 

2. 2>ie93rettenbieferbeiben Ranfte: A, l t . 

3. jDIc Sangenbifferenj berfclben, =o. 

4. !Die ^jimut^e bltfec Befben fünfte:"«, «,. 
(Es i|l Kot, bog bureb biefe feebs ©tilcfe baß ftfftntV 

bifebe ©reieef ebenfalls befHmmt wirb, wie butep bie brei . 
©etten unb bte brei SBinfet. 

143. SÜu* brei gegebenen biefer ©tdeft bie übrigen 
but^ Sfacbntmg ju fmben , ift bet pweef ber fpljir oiöifcbe» 
Trigonometrie. <5ie erforbett einen weit großem 3luf» 
wanb analijtifcber j&ulfMnittef, als bie betten erffen Tri« 
gonotnetrieen, unb bie gormein fallen oft fetir weitläufig: 
aus. 2Bir muffen uns bafjer in biefem %ttit el auf eine »otU 
(iänbige (Entreicfetung ter ©runbformefo, unb bie 21uf» . 
löfung einiger ber widjkigften Hauptaufgaben befebrärifetu 
3(>re wkbtigflen Stawenbimgen ftnöef biefe Söiffenfcbaft in' 
ber ©eograpb^e unb tjötjecn ©eobcifie , alfo bei einem ©pl)«* 
roib, welche« bureb efne (Sflipfe mit fefjr deiner (ErcentrU 
eität erjeugt worben ift hieraus ergiebt fT<b in ben mei» 
fUn Säuen eine bebeufenbe SlbfiJciung berOtecbmingen unb 
gormeln, inbem man ^b.ere'^ofenjen ber (Ercenfridtit . 
uerna^liffTgr, e&ne ber ©enauigfeüt ju fifcaben. Sie ofit> 
- gen ©runbbegriffe finb eigentlich au» ber ©eograpbie ent* 
leimt, mußten aber bjer entreitfett werben, wenn bie fpb> 
toibifebe Trigonometrie als für fleb bejte^enbe, rein ma= 
t^ematifebe, SBiffenfcbaff bafie^en foHte. 

SÄebucitte S5 r e i * c n. 

144.3)u»©egour (M^m. de Paris. 1778.) btt 

jiurfi bie Sormein ber fpl)äroibtf$en Trigonometrie bureb; 
SSejietjung bes fpbäroibifcben £reiecf« auf ein correfpon» 
feirtnbes. fp&ärtfc&ee 5Dreierf auf ber in bas ©pbaroib be= 



270 . SrrgMttüwfrte, 

föriebe'nen Äuget ju »erefnfa^en gefut&t. £ierju bie nen 
»twjügticb bie fegenauhtett rebucirf cn 5?ceiten. Senf t man 
ficb nämlich über ber 2Ijre als ©urcbmeffer in bas ©pf)ä= 
tofb eine Äuget betrieben; fo b/igt ber 2ßinfel, unter 
welkem ein burtf) einen tyuntt auf ber öberftöcfce biefer 
Äuget, n>etä>et »on ber ebene be« SIequatorß aufberfeU 
ben Seite eben fo weit entfernt ift, a(« em <punft auf bem 
©pt)äroib, gejogener Diabiuö bec Äuget gegen bieCbene 
beö ^equQtors geneigt ifi , bie rebucirte ©reite bcs fünftes 
«uf bem ©pfcäroib. £>ie rebudrten breiten (inb mit ben 
watjren gleidjjeitig pofiti» unb negati», unb.foHen bur# 
1, lj bejeia)net »erben. 

145. 35u«b, ben «ptwf t A benfe man ficb einen SRerU 
' fefan gelegt , unb bejeitbne bie Soorbinci ten bjefetf fünftes, 
ten SWitfetpunff aUi Anfang angenommen buco> x, y; fo 
fjl bie ©leicbung ber (Eflipfe . * 

TOOratt* leia>t ermatten wirbt 

che ■ a 5 y 

5y — . ""!>»*■ . ' ■ 

Sotgtii^ bie (Steigung ber Sßormatet 



Wo 



*•»«» = £> 



wo offenbar x immer atß pofitiu anjufeljen , ober- tang ;., 
unb fotgtub aueb l t pofitiD ober negativ f)}, jettadbbemy 
eö ifi. 3)1. ». bie 91«. Sflormote unb £inie, gerate. 
Söt ben Äreie »«Ire 



146. 5Kf» iff/ wenn-x' bie Sfofciffe eine* $unfteä auf 

ber überftöcfje ber in baff ©pljiroib befapriebeneu Äuget, 
»effen Orbinate = y ifi/ .bejei4met: 

Ungl = g, tangl = ^. 

Sfcer 



u.itö äugende. nlicf? 

*** + y* = b», 

n>craii(t burcfc (EGmfaMtion : 

tangX a'x* ■ ' K 

tangl h'i T h ' 1 



»fWe : 271 



r.-b- - ■ 



.tangl = — tengl, tangl = ^-taugl. 

S>i<ftSotmtInW(Htii, aus 6« uxujrtn bit KbiKtrttSSreitt 
iu (tnben, unb «mgefe^cf. 

147. @«j(man 

Co *f* - ■". . _^ 

tengl rs tang'.Tl — e> = ^=== 

= ttngl.(l - J." - Je« - . . .) ..• 

= tangl. (1 + Je> +.t«* + .-.-) 

unb folglich mit 5Btrtia<i;läffta,una, t>« jwtitn ob« «inten 
»potensen »on'e 2 : 

taDgl= lang 1.(1— Je»), 
tasgj = tangl. (1 +i.'),| 

tlte 

, tangl = tangl.(l — Je* — Je«) , 
- ■ . tang j l=tangl.(l + Je* + Je 4 ). 

148. am (80.) etättbe |iib, ba ba« bottia,* 

— * _ g ~ * __ a — b 



=» Google 



272 SttgMtomefrif, . , 

gefegt »erben fami, wegett ber Slenfcunsen in (146.) au. 

jienblicfliti): 

-' -<H^)'-^ + «(H^)'-^----' 

©inb a unb b feb> wenig von elnanber »erftfoiefceit, alfa 
* X3 ein fetjr fleiner 25riid}; fi> ec^&U man mif EÖernacfc 
läfPsung ber Üuabtate: 

_ 1 = 1- 



! — b 

" • .+ b * 
« — b 



149.' Um Q-^)"na#^otenienMtteob<rejuenfc 

wicfeln, woraus ficbiwrfwiköige Svenen ergeben, wollen 
wir juerfi überhaupt » 

in eine DteiEjt na# ben faQenben ^otenjen »on x entwirf e(n. 
jjii brm (Enbe bijferentfire man y jwei SÄat; fo ec* 
[jätt mant 

©e^t man nun 

y = An- + Bi» - * + Ci*-* + Di"-3+.„; 

fo etjlebf fid>, itatbbem man ^ unb £| entroicfelt, bnnfr 
©nbftitution in obige ©Mekong: 

o = |n» — n — n{n — i)JAx" 

+ jn 1 — Ca — 1) — <n — Ü(n — alBi" -1 
. j ["»* — Ö» — 2) — <« — 2Xn — 3)]C | 2 
+ h +»(n-l)A| r 

, |[n* — cn - 3> — (n — 3>(n — 4)]DJ^ 3 

I +(n-l)(«-'2)Bl 

. |[n' - W - « - (n - 4)B — 5)]E| ^_, 

• I +(»-2)(»-3)C|*^ 
+ 



@<W man nun <u7t e»«f|!citn(tn = oj fo »M« 6." 
glfid), fcafj ' ' 

B=iD = P = H = .... =0 . 

S° ".' "^J ~ " ( ü~ *) = ° 'C: f» to( A mic 
flimmt. älgeimin l(i nun 

» = [»' - (o - .) r- (n - .) (» - • - 1)]N 
+ (»-. + 2)(»'_ „ 4. i)L, 
»OtaUS 

N =3 — C» — » + 2)(n — a .4- 1> 

«(2n — o) , ^ 

_' (n-. + 2)(n^.+ » . 

_■■..- ' *■(■-*.> *• 

Sttfo 



-«>(--»). 



»in -3] "- Onj - 

I = _ I» ~ 6)(n.— jr) _ „(n — 5)fn-6)fq - 7) 

16(~ - 4) ■" ; 4.8.12.16 '*■ 

etc. etc. etc. etc. 

£nfwirfrftmana6<ryna«b<m,*monilfAfl! JtStfoSe: fo 
«tytlt nun «I« tfflre «litt 

BlfoA = 2-, u'nbfolgUd) 
j = (»)■ 
- '0T~> 

+ "%- 3 ) (2.)-». 

_ .;«-4K.-5 ) (a)V ., 

1 ■<■ - aa - aa - n v j— 
2.3.4 i ' 



Do, wie <tia)t erriet, 

if»i fo W, f»c 

(I _r,T^rT)- = ,-, 
v. @ 



27* 



' Sriäottomefrkv 

+ "°+ 3 ' p»r- 4 

' + •!'+?<• + » <&— 

»(» + »(- + Ol» + 7) ,..,— 8 
+ 2.3.4 ^ J 



150. 3!a#(l47.)i|J 

■ + * m ~ i + 




$0{gli$r na* twn »Olfyr bcTOÜfmen Sieben: 

" C-fö" -CD"" 

gtt (2n + 3 ) / 2\-*—* 
+ 1.2 \e' 

gnttn + 4)(2n + SV * 2 V**"* 
+ 1.2.3 V«' 



= (t)"{'+?(t)" 

. 2n(2n + 4)(gn + 5Y e V 
+ TäTs W 



äufa§nticfre«r(f|l, reinn man J^^ = i fc«t: 

■ — b _ b~~ ' _ T 1 + «* — t 

• + ' i + , n"T7 + 1 

- ( rr T7 - 1U1T+T+1) 
( r t+ ... + il' 

„.Google 



' ""■*'+ r t "-gg{ , 

(^)" = ±|ö)-" + ?©-'-. ■' 1 

' 4- 3a(2a ± 3}/2\-*n-4 / 

T 1.2 J.77/ I, • 

+ 2"(2n+4H2n+5y 2-v-a»- fi ( - 

: * i.s.i-. .GU .. 

■ + . . '. } 

tw*o*ere gel*« fdr ein gerate«, fca« untere Wr ein «n* 
geraota n. aijo 

(Hi) - =c4r"-f(fr- - 

1.2.3 w . : 

-d)"{^^y 

2ri(2n + 3V ,y 
+ — Hj— (i) 

_ M2n + 4)(2n + 5V .\" 

iTÖ (.7,1 

+ ...■*.,.... 

151. 3)« man ifact) trai Obigen ble rtbucirfen Sceto» ; 
immer Id«( aus Den »obren berechnen fonn , unb untob 
'ef>«i fo foten in ber goljc immer jene (iatt tiefer in Die 
gormeln rin^tfütjrt rotreen, weil biefelben baburifc ata» 
Mrjt werten. Slo* fürt> ftigatta ausbrMe p bemerren. 
9la« (145.) rare (146.) if 

ta " Bi = p;' ■"•>■'■£«-•». ' 

woran«! fi* triebt ergebt: 

•■i'.ii.l' = «.,.,l'.üil I =y. 

1 '© aGoogle 



2^ 6 . Srigoiuwttftie, 

Sa «mV, alf» au* sinl, mit y 9t«i*i«fiS P»|M» •"* 
negativ i(l i foi|* ,,,,„, = ,, 

unb felsH« 



- b'.y 



«»tiefte £inic }»ifd>tn A unt> A,. 

152. ©ei) 

u = f(i, y,ri=° 
äberb<mptbie©M*iuta. einet <"""<»«» S«*<< auf web 
ä)er Sit tutjefte Sitiie s 8<S»9™ »« ü » n f oa ! f" tf 

=/a.rnrj",' + ".* • 
SRa* SSaciaticnwilili iune (38.) ift 

T = ri + y, j + v, 3* = t3x » 

H= Q = R= .. .,.) _„ 

N'=Q'=R'= 1 . 

Mb / ba y , & wegen *« gesebenen 8td*««a bet l tnnuiKii 
gia*t nkdt 9an! unab^insia »o» rfnotum |inb: 

-§*-£>■ -■-•■—' 

(£)* + $)*=»■ 

»oraii« (<i*t: wenn man § eliminitf 

©•» -(£)*■=•• 

8b« (SSatiafionetecbjmna, 27. 38.) 

p = (STJ ~ n + y,' + .,■ 
= * = £ = £■ 



©Ityiroibifcdfc 



aifo 

. • <&•£-©•*« . 

©a« 3ntegrat biefer ©Eei^ung, taSBerbinbang mit ber ge= 
gebenen ©lekjwng 

«MJ( jur, 234fHmnwng bec fÜcjeßen Xinie §tm ," . 

2)w4> 25errauf$ung ber ©pe&Jfaben ecl>Älc man au* 
obiger ©leidjung: 





(SO- 


* 


-(!)• 


.8« . 
■%;-•■ 




$)• 


*• 


-CS)- 


#«, ' 




■©■ 


$■. 


-$)■ 


^^t"- 


Setrac&M 


man fo ait 


: n>n|iant; ( 


o »erben feiefe ©[«= 


(bimgen: 












$y 


y — 


(%y- 


:=». v 




(!>' 




$>■= 


r = o, 




(S)- 




(£>- 


s cs o- 



153. ©ei einem £Xe»o(ution8fpljäre>tb feij jefcf bie 2Ire 
ter £>re!)img bie 2Ire ber z. 3>iift man fiel} von irgenb 
einem fünfte feiner. DberfWebe auf bfe «Ebene ber 3£y ein 
9>erpenbifel z gefällt , unb burd) beffen S«(Jt>»nft nacb bem 
anfange ber Coerbinaten bie 1 Jinietgejogen; fo fmb t, z 
Coocbinaten bet erjeugenbett <S.atm, beten ©Uicfcnng 
alfo bur# 

- r(i,.) = » 
fee$ei$nef werben faitn, .fe'bajj folglich i eine Sunctttn 
von z ij: , utib bemna$ 

t = f't ; . . . , " ; . ■ . 

gefegt werben fann. 3)a offenbar 



278 SrigMiomctro, 





v = »• + »• 


fp 1(1 


«• + J" = W'V 


et«, wenn man 






-(»•■)• = «■■ 


W> ■■ 





x> + y» + r» = o, 

bie ©tdäjung (inte »eben D\e »otudonßfp^roib* , wo Fz 
in jebem $aile üuS ött ©fetttmng ber erjeugenben £ur»e 
benimmt werben muß. 

©e($en wir atfo in (152.) 

■ = «' + j* + ; r« ( 

foift 



CO— (©-* 



r. 


■*■ 


■» *« 

- ' J 5 = 


■ 


.#+?•*■'( 


y 


■*- 




9 


■4 






*r 


& .. 




»«" 


-'K = °- 



«fly — yft = Cft, 

eine@Met$ung, beren^ntegtal, neBfi ber ©leic&ung 

* + y» + f» = o, 

We farjefle ?(tile beflimmr. 

154. Sie (Steigung einer ßugef i|? iefannftia) 
x' + y» + t» — » s = o , 
ben SÄittripunfr als Anfang ber Eoorbinoten angenom* 
n»n. Of>ne aber btefe ©teidmng weiter ju btrücf (tdjfigm, 
ttßt ftd? bie furjeße ?mie auf ber Äuget feljr (eiebr auf fot» 
genbe $lrt beftimmen. ©a man nämtid) in bitfem §aOe, 
wenn ber Anfang ber Eoerbtnaten ber SWittetpunft iff, 
jttt ffoorbinafenare als 2>rer)ung8ar_e annehmen Faun j ' fo 
(äffen fi<& in ber vorder gefunbenen Differentialgleichung 
*/ Y/ z gegen einanber wtfaufdien; 2>te*giebt 



' . &p$fc*fMf$t 279 

xdj^y3x.= c9i, ] 

. y& — atJy = Cd*, '. . . , ■ 

ÜRutfipficirt man nun bitfe (Steigungen tefperri»* mif 
^/ x, y, unbabbirt; fo ectjatt ttiah , . 

a ■= Cxß, + Cx fa + ( Cy ß«, ■ 

C'x +' C"y -I- Ci = o , t ' 

totiäje* bfe ©teicfjung einer butdb, bcn' 30?«ffctpunff' geljens 
ben (Ebene i$, wie fi<$) leicbt aus -Krumme gtöc&e. (4.) 
«rgiebf. $einna$ t(f bfe f utje)ie £mle auf ber Äuget ein 
burdj bie beibeh gegebenen fünfte gcfjenöer söogen eines 
jjr&fitett Äuge (f reifes. 

155. Süt)« man nun in bie ©feicfjimg 

Jtdy _ yfc = Cfll (153,) 

(laft x, y bie polaren C£o*c&inateit 9 , v ein ; fo i(f 

istco*}., y = T»in v , 

ben Anfang, ber (Eooröinaten als fßot angenommen. 2([fo 

» fix = cas<fi>v — viinipoip, 
Sj = siny(5» + raoifdf, 

woraus leicht: 

xdff — yd* as r 1 »))., 

fo bafj alfo 

-sr- c 

«ine conftante^rSßeifr, für jebe futj«pe'£inieäuf einem 
atßfationsfp^äroib. 

gernet erfc^Ht wmUltytX 

+ (sinpS* + »co*.y<V)' 
= <3v' + v'cV + fta 1 , - ■ 

SUfbf wenn man ös aus tiefet unb obiger ©leic&ung «li* 
minirt: ■....., 

T 5(»i _ C')«V =C i ((5T'' + £*■*). • 

2>ur# (Etiminarion »on ty «giebf Jub: .. 

3>ut* SÖerbinbung tiefte (Steigungen (äffen (teb manebf 
bemerf cnstvetttie Relationen fmben. 3. .©*-.. 



280 Srigmwmcfrie, 

g»t + »ifrl »» + C» 

S.*—V<V = »> - C» ' 

156. 3(t nun (Fig. 64.) P ber (Enbpimft ber 9tot(u 
' (toneave, beim eflipttft&en ©p£)äroib ber 9>ot, unb AA ± 
ein WpH bcr furjeften Sinie burc£ A unb A t ; fo fcrj A,B 
'= ds , unb fcardt) A t lege man eine mit bcr (Ebene ber xy 
.parallele (Ebene, beten ©urcbfcfcmi« A,C mit ber Ober« 
JMc&e be* ©pb^roibe (in £rei* i(I. ©et 3?abiu6 biefea 
.Äreifesi)?, wennx, y, z bie (Eoorbinaten »on A, finb, 
offenbar = v, unb, ba s<p immer ju einem Greife gc^rt, 
beffen £albme|fer = i ifi; fo ift 

1 i ▼ a df i A,C, A,C = iSf, 

wobei ju bewerfen i|t , bafj , fo wie 3s unb ty> , offenbar 
au$ A t C unb S<p gleit&jeitlg pofiti» unb negativ ftnb. §3e* 
jeiiftnen reit nun tieüSitifelPA,B, BA t C refpectt»ebuH& 
a, y\ fo iß In bem unenblf$ {(einen reeptwinfligen 35ret= 
«fBA.Ci 

A.G *3* 

£s **«**' sr mtm r 
©a aber aua> PA, anf A t C fenfre$t ifl; fo ifi Aar, baß 
immer 

uns folglich 

alfo Tsina = C iß, woraus* fid? bie merfwörbige (Ei* 
genfefcaft jeber furjeffru Sit nie auf einem 9totafion*fp{jÄroib 
ergiebt, baf» immer v*in « eine conflante ©rftfje ift. 

Jgiat man auf ber OberfTäd>c beß ©pEjätoibs brei buccf> 
fuejefie Sinien mit einanber verbunbene fünfte, wobur# 
ein 2>reierf AA ( A 3 gebilbet wirb, ünb man bejei<fcnet..bit 
$a(bmeffcr ber *psrafle[freffe bitrdj A, A, , A', burefc 
v, v', v", bie SEBmfel ber ©eiten AÄ t ., AjA 2 / A a A 
mitPA, PAjj'PA,, PA,; PA , PA aber refpecti« 
burtfc a, d' t i a' t a' t j «", a t ; fo ifl 



281 
worau« bimfc StfutripUcotion fi<t> teufet ergtebt: 

linoiiim'fin»" — lin«, »in «', lin o", , 

für ifbtt SDreiecf wie AA 1 A i .owf bee 0berfW<$e eine* 
Dtofattonefptiäroi&e. 

157. 3(1 mm bas ©ptiäreib ein eüiptifcbe«; fo ifUf= 
fenbar v bie immer als pofitiü betraute« SIbfciffe ber er* 
jeugenben gllipfe. Seiiefjen ft<b bafier je^( v, «auf ben 
punttA, bagegetiT^«, a«fben^unftA t ; foift(15l.): 

y ^ acojl, t, = otuil, . , V 

3ltfo, ba vsin« conflont ifl: 

acoi Irina 3 acoil, liua, , 
co»l«in« --= coil, niiio, , * 

35iefe Steigung enthält eine feljt »idjtige allgemeine 9te= 
Iatjon jwtföen beit rebucirten ©reiten unb %imutfyin fr« 
gerib jwefer fünfte. Wlan fann tiefe @Ui#ung aueb fo 
föntben: 

»fl (90' — 1) _ 1111(180» — «,)' 
•10(90* — li) ™ iTn'*' ' 

»oratio erneuet f baß fie einem fp^anfc&en £>reie<f angehört, 
brffen 5»ei ©eiten unb ©egem»Jnfe( 90° — I, 90° ^1, 
unb 180° — « 1( a ftnb. 5Bir wollen biefe» für baff 
golgenbe feb> wichtige Sfreiecf immer bat ßölfsbreierf 
nennen^ unb tue briffe ©eife nebfl ttjrem ©egenroinfel 
buwbj f unb y bejeia)nen. 

158. ©ejei#net man ben Stobiu« be* gjaraHelfreife* 
butcb . A, mit q, fo baß in (156.) v = p, ben Dtabtuä 
fee« JKrummungflfeeifeaberGHipfefutbenfitben^unftobet 
bur# r; fo bleibt r au# füt-C unveriinberf, unbba« unenbltcb; 
f (eint BC fann als ein £$ei( beö Äriimtmingsfreifeö in C 
6efra4>tet »erben. Sa nun BC offenbar ba* SHfferentiat 
6er breite von A t iß, »elc&e wir (jier = l fcQen tuoflen; 
foift 

1 :.r==3l : BC, BC = r&. 

SKfo im ©cefeef A,BC na* (156.), ba Ä,B a = AjC* 
BC» i(l, 



im 


Srigonomrtri<; 


aifo(l55.) 




V ... ■. f'+W ■ 

eint conftantf ©rißt, unb, Weil C=;vsnia = <»sina 
(156.), Immre 




— r«*(7$"-«- 



Sunfcameitfale ©tffercnfialformcln, 
159. '2Bir fanben oben (155.) 

t'(»* — C»)<V ==C'(ÄV« + *?*')> 
.. (»> _ C»)<V = v»<(V + <V). 

3)a nun r , z offenbar mit x, y Bef ber etjwgenben (Efltpfe 
einerlei ftnb; fo i(l (151.)/ wenn man j't^t olle »eränbet* 
ßty&to0mauf A, begießet: 

T = aco*l,, i =biinl,; 
At = — a u'ti 1, 31, , flt = b cort, 31, ; 
'5t' + (V = (a*rinl 1 '>> b^coil,*)^,» 
= •»(1 — e*tioi 1^)4)1,* 
= b'(l + «'tinl.ijfll,'. 

316er, wenn flc& v einmal auf A bejiefj«: 

C = vrina =3 aanaeoil (196.); 

olfo 

v* — C 1 ss «'(coli, 1 — sinn' coeP). 

©inb nun L unb I-, bie Sängen ber fünfte A unb A, ; 
fo (fettet augenbficflt^/ bog y = L,,' 9lbet immer 

L r — L = + •, 

unb fb(gU$ aüfy 

q> — L = + d, (?p = ± Sa, 

fea L als conftant angefeilt werben muß. Ullfo immer 

■ Sy 2 z=d0*. 

Sflaä} gehöriger ©ubfHtufion biefer Wni'bt&dt in bie 
Reiben obigen @(<i$ungen ergiebf pa> 



283 



»in— 'e'BOjl.'.g l^ 



8* = + a 'J o « 1 i r '—' 1< j 'V, • d l, 

weft&e jwei $ormetn , nebjfber Formel 

eoiUin. = co^rina,, 

feie ©runbfotmetn 6er fpljäroibifi^eti Trigonometrie finb. - ^ 

<So (|? nur nscb gu beflimmen, t»etö?e Sßorjeü&en man 
für £<* unb fls nehmen muß. 3|i«, < 90°; fo erfjeflet 
au« Fig. 65. ougenMicfli*, bajf ntft einem SBacbst^um 
»on <j unb. s aud? ein ÜEBacbgrtjum Don \ 1 »erfmnbert ijl, 
unb bemnacb; bfe obern <3eid)en ju nehmen finb. 3fr aber 
r>90°; fo selgt (Fig. 66.), tag mir einem 2Ba#iß 
tfjum »on-a unb s eine SJbha^me »on 1 ( wrbunben ift, unb 
baEicr btc untern Rieben ju nehmen finb. S>afj flo unb £s 
immer einerlei ^eiiften Ijaben, erhellet äugen blitfticfc. X>ie 
Quabratmurjel i(f, wenn man biefe Dtegeltt für bie Seiten 
befolgt, immer ppftth) ju nehmen. SInfiatt «rUfjt fieb teiefct 
s ober b in bie ©teiebungen einführen. • ' 

SriJttöformatioit öiefer (Bletdjuitgett. 

160. 3nb(m^utf«breiecf(157.),»o«, 90° —Im». 
»«anberKcb finb, ^atman(i31.)j 

0(90» — I,) = c<m(180» — »,)?f, - 

taBgCiaO".— *,) a (»> — O -'— t«ig(90* — l,)5(180 n - •,), 
— 3(180» — «,) = co»(90° — l,)dv, 

t>. i. 

A, = »•*,», 

tang«, £1, = cotljda, , 

k f*a, = "inl, dtp. 

JjMerauß erhalt man leitet, wenn man ßttj [eliminirt: 

8l t = —4g — — - 3yi. ' 

»et (1590t" 

, i - ^Google ' 



284 ' Srigwwmefri«, 



£>l« StarJet wirb lmmer'po|ifi» genommen <159.}, unb 
aiicb cosl 1 i|t, bal t nie > 90°, immer pofititf. 2Ufo 
i|t biefer SSruci) immer pofitir-, unb folglich bar; oben ober 
unlere Seiet«! |u nehmen, jenacijbem «, < ober > 90° 
(fl. 0kefr9er}6riger©ub|titufionerlja[tman: 

. üinaootiri — B'.co.l.'.coia.co.I.tV . 



iO 0.=,co,I, T - ' 

• wo bie ober« ober untern ^rieben j« nehmen pnb, jenad)* 
bem o, < ober > 90° ifr. (ÜB. f. borget unb 159.). 
hieraus ergeben fiel) na$ leiepter SKebuction als ©runbs 
foraeln ber fpr,aroibifcpen Irigonometrie : " . 



5. =.ri_.'co.i,> .fifi 
wo bie Ouabrafwurjel immer po|iti» ju nehmen Ijl. « ober 
b laffen (i* M#t (latt e einfahren. 

161. 0inni|taberC57.)lnbem^üifsbreiecf: 

co.(90" -l,) = «i»C»< — lj.infco.. 
+ co. (90° — J)cwf, 
•Inl, = CMlco«««nf + rinlcoif- 

«Seljen wir bafcer filr bie btiben Jgpillfsroinfel h unb h, : 

•int, = eoihrinCh, + I) 

ä aoahoMh.amf + mkibk, coef j 

fo «cgitbt (i*i 

' ootlcoia = cosh COih, , 
rinl = coihfiuh, , 

unb tjtecauS 

tangl . linl 

mittel^ weiset $onmfo ftdb bie beiben £iilf8tt)fofet bettfy 
.mit (äffen, hutibh, finö als conpnt $u betrauten, ba 
man Iji« immet a, 1 at« con(lant btttatytti. 
©efjt man nun in b« gocnirf fuc £s 

. ^ . I recvGÖOgk ' 



■ ©p&äroi&ffdje. 2S5 

fo nfyZAt man na$ einigen 9\ebuction<n 1 

ßt = «Tl.— e> +■ «'coih'rimh, + f) , -< ) < 
^bTi + i^coth'.nnlh, + f) ! .<?f. . 

©a femer nadj bei: erften Faustformel in (160.) unb 
naß bei bort bewiesenen Sifferentiülformeln 



iffifoffl 



Integration »et Sormetn für Ss unb Sa.', 

162. Um biefe Integration mit 2eiebtigfeft auajufu^ 
ren, i|t juerft subenurfm, bag bie ©rö£e 1 + p a sinx 2 
(tri? immer in st»ei itnaginäce gactoren jerfMen lagt. ■ 33e* 
jettfenef man nämli# bte Safie ber liijperbolifcbcii Xojjaritfc 
tuen, um fte von ber (Ercentricitflt ju unterbleiben, 'b>c 
fcur(& c> uhb Y*^l burtfc i; fo fege man 

1 + p'iinx' = m»(l — uq 2 ")(l — nc — 2i *), 

woraus nac&. (gntwitfefung beö ^Jtbbuct«, inbem man 



fe^t (Differentiatfortmfa. 48.), leicbt «rotten wirb. 

1 + p'ünx 1 = m'|(I — n)* + immi 1 | . 

£>ies glebf bie beiben ©jungen ,m a (l t— n)* =1, 

4m.'n = p*, aus benett nac^j bekannten Dtegelrt 

P' + 1 ± 21V + 1 + 1 
P 2 s 

' . ■ ' = I p~ ■ = »>' +1+1 " 

wenn matt nur bas untere Setzen beibehält, ferner . 



2(1 i!Z3 ±I> 

«iC^^+l + i), 

wenn man, wie sortier, bas untere geilen beibehält. 



286 5W<l»w>raefti<i i 

(Etat fo felje man 

i _ p- dpi- = ,• (1 - ,**■) (1 - ,o- & ) . 

. " ,'(i - 0" = i , V' = -p' i 

(i - vi + :> i - p' ± i 
^_ p' 



..' » > rr^F + 1 
wenn man bas ofcere <3eid)en beibehält. 

" = 2( r,.!U..)°-* (rpr?± ' ) 

tvenn man ebenfalls bafi obere ^eicijen beibehält. 

SÄan fwt bei tiefte (£ntroitfefuna. ju merfen , baß 

i#. ;: - ■ * 

163. SBenbet man nun Wf etfte gerfegang auf bte 
S«me(: 

inbem man p =ccosh fefjf, an; fo erhalt man/ wenn 
ber Antje wegen 

Tl + 'iUmV- 1 _ 

rTTT'"tSTP + i '*, 

jififttwirbt , 

d»'=i 4b |*i + #'co«h' + i[ 



(Entwitfelt.man nun bie Betben imaginären $acforen 
nac^bemSöinomia^e'ofem inSÄet^en; fo ergiebt fia>, in« 
bem man bas probuetnaft ben pofitiuen nnb negativen ge= 
raben ^otOTjen »on d<fc + f i©cbnet, unb 



- '-tC-TTtTfl)"-.'*- 



i '•>..; '•■■ 3 



■SJ''*' 



n.f.f. «.f. f. 

feist, tmft« 5>robu« 

' '= n - i It 8 """- + * + o- 2 '^. + j 

. _i j^c», + o + c -4i(b, +f)j 

- i \ß^' + •> + „-ä*. + ')| 

• _ i loMC, + « + 5 -«Hk, + f)| 

=3Ä — 2Ä co.2(»i 1 + f) 

: - 2*0014(11, +.f> ( 

1 '+— 2Ä co»6(h,'-4- f) 

— iScö.SCh, + f) 

C3>If(>r<ncIo[foTOieln, 48.')' mit fo(gli<t) .:. . 

^«=4>tVn- t » c0 ,fcJ + j|j3C — ■ 2^0012(11, + *) ] 

— 2Äco.4(b, + t) 1 

' 7 — 2&CO.60U + f) | 5£ 

— 2icos8th, 4- t) \ 



.288 Srijjonomtfrö, 

»er - ..''■'■ 

/c<wn(b, + S)3t = i «irniCh, + I). 
SilfO '•'"_.. 

» = 4.btri'+«*«»»EH-i)|W — |iiin2(li, + 1 

— }£iia6(b.»_4- i) I 



3>a <#er off«t&ar s = o für a t = a, 1 ± sc 1, fe. i, 
wie ausetibiicftt* erfjeBet, ba benn bae jjüffsbi'eiecf in Den 
SOlertbioitbogfn. biinfr Ä übergebt, (üc f = oj fo tu 
Ijaltmän 



t 4b|T"l+« 5 co»h ] +i| |Äf — i.&[»in2{h, +£) — «bSi,] ] 



s f blVTpTmE* '+ iJ(J«— 1^001(21., + f/iinf ] 

— $&co*(4h, + 2f)«in2f I 

— fiUo«{Ch, + 30rin3f } 

— i^ooi(8h, + 4i)iin4f I 



(ßoaiomttiie. 28.) 

. ' . j,:,.. Google 



■. ' ©pljäroitöffye. . . 28$ * 

©ief« S«meit f&fl im Solgenben immer bnrc$ (A) &t. 

jei^jtiet werben, , 

164. SEBäre efefcr ffein, unb e« w<Sre »et|iafrer, f;i» 
§ere ?Jeteni«n als e 1 ju toernac&Wfftjen j fo « cb>[fe man 

- p.= H -J-i'cothUidCh, +f)>.<5£" 

=s |1 + ♦•»ooih'miO», + f)*(5f 
= |1 + i«'ooih*[l — coi2(h, 4. f)]13f, 
~ =t (1 + i. ; w.h>)£ - $i*äth*faZ(h, + f) 

+ 'Cons t . 

©•frtmmt man nun ble £onftante wie vorder; fp tr$ift 
man nact? einigen leisten SXebucttonen: 

£ = f + l«'cMh*|f — «u(2b t +l)*Üif| , 

ßwfdje SKätjcrungsfßrmet immer tmr$ (A'j üejeio>net wer* 
ten fott. ■ 

165. Um mmautfc o jufinben, enfwicfele man tn.ber 
formet für So (161.) bie Üöabratwurjil fireine Steige j 
fo erfjdft man: 



,1.3.5. , 

-. + .,,.... 

r dt f . ftT • 

joqmT^ ~~Jl — co*h',iin(h, 4* *J 
1 /■ »inhöf 



woran« , wenn man Säijlet .unb Sfanner mi( cos (h , + f )* 
biöibirt, unb # = «»(11, +f)ft$t, [ei*ter^al(en»irb: 

- -4-r; Arctangainlitangfh, -f F>- ' .' 

(£>iffecenria(fonttefn. 31.) 

3>te Senfiantr muß c>icr wie»« babnr$ Seftimmf wer* 

v. ' • % ■ 



2%o Srigonotncttie, 

bm, Sof os^o für f=o, n>i< tri*! «Wirt. Stobiircfc 
«r^ait man bot «r|im $t)ti< b(t SK<u)t für » = 

■im coli l Are tangginh taug Ch.H- t)l 
sinh l — ArctoBgsinhUngh,/. 

Mir n«*;(l61.) 

. , . _ tangh,* 
* mh > = 1 + Ungh,' 

- ,- »"g 1 ' , ■ 

- ««<.' + tangr- ■ 






ba'sinacosl immer pofititt i(l, weit a ti(4)t > 180°, 
lnicfct >90°, imbh,. bas burcfc feinen <£o|tnwS gefun> 
ben wirb (161.), auc& nicfet > 180° genommen ju »erben 
Brauet, SDemnacb ifi ber erjle 'Stjeil unftrs3n«3H>I*= 

AjcUngMnhunfrOi, + f ) J _ % _ r _ 
— Arn Ung sin h ttng h, [ 

taugt = rinÜtang (h, -f-f), 
tangx'= aiahwiigU, . 

Slfo 

W(J _ ,, _ ■int|l.ng(li, + Q — iml,| 





+ «iah 1 taug (b, 
sinh »in f ' 


+ f)t«agh 1 


co»Ch,+f) C c 


■th, + sinh'sin 
nhsin f 


(h, + fjsinh. 


»inh.i 


ihr(b, +f).i«h 1 
Inh.rinf 


(t6i. ; , 


cos i Hin h, — 

■iah 


.iaP.iath. + f) 
linf 


•iah 


inPcoth.unf 
- sinf 





GOf 1 COfl BMI — linlii 

Dg 1,-et, GOÖgk 



®p&toit>if<l)c. 291 

warn man coth, == 2± (I61.)fflj<, ein 

u-gc, -o = ,^: o..i.„i t l. lc i co -^' • 

SR«$ (65.) if attt im gtlfiMclxf : ■ 

— ... - "-ISO' - l)~tf - o~(W - 1),... 
coa 1 cot f — »in I cm ■ 

atfo 



Uiig(i -•■) = - 



Urtg(z — i') = tangv, 

unb folglich z — z' — y>r bis er|fc iljeif b(ö Sliiöbruifa 
für a. 

€ef}<n wir nun 



(SoniomrttK. 40.)s fo sitbtth |iMi(«3«l<8nng '» ('62.) 

coilj 1 e= 1 — co«h* «in (h, + f)* 

(Snfafrftlt man nun fi&trljaiipt bte ^actottn U* tyvt&uctt 

\t - r 3 c 2i < h i + 0[", j ( ._ ,, c -2iA. + *> f 

na4) lern Bitiomifcljcn £^rfd(je inDifi^n, «nb erbner bi> 
©lieber bes $robtic« nadj beti pofttiven unb negativen 
geraten ^«tenjen »on cH*. + fjj fo erljäit man/ wtim 



+ • ' 

1 *^ 1 1.2 » X 1.2 1.2.3 ' 

+ ^:E5 — • i...4 '»' + ••• 

1 = i . »<—'> ■ . j. i »(»-'X— «, . , »l»-l) M— 3) , . 

, »..(ii- 2) »..(n-4) ... 
+ TX.T" 1...S " * 
. * 2 



SriSottomrfri«) 

1.2.3 '• +T 1...4 " T 1.» .!•■• 



u.f.f. n.f.f. 
gtfeQf nsirbr obt»,« $rebuc» 

"-.ilo 2 « 1 .. +C +0 -a!i-. +«| 
■ +rf|.«». +«+ .-*<"■■ + "I 
' _ ^i „so-. + o + c -«a>, + o| 

;= N 

— 2&coi2(li,-+f> 
+ 2Ncoi4[h. + I) 

— 2Neoi6(h, ; + f) 
+ 2N«»8(h, + f) 



Wfo 



»V" = älsC-i-i" + «IM« 

— 2&c«.2(h, + f) I 
+ 2Äco.4(h,+f) j 

— 2Ncoi6(h, +1) I 
+ 2Nco.S(h, + f; 1 



So » imtti« tfae poftfloc gonj« 3iu)t i(l; fo i(l offntbor 
immtc *»' =o, unt> Sie 0Stftje tri*« alfe immre mit 
tiiftm «Bliebe ob. ®et twete Sbeil »on «o tp olf» bo» 
^Mrobuct »oir — -Je* sinocoslöf in: 



rrsr* •( — i — / | c . 1 

— 2AeMa(h, +i) [ ' 

'.. + 2Ä«»40., + () I 

, I...T 1 ydoh + 1»' I„ . 

— 2icoi20il + I) 

+ 26o~4(h, +'f) 

... — 2&cwe(h,'+- i) 

+ 2D(;o.8(Ji, -j- f) 

+ ■ ' 

Orbnrtm«nnimim#t>enSofimif|ttit><cSBi!(fa$(n, untjffljt 

B,i +1 ...(*Ü 5 ±J:)-.A 
* 4.6 V 2 / 
+ 075' C 5 — )- c 

... i«;;;.'(i!^Li>;.i 

■ j. 1-3.5.. Ctinh + !)■ 1 

■ - + ,4TO' • 5ä V 

+ 

. 1,3,. (•!.!> + »* t 

. H.a. »-. . (n.h + 1)' ä 

+ 4T6T8*' 2i— - c . 

* 4. .10 2' 

+ 

* 1.3.5 , (wnh 4- IV ' 
"m' — ?' — ° 

:-'■■ . ' «...7, M«t 4- !)■ J ..- 

"*■ 4... 10- "2' 

+ 17712"" 55 — -\* 

Vfif. ""».ff."- 

. - - , ll:-,v^COO^IC 



29* SriäoniraKtro, 

fo «Ute t»<i« TWI*on >o = 

— 4«»»inioo«l|S8 

■ ,_iSo».ic'> + «) I 

_Bfc<..6(h, + f) | 
+ »«16.(11, + f) 1 



»obon bob ^Jnfegrat, wenn man jugtelcb bie (£en|tonte fo 
itfimmt, ba|j sfüco, = », 1,=1, b. 5- fätf=«v. 
wrf*n>inbtt, gang auf ä^nlitbl 8tt wie «ortet Uiä)t ouf 
folgerten SHu«traif gebraßt witb : 

— >»ow{&;, + f)rinf 
+ i»co«(4h, + 2f)iina I 
— iffleojCöh. + Sf^Sf l 
+ iÄcOitÖi, +4£)»in« 1 



Sllfo .'■''.. 

+ *Äco»(4h, + 2f)iiii2£ l 

. — J!8cM(61> t 4- 3I)«in3f [ 
*. + iJSw.^h, + 4f)»jn4f 1 



SDIefe 8«mel fett Im $o(genben immer burd? (B) fc<jei#* 
tut »erben. . Söernacblafitgt man ©lieber mit Ij&ljent ^o* 
Kitjen a(S e s ; fo erljält man 

«=i\> — !•' f «in « eoi.l , ' - 

t)ber, ba 

ift, mit b'emfet&en-iSrabe btt ©etiauigfeft in Sejiig auf et 

£>ie erßere formet »erben. nmnm!5c>[genben, immer b«rc& 
(B') beificjjnen. 3Bie y/ but(t> pt, .1 außgebriWt wirb , er* 
&eflft au« btm Obig«;, 



. ®p^rwöifc(je. ,295 

9tnfU füttQ einiget Stufgafren.- 

166. Sic brei gorntem 

unacoil — «»«.cd*!, ; (A) , (B), 

ober (tatt b'tt beibert tefjf ern , ( wenn bei: ©e6rau<& erlaubt 
f|i, au# bietierfürjfen, (A')', (B') (inb nun bfe mtwidiU 
ten ©runbformetn ber fp&aroibif(ben Trigonometrie. 2!us 
btt'SQerbinbungbiefer gormein unter einanber ergießt ji# 
wie in ben beiden ättbern ^rigonometrieen bie 3fufT6= 
fung aller m6gtid}cn gaße. 3Me Sntroitfelung fommf 
ober größtenteils auf bie Umfefjrung einer Steige ju» 
tütf. 5Dag biefe Operation ju ben weiftäuftigftm 
ber $natn(t«' geltet , wei|* 2f«*rr . -- 3>er Staunt er* 
laufet uns ba^er m'cbt, Bier eine »oöfWnbige '3Iuefübrung 
ja geben/ woju ein weitläufiges 2öftf erfpvberlic&.feipn 
würbe, unb wir muffen uns, um bie SWetftobe $n jeu 
gen, mitter Slufföfung einiger, and) praftifa) wichtigen, 
gätle begnügen. S)ie übrigen, ijicu. ntd>t bemäntelten, 
gMe werben in ber Slnwenbung wenig »orfommen. Sßcr 
übrigens bie n6tb,igtn analndji^en Jäülfsmittel in feiner , 
©eroalt i)at, wirb ne 2!uflö£itng aller giUe lekfet airtju« 
führen im ©tanbe fem*., befonbers, Kenn ex pdj. nti^jf toct 
»ou"|r<mbigett,. fonbern ber »erf ürjten gdwieitt bebient, et 
■ möge beim, wie wir, bfoebiejweite .^tetij/i.ober nod? $> 
t)ere <poteujen berütf (tätigen. 

Sluff be*i 3I,ym«rt) u b<6 eiiiett .<Punft"es unb ben , 
©reiten 1, tj bie fütytfh Sinie s, bie Sängenbifferenj 
ö unb bas Sljimutb, «, ju'finben. „ 

3n bem Jpütfsbreietf betettme man aus ben brei gege* 
benen ©täcffo a, 90* — 1, 90° — 1, bie brei übrigen 
©fürfelÖO* — «£7 f/ y, »ntr mittel|Her gormeüt 

- - '■ .. .cot «'„_.. »tob, - .... 

.^k.Jjulfeiwtnto n pb >,;.- „fb fatwm;W*ll$* ~j h> 
du* -o, , unb' oüB Wo gormetn (A) ofcer (A^,»,unb.(B) 
ober (B') ergeben |icb s unb«tf- ÜJZan bcma , fe J b«Vr6fi nur, 

' Dag |Io> bie oben-entTOirfetteji^ttfhKtit auf ttjtiit bes Ka* 



2«S Sttgenorattrie, 

biua bejfeljen, bie Sögen nad> fjinEangtirf) befanden fc 
tfcoben aber tmmec leicht in ©ecintbtn unb umgtfeijrt 
a«*gebrurff tperben finnen. . 

@o(Ite man j. 23. aus a, «,' unb I ba» ©reieef aaf= 
ttffn, fe fönnte man ganj wie vorder »erfahren. 

167. (Eine ber roitfctfglten Aufgaben, mit ttrti 5l«f» 
löfüng ftcb mehrere berühmte SKatfiematifer (3- ©• ?e= 

?;enbre in benMem. deParis. 1787. p.368. Driani 
n feinen Element! di Trig. »Feroidipi. Bologna 1806. 
4. p, 49, befdjif (igt tjaben , ifl fotgenb/: 

2Iu« ber Sänge ber für.jeflen SJinies, ber Steife 1 unb 
bem 5ljimutij o öee einen fünftes A , bie ©rette l t , baö 
2l4imnt£) Bj, unb bie Sängenbijferrnj ff ju finbeh. 

«Ulan überfielt feie&t, bog bie SluflSfung auf bie Um» 
fe^üung betreibe (A) jurmffommt, um f au*"''»/ a^l 
ju finben. £>enn bann pnb beel ©tikfe«, 90° — 1, f 
be* £ülf«bteietrV gegeben, unb 90° — 1, , 180° — a„ 
alfo ou<h 1, unb «,' (offen ftcb nacb. Mannten Stegein, a 
' aber mittel}! ber SHeifje (B) berechnen , ba au« ber Änflö» 
fung bfö J&öifabreietf* flcb auth y> e?gtebf. S^ c M* ^ u8s 
äbüng febeint folgenbe« SBerfafjren ben 58erjug ju »erbte* 
nen, wenn bie Srcentricitat e> affoauch e, fetjt Hein ifr, 
wie bie* bei ber Slnroenbnng auf jeobafifebe SKeffungen be. 
fanntHch immer ber gaff iß. 2Ws (A) ergiebt ;)tcb (eicht: 



* 


Uiri + 


F-™ 


k' +.11 




+ *i« 


»(*, 


+ f)rinf. 




+ **«< 


..(4k, 


+ 2l).in3f 




+ }&«oa(6h. 


+ 3f)iin3f- 




•f- $$«.(81., 


4- 4f)ii*4f 



©a nun « feh> -fleht tft, unb &, k, &, u. f. f. alle fefcon 
tö Ben -Affen ©liebem* enthalten; fo feftemairafo erften 

ÖlaljerBngsroerth 

,i ■ ■ **. ' 

° t ' h\ v t + «* wA'* + 1 1 » ' - - 

' 11,.,,- ■;,- CjOO^IC 



ibtfc£e. . 297 

uwan.h, h t wie wrr)ir (1G6.) a«* «/ 1 beregnet 
£af. Stfefen ecffen Dta^erungswertb, fe(je man fut f in.ben 
jweiten Sf)eit obiger @(ei<tmng , , woraus ein jtöeltec 914* 
jjerongawettlj von f fe/rDörgeljt» welaVreoen fo ju einem 
bitten, bie(ic wieber ju einem »iertenfiifirt, u. f. f . «Won 
muß Hefe« Sßerfafcten fo langt fortfegen, hvt jwei auf 
- einander folgenbe SJUfjerungswertbe ficb in ber »erlangten 
SlnjaJjl von ©ectmaijMen nid) t tuet) r unterfcfjctbeiM 

Siefee tßcrfa^rcn iff ; wie es uns fcfceint, für bie$Iug. 
Übung bei 5Beitem bas braucbbarffr , in biefem §aBe, unb ■ 
in alle» äfmlicben. Um inbe)j aucf> einen entwitfelten 
Söertfj von f ju tvbdt m , unb jugteid? bie 9lnwent>ung be« 
«Ott Criani unb Xegenbre ebenfalls läufig gebrauchten 
Sagrangifcfeen ©aljes ju (eigen, ' wellen wir bjer m><t) f bis 
auf bie vierte' Motens von e beredjnen^ @o weit gefjt 
au$ 2egen bre o.a. £}., öctani bagegen giebt eint feijt, 
«mplicirte allgemeine SSei^p. 

(Encwtffett man ds bis.ju bem ©liebe mit e* j fo ei» 
glebt ftcfr 

' ' ?*_ |1 + *•»«■** ifa<k, + o« » 

b I — 4« 4 co«h*«n(h, + f)*j ', 

tvowutf/ wenn man 

. 2.in(h, + £)' = i - co.2(h, + f), 
2co*2(h 1 +f)» = 1 + o<w4(h; + f) 

ftQt; t et d>t erhalten wirb : 

'. — i«*co»h'(i — i* v cosh')co.2(b I + l)3f ■ 

WfO/ »am man integrirf : . ■ ■ ; , ;;.; ■; ; ,;,; 

-i.'co.h'Cl -4,'c<..h*).in2(V+ £) 

3Me Sonfiante wirb wie vorder fo bejtimmt, baß ■ ='o 
ptiso. 3>it«giebti 

4- =3 (i + 4« 1 co»h» — ^V'«»h*)I 

— TT!** «wk'WWWU + 20« 112 *' 



298 Srigomwcttit/ . 

$Ihs biefer ©leiebuno, muft f benimmt werben. £>a nim- 

iß; fe erfyllt man, wenn man immer nur bfe ©Heber mit 
t* beibehält, .Webt: 

+ J»» CMh' (1 — i« 1 co»h 1 )co»(2li i + l)«nf 
... - ■ +ri I i«cMk*ooi(4h, +Miin2f 



+ icoth'[l— i# , co>h 1 )cot(2li, + f)tinf 1 ' 
+ T j T ,'iO«k<«»(«l, +2t)lin2f ) 

&erg[ri(bt man biefe @leid)ung mit ber ©(eic&ung 

* = y + »?*> 
bes 2agtangifcben ©afreß (3R. f. biefen Slrtifel ober ausb 
' Jtmfebjung ber Keinen. 27. ff.);' foerb^lrman ..' 

■ = ', j = -j-. » = <'i 

,« = f f = (-iOO.h' + A..|»,h<>J.- 

+ ;coth>(l — |« 1 co«h')co.(2h 1 + f)imf 
+ ,h.>coih<oo.(4h, + 2f)fin2f, 

" - »Ol) = ( ~ *•»!■''+!*<" «»"3-b- 

+ iboi^Cl — (( 1 eoib>)eo>(2li 1 + 4-)ria4- 
+ ,{,.' a»h<jo.(4h, + £>»£. 

SJIacb bem ?aa,rangifcben ©afce ift nun 

«T U 

+ T5 13 + ' " ' 

;»,+.*.■*.+ «*?-i&V ■.-■..."•' 

Um ■ ^|* > ' flu etit»irfeln> nfiifj man (^w) 1 enttviefefu. 



.Gp$faftff3& 299. 

in ©*jug aiif x =f fefffetetitjiren , ünb bann. £ffc f fVfsen, 
iE* erfreHet aber, ba| man bei ber <Enttt>icfefong »on(yx) a 
wegtafltn fann: 

1, ade ©Heber, tretet» fein f «treffen, ba bieft, bei 
ber£>iffe«nrktiön wrföwinben; 2, ade ©lieber, weiebe 
* «tttfyälitn, ba ba* ©iffewnllaf in — =c ^ muftiplitict 
wirb, unbmanMe^e'berörfpi^igr.. 

hieraus tt^&tt man; 

«*)* = (fi)» 

= j— ico»h=.-A + ico*h , oo*(2h i + I)«in,f( \ 
sb — iooth*ooi(a, + f)iinf.-j. 

+ 1 i,ci»h*oo«{2h 1 + fj'.iinf ' ' 

a £co«h* j— g-coi(2h, + fjsinf J 
+ 4oor(2b 1 + fj'rfnpl 
*il?£I — lowh* |-4-co*(2h, +• t)vdtt \ 



+ ¥ «in(2h, + f)tmf ^ 

+ oo*(2h, +■ f)'«nfooif I 

— ■in : (21i 1 + f)co«[2h, + f)iiuf* J 

es im»]»,*]— g-ww^h, + f) | 

+ coi(2h, + fJomaC^ + 0«»* ' 

SUfO 

2^1' = .i^Mik, + £) -., .: .' -. 

X j-£ + 00.(21., 4- V> in TJ." . 

@Su6jtft«trt man nun bie gefunbenen 9fu*btßrfe .in bje 
Steige für x == f, un& orbriet n'aeb ^etthjen »an *j : fö 
efb/altman nacb einigen teufen 3teb««tönen;.^ ■■*'*; ." [\ 



300 Är^ötpwrtrie. - \ 

+ i^cMvjiJ - ««ca., + £>«.£ 

Seaman nur M« a J fo wirb bie $ornwl 

f s: (1 — 4#colh)(i + 4<cotti) £ 
+ M'c .h>co.C2h,+ *).ü,^, 

fcie nocb einfach genug ift f um ficb fyvtt jur 93<rei#. 
'nung eines erßen SUtjerungswert^es »on f ju bebten«, 
ben mon bann bei ber oben getetjrten fucreftwnStontye« 
rungsmetl)ot)e weiter ybraucben fann.. 

168. ©ollen aus ben ©reiten I, 1 4 unbb«r?a'njjenbif< 
ferenj obiefürjeße Entfernung s ber fünfte A, A t unb 
bie 2ljimutf)e a, a, gefunben werbenj fo ergiebt (ic$ aus- 
<B)lei<bt: 

V = o + 4«'Muaootl|Bf 1 

. . * — ^icoitah," +, f)»inf I" 



33a nun e fe$r flem t(t; fo feile man- als ersten SRiHj«» 
rungsroertf) 

«inb Beregne hieraus unb au* 1 , 1, im £iHf3b»i<cf a unb f, 
unb Ejienuie ferner hj (166.)- SMefcSHJertEKfefjeman in ben 
(Weiten Ztyli obiger ©letcbung , fo ergiebi fict> ein ^weiter 
. Öiafymingsroertlj Don y. SOlitteffl beffetben beregne man 
, im JS?u£fsbreiecf wieber a, f, unb bann au$ h\, fege 
bwß wieber in ben (weiten ?fieil obiger ©lekfmng, woraus 
<idj ein brifte'c SJUtjerungeroertr) »on v ergiebt. SMefes 
(BerfäJ&ten fefce man nun fo tange fort/ bis.ftcb jwei auf 
cinanber fotg,enbe ! £ß<W)ernngswert l lje »on \p ntebt me^r in 
ber »erlangten Sfajabl »6n©<cimaI(teBen »on etnanber un« 



-.gSol&imoratfii*. 301 

ttrfdjdberi, «eiutd^affo y> gef unben i|r.- 9hm Berechne 
niaiwms v, 1,1, int -Oülfebrefetf a, a lt f, unb &ier=" 
aus enblid) burd) bie formet (A) bie fdrjefle (Entfernung s. 

169. ©iefe SSeffpiete »erben Ijinreit&enb ffij« , um ju 
.geige 11 ' worauf es bei' triefen Unterfud)«ngen «nÜamrat. 

tOl&ge bau Sßor^erg^enbe als. ein f urjec , in 35ejug auf bie 
©tunbformetn »ofljfanbtger, Slbrig tiefe« wichtigen , im 
Sangen noch wenig bearbeiteten, $l)« Is ber ^rtgonomefrie , 
befrachtet werben. '3)aß ich mich weiterer (Entwirf etungen 
enthielt, m8ge ber befcbränfte.üwum, unb (Euler« Ur> 
fljeill „Mais il n'en est .pas de meme si l'un des 
„deuxautres e'Ie'mens.d et s se trouvoit parrai les 
„cemnues; car puisque les formules, qui expri- 
„ment les valeurs de er et s sont si complique'es, et' 
„qu'elles n'ont Heu que lorsque.la difference des 
„axes est extremement petite, on n'en saurait e'li? 
„miner les e'le'mens inconnus. " Me'm. de Berlin. > 
1753. p. 277. entfcbülblgen. 

IV. gjolpgonoraetrie;. 

170. 3>ie spolygonometrie fjt, #jn(ic& ber Sri« 
gonometrie, feie StBiflenfdjaft, welche aus gegebenen ©ei* 
ten unb 2Binfeln einesSÜieifcfö, wofeureb ba|felbebe|Hmmf ' 
wirb, bie übrigen burd) Siecbtiung gu finben lehrt. SRan 
fann aber unter bie gegebenen ©tücfe bie diagonalen mit 
aufnehmen, woburd; btefe SBifienfchaft bebeutenb erweis 
tettwtrb, unb, »oflffönbig ausgeführt, ein eignes große« 
SBerf erforbern würbe. 9ötr Rotten uns ba&er. hier bie« 
an ben erften eingeftbränftcni Söegtiff, unb betrachten' 
blos ebene ^oftjgone, Ca bEe fpharifche (polijgonometrie 
noch feljt ber S5earbeifung bebäcf. SÖl. f. inbef) eine 2Ib= 
Ijanblungbcn Stabe Über biefen ©egenfianb in Crelle's 
Journal für reine und angew. Math. IL 1. ©.9. 

€nt»i<f elting ber ©runttfornultt. 

171. 93ei je&em 9>oti?gon wirb eine befWmmte $olge 



302 Sriöönömetrie. 

ber ©eifen imb SSJInfef Angenommen. 53Be rtxrt näm(ia> 
in einem necf bte ©pigen wen ber linfen na$ ber regten 
Jpanb (jin burd) . 

*, ß, y, S,,...fi, r _ 

bejeittpuri fo foden bie ©fiten 

ntf, /»)-, jxT,,.. ./«-', ra 

tefpecfit« b«r# 



iejeldbnet werben. 

172. 3ebe@eitea,5r>t5tt>et£Kic&tung«R, \>onttna$ß, 
unb von fij\a$ a, jenadiöem « ober /? als 3Infanggpunff 
angefe^eh wirb. 2>er SBJinfel einer ©ei« mit einet anges 
nommenen %pt wirb ermatten, wenn man bur<& ben 3m* 
fang ber ©eit e eine sparaßete mit ber 31re jieljt ,. unb von 
btef'et- sparaßet e an aufwärts von bcr Hnfen nad? fcer red): 
ten Jpanb f,m bie SBinfel t>on 0° bis 360" jafjit. JDiefe 
SReigungswinf e( ber (Seiten 

aß, ßy t y3,....pr, ra 

fußen, wenn man 

«• fi,Y P,r 

at« $nfang«punfte annimmt, butd) 
wenn man aber 

, j», f, 3, ....*, > 

als Sfafangöpunfte annimmt, burd? 

•i>/*>~7i>< .'/'s, 'l 

Sejtidjnet werben. 

173; 2fu« Fig. 67. ereilet augeiiBflcffid), baß immer 

+ B , + o, = 180", ± «, P= 180* + Oj, 

«ff» 

*in(+ «,) = — (in(£ ",), iino, = — in«,, 

C0»(+ O,) = — COl(± B,), COJff, 33 CO»«, 

ffr.' ©og(eid) faßt audj in bie Singen, bog bie SfWgiwgö* 
tvinfel ber Seiten gegen afle parallelen 2fren biefelben jinb. 
174. üfiaft ^abe )>ijf irgenb ein 2>reierf , fcnrdj beffen 
©ptfcen «paraflele n mit öer^re gejogen fegen. 3)en*p»nft 
in ber unteren ^Parallele bejeia^ne maß immer bwrdj» a, 



■ ^Äononteftit 303 

t}le beibrn »im berlinfw na* tet ree&Ktt jßanb'tfn batauf 
folgenbenbur*/?, y, unb Ut mfatfattibtti ®tlün.voit . 
', »or^er. 3>ie fpiften 9Wgungß»infel ber (Seiten gegen bie 
3ipe fetten «', /?', y, bie na* bem obigen ©efejj (172.) gt* 
nommenen bagegen a t , ß ±l y t , ©ie (Entfernungen bec 
eberfien unb unterften , oberfien unb mitreißen,. untet|ten 
unb mittelften ^parallelen von einanbcr feijn p, q, r, fo 
baf immer p =,q + r. SÖtan muß' nun jwei Säße, an*. 
terföefben, jenaifcbMtt ß in ber mitteilten, y in ber ober* 
ften, ober ß in ber oberßen / y in ber mittelen ^araOele 
lic^t. . ^m erflen SaHe ift, wie angenblüftidj . errettet, 
r ==asin«', q = bsin/y, p^csin/'. 3tifo 

c»in/ ss aiina' + b*in^'. 

9Jbet offenbar o t < 180° , /?, < ISO , 7i > 180°. - 
3ilfo sina' === &ii\a lf sin// z=:&inß tf siny'^ 
— siny^ unbfolgü* 

— Giinj', — aainaj Ikiin^, 

«■ins, -|- biinb, -J- ciinj:, ss o, 

3m jwetten ^a(Ie.bagegeni(tp = asina', q=bsin)?',. 
r = csin/. 5Hfo 

miba' =1 blinjf + Clin}-'. 

aiber «, < 180°, £, > 180°,. y t > 180°. SKfo 
sinee':=sina 1/ sinp = — sinß Jlf siny' = — 3">7V 
unb fotgti* . 

««ine, =s= — btinfl, — otiuy,, 

ober ebenfalls 

atinaj 4* nun/, + ciiny, = o. 

175. 3it^f man je§t bur* bie brei@p^en brt gege« 
benen ©reiecf» 9>erpenbifet auf bie angenommene 2Ire, unb 
laßt p, "q, rbie (Entfernung ber beiben ilußerflen 9>erpen» 
biM, bes am »eiteßen rctfcts unb bets mittelften , .unb beö' 
am weiteften finfe tiegenben ^erpenbifete unb be« mittet* 
flen bebeurenj fo muß man/ wenn « ben in bem *per= 
penfcifcl am weiteften. linfs liegenben ^>unft bejeia^net/ 
wieber jwei ^äfle unrerfobeiben, jenatbbem ß in bem mit= 
«elften, y in bem 5>trpenbifel recbt«, ober ß in bem ^er* 
penbifel rea>t8, y in bem mitreißen ^erpenbifel lieg*.. 



30* , Srigwtttttftw. *• 

3«nwt iff p == q + 1 , attb Im erffen $aUt r = a cos«', 
, q ar bcos/3', p =: ccos/, o(fo 

t»fe augenblicffob ritytttt.- Offenbar liegt' afcer te bfefem 
M'liHffl««! jwifcbm 90°unb !?70 , ^ t jwifd>en 90° 
«06.270°, y t s»if(fcen 270° tjnb 90% fo bag cos«' 
' i=— i -cosa 1 ,^Go3/S'i=: — cos^j , cosy'rr cqsj^, 
unb fot9li<f> 

crosj-, = — ,'acHi, — bcot/t,, 
buoib, .}. bco*£ ( -f- cco«)-, =o 

tft 3m (Weiten S Q Öe i|t p = acos«'/ q= bco»/?, 
r = ccös/. 2llfo . 

■ cwo' =a b cO»^ +ceof/ , 

Sit tiefem Solle ttegf aber 'immer «, jwifcben 90° unb 
270% /?i jwifiben 270° ufib 90°, /, i»if*en 270° -nnb 
90°, -fo baß cosa'^ — cosa i; cos/P = cos/?!, 
cos / = cos ^j , unb foigficb 

ißz »ie ttoc^ec. 

SOlao i^at alfo immec 

otino, +-"b»in/( + ciiüy, e= ö, 

acoso, -|- bfcc«^-! ccojfi-o. 

176. £>enff man ft$ nun ba* netf aßyS.. .ftv bur# 
He diagonale ay, ad, ae,...afi in bie ©cefecfe aßy, 
uy$, aSe, ... apv jerfegf, unb bejei^jnet jeijt bie OTeU 
gungsroinfet ber ©iagonaien gegen bie angenommene 2tjr* 
bur<(> «'_, /3', /', (T, ....j fo ijt in ben einjelnen auf ein* 
anbec fotgenben £>reiecfen, ba offenbar jebe ©iatjonafe 
nadE> Ujren beiöen Stiftungen (172;) genommen »erbt» 
muß, nocb (-173.) unb (175.) 

»»in», + biinfJ, + ay'.dna' =S o 
_ ay.tma + oiny, + ai.a'mß' = 
— aS.naß' + dainV, -{-«.»inj'' =» 



— a/t,einK~ -(-msin^.-j- Jtlfar, Hz O 

«nb ganj auf biefetbe 2Irf: ■ .. 



• ^otygonwnefcie. 305 

■■ of.coso' + ccoi)', 4" ui.vo*f<"=z 
- i3.eoaß' 4. dcosJ, + M.cai^Ea: o 



— ni.cun/ 4- IcOfl, 4" ^ •«ösV SO , " 

— afi.CM* -{•mcoi/i 1 4* DCM 'i ' S«i 

Mprau0ft$ folgende; für jt&es flJofygott geftenbe, st»ei 
merftrürbige ©Übungen ergeben: 

Aiina, 4* hiihß t -\*"etiny t 4- dsin'^ 4..,, = o, 
acossj 4- bcasß x 4. ccosy, 4* deosj, -f.,.»», 

bie fiifr «ui tetd^'c in SJBorftn auebruefen (äffen warben. - 
34» tfnbe pe iüecp, i»enigi|l(nö biie •jhje'itt/" In Cartiot 
@eom. ber ©tellung, a. b. J 1 .-*.- ©dbumacber.' IL 
©. 58. 3nbe|jfagtearnof ©.,57., baß ftyon fett (an. 
gec 3 e '£fine2lb[)atit)(ung »ott 2'JputIier im ©efrefariaf 
b«« Sflationatmfiifutö mebergelegr feij, . worin feie jtveite 
Steigung efeenfaßä »orfomme. 3n 2'£uilier« Poly- 
gonome'ttie. Geneve. 1789. finfcen jte |!t£ noeb nicbf. 

177. artonBejeit&nenunfeMugernSßinfetlKö gege« 
Benen Sßielecf a bureb 

• i Ar'i '»•••/»» »» ' ""'" 

toaMiabtmtvfmift, baß feie äußern' SBMitfet negafto ge- 
nommen werben, wenn ber entfprec&enbe innere SBinfet 
> 180° ifl. £epi$M X bin Iren äußern Söilnfct unb 
Ä' feinen poftffoen 8Be«^, * ± bogegetrben (1 — l)(«t 
nnb X, feen Itert £Retgung«winle(; fo ergiebf ftd? au« 
(Fig. 68.) foglei* V=.* + * lf 0bfr£ 1 =--a.'-f-*ir 
Ä t — 180°, == A' + x t — 180°, A, < — 180°=— X 
+ Xi ; t- 18Q°, b. i. allgemein A, = A + « t > fo. bog 
ütfo ber Ire OMgung*wfnfel erhalten wirb , wenn man bett 
Iren äußern SttJinf et unb ben (1 — 1 )tm Sleigung'Swinfet 
gii cinanber abbirt 

178. ö^men wir &$rt bie ©etöv«W3Ire an; fo 
ift, ba bie Dieigungs* unb 3taßenwittfel jeßt fo auf einan- 
b« folgen i 

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unfce&mfo; 

cott, =r cnie, 

. ,. ■ *.; w*. *■»«♦£*-+■#..■ ....;.-','.•'_.' 

' T- • -*»,«,== inif. + fi.+ V +**£-»+*), 

©efjf mdti Dlefe^ußfcriFcfe in fefe"@i«&itnam IKCITRJ; 
perMEtman .. . •' ■' ■'■ -_ - -*r> - ■ • 

+ b«ia(o + fi) 



+ m«in(« + ß + r + 4 + ...:+^) 

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9MWoi»iitrttfe. ao; 



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(NOT..Comm.Petrep.T..XIX. X X, X)Vr M ol. ™5yi' 



SJrt Iwrgtjfcat. 

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+ bco.(. +•« ..■ ■;■ 

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+ Ii09t(. +£ + ji + •) ' 

- + mct»(. +> + r + * + ..,+^. 

meia,. fe, « „»„, eimt Sormtl fli , jeBÄSnS 

f»°4T'' ■"**" (186 ° ""* *"«*»»••** 

aufl^fuitä Der ctnjcineft ffiilt. 

tl< «uffsfimj) aO« <inj<fetit galle. g,t j,i im «l. n 6 e n 

?r„"." ftt t? b,i *'! ««SM««*«« «teVl&KÄ. 
IWOnwiKttltau 5<l ä en, wm»Me0@nKi.i,nBSSBtof.i«, 



3pa Sttgoüomcfttc. 

' geben ftnb; imbn* muffen, weiterer airtfnfjrltnj wegen, 
auf anbere SBerfe toerweifen., ' ^ '.". 

ISO. (Ein qjoririgon wirb (Sßielei 8. j , . wenn ble Sftu 
jatjl feiner ©eifen'== n i|J, burtb 2n — 3 ©tiefe b<> 
fHmmt, worunter ab« roenig|fens n -~ 2 leiten fenn 
muffen, weil, wenn nur n — 3 ©etfen, ' unb alfo .alle 
n SßinfeE gegeben waren, boä) eigentGcb nur n — ISBftfc 
fei, unb beranacbuberbnupfnutän- ~4:©tiicfe gegeben 
wären, 6a burcb.n — il SSEnf<[.ünmier fcee nfe beftimmt 
wirb, Inbem.bie ©wmnt aller =4R ifl> sorauegefefft, 
baß wir unter SBinEetn etueö^Iogoas immer feine aujjenr 
ÜBinfel t>er|ief>en. J&fernacb finb nun blofi folgenbe gilit 
b.e»Jbari , . 

a. ©egeb'en n — 1 ©etfcn unb n — 2 SBinM. 

a. ©ic beiben gefügten 2üinfe.niegen an bergefucb* 
. ten (Seite. 

' /J. Sie beiben gefaxten 2&nM liegen tiicbt an ber 
gefucbten©cite, aber neben «tuanber. " 

jr. Sie Selben gefucbtett SBml'el liegen nicbt an fcre 
gtfucbten ©eite unb au^ triebt neben eiuaober. 

b. ergeben n — 2 ©eiten «nb n — 1 b. I 
nSBInW. 

c. Begeben n ©etat nnb n '— 3 2Binfe(. 
Siefelbe (SnlbHlung befolge S'Jjjuilier a. a. 0. 

p. 37. ©ie fcSeint uns jti unferm gwecfe , reelcber feine 
grofie SlH8fii(>rlkf)fefr geftatter, am paffenb|reir. ffliit 
SRebrerettt f. m. Crelle Geometrie. I. Berlin. 1826. 
S« .451. ■■ . i. ■ •■'. ■ ■ '■ 

181. Sefuebf n, r, n (180.a. a.). 3fu« (178.) «rgieSt 
(ie&feljrltitbt: 

1 * *.— Äri»* : ■• ... ■; ■■ 

'+' lisistacotß 

,_ . -fc ciin«.coi£|J + y) ._ .. 

^ " '+ d«in«cöi[jS +'r .+.'*) ' . ". .• * 



>RW8#*K. ,309 



+ cpo« aiin (p +_},) ... ■ ■.., 

+ mcoitiinfjl + y + 4 +....+ ,,)( 

rooroii« pte/i +..:.. ■ ... ; 

+ hüo$ß ■■'■■'•, 

+ cow(jJ + j.) 

+ äwt(ß + ,4-J) ■ ■ 



Q => J».mii£ . 



tMg«==._ 2.,- ■ ■ ■ 

wob«r# a gefunkelt wirb. »- erftÄft man au« bei: ©Uicfrting 

« + ß + r + *+•.• + /• +■ ••=i36o , „ 
jmb<178.) 

— lrcw(« + « , 

— CNl(l + ß + y) 



3nbcg faiiti man n aucl? immMMbar aus ben gegebenen 
©rtltf en ftnben , oljne a 5» kennen. <£ö iß nämln^ 

4- bco»(o 4- 0) 

+ cooi(o + p + ).) 

+ moM(i +> ^ + y +...+ /0; 

alfo bie ©umme bet &uftbrate bet jtwttm tfjetU bicfcc 
©lei^ungen = n*. ©inbmm * . 



310 SrfjJMIMUtltU.' 

Wn(. + ? +...+ . + ■'+...+ !), 
Ulfe 

:io»(« + *+...+ .) l . ■ . 
' , '"»<• + ?+•••+• + » t—+fl. 

feseiib )tttl oDgatKliu ©Heber 6« {welltn Sfcite obig» 
eUÖmgtm fo pnb offeniac 

2iliin(o + /> + ... + «) 

Xtbtm + H?... + . + . + ..! + >) 

Xoo.(. + +...+ • + «+...+ 1), 

bie «DjemeliKii ©lieber ber Quabrate, beten ©umtue, 
. wie auäenblfcflub titlet, 

= 2ü«oi(.+...+ 1) 

"i(!, »otausgefefjt, baft 1 »on einer bibent 0rbn»ig i|t ald 
i. 3|H = 1; fo fino He allgemeinen Slieier 

i"«Inte + !>' + ••. + •)•. 

i'c0l(. + />+...+ 4)', • 

beten ©limine =i*. ©efcl man nun für i «nb 1 ale 
■ 3Bert$e r-on.a bt« m; (b ert)att man: . 

, ' „• = «» + V + o» + .-. + m> 
' + 2«]>oo 1 /l 
+ 2eu cos(^ + }0 
+ 2aflcos(/l + y 4;-0 



4- 2beco*)r 

+ 2bdco< r + J) 



4- 2 bm cot (7 4- 14/f-r/i) 

+ 2cd ooi3 ' 



4. 2cmco»(J+... + ^) 



+ 2U colj 

4- 2Tanco*(l 4- p) 



wbttttfc n aus ben gegebenen Stätten unmittelbar er^al. 
ten »irb, : . 



SWDgoHomeft» .; ' 311 

gilt bas t>rti«J glebt bufe o,(Ig<nttlite jormd: 

c* == «' + b» + 2abocw£ , 
. = »* + b* — S«bfiOi(180° — fi % ' 

woraus, wenn man bie SBinfel nadj trlgonontetri'fifcet $tt 
btjeidjnrtf fogW(& fc%M . 

e? = »* +'b* — 2abc»ij', . 

baeffenfcatfsslSO« — /}, uibem tat SOnittf nit tfc 
neir einfpttngenben SBlnfel $at. 98« in (7:). 

182. S>ie ©riten unb SBfafd b«S gegtbtnen fJotnsoits 

feijenjtfji: ■■-•... 

■ ,*b>...m l n, a', b',.i.m', n'.j 

• > 0. ••■/>» *»■**# fa • -• /» »•'; 
unb gtMt »«bei jy«f, n' (180. a./».); f» $«tm<m 
befannrttd): 

+ b.on; + » ■ ■ 



as« 



+ a'«to(» +...+ r + ••> 
. +b'.i»(. + ..,.+ .■ + •' + *> ... 

+ m'«n(» +...+ >■ + n'-+ £'+. ..+/.> 

• +—+ '+ »'^ *• -(/>' + /+•■ -+-0. 

.+...+ r + -'+/ = 360" -&••+«+...+ O. 

O = aaina 

+ b 1 int"*n -. .,, '. 



... + **«*(«.+.>'+.."•. + »' 

■ - ' . - fifafr' * «+'...+ V.) .: 

»«01» ■ ■*!■.+ A +!■■+> + 'K ' 



. Srigotwmefrie, 



— b»in(o + ß) 

JjMerou« ergieBt fio) « +ß'+ •'..+ m + »ytHttyfefgtid?, 
baa + ß +... + P gtgtbra ift/ aucl) y. ©eil SBinf et 
a'ttfyöfc man" miffeifi ber gotmel «+ £ + ... + r+a' 
..+ ...+ r"=360°, »nb 

rf CSE — aoüsn 

— boo*t« + J 8 ) 

-»«.■(«+>+...+ »),.'.'. 

— i'o»(., + .,.+ r + o 1 ) . . 
-.b'co.0 +...+ »• + «' 4-iT) 



— m'oo»(« + ...+■ r + »' + «./0* 

SOIatt f&nntt äucb n' ummttel&ar aus ben ' gegebenen 
©facfen finben, welcbes aber tjier'j« Weit filmen, aua) 
feinen befonbecn Dtufien gewähren würbe. 

Set biefer unb ber vorljergetjetiben 2htfga6e (ba ani^ 
berfelbe SBertfj »ott-tang« jn einem pofttteen ober negati* 
tten SBinfet gelten fann) tff bei ber SSerecJjnung ber 
SBtnf ei Immer eine, Befonbere SJeßmmmng über bie 3Irt b« 
gefaxten 2öinf«(6 .nörfjig, bie bei bec UlitWenbung auf 
(pecieHe ^ide letcbi* i|t, im allgemeinen o&er eine wetf(4u= 
jtge Stadeinanberfeijung erfüVbew wftrbe, b>c atfo fngOa> 
äbergangw werben fann. 

183. SHe ©eiten nnb SBmfet be* ^otngonffeo*» 

b, ... n,V, ... n', *", ..; ri"( 

», ... *, •',... /, «"* .... *"..''" 

. ©eföcB/r, ■>?, n"..(180. a y.% ' 3ftän benfe f!c& lit S>w« 
gonate y/ gejogen» fo fln& in. bem $0(9401» raf.*.*/ 
nur bie ©et« *y unb bie belbtnr anUegenbcn .SBJnfel »n* 
Befannt, welajte man nao) bem -Obigen, berechnen fann 
(181.). 3n bem «polten «.. .*Vos"...y" fthb nun 
Bloß bie beiben Bei v nnb • tiegentmSBinf et unb bie ©*U 
U eiV'=:n" unbefattnt, »etebt man nacfr (182.) berechnen 
fann. 3Ufo §at man n", unb in ben beiben obigen 9>olv= 



gjetyaotwtwtife. 313 

gonen bie SSJInM Sri » unb »' an ber Seite W. 3us bie. 
fnt SBInfeln iaflen ficb nun aud) bie SSBinfei v unb / bes 
gegebenen ?po(ijgons fütben , wobei nur in jebem befonbem 
Satte' gehörig beurteile »erben mujj, ob biefeSBinfelburä) 
SIbbitton ober ©ubtractton ber SBtnfet bei v unb v' in ben 
beiben ^olijgoncn, in »etcbe man bas gegebene jetiegt - 
§at f bere(bnec »erben tndffen. ©en tjier borgejetc&nefen 
.©ang »ürbe man fe!b|f auä> bei wirfiicben 5to»enbungen 
am t>örtb>ltrjafteften einjufcbtagett t)aben. 2>ie (Ent»i(ft> 
frag allgemeiner Sormelh i|I »eitlaufia,- ,< 
184. 3n bem tßieletf 

fenen alle SBEnfel gegeben, unb ade Seiten, aufjet 
»-«' = 11, r'a = n', »elä)e gefuä)t »erben (180. b.). 
e«i(t . 



+ «■!■.(. + ß +...+ , + ,) 
.+ .•«»(. +...+ , + •■) 
+»»(•+.. .+ ,+'.' + « 



+ m.to(. + /!,+...+ (.) 

+ n.in<. + /!+...+ , + ») 

-••«ta«r+/+...+ 0- 

-b-on (/+...+ O 



+ l'itofr-+...+ 



-•'äit<+...+rt - 

nr,- -.Google 



314. Srigottcmetro. 

worauf! |tcb n etgiebt. ®anj eben fo erlitt man; 
, . »'•»(« + # +..-. + / + »') — 
«.iny+ y +■•■ + ') 
+ b« M ( r +...+ r) 

-».'.mO' + 70 



■— *d*p+r +.■■+/) » 

. woraus n' gefunden wirb. 
185. 3u bem 9>otijgon 

fenen alle ©eften unb SEBinfel^au^er a, d, a" gegeben. 
(180. c> 2)lan jielje bie diagonalen ad, dd', a"a; fo 
tvirb babut<fr bie gegebene Sigur in. »tec 3t)eite f beten ei= 
«er ba« 5>cefed ada" iff, getiefte 3 n a...vd finb 

■ ade ©eiten unb SBSinfel, aufSera«', nnb bie an « unb «' 
liegenben SBinfel gegeben. SRan f ann atfo biefe @t uef e bt- 
tea)nen(181.). 3n a\. Vo" finb aQe©fu<fe außer a a" 
unb bfeSBinfet beta' unb «" gegeben, bie fieb atfo, fo 
wie aua) in a" . . . /'k bie «Seite aa" unb bie 9Binf ei an « 
unb a" berechnen laffen (18f.). Sllfo bat man in bem 
2>rciecf aa'a" alle beei '(Betten, fo baß jlc& folgticb feine 
SEBinfeC beregnen (äffen, gotgli^j bat man alle buttb bie 
gesogene diagonale unb bie ©eiten ber gegebenen gigur 
gebUbetenSEBinfelana, «', «", bura) bereu geljSeigeSßer* 
eintgung burä) 2lbbtfion ober ©ubtraction, füt? bie SEQin= 
fei a, d, d' in jebem §afle fmben laffen, wobei immer 
auf bie Sage bet Xtfagonale unb ©eiten befonbers Dtätffta)t 
ju nehmen \% £)iess mag (jinreicEjen, eine Ueberfi&t bet 

1 ^otygonömerrieiujeben. S^eiMiKi finbet raaaiHf £'$u'i> 
Itee a. a. 0. @. 57. ff. 



3 » & a 1 1 btr $o(pgAitc. 

186. 0ejeia}netmanjbett§(a^enin^ftbuta}s; fo iß 
furbaBXJrelecfo/?/: 



, 9Wj>gom>meftie. 315 

3m BSfcörf ififü (Fig. .69.) i«ie man WeSfagsnate an 

2* = nbsin/? + cätüt 3, 

mM ju 6tmtrfm, baj fit eUiff>rto 9 «*e äBinW t«« 
Stafctf afi futaattfe ||i, afec au» S itegatiB, nitt> 
foljuf cdsmif ittgali» mirt, Storno* otlstr äusbrutf 
atä(n««tl(l. akt(178.) • "*""™ : 

O == bsiay — brinj. 

+ diin(>- + jt + a) — dttnJ 

■+■ bcsin}' - 
; 2» = iibsin jS " ..''''' • 

- + ac*in(jS + j.) 
+ bcainy . 

3itSun3ätifetfa/S}/& ilc^mcnaJ; fotft ' ■ - 

+ .odn^ + r) ,.'.■■■' 

+ hciiny ' 

3tt« 0= c»nj 

+ b «ima + r ) -' 

.4- «datf + r + ß) 

+ eMii(J+ r + + # ) 

8= chihJ 

+ bjin[* + y ) 

— «Bin«; -' 

dsün*= «d«inOS -4- y + S) 
+ hiria(f + i) 

+ cd sin J; 

2» ss , abrinl 

+ «dnnO» + y + J) 

+ Mrinf, + *) 

+ cd «in 3. 

SatffetamibtMbf, wie man wette* 9«$«» famt, He« 
er« vor ««gen. <£s ift immer fax ein nerf ; 



316 Sriäcnomctrie,. 



+ .mifatf +V+lt...( p) 



+ bm.!n( r + J+...+ ft 



+ kltinl 

+ km«in() + /0 

+ Imtinp. 

3Me ätgemetalKit blifn gomel C£'$ni((et o. d.O. 
p.8. ff.) fann burd) bie befannfe ©dtHngari t>on n auf 
n + 1 Itlcbt bemiefen reerbtn. ©negormel fit ben 3nt;a(t 
twd; bie Coocbtnaten Set ©pi«jen f. m. im 2irf . fSielecf . (59.) 



V. Settagonoroettie. 

187. SMefe 2Bi(fenf*aft 1(1 baffelbe für bie SBIerecfe, 
roa3b(eg>oli?g.i>nonKtriefikbie2ßieIect : e ifr, unb alfo eigene« 
fiel» nur ein befonberer Saß ber (entern, we8t)atb wie uns 
oud>nur auf bleSfuflofungwn ein «paar Aufgaben befebrän. 
fen »erben. SSetracbtef man blofj ©eilen unb SBinfel, 
fo laflen (leb folgern» galle ttti(erfcjreib«i; ' 

a. begeben vier ©eilen unb ein Söinfei. 

b. Segeben brei ©dem unb jwei SÜJinfet 

a. Sie gefugten SBinfel liegen belbe an ber gefuä). 

fen Seite. 
ß. Sie gefugten SBinfet liegen nitfjt Selbe an ber 

gefugten "Seite, aber neben einanber. 

cm. Clner ber gefuebten SSintel liegt an berge, 
fugten ©eile. 



,£efra$<»wmefcie. 3t7 

ßß.Stetttet bw gefügten" tSMnfrf Hegt atr ber 

gefuc&fen ©ehe. 
y. £>k gefugten 5JBinfef liegen »id?t Seite an ber 
gefugten ©eite unb oudj nicbt neben eincmber, 
u>6 feine Unterabteilung weitet floff fmben 
tonn, ba immer einet öetgefucbtenSffitnfel an 
bei? gefugten ©eite liegen muß. 
• c ©«geben jtwl ©eiten unb brei(b. I. alle öter) 
SBinfet. 

a. begeben jwei an einan&er ßegenbe ©eiten. 
ß. 'begeben jnxi. gegenüberjte^enbe ©efeen. 
©ne ©eite unb vier SBinfei t önnen nic^r gegeben feijn , bä 
bann im ©runbc bocb nur vier ©tücfe gegeben wären, 
weil bret SKJmfet fa>on ben ttterten be(Iimmen. SHae& bie» 
fer Ueberftcbt würbe mithülfe ber allgemeinen pc-tngonome= 
triften gormetn eine »ollflän&ige 2IußfilE)run'g ber Zttva* 
gonometrie feine ©cbwierigtW Ijaben. 25ctcadt>fet man , 
aber and) bie diagonalen als ©rücfe ins SSicrecf $ , fo wirb 
Die Sfojaljiber aufgaben fttjr tterttielfaitigf. 

188. £>ie »ofygonometrifc^n ©runbfomieln (178.) 
»erben in SSejug auf bau SJieretf; 

. , + Mn(» + fl 4- a cot« 

. + c*iii(o + j» 4- j.) + boo^o + # 

+ cc«c« + /+,& 
woran« ttie in (181.) 

d 1 = ■* + L' -f c* + 2ab eo*j* 
■"'•■-'+ Zacco*0S + y) + 2bocwy. 

J&ieran« würbe ficb/aucMeit&t eine ©leic&ung jwifc&tt ben "■ 
»(er ©eiten unb jwei ©egenwinfe.ln ableiten (äffen, bie |tc&. 
inbeß noc& tefc&ter fo crgiebt. • 3|t nimtia) x bie benSffiin« 
fein ß, J. (immer bie äußern SEÖinfet) gegenüberliege- 
»Diagonale; foifi(7.): 

'■«» = a* + V + 2flleoij9,. " 
.«* = ?* + d 1 + 2cdco»J( 

atfo ■■ ' ": ■ . 

'■ »» +h> + 2ä>eoiJ = e* + Ä* + 2cdc<w*. i " 



318 Stjawctttlhifc; 

189. Sff <St^tidttSflit 6(8 mamni« wegen troiffen 
Wie uns 6ter trat auf einige SiifpieJe , ttffcint«», "»i» 

' heil erjlern mir ©eifett uttt> SBinfci, im festen aber, autb bie 
ibiagonaten »orfornmei». 

äBten j. S. a, b, c, a, /S . gegeben, ttitb alfo 
ä, je, <J sefucfct (187. b. /J. oo.); fs i|r ras bet erSen 
ßleiebmts in (188.) :■ 

woraus |id) y («i*< finben lifit, <£« i(i 
.. " 'p '=«[« + ; Ä««r. ; + '«"(■ + Ä A rt 

p — COl(o + ÄIJH)- =.iiil(« + ^) coir. 

»Dräue matt, wenn auf betten Betten quabritt wirb, tekbt 
«pt: ■".'",.- 

«ny* — 2pcoi(o + /f)iin)- =: sin[a + ß) 1 — p*, ' 

' unbljieraiis,' inbemmanaufbriben€e'itenp :t cos(a+/S)* 
abbirt: . _ 

nuj- = peoiO + ß) +■ «in(o + ß).TTl — p». 
. riny = co.O + ß + «>). 

j$af man /, fo $at man aueb tf aus ber ©tekfrimg 

» + J* + y + * =£360», 

Wbdergiebtjld>au$ber@t«l4>ii«jj: 

d = — acoio -— bcoife + (S) — cßO«C« +, |J + r)> 

in (188.)/ wo d einen boppelfen SBktfy fyat,. fo wie;', 
wie |Kb <w$ Ui^>* Otftf ber geit&mttig " nec Stgur ergießt. 

Um d unmittelbar aus ben iDati« j» ftnben $af 
man (188.); . - ' 

— crin(a + + y) = a sin o + b»in(n + A) » 

— cco<« + + j,) = d +- acoao + boof(- + ß), 

woraus / wenn man auf Seiten «Seiten qwabrfrt , unb ,aK 
feirf,. ßd)'burqy&ufiöfimg; einer quabeatiftyeii ©teit&uitg. 
leidet ergiebtt -...'■ 4 

' d = — fl 00s ti — b cos f> 4- (!) • 

ir c * — [■«!!. + bA(._Vflj«. '•' 

190. @inb a, b, c, <r, 9 gegeben, /?, y, d gefugt 
(187. b./J. /?/?.)} foer^(.man[ei(b«,. .,, 



aus _t>« «|fen ebJ4mg.ii! (188.), ' twitdoj _ 
TZS* (a ,+ £ + »* A ■fr''™« »Irti ß, iint) folalicb oüS 

• rin« ss Clin«', •inj "= a «„v,i. 
S>i«l gktt («i*(J 

■Inf, X p\ — a *« i ' n ft' + ^«infa-— V ) 

S*«<'l,«<lf<^man . ' . 

d». ssJJa!, .'i..f — «"»■ 
woraus , v 

>io(« + # ~ _ ■'»fr 1 * »)Ai. — »a ^ 
S* c > 1 uMb a < 1 tw 8 e 9 m fest man 

«ino ssj ciiny=, «in* ! — "V 6 * - ' ' 

woran« *■ 

'@e6t man nim ferner asiny =3 sino), fo »ift> 

ab ' •• 

Sär c < 1 «Uli a > 1 ft» ..-..-- . 

■in« ss ~^-» •***'=: n»iny% 

C8"iny =s ifami fo «&4fc,auns 

Sa man nun /5 uno yj&atj fo Wirt aiicfrd bicfrt a.<f«n, 

■ * ■=*'—' •«"> — »«»(• + fl - coo.(« + J. + „. 

£>« oftartar sm4> ■- ■ ■■■:.■;.:.••• 



atfo ; 



=s dsin«' ' o-= ■«'••■ V ' ". 

+ otiu(« + J) + dcoio- 



32Q Srigonottwttie. . 

— b«fn(» + S + y)'S dito» 4* eabi(tt 4- 4 

— bcoi(* + t + y) ss a + dcmo + ccoi{» + JJ 

iff; fo cr^ült matt auf afyxtifyt %vt wie »or§«r (189.) un> 
mittelbar aus ben Statte ; 

d = — icosi — ocosi) 

191. ©fab a, b, c, /?, y gegeben (187: b. «,)3 
fo §ot man wie in (181.) für 

Fb ■ ■ Qsss buin/J 

+ eco*G? + r) 

*"B" - — §■» 

Woran«», alfo amb S gefunben wirb. gu> 

R = •* + b 1 +, c» + 2ab cotp 

4- 2aceoiG> + f) + Abc cot jr, 

erhalt man unmittelbar aus ben Satie: 

d = rsr. 
©e$t man 









fo erhält man leitet: 

(*' + «Vcnis* = »'* + «'* + 3a'c'cM{> + r). 

unb, wenn man in tiefet ©lei^ung für a',. c' bie ofcigtn 
3Iu«brucfe feg*, »ergli<&en mit ber (Steigung d = y".R, 
natb einigen leiten Otebucttenen; '"■■•.•■' 

- d = (a' + c') einjf. , .-. . 

9Iuf äf)nt(ä)e Sfrf wirb man bie anbern Säße betjanbettt 
fonnen. "■ : ''"'"'' 

192, g« einem Sßeifiilel/ we:au<&-bie3>iagonafentwr* 
fömmen, wägten wir bie fogenannte tyotfytnetiS&i. 
Aufgabe, ©eijen namltifc im Sßiererf ABCD iFig. 70.) 
AB = a, BC=b, ABC=7, ADJfe«, BD,C = /3 

gegeben; man foöble ubrig(n-@tuke,befliramen» S« c 

■ ,;■: : ■> ■ -860? — i» — fl ■ — r = i 
I|J offenbar, wenn man BAD = x, BCDs=yfe§(j- ' 



aaiol ' 
aain? 

buiaanai ' 



, Settagonomefrie. . 32i 

■ -, ' - y = l~*. ■'*■■■ 

Stoff *:BDs=i4in«:«bu, 

, ■ b:BD = lin^iinj, 

»in* ■ «ntf . » 

««aus na<$ (inigen letzten Dtebucttonen ft$ »gleit ; 

cot i = cotl + r- £■ 
gflt »Hb 

fefceman 

tue» m Y— m ""'* • 

f» »fco .- 

coti — coE2aer.ro 3 = ■ 

cosio 1 

hieraus erlitt man x> atfo au* y = i — x. 3Me 
SEMagonale AC, tthb 61* SHJirtM oerfefDen an A unb C, er« 
&fi(t man feucht Shiflöfatig be« SDreied* ABC, unb für 
sie übrigen ©tiefe Ejat man: 

ad =■ S^J£ *>, co = hri ' 1 ^ ± 7) ; ' 

tu n «n^ 

V BD — afl,llx — I> riny ' 

' .sin» ~ «ttt/,\ ' 

3m ©tattrttT8«M|fc njlrt »«<& W'f« SfofgflB«, »am 
- bte Sage breier fünfte A, B,.c gegeben t(f, feie Sage ei» . 
nes vierten D be|rimmt, mitteilt btr in D gerne (jenen 
fcbtmbaren ©tSfen'o, ß ber Entfernungen AB, BC. 
©it bei(itgeroobnHd)bie<p<if6enotlf<bt aufgebe. (SB?. 
f. Probleme de Geometrie pratitpte etc. Meint, de 
Pari». 1692.- p. 188), obgfei* elgemti* @neftius 
(Erathostenes Batavus de terrae amfaitus Vera quan* 
titate. Leid. 1614. Lib. II. Cap. X.) 6er erjie Erftnbte 
. ift. ©ebr <niefä v T(l<b, aueb in »ejng auf Sefobicbtt un» 
Sittratur , banbett £ a fi n t r tton ibr in ben geom. @amm» 
(tragen. I. ®. 393., fo rcie an« qSfleibeerr ((Ebene 
arigonemeftie. • S«b. 4802. ©. 273. ^inbinbiirg« 
%«■». IL Jpeff. @. 318.). äuge« b«n in tiefen Stuf. . 
V. £ 



322 Srfeöttomcfrie. ;. 

fö§en erahnten €tfnriftett £ m. ttwfc Cagnoli Tri- 
gon. 3eme ed< p. 2lC; 3. 3; 3. £offmann/- bas 
§>ot^nonT#e^rtbtemunbftme2fuftöfung. SMamj. 1826., 
(ine bequeme praftifd?e SlufJöfuhg »Ott 95ol>nenbtrger 
ip ber geitfdjr. für 3I|lronemie. VI. @. 121. , unb eine Pen 
©urffiarbt in ber monatl. Sorrefp. Öct. 1801. @.359. 



vi. @ cf § i $ t c 

193. @o wie bie ©eobäfie bie SOeranlaffung . jur <Su 
ftnbimg ber ©eometrie würbe/ war bie Trigonometrie eine 
2odjter ber 2l|tronomie. Sie Setbmeffer begnügten fid? in' 
alter 3eit mit ber ^eicbnung afjnlicber 35reietf e. (Eben fo 
mögen »ielleidjt bie erften 31|tronomen (Ää(fn er @ef<fr. b; 
SWatb. L ©. 512.) fid> jur Slufftfung a(ironomifd;er 2Juf= 
gaben einer Äuget bebitnt E)aben, auf weiter |te Greife 
perjeidjneten, ober aucb. woljf beroeglitbe Greife in toerfd}te= 
fcene Sagen ttrmgen Eonnten. 2Ibet bafb mußte bie Unge= 
nauigfeit biefer conjfruirenben SWet&oben fühlbar werben, 
unb bie Sßorjüge redbnenber SÖictfjoöen in bie klugen fallen. 
£)ie fpfjarifdje Trigonometrie entfranb juerfl. 4Mppar» 
d)o* ans OTifaa (160—125. ». £tj.), aucpRhodius 
genannt, weil er jaOföobuf! feine Seobacfetungen anfing, 
(Weidlcr Hist. Astr. p. 14p.), ftfwfnt fid? juerft mit 
Trigonometrie befcbafttgf ju f)aben, wenfgßen* ernannt 
$fieon, ber 2Heranbriner, in Coram. in Alm. 1. 1. c 
9-, bagjfcipparcfr in jrb&tf, Sttenefau* (etwa 98 n. 
©jO in fedjö S3üd?ent bie.Se^anbiung unb Senutjung bec 
©e&nen im ÄreifePor <p tolemäu« gelehrt, biefer aber . 
bie SBeredjnung mit bcwuriberngwurbiger ©cfcfeitfUcbfett 
auf wenige pajfenbe Je^rfäfje junfcf geführt ijabe («PfteU 
Derer Srlg. @. 9.) Sßon 50t e n elau 3 )tnb nod? übrig: 

Sphaericor. libr. III. Quos olim , coli. MSS. h'ebr., 
arab. typis exprimendos cunivit E, Halleins. 
Oxon. 1758. 8. SBJas uns von Trigonometrie notb auf 
ber Seit ber ©rf edjen. ubria; iff, fm&ef (ftp in Ja. /TroiU- 
/muqv Meyatys £vym£etog Btßl, ty, Opovos Akegav- 



. ■ j @m<^ \ 323 

dQmis dg ra avTaTnofunj/iataiv Bißl. /«."Basü, 1538. 
Fol. , geB6$nfl* 2 Im "9 ' (* genannt. Ss i(i ein« Cljor. 
benfafe l »on 30 ju 3ff, ben ,lja(fm(|fer. = 60 gifeijt, 
nefeftiirer Berechnung, worüber, fo wie übet Crijonome, 
trifebe tafeln nbtrbaupt, 6er ärt. tjncloteetmle na*jufe= 
b.en ifi/ unb bie Serecbnung ebener unb fpf^lrifeber ©ref. 
ecfe, aber nur auf aflronamifcbe Slufgaben angewanbt. 
Ttk tbeorie biefer SKecfcnungen mag <ßto(emäu8 aus 
ber obigen ©cbrift bes SSititetau« (jUftnet ffl. b.3». 
I. ©.518.), unbaucbausoes tbeobofius »on tri. 
»otis (ttwa 50 ». £^.@ ) ^(patQixary ßißl. y. (Oxo- 
niae 1707. 8. tat. »on Sarrot». Lond. 1675.4. 
©eutf* »on 3!ljje. ©tralfunb. 1826. 8.), (©. Heil- 
brunner Bist. Math, p.291.), gtfcbipft boben. Sie 
OteiSe ber Seobaebtungen bes ipioUniäii» im S[[nioge|t 
ge^e »on 125 — 141 n. Er,. ®., um roelebe Seit er; olfo 
gelebt faf. 5Die Serecbnung ebener £>rdecfe fonimt nur 
bei aflronomifcben Unferfucbungen in beftimmtenScifpielrit 
»or. SEBirgebenbieSetjanblungiweiergalle naä)Öffef> 
berer a.a.O. ©.332. ff. Sie aritbmetir be» !|>fo= 
lern au» Fennen ju lernen, bicntawb: lieber bie äritbme. 
tif ber ©riechen. 31. b. granj. naa) 2) 1 1 a m b r e »on 3. 
3- 3- 4Jof f mann. 3))ain|. 1817. 4. Um bie recbtwinf* 
(igen Sreiecfe tvirb immer ein Äreiff beftbrieben, bie fcbief. 
würfligen werben immer in rechtwinklige jerlegt. 

. 3 n i,tm Dei « rtcbrwinfrigen 2>reiecf aßy (Fig. 71.) 
fe»/S = 7°40', b=-5i gegeben; man foU bie £»p«e= 
nufe a jtnoen. 3)er SBinfel /5 enthalt 7£J folcber t|ei(e, 
als tnec rechte 360, ober 15§$ folcber tbeile, als jreef. 
rechte 360 enthalten. 2flfo enthalt nacb einfachen geome- 
frifeben ©rünben ber Sogen ay 15&J folcfcer tbeile, als 
ber um bas Srelecf betriebene .Kreis 360 entttaft. 3« 
ber f folemäifcben Zafti Fommt bem Sogen 1 5$# am nach= 
jlenl5£S. S>iefemenrfpric6tbie(B)orbe 16t$. 10 3». 
56 <S. in ©erageflmaltfceilen be8 #albmefrer«. ' 9l(fo cnt, 
ty»lt.biel£hotbe »onoy junäcb|t 16 folcber theile wie ßy 
120. ®iee giebt bas SßerbaltniJ ay : ßy = 16 : 120 
= b:a. ä(foa = y*>=39| = 39£Jna&e. 
S-2 



32* . 

• 3ifl)Imtl|>f»ill«l8<l>5>nl((fo/3y(Fig.72.)f«5b==2i, 
c=60, yaS=zW «(316111. Sftan fälle 6a» ^Serpen. 
bifetj'tf. 2Bie bortjer fc&iie|jt man, baß ber Sogen p<f 
60 folcbertbeife entbatt, wie bet Attfe nin basUreiecf yaJ 
360 entölt, fo bog alfo ber ©ogen mJ= 120 folcber Ib>ile. 
Ola* ber Safe! finb bie ©t^nen yd ==60 , acr=103£S, 
«j-= 120, üiMr^ältniji mijjigtnMien. Wf» J , #=T 6 iW 
=| K y=i.2^=144,nnbe6<nfooJ='-5|ä.2i= 
2^=2«na5e. golgIi(h/3<J=/?«+£«7=60+2^ 
- =62H- Bla*b«m'wftaaorafo)«n8«5(fa(|e(iiitrfnio« 
nun aus /?j unb pc* bie ^tjporenufe^y = &2fJ. 21u« 
ber Proportion ;62^ : 1Ü = 120; yd finbet man, 
bafi yd = 20 nab> (genau == 2fH4) fo(*n «fcile »fr> 
»ie ft- 120 ent&alf. Siatb btr Sofel finb bie Sfarbention 
2»30unb2°0'refpeet!»e2ö, 2^5 baraue ftWitfjt^fo« 
lemau«, big ß == 2f| fofcber Steile enthalt, als j»d 
retbteaBinfel 360 entfalten, ober bap/Szsl»^. aber 
y a* = 30°, otfo/?«y= 150», /Sor + /ärslSloy, 
oy/?= ISO" — 151 »y = 28»51'. 9)W)rere Srenu 
nel f. m. a. a. 0. S3ei ber 2lufi&fung ber fprjarifcfoen5)rei« 
erfe bebient ficbsptotemaus g*n>i|fcr ^ufammenfegungen 
t»on Sßerrjaltniflen, (voraus, ta Immer fecös ©rögen mir 

, einanber in Sßer&mbung fommen, bie na^er fo genannte 

, regula de sex quantitatibus entjtanben ift, aber bie fltb. 

. «ber hierin ber .Äurje SHiibt« beibringen «0t. Ein Sei. 
fpiel glebt Äiftner In ben geom. ©amtnl. I. ©. 534.: 
Suis ber ©triefe ber & iiptif unb btr San je ber ©o'nne bie 91b. 
Weisung ju ftnben, b.i. in einem reä)ft»mfu'gen£)reiect' aus 
ber jpnpofenufe unb einem anliegenben äßinfet bie gegen» 
überftelienbe Cot^ete )u ftnben. £ä|tner uberfegt bes 
9>to[emaus Sßorfcbrift in foigenben Slusbrucf: 

., ext. ,. |2r:©e6ne2b 

2r:©efine2/S = |. . '■- 
' I@ebne2a;2r 
woran« (leb feicfjt erglebt: 

■ 2r: tU^MHf — ©e^ne2a: ®c$(M2b, 

V lin /) =^ sin a : iiu b , 

6.t. sinb = sin/Ssina furr=l, uttreinfHmmenb mit 



■■ • * ©efp&fe. $25 

76*. SB, (! <tuc& F. T. Schubert Trigonom. spfc. e 
Ptolemaeo. Nov. Act. Potrop. XII. — Trigonom. 
des anciens. Soc Fbilomath. An 7. p. 19t. 

(Eine tut« ©eflatt gewann tye Srigonömefrie burd) bie 
Araber, voAfyt fiatt ber ©e&nen bie ©imts einführten 
(EDclotecbnie. ©.667.). 'S>er<Erffe, »«(cbet fle gebraut 
(e ifi älftatlgnius ober SDtotjammeb 21t Siataiti 
lim 880. (Äafiner @. b.SK. L @. 520.). Rudimentä 
t astron. Alfragani, item Albategnius de motu 
stellar. Norimb. 1537. 4. Mahometis Albate- 
nii descientia stellar, liber cum aliquot add.J. Re- 
giomontani. Bonon.1645. 21«$ tjat^afiia btn 
SBeßtta übet bie ©imiö gefdjrieben (Montucla I. 
p. 374.) «jßobammefe ben 3Rufa fcbrieb über bie 
ebenen unb'fpljar. ©Miede (Montucla I. p. 373.), 
um>2If(btnbi, mit feinem »onfMnbigenDtaljmen 3a e ob 
35en 3faac SSen 9Il s ©jabob, 2ibi!«3ofep& 91t* 
€ b i n b i , bei btn Arabern wegen feiner großen ©elebrfam. 
Feit xaxi Üso/fo Pbilosophus genannt, nm 864; n. ££j. 
(Gartz de Interpret, et explanator. Euclidis arab. 
Halae. 1823. 4. p. 20. 27.), erläuterte Die regula de 
sex quantitatibus in einer ©cbrift, we(<$e ficb nad) 
Carban in ber SMbliotljef jutOWlanb beflnbef (Mon- 
tucla I. p. 374.). ©ie meinen Sßerbfenfle um ble XxU 
genometrie unter ben Arabern §at aber ©ebet ben 
5Il)bla(nacbDiiccioti um 1090.), wetcber feine $lftro= 
nomie um toa$ Snte bes Uten ober ben Anfang be8 12ren 
Sa^unberw gefcbrieben fjaben fo&V Instrumentum pri- 
mi mobilia a P. Appiano nunc primum inventum' 
et editum. Acc. Gebri filii Affla Hispalen- 
sis librilX. de Astron. per Girardum Grein o- 
nensem latinitate' donati. Norimb. 1534. fol. 
SEBeibter (Bibliograph, astron. p. 15-) fittjtt Ron) an: 
Öebcri, Hispalensis libri IX. commentar. in 
Ptol. Alm. edd. Petreius cum instr. pr. mob. P. 
jVppiani. Norimb. 1533." 4. ©tber unterföeibet 
in ber ebenen Trigonometrie fdjon bie vier £aupifäae, Ifc 
fei bfe Aufgaben aber aucb nucb burd; Umfdjriibwtg eines 



326 . Trigonometrie. 

ÄteifVö unb Serfadung in recfcfisfiif [ige SJceierfe mit JpiUfe 
btr prolcmaifdKn S^orbcn(afc[ auf. *Pf(eiberer a. a. 
D. @- 337. ff. tijeilt SJWfrereS aus Aatron. lib. I. rait. 
. 5)üö von SRontucla (I. p. 373.) über bie Grober, unb 
inüfcefonbereüber ©eber gefällte Urzeit febeint ju gunftig 
ju fegn. S)enn bot» ben trtgonomefrifc&en Jgaupttfjeore» 
tuen mag ©eber bodj nur bas er(?e gefannf ljaben, wenn 
er e« aüdj m'cftf auf ben jeljt gew6f!n£iä)en tucjenSIusbrucf : 
bfe ©fiten »erhalten fiä) wie bie ©irnis bet gfgenuSer|le* . 
fcenben 2Binfe(, bringt. (2K. f. <Pf teiberet a. a. 0. ©. 
339. 340.) 

©eljr gefördert warb bie Trigonometrie bur# bie 3)Ia= 
rfymatifer be* 16ten3at)rb>nbertt, unb erhielt nun er(l 
eine jrceng fnflematifcbe gorm , freifitfc noeb immer mitSM« 
beljattung iEjree geometrifä)en E^araf fers, 3 u "f* 'tf i» 
crwdfjncn: j. Regiomon tani de triangulis omni- 
modis libri V. Norimb. 1533. fol., eine »oflftänbige ebe= 
neunbfpt)4r.$rig., »on welker SDIonruc.Ia (I. p.544.) 
urteile, baß fie ftd; mit ^lusnalmie bie üogaritijmtn unb 
(Iniger, neuernSljforemettonbec feiner £eit nidjt wefentlicfc 
unferfd^eibe. 2f m ^ten Sitcbe werben aucl? febwerere 3Iuf* 
gaben, wenn j. S. ©ummen unb Differenzen ber ©eften 
gegeben fmb, aufgelöji. 3nbe|j werben bie fd)tef»inf(igen 
S)reiecf e fcoeb audj nur bureb Verlegung in jwei red?twinf= 
Hge berechnet. 3m britten $atte, wenn im ©reteef ABC 
Fig. 73.) bie brei ©eiten gegeben (Tnb, fällt SX. ba8 <Per= 
pepbifet CE, nimmt DE = EB, unb jietjt CD> foi(l 
AC» — AE 2 = BC 2 — BE 2 = BC» — DE», 
AC>— BC*:=AE 2 — BE 2 =(AE + BE)(AE— DE) 
=:AB,AD. 3>ie8giebt 



_ (AC + BC)(AC — BC) 



(1. 1. p. 45.). 



#I*rauß §atman AD, a(foau$DB, DE=4DB, AS 

uns BE. $>ie SBinfel (Tn&ec man bar* Suflifung bie 
rccturcinfUa.ni iSreittfc- ACE, BEC. Stan |ief)t, ba(j 
bfefü Sluflöfung mit b« in unfern (gtementarroerren gewinn. 
Iia>n einniri ifl. (f>fltibetet a. a. D. ©. 344.) 3>m 



©ffWtC. 327 

jweiten $aS, wenn gwei @««n um) »et eingefd)Iöffene 
3Binfe( gegeben ff nb, l&fef 9t. eBenfafl« 6ui^ bie me&rer* 
wöfmfe Verlegung auf, unb, obgte fd? £K. bie Tangenten 
in bie ?rlg. einführte, beten Zaftl er tab. foecundam 
nanntet fo fa>eint bie jur Sfoftöfung'biefefJ gods bienenbe 
(Proportion 

l+b!»-b= tmg|(« + jS) : tang|(« — £), 
bocb et(i In T. Finfc ii- Geometriac rotundi lib. XIV. 
Basil. 15Ö3, Deren tOttü S3ucb bie "Jrlg. entölt, fceutljcb 
«ueigefprocben »orjufommen, »emr a*cb 9t. bie 9ltra»en= 
bung feines carion. foec. auf biefen gaff fernen modjfe, 
unb ft»d)3inf auf 9t. ^inj uro eifert fcbeint, worüber mit 
Sttehreremfpfteiberer a.a.O. ©. 353 — 357 naa>ju. 
fe$en ift. ©owieid) §inf« SEBorte (@. 357.) tKrßefje, 
brurft er bie Proportion fo aus: 

1/180* — r " \ 
s 180«- r \ 

weWM offenbar unfett obige Proportion tfr. <Eben fo ftn* 
bet (le ftctr in C 1 a v i i Geom. pract. Lugd. 1607. 4. p. 47. 
3n Clavii Theodosü Trip. Sphaer. lib. V. Item 
Clavii sinus, tangeutes et secantes, triangula , 
rectilinea et sphaerica. Rom. 1586. 4. p. 312. wirb 

fie fo anagebtueft; ... 

■ — b:a + b= tang-fryiUngW/ + £), 

»etcb'e ebenfalls auf bie obige jurücffommt, ba4-j' = 
.$0»S(a + ß) f tang^=cot$0 + /?), ty + ß~ . 
90°— *(«+£) + /9=90 — 4(«— /3), tang($y+0) 
^=cot-^(o — yS), atfo a— ib:a + b=eot4(« + /S;; 
cot£(a — #)==tang.J.(« — /9):tang£(«+/?). 

gerner get)6ren fjierljer nod) fotgenbe nterfwötbige 
©cbriften an» bem 16ten ^aljrfjnnbert: 

!N. Copernicus de laterib* triangulor. tum 
pOanor. tum sphaer. Viteb. 1542*4., tttcb ttor&efannfc 
(nocturna, von SXegiotäonfans Trigonometrie ausgearbeitet 
(^fteiberer a.a.O. ©,3490- '•'■-■ i -"•'■* ■' 

BressH, Lutet. Prof., Metrices aströnomicae . 



328 . Sttowtoweftie. 

IIb. V. Paris, 1581. fol.,. ent&JftfaiBI. »rtbiy. SSuAe 
ticcb.lt. fp$.3tlg. . . 

Nicol. Raymari UrsiDi'thmarifundarnen^ 
tumastr., i.e. nova doctr. sin. et triangulor. Argent 

.LaHsbergtriang.Geom.Lugi. 1591.4. amb 
Amsterd. 1631. 4. > 

Opus palatinum de triang. a G. J. Rhetico coe- 
pttim, L. V. Otho consummavit.. Neostadii in Pa- 
Irtinatu. 1596. fol. gine fc^c »oljiaiiMäC teilt neom. 
atbbanbtuna tet fp&. Xrig., »on Otbäticits für teäraint. 
Ugt, »Mi0.lBofatfc6icfn>iitHi3eS>tciMfc. 

Dioltdes coelometricae, seu yalvae astrono- 
nnoae universales. Auth. Nath. Torporlaeo 
Lond 1602. empit <ui<b Stig., mit »!,(,„ „,„,„ 
ÄunJtoSttctn. totpotteo tMt eine ScWoito ©efeetoit 
tesSSIetq. (Montucla II.p. 120.). """""" ; 

o J?' ec ' » M8 » 1 *n«ff< ftlseiwnutcifcdeSBetf Mcfc« 

Barth. Pitisci Trigonometriae seu dedimen- 
stone triangulorrtin libri V. Francof. 1599 to , 
Vindel. 1608. Francof. 1612. 4, ßine «eine äf! 

be, ©tuttbtts mSWcHe», 1561, g* 1613.) feben f.J, 
XanbKltiann» Abr. Sculteti Sphaer. Hb, in, Access 
de resol. Triang. traetatus brevis et persp B Piti 

?,^•, H S ddb i ,5 ? 5 • M «f¥> f»<»« »l«n«lf»'ci8eitc. 
W.ietSlMsttbcitfci.ctWg.^t. /dd'n.r^bTÄ . 
JS -**•) »«M (ie bau ecjee S tto(l*e ttttb »iaiiätibi« 
«btfrlte ^ i « l, " '» , « i «' «* 3».»t» C l. JgSfc 

?"t" Sü S"*" "* f'*»« 1 6"l'@citcll tu (ntbetb 

f«ge bcrStfeoitotitettie twbe jttfontineitbangt. lieber Sic 
pto(iartat«ifa>e0Re»b»bef,m.biefeitSa«ifeI 

3Wt beut anfatq, befcl7tctt 3a6rbuttben» beginnt 
tute neue Spelt, b,t s«^ (e »^ct sffiiflcitf*«p, 8 aS 



Cßf per im 3ab>e 1614. bfe Grftnbang ber Hügarfffimeti 
befannt macbte. ©er frigonomettifcbe (Eatciit nahm Ijicr» 

• burcb ein< ganj- anbete ©efiaft an» unb jugletcb machte fftfe 
SU per um bie Stujttfung ber fpbanfd;en ©werfe, burcb 

-feine affgemeine Siegel für re<bf»inf (ige, unb He nacb ihm 
benannten 9tnatögieen für ftbjefwinffige ©reietfe (79. 61.) 

. »erblenf. Sftacb (Erfinbung ber i'egarltbmen fihb aiß SOec- 
faffer trigonomeftifdjer ?e^rböd&»er ju merfen; 35enj. Ur» 
fintttf ( Coloniae — an Der ©pree — 1625.4.), X 
(Sitae!) (Tables des sinüs etc. A la Haye 1626., 
worin febon Sejeicbmingen, wie sin, ,tang, sec ge» 

- Jtau<bt werben) , £. ©ellibranb (Trigon. britannica. 
Goudae. 1633. An Institution trigon ometrical. 
London 1652. 8.), 4p. Ätögec (Praxis Trig. log» 
Dantiaci. 1634. 8. Synopsis Trig.Ibid. 1612.8.), 
03. 2. grobe niua (Clavis univ. trig. Hamb. 1634. 4. 
3ebe Hufgabe wirb auf bie gemeine 2lrt , proßapbätetifcb 
unb logaritljmifcb aufgel&fet), 23ona»entura £a»a» 
leci (Bonon. 1643; 4.), «Jieta (Opp.math.Lngd. 
1646. fol. Variorum de rebus mathem. reponso- 
Tum lib. VIIL ©ehört aber eigentlich nfebt ^tet$cr, b* 
Sßieta febon 1603, ttoc (Erfrnbung ber 2ogaritljmen, 
ffarb.), Ougt&reb (London. 1657. 4.), §. ©(booten 
(Trigonometria a J. Magiro. Brux. 1683. J^oßim« 
bifcb ju Serben.. 1627. Doctrina triangulorum edd. 
Kl. Hortensius. Lugd. 1627.), A. Vlacq Trig. 
artificialis enthalt nur trig. tafeln , alle obigen aber 2Kw 
banbtungen ber Trigonometrie, -gerner. (inb ju merfent 
3- ©orbon (Leodü. 1704. 4.), 3- 35. SBJibeburg 
(Heimst. 1717. 4.), 3- SBJitfon (Lugd. 1718. 8. 
.Kurs aber btutllä)). 3- 28 arb $ Fostumous works. 
Lond. 1730, beten jweiter Shell bie fpbätifcbe Srigono» 
metrie enthalt, unb SSetjers Sefdbreibung ein« neu er» 
funbenen Sttobelte ber fphar. Xrig. j&amb. 1732. 4. ent- 
halten fdjon gaffemimt jut finntüben SarfieHuiig.bec 
@äfje ber fpbarifdKn Trigonometrie , in welcber ©ejte&ung 
aueb bie neue Ä n i e ' fd> e , in 23tt*lau bei bem SSJerfertiger 
für 7£ Sttblt. ju bejiebenbe , ©aramlung jn empfehlen i|t. 



330 Srfgonomebte. 

3M*b> war Wf ©orffcffung ber 'Srigonomerrie immer 
nur rein geometrifcb gcwffcn. Ungefähr mit item jweiteti 
©iertljei[ v beM8ten 3ahrt)unbert8 beginnt aber ein neuer ' 
Sbfcbmtt ibrer ©efcbicfcfe, inbem man um biefe 3«f bie a(» 
aebraif4»e 3lnal»ft8 mit u>r ftu »erbutben anfing. ©ewo^n* 
iMfr legt man bem Slfabemifer g. £. «Kaper )u 9>efer*» 
burg(Comm. Petrop. T. II. 1727.) bie «ffen f$erbienfre 
■in biefer 55ejief)nng bei (©oniometrie. ©. 617); aber nod) 
frühere 9lnfprä<tK ftfceinf bec'3efutt 3- Ärefa burd) feine 
Analysis speciosa, .Trig. sph., primo mobili, trian- 
gulis rectil. applicatä. Pragae. 1720. 4. jufjaben, unb 
feibfl fd?on in ben Act. Erud. 1711. p.324. ftnbef ftcf) ein 
jur analptifdjen Trigonometrie gefiorenber furjer ^(uffafj 
bets ©rafen jjerberjte in (SSemerfungen über benfefben 
»on 3- SB,. <J>elican«benbaf. ;p. 502.), worin audj ber 
■ SßerbienfieÄrefa'gmit»te(em2obegebad>trttirb. ©alter* 
fte voOffänbige Söerf über." analntifdje Trignnometrie war 
aber g. 30. OppeU Analysis triangulorum. Dresd, 
et Lips. 1746. 4., welkes fi* mit »ieler IHufffityrlicbfeit 
Aber beibe Srigonometrieen tjerbreitet. 3>teaRetljoben aller 
biefer tOiat&ematif er ftnb inbeg immer no*fe£)r ferner fällig, 
weit fie aße bie trig onbme triften Sinien nocb burdj einjelne 
Sucbftaben bejefdjnen, cfjne jicfc berfdjon von % ©iravb 
gebroudpien ©ejeiifcnungen sin, tang, sec u. f. f. ju be= 
totenen, rcetctjes beiüppet* 38erfe um fo met)r ju »er: 
wiinbern i(l, ba Euler biefe SÖe.jeicbnung fdjon in einer 
Sibbanblung über bie umgefefjrte 3Rett>oöc ber Tangenten 
(Act.Erud. 1744. p.215.)burc&gängigam»enbet. 3>urd> 
biefe »on Euter wieber in bie Trigonometrie eingeführte 
35e jcidjnung, fo wie bur# bie ©ejeicbnung berSBinM unb 
vefpectiuen ©egenftiten burcb A, B, C unb a, h, c, 
ober a, ß t y unb a, b, c bat bie anatijtifdbe S9etjanb= 
Jung ber Trigonometrie an Eteganj unb 6infad;beit außer* 
orbentlidj gewonnen, ^ugteidj fudbte aber aufy E u l e r 
bie gan&e fpfe^rifebe Trigonometrie aus einigen wenigen 
tmref? Sonpruction bewiefenen ©teiebimgen mitte((t rein 
analijtifdjer tKetboben abzuleiten. SB. f. befonbers feine 
■äbbanbtung: Trig. spnaer. univ. ex priniis princi- 



©efötc&fc. '331 

piis breviteretdiluciäederivata. Acta Petrop. 1779. 
P. 1. p. 72./ bie man aueb fäfl gqnj eben fo in Saeroij: 
trig. %*.$. o.3b(ter. Berlin. 1822. ©. 64. 2». 
£irfd> geom. Slufg. II. 95«ßn- 1807. ©.21. B«p. 

trand De'velopp. -nouv. de la partie ele'm. d.Math. ' 

Gc»eve. 1778. T. II. p. 576. firtbet. £>ie .Ableitung 
aus einer ©runbfotmet »etfudjte aucfr be ©ua (Me'm. de- 
Paris. 1785.), aber nacb einer |ötb|t weitfcUweiftgen Stte* 
tljobt. £>en erflen jroac fnrjen, ober feljr guten, Jetjrbe* 
griff ber analijt. Srig. lieferte Älöget (Sfoalof. Xrig. 
SSrnfcbwg. 1770.), woran nur ju fabeln fetjn mSdjfe, ba§ 
n.o<b ju oft Proportionen jfaft ber ©leidjungen gebraucht 
werben. Slucb fcbon Lambert (jafte (©eitrige j.'Sß. I. 
€. 369.) mehrere anafntifdie gormetn jur fpljärifcben'Srig., 
geliefert. Das »oHfiänbigffe neuere SEBerf if!: Ä. M. 
Cagnoli Trig. rect. et sphe'r. , trad., de l'Ital. pflr , 
Chompre. 2. ed. Paris. 1808. 4. , natb gemifcbfer SÖle« 
tbobe, etwas- nmtfdjreeifig, (eiber obne 5Hnwenbung bet 
(Eutecfdjen ©ejei^nung ber ©eiten unb2Bmfet, mit 
bieten Slnwenbüngen. (Eine ferjc BoHptibete analmHfcfce Ar- 
beit Iff 1 Lagrange Me'm. sur la Trig. sphe'r. Jour- 
nal de l'e'c. polyt. Cahier VI. p. 270. woritt bie gonje 
fpf)adfd»e Trigonometrie bloß aus ben gormetn [24.] ab* 
geleitet i|i. SSon neuen 2ei)rbücbern erwähne icb nur bie 
tton ©cberffer (£b. Srig. #atle. 1782. SOtit »ieten 
praft. ©em.), 3..fi.©cbutie (<Eb. Srlg. SerUm 1784.' 
Steuerlich hersg. t>on ©rfifon. ©anj elementar, abtt 
fe^rbeutticb.), ^Sfteiberer (£b. Srfg. Zitb. 1802. 
Sfltt »ieten 6icb(t faßbaren Sem. jur ©efeb. u. Sit.), 
3immermann£btopfpf).1rig.25ertin..l810.),©erling 
(©oft. 1815. ©etir brauchbares Eompenbtum.), <£m> 
met (grnrf. a. 3». 1817. SKecbt »oßftanbig, etwas- 
tteiffcbweulg, mit wenig (gteganj.)» Hestermann Trig. 
sph. leges et formulae. Vindob. 1820. 4. (©ans 
anatotifcl), mit JfriHfe ber allgemeinen gormetn ber analmv 
©eom..), SSilbe (Berlin. 1825. @ebr »oflftänblg, 
unb in jeber Sejiefjung .fet>c ju empfehlen), ». SRÄnd>ow 
(Bonn, 1826, $at »orifigUcb be« Swecf",. beftöebraueb 



332 S&gonomcftw. 

bes + auf ffrenge «prmcipfen mlffeffi ber , CfaMiMfcn» 
9Hetf>obe jurdcfjufö^wn, tdn analntffdj, fe^t ju empfrfj» 
lern); ©niabecfi (SL b. 9>ö(rt. ». Selbe. £pjg. 1828. 
0t«r fpb,. Ssig. mit SÜmwnbungen auf 2!frronomie.). 11«= 
tet ben franjofifdjen ÜBerftn jeitbnen fiä) au« Trem- 
ble'y Essai de Trig. spher. Neuchat. 1783., Menü 
aurla Trig. spher. -etson appl. Paris. 1801. 8., Le- 
gen dre Eie'mens de Geom. et Trig. 11 ed. Paris. 
1817., Jacroi'r «6. u. fp&Är. Stig. u. f. ». % b. §. v. 
3 bei«. Berlin. 1822. Da« muefte fefc »oflftfnbige 
englifi&eSBerf mit »leiert 9lmwnb»ngen'i|f : M. D. L ord- 
net an analyticalTreatise of planeand spher. Trig. 
London. 1826. 8., außerbem T. Simpson Trig. 
plane and spherical. London. 1748,, 'pJäyfair 
Eiern. o£ Geom. and Trig. Edinb. 1810., Leslie 
Elem. of Geom. and pl. Trig. Edinb. 1820. 4ed, 
(Eine frfjr ausfüfjrltdje Slbtjanbfung ber fpt). $rig. entbot 
ten aucfc Delambre Traite' d'Astr. T. I. Cbap. 
X., unb Abrege 1 d'Astr,, fo mit betber ?tigonometri«it 
Puissant Traite deGe'ode'sie.T.I. Liv.2.; Diele gor« 
- tttebt enthält bleBase du syst, metrique unb Me'thodes 
analytiques pour la de'terminatioh d'un arc du me'fi- 
dien.Paris.AnVII.oonSelambre, unter benaud)ätfertt 
Mauduit Principes d' Astron. spher. Paris. 1768. 
@eltr vitlt Stoweubwngen finbet man in SO?. £irfd> geom. 
aufgaben, ©<bulie'»5:afd;enbud;b(raHe^funfi, Puis- 
sant recueil de div. propos. de Geom. etc. iD(e eiltjel* 

nenSQetWemle »on Segenbte, ®au$,' ©etambre, 
BKoltweibe, Sejrell, Samerer, DUerg, £'$»{* 
Her, 9>fleibetet, SBotf, u. f. f. flnb oben ernannt. 
S)ie ©runbfotmeln bet fpljiSroibifdjen Trigonometrie 
fleHte ju«|t<Etrler auf in ber widrigen, bfefe23i|fenfd?aft 
begrßnbenben, 2Ibtfanbfuttgi Elem. de Trig. sphe'roid., 
tire's de la me'thode des plus grands et plus petits. 
Mein. deBerl. 1753. p. 258., Halbem fdjon £tairaut 
(Mem.de Paris. 17331739.)bleJr)aupteigenfd>aft(156.) 
ber MrjeflenJiniegefunbentjatte. 5Du©ejourfudjte bie 
Sormefo burtb Diebiif iion ber fp§awiWf(ben£>ceietf< auf bie 



©eföfc&te. 333 

£)Urf&$t ber «ingef*rie&enen Äuget jir tseteinfae&en (Mem, 
de Paris. 1778. Traite anal, des aiouv. appa& des corpi 
cel. T.n.); emejtemücb»0ilftönbige2fnatijfe lieferte Te-- 
genbre in ben Mem. de l'Institut 1806., anb bas 
et|tc »oipnbige Söerf SEktnaba Oriani (Element! 
di Trigonometria sferoidica, Bologna. 1806t 4.), 
freiwetcbem jebodj einige SffieitfdjtpeiflgfeitunbUngelenfigfeit 
wdjt ju »erfennen ifh Samt erfcbitn Tentamen circa 
Trig. sphaeroid. Auct. E. G. Fog Thune, Hau- 
riae. 1815.4., twmnbie gor mein au<bnod>fef)r corripticirt 
(int, unb ber£>ar|Muitg äffe Sleganj mangelt Söorjüglid; 
ttidjtig tft 33 e ff e 1 8 ^luffa^t Ueb. d. Berechnung d. geogr. 
Längen u. Breiten, aus geodät. Vermessungen« Schu- 
machers astron. Nachr. IV. 1826. No.86., ttelcbet aucö 
unferer $ier gegebenen S3eljanblung »orjuglicfe jum ©runbe 
liegt. ^>uiffant(Traite'deGe'od. II. p.212.)unb@(eiti 
(©eogtapfe. Trigonometrie. SKainj. 1825. 4. ©. 107. (£rrt> 
• |alf alle fcrei Steile ber 3tfg. mit 2lnroenbitngen auf Ij6r>e=. 
re ©cobdft*.)/ feigen s«i 2<genbce. Otocp i(l J» «• ■ 
turnen eine jlbljanbliing »on (£attifo (Mem. deTurin. 
IV. V.), unb Oelambre Methodes analyt. etc., 
S0iet)rerf6 Ijtcrfjcc ©e^Örenbe ftnbet man aticb in bec mo> " 
nott. Sorrefp. an wrfdpiebe nen Orten. 

3)ie «flen 3been jur SPotpgonomertf« finben (tcb fdjott 
in"©irarbö Tables des sinus etc. (M&titttt ©. b. 
9)}. III. @. 108.) SDie Sßeraniaffung ja fbrer 23earbei= 
f ung gab aber vor&öglicb Lambert buref; feine Anlage jitt 
^etragonometrie (©eitrige, n. ©. 175.), einer 9tafj4ij* 
fong afletmogtwbenSaile, »onacb^.^.ajlaner (Tetra^ 
gon. speeimen I. Gott. 1773. 4.;, unb SMornfett 
in einem feb> «usfö!itIicben9Bert> (Introd. in Tetr. Han- 
niae. 1780. 8.) bie Shwfa&rung »erfuebftn. ©et» ©runb 
jur^ottjgonomttrie legte 2er eil burdjbiebeibenaßgemetneR 
Formeln in(178.)(Comm.Petrop.XlXXX. Ueberf.unKr 
bem 'Sit et : «polijgonometrie ober Ülnweifung jur SSerecfcnurtg 
jeber gerabl. $igur. Jpgg. 1783.). 53a« erfte ausffi^rli^je 
fcbrbucb mit einer allgemeinen §ormeI für ben 3tü)att bet 
■ ^ötygone (186.) iieferte-2'^uiUer (Folygonometiie 



334 Sfctftottale StfgMtorarfrw. 

et Abrege d'Isope'rimetrie. Genev. 1789. 4.)/ ttttt>, 
.twbfKEamot (176.); j»ei anbere aügsmetne gürme(n f 
auf weldjc bjet bte «poEtjgonometrie gegrunbet worben ift 
Utifer fcen beutf#en VeE)rbüct>etn jmb ju erwäljneni 5Ra* 
. goti) matV&^rb. Sanbßfjut. 1805. III., ©(biecerf 
*po£t>gonometck. ©ietjep. 1820. imb £anbbucb für ©et* 
merer u. f. w. Soln. 1827.- £u «mpfeblen i|? au<b bte 
ematntifcbe ^anbluttg von Stelle in feinem Lehrb. d. 
€eom. Berlin. 1826. L S. 437. 

Ue&er bte ©eftfjt'djte ber "Srig. i(I jo »ergf. Button 
in ber (Einleitung ju feinen Mathematical Tables. 
fcond. 1801. 

Srigonometw, rationafc, f. Stigonometrie. 

(34.) 

SWgoriofcopiC/ f. Trigonometrie. (3.) 
Trigonum, f. Äreiecf. 

Trilaterum, ©reifeit, gIeid)üebeu(eubmitS)reierf. 

Stillten iff eine Million tJOitSiltionm, bicSSejetcfc 
ming ber acbtjebnfen öcfcnung im t>ecatnf#eti3af)Utifrßem. 

Sn'nomiW Wfa itbt <aa tr*i, t>nre& + ober — 
nritemanber »erbunbenen,- 3b>üen beff'efjenbe ©röjjenform, 
wie A + B + C, A '— B + C, u. f. f. @r6fjen »on 
bergorms 2 — 2px + q a nennt (Euter (Intr. in Anal. ■ 
inf. I. Cap. 9.) trinomifdje gactoren. 2fm 2frf. Unmßg* 
tifyt ©r6pcn f|i gejeigt, baß jebe ganje reelle gun= 
ction immer in (auter foh$e reelle Sactoren beet ^weiten, unb 
in reefle gaeforen bes erften ©rabesj jerlegt werben fann, 
mttyt ein Jjbauptfalj ber tjo^ern 2ttgebra (ff. 3B. f. auefr 
bfe SIrtt. €oteftf$ec SeJjrfaJJ , unb IHnroenbung ber @eome= . 
trie auf bic Sltgebra. VI. VII. ; aueb eine Slbljanbtung »on 
Stepinus Nov. Comm. Petrop. VIII. p. 181." %u 
•genbre (Theorie des nombres. p. 292.) nennt forme 



TjcinoHiiiyn. 335 

■trinaire einer 3a|l j^S&l, fcUfette afe.<me ©unuae 
dreier Üuabrote barjufteBen, wie j.2J. 59 =r 25 + 25 + 9 
=|49;+ 9 + 1. (Er unferftbeibet fonnes trinaires» 
propres unb formes trinaires impropres, jmadjbent 
t>ie brei üuabrate feine, ober eine Quabrarjabl (1 aiißge? 
nommen) jtim gcmeitifdbaftüc&en ^tjeiter baben, wie j. <8. 
189 = 13* + 4 1 + 2 2 = 10* + 8* + 5* = 
11= + 8* + 2* für bie erfte, 189 = 12* + 6 2 + 3* 
für bie jwefte 2lrt. Diviseurs trinaires finb fotebe rrino= 
mtf4)e Sacforcn »ort bet allgemeinen gönn px 2 + qxy 
+ ry 2 , rtetefe fic&. in brei Üuabrote jertegen (äffen. 

Trinomiiim, eine aus brei burä> + ober — mit 
einanber »erbunbenen ZtyiUn beftefienbe ©tofse, wie a + b 
+ c, a — 0+0,3 + fb — j c, K. , 

Sripaf titiOIt. (£in^d(ung einer ©roge in brei gfeU 
#eS$ei(e. 

Triplicata ratio, f. S8er$atf nifj. (14.) 

Triquetrum, eine «rottete, nur fetten »orfem* 
raenbe Benennung be* ©reteeffl. 3rt ber •angemonbten 
SMfl^ematif ein ajfronomifdjes ^njtrument, beffen Srfiri= 
bimg bem «ptolemäns jugefc&rieben wirb, ©ie 5&u 
febretbung pnbetman j. 23. inStevini Geometria pra-- 
Ctica. Lib. IL p, 363. 

Xrifection fceS $ßmfeI6, ober »ietme^r 2Iuf 3 
gäbe »on ber Srifectien be* Söinfete, ip bie, 
im 3Uterrbume fer)r berühmte Aufgabe »on ber %fyitün$ tU 
»es 2ßtnf elo ober Cogens in brei gleite tfyiU. <£s wirb 
jroeefm^ig fei;n, juerfi bie allgemeine anatntift&e 3IufE6= 
fimgbiefer, bie Gräfte öer -euclibifrben ©eotnefefe überftefs 
genben Aufgabe gtr geben, unb bann ber 53eimu)ungen bet 
grfetbifiberi ©eometer ju gebenf en. - - 

1. ©en «ein gegebener Kreisbogen, beffen Jpalb= 
meffet = r. 35uctfj ben einen (Enbpunft beffetben jiebe 
man einen SDurcbmejfer unb bejeiclwe in Seimig auf ben= 



336 Srifetfiott 

feft«t als %pt f t?«i 5>it«etpunf t bee Greifes al* Anfang 
bet 2Jbfcif]en, bie Söorbinafen btf anbeut (Entywnfftf b« 
©ogen a nnb-f« *> m $ x '> /> x ' y* fa "tö 

x' = rcMa , y' = rän* ; . 
is rcotja, 7 ss rsinja. 

inj« . - ■ • 

r'.iinjo = 3riinj-«,rcuf a ■';',- 

= rnna.rooif a — rcoia.riinf a, 
3«y e= xy/ — x-y, y = jg^y . 

£>jefe Stellung entölt betbe Soorbinaten x utib y. S3e- 
'f^jreibt man atfo eine ib> entfprec&enbe für«; fo wirb ber 
bcitte X^eit bee gegebenen Cogens bur# &en£>iird)f<&mtttfs 
pimft biefer (Suwe mit bem gegebenen Greife benimmt 
»erben. 

. , 3. Dlimtnf man einen <Putt5f, .fceffen Coürbröafen 
— 4-x', 4-y' finb; afö Anfang ber Qfoorbittafen an/ ui* 
bie pofitiueH neuen örbmafen auf ber ©eite ber negatii 
iSen primitiven Drbinaten; fo i|t, nenn bie neuen ötbina= 
tenburebx'', y"beieiä)net »erben: 

» = ^- i x' > y = -y +47*, ■ 

woraus nacb/ gehöriger ©ubflifiition: 

". * . x»y" = *»'/, 

»eute* bie ©teiebung einer gfet<bfeftlgen $wttM s»if$m 
{e^ren^mptoteitifi. (gerbet. 8. 9. 31.). 

3)eatfo AB (Fig. 74.) = a; fo neunte man c£ 
= £CD, EG = £BD, jiebe.bur<& G eine 2inie mit Aa 
parattet, unb eine anbete fcarauf fenfredK, unb betreibe .' 
, jwifdben biefen Linien afe SJfomptoten eine glefcbfeitiae $$* 
»erbet, beren <porenj = $xy iff; fo wirb u)r SDurcfa 
febnitt F mit tem Greife ben Sogen AF = £ AB bt» 
jtimmen. 

3. $ur ade fünfte aber, mlfyt biefe beiben <£um» 
mit einanbec gemein ftaben, iß 

2iy = ^y" — x"y» x» + y» e=t r* , ■ 

woraus burefc, (Elimination von y leiebt : 

, x*>xV — Jr'x» — i'xx — «rVsso, .- . . - 



t($ SBpUlS. . 337 

etfatfeti wirb. $iefe ©Wdiuna, 6?« »fetten ©rate« jffgf 
an, bafj (8 im SIEgemeinett »ier ©unfcftbmftepnnffe ber 
Reiben £urt>en gleit, wenn niebtetwa einige Sfiurjeln ber* 
feüwn ©teidbung imaginär jtnb. 

; 4. Um bie ©teidbuna, aufjutöfen gebe man i$r folgende 

(x> - Jr'x - 4r*i'){T +■ x") = , 

woraus* = — V eine SBurjet bee ©leiebung. 3«ner 
fege matt ' 

x» - |r>x - ir'x- = o. 

SIber (©onionterrie. 14i.) 

(rcot^o)» — 4r».(r «■»$•) — lrV.(rco*.) « o', 
C««J-)» - Jr'.Crco.*.) _ jrV = o. 

©ie« giebf bie neueUBurjei x = rcos-J-a. y ®urä>©ub> 
fraction erhält man teiebt : 

x'-Jr'x-irV = 
x' _ (roewf.)' - Jr'(« - reoii«) 
s=(x» + xrco«| B + r'co»Jo' — 4r*)(x — rcöi$«) 
, x 1 + xreoif« + r'co.j.«* - }i> 3 o, 
* = — *rco»$« + riiaj.«.fr3, 

woraus, ba 

«»60° = 4^ «ineo = ^yä ( 

iff, Webt ermatten wirb: 

x = — rco»(60» +'io). 

S)i« »i« aSurjeln ftnb alfo: 

x = — x* =; — reol ■ , 

5. 5>ief< SBnrjeln ftnb ade r«tt. 5I!fo giebt tt fm 2111= 
flemeinfii »ier ©urcbfcbmrtspimffe. 3tibefj fann (6 in be» 
fonbern Sauen aueb nur brei geben, wie j. 23. für a=o, , 
wo Die beiben legten SBurjeln einanber gleiä) finb. 21ucb 
fÜt a=45° ift 60° — $a = 60° — 15° = 45 p =«. 
tlifo finb in biefem gaße bie erftt unb vierte SEBurjet einam 
fctr gleist, ©er fJunft F ijt, wenn wir annehmen, baß 

V - - ^ nnolr' 



338 • ' ZrifOfiOtt 

n»i<W>90°> ktr etaMgeSnrtJfc&nifWpunrt, btffotafc. 
fchjt pofiti» ift Wo lp f» r "tf™ S 5 ""'' »"* (*•) * — 
rcos| <j, unb ber Sogtn AB = n Birt fotgli* .um bie« 
fem 9>unftt rrifecirt, »ie mit f*on obtn bemerften. Un. 
«r ben übrigen brei Durcbfä>nitt»punfren ift, *t}iK SM* 
(i*( ouf ba« 3eicben, bie äbfcifle »on F" am grolite« > We 
»on F"' am fleinflen. Sa »im « nicht > 90° ift; fo ift 

' 60° + 4-a>60°— 4-1«, 60 +i.aniAt<n. aifo 
ijl 60" + 4-« ber grofteSHSinfel, cos(60» +.i<t).b« 

. (lernte eo(inue. Semnad) — rcos(60° + 4a)bieab= 
fcifTt »on F"', itn& F"' beftimmt alfo , Wenn man fiel} bit 
abfcrfte pofiti» genommen benft, ben btirtcn 3b)eil »on 
3.(60° + i<t) = ISO" + «, b. i. ben btilten 3r,ei( 
bes Sogen« aF"'AB, fobajjaF'" = 4-aF"'AB. geinte 
ift 60° — 4-a |«, wenn 60° j Ja, 15°=4-a, 45°S o 
i)i. Sür a < 45" iftatfo 60° — f*>a, cos(60°^4«) 
< cos«, alfo — rcos(60° — $a) bie 9bfciffe »on 
F', — rcosa bie ton F", fo bog alfo, roenn man bie 
Sogen »Ott a anrechnet, aF =60° — 4«=4<180°— o) 
= 4-aB, aF" = a = AB ift. 3(t et > 45° , fo ifr 
60° — $a < b, cos(60° — 4 o) > cos'ce, Sllfo 
— rcoso bie äbfcifle »ort F', — r cos (60° —4-0) bie 
»on'F", aF /> -=4-aB, aF' = a = AB, wie »or^er. . 

1 güra=45° I|t60°— 40=0, fo bog alfo bie ^nnftt 
F, F" jufammenfallen, unb aF' = aF" = a = AB 
=s 4-a.B i|i. Ss trfwOrt hieraus, bog burd) Sic ^>tfperbc( 
immer fdrooljl ber brltte 3r,eil ine gegebenen fpi«.en 2Bin. 
fels, als aiicb feine» (Supplements bejrimmt »jrb. SßJare 
alfo ein |tumpfer SBinfel ju trifeciren, fo ttifetire man fein 
(Supplement, weil bann immer and). -ein 3»eig ber £»per= 
bei ben britten Z^til bes gegebenen (rümpfen SBinFels bt> 
ftimmf. 

6. Obige analnfi« führte un« unmittelbar jur £n> 
»erbet, unb es febeint nicht , bog eine einfachere 2lnalijfis 
möglich iji. aifo ilbtrffeigt bas Problem bie Stiflt ber 
Geometrie bergeraben i'inie unb bes'.Sreifes. S>er@runb 
t>ier»on tagt fleh auf folgenbe 9tct am beutlicb|ten angebtn. 

- -SBer nach bem britten Sljetle eines gegebenen Cogens AB 



fragt, frctgf eigenffld), bw ^tufgaBe gatij allgemein aufge- 
faßt, nacb bem brittctt $b>ile fceöjrcffcben ben betten 
^Suntten A unb B lirgetiben 2Joflctt.s. ' Sejetd)nen wir nun 
bie $pertpb,ert< burd)p, unb feften p — « = ß'j fo lie» 
gm j»ifa>n tiefen beiben $)imften,< wt$ beiben ©eitett . 
§{n wn A auege^enb, folgenbe Sogen: 

•» p + o» 3p + •, ap + «. «./. r.i 

V, p + •', 2p + ■'. 3 P + V. u. f. f. 

SBer otfo nad) i« fragt, fragt eigentlich nad) bem Örltfett 
^.tjetle aller biefer Sogen, *}u einer 9toß$fung in* bfefem 
allgemeinen ©inne finb aber brei fünfte erforbertid): ei'/ 
ner, weldjeryß; einer", weldjer -fa, »nb eijter, welcher , 
4-Cp + «) bejeimmt. ©tefe bret fünfte fenen f, f , f" . 
(Fig. 75.), fftbflg A f =T«v Af'=4-(p + «), Ar , ' 
= 4«'. ©ann i(i4.c2p + ß)=.-3-C3p — p + ö) 
= P — \d == P — Af" = Aff'f. gerner ifl 
*(p + «') = *C*P — o)=i(3p - P — «> = 
P — 4-CP + «) = P — Af = Af"f. <£nblicb i|t 

f(2p + «') = 4(3 P — P + tf)-=p— *(p— «o ; 

= p — 4 a== P — Af = Af 'Ff. jpat man nun aß* 
gemein ben Sogen np + « ober np + «'; fo fen n =;. - ' , 
3n' + n", wo n" < 3. SDann tfr -|(np + ß) = ' 
f(3n'p + n"p + c) r= n'p -f 4-(n"p +•«), \ (np + «') 
= 4(3n'p + n"p + a') = n'p + 4-(n"p + a ')r fo 
bajj alfo 4-(np + a), $(np + «') erfjatten werben, 
wenn' man ju bem aus bem Obigen befannfen Sogen 
4-fn"p + «) ober 4-( n "p + *0 ^ a P befannte Sßtefs 
fache ber ^eripberte abbirt. 3>a alfo ju ber Slufföfung 
unferer aflgemeinen Aufgabe bret fünfte- nottjwenbig 
ftnb, ber greift aber von ber geraben Sinie ober bem 
Greife nur in jwei fünften gefdjnitten werben fann; fo 
muß bie Aufgabe bie Gräfte ber (Elementargeometrirubrt« * 
ßeigen. 3luf ganj Ähnliche 2lrf würbe fid? jeigen (äffen, 
bafj jur Teilung eine« Sogenein jwef, vier, fünf, u. f. 
f. gleiche ZbnU im allgemeinen ©tone, aiicb jwei, vier, 
fünf, u. f. f. fünfte erforberlitb (tnb. *K. f. über t*e» 
fen ©egenftanb Affiner» 9>tegramm; UlMle P lures , 
insint radices aequationibus sectiones'angulorum 
defiiiientibus, »eftbtö jtd)'aud) tnbei*©ammfung: Dia- 
■ . 9 2 



.340 Srtfectiott =, v „, . 

sertationes math, et phya. qnas Soc. reg. Gott. arm. 
J756 — 66exhibuit A. G. Kaestner. Altenb. 1771. 
4. p. 150 — 175. b'ejtnbef. Gilberts Geom. nach 
Legen dre etc. Halle. 1798. 8. S. 181. &-- ■ 

7. 5>ajj unfere £ijperbel fei« Aufgabe »ort fcer &ffec* 
tioit allgemein aufiöfet, ifr tet&t jti jeigen. * '(Es tft n^mlicb 
(Fig74.>na*C5*)AF=:4.AB=4.ö, aF* (ober ab"") = 
4-aB = -J-CtP — «)/ aF'" =£aF"*AB == £(-J-p + et). 
mtfo 4-p — ar (ober aF") = AF' (ober AF") = 
' 4P — t(*P — «) = KP + «J> tP — »F I " = AF"' 

= tP'~-HtP + «) = 4-(p — «) = $«', fö bafjaU 
fo bureb F, F' (obet F"), F" bie öcitten "Jbeile ber So* , 
gen a, p + a, «' benimmt werben, wie noeb (6.) jur 
affgemrinen 2Iuß&fung erforfeertid) t|r. 

8.. Dbgteid? man ben eigentlichen Urljeber unferß 
$>robtems nidjt fennt; fo ifi bodb feinem Streifet unter: 
worfeh, baß es bec ylatonifcben @d>ule angehört (Mon- 
tucla. T.I.p.178.). &ucbfcbrdbtS«ontucla(p.l77.) 
felgenbe jwei 9Iuff6fungen biefer @d)ule !»• 
. 3fi ACB (Fig.-76.) bet gegebene Sffimfel, fo werbe 
aus C mit »fÖfübrlicbemSRabiu* ein #albf reis befdjrie&eit, 
unb bureb B bie i'inie BE fo gejogen, bog DE bem 9va= 
biiis tfs Greifes gfetcb ifr, reoju aber feine weitere 9iitwet= 
fung erteilt wirb.' ©ann ifr -£ E = £ ^ ACB, weif 

de=.cd = cb, ^cbd = z1cdb, £. dce 
= ^dec, ^cdb = 2.^e= ^b, ^acb = 
^e+^b=3.z:e, '^:e = ^^acb. 

3(1 ferner BAC (Fig. 77.) ber gegebene 3Btnfe(, fo 6e= 
. febreibe man bas Diecbtecf ABCD, »erWngere CD, unb 
jtef)« burd) A bie £inie AF fo, baß FE = 2AC, woju 
wieberum feine weitere Slmweifurtg erteilt wirb. 3>ann 
ifi^FAB=^BAC, weltbes fieb teiebt beweifen Ußt,' 
wenn man FE in G Ijalbirt, unb CG jiebt. 

. 9. ?Iu(b£ßieta (SupplemcntumGeometriae.Prop. 
IX.) unb 0iewtott in ber Arithmetica universali fco* 
ben auf ben erflen ber hüben »origen ©ige bie 3rifection 
bes aßinfets gegrünber. *Sla$i man in Fig. 78, bie ii* 



-■• btS SBM&. . ■ 341 ■ 

nicn-DB/ BGV CA,»AE, EF, u. f. f.-riiMirter gtelcbj 
fo '.fg'^CBA. = 2D, ^ÄCE = ^P + ^BACirs 
3D,. ZEAF =;<D + '^AEC = 4D, «.f. f., 
««WM äfft eine £ti»eiterwng bes <Saf}es anjttft$rtW|t. 

10. (Einmedjanifdjea'SSerfatjrea, t>i< ßiflteBK (Fig.76.) 
nacb; bec SBorfcbrift (8.) Su 'jfcfjett, tdßt (E$ fe icbf ausben* ' 
fen. 36ie man ficb eines blogen Lineals bebient, jtigt 
SRontucfaT.I. p, 177. Ein eigne« ^nflwment Ijat 
ber^efuit $bomae> St»a erbaut. T. Cevae e. S: 

J. Instrumentuiu pro sectione cujuscunque anguli 
rectiline».,in parte» quotcunque aequales. Mediol. 
1695; abgebeutft Act. Erud, 165. p. 290 — 294. 
T. Cevae S. J. Opuscula matjieiiiatica. Mediol.' 
1699. Act Erud. SuppT. T. III. 1749. p.368., wo 
SffleljrfttS über uiifere Aufgabe »orfommt. 35as 3nffm= 
weift -jur Irifection bejteijt au« vier i'ineaten , bie einen - 
SXijombue abcd (Fig. 79.) bitben, unb um a, b, c, d 
beroegiidj flflb. @oß ^gdh trifecirt »ecbeB/ fo neunte 
mon gd=dh =; ab = ac = bd = cd, befefttge be« 
^nftrument« SWiftetpunr't mit einet ©pitje in d„ unb be* 
wegebie Lineale fo lange, bis jie butd) g unb h geben,' fo 
ift notb (».) x = 4-zj yz=$v, ^bac=4^gdb, 
2>a3 ^nßtununt jur SÄuUifection f. m. I.e.; ein anbete* 
3nptument in De 1'HoSpitalTractatus ,de sect. con. 
I. 10, Prop. 6. ©ergteic&en 3 n P rumm(( P^b »on feU 
item pro! tifeijen ötiifjen. 

11,. Sßon jwei anbetn etemenfaten^fiiflofungen ertbeift * 
.Äaftner Sftac&ricbt in ben geem. ©ammt. I, 91. 33. 34 . 
SDie eine fintef ficb in *31 1 b r c d; f C£> ü t e c s Unoerwetjfung 
ttcr meflfung mit bem jirf et unn Hd>tfd>erK- 1525. fol.,i|t aber 
iwtb Ääpnet» Urteile unrichtig, ©ieanbete rütjrt »on 
Campann» (Transalpinus Gallns. 3ft. f. auch £ä|h 
ner« @. b. *OT. L @. 297. 305.) her, pnbet ficb am 
(£nbebes »ierten S3h((?b wniKatöoltß Ausgabe bes ■(£«« 
ctib (Venetiis. 1482.), unb fÄr)t£ bie ^rifection auf 
fotgenbe ebenfalls nicht rein geometrifeb. auftloebare 31uf= . 
^ab«ä«nid. (©übet Ca.«. 0. ©.180.181.). SfBenn 
ACB (Fig. 80.) ber gegebene 1 SEBinfel, »inb CD auf bem ' 



3*2 . . Äriferttott . " 

S>urcbme|fer BE fenit«&t l|l, bl< ©e&ne AF fo i» jieljm, 
baj GF Dun £a(bme|fer 9(11«' i|i. Sann ift »og: EF = 
£S5og. AB. 3ier)t man nSmlkb CF, fo i|r, roegen CF 
3=FG, * = y, z = 2(R — x), b.lj=2q: aber 
ysy + *=S| x — w = v, p + w^R = 
X + q, p = x+q — w = v+ q = z + q=3q> 
9 — t.P- . ' •_''■' 

' 12. 2ß[o$atius elementar. = geom. 9IufI. be«betU 
fcben^toblem«, ber Aufgabe. Dom SDreifcbmtt bee'SEBin« 
fei« il f. f. jtonigeberg. 180*. ifl ein" merfroilrbige« S5et> 
feiet jjeometrifcben Unfinns. ' ©er ganjen Unferfucbumj 
liegt foigenber @olä sunt ©runbe: 2Benn man (Fig. 81.) 
von A burcb D eine fiinie naeb M jiebc , fo wirb bec Jpalb* 
frei« ADB Don MQ in E fo gefcbnitten, bog BE ber Mit 
ft Vfytt biefee Jpatbf reife« iji. Saifcbt Senn märe BE 
= in = 60° , otfo DE = 36° j fo »are x = 15°, 
z = 45"r=x + y, y=30°. aber 

rinx : «iny — DM t DQ, 

•JnJ5° 1 »!n30° =s iin)5° : 2mnl5°.c(nl5 

= 1 ) 2w»lä° = DM : DQ = f : 2. 

9Iffb2co8l5° = 2, co8l5° = l,-we(cbe« ungereimt 
i|i Eben fo falf* finb alle übrigen @a«e. 

Olocb gebort bon neuem SÖetfuaVn t}ierr)er: Essai 

sur la triaection de l'angle par Pierre Petit de 

Dretix, dit le Polygoniste. 8., »etcbes io> aber nicht 

t)obe ju fer)en befommen fönnen. lieber bie£r)eiiung eine« 

. Sogen« »onS. 0»ffe [. Olbenburg. 1815. 

13. Slurcb 9!äf)enmg fonn man J-AB (Fig. 82.)=: 
4- et auf fblgenbe 2lct ftnben. 2ftan nefinie Aa = £a, 
ab :=^Aa = pff, bc = Jab= p tx, cd = £bc 

s=p«, «. f. f.; fo i|i, bie« in« Unenb(ln)e fortgefe&f, 
ber gonje ermatten« Sogen . 

. =(4 ,+ p + jt + p + ...). 

Sri4>t man bie Kettje mit bem ntett ©liebe ab; fo iß 
ber gebier . ' 



- 4"+'( 



m SBmf«. . 343 

i + *.+ p t p + ->.V • 

; = -4«h-i '*'~ ä7&'' 
reilcS»» für n = 4 nur -^ beträgt. Seomefrie »»» 
g>aurf«r. ÄSnlgebftg. 1823. ©.293. 

2>er re*te Sfflinftt ABC (Kg. 82-.) reicD teiifct in brei 
gfefe&c XfytiU Qttfytiitf wenn man über Bc ein glcicbfeittgcts 
3>rriec? beffreibr, fo wie au# öfter CD, unb BE \iety,, 
weil offenbar y + z = |R, y = z=:4R; atfo an* 
* = *B. 

.14. 9Bir gefecn nun nodr »on einigen nicfct elementar 
geomeftifrtjin ItuflSfungen SJtaityndb/t. > 

3)ie ;#ijperbet jjat iucrfl ^>apt>us jur IHuftofung am ' 
juttenbnt. gelehrt. SInbere Ijaben pctj be? 9>arabet-bebienf. 

' 2>e la Stapelte 2fblj. t>. b. Äegelfcfoniffen. % b. & »- 
©örfmann. eorfsnuje. 1771. 6. 243. ' 

OUconrebets erbadjfe, wie jur 3fijflöfimg UßMU 
f(^cn ^coblemö, riii^J i»r $rifectton bes Sfßinfels bie Son* 
d)o(t>e. ©eine ©cfcrift ift werteren gegcfngwi. $b,t. I. 
©. 531. (TUtuuß (Geometria , practica. £.ugd. 
1607. 4. p. 356.) tet>rt fotgenbes S8crfa£)rett. SÖJeitn 
ABC (Fig. 83.) ber gegebene 2ßinfet tjr, fo'fäu*e man »on 
fcem i»tllf ür)cti<fecn ^>unffe A in AB aufBC bas^erpenblfel 
Aü, netjme DC = 2AB/ unb betreibe au« B als <po( 
mit. AD als 23afis unb bem ^nterijaff DC bie obere Com 
d?otbe CE (©. biefen 2lrtifel),,jie$e AE mit BC parallel;, 
fo i|f,. wenn man nod? BE jleijt, ber SSJinfct CBK = 
3. ABC. . S)enn nacb. ber Statur ber <£ond?otbe i(l CD = 
FE = 2 AB. Jjjalbirt.man nun FE in G, uttbjietjt AG; 

■ fo i[J, »eil FAE.= 90?, FG = GE = AG = AB. . 
2Iifo x = y, p= q, y= 2q= x, q==z, x=>2z, 
z =.£ ABC. 3(1 ber gegebene SBinf et (rümpf, fo freite man 
bie Hälfte in brei gtet#e$fteile, unb netjme biefer ?f)et(e. 
jTOei. Uebrigepawirb, »e(#ee <£la»tuS nidjt em>äljni, 
ber ftumpfe Eftebenwinfel ABC' (Fig. 84.) burd; bie unte» 
re Gondjotbe triferirt. 3fl nämlidj C'.E' bie untere £om 
#oibe, fo ijt E'E'x= CD = 2AB. 2I(fo, wenn man 



344 • Srifcetlon 

ET In G 6>t6irt, unb AG jiefc, E'G = GA = GF^ 
AB; fotglidj t=u, v= w> t=2v~ = u, vc=r, 

u = 2r. 9Kf*r = 4.ABC. , , 

©inoftrafus, fccö 3)1 cnüdb muß Brütet r (rfcQcb« 
g'ur Leitung tiiws SBinf e(ß naci? einem gegebenen Söertjitt» 
nifle Die Öuabratrfr. Montucla. I.p.180. £<tftnee 
geom.@ammJ. II. @.240.— Sfjt.II. @.3l9.biefe83S&r« 
terbuä>e. SOlöntucta (T.L p. 181.) »ermüdet, baf 
ein gewiffer Jjippiae »on (Elis bie üuabratrir erfum 

, beti, unb2>in-o(iratu8 ft< nur sur Quabratur be» Äret* 
fetf gebraute fjabe,» welcbe« aber natb DU i m e r (33 o f f u 1 8 
@ef#. b. 9ttatb. % b.fr tön Weimer. I. £amb. 180*. 
©.76.)ganjcf»ie(5runb.i|t.' ^n bebauern'ift, bafjDtei* 
mer feinen Sßai'fafe (Hist. problematis de cubi dupli- 
catione. Gott. 1798. p. XL), aud) bie ©efebitbte be« 
Problem« »cm ber $rifccfion be« 2BinMß ju fdjreiben, 
niebt jur 5lu 9 f Urning gebraut f)af. SBir würben bann 
einen feijr guten Beitrag meljr jur ©efd)ict;fe ber 9)lafb> 
matif beftfjcn. lieber bie tSntflefjung ber üuabrattir f. m. 
biefen 3lrt. ©eljr ausfiifjrlidj i|t fie aud; unterfuä>f in 
Cluvii Geom. pract. p. 320., unb in beffen (Eudib 
(Coloiiiae. 1591. fol. T. I. p. 349.). ©ofl ber 23e* 
ge,n Ab (Fig,85.)/ »el(ber < 90°, nadj bem SÜer^tt* 
niffe a i b gereift »erben, fo befdjreibe man mit bem 
9tabiu5 BC bie Quatwtrir BE, unb jielje CD, wetdje 
bie üuabratrir in Ffdjneibet. Sann jfelje man FG mit 
AC parallel, unb t^eile CG in H fo, baß GH:CH = 
a:b. giefjt man nun HL mir AC 'parallel, weldje bie 

. üuabratrir in L fdjneibef,, unb hierauf CLMj fo tft 
MD*AM=ra:b. 3>enn twa) ber SRatur ber Üuabra» 
trir(@.biefen2lrt.l.)ift 

AB i BD = BC i BG, 

AB : AB — BD = BG ; BC — BG, 

AB : BG = AD : CG . 

AB ; BM —■ BC i BH, 

AB : AB — BM = BG : BC — BH, 

AB : BC ?= AM : CH. 

AD : CCJ =s AM : CH, 

' AD — AM : AM =* CG — CH : CH, 

MO; AM=sGB: CH. 

',,.,,.. , c? vGqoqIc 



9Kfb liadb bem Obig»' ' • 

MD : AM = a : b. 

©öS ber ganje üuabrant nacb bemfetöen SOerrjÄttniffe ge* 
«feeitt werben;' Co ma*e man (Fig. 86.) BD;CDt=aib, 
jier;eGDmitAC»aralIe(, unb jtef,eCFH; foiflBH:AH 
= atb, welches wie »orijer beroiefen wirb. 

©oü einbogen,, welcr-er >90° 1(1, na* bfefemSÖer* 
Jjülfniffe geteilt »erben; fo nenne man tiefen Sogen A 
unb Q ben £hiabranfen. ERun tt)ei!e man A — Q in bte 
$r>«le A' f A", fo baß A':A" = a;b'. (Eben fo trolle 
man Q in q! unb Q", fobafj Q':Q" = a:b. 2)onn ift 

A':A'; = Q':Q", A' + Q';A" + Q"=A':A" = aib. 
Sttft (A' + Q') + (A" + Q") = (A>+ A") + (Q' + Q") . 
= A — Q + Q = A. 21tfo ifl A in bie Ifteite A'.+ Q' 
unb A" + Oj" nad? bem £0erb,ältm(je a : b geteilt. 

3>r»cnif)m fo genannten Dp tiiunbe obec ©cbfan» 
genlinie betieirt fid) Uijlrjorn in feinen (Entbetfungen 
in ber Ijiljern ©eometne, tljeorerifd? unb proff. abgetan: . 
beide. 0(ben&urg: 1809.*. aBer>cecegeemetrtf<be5tuf» 
lofungenf. m. aud) inPappi Co\l. math. L.IV. Prop. 
31 sqq. 

dergleichen Teilungen finb inbeß nie wen proftifcbem 
öhiijen , fonbern nur als IHnwenbungen ber Sfeeorie ber 
Cucven ju befrachten. 

Trochoidalis Leibnitü ifl eine Suröe,, wdebe 
ton einem feffen <pnnfte auf bec (Ebene eines Greifes ober 
einer anbern Üinie befdpeieben wirb, inbenf biefe ftnie fieb 
auf einer geraten Stnie ober einem Äreifc fortwärt, unb 
alfo ber Sogen ber bewegten Sinie von bem ecflen S?erü^ 
rnngspunf tt bi« ju irgenb einem bem SßJege auf ber fe(ten 
Sinie glefcb ift. SDemnadj nur eine SÖeraflgemeinerung be* 
©egtiffs ber (Sncloibe unb (Epictjcloibe. 

, Trochoides, f. ©jeloibe. 

Trochois, emeonbere SJenennung ber Cocloflx. 



346 ' Truncätus. 

Truncätus, abgefhimpft, wirb »on .ftegrtri um> 
^nramiten gebrauter, t»elcbe von einer mit ber,@runb; 
ffacbe parallelen (Ebene burebfebnitten |tnb. 

. ' Turbo, l)eijjt juweiten ein unten fm'(&er unb oben 
breiter .Körper, nie j. Sä. umgefebrte X egel unb $ntamk 
ben. 3nbe(j i(t tiefe» jiunftoort unge»6r)niicb; unb unnüß,. 



U. ., \ 

. Uekrfcifpetlidpe StiifgaBc, (probiema smso- 

. lidum) , f. aufgäbe. 561. 1. ©. 227. 
Ud>m*|} , glela>bebentenb mit Dieft. 

Ufbcrfdjiegeilte Sojjt/ f- Abundans numerus. 

Ile6etfcf>uf),'(excessus) l|J bie ,©roge, um roe(*e 
«Ine Srofe gr6|jer i(i als eine anbere, iinb folglich im Sltts 
genteinen gleicbbebeutenb mit Siffetenj ober Unter-fcbieb. 
3(i A = B + V; fo i|iU bet Ueberfcbufi »on A übet B. 

UmtilbUlia, f. Umformung. 

Ümbilicus, i|i bapbe, »as fonfl SSrennpunft 
ober §ocns einer ' frummen £tnte genannt wirb ; f. tiefe 
2fttite(. 

tlmbrcl)tm9 in ber Seometrie, f. überbau)« ben 
Slrtifel SBeroegung, unb »orjuglicb StjC I. ©. 299. 

Umfang i|t bei ebenen gerabttnigen Siguren bie @e, 
fämmfbeit oder itjrer ©eifen, intern man btefelben gewift 
(ermaßen nur als %t)eile einer einzigen gebrochenen üinie, 
eines einzigen itetigen guges, roeieber bie gegebene §igur 
umgiebt, betraebtet. Sben fo bebeutet -bei gefcblojfenen 
frummlinigen SIgurcn , wie j. 2J. bem greife , ber (SIlipfe, 
tas SSBort Umfang bie gaiije frumme Sinit, »on rcetebet 



, ' UßlfitttgMiBfct 347 

tfc $fgnr dttgtfftylolfeii wirb. <S. aucb ^Perimeter ünD 
$>eripljer(e. 

UmfangSminfcr i)f bei ebenen gerabtin(gen Sigu* 
ren jebcr t>on jwei iufammenfto|jeftbe ©eften am Umfange 
gebHbefer SffiinW; beim Greife i(i (8. ein. SBinM im 
Greife, beffhi ©pißt fit ber 9>eripberie be« .fireife« (legt, 
tmb beffen ©tfcenfet ©eljncn beö .greife« finb. ©ewöljn. 
lieber ijt im lefctern Soße bec 2Iußbmcf «peripljeriercmf et. 

Umformung; SranSfofmafion, Umwonb. 
hing, Umbitbung einer gunetion ober (Blei* 
cbting ij! bafleibe, wa« in ben Slrtifem Function (16.) 
unb ©ieidjung (203.) Sßerwanbtung ber guncrionen unb 
(Steigungen genannt tsorben ifl. ©. tiefe SlrtiEet. 

Umformung; $ran6formafiott/ Umwanb« 
luttg, Umbilbung einer Steige b,ei|jfjebeS0erimberung, 
H>re« $ortf<breitungs s @efelSe8, b. fj. ttjrer 5orm ober ©eff alt, 
wobureb tyr e ©umme nid?t geinbert wirb. 3wetf unb 3tte* 
ttiobe ber$raneformation |inb fo »erfefcieben, ba^fte jtd) 
niebt unter «((gemeine ©eft4>fgpunffe faffen (offen, ^nbefi 
muß man jwifeben ÜXeitjen , bie natb potenten einer ßaupts 
grojjefortfcbmten, unb Keulen, bei beneti bie« nidjf ber 
galt iff / unferftbeiben. Severe (offen !»<& nur bura) ge> 
wtffe unmittelbare SÖerwanblungen i^rer ©Jieber, worjtfg= 
K4) 3er(egungen ht ttjetfe , traneformiren , bei erjlern t>a* 
gegen ifl bie (linfübrung einer neuen jftaupfgrofje, Iran«« 
formatfon bureb ©ubßitution, oft von großem Otogen. 
5Bir werben »on betten einige SBeifpiele geben,, ©erooEjm 
(id) f»d?t matt Steigen bureb Umformung convergenter ja 
matten, wofe'urdj fie ju numerifffecnaSerecbrtungen gefdjicf« . 
(er werben/ oft aber fötjrt aueb eine fd>irfltd;e Umformung 
jur ©ummirungber 0teifce. . Sie gegebene DteiEje fofl Im. 
Solgenben immer btircb. 3 bejei^net werben. ' 



348 U« 

» + nb = « + b + fo- 

. =a * + 3b + (n 

fo.er§Mrmaß(ei$t:. 
t 1 

ft + nb ~ • ** 
i nb 


.fbtmuna. 

• l)b = » + 2h + t»-2)h- 
-3)b= «.'f. f. 

. nb - . , 

" »(. + nb) — . 

nb.(n — i)'b 


a a(»+b) ' a(«+ b)(n + nb) 

ic. ■ ■ IC. 

1 nf . nb.(n— I)b Bb.<n — ijk.(n-*2>b 

• »(» + b) + ata + bj^+ib) •(■.+bX*+^X«+3b) 
. nb.fn — IIb.. .2b. b 



•<«+b)(»+2b).. (>+»l>) - 

.frieraua erfyM man füt bie einjetnen ©tUDec imfererDvetye 



.l«+b)[.+») 

2b. 3b 



» T >(a + b) «(«+b)(.+2b) T ,(«+b)i,+jb)(.+3b) 

§olalici} bur* abbitten bec einzelnen SBertif öEreiljm : 

8 = i(l -1 + 1-1 + 1-...) 

+ ^rW'- 2 + '- 4 + 5 -- ) 
+ .TTFb^FSS<« - 3 + 6 -'" + •■•> 



r .l. + bK.+2b)(.+3b) 1 



(1-4+10-...)+... 



=**•• + *'.(. + b) + *-.(.+ b)(.+2b) 

, , b.2 t.3b 

+ *•.(«+ k)(. + 2b)(. +Sb) + -'- 

im* bem 25inomifa>n ?tt;rfo&e, baj,5B. 1 — 3 + 6 — 
10 +-. i= (l + ()->== 2-> = i ifi. 

Sie ironsfocmirtf Steige conferairr offenbar |tärtee 
als bie .gegebene. - 

$. äbbitt man bie Siagonairei&en,- fo erhalt man 



ta fKtfym. 349 

2|,. b . b.Sb, . 

■ « I T ■ + b ■*" («TTiÄ»TSb! T ' 

, , »b.3b [ 

E~f» -t-hl(a-l-2M T 




I ■ . 

wie an« ©ummirutig ber £Heu)tn (97.) folgt, nenn malt 
P = £ + 1, h = l, 2, 3, K. ^{t. SB. f. au* 
natty« (10.) 

3. 2« i(i fotgllä) bie gan|t ©mtime 



-ab 



+ : 



■ + db 1 



4. S'ri'ä' """' f*? ®' i ' tl ** ^<% 

, _ i , . i 

■ .(■ + b) ■*■ (•+ 2b)l. + 3b) 

+ (• + 4b)(. +, 5b) + "•■ 
in |»ti teilte, Hl bem« ber (retitt itt^otitj ifj; fo erlitt 
man teidjtt 





8 = 

-i 

s 

6, weil 


■ b (V « + b + 

T » +4b 

1 1 1 k 1 


1 1 

« + 2b "~ «T"3b 

-r^b*-- 

b.2b 




. L *•«■(« + b) ' •-.(. + «(.+») 
b,2b.Sb 


. 5. 


. ■' l.Ca + bH. 

= n erfyält man : 

• t * 


+ 2b)l- + 3b)' - 
1 1 *' 2 




1 '(n + l)tn+ 2 
2.3 


woran 


1 <•(» + l>(n 

»=■1-4, 

4 = 1-*-*. 

* = i-*-'*-* 
lt. IC. 


+ 2)1» + 3) ' ' ■ 



,v Google 



350 . Umforarana 

ffl, W( efogtffamWÄfe ötetyt = 

1 X '- ! j. 1.2 J 1.2.3 _ 

■t 1 ■ 1-2 1.2.3 - 1 

*in4-i "*" <» + ix» + a3* r {m-ij(n + a>i n + 3) 1 •;*( 

_,f '■» , ^-2-3 ■ ( 

*Un + lXu + 2) T t«+lXn + a) t n + 3; T "'i 

" MC« + «X» + *X«>. + 3) + * ' "I ~ 

.' . Ä ^__i._i i. hi : 

n — 1 * n — 1' » in — i)(» 4- 1) 

, 1.2.3 

""*'(» — 1)W + l)(o + 2J "* 

(@ummirttng bet DCeifjen. 97.) 

mifo s == . 

• 1 f, b _ , l>.5b _ , b.2b.3b i 

2b(«- b)V *"• *"*(«+ b) ä *«(«+l>;(.+2b) -| 

' 6. Diimmfmait jwifcljen ben befbenburdj bie^ransfor« 
maflon erbetenen Diesen (4. 5.) bas arirfjmetifc&e 3BilKt; 
fo ergtebt fia> bie neue Stansformation: 

1 (2« — B b.2b b.2b.3b J 



4b/t«— b)» *'(.-b)«(s+Jij ' i- (a-bja(«-t-bH«+^,) -( 

7. Stöe^rere 23etfpiele bieferMrt beibringen, ertaubt 
Ijter ber JXaum nidjt. Stßenöen wir ime bafier ju ber 3ran*= 
formation ber nad) 9>otenjen einer ^wupfgrö^e fortfdjrd» 
(enben SWIjen. 

Stirling (MethodusdifferentiaKs, sive tracta- 
tus de summatione et interpolatione serierum. 

Lond. 1730. p. 6. sqq.) te^rc jebe DteiEje wm ber gorm 

A + Bx + Cx« + Dx> + . . . 

aufbieSorm 

A, + fi.x + C t x(x — 1) + D,x(x — t)( x — 2) + . . . 

ju bringen, ©e» namli<Mbcr$aupt 

l» = AnX 

+ A^lfx — 1) 
l ' + A»*(x - 1)0 - 2) , 

. + Ä B x(x_i)(x'-2)..(x-n + i); 



•"»« SXetfceri. .351 

fo i erhält man Uifyti 

X»+l = ÄnX> . - 

- " • ' + AnX 1 (X — 1) 

. + Ä.l' (x - 1)(X - 2> 

+ JUi"£« - «(» -")•:.•<» — «-+!)■ 

aber 

• X'.= X+X<«-1), ' ■ 

x*(x — 1) = x(x — + *(* — 1 )* " ' 

= .(x ■-, 1) + x(« - 1) + "S - l)Cx - =) ' 
= 2x(x_l).+ x(x - l)(x-2), 

»■(x— l)(x— 2) = 2x(x— l)(x-2)+X(x— t)(x— 2)» 

= 2i(x— 1)(x-2)+x(x-1Xx-v2) + x(x-1)(x-2Kx-3) 
= 3t (x — D(x — 2) + x(x — U<- — 2)(x — 3). 

wo bae&tfet/ um> bieSIrt weiter ju ge^en/ f*on t>eutfi$ 
erbtet, «fo 

x»+l st X\,ix + x[x — 1)'| , 

+ A„12i(x — J) + x(x— "i)(x-2)j ' 
+ Auf 3x tx — 1) (x - 2) + 1 (x-1) Cx-2)(x-3> ( 

+ Ä n (nx(x— l)..(x— n+l)+x[l— l)..(x-n)( 
= A„x +'lÄ tt +.2A B lx(x — 1) 

+ |A.+ 3Ä.|x(x-l)(x-23 ■ •• 

' + |"Äi+">fcil»<' — "",'* — ° +1 ? ' 

+ Ä,x(x--l)..lx— .«) 

= Än+j X -h Än+lX(X — 1) 

tUl"!"-«"-" 1 



+ AUii(x-i)(x-2)..Cx-»>ä • 

fo baMf» imfa obige« ©efe« aud> für x*" jiK» »* 
fola,litb allgemein i(J» *"■ « offenbar für x gilt. 3"8'«* 
erbMt man f oigenbe Siekbungen für oie Soeflitienttn : 

■ ' A»+l = An, 

A.+ I =s ^« 4 2Ab, 



352 Umformung - 

An+i SB Äa+SAoi . 

An+i = A a + hAbj 
An+| ss Ab. 

SOlit j£>iitfe biefer Delationen ronffcuirf man, ba offen&ar 
immer Ä n = 1 tff, leitet fotgenbe tafti/ wo bie ßoeffk 
rientai ber, einzelnen 9>otenjen in ben QDcrtifotret^ctt fielen: 



©te "CMtffrtrtloit ber taftl ip (cifr. @&iff J. S. 1050 
= 350+5.140, 266=140+6.21, 28 = 21 + 
7.1, 1=1. 

8. eben fo leitjjt errettet awfc bec ©ebcau* ber Safet. 
Wlan tterwcmbell mittelfl berfel&en nämfictj jebe einjetne 
g>otenj»on xin bie twrgeftfcriebene 5orm, fe(jt bie ttfyaU 
tenen 21u«bräcf e in bie gegebene OieiEje , unb vereinigt bie 
ä^nli^en ©Heber, gür ben enbli(&en .2fa(fbrurf 2s 3 — 
llx' — 12xifti.SÖ. 

— 12x = — 12«; — lli* = — llx — lix(x — 1), 
21* = 2x + 6x(x — i) + 2r(x — l)(x — 2). 

21(fo ber gegebene Slußbrud = 

■ .. — 21« — 5*(x — 1) +■ 2x(x — l)(x - 2). 

Sei unenblicben Diesen werben $ier frei(i# bie €oef(tcten= 
tett felbft unenblicfre SKtfytn, bie fic& aber juroeilen fummi= 
ren {äffen. 

9. Um hiervon einSeffpiel ju geben, fege man 

i ; _ 

q« — ij( t — 2). .'<» — *) 



=, Google 



tot 8tti$ett. .- 353 

fo etljatt man, wenn tiefes <£robucf nac() ben negatisw 
^Menjen »on z en(»»cfelt wirb, [ei#t; 

■— ■ b, = B, 

b, =e 5, + (n + i)a t , 

- -IÜ^I. + ci + ijbU 

IC. IC. 

b. i. allgemein 

■n > »« ■ 

gota,Tiä>, bit, ««gm 



. ' Bn+i 5= Bat. 

In m B B - + 2B«-! , 

Bn-j =5 §„_! + SBn-s, 
B«_ a = Bn-j + 4B„. JjL, 

IC. _ K. 

SEB4re cd nun ri$tig, : baff bie Steiljen 

'" An, Bn-i , Bn-2, ^n-1 , . , . ' .. 

ibenttfcb) wären; fo würbe bte>' offenbar <w$ von ben 
Steigt» : ■■ ; 

Bn+J , l! n , ßn-l , Bn— J-, ... 
An+i , An +1 , Än+t , An+i , . . . 

gelten > weflfttY attgtnMtcf£ia> ereilet, twmt matt bt'e »or» 
^erge^enben ©teidjungen für bie buedj B bejet^nettn ©c*=' 
(ien mit ben ©(eüiungen für bie $m$ A be$eiä)neren @c6< 
genfa'(7.)w*to$t.'" £«Jfi«fef b,-=i, A r =i, : " 

** „:*». .Goosc 



354 UlttfettHUBä 

, fo ba(s offo ble 3tentblt'- bef bdben Steigen für n — : 1 
gilt, utifc fotgtid) allgemein i(i. £>itssgiebt tie Sleictmng: 

.... . k k ' 

An = 01,-t+j. 

10. ©t» nun 

» = '+.T + S + S + -" 

Die Mitiitfbtmenbe Dieiiie; fo txit man mä> (7.) 

. ■ S = l + «.i. + Ji",i + Ä,i(i-l)j.i 

+ )Ä,. + Ä,ifc^i) + i,i<«-i)C*-9 |.|e+- 

tinb fo%ti4> n'o* (9.) . 

+ jn,* + '!,.(,- i) + b.^-ixi-sJ. i +..'. 
= i + »|S.f+.4,i+i,iL + .,.| 
+ !(«-»> jl.i + 8,i + i,i + ...j 




r I - 1 T (. — l)(l-2) T (.-«(•- .. . 

31acb betn S5inonti<rt§eorem ift aber bie gegebene 9?eit)e 

= ('-irf.r^-, 
älfo tjat man , reenn jugfeit) z (latt i — 1 gefegt wirb : 

. ?,-•+! - * t.+ ri-^.?- > <■ - »<• -«) j. • • • 

SB. ©ummirung bee 'SSeirjen. J97.). E«1|f bie« SugfeioS 
ein 23eif|>iel, wo eine iranefowttation ju .einer ©ümina; 
tion fufyrt. . ! ' : " 

1J. gifirling le^t.a. o.'Ö. p'.'9. fajjtt.ble 58et. 
reanblung bec Steit)«. .. ..;'.' ,'.,,.,'•■. ^.' ~ 

in eilte Sttlt)e »on bec gönn .:•;-..■...<)) , .;._..., 



txt Stehen. ,355 



#ierju gelange matt auf folgende SStt 9!immt man in 
bet in (10.) fummirten Dveilje x unb z negafi» , fegt fo» 
bannx = n, z = x + n + 1, unb bioibirt auf beiben 
©eifenjburcb x (x + 1) . . . (x + n) ; fo irbäft man : 



,_ i__ i »(■+.) , , 

T r(,+i)..(«+»+i) T x(«+i).. ( .+»+2) f ■ •■ 

©eljtmannun , 

l . . Ä-n ,1-,, 

5 - iC*+l)--l'+»-l) "*■ » (> + !)• ■<•+») 

4- ^. ', 

+ „(x+1). .(*+»+» + • • • ■ 

fcioibirf auf beiben ©eiten burefo x, jeeiegt bie ©lieber auf 
ber reebten ©eite auf bie obige 2Irt, unb otbnet gebetig; 
fo erhalt man für bie 3at)(er »on —^ (eiebt fofgenbe ©iei» 
jungen: 

A =A 

-«■"> -» 

• i = bA + X '■ 

. i . . =. .(n+iyA + (»+l)3.+ *, 

= a(n+«)(n+2)A + („+ij(n+2M + ^+2)^+ i_ 



.**»tl) 


-■ 




k. :c. 


obet aud): 






== Ä * 


A 

-W'l 


= nÄ + A ' 


A 

-WI 


= {n + i)A + Ä 


A 
-£■») 


= (n + 2)A + £ 

V -t>«} ■ -B 



S)li«eff( biefetSotmetn beteebnet «an fefcit folgern« Safel. 

»o bie gablet bereinjelnen negativen 95o(«ii|tn »onx »on Cet 

■ 3 ?GooqIc 



356- Itatfotimittj 

jweiftri'an In t><n SSettifa(ren)en |tefjen.~ gäe n : 



-.1 flnb 



lle einzelnen galtet »on p>l»A=3l,A==o, Ä=o,!c.i|t: 

1, 1, 1.2, 1.2.3, 1.2.37V 

aifointm« 



i(i + 1) ■*■ i(i + l)(i +-2).. 



* 5 + D (» + 2) (* + 3) ' «(' + Dt* + 2)..(i + 4) * 



1 






1 


1 






s 


i 


1 






6 


n 


6 


1 






24 


50 


35 


IC 


1 






IM 


274 


225- 


»5 


15 


1 






-■-!< 


1764 


1624 


735 


17£ 


21 


28 




504( 


l:(Ofe 


1 :i 1 vi 


6765 


10H 


3L". 


H 


40.120 


i(.jy564 





67 A4 


i.24* 


i:.s( 


5W 


16] ll 



- 0lac(j Wefa ^ofef etfyUt man 

* + £+**§.*£ + ■ 



= A + 
• '■ + 



t + 1)(* + 2) 

60 + 1ID+6E + F 



2C + 3D + L „.,-, .,.. r ^.|.„ 

24C -h 50D + 35E + 1Q> + & 

("+0l«f2M> + 3)C»+*»«.. : 

120C + 274D + 225B -1- 65F + 15G-f-H 



+ x(» + l)(H-8)[H-3)(i + 4)(i*ä)li + 6) + ' ™ 

einefefyr.mectroiU , %e'iransfoi:mafiqfl / fo t»fe überhaupt' 
. © t i r I i n 9 8 3Berf fe&r juni ©ttibium ju empfehlen i(J. 
12. ©est matt 

!(• + l). . (x + n -i) = b)i + bT." +?»■+.. . t 
fo etfjalf man nad) ein« ganj a&nüeben ©tb(u|j atf wie in 
(?.), twnn man nur auf betben Seifen mit n + z tnultt 
plicirf/ bte ©leicbungen: " 






unM>(( Btttotton: - 



SBlan fanti alfo »«gen. tiefet Dietafisn Me »orlge Safer 
aucbfoeonth'itlrcn, baf man.bie 3>tobucte 

*."(* + 1), »(*'+ l)(l + 2), ... ." 

entroitfetf, unb Sie Eotfficitttttn b« 5>o(cnjen »oit z lit 
»erfeljrter Dtonung in 61« JSioria»nta<reiben bec $ a f e ( 
f<(weibr. , 

13. ©ne Sranjfocmation Mit fefr «Sgemefaer 2(n= 
.WenbbarFeit le&rt gutes (Inst. Calcdiff. T.a. Cap.I.). 
£)it gegebene SXeujefep 

3 = ax + bx» + c»» + dr» 4. . ; .1 

©eflt man x = j-J-j, «nb enroiefeit biespoiententon 
x na* <pb(en|en »on y miKetjl bes 8inomia(f|em(m«ä. 
fo er&alt man leicbt nad) ge$6riget entwicEetiMtg,- ' 

8= • 

•J 

+ (« — » + „)}■ 

— (a— 3b + 3c — ä)j« , 

+ (« — *b + 6c — M + e) y s .—.... • 

b. I. (SMtfimetlfcbe Stehen $Mjerer Örbnungt». 2.) 

S = «y + Aa. y' +■ A*a.y* + A 3 ».J* + . . . 

3fr bi( eoefftcientenrellje bec gegebenen SXeilje eine atitbrne* 
tifä>9teibe beeret Dcbming; fo toeeben bie 2>iffecenjen 
irgenb eimnal = o; alfo belebt bie tranefotntiKe "Ottqt 
irgenb. einmal ab, unb bie 5cansfomta<ion liefert bie 
©umnteber gegebenen 9teu)e. 

©0 ifl |. SS. fät i* Dteu> 

S =3 x + 3k* + 5a» + 7x* + 9*' + . . . 

a -: 1, Aa = 2, A-a — A*a = A*a aa . -. . s= o. 

aifo ''■■.-■ 

s = J- + _si- - *"c + *> 

l-x T 11 -i)- (1 - x>> - 

■ , . Google 



358 . 
«f&enf&lflfilt 

S =: a + 4a' -f 9a' it- 16a* ± 25a.» + . . .' " 
a =s 1, Aa = 3, A'a = 2, A'a = A*a == . . . = o 

im 

unb für We Stti^e 

8 s= 4a + 15a* + 40a' + 85a* + 156a» + 259s* + . . . 
iß a =4, Aa = 11, A'a « 14, A'a aas«, A*a=..: 

StfO 

„ 4« , IIa* ,. 14a' . 6x* 

5 - r=-j * (T=T55 + (i^r^T + ( t— gi 

_ 4a — a' + 4a' — a* a(l + a')(4 — a) 



W - 



*>' 



(1 - a)* 



14. H&« au* $!j<l(e't>ott Dtti&tn fa|ftn (id) auf Mtfe 
SJrf fummiKn. (Es i|l namllcb für 

S = aa+ba» + ... + ka" + ps"+l 4- . . . 
aa + bx* + . . . + ka* = S — x»<pa + qa* + ta» +...) 



a= (> — »"rtj^ + (4» - »°Ap) (1 _ x) , 

+ <A». - »»A'p ^'^ + CA^-^A'p)-^-— —5+ . 

S as i + 2s' +. a« 1 + 4b« -J- . . . + nx« 

a ' ~ 1. Aa = 1, Ä'a — A'a =s . . , =3 <T] 
p =n+l, Ap = 1, A'p = A J J> =s . . . s= o. 



Suc 

fit 
aif» 

Sur 

a = 1, Aa = 3; A 1 * = 3, A J a = A 4 * = • ■ — *»I 
p = (n+l)», Ap = 2n + 3j A'p « 2, A*P SB A*p =...= 

mtfo 



S = |i - (n+DwJj^ + (l _ -")— -jji 

- ' : (1 - x)* • 

S = x -f 4x» + 9i» + i&t* + ..-. + a'x" 



ttt Sttfym ■ 359 

S = |t-&+l)'"*| r ^ * |3-(2a+3»') tl *' 
_ « + »» — fn4-d)'«»+l + f2n , + 2n— l>n+a— A'g i-H , 

' (1 — «J 1 ' , ■ *.- 

unb eben fo in (tynßt&en gäHen. 

15. ©e^(man — xffltx; fo erfjaft man 

S ■ as tx — bx* + «* — di 4 + • • ■ 

•x — bx* + ex 1 — * -. + kv*.= 
(a + x-p)^ _ ( A a+x nA p) [r ^; 

• +( Ä «.?x-A'p) T ^ I - U'* +»'A a p) ( - T ^ + . . . 

■ _b + e — d + • — .'. . 
= *■— 4A» + 4A , *-&A ä «+ • • • 

§Är bte 0feifi> . 

1 — 1.2 + 1.2.3 — 1.8.3.4 + .". . 

fftibet <£ulcr nad) tiefer 9)letIjot)e bie @umme buofc eine 
)iem!ic& fange SKec&mmg =0,40082038..., nur in ben 
beiöen erffen ©ecimakn genau, ba ttae rid;tige SKcfulfat 
=0,4036524077..., wietguUf aufanbermSEBegegei 
funben. . , * 

3Iuf biefe 2Beife er^tr (Etiler auet) 

i— i+ i — i+i— i+ i— i + .,. .-}, 

1— 2+"3— 4+ 5—6+ 7— 8 + ... = 4, 
i_ 3+ 5—7 + 9 — 11 + 13 — i*+ . ... = o, 
1 — 3 + 6 — 10 + 15 — 21 + 28 — 36 + ...== £, 
1 _. 4+ 9 — 16 + 25 — 36 + 49-6* + ... = o, 
1 _ 16 + 81 — 256 + 625 — 1296 + ...=*. 

Off Eonn man oud? but<& biefe ^caneifecmatiön eine 
SKeif>e in eine anbere »ecroanbeln, bie fia) fummiren lä|jf. 
©o crfjäU man j. S. (eiebt 

3^1- 2 + 4 — 8 + 16 — 32 + 64 — ... 
= *-i+*-fs + A-Ä+.-. 

Sefjtere DCetye convergirt weit fförfee ale.bie gegebene Dteiije, 



360 ; Umpwmimg 

imt> entfprlngf , mit teia)f ttfyStt,' me ber SStrwonbCung 
brtBru*» —:-, in «ine Otelfce, fo ba(j alfoS = f. 5>le 
gegebene Diettje enrfpringt <ute btr SSerwanbluiig «on 
j-ij in eineDJeib/. 
£6tn fo erlitt man 

S « 1 — 2 + 5 — 12+29 — 70 + 199 — . .. 

= t-.+»-* + A-A'+r!» 

SM |7cb je jwei auf einanbet folgenbe ©lieber biefer Steige, 
baß" ctfte ausgenommen , gegenfeitEg aufgeben; fo i|t 

ÜRerirere SSelfplele f. ra. Bei guter a. a. 0. . 

16. SSorjuglicb »fcbtlg i(l bitfe le&tere Sransforma« 
fion, um SXeitjen eine größere Sonwtgcitj }u »erraffen. 
Sie Steige 

log»(l + ^ = i-i«> + Jx' — ... ■* 

wirb feurdjblefe Transformation: 

l w*t«)*jfl{ 1 +*(T+TJ + *(rTi)"j 

■ ' + KrW * • ■ ■ ) 

><«°3 - * + J.» + *•♦ + «•* + ■ • . 
©e||t man 

Arotaugx ra x — ix* + tx* — +X 1 + • • ■ 
- =»i<x*_,x' + ix>-*x«+ ...) 

fo er^ätt man, wenn bie Slfferenjen ber eoefffcienten be. 
reebnet werben: 

" to -«'=fTx.['+»Cr+^>b 4 (r+^)' 

+ a.ä.Al. + »V T" • 

Sßon biefet transfotmaflon $abe id) au«fnb>!ic& ge$anbe(t 
In bem Programm: De tfansformatione seriei, qua 
arcus per tangentem trigonomeiticam.exprimitur, 
Halae. 1826., worin icbfte, unb eine'noct) allgemeinere, 
»eb|l »erfe&lebeneri anbern ©Alien, aus ganj elementaren 
^rineipien abfeite.- 



:■ !S« ' .y ■ ■ _■ •■ ■ 

'*« = '-> + ♦-* + ... 

fo äU6t iinfir« ?tamfiwmotion ttf*t: . 

«litt iwif RuMt« coltMtjItentr Steigt. ■ , ' '"" 

17. mocbwcauätmtlntrtljai £utet bft t>oriatVm= 
formuna, in ten Inst. Calc. aiff. T.II Cap. VIII i 209 
«M- ©« i- 53. bit Stelle ■• *■. 

S = A + Bx + Cx» + Dx> 4- Ex« 4. Fx? + . . . 

In eint 0itib> »on folätnbtt Jornt ju »trwanbtln: 

S = ?__ + ffl * . 6x' . sex« , 

- + f T (• + />-)• T (. +«■ " l "ir+Äv ! + - ! 
fomuttip(iclrt man auf btibtn Seiten Mt a + 0x, m - 
buttf) man ■ ." 

Ao + B« I x + Co I x* 4. Do 1 x' + . . . - 
+ VI + «V. I • ♦ Bf\ 

• +.^x T tvF?i7 r ( a + ^)> + • • • 
erhält. S)!aa>f man nun ä = A«, unbfte,t 
Aß + b> =' A' 

' BjS + Co = B', 
Cß + D« = C, 
DA+Ea = D', 
lt. IC. 

fe $a( man 

A' + B'x + C x» +. D'x» + E x* + . . . 

wovaug man roieber wie »oc^er 33 = A'a, unb , ■ 

A'jS 4- B'a = A", 
B'jS +- Co = B"'. 
'Cß + D'o = C", 
D? + E'o = D", 
tt. tt. 

fo »it , 

A". 4- B"x + CY + D"x« + E"x« +. . . . 
= _S_ + ** + gg . 8-' . j. . . 

..„ - + *i r (.+OT; T (. + /»? + (. + ik,' + ••■ 
erhalt, u. f.w. 



w 4>g n 



9ttfo $df man jnt SefHmmtmg t*n 31,, SS, <£,"" S>c 
n. f. f. fMgnAe ©feMwitsa* t 

Ä = A«; V + B« «= A', 

Bß + Ca. — B' , 
■ - '■ Cjl + D« s*. C f 

D /s + li, - !>', 

tc ' ;c 

89 = Ä'«; A',S + B'o = A", 
Vfl +'<■*■ = B", 
Cß + IT« = C", 
D'ß + Co = D", 
-IC. tf. 

6 = A"ij A"jS + B"« = A", 
B"/J f C"«'=. B"', 

vp + d"« = er, : 

D"0 + E"» = D'", 

». IC. 

© = A 1 "«; X"ß + B"'b = A"", 

B'"ß + C"« = B™, 

' Cß + D"'o = C", 

D"> + E"V = D"", . 
lt. lt. 

9fffo , 

S An A'ax A"aS J _A'"«x 3 

° = a + ;lx + (.+ /»)' + (• + /!«)• * (« + «* ■*"" ■ , 

5ßan nefrne jeljt ben EHemtet bmr^eiEta, an, unt> fctje 

9 = A + Bx + Cx 1 + Dx J + Ei« + Fx s + . . . 

_ m + gi rx» + gi 3 

« + fit + y 1 (» +#t + 7X 1 )' ! 

'.. W 4- g"x ' If -I- B-'x' , 

T (« +jix + p")< T (. + ,11 + ,x>)> T • ' ' 

SMfipflctrt man nun aufteilen (Seiten mit a+ßx+yx*j 
(betraft man 

Aa + Bo 1 x + Ca i x 1 + Do I l> + . . . 
+ A|» I + B* + C/> . 

+ A, .1 +B, ' 

_a + a« + . + *.+ ,,. + (. + ^ + »«')- 

■ '. ' r-.-4-B-x- , 



@«l$t man atfö ! : 

Ä = A<r, B = Ä/» + Ba; A y + Hß + C ss A', 

Bj- + Cß + Da = B', 

' ' Cy + Dß + E* = C, 

DJ. + EjS + P« =: D r , 

IC. tt. 

lutbbfoibhf btmfcx*; fotutrb 

A' -f- B'x + CV + D'x* + ETx* + 1. . . 
~ a + ßx + rx* + (« + ytx + yx*)* , 

y»«+yy , rii+rv .... 

. T (- + ySx + rx>)' T. ( . + ^ + yxI) » T • ■ ■ 

wo man nun wieber gang wie ttorfjet »erfahren fatm. Öe* 
fiimmt man bafjer 9, 23, »', ©', 21", 23", 21'", 23"', 
«. f. f. aus folgenben ©Innungen : . . 

Ä = A«, SS ss Aß + Ba; Aj- 4- Bj» + C« ±s A', ; 
Bj- + <^ + D« = B'. " ' 
Cj- + D£ + Em = ff, 
Dj- + E0 + F« = D', 
IC. K. 

IT = A'o, ff = A'£ + B'o ; A'j. +, Vß + C« = A", 
B> + CjS + D'o = B", 
C r + B'ß+ Km = C, 
D> + E'fi + F« = D", ' 
• K. < . W. ' 
y=A"«, Sr=A'y+B"<H A" y + B"/J +'C"o t= A"', . 
B"y + C'y» + D"a ss B*", 
C"y + D'ß + E"a = C", 

D"r + EV + *"• = D"", . 
fotwltb «. K. 

S ._ Aa + tA/t+B«)« , )A'.. + <A> + B'")*lx' 

, |A"a + CA"^-f-B"aW |.' , 

+■ <«+^+^>» + */; 

3fE ber Lettner »iertSeitifl; fo Befiimme man 21, S3, £, 
94', 23', C# 21", 23", £", u. f. f, au« folgmbtn ®leU 
jungen: 



364 Umformung c 

X = Aa, 8 = kß + B«, 6 =a ky + Bß + Co; . 

AJ + ßy + CyS + Da = A', 
BS 4- Qy + D^ + Ea - K, 
C$ + Dj -j- Efl + P» = C, 

:c. k. 

- Jt' = A'o, »' ss A? + B , i,ffai> + B*J*+C'«; 
' . A'<! + B> + C'ß + D'o = A", 

B'J + C r + D'jS + E '« = B ". 
C3 + D> + E'£ + Fa es C", , ' 

i ' w. :c. 

. V = A"o, ffl" = A"/+B"«. C*' = A"r,+ B"(S+C".i 

A"J + B> + C>.+ D"o = A"\ 

V» + C> + D"/» + E"» = B"', . ' 

C"J4-D"rt E"/» +■ F"« = C", 

K, IC. 

fo »icb 

g_ Km + (A? + B»> + (Ay 4- Bfl 4- Co)» 1 

. | k'a + {\'ß + Ba)n + (A'y + B'£ 4- Call' 1 1* 
T (a + jSs-t-)* 1 +5^ 

, | A"» + (A"/l ■+■ B"rt» + ( A' y + ß"ß + C'gjx 1 1 x e 
7 [« + ^i + y 1 + 3>') J 

«Sie nian auf biefe &rf weit« ge^eti fann , faßt in bfc 2Iu» 
gen. gfitx = l wirb, wetm.ber 2flemwc,bteirf|eiKaifr 
» + /?.+ y':=x gefegt: - , 

S = A + B + C + D + E+F+G + ..'. 

-(i+»}£ + $.♦£+■£■+ £ + :'••! 

+ .J2 + » + 5 + 5 + £+.'. .j, 

3(1 ber Sltnnec Hertfclflg, unb jtjt a + ß + y + J 
= xi fo wirb für x==ls 
• „(.+»+,:) |£ + £ 4. ^+'_^: + ... .j 

.+ (. + fl)i+ J + - + E + ...I 



unb eben fo in anbern gaffen.. iBorjügii^ brauchbar i(l 
biefe $ranefermatto!T überhaupt bann > wenn bie gegebene 



1 . twr-9te$at. '■ 365 

Sfcifc wb' itgenö einem ©Hebe an eine wiebirfefirenb« 
'Steige wicb. ■ - 

18. 3«d> fotgenbe allgemeine ^rangformatfe-n iff 
meefwiiebia. , unb fann in mannen gäüen von Otogen 
fenn. 3Kan fefte nämlicb 

S = A + Bx + Cx* + Dx* -J- Ex' +- . . . 



, 1+ ; 



unb multfplidre a«f beiben ©eiten mir« +ßx; fo wirb 

Aa '+ ßn'i X " + Co 1 x 1 + D« 1 x* + . , . 
+ Aß\ + Bß\ * Cß\ 
-v * ^ j_ ' t5* J 
, - * T et + jTx T (»' + ß'x)( a " + £"*) 
• ' . . Px' ... 

. "•"(«' + ?*){«■ ■+ jr*w + ß-' I) +- 
€5eijf man nun .'> . . . 

X = Ab; A£ .[■ B a s= A', 

Bj» + Ca = B', ' - 

:c. k. . . 

itnb biwibirt auf beiben ©etf ett mit x ; fo wirb 

A' + B'x '+ Cx» + D'x» + Ex* + . . . 



" * + JJ-X *■" t»' + /S'x)(«" + ß"x) 

+ 7 



womit man nun' wieber wie tw§er »erfahren fami. 

Seftimmt man atfo 91, 33, ,£, p, u, f. f. an* fot» 
jjenbett ©(eitb/ungen t . ;. '.",-. 

X = A«; AjJ + B* = A', 

. B£ + Ca = B', 

Cß + Du ±= ei 

K. K. -_ ' ■ 

» = ÄV; A'jS' + BV = A", *' ' 

- . B')T + Cb's=B", 7 

C>' + jJV'= C', 



366 . Urafortttwiä 



e = av* 


A"0" + B"«* =s A'", ' 
BT + CV = B", 
C"/r + DV = C"'i-' 




K. K. . 


SD = A"V' 


; A'",«'" + B'"o"* - A"", 
B"^" + C"V = B"", 
CV" + D"V" = C?', 




ic. :c. . ' 


a+ß* T 
+ 


AV* 


v + iw + rx) 



(swltb 



(,, /9j «', /?, et", ff, u. f. f. (in& ganj roidfü^rtict) , unb 

fönnen otfo immer fo angenommen werben/ ba{j bie neue 
Steige (larf tonMtgitt. .• , 

, @ejt man i== — l;fol|! 

,S = A — B+C — D + E — F -h G — . . . 

«nb, wenn man . ' 

feist: ' . 

' Ä = A; B — A = A*, 
C — B = B', 

D — e = c, 



e 


— 2B' 


= B" t " 


D' - 


- 2C 


= C", 


IC 




«. 


B" 


— SA* 


es AT, 


C" 


- 3B' 


= B", 



«ntjfotati* 

'. .: .Google 



ter.atef&ctt., ' 367 

■ ' '*- _' *' •; 4" , A* , \ A**" - '.:' 

, 2 2.3 "*" £53 2.3.4,5 " r .3333S ~ "' * ' 

OWmjjit nian bte ^atforen bes'Sttenn'ers brett^eiflg ottj fo 
fege man 

' g_ S + ffix j g'x' + iBV 

+ _J M"* 4 4- g'V 

> + jfc + r x!'>(«' + ^x4Vs 1 )(«''-W»' J s+)'''x») +»■ 

SRu.ftipßcirt man nun auf beiben@eiten mita+fi£+yx?s 
foerIj<Hfmah: 

A* + B« li + Ca | x» 4- D« j x» > . . . 
+ Aß 1 + V [ + Cß\ 

+ Aj- ' + Bj- ) 

• - Tf-nari r " + yy "Y ' *•''■* «"*' . , ; 

***"*V + ^Tr^ + ey+fx+yx**.** + jr» T ^«»>+ - 
v uhb fotgtiifc, wenn man/ 

Ä = An, 83 = Aj8 + B«; Aj- + B^ +. C».=: A', . . 
, . . Bj» -J- Cj»'+ D« = B', 

Cj- +• Dj» -f- Ea.= G', " , 
, . .-■«.. ■ '«. 

feljf, aaf Beiben ©elf enjugteidb mit x a bfofbirtJ 

A' + 8'x + C*k» + DV +• E'x* + , . . 
«-+JSX + J.V "*" (a' +y r« +)l -<'){«"+ ^» + J-"« 1 ) 

+ ■ g *' 4 ± r" . 4. ■ 

.. # - _ («'+A'x+r'x')C« +/»"»+ r Vj(« -+ß "x+r"vy'" 

■ womit man nun wieber wie »ortjer »erfahren fann. 
:" ©e§t manalfo '..■■-■ 

Ä = A«, S8 = Aß + Bo; A/ + BjJ + C« = A', 

■}■■-. Bj- 4- C,» -f D« =t B', . • • 

Cj- .+ D/J + E- = c; 

..■- ■; ■ '-.' .«■ ■-. ' IC * 

; /JA* = kV^jÜBT da A'jT + BV; -AV + B'jT + CV =>jA% 

' iy + c^' +• Do' = B~, 
cy + ö/-+. bv = ffv - 
«:. tc. 

2r = A'V', 8"=A'T + BV'; AV+ B-T + CV* = A"\ 
B" y " +■ C'jS" + D"«" = B"V 



.388 ttalfiwtfflMg 

fotefrb ", , 

. . _ A. 4-W + B.,)» - 1AV 4-(*y + BV)i|i- 

. — • * t* + p' (• + /•« + »«■)(•' + ?S + /«') 

, T (. + ,* + ,I"X"' + f* + «'«')<•" + fif-f*) T '" 

unb es «tollet, wie man auf btefe Slrt weiter geljen famt, 
votm ble gartorm be« Eütitittcs We4>, biet», «6« n»$t< 
t^ciCg (in». 

gut * = l unb 

* + jt + r =«• 

»' + • 4- Y = ..', 
•" 4-(i" + )■"=■'•.' 

»™+/ir+ /"=»'", 
trfyMt mon fyierau8 

. S - fü+JL> j. ''(*■' + &> . »*<A"4-B") .'"(A-'+B") 



1?.. CSw merfn>ürbia;e, btr borlaen btr 3orm nao> 
<tt)nU#e Sransfonrtaiion bec partiellen Sinomialreüje 

'*T' f 1.2 '. +. ". + liä...n. "* 
giebf Saptace (Theorie analytique des probabilite's. 

p. 151.) £r gelangt fcajn burcb eia,entf)Uniud;e 9B'<6> 
btn mittelfl btr ^ern analn|i». J$fer fall ber Sintis 
elementarifcb gefmjrt wttten, inbem mit 6m nten£i>ef= 
ficienten btt attn 5>oteni> öon 1 + i burd) (a„), ober, 

rwnnccmefittfieiliä, aucfc blojj burd) (a)„ bej*i$nen. ©eo 

-: + .,. +( „_, v .( f | % )-. i ... ., r, , 

fo «t$att «an bura) ble Mannte 3erlea,una. (SinontiatEo. 
efjicientat. 6.) .... 



*«. Stei^ll. , 369 

+ J(.-» + J),-(.-„+,) I j.^ r i.)* 

+ J(„-o^,-<.- B „_, J . (fij" 
+ jW-(.-.)^,j.( r ^)", 
woraus lci$t: 

nnbfo{äri(Jtict4)fiic«nit)e3tri!äahä, f|Sr.(l+x)".y(n+l) ' 

= VC n + l): "■ ■ 



- = »(2) + (•,).«■+'(..)•»•+ — («0.1 

ab« 



= 1+r+C— l).-« = l+f«,)-». 
atf0V(n + l) = 

i+(",)-l+<-,>-l , +...+c«>,*-. 
t>.t 

-0 + *.|, +^+!^fe) ! ] ' , 
, (« _ ä .f. ax» _ , + i>c« - ny t y I 

x 1T2T3 Vl-t-x/ \ 

(„-!)(„ -2) . , C--WV X V I 

20. Söergleicfct man bie in bet 2BaIjrf#finfic&fetf(Srtt|fi 
nung beim ^aroo widrige Dteit)t (f. 9ö4rf<$ein[i(frf«iMi» 
re4»uung. 41.) - 

s _, p — f ■ (p — qHp — q — i) _. 

mit 6tr Steige: J . ■-..*, 

a — b + c — d+e — ... 

v -- " ' ;, • ■" ÄGooglc 



370 Umfotmuna 

in (15.); fo «rtiäft nuw (eicfct 



p- i • 
. (g - «a ■ 

" (f - l)(p - 
._ (q- «)(q- 



A <P - «<P - 2) (p - 3) ' 

IC IC. 

Wobei j« bemerfen, bog/ wie aus (13.) unb (15.) erfüllet, 
eet ttid?f auf bie £Ootjeicfien, ber ©liebte bei ber (£ntwicfe> 
tung ber Differenzen auf ommt, unb alfo ade ©lieber bei: 
Steige poptiö genommen »erben. 

golgtia) naa)ber (Eulet'fcben Transformation: 

5 - i + *-p -l + *(p - l)(p -2) 

. . (q-1)|q-2)(q-3) . 
T ™'(P-l)|P-2)(p-3) T -' 

21. Sßlcudkn nun biefeSifferenje« etwa« nifjtclt- 
traebten. 2lugemein ifc 

Ä .. = (q-<)<q-2i-(q-") ,_ „.. 

(P - DIP -2)..<p-«> 1 

SMS allgemeine ©lieb bee gegebenen 9WE)e feo a x . 2Itfo 
' _ tp-q)(p-q-i)..(p-q-»+2) , ..*-' 
CP-l>tp-2)..(p-'+U 

oberj-wenn wir auf bas Sßorjelcben, wie immer bei ber 
(£ntroirfeiung ber £>ifferenjen, nia)t Oiücffiä): nehmen: 

~, _ (p — q)(p — i — :)-.(p — q — i + 2) 
(p ->)(p -2)..(p-i+ 1) 

So(ä(i* (inb bie ©lieber ber gegebenen 0ieu)e, Bon a x an, 
^proöuefe ven a x in 

l p— q — i + l (p — q — T + Otp — q— T) 
' P— * ' (p — *MP — * — 1) ' 

SQergteicbt man biefe 0t«ü)e mit ber gegebenen; fo fieijt 
tpan leiebt, baß man, um fic aus berfeiben ju erhalten, 
p — » + 1 für p nnb q = <j fejen mug. goigliib. ^al 
man nao>bem Obigen: 



txt SKiifyn. ,371 



'_ (p-q)(p-q-i)..rp-q-i-i-2) 

(P-1)'.P-2).-(P-i+1) 
(q-»(q-2)...(q — ) 
^ <P-»)(P-*-l)..(p-i- »+1> 
_ (p — qUp — q — Q..(p — q — x+3) 
(p-l)(p-2)..(p-i+l) 



■ Cp-'Hp-«-»..»— »-»+»' 
; (p — q).-(p— q-*+z)Cq— n.. . 1 
-IUP— 2J---IP— q-i+2) 






(q— l)(q-2).. 



ijt-«" - 



-I)Cp-2)-.lP- 

Sitfo Ä'-'a,. nicbr me^c »ort x abhängig; fofglfä) eine 
conßante ©roße, unb bemnacb 



aV. = / 



mfäie Wie für jebes x, alfo min) x = 1 , gilt, fo 
bafaucb , 

A * ™ <p-lKp-2Mp-q+i) t-1 '* ' 

3I(fo Bric&t bie in (20.) gefunbene Dteib> ob, unb <8 i|l 



+ ~+r 



>)(P -2) 
(,-I){q_2),,2.t 



' (P-l)(P-2),.(p-q + l) ' 

22. 5Jr x = p — q + 2, n = q — a — 1, M. 

n<q — 1, er&iUt mant 

_ (p-,Kp-q-l)...1.0 (q-lHq-2i-(«+D, ... 
*~ (p-l)(p-2)...(q-l)' i (q-2)H-3)... ' ," 

b. i. A'— 'a M+J = o. 

§üc n = q — 1 , b. {. f är a = 0/ err)atf man aucb 
im ütenner einen §acrör = o. 2>iefe beiben §actoten 
gegenfeirig aufgehoben geben ben obigen conftanten SBertr) 
fik A* -1 a x . 2Hfo ifl nad) ber (Eulerfdjen Sraneforma» 
tion bie ©umme bec gegebenen 9teit)e .bom (p — ■ q + 2)ten 
©lieb« an, biefes Slieb, »elcbes fe(b|t=oi|t, r-o|ttit> 
genommen/ bie foigenben abwecbfelnb. pofititt unb negatib, 
_■ „.. .,, „, i ' „i '. (q<-i)(q-2)..i ■ • 

gotglicb, wenn man bie ©liebet mit n)ren eigentrieben ;Jei* 
c^en nimmt, biefe ©umrne offenbar 

Ha 2 



$£i Umfotwttng 

1 (i -!)■■■ 1 .vr-i». 

= ?'»->)■■«-> + «) 
XJits mufs man r wenn man bie ©utnnie S'brtp — q + 1 
tr|f«> Slitb« nnferrt Steigt (mix» »ttl, wo S afcjieljtn, 
woraus 

- Oft - q j 
■ IXp - *> 



r - ' 4- * q ~ I l " ~ " T ~ J + • - • 



(q-H..l 



-(-1) 



...y-'i: a — aa - g i 

■ • ' + ?-(f - 1).<P - 1 + •) I * l ' I 

• 23. @r$t nun nun in b« Japlact'fdxn SraMfonna. 
tion(19.) x==— 2, a = p, n = q— l! fo er= 

tjält man 

1 _ r + ~i " + T^T3...(,-l) l ' 

= (i ,,-. . j, + Lyi.H ^y .-..: j 

(P-i)(p— «..tp-q + O .,-■ 1 

"*" 1.Z.3..H—1) , - I 

SBirb nun auf Stibai ©tiiin (— iy-"+* = 

abbirr, lu'ttauf Sit ©litoit beibre DCciE)en In nmgetciittt 
Orbmma, gerieben, «nb bann auf beiben ©eiteinnuUfc 
plichrl mit: 

g(ü,-i).,3.2.< 



p(p-<)--lp— q+i)'(— J)"~ 
foet^aft man: 



■*■ c— «'"''(p-q + !)•••. . 

71 + *' f=iT ä ' <p-i)(p-2) + " + Ji ±T (p-i) -ip-t«)} 
i c-n-i r,, ( ,f-]( 



".• .' ■; ixt SXäfym. \ 373 

Sit«, mit (52.) »erglltfira, gleit telefa: 
s' = £.i_S l.. 

■lu n— all T ( 



<t(l-'> 



' Cp-q+i><p-i+2) 

I ,(,-!).. .2 

r (-2)»-'(p-q+l)..-(p-l) 

in-n- 



eine neue merfwürbige ^aneformaffon unb @umma* 
rion/ we(d)r jugleid) ein^eifplel ber (Euler'fffKn um) 2a* 
placc'ftfren Irangfonriation, twb ber Doppelten Umfor- 
mung einer Dieitte i(i. 2W. f. ajlollrceibe's <pco> 
gramm: Multiplex et continuata aerieruin trans- 
formatio excmplo quodam luculento Ulustratur. 
Ups. 1820. 
24. @e» 

rfr + i)...(, + »)'"' " + *'' 
fo überjengf man fidE> fe$r leicht von bec Sid)tigf elf folgen: 
tot Delation: 

1 »ff,'« + i) = »fr, »> + 2-^-Ztb + t, »). 
£>ie» gleit burclp fernere Verlegung Selber Suncfiotun: 
»fr. » + «=»&. »-i) + a-^-^- Jf i<r+<. ■—.<) 

linb 5'«"»« *ttrc!> Sie Serieguna aBer bcrf gunctlonen: 

9Ü-, »+') = ff)-, n— 2) + 3. A ~ V y(y+1, n— 2) 



* r(/ +■ »fr + 2) Kr +*> » 

SBloh fann biet) leid)l fo weit fortfetjen, o(( man »IS, unb ■ 
bcmerft fe^r balb/ baß u6ert)aupt : 

ffr. ■+D=i'(i',— ■) + (■+!), -^^Kr+l. ■■-•) 

.+^+t). + ,. y-: ) -;;-,r ,) >frt.-n.»^v 



374 Umferwung 

wenn man feie 23inemtot=€otf|ifcfenr«tt »te in (19.) bejetoV 
. 'ne(. S oI 8*'*' für k == n — 1 offenbat: 

. , .'>' i *»-*«->-<TMl- , 

T l " rir + » r+2 

. , t>-r)..tt-c-» +<) _£_ 
T^°"'- r.:<r + ■ — i) 'r + »' 
woraus buvcb nochmalige' Serfegtina,, ba ollgemein 

25. ©e^jetit • 



1.2.3 Vi). +■ 1)0- 1 

fo erfiätr man mittel)? ber »origen Verlegung bet ©rogen 
— . yf ' + ]] > K 7 . wenn man naä) 93ertifa(rett)en orbnef/- 
leiebj: 

■ + : f g ?i'+'-T i -+ : ( '*y " --■■■••■ !• 



»■2 ' r(r + i) 



l+" 



2ii(b, wenn man bie unenblict)en 0Ceit)en naä) bem bitto: 
mifcbtn £e^rfa?e fummitr, unb (1 — i)-" abfonbert: 

d-rill-r- 1) «(• + » /• « V 
1.2 'r(y+i)\t— i/. . 
, O-rXii-T-W— >— 2) ^.+i)(.+2V i y 
■*■ 1.2.4 •,( r +fl(,+2)U-«/ r '" 

» 26. £>ie eingeElammerfe DteifK rjt bec gegebenen gan§ 
Srjnudi, unb fann auf bitfelbe Ste trantformict werten, 
wente.nnc ' 



(Ja« gtftijt roitb 



-»-)•) = 
. - »r* 



f* 1 
■+J 



Di« aMt S = (1'— *)r-—ß x ' 

'. 4. fr— Xi— ■+') fr-Wfr-W) ... 
1.2 • ,(,+0 
(i— «)fr— ^<Xr— + ') fr-ft'r-.'+'Xr-i'+ä , . ( 
f.» ■' jfr+iXr+z) * " 

(ine f$on tton'tguUr gefundene Transformation (Acta 
Petrop. T. xn.). ©tijt man — x für x um> Sann — os 
für a; fe ereilt, man an&mmerfvour&ise formen. , - 

27. 3n ter f#on im Sirf. Sinomifcfcer Se^rfa %. (170 
miraet^cüfen <£u(erf$en Transformation ber S5tnomiaf=' 
reu)e fugen wir r,ter notb eine anbete wn 95 tu »ie r (Ann. 
de Math. XVI.). <3en , 



foi|tx-=( T i-J"=z-.(t-z) 
g(fo, »eil z = 1 — (1 — z) i|t; 



n.2n 



n.2n.3a 

n(m + n) _, . m(m +n)(m + 2n) . 1 
n.2u.:iu 



=*-»• + 

** ( ■ a r n.2» T n.2n.;*- r 

-<■—■ ><— 2 "Y ' Vi. . 

: n.2n.3n ■ V.1 +1"/ T • 

x !i + = -S- + a&i^Y-£LV 

**| + jr £+*»:- ni2u Vl+«™/ 
n(m+n)(m+a.)/ !• y 
^ n.2n.3a. VI + x-/ T ' 

eine Keftje, ffi<lä)e immer comxrgirt, wenn für o eine 

•, ■ „„.,„ .Google 



376 Umfemtutis 

gerate -Jc^l angenommen wirb. 3e|t mo» Aftern; fo 
»icb 

* — fi ;' -1/ l } «n— 1 /• i y j 

*"* ~ f ~* näVt +«•/ tan.2mnvi + x»/ I 

_ (».-DO«— l)/ I V ( 

' ■' "1'^r^SirJ' I 

. (wn+l)(3mn + l)/- *• \' | 

3)1 bfta aticl) feine eigenriit&e ?ranofortiiafteti ber Sine* 
- mialreftje; fo ifl bec Sluebriicf bo<$ merfmärbig geniig, um 
>ier eine ©teile ju finben. 3m Greifet 38urjet werte» 
witauf benfelben jururffornmen. 

28. #11$ für bie legarit$mif<&e Steige fbftef 95 o n »i e t 
a. a.D. eine merf wärt ige Sranefotmaffoit Diacfc bera Vo- 
rigen ifi n<tmli$ 

x" =s i " , nlsgnx x= logui — logn (1 — i). 

S&eit nun z=l — (1 — z); fo erlitt man mittclfl 
fcer 0tetf)e (2ogarit§mu*. 25.) lei^ft ■ 

kg» == -i{»-d-*) +4[» 1 -(i-i) ] ]+K* i -(«-*) , ]+-J _ 

2tö« (27.) allgemein: 

. *" = (i +>") k ' ^-' tyk - (i +-r>>" ■ 
SKfe- 

■ «intSteuje, bte /wenn furn eine gerabe3«r)l gefegt wirb, 
immer contfergirt. 

29. 2agtange (Le'fons sur le calcul des fon- 
ctkma. 1 p.3l.)g|tbt folgern« Xcansfowwtion Set togaritfc 
mifo>enSKei^e: , 

lognr» 3» ylognx, ' 

log« e. k{rx ~ iV«*^«' 4- Kr* -iv — } 



t>« Dtfi^n. ' 377 

- ■ k 

wo man k immer fo grofj nehmen fann, baß |^"x — 1 
f Inner a(e jebe gegebene- ©r6|je wirb. Sßimtnt man h ne- . 
gatto; fotvirb 

^=f-f, + <-i)' + <'-?j' + -j 

Dlimmt man fc fc-, tiaj* ^x — 1 < 1 ifl ; fo contttrgitt 
aucfcbie jroeitejXeirje, roenit x eine ganje 3<u)l ij{. £>*nn 

e»i|!6anii^"x>l/ olfo 

SDIan^af o(fo »ermöge ber beiten obigen 9veif)en: 

, los»i<k(ri-0, >tA-r V 
55er Unterbiet! fcer St&tjeit ipt 



nn. 



->e-u- 



wetzet offener fceflo fleiner wirb, je größer man U nimmt. 
©iebt man bem logn x einen feiner ©i-änjwectfje ; fo ijt ' 
fcer geilet älfo 



<k<r*- 



■«(--£> 



Siit ein unenblf$ große« kberfcMn&etbieferge^er, nnb 
man Ijaf , 

J gnxs=k(r*-1) = kA-4- V ■ 

wobutcf) alfo 2ogaritljmen auf ^ofettjm gebraut ffab. <3u= 
gteitfc erhellet l>terqu«, baß ju jeber 3a§t tmenb(i# »iele 
Jogaritfjmen gehören, ba ein« -SBurjef, beren (Ejrponeht 
unenbltcb grojj i|f, wmiblicf? »iefe.SBerftje bat. " . 

30. S)ie Qtrtifel Snftometrie unb £ijf (otec&nie bieten 
tnatid>erfei Umformungen bar. öiotfi eine roeffaurbige 
Sratwformation ber 9te»)e * ■ 

itcUngi = i — jx' + jx* — ...='f, 

freite ty'mi Sif^er'* 3$mfe ber 5>tm«n|ion«jei<&en. 



378 Umfbttmmtj 

H. @. 116. mit. @(? fät einen Mitiigen SSinfel a, 
lange = t, HItb 

* = t(y + j- + i' + j* + •••) 
allgemein i|i ba« ntt Stieb ber Sntnicfdunj »on x" = 
y*t" (1 — y} - " nact; Mengen wa y t 

■»(nH.|)..(m+ . -» 

1.2.3..<n- I) ~ 

gut m + n — 1 = k, n = k — m + 1 wirb Üb 

f» (Blieb ■ 

_ »(m-HMt-!) _ (k-l)(k_2) ..m 

1.2.3...(k— m) J lJU..-(k— m) J 

_ <k — l)..(k -nH-Ot^- m)...m t 

1.2.3..(m — i)m..(k — m) J 

_ O - l)..»(m - I).,» - n + I) - 

- 1.2..(k — n.)(k - m+l)..(m-l) ' 



(k - l)(k — 2)..(k — m + 1) 
— i.2.3...(m — 1) 






©e$f man nun ~— fut y in unfere £Jteirjej (b i|i bas 

ollgemeine Blieb: 
■ i (k-DH-2), 0-<)..(k-4) (k-i)..(k-a , , 

( 1.2.3 T 1..4.5 * 1...6.7 '^-p 

- g ± t y^D k - <! - *r=D k . 

2km * 

wie jtft Uit&t mittet)* bes Sinomifdjeit 2e§tfafse$ bur# <gnu 

»irfetung ber ^otenjen ber imaginären ®vb$m ergieBf. 

©a nun t = tang a; fi> iff biefes aflgemeine ©lieb 

_ (i + tang-r^P 11 — (' — t«»g«r=t)V 

- 2ir^r~ . * 

■r^T? - (coih. - rinh.1 

(©«ttomettieJ 100.) 



SMeS gisbt Arctangx = 

rin n / x \ ring «'/ *■ V, «in3» / " a \« 
«•»■Ax-f-Unga/ Äso«ä 3 Vi + tongaV * 3dM »*>i + OUig*' *"' 



gÜC Arctangx = g>unba = 9/ sc = tätig y, ufirb: 

' "'im ,. «inüy . wn3y , «imly ' 

..1.2«o« f. 2:4 coiy* t ' 3.9'cqs $f» + 4. tßcosgj'» +"• 

3liid& ifi bas allgemeine ©lieb 

_^ jJEJ g / taug? y_Binfc g I ring 11 

worauf 

_ »in 2o sin q>* . tin3aafnqi 3 



T iin( a + 9 ) T 2sin(o + ¥ )= ^3110(0- 

31, 3Bir bef#lie|*en biefen 2lrtifr( mit einer merfmfo 
bigentton Saptace (Me'ra. de Paris. 1782. p.7.) nnb 
£ram» C^ittbenbMrgß »rcbte. £eff. 10. ©.223.) 
gefunbenen Umformung ber SSerncnflifcben Otefbe Ötrte- 
gratformet. 145.). <£« fft namti* 

T*d*X 



fXdx 



' i~.2di + l.'i.ädx' 1 . 



/*• 






*. "*" J.2^ 1 I.2.3ÄX« ' 




8Jtt/x3X = Xx — /xftr (?lj(; n. @. ; 783.). 


Stifo 


/Öi 


_ X?S* ■ X'd*x X>d*x 

I.2ÖX i."2';3efX» + i.4 dX* — ■ • ' 




aJJtin ftlit 


nun 




'S 


; (52 _ 5. ZU' (5. ZU" „„ 


».f. f. 


foip 


r)Z zir 
3x _ .x * 

flu* U" — U'U* 

5x'~ x ' i 
dir' v'" .-* u'u" " " 

"cfx ~ X * 

au" u~" — u'u"' . 
~Sx~ x * 





wovon man f»# teic(jt uberjeugf , we»n mattbie oHgen$)if= 
fnentiaU bec sproburte wirfttcp en(»frfe((, hieraus er= 
fy&lt man ferner *'.'"' 

Sx Z fl'x _ z*(l — XJ-) 

3x" ~ x' 3x*~ x* ■ . * 

5'x 2(2 — 3U' + U") 

'. ', n r ,-..-:.X'fi)O^Ic 



380 Umformung 

Solan frfät alfo 

fi t » (—1)1 

£■* _.i. z \ & -— *«tr + ••• ± *-p L 

Sx="~- xs , 

unb bijfrrenfüre »onKeuem; foift X 2 " ber SReniwr twn 

gg. S>er3W«i|l = 

_ 3.z{Ä.— Lp* 4-.«.±Ä.D*~'' t 
i» 5j - • 

— aX m ~Z\A m — AmD" +...+ Iiü"~* | 

djne Dtäcfffc&t auf fein 93orjei#*n. Jgtcbr man nun £a> 
l« um) Stornier bur# X"— 1 auf; fo wirb bec SRennrr = 

X"+*, unbber gablet = 

k x \L — Lir +...±Ä.u c "~ 1 '| U 

—l-s-s**-»— *■-*£} 

A.— A»tT + . . . + A.U j 

= z |Ä, — JLtr + - • . ± Ä-u" -1 '! u' ' ' 

+ Z (— A.CD" — tnr).+ 1.CD™.— DT) I 
■— .. . ±A,(lT — ITU ) ' 
— nZ Ja. — A»D* + . . . ± Ä a U | 
ss — Z |aA a —(A a -HiA.)ir+ -.£(*• -H>A-)U +A.U j* 

Mio', wenn man »iebet auf ba« &ti$m btt 35tfferential= 
quottenten ÜiMfifyt nimmt; 

fr"r _ Z |An +1 — A.-nü' +...+ A B+1 Ul 

8555. + ; x=« : " 

WO An+i = »An, 

Aa+i = HA, +■ A», 



An+| S= nAn + Au 
V+i Sil.- ■ 

SBcrgfeiät man biefe ©ieidjungm mit.ben ©teidpima«! in 
(12.); fo erljeflet (tidjt, Da na* bec $afelin (11.) unb 
bem Obigen füc n == 1 , = 2 , := 3 



. Ut 9&i$m- 381 



itf, bajj biefe Otetaticn aflgemeitt, unb folglitfc nadb (12.) 
imbber&ercigenISeieMjniingt 



JjMernadb, erholten wie. nun 



-~ 3 X* ZA. 


*i.2J' IX* - 


1 ** z 


(Aj — Ä,U + ÄjU'l 


+ »...«• 


X 1 


"■ x' c| 


A, — A,U' + A,U" — A,D'"| 


+ i...s; 


.** " 


= zx |r , 2 + i33 + i4i + ---| 


- MÜ ''|iX3t 


5774 + l..4 + " j 


+■ zxu" jjij •+ 


&*£*H' 


~™ r lra> + 


& + £-, + •■(♦•. 


9taii((il.)a*etfiici 




.«= i. . 


A » A 

— a " , -■ 1 


1.1. u + 1. 


..(D + l) ! l..(n+2) T 


JS=i X _ 


A " ■ 4. An+ * . 4. . 



1) 
natu) obiger Stetation. golglicfr > 

/XÖX =: zxji — U' + y" — U'" + TT*' — . . .( 

32. £>ie Sßeraanbtung ber Steiften in Mttttnbväftt, 
unb,tie 2Iuffö|ung. einiger Dveifan in ^ßrobuete mit »nenb» 
litb vielen gactoren f. m. in ben Srtt. Äettenbrucb. (39.),. 
enfiome(rie(26.)/ unb ^robuer. 5>te ^ronefornwtion 
ber 9teib,en mittel)? ber fonetions ge'nefatrices muß Wtt 
•Jufäij«« ju btefem SEBerfe aufbellten bleiben. «Weljr 33e* 
Ittjrung, als Ijier ber Stürmt wegen gegeben werben tonnte,' 
fu^je man inben Suler'f^jen SBeefen, ber oben (7.) 
öngefiiljrten mistigen Schrift tton ©tirl.fng, bec 



382 Um9tf$rfe.3Ret$ot>e 

TWorie analyticpe des probabilites tfdn 2aptace, 
Lacroix Traite du calcül diff. et int. T.III., ober* 
fe>upt in üöen ber ^eortfe bejr SXeifjen aiißfcbjiegti* gewifc ' 
meten SSJerfen, unb einigen befonbem Slbfianblungen von : 
@o(bbath(Comm. Petjop. T. IL p. 30.) unb Suler 
(Nova Acta Petrop. T. IL 'p. 36. T. XII. p. 58.), , 
aueb toben" bie. £Reu)en überhaupt betreffenben Slrtifeln bie* 
feffSSBSrferbudje, befonbers bm s 2Irt. GJiflotccbme in Sejug 
auf (ine »on <£uler IjerräEirenbe SOletfiobe, ffarf con* 
»ergirenbe Stehen für V)titt ber 93erfp$erte ju ermatten. 

\ltt\&def)ttt SD?etljot>e fcer a5mifjr*nt>flt, 

(inve'rsa methodus tangentiura; f. biefen 2Jrfifel) tjl 

*»tm 31u*getnemeh einerlei mit ber Integration ber ©ifferen» 
ftalgleicb/ungen beß erflen ©rabea jwift&en jwei »eranberti» 
eben ©röfjen. @o wie namlicb mitteffi ber Differentials 
. recbmmg aus ber ©teiebung einer <£ur»e (eiebt Slusbtücft 
für bie ©ubtangenfe, Otormate unb ©abnormale Ijergelei« 
ttt werben; fo fatitt man aud; umgeMjtt nacb ber @(ei= 
ebung einer (£ur»e fragen, beren ©ubtangente, Sßormale 
ober ©üb not male eine gegebene Function ber Sföftffft iff, 
ober überhaupt eine gegebene (Eigenfcbaft f)at. >Da nun 
(S3erttyrenbe2inie. la-^ObieSubtangente^^, bie 
©ubnormale = £g , bie Sfhjrntafc ±= y/i + (j^) 
ift; fo i(? ftar, ba$ j'ebes foube'6 Problem auf bie^nfe» 
gration einer ©ifferentiatgteiebung bes erjlen ©rabe« jtm* 
fetjen jweiSßeräntierlidjen fuhren muß. 3>ie erffe Aufgabe 
tiefer 2!rt, wctd?e überhaupt aufgelofef werben i\1, mar 
bie 93eaunif#e (f. biefen %vt.). gnweüen wirb ba8t* 
griff audj noib erweitert (fä>on Von ,2fof>. ^ernonltt. 
Opp. T. III. p. 414.), unb man verjtebt unter ber um« 
gefegten 9Betb,obe ber 23er,ül)renben überhaupt bie ^edei« 
tung ber ©leidjungen ber Stirnen aus gegebenen (Eigen* 
fdjaften berfelben, wenn baß Problem auf eine ©ifferen* 
tiofgleicbung be* er(tett ©rabeef fütjrt. (Einige 2Jeifpieff 
mögen biefe allgemeinen SBemerfungen erläutern* 

1. 2)ie€um jh fmben, beren Örbtnate b'ie mittlere 



tttt S8erii§ren&m. . 38» 

«Proportionale jwift&ett einer gegebenen ®tb$e a unb bei 
©ubtangente , ober jwifd)en ber ©ubtongtnte irab ber ge» 
gebenen ©rofje a weniger ber Sbfcifie fff* 
3iir ben erflen Sau" ifti 

•Ä« = j8j, mx = 4y» + toartj' 
y 1 =a 2s« — conti = 2a (* — ■) = Zeit, 

wenn wir bie (£onf!ante =^ 2a« unb x — « s= x' fefceit. 
3Me gefugte <£ur»e \$ otfo bie apoHomfdje grabet. ®ie 
<£on|fcinte muß noeb turefc eine wiflfäIjrU(&e SSebingung b«. 
ßtmmt werben. 

Sorben jweitenSaaip: 

i - I : 7 '= y ; ?*£, yfl, =. (« - xJ.Öx; ■ 
«x — ^x 1 , = ^y 1 + const, 2ax — x 1 = y 1 + conit. 

@eljt man mm x' — a = x, y' = y ; fo wirb bie @fci= 
ebutig: 

2«(x' — '*) — (x' — o) 1 ss y' 1 +■ conrt, 

2(» + o)* — x" 1 — *(2a f o) = y' 1 + const, 

WO man a offenbar immer fo bestimmen fann, bap 

— o(2a + •) = cowt. 

IDann wirb bie ©teiebungt % 

3(« + ■)** — i^a/', 

unb bie Cm»e ift atfo ein Äreio, be|fen #a(6meffer ±= 
ü+ß. 3« SefHmmung ber (Eonfianfe muß nodf) eine 
t»tu*fub / rfi(b I c SSebingung gegeben femt. 

2. Sine £ur»e ju finben , bei wetd>er bat Quaörat ber ' 
Drbinate bie mittlere proportionale jwifeben einem gege- 
benen üuabrate a * unb ber 31rca ber Euwe ifh - 

©ießgiebt bie Proportion: 

■ *« : 7» = 7» : /yöx (Quabtafur. 8.) 
3(foa a /y5x=y*, a a y5x = 4y»^y, a a 5x=:4y a ^y, 
a 2 x = ^y 3 - + const, y 3 := -Ja a x ,-^- const = . 
£a 2 (x — a) = $a*x'. 3>ie <£ur»e ifl folglitb Wne 
Parabola cubicalis prima, wie matt fte mit ^ob,. 35er= 

nouttl (Opp. T. Ul. p. 415.) 'nennen fann,, ba bie 



384 Umsäefyxic «Begebe 

(Siittte , beren ©(ekfenng y 3 = ax* gewi&nlHb Parabola 
cubicalis secjmda. genannt tötet) (9>arabe!n feifeerer 21rt. 
S$(. nr. @. 724.). ' 

■ ■ 3. 2>te Eurtte ju befHmmen, beren ©ubnormate ««• 
mhnittUQ i|?. SWan bat bie ©teic&nng ^ = c, y#y 
= cdx, 4-y 2 = ex + cönst, y 2 . = 2cx +con$t = 
2c(x + «) = 2cx'. £>ie Suttw ff! alfe'bte apoflonif^t 
pacäbel (grabet. 21.). 

4. ©wSurwsufinbjn, beren ©ubtangtnte bet of«* 
eben 2tbfciffe gieieb ifi 

8j ' x j ' 

lafax = nlogn j + const, nlogny — ; lognx 4- logua = lognax, 

für const = — ■ logn a. 2Ilfo y" = ax , tmb bie gt« 
fuebfe SucVe folglich eine grabet ber nten Orbming (pa* 
rabeln böbt rer 2irt.). §ür n = 2 credit man Die apotto--- 
nifebe Parabel (fpmaUl. 13.).' 

5. 3Me£ur»e ju fmben, beten ©ubnormafeberüua* 
bratmurjei ber 21bfriffe proportional i|i. 

1^ = «ri, ydj = axidzj *y' = $•«*, &y* =*'«'. , 

6. Sin« <£urw tion fofeber 33efcbaffenljeit ju finben, 
baß äße- »on einem gegebenen fünfte auf bie fie Sertfbrert"' 
ben gefaßten 9>erp»nbifel einer gegebenen confianten ©rfcge 
n glei(b finb. 

SOton neljme ben gegebenen tyunti at« Anfang ber ffo* 
ocbttiateii an. Söejeicbnen x, y b(e Soorbinaten bir ge= 
fuebfen (Surwe; fo i|t,' wie aus (Sinie, gerabe. 13. 25fs 
röljren&e Sinie. 14.) leiifct geftblofjen ntfrö: 

bie ©(eiebung ber Söerflljrenben. S5ie ©feic&ung be$ von 
bem gegebenen fünfte» beffen ^oorbinaten beibe =o 
fmb/ auf bie Sernbrenbe gefaßten $)«penbifeles ifl : 

fix 

'■"-■?. ■ ■■■ 

■ - „, Google 



.. bcr SBttäjwttfli. 385 

(Sink, gerabe. 17.). ©i« (Ji>orbüw(en ber 35u«6f4ititf& 
ptinfre »eitter Linien •»!•» ■»» 

fflnie, gerabe. 180, »M> Me ?ange be« gjerpenbifete l|f 

©tSMtmn nun für o, /9 bie obigen SSertlje; fi> erbäte 
ntan ote iDIjferenfiaigleicbung &er gefu*ten £ur»e: 

@t«t man gz=p, unb biffcrentiirtMnSieuem; fowirb 

ober, baay = j>&ci|l: 

ri + P i ( n + P > ( ■ 

fo tag alfo unfere Sijferentialglelcjiung erfüllt Wirt, fo>' 
wty für <>p == o, als au$ für 

rnrji = •■ 
Sie er|!e Steigung giebf p = const = c, rotb fofglicj 
bie gefudjte ©(ticbung natb bem Obigen : 

y =scx —uYi + c >, 
für jebe« c, bie Steicbung einet geraben Jinie. gu nähe- 
rer S3e|iimmung berfelben fefje man ibm Dleigungsreinfei 
gegen bie abfclffenare = a, ba8 »an bem »fang ber 
eporbinalen auf fie gefMteJJerpenbifel = q. gür x = 

ifl.y = — nj/"i+ c v unb es erbtet (eicbt, baß 

1 = — n K^H-c 7 . cos a. 916er c = tang a (Sinfe, 
Jerabe. 13.), 1 + q' = seca» = jjL, y^fZ^' 
^ = i cö»T' 1 == + n / fc- bog aifojebe gerabe Xinie, be* 
ren Entfernung »an bem gegebenen fünfte = n i|i, ber 
Aufgabe Senüge Mfiet, wie fia) oucb »en felb[l wr|jebt. 

£>ie jiteite Sleicbung: 
V. . ' »tCgoglc 



gi«6t'p a = s ^~, i+p 2 =:^-~5 ,. -woraus man, 
wenn bies wiebet in bie ©feidjung ' "'. 

gefegt toictr, erbtet 

?»» — K s "" . n 2 — i 5 ~ " "" ■ * 

> ■ y> = n= — r 1 , s» + y* =s n*, 

weldjeS bie ©teiebung eines .Streifes ift, be^fcnSRiffefpunff 
bet gegebene tyunU , unbbeffen£albmeffer =r n fjl. £>i«: 
fer ifreis leifUt olfo , wiefteb^udj von felbff »erftefjf, eben* 
falls bet Aufgabe ©eniige. 3n bet ©leiebung biefes &vt'u 
fes fommt feine. wiBtuEjrliclje Sonjlante »or, wie in ber et« 
(lern ©(eidjung. 9Jtan nennt eine foldje 2infl&fiing' eine 
parfifulite obet ftnguUte $!uftöfung bet ©iffeten* 
liatgleidjüng. <£ine weitere 21uSetnanbetfel}ung aber Biefen 
©egenflanb geljirt aber niebt in tiefen 2Irtife(, unb muß 
ben ^ufäijert ju tiefem Sfficrfe aufbehalten bleiben. 

SOtan wirb aus ben wenigen liier bezauberten Aufgaben, 
beten 5Injab,( fidj leiebt t>ermtb,ten liefe, fdjon fetjen, baß 
" bie ©cbwierigfeit tebigtidj in ber Integration bet ©iffettn* 
tiafgleidjung liegt, b<x bie ©Übung bet (cljfetn fid) immer 
aus ben Formeln ber analutifcben ©eometrie leirfjt ergiebf. 
Sßorjüg(id) bie altern SBerfe übet 3ntegra(recbnung fmb 
reich an tjier^er ge^örenben S3eifptelen, 

ÜmU^Xtin^ Ut Dfelfjm, (Reversio — in- 
versio — serierum. Retour des suites.) ijl tm aüge= 
mein|!en ©inne bie Sejeicjjnung bes folgenden wichtigen 
analntifd?en Problems ; 

. gwifcbenx utib y fen bi« allgemeine ©Ie(d?ung 

= «" + bx" + * + <+ M + , . . . 

gegeben. SRan foll irgenb eine ^otenj x r von x burd) eine 
Steige nach ^otenjen »on y ausbrütfen. 



t*r Stetig*. 387 

©le (gngfcmber nennen bieg ebenfofls niebt unf^teftft^; 
methode of extracting the root of an infinite equa- 
tion , eigetif lieb unb riebt iger : 2IufUfung ber ©leicbun* 
gen bunb unenblicbe SJvei^en. (Ein; Unit eEjrung einer 
Steige int eigenttic&en ©inne bietet, ffreng genommen, 
nur ber befonbere §aU beet obigen allgemeinen Problem« ' 
bar, »o y burdj eine Steige nac$ <Potenjen t>on x gegeben 
ift, unb nun umgefel^f x in eine Steige hacb ^>otenjen 
»on y entwiefett werben foll. ^nbem wir uns nää) unb 
natb su ber 5luflofung bei allgemeinen Aufgabe ju ergeben 
fui^en, »erben wir jugieiefr ba8 £ißorifc(>e mitnehmen. 

L 9t((itnirenbe Sorttt. 

1. €5en jnnad)fln«r 

/ = «- + w + * + «* + 2 * + . . . 

gegeben; fo iß naefe bem »o(nnomif(ben 2eb>fal$e:, wen» 
wir Soefftcfenten , auf beren ©röjje es weiter titdjt an* 
fommt/ burefc (.) beieiö>nen: 

. 7 7+'- 7 + M 

? = (.)* + Ü« + (■)« + ... i 

nnb es f ommt nun — feas iß eigentlicb ber ©hm unferer 
Aufgabe — baraufan, xbureb eine Dtetfje nach <po'tetisen 
»on y ausjubrücf en , weldje , für x in obige ©leic&ung ge* . 
feijt, biefelbeffir jebes y tbenf(f# y = y madjt. 3 Us ' 
gleia> foü bann biefe Steige auf bie $potenj y erhoben wer* 
ben , bamit man fogleieb x* erlitt. 

2. 3ur ©eßtmmung ber §orm ber Dteflje Bebienen wir 
unö bes poljjnomtfcben SefjrfaljeS. £>ie £Rei£)e für x burcö 
y muß fo beföaffen fenn, baß ba» erße ©lieb tb>er 
~ten ^otenj = y iß, unb bie Coefßctenten aßer übrigen 
©lieber bes aus iljrer ©ubßitutton, für x in obige ©lei* 
c^ung Ijerworgeljenben, völlig naa) y entreicfelfen, 91u6* 
bruef e auf ber rechten ©eite bes ©lefcb&e'itsjeit&ens »er. 
febwlnben. 3>er «Erpownt bes erßen ©liebe« ber Oteüje 
fen = v; fo ift nad? bem polnnomif^jen 2e&rfaa,e. ber Sc* 

Sb 2 iooqlc ' - 



388 ltmfefrtiitg 

(matt be« erfieit Süd)« ber Steige fät -J, =v.j, «et 
4>e8 nacb ber Sebingung ber aufgäbe = 1 fton muß. 
X>ie8 giebt r = £>. unb folgliifr 



• = ()r + • - • 
»crom luubbem po(imomifa>n St^rfage: 

•' =<■>, •*... ' 

-CO» +... 

j + M i + äH - 

IC. tc. 

SJenff man |id) bis» in bie obige ©ttidroitj für x gefeSt; 
fo rcirb man, aQe0 gct)6rig georbnet annet)tncnb, imnu't* 
retturbarauf gefugt, ftir x eine Steigt ju ftgen, bereu 
jte 9>otenj bie gorm 

«+■? '+*? 

Oj + COj " + Hl " +•-■•■ 
far. U)iefe Steige ffr aber nad; bem pof^iomiftben fcljr* 
falle feine anbere, als 

« ■ . £ £.# £ ,2£ 

Hi" + COjr" " + Or* "+..,. 
»maus ferner 

i' = Uj + (■) j "' +()r * +■ • • 
fo baß man atfo berechtigt iff , bec Ottüft füc x 1 ' biefe gorm 
ju geben , obgldd) nun bie roirflicbe (Entwitfewng immer 
no$ jeigen muß, ob |kb unter tiefer Ulnna^me bie Coefft* 
cienten wirf lieb beflimmen [afjVn, inbem obige ÜKeäjnung 
immer nur er(l als eine »or(äu|ige S3e|timmung ber gorm 
ber '0tei^e ju betrachten ijt. 
3. ©t» olfo yf = p, unb 

ue^vGoogle 



tyr Dtei&en. 389 

x » Ay " + By ' ": + Cy '" + . . . . 

S8«& bem Belijriomtfc&en ge$rfa$c erlitt man mit JguKfe- 

bft Jjptabenburgifdjen Jocaljeicben (@. biefen 2Ittife() burifc, 
<Ent'tWcMungber'£ßfenjenmyauSber^e(^füt>A(l.), 
imb (SubfKtution in x y : 

J T+» ' «" 1 " + * * ' 

: Ap «1» + Ap «3 f x , + Ap »3 

+ Bp «lj + Bp «2 

+ Cp »1 

SDafflit nnn.bfefc ©teicbnng föt-jeW* x gelte, muffen We 
(Soefficienfen A, E, C, D, k. fotiefKrnmfwer&en, baß 
fiefotgenben ©(eta>imgen genügen: 

JL ~ " '•■'■' 

1 .SB Ap .»1, 

X. z±* 

o. = Ap '. *2 + Bp . *1 , , 

o — Ap . «3 + Bp . ja + Cp . «1 ; 

• ~ K. IC. 

o = Ap.-(p+l) + Bp .sm+...-t-Mp " . »2+Np ,.1, 

wo N ber Soeffkient be* (n+l)fen ©Hebe« ijf. ©ag 
biefe recumrenbe SSefiimmung m6g(i$, unb bie ongenom= 
inerte SormberSXeitje für x ober x' atfo richtig ift, liegt 
tiat »oc otogen. 

4. ©et; j'eijt aügenteinee 

«i «i+i* «,-1-23, 
■i y + J». y + *, y + . . . 

O * + * B+2» 

= nx. + bx + CX •)- . . . 

gegeben*, imb x 7 naefj 'Petenjen von y ju entwicfelnj fo iff, 
wenn seine, biefen betben Dteitjen gleiä)e, ©roße bejeiifc* 
«et/ na(J> (3.) 



390 ttmfc§nt«g 

r T m • 

x = Ax* + Bx -t- Cr. + . . . 

»o Mi Soefjiclentett, »Uni man Me OCe»)e auf txr llnffl» 
unb regten @eife Der. gegebenen ©leiebung burefe q uitö p 
btttidjmt, ganj tut* blefe(ben<9leid)ungen «oi« in (3.) b«= 
ßimmr werben, unD baljeratsttefannlansiife&en finb. (Enfc 
wiefeit man a&et bi« tpotenjeit «m z mitteilt ber0teft)t q 
nacb, &<m |MtiDgniif4oii<(tr<4'/ ■<"* fuHHiiifrt |ie in Sie 
fdt V gefunbene Steige ; fo erfjatt man 

' £ & A E» + j. ) 

r « S - B B * I 

X = Als -»ly + o. «2y +• . . . I 

A ^l + m», ( 

.. . + ? ".(i»+1)j " + ) 

r±£ (H-fl-. r*> (rHK . ,' \ 



... + , *..(m+l), " +. .. 

■ j+2J Ir-W)., r+z» &»«»>, t . 

+ C|« «ly + ? " «y +. 

t±2? fr+Ä + nj, 

... + '■■% ' «(m+Uy " + . 

IC. K. . 

y+na (r+n^) B, y+n* (H-hJ)b, . f ] 

■ +NH * ,ly +, " >2y , + ...[. 

• •.+ 1 B!m + l)y " + ... J 

lt. ' «. ' 

woburtti x' »{[ig btfHmmf l(t, Inbmt bie ©Kffitimtflt 

tfyeils aus bem SDör&ergefanben, t^eilß bittet) ben pot^nö- 
mifeben ?er)t|a$ gegeben finb. 

5; gut a =«,i <J = <? t fanitmatt bie Dtcitje aud) 
foorbnem 

" X ' X Et* 

r B )- B - . B J.+* 

. x = A, .ly + |Ab .2+Bq rf|y 

„■ . Google . 



t>er Steigen. ' 
t±l r +a ? 

1 . «2 + Cq .1 

wo A , B , C , D , tc. immer wie oBen bcfrimmt werben. 
6. Süc o = y =s tf = 1 giebf bie« : 

kss Aq*ly + JAl"2 + Bq'«ijy» ■ 
+ JAq« +'B<i 1 «2 + Cq'.lfy» 



4- .]Aq«(n + 1) + Bq*»n+ . . . + Nq n+1 *l-}y ,,+1 + . . . 

»oä, B, C, D, tc, fcunfc fofgenbe ©(et<bwno,en befHmmt 

werben; , 

1 — Ap*i, 

. o = Ap«2 + BpM, 

o sa Ap*3 + Bp»*2 -f Cp'rf , 



.»+*.! 



o = Ap»(n + + Bp**n + ... + Np' 

:c. tc. 

7. Sie bisherige ©efjanbfung »erbanff man »orjilgticb 
■JMnbenburg «n* feinen ©ebälern, befonbers<Ef{b;etts 
bücf unbiDtotiie, worüber nadjljer ein SÖtefjrerefl. (Sine 
anfcereDlegel für ben (eftrtrn gaQ giebt SOI oi tote (Phil. 
Tramact. Vol. XX. 1698. p. 190.), ber ficb juerff in 
größerer SWgememljf ft mit ber UmfXjrung ber Steigen bV 
föäfftgt b,at, obgleich, ber einfache gaU, wo y = ax + 
bx 1 -j- ex' + dx* + ..., ftfcon öon ÖUwton (Epist. 
ad Oldenburg, posterior cum Laibnitio communican- 
da. Leibn. Opp. T. III. p. 75.) unterfud;t worben (ff. 

SEBenn 

■ ■y +■ hij 1 + Cjjr 1 + d,y*+...=ax + bx 3 + « x> + *'* + •••- 

i|l; fo feite man, ber gorm in (1.) gemäß 

- x = Äy + By'. + Cy 1 + Dj* . . . 

wo bie jmnftireen Coefficienfen coefficientes ficti s./as- 
sumti bebeufen. Scjeidjnen wir nun bte nte Sombina« 
tiensftaffe jur ©iimme m, wenn man jebe Kombination 

mit ifjrer 9>ermutatiotteja1jl mutttwlfdrt, burd). [n] Cj fo 
ift nacb bem polnnomifcben Je^rfafce, wie ft$ leitet quo bic- 
fem drittel. (8.) ergeben wirb : 



392 Umft§nntä 

• '■ »• = Plfcy- + [ejiy' + p]Cj- + .i. 

•' = [3]'Jj\4- [3]Cy« + mh' + ■■■ 

x> = [4] Cy' + [4] Cy' + [4] Cy< + . . . 

IC. 'K. 

bie Eom&inafionm für bm ^efger 

/a,b, c,b, ... .y 

Vi, 2, 3, 4, ... .) 

gmomnttn. S)i«, furnc in bie gegebene ßlticfcutia, gt> 
fest, glebt: 

o,y + b.y 1 + cjr» + d,y* + . . . . 
= «Ay + |.B + b[2]Ö|y' 

+ |«C + b[2]Ö + c[3]6] j> 
+ j.D + b[2]C + c[3]C + d[4]Öj y< + . . . 
., = i[l]6, 
»,=*[l]ä + b[2]C, 
o, =a[l]6 + b[2]6 +.o[3]6 
d,,= a[l]C + b[2]C + c[3]C + d[4]C, 
IC. tC. 

woraus bie Soefftcienten be|timmt roerben (innen. älp>; 

- b,^b[l]C Ci — h[2]6— c[3]<5 

f = f> + r — >y- + ;»; -J' 

. d,— b[2]fi — c[3]Ö — d[4]Ö 

+ ' * ' V ■*•••• 

a, . b, — fci» , e, — 2bÄB — oA> , 

d, — hB» — gbÄC — 3cÄ»B — d~A» 4 

S)i(8i|I SBoiBtt'« S»rm b«Ot«5e. 

8. an* 'iimptitieff (änfongsgränbe btr anoi. 
«nbl. ®r. @. 605.) fyit eint recurrlrenbe 9i(Mc(ion«foc= 



' Der Keinen. . , 393 

im! angegeben', »efc&e wegen Üjrte einfügen ©efefJeS «wirf* 
wtirtig, wegen ber vielen ©ubfHtutienm.a&er jur £Xe$> 
iwngfelbfi unbequem iff. gik ben gafl 

y = IX + bx- + cx J +■ dx 1 -j. . . . 

^a( btv 3(ati4net (pljlUpp SKubbiani l'xt uiwgefeJjtfe 
Steige bis jum neunten ©liebe wirfücö eitfrettfelf. 1&a* 
Dtefutrat fljtift/ feine 9ttd?tigfeit »ctfidjernb , Cagnolt 
im Traite de Trigon. Paria. 1808. p. 46., *ile bei 

prdftifdjen Dtecbmmgen jaweilm brmidjbar, mit. 

II. 3 n 6 e p « n b c n t c Sornt. 

9. ©egen »fr i<J}( ' 

p = «" + ;»■+* + Ö* +!W + . . ., 
mtb Sejeu^nen bie£oefpdenfenw>np m butd)A, A/ A, «.; 
fo folgt aus ber britfen gorm bes pofijnomifc&en Se^rfalje», 
ba|j affgemein 

n In— I ln-l 

naA =(m -u + 1)aA + (2m — n+J)aA l 

+ (3m— n+3)«A +'... + [(n — l)m— l]a A + nmt4 
= (m+l)|.'Ä I + 2»'lV. - + (•> — 1>*« A + n«A( 
— nja "a +■ > A +' . . . + * A + aA | , 

ober in Socaljei^en: 

nap-*(n + l)=: (m + l)tip»«n +2«p»*(n — i) + .. • | 
. . + (n — 1) • p™k2 + a«p«*l 1 
— a|apfc*n +«p<"i<(a— 1J+...+"« p»*2 + «p-«ll 

Sffrtdb bem potynomififcen Se^rfa^e (ß aber: 

P m = p m „ii m Vp ,n 
©ies, mitp miiUipltcüf, gieb('lei<t>t fotgenbe SXetation i 

p m+1 j«tn+l) = ap"-*(n+l)+Bp»xn+ap"*(n— 1)+... 
. . . + « p m «2 + ■p»»l 
p TO+1 *(n+l) _»p«»(u+l) = ap-*n + ip-»(n— 1) + «p-»(n-2)+- 
.... +V I p»*2 + «p"»l. 



2l ^+*+j».»»— +M +- 



394 Umtfjnuiä. 

3)1«, Inoit ®i(i*uns für nap-k(n+l) gtftgt, gieb« 
nad> einigen Sie&uciionen: 

,', ap»»> -t-2ap-«(n — 1) + 3ap»x(n — 2) ', . . 
, . . + (n — 1)% p-«2 + MBp»*l. 

atWrf man MJ85U fcem obigen ^Sotucffih-p''> + 'k( n +«)i 

fo erhält man: 



-4- 1 m-f 1 



(» + 1) = 



m + 1 

B p»»(n + 1) + 2äp-*n + 3ap»*(n — 1) + . . . 
. . . + na p»«2 + (n + 1) * P»« 1 * 

, ■, 10. Ufas ton ©or^eräe^enben fo(a,l (eltbt fflt 'febe8 

«tmbth 

«p" +1 .(»+U = ..p-.c»+D+«!p—» + . . . 

- , . . + a a p»»2 + oapnjtl, 
ni m-J-1 , ... 

jj^jp •(. + - 

ttp»«n + 2aap««(n— 1) + K«»— 1)° a p»»2 + naap«irl, 

i!2±|ai J p»+ 1 ,(, + i) = «p.<.'+o+(.+j)Vp— 

+ C«+23)ap-*(n-ll...+(«+(n— l)O n ap»*2+C«+no)äp-xl. 

11. hierin ftje man für p Irjenb «tue 9>oeenj p', fo 
baff «Ifo (iati p" bie <poten j y-' gefegt werben mu S ; fo er= 
^ll(^ah,W(nii|ii8tti(()p'zl,p'xS,...fata,«...9ef<Ht»it8, 

■.. ^diV m+ "'.c+» = .p'-i.p-.C»+i) 

+ (« + a)p f a2.pf»»n +(n + 2a)pf.3.p f "'»(n— l)---. 
+ (.+(n-l>J)p'«n.pl-.2+(.+nJ)p'<n+l).pl-.l, 

, woraus ferner für fm = g, m=: fU&tK »(haften »rtfc 
föcjebesf unb-gi , 

■Jt+|±2H, f +«.{„+,) = .p.,.. P ..( + i) 

+ c. + o)pfi2.pi.m + (» + 23)pf»3.p« «<«'— 1).... 
+ (o + Cn — i)3)pf«n.p(»2 + (a + iio)pf«(n + l).P'"*. 

12. ©et* nun »ieber . 



6er 9te$o, " 395 

: ' / = «• + hx»-»*' + «■+" +...=* p, 

r , ■ « o « 

t=Ay + .By + Cy . . +... = 5; 

fo tf? na<$ bcm pelijttomifijien 2e^rfaße: 
& X 'X X 

» • y . ~u y+3 a y\-23 
y =p «lx +p «2x +.p ,3x + . . . 

' 3Da mm ferner x* i= q fft ; fotff, '" ' -'. 

i. r±i >±Hf 

7 r+J ' y y+23 y . 

x=q,x «= q , x ~f j ft 

(Enfmicfeff man älfo biefe ^ofeBjen von x, Irtbem man in 
iwr0teu)e.fürx r na(& unb naä> y + 8, j- 4- 2«? , y •+• 3tT, 
K. fäcy fei$f, 'fitbflifuirt bie erhaltenen 2fos&rü<fc in bie 

(Enfwicfetung ton y ' t unb fcßt bann bie (Toefficienfett 
gleicher (pofenjen tum y auf beiben ©eitcn einanbec gWct); 

fo erhält man folgente ©Innungen ; _ 

' ' ■ X 



o = Ap , xi — i , 
s Bp , *i. +■ 3 . Jfl 

' ■■ • y 

o == Cp *l-i-l • «2' 


rP.*2, , 

■ '■ ■ y ' 
p .*2 + q . 


rf.p"-3- 


i i±£ ■ x y+ a * 

= Np «l+q .">.P »2 + 9 .»("»- 


- X 
■t).p"«3 + 



. . .+V .«l.p. *(n 4- 1). 

£i«<ms (offm fi(b min A, B, C, tc. auf folgMibe 3« 6« 



-v Google 



13. Hu« bn «(i«t S(tiä>ns fo%t: 



396 Itmfefjrtma 

' Slfat nafybm potyftdmffcJKn £r$rf<i<ie:' 

p . *1 je a , p . >1 = a 
A = a "=— p %1 e= q>l = rf «1 . 

14. Sotgticfj, wenn raany+.<Tfi1ty ft^c 

, ' .. = ^., = tt«, **. 
aifonubber j»ritut(3(ei$iMgitt(12): 
1 V+ J x. 

. o,= Bp«,, I+ t±fp ■ -.p'*. , 

Sic* (11.) l|iab«, umnmmy für«, £.fte'£, m* 
_i±-' füc g fe^t, fobemman no$ iugtei$ btibafeitig niii 
y + # btoiblrt: 



= ,-fip -2-p ■<+;-^ 3 p •"•* »2. 



(■•tfc-i 

woraus, »erglühen mit Uc »otfjerge^enbrn ©tefc&ung un= 
mint (bar folgt: 

■y+j 

15. $efglicfc>, wcnB raaB 5' <c y + ^ Mb in (13.) 
y + 2<7f4r}-feljt: ' 

y+J y+2*' 

■'..- '"i'-p.-SSf" *-. 

r£2£ y+23 » 

SHtfo na$ bet brieten ©fcicf;un<j in (12.) : 

■ ' 



«,=Cp-.H-^±^p 



Ott SXci&ett. , 397 

P+3" 



H-23 v 

+ 333» ..">•• *■; 
Sttittetfl Ä^nticEjec Sßeroanblungen »ie Borger 'abft/ mit 
tag jtljt — ^ fit g sefesimto, na* (11.) 

woraus, mit ber erflen ©(dcfwitg »ergtt^en, fogtefcfr: , 

_ y+2J 
°»f^ ' *-*•.-«'* 

16. £tos(3efe£, unb wie man weiter getyenfann, er*. 
fceflet nun ftbon. <£« iftnamtub 

$>ieS ©efeJJ oßgemeiit ju Beweifen, nehmen reir an, es 
gelte bis M=qxn; fo erraffen wie, auf ' 5Jjn[id;e 2(rt 
wie »ortjer, wenn wie in ben SIusörMen ber einjelnen 
'Eoefftcienfen Dom nten bis jum lten nacb. unb nacb /-t- J, 
y-f2«F, y + 3^,.'..y+nJ fuc y feljen, unb bie er$at« 
tenen Sluebräcti in bie allgemeine ®lei#ung (12.) für N 
fub|lifuicen: 

+ S=» " •*-«..-- 



y+n3 £_ 



ig«, Google 



398 Mmfefcruitg 



'3(ClKt 


ftp malt ln(ll. 


)-7fr 


«, — 


fär f, — 


r + «^ 


fätg; 


umVbhvibfre sugfeiftbeiberfeitia, mit y,+ ntf; 


i f° «= 


r)ait man Uiftt: • 












. !* 


H-"» 




y 






° = ff3» 


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1 + 1) 


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H-"* 


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" +£&' 


" *1 . 


p*«(i 


> + » 





go^ticf), wenn man beibe (Bleiftungea mit einanber wr* 
Steigt/ offenbar: 

y+»» ' 
N = pfcf " ■(■'+»=■ ¥*>+<), 
foDafi a(fo ba« bemerfte ®<fe( für qk(n + 1) gilt, »«■» 
es bis qkngilr, unb bemnaft allgemein ift. 

Unmittelbar hieraus, unb aue ber gorm berSKeuje für 
x r , ergiebtftftauft: 

y+nJ «rf°») 



worin fotgenber boftl? merfwärbiger @aij entsaften iß: " 
S>a« (n + l)re ®Iieb ber Steirjt', in weifte fift x' naft 
^otenjen ton y enttricMn lägt, ffi ein ^robttct b« 
y 

(n + l)ten£oefftcienfen ber^Jotenj p ber gegebenen 

0Ceil)ep, inbie®rJ8e -^jT " . « . - 
. Slaä) biefem ©äffe i(! bie inbepenbente Be|timmunj 



- * . Ut- Dfetljett. 399 

ber ©ftebec ber urtigefe^rtett Dvefye ntiftelfl fceö potynemi* 
fd>en Se^rfa^sjeberieit möglich 

17. 5Dcc Srfinber bicfeß merfwiicbigen ©dßrt tfl $. 
21. SXotlje, weldjjrifjn in ber.©cfcrift: Formulae de 
serierum reversione demonstratio universalis signis 
localibus combinaLOrio-analyticorum vicariis exM- 

bita. Lips. 1793. p. iL, bie in biefer ?efj« afo ftafjtftfr 
änsufefjcn iff, Borgerragen (jat. (£« (Tnb barm jwei £Se» 
weife, gegeben, wooonjeüocb ber crfle bie $)tfferentiatr(cb= 
nung »orausfe^r. £>er Ejicr gegebene beweis wirb einiges 
Sigenffyumtitbe ^aljen. 

18. ©cfcon »or 9tof $e &it tttbc^ £. €. OB. (Efc&en* 
bat& eine- inbepenbenfe (Entwidmung ber UmfefjrimgfJ= 
reifte gefunben, unb, jebocfcoijneSeweis, in ber ©a>rift? 
De serierum reversione formulis analytica-combi- 
natorüs exhibita. Lips. 1789. »orgetrageit. @eine 
gocmej folgt unmittelbar aus bem jRoflje ,, fc& en @aije/ 
SJejeiäjnen wie nämlid? ^~ burd) >, ben mfen 25ino=. 
mial:<£oefficienten ber nten ^otena bw'd) (n,.)^ ober, 
wenn n ntef>rtf)eilig i|t, oud> bto« burd) (n) m , unb bie 
beftimmteri Kombinationen wie oben (7.); fo ift ttacb bem 
^ornnointartfieorem (tf)l. III. ©.834.835.); - 

, j*~"\<n + 1) = 

n .( 1J - i 

t a r »* - 

. . <-»^.)Pic '. h>)h& 
. + — p— 1 +•■■+— *—" 
für ben Seiger . 

/b, c, d, «,-f, . . A 
V.l. 2. 3, 4,5, . . .)• 

Ueber^aupt aBer l|i: 

<"" D »> ~ 1.2.3. ..m. 

_ + (n + M-l)(n + m — 2)..(n + l) n 
— 1.2.3..<m— lj 'm 



4oq Umfetmwa 

— liraättalwj 



Sota»* 



" f-r 1 3B-T- ! + : SiT— i 1 



IV+n — «— |.[»]Ol 



»«(16.) 

go(äli4»/ iaffc je&tsn: 



i(i: 



'*y + nJ""" a ' y + Ü3 o 



-v(^) r 



q r {n + 1) = 

j[i]G Cv+O.-MC PrtOt.ßlc] 



( V + n -i)_j.[n]C I 



weites bie(Efcben&ad)tf(be Sorntef ifr. 

19. (Efcbeit&atb. fatib alfo juerji bie mbepeiitrettte 
(Entreitfeluna. ber UmfeiicungBccilje. ©ett SJewei» wt* 
mfld)te er nidjt aflgemein gtt führen. ötotlje fuefrte t»n> 
felben, unb fambabef jugtetd) auf bte obige metfiDÜr&igt 
Sßecbiubuna. ber Umfe&rungecetye mit bem ^o^nomfaU 
tfjeorem. £>ie gönnet bte cr|iecn nennt man autb bie 
combinatorifcb » Qtiadjttfdje gormel, bie t>t& i'cfjtccit bie 
Xocalformtl jur 0te»erß<m ber Stehen. 3« bemerfen i)i 
je&odj no#, bag au$ Jpi n be nb urg bie Dvebuction bet 
(Eftbenbac&T^ett 0tet>erfton8fotmt[ auf- bas $ofijm>< 
mwlttieorem für ficfe gefunben t>ac, wie erfe£b|t: Proble- 
ma solutuni maxime universale sd serierum rever- 



vktihtyä. . 4oi 

sionem formulis loealibns et combinfltorio-analyti- 
eis absolvendam paralipomeaon. Lips, 1793. p. VUL 

SO. @<o, um (In Seffplri ja geJnt, 

fo ai<6( ber Sinomifa)« ie$rf«i: 

_j+jj , ■ • . 

p ■ " k(n + 1) ta 

' -.. (r+»')(r+''+0 — Cf+V+W- 1).) *~T-. 
±— ..2..3....U '•*• , * 

■.':±-*-|Ä|* 

Sotsti* ml<tir|t bet.!«a(fotmri noeb elnjgat Wcfcmtati. 
buetionen; 

-JLii _i+£ jt ." . 

v». V .-*. . •■,,■ 

3fr+«) 3J 

o.2a.3« ' 

+ . . . 1 — . 
21. »#af man nun bie 6W<bima 

■ ' A . B 1 — 1 , B — n 

fo etjitSt 114 , »etgficfKn mir oBytt alaenmitm (SMeSims, 
jfat y =i, t = l, b = |, «=-i, o + Jis 
— /*;,£ = — «■ — > = X — /*, teitbt: , 

r r— f r— 2p ' 

V = A T +iA » , + jä+J^OA .» ,. . 

. ' + rJl±2irJ£>ir+iiidA _r "B. + . . . 
»«im für y = 1 Idibt eine S55ut|d b« ®M*una, 



402 Wrf«fa*8S 

'^S+J 1 , . . . 
erMttn Wieb, 'imb fo bie Sfambettlföe 3M$e «W- H 1 - 
@.437.), »<90> term Siuxid .<wf ben Sirtifti: äKeibe, 
»erokftn wirb, »o fcerfetbe abet niiit 9<g«tnt, ol« be> 
»jtfui anjuW™ Jft. ,: 

. 22. 3nS3ejua auf bit Weil)« 

Antragt = « — jx* + i* ( — • •_ - = y = p. 

(Ei)c(omi!(tlt. 10.) fe4« tnon te =S= 1 , •? = 2, /? = 1, 
1 =s l'j fo jttbt bie £f(benbo(blf<b( görmel: 

- |[i]6-»(8,)P]ä + }<9,)[a]ä|y' 

', ; -|[l]C-H2.+ J),.p]C+t(2. t 3),.[3]cl ^ 



färben 3ef9«t ■ . 

(-f;+i:-!; + i::::)- 

Stbw, »ennfc, &, &, ic. ble SSmtmifllfiJK» 3<u)t<n 6fc 
»euten, (eodometeit. 17.): 

4(4-J)fe . V(f — pil _, 
« = mgy= i,2 ? + 1,..4 ' 



+*(2n + 3),.t3]C_.+i(3ii)»_,.WC ) 

(-i: + Iri:* *::::) ■■."'. 

rininbep(nbene«rcom6lnaforif$etau8bciKff»tbU(n+l)(e 
SecnouUifcbe Solji. einen «nbecn 5«be ttb @. 93. roef. 



«et 8tt1$ai 4os 

Jfir Mathematischen AblHmdJungert, Altona. 1822. 
23. 0<f nun »I*« folgtnbt ®Uldxm$ 91316m: 

= «■ + taf+' + a"+? ä + . . . 
50ti irfli Dtittyi wirbt bur# d> W« jwtift bunfc p bijei^= 
nel, unb z f'ctj eine, 6tiben SKiiftm glricbl ©cöfjl. 9ftatt 
foO x 1, nacb «poteitjen Don y enwicfeln. . Dktfo ber tacttU 
formrilll .■•.'■•' 

_i ' .z .ÜH r±£ ' • 
• . ^p •-«••+ r -|»» • ■>■ " 

*.-*»*■, .; ■»■ ■ 

+ '•>' ■■■■■ 

unb natö bim ^0tnnoailaft$toraii . ' 

« = q . «ly 

r + "* L±J5?b, + J, 
+ q »2y 

Liü? y + 'V+a, . 
+ q «3y. 

+ q .(»+l)y " ■ 

©ies, in bie w>ri<ji Dttif» fub|Wuitt, gilbf: 

1« «'.-« a I 

«i!q «iy +9 >2y +■■■ I 

i i., + mj, ( 

... + q" .1.+»/ +..... J 

6f 2 



.r^£- 



404t ttlttftftnfflft, 

— C- 1 — <a « * <J • " * I 

£t» ; 10.;+-., t 

■ •-.+ « " k»M)i " ■ +- I 

+ ^Jf~ "'IM-4 '■*» "' ' j 

t-£°t ' + •*., + a, I 

+.» ■ -?y 

f H-'-J t±Ä |ml, 

+ 5 "' <m+i)i 



>C IC. . 

Sfcft Steigt al«*tJ6i8t«»S»t j in btttt fdion ofcen (19.) 

angeführten a<l seriorumrevereioneinparalipomenon. 

p. in. , Km SBefentlic&en nacb eben fo, mit mit 2In»)«i> 

24. 8o(8Ho>f»ta=«,, J = J,s 

_i £ 

H-» j+f 

'. . +*,"%,.,•* ]/ +m 

+f£a* " ■»•' " "' 

+ 

nn& fär (J = t : 

UaLve^vGOOglC 



:_i , x j 

■'■■.■ _E±i' -EU 1 

+.4r» ■«■*•»■■■• 



405 



+ yP «1-5*3 

■ rH zu 
+ j^jP '' *•« " "» 
: _i±2. y*-2 • 



Sie« Iflbfe »»n ^tmpcl^off o. o. D. fcrttai&ftftS«ra.. 
3n»«3»ol»te'f(i!tnSotmi|ta=y = l. aifo 

«Äp-'«l.q-i.y 

4- tp-'«i.q«2 + 4p— »«a.q'-ny* " 

• + |p— '.i.,.3 + fp— >«J.q"i2 + lp-'»3.i['«l|y' 
.... +••••: . . , 

25. gf*en6a« unb 0fof$e <u.'OÖ. ^aJin n»(b 
'.^ + b,/-H) + .y<* +!B) +.-.. 



= .," + Ja»*'' + «' 



4»J 



Bttta*frt. SBan muj , am x' p;««wW<fo/ a, =ßf, 
S i =zßS\t^m, woran«: 

_J1 i ■ . 



+ 5+5'' * * i * " " 



406 Umt&tmg 

±v " - . £. ' i *+"> 
+ ,p. »*•» ■ 3 • ■ 

_r±i tu 

+ &»> * ja -«" ■* ' 

■ + ;&J» " *«' l| 

■+ 

eine eBenfalltf nad) fporenien »Ott y georbnefe OJd^c. 

26. er, »eitles in ben obtgtit Oieifxri oft 0(8 S>l»i|br 
»orforomt, barf m'cbr = o feim, b. (}. bie umjufefjrenbe 
Otef^e barf fein con|tan(e« Blieb enthalten. Sß«re inbt|j 
J.S. 

y ;=a+l» + cx> + .1»» + . .. 

fo enfreicfele man, ba 

y — a ss bx + «• + dx» + . . . , 

nad) bcm Obigen x nad) <pöten$en t>on y — a — y', unb 
entwicfete fobann ttacb bem binomiftten Scfttffl^e bie ehtjek 
nen J>o(enjen »on y — a. allgemeine Sotmeln für bie. 
fen gaB unrben fe|f iufammeti4,efeijt atMfaOtn. 

HL gufammetifrMcj trt 2aa.r«i8tfcf>eii @o6tf mit 
. »et 3te»erj»it See Keinen. 

27. ©ep juetfl 

y =s «s Jf.' bx' + ex» 4. äx« + . . . 

fo ert>4(t man, wenn biefe 9tei$e burd) 6c bejeicSmet wirb, 
leiebt 

— -»©• ■ 

©ie«, mit ber ©((ifjjutig 

y es x — «»«, 

. (Ja ©cange'« 2eljtfa6. $!)t II. @. 624.) wrgfid>«, 
flttfc 

jso.ibmibJj. 

-D^e^y Google 



Mt.atefcf* surf 

@«8«i wie mm ¥*(«,«. 0.) =z(fp*Y; f« lf} <m$ fy 
rs (yy)', 11116 foljff$ '•...'■.'■' 

»wau* ferner : • 

■— 1-1 ■ ^ n+y— 1 r?py ) 

_r_ g . fc+riCyrt , . •-'#1 

J+ft -'■ 

= r . g °~'f".^:-L :.r.. a-.tw/** . 

Scläli* tta$ bem.iaSto»jt'ßiMi©o8e {©. Mtftti är= 
tifrf. 11.): 

+£>■%$£■* + - 

+ rfe-- 



1..20J» 



r ffS- — rX53p * + f " - 

ntiOMgato für y, ut 
r«ibai:-aii(& y nnb fy ml 
non mit lud) t>« Siffi 
f» 



wenn man nadj bera Dbfjjen o für y, unb y für z fef}f. 

3ltfo f onn man offenbar .aiidj y unb fy mit x unb f x wr* 

tauften, wenn man nur mfy In SDiffcrenfation überall 

: o fefjt. 2flfo 



♦*■-«• * 



H4..;-5~^ 



1.201 

i r+3„ 






-v Google 



408 -UiM&ttns 

4B«aO na* btT.35l(f«tiittatii!tt i=o gffMäf; obfr, »mit 
ntany ftefaftbreifct: 

+ ?T2 iT5* — rt 

#rr+* -•>*-»% * 
, y M -y , / , , 

..;.-- + j$% l.2.a&> ?■+•■• 

28. Sfbtt ito^btmpotynomlf^tnJfMalse: 

aifo 

* I =* P «* + P «2-i+P *3*M •.' 

nift fotaB*, weil ■ : 

$•* $>..** _ '3b,,*-! 

■^-.«•»••«.äa? 2 =■'■•<»+ o« 

' *'j?"^ = •'•»■»— np~™«»+l)+i3..(.+i)p -, ".(«+2>i+.. 

8ot9UeJ(5ltx=o: 



1.2.3..HA» P 



.(b + <>. 



aifo, »tiliw* Ixt Steigt fuc »TT offntte x>y-':= 
p->Mift, fätx = os • 

+ fe-^^+^n^*^ + • ■ ■ 

, 29. ^üc 

T ' *= ■* + *» ' +, «* '.+ ... ss p 



b«t Striaen, 40» 

*"■■■*: ..•' ' 

P ■• . * 23 

j = > (. + bi +«_+.. .) 

g.. . , 3 

«6 i ' 23 T 

. J a,(,+li + ex ■+...) 

3 23 33 

= Ax + Bx +Ot - + .... 

«In« gorm, mO>t b<r »olonomifcbe Jebrfenj recbfferfisf; ■ 

» = «,]=»: 

v = Ai + Bu> 4. Ca 1 + .. = P. 

golgflcb nacb (!8.) 1 .■.-.... • 

■/.c.+l>=^p--*-»,(,, + 1>.>' + \ 

@«4«it »fr min 3' = £ j fc I(i 

£ £ : 

y 3 3 y <■ 

» =(. ) =x , P. = p I . 



yt«« «y+»« 

AOl + Oa^gF "* .(.+1)J * 

bic 3!i>r6e'f$e SccHfitml 

30. 3>!<fe aHetunj bief« »Icprlcjm gortttel ans bem 
2a @rana.<'fä)en @aje)(f »on 3' ?• $f«ff t urt C 8 e 8<" 
den, »ob'ucdb |td) lerfelbt «in ntfentitibe« SDtrbienfi um 
ble 2eb>e von bei: Äeitjenumfebrung erworben fat. 2H. 
f. 2Ircbit>f«r reine unb angewanbre Sttatbcmatif v. #in? 
benburg. 26X1. €.85., »orjügti* aber (n tPfaffs 
Disquisitiones malyticae. Heimst, 1797. ble trifte 
2ibbanbtung, wetpe |icb überhaupt febr außfütjrtid? über 
hu <poü)nt>ml«ftb:orem snb Sie SXeuecfton bei SKeltjtrt nc< 



410 Urafejrnna 

Breitet. Bemerft mnfj jebodj werben , tuf au* fcbon E. 
S. gifdbtc (1b,eorie Der ®mien|ton«jtici)ett II. £aO>. 
1792. ©.171—176.) t>en 3«farnmen&OTg ber Steuer. 
fion bir D£cif;en mit bem &ätange'ja>n ®ujt im äOgemil. 
nen gejeigt $ot. 

, 31. (Bibüd) fjot nun au* OJoirjt CSt&i». b. r. u. 
ang. SR. I. ©• 442.) umgefejirt aus tue Soralformel für 
fcie Dienerfion Der Stellen ben !a Srange'fJ"" @o$ abge- 
leitet. @en nani(ia) 

y = x — vpx, » == y + «yx» 

über, wenn man zy* = v fegt: 

' = ' + '• , = ^T^' 
8o(gßcfrnaa}b<in&!ilor'(e&niea<se:- 

Soigliä) nacb ber Jotalfornrel jur RrWfwtf» Steigen: 

6a t)l« «e = /?'= — 1, Jssllf., Obm «WI( man 
ober offenbar <>(y + v))", wenn n»n Infaiy)-,. y+v 
für y fcQr. SUfo nacb beert Saofor'fifcn ©a|e: 






a..( W )- 



aber V 1 » s= y<y + *) = 

3» blefe 3ielf)e muß nun nun, um yx Ma> potenten 



wn 7, tu enfmfcfeln, th iporenjen t>on v, beten aHjemefc 
ne« Slleb fo eben jefonben, fesm. <St ift ober 

». r = 2. 2 + (n — 2) =sa ( 
w .y =s a — 1, u -j i + i — nj 

ii r=*»i »-4-«s=a. ■ 

aif« «f «tot 

n l..(n— l)(5y-i l.^ , 
. ' »>— '■(«)' S'yy . 
T n'l..(">-2)öj"-"'1.2Sr" 
. S <?"-». for)* fl J y y 

T »■i..C»-3)ör-''i-a.3<)J! 



: +nr — -gfSt—^ 

(n - l)[a — ;| .)— .( W j. S> V7 

+ <«>•%?• ■'■'•■ . 

©(«( man «berm b»!elbnujlf4>en Stelle (tft. I. ©.903.) 
für ä« ,'xy-ta« borttge x = (yy)», y = %- , unb ent. 
»ufefc e- :< .i y j f täjl&t man «ii9ot6«if(ia>: 



ja— 41. 3v 



tu« alamieme ©Heb ber Sa ffleangeftfen Oteftje, wie 5M. 
IL @. 632. , »omtt g(|i> blife Steige bcwiefen. 

lieber ble SBerblnbusa. b« 8ttwc|ion«ftmu[ mit im 
Sa6range'fd)en©aSe f. in. aucb einen äuffas wn £ln. 
benburg im Statin b. t. ». onje». 3». II. @. 359. 



412 ltofet)rimg 

IV. Sfonmtbtmg Der 9tmt(toti«(iwmeIii auf ti 
, . StojföfnttB ber ©letc^ungctt. 

32. @e» 

p— i p p+i 

oai+b + .. + ii + kl + lx + ...+ta» 

irgenb eine @leia)ung be« nten ©rabes. hieraus t:W 
man , »oraußgefeijt baß k nicbf = o ift, Webt; 

— k = «x +bs^^+...+ fa +1» + ...+»» 

-» . -»-» . -■ , >■•'•*» 

k = — ax — bx — . . — u' — Ix — . . — mi 

3toa = — p, (3 = 1, J = l unb l y = + kerp 
man burä) Umfer)rung eine nacfotpoeenjenvon+kgeNt 1 
nete Steige für x, von benen bie eine ober anbete &# 
bcrs btambbar feint wirb, jenacbbem k negativ ob» p# 
ti» ifi. SBion fanu alfo mlttetfi ber SXevetjtat btt ffitf* 
immer wenigsten« fo viele Oieüjenausbrucfe für bit writ 
Tannte StJjie einer ©leicjmng finben, a(< in berfe(tai& 
efjicienten vorf ommeu, bienidjt = o|mb, filr j*t* 
ftanbige SMd)ung be« nten Stabe« alfo n + 1 , eine jjety 
reelcbe flcb jeboifc Webt auf 2(n + 1) fteigern tagt, b> 
man fotvor)l bos niebrigffe, ata r}ocb|tc<31itb bet ©(#«>) 

" ol» SInfangsglieb betracbten fann. 3<be @(ei*»iiä w 

' nten ©rabes t)ac aber immer nur n 2But)e(n. Stlfo «# 
fett Unter tiefen Steujen glticbe »orfontmen. & i|i * 
gut, ft)re Äja^l vervielfältigen ju tonnen, ba bei bet* 
tvenbung auf nunterifcbe Stecbnungen ble §otm bet 9tti&A 
Webt gleicbguftlg ift. ©urd) iDivifion ber 8ftl*nj M 

' einer foleben 3ar)I, ivoburej bie ^rogtefftotialafop' • 
edjeer Srua) wirb, Uft fkf) bk Eonvergenj btr»F 
fungereir/e vergrößern. So erneuet hieran«, baf*«"' 
feb>tng ber SXeibai be» SKamen reeolutio aeauntu»»" 1 

. per scries verbient. ' 

33. @eo 

9 SB» + bx + ««■ , . 

eine von bei» ©liebe mit» 2 befreite eubifebe W** 1 
(Sfeitbung. 204.). 3ite bte gorroe» 



tot SXei&m. «3 

afjkXt man borcb SRmttfon mittetfi bec Sacolfaraitl:; 

*~ b + b* b' +- Ei»" ~bM~ + b" + "' 

~343«Ub/ ***6ä61e*la/ "'" 
'-l) -4-^) "KV"*) MV 

inbem itämlid^ für bitfe brei Sonnen : 

y = — ^. , > ä 1, « =3 2,' * ss — 3; 

omcEj / wie $ter Imme. r y = 1 ju fegen ijl. 

34. SEBenbtf matt biefe Steigen auf bie im Wttittl, 
CatbamJ DIeget. (10.)/ als ©eifptel gebrauste ©tei^ung : 

x 1 — 2100« + 24000 = 

Ott j fo et$Ut man burcb bie er|?e tinb britte obige Oteflje : 

T = + 11,4286 { I ss + 45,62575 



+ 0,7108 


— 5,71429 


+ 0,1326 


— 1,06878 


+ 0,0330 


. — 0,08863 


+ 0,0094 


— 0/W226 


+ 0,0029 


— 0,00002 


+ 0,0003 




+ 12&1K 


+ 36,95177 



Sie jteeile SXeuje siebt * = — 52,439 j fl« coiwaglrt - 
aber w brltten ®(ii6 an faft gar nfibl, ba$er i(l t«8 Sit. 
fiiltat luifidxr. @e(t man. ob« bitfe britte SBurjel = 
wj fo f)at man (Steigung. 151.): 

— 12^176" — 38,9518 — w = o, 
13,3»«-38,9M8. ws — 24000. '. 

• : . .".■;' ,; Xoogic 



= 1 + 38,95 
( r- 50,64 



414 Itm^wnä eine« ©«je«. 

®kfi Wiiä)m$m$<bmt ' 

«|:Bl-*«i 

uh> man .b«t (eljtett ©errf» erhalt, wenn man aus ben 6fü 
ben erflen baß SKitfet nimmt, Jpiernaek, unb nad) $«. 
bans Sieget. (10.), fmb alfo fcit s^uefcren SEßurjdiu 

- 12,3176 I + 12,372 , 

IsU 38,318 
0,6455 , ( — 50,690 

wo nur bte jweiten ftben in Den ^nt^dlm wn einanbtt 
abweisen. 

Urnfffcning eineS ®afce6/ if? Me Wawtäfc 

timg 'fctr SQotouöfeftung imb Folgerung, ober £m>otf>efifl 
mtb Stjefta, mk eittanber. SBeifpicte bietet bic <ElemtB= 
tatgeometrie tn-fDienge bar. S)ie SSemeifc ber umgefef)r= 
fen ©äiäe ' »erben oft inbfrect ober ar-aaogifdj flefü&rt. 
3>er eitfte ©runbfa$. bes (Euelibes, bejfen Seroeis in 
Der Seljre »on ben ^Parallelen 6efanntlic& ©c&roierigfeitert 
ma#t (parallelen. 2.), ift eigerttti* "We Utnfe$rang von 
&lem, Lib. L Prop. 27. 28. flBtim cinaunbb auf« 
geljc; fo gefjt c audj in a + b auf/' ift ein befanoter, (eiä)t 
ju beweifenber, aritijmefifiber ©a§. ©er umgefeijrft 
©ag: wenn c in a + b aufgebt; fb geljf c autb in a unb 
b auf, würbe, fo allgemein auagefproeben, offenbar falfa) 
feon. i «Dtan fieb> a(fo, t>a$ niebt ade ©äi}e ft$ umfebRtt 
(äffen. ®aß2Seitere unb allgemeinere hierüber iflganjber 
Sogif ju äbertaffen. 2M* fc er üttat&ematif brauet man 
niebt im allgemeinen ju wiffen, we(a>e ©alje fid? omfeljs 
reo (äffen, ba alle umgefeljrte ©afje betvfefen werben, wie 
aucb<£uclib immer f^ut. Les re'ciproques delaGe'o- 
me'trie etc. par Garnier. 2icme e'dition , Worin fett 

nmgefe$etiR ©% ber ©eoimtrie gefammett finb, »erben 
Anfängern j U einer guten Ucbung in ben Elementen ba 
©eometrie bfenen. - , 

Umf$rfd6me $i$Ut. Sine »on gerabot Snien 
ober ebenen giatben eingefebtoffene gigur (f. ben 2lrf.gi» 



umffcrkfcra Inswitö. . «i 

8Ht)5«igt«ii«, »on, einer ftownen Slnie öber-fa«miten 
glacbe eingef<b(e#Mien, gigur umfcb.rieben (oircomscri- 
pta), »ena alle Seitenlinien ober@elren|Hcben »et erfter« 
SStriHjr.enbe bis Umfang« oiet ber ßberflät&e Der (tljtatt, 
>elebebann ber erffern eingetrieben (mscripta)$ei|if, 
finb. '3n bem nacb 38olf benannten matöematifeben 2e* 
jtoiiCJ$£I. ©.1367.) Seifen er|Iere untfebreibenbe, 
feiere n mftbritb ene giguren. (Elnegerablinlge ober eine 
tioo ebenen gJäcben ttngefebloffime Sipr beift einer gigur 
«onberfelbenftrf Umtrieben, unb (entere ber erfterrt 
etngeftbrieben, wenn alle Seiten unbSeifenfiätben ber 
trftern bureb bie Sptfjen unb Ccfen ber [entern geben. 
SSas* bem #npfifles beigelegte, funfjebnfe Sucb bec 
Elemente banbelf »on ber (Eintreibung ber regulären £ör= 
per in einanber, unb autb in bem von .(Eanb älla binju» 
gefugten' fetbsjebnten SSucbe tommen mebrere ©ä&e aber 
bie bei foltben itirpern ftatt ßnbenben SJetbaltniffe vor. 

Umftim'eBene fytypet btl, (HyperbSu dmim- - 

scripta) nennt SUreton bei feiner Slufjdblung ber Sbtit» 
ber brüten Orbnnng eine befonbere @atfung ber Sinien bie< 
(er Orbnung, worüber ber Slrtiftl Injpecbtl b66trtr 3Irt 
Jn weghieben. 

UtnnxmMtmg, f. ttmfurtnrotä. 

Unab^ngige »ertiiitcrlicJcOröge, f. 85er. 

änberllcbe ®rö|je unb £3eränberung ber unabhängigen »er= 
änberlitben Brofje. 

Unavfföe fommetriftbe §utirtionen/f.@»m* 

metriftbe gunetum. S61. IV. @. 861. 

tlllBegvänjt, beißt eine »nie ober Slätfe, wenn 
matife ffä) »ülfubtlicb wr(ängert ober erweitert benfen 
Fann. 2>ie ©ebenfei ber Parabel unb Kerbel Pann man 
fitb als unbegränif »orffeilen. £Xt glacbe bes Greifes wirb 
bureb feine $etip&erie begränjt; eben fo bie gOipfe. Sine 
Sinirwirb immer bureb jreet fünfte, eine gliche buttb 
Sinien begränjt. S)ie @ei(e»fta$t bes .Segels, bes para. 



416 ifctfcfiumfc "©fieber. 

bttlifc^cn unb fcwerbotiftbett Äonoibö, fönn manfwb als an* 
begräbt wrfiellen. SRit bem 33egriffe eines geemettifeben 
Äorpers ift immer unmittelbar bie Starfteßung ber SegrÄiti 
jttng (»ott Slawen) na# atfen@eiten bjn berbunben. - $>et 
völlig unbegranjfe \£örper wäre fefn.Rorper mebjr , fonbern 
&er9taumfe(b|t. 

Unbcfannte ©liebet' ein« ©leübußg finb bfc 

©lieber berfelben, »elc&e unbefannte ©rügen entbatten. 

UnBef annte ©r6§en in einer ober mefitmn ©fcfc 

. ebungen finb biejenfgen in benfelben »ort ommenben ®rößen r 

wetebe mittetfi ber in bec Aufgabe gegebenen ©rifjen, tmb 

; mit Jpötfe bee ©teiebungen felbff , ben 33ebingungcn bec 

' Aufgabe gemäß , roeldje buccb bie ©leicbungen anatgtifa) 

. bargeßeOt werben, benimmt werben foDe». SÜtart bejeia> 

net bie unbefannten ober gefuebten ©roßttt immer bura) 

b,ie lejjfem Keinen (afeinifc^en Sut&fiaben x, 7; z, v, 

»,..../ bie gegebenen ober bekannten ©r&ßen bagegro 

burd) a, b, c, . d,.,.., obgleich bei weitläufigen Slufgas 

ben juweiten aueb notb anbere SSejeicbnungen nötbig wer» 

-ben, bie ft<b aber immer tetebt ergeben, unb nur in jebem 

Satt; miglitbft einfadb unb naturgemäß ju regten finb. 

@ofl bie Aufgabe benimmt fenn-, fo muffen fta> aus ben 

SJebingmigen, beren (Erfüllung fle verfangt, immer eben 

fo »tele. ©Teiebungen ableiten taffett, als unbefannte ®r&* 

gen gefugt werben. 3(1 bie SlitjabJ ber ©leitbimgen fiel« 

ner als bie 2in jafjl ber unbefannten ©rftfjen ; fo tfl bie 2faf» 

gäbe unbefiimmt (©. unbepimmte Aufgabe; UnbefHmmte 

Slnatntif), unb fte b^eift meljr afe bepimmt, wenn bie %u 

sat)t ber ©leicbungen großer iß aU bie Slnjaijl ber uftbe> . 

. rannten ©rofjen. @. SBfofcfcbetnHcbfeittrecbnung. (T7.) 

Reiben alten, Ramentlicb itatiamfeben, ^llgebraifienljiefjbte 

unbefannte ©t60e in einer ©teiebung cosa, res. 35as2Sor£ 

würbe entroeber ausgetrieben, ober ein ^titym gebraucht. 

Unbenaimte Safykn finb fottbe, bei benen bie 
SIrt ber<Eim)eit, aufweiche fie fidb, bejie^en, ganj unbe> 
fifraint gelaffen wirb, bei beneu e* nur auf bie 3Renge ober 



'.-,,■ ll&fcfliuintfc 20töt$tif. 417 

3fo$aljl iftttt (Smljjiten, nk&f auf berat befonbere 2te 
fcfraffenijeit anf ommt. 2>urcb Söerbinbuttg einer unberiann* 
sJatjt mit einet gemiffen (Einheit entfielt eine benannte %a% 
<äo i(I j. 93- jn>Mf eine ungenannte galjl, unb s»6lf S,b> 
ler eine benannte $ai)i, wefcbe bura> bie SBerbitibima, ber 
ungenannten 3$l jw6If mit bem %haU? als (Einheit ent* 
fieljf. Unbenannte Sagten Reifen au<b abflracte 3abjen f 
ober «|ablen in abstracto; benannte Sagten bagegen con= 
c'rete Sagten, ober 34* en in concreto. ©.gabj. 

UnbeftimmtcStnöTtjtif eber anafyft«, (Analysis 
Diophantea ; f. unten bei ber $efcbjä)t«.) ifl ber ZtyU ber 
2Ugebca, weiter (id) mltfeerSufWfung unbe|timmfet, b. i. 
foldjcr algebraifdber Aufgaben befcbiftigt, bei benen jut 
SBefitirtimung ber unbefannten ©töpen weniger ©ttic&ungen 
als unbefannte ©röjjen gegeben fittb. ©olcbe Aufgaben 
ubertaffen alfo immer einige unbefannte @r'6(jen ber ttiff= 
füfjr [id&en 2tnnab,me. ~ SEÖärert nimlicb m ©röfjen aus 
m — n ©lefctwngen ju beßimmen; fo neunte mau n un> 
fcefannte ©roßen wiütityrlicb an, fege ifjire SBert^e in bie 
gegebenen m •— n ©leidjungen/ unb befHmme aus benfeU 
ben bie Übrigen m — n unbefannten ©rSpen nadj befand» 
tcn QKetljoben. T>a man für n unbeFannte ©r&ßen um 
enblicb viele »erfctjiebenc 5Ö3ert(je annehmen fann; fo giebt 
« aueb unenbfieb »iele 51uflöfungen ber t>orge(egten Stuf, 
gäbe, ©tfcr beftfcrimf t wirb aber bie Snjaijl ber Slufföfun* 
gen, wenn man nur natö benen unter iljnen fragt/ bureb 
welche bie unbefannten @rä|jen in ganjtn, au<& poftfi»ett 
galten, ^er, bei einer gewiffen Ätaffe mm Aufgaben, 
»enigflens in. rationalen Sagten gegeben werben. 3>iefe 
ShiflÖfungen, nfcbt etwa burc£> Shisfonberung aus ber un= 
enblicben SWenge aller auftöfungen, fpnbern nadb gewiffen 
beflimmten 2)letb,oben für (iä> unb nur allein, ofme Dvücf* 
(Icfct auf bie übrigen ju ftnben, bie« ifl bas eigenttiebe ©e. 
febäft ber unbeßimmten 91nalijrtf unb barin htpl)t ib> 
SBefen. 

1. ©en 



418 UnUftiwatt gfaotyfif . 

tote aSgemetne g«tm ein« ©lei^ung bei erflen ©rabe« mft 
jwti unbefannten ©röfjen, wobei offenbar aojuneftmeu 
; tterffattet tfl, bog a, b, c ganje Stielt, unb unter ft"c& 
9>rimiaI)leR imb. ©oll biefe ©(eicbung in ganjen 3<>r)len 
auflösbar fenn ; fo muffen a , b für fidb relative <pcim$<u> 
ten fenn. SEB4re- totes namtiä) mebt bergan*, fonbew 
a 5= aa', b = ab'; fo wäre - 

ai — b y = a (a'x — b'y) = o , 

unb folglich aueb c bureb. a teilbar, atfo a, b, c nicht re* 
latfoe $rtmjaf)len, wie ts boeb feijn folf. Sern« erljeüef 
leitet, baß bie Sluflöfung urifercr ©(eicbung in ganjen 3#. 
, ten fieb auf bie 9Iufföfung ber ©Jetcbung 

np — bq = ± 1 

in ganjen ^aljten rebucirt, weit man bann offenbar nur 

x =i + pc, y b= + qc 

ju fefjen brauet. 3)te 2Iiiflöfung festerer ©fcic&ung in 
ganjen 3ab>n ift aber immer mögücb. 3Han »erwan&te 
namtieb -| in einen Äettenbrucb (@. biefen 21«. ■!.), unb 
bejetebne befpn »Orienten fpattiatu)crf$ burtb. £; fo ij? ; ba 
£ ber lefcte $5artia(werth; Ijt, ■ 

ap — bq := + 1 

(•fietfcnBrurb. 6.), wo batf obere ober untere Reichen jtt 
nehmen, jenaebbem bie' %niai)i ber ©lieber ies Äetten; 
bruebs ofme bie etwa in ihm enthaltenen ©anjen , gerate 
ober ungerabe if?. allgemein etifät man nun, tvtmtm 
irgenbetneganie3a^lbejeia>nef, furx, y bieSEBettlje: 

xi= + pc -f. mb, y = ± qc + "»i ■ 

wie tetebt er^eöen wirb. Sie paßten a , b fann man im-- 
met pofitt» nehmen, ba bem x unb y fetcfjf fettes Rieben 
gegeben werben fann. 

,2. ©oft* man j. 83. 100 in jwef %fy\h ffieilen , fo ttf 
ber eine, bureb 5*it)»birt> 2, ber anbere, burä> 7 biw* 

- toi«, 4.jum Slefie Utft; fo fmb bie beiben tytitt wo ber 

- gorm 5x + 2 , 7y + 4, unb bie ©feiebung iflt 

Sx -f 7y = 94, 5x — 7y' = 94, 

fury=— /. SOerwanbett. man nm '£ in einen Äeft 

,: ,GoogIc. 



' ' ItafofHmmtt. Sfoolptif. 419 

. tmivai); fof|i btr-jtwite, a(«»or(ejter> $art!afwertt) = 
#. gelgrKbp=3, q = 2, x = 3.94 + 7m, /= 
2 .9* + 5m, ober x = 282 + 7m, y = >— 188— 
5m. S3er(a»gt man nun bloß pofitive aBerfije; fo muß 
man m negatiD nehmen, unb e« muß 7m < 282, 
5m > 188, b. i. m < «f», > H« fe»n- ©i« giebf 
für m bie Srtiijtn — 40, — 38, unbman.errjalt: 

x = 16, 9, 2} 5s + 2 = 82, 47, 12. 
y= 2,7,12; 7y + 4 = 18; 53, 88. . 

31(10 giebt (8 btei SfaflSfungen ultfertr Slufgabe in ganjen 
pofitiMn siafjta. 

3. £>urä)'.$iniufugung einer gewiffenSebingung fann 
eine unbeftimmte Aufgabe in eine heftünmte »erwanbclt 
werben ,, nie j. 95. beim fotgenben Saite. £ine 2$iuma 
Bringt Eier ju SBarfte, mer,r at« WO, weniger a(» 200. 
Ueber}4Mt(iebiefe!bennaci)15, fo bleiben ir)r 4, uberjaM« 
fie biefelben aber na« 12 , 10 (Ser übrig. fSSu tiefe (Her 
tjarte fie? $>le SieRbung i|l 

15x + 4 =i 12y ■+ 10, 15x — 12y = 6, 
5x — 4y = 2. . 

See »orle«tt SBertl) beoÄettenbrud)»' für | i(I=f Süf 
p=l, qrsrl;' unb foiglicb X =2 + 4m, y^r 
2+ 5m. aifo 

* = 2, 6, 10, 14, 18, . .i 
' y = 2, 7, 12, 17, 22, . . . 

15X + 4= 34, 94, 154, 214, 274 

SoIgIio5tiegefucbte3ab!l = 154. '. 

4. Jjatman jroifcbra nSrSjjen x,y, z, T,,'..,»— 1 
gHetcbmtgen »on ber gornt: 

■x — hy = c, »'« — b's =3 •', »"* r* b"» = °", Ifc 

fo giebt bie erfie ©leic&wig ftex einen äBerfr) »on ber 
gorm: 

Xraa + b;». 

SMefen äBertt) fe&e man in bie »weite ®!eio>mi3, «nb 6e« 
ftimme ep. ' 3ilfo 

»=..' + >>>■ 
SJie« in benStobrutf fürxgefeijf, giebt für x einen »»& 
»on ber Sorm: 

■ .-■ ■ „IM»* 



420 UnbefHmmCe 2foa»>tit 

x ss A + By>. 

©iefenSHJerfr) felje man in bie britte ©(eidjung, unb befrinu 

nte vv woburdj man credit: 

V = «"+b"X. 

©teö m ben »ortyergeljenbeti'SBJerrfj von x gefeijf) giebf: 

x = A'+ B'X. 

SMes wirb Wieber in bie trierfe @leid?ung gefegt » imb f© 
fortgefahren , bis ju (Enbe. §at man nun babuvdj ben 
allgemeinen SBertr) t>on x gefunben; fo (ft es, mittetft bet 
gegebenen ©leicbitngen, aud) (eid)t, bie übrigen unbefantu 
feit ©röfjen ja befrimmen. 31Qe ©(eidjungen muffen im= 
mer gehörig rebucirt werben. Jjbaben nad? ber Svebuction 
bie Soefpctenten b« beiben »nbefarmten ©r&(ien in irgenb 
einer ©(eidjung einen gemeirtfefraftücben Factor j fo tfr bie 
Aufgabe unmöglich , b. b. in ganjen ^abten nie&f auflösbar. 
5. Off laßt {icb bie 2Iuflöfung abfärben- 3Han jbS 
j. S5. 3<u)len flnben, weld#/ bureb 2, 3, 5, 6, 9, 10, 
11 btoibirt-, nacb ber Steige bie Dtefle 1, 2, 4, 5, 5, 9, 
übrig taffen. £ier i|t ffar, bog, wenn bie breiten 
©ebingungen erfüllt fmb, es unmittelbar aueb bie frier er= 
ftert feini werben. SEBegen ber brei legten S5ebingungen 
r)at man nämlicb: 

9r + 5 = 107+9 = ii*. ■ 

Sefflti* 

■^- 9 = 2 y+ l + {. 

gernet «rbMtj man lefebr 9x = lOy + 4. 3«fo gefjt 2 in 
9x, folgli* autb in x auf (@. 3at)t. L 5.), fo- baß x = 
2x', unb folglich. 

_^_ = . ^_ _ 3 x + $, 

fo bafj alfo aud? bie vierte Sebingung erfaßt ffr. • SMfo b>t 
man btofj bie beiben ©feidjimgen 

9* — lOy = 4j 9* — llx = — 5 

ju erfüllen. 

- " , Hai.™;™ Google 



«- — 4 + 10?. 

£>ieg, in bie jwetfe ©Wc&img gefefct, giebt: 

90j> — 11* = 31. 
U = £+1 , £ = A. P = 5, * = 41; 

f =— 155 + 11^. 

gorgn*oc= — 1554+ 110y. ®%üt$t man negatiöe 
SOertlje aus ; fo iff minbefren« $ti feljen y = 15. SDies 
fliebi : " 

* = 96, 206, 316, 426, 536, . . . 

SorgUcfr bie fteinffe gefu#fe %aty = 9 .96 + 5 = 869, 
unbbiefofgenbe =9.206 + 5=1S59, u.f.f. 

Aufgaben, bon ber Slrt ber fo eben aufgeföfeten, Ijat 
Slaueberg (£>emon|frafi»e Dtet&enfunft. §.1366.) eh 
mn Ratten knoten genannt. (Erlcidjferurigen b*fonberer 
5Sr( geroa^ren babei bie ctjtiifäm ptriobtn (©.' tiefen ^rt. 
19., eine 2!bfjatib(img »on Jpinbenburg über bfefetben 
im Seipjiger fDlagajin. 3iee ©futf 1786., unb ein 2Iuf. 
fa§»on?öbirf( im SIrcbit) ber r. u. a. SMart}. Snb. IL 
©. 206.) 

6. fSSlan tarn unfere allgemeine Aufgabe aud> auf 
folgenben 2Iu6brucf bringen, Sine ^aljl x i« finben, fo 
baß bie ©eigen 



gans* 3#en »erben. ©e$ j- ©• * fo i« Üeftotmett/ baß 

121» — fl 9x + 1 27*— _11 
5Ö5 * 35 ' 16~ 

ganje^alifen »erben. ©a,»ennic&eeinje(nemeIjreKrPrfm=. 
jaulen m einer >Jafjl aufgebt, aueb; beren ^Jcobuct fn biefre 
3a^Iaufge(jenmuß(3a5t.J.9.); fojerfegeman, weil in bie= 
fem Safle bie Strntifr $iemU4> groß finb, fie in iljre 9>rim* 
fäcforen (504= 2K 3». 7, 35 = 7.5, 16 = 2*) 
unb nwtfce bie 23ruä)e 



422 . tttt&eßtmmte €(n<%fff. 

ns gangen gaftfen. ©onbert man ttutt He ®an$en burcfc 
JÖivifion <xü$ j, fo erneuet, baß man nur 

' x ~ * ** ~ 5 "* + 1 2 * + i 4« + l » — 1 
— g— i — g ■ » - 7 " « 7 • 5 »"ÜT" 

ju.ganien-Ja'fjUn gu macbcn brauet. Site erft>35ebingung 
ifi in ber legten enthalten, unb bie britte unb vierte finb ei. 
nerlet, 3Hfo brauet man nur 

• * x -* 5 2i + 1 4x + 1 « ~- j 

. , 9 ' ~~ 7 ' 5 ' 16 t 

au ganzen Sagten j« madben, woraus fic& fofgenbe ©lefe 
4>ung«n ergeben: - 

4« — 9y = 5, 2k — 7i == — i.to — 5t= — 1, i — 16w ss 1, 

. ©ic (eftfe giebt für x bie gormt 
unb bie«, in bie briffe gefegt ; 

64y— 5v=s — 1, ■£• = .&, p = ij 
p =a 5 -j- 5V =* *Vf * = 8°v' + i .' 

Solgticb, nitttetft bereiten ®leict;ung : 

*60v' - 7* = - 3» £ = A, ff =5_lj 
y' = 3 + 7X, x = 2*l + 560X* ' 

9flfo, mittetff ber erfreu 

2a40X_fly=.-959, -H-«,!,, p = li ' 

"X = 959 + 9w, x = 537281 + $040w. 

SÖiflmanben Heinjten pofttiven 3Be«[> von x Ijaben; fo 
muß man w = — 106 fe^en, woraus x =js 3041. 

7. 3uß ber bisherigen Sbeorie folgt' 'au* bö*' wichtige 
arifljmetifdje Sljeo«m, baß, wenn B = ab, unb; a, b 
relative ^rimja^ten finb, ber 95rudj •£■ immer in j»eii3nl= 

*& e T + "f* m ' ( &ttt 2ß enncrit a » b S^ttegC werben fann, 
weit man nur bie unbefHmmte ßHeidbung. A s= bx + ay 
oufjutöfen braucbf, wekfeeg immer mogfltfr (fty ba a, b 
relative sprim£ab>n finb. Ratten a, b wieber foKjje Sac* 
toten, fo Wjjt jicb bie Verlegung weiter fprtfe^n. 



, ■ ItttfefHmmfe '8Mptf& 423 

• 8. : £af man nun überhaupt m — 1 ©tei^ungen m (t 
m unbekannten ©rÖfen , j. 2J. für m = 5: ' , 

Sv + Ai + ( By + C»' + Du = E, 
Jf* + A'x -f-B'y + Ca + D'u = E', 
■jf V + A"x *- B 'y + C "« + D"n = E', 
W."* + A'"* + B'"y+ C'"a + D"u= E""; 

fo beflimme man x, y, z/ n burc(> (Elimination ans Öen 
©fetifeungen: . , . . 

Ar +,By + Ca + Du = E — Äv, 
A'i + B'y * Ca + D'« = E' — 3Tt, . 
A"x + B"y + C"a + D"n = E" —V't, 
" A~x + B"y + C"'a+D"'u = E'" — Vr, 

woburcb; man ^fosbrutfe t>on 6er ^omt 

— Mg — L . _ MV— L' __ MV— L" ^_ M"V — L"' 

erhält. ' 3>ann beßimme man (6.) v fo, tmg tiefe SBerf&e 
üon x, y, z, u gartje. Sagten werben. ©U Aufgabe 
famt unmöglich werben, wetcfeeß ficb beim legten StjeüV 
ber 3Iuflöfung jeberjeit jetgen wirb (*.)• 

S$at man m — < n ©ieicbungen mit m unbefannten 
©röfjen; fo. neEjme man n — 1 unbefonnte ©rSjjen a(r . 
Utannt an, unb Bringe bie ©tci^ungm auf bie vorige 
gorm; fb tjat man m— n @(eic()ungen mit m — (n — 1) 
= m — n + 1 unbefannten ©röfjen, bie man nun wie 
. vorder auftöfen fann. §ör bte aiß befannt angenömme* 
nen©rößcn fann man bann äffe ganje^ten fe^en. Sflut, 
wenn bie, gefügten ©röftm aufy alle pofith) fenn foltfen, 
würbe bitß nocb eine 35efcS>rinfung erieiben, 2Wgemeirie 
Formeln würben fWbnur mit großer SÖ5eit[iSitftgfeit geben 
laffen. (Einige Seifpiete »erben ba* ©efagte beutlia) 
macjjen. ■' 

, 9. Site gegebenen ©ieicbungen fetjen j. 33._ 

3s + 5y + 7» = 560, 9x + 25y + 49t = 2920; 
3s + 5y = 560 — 7a, 9x + 25y = 2920 — 49a; ' 
7a — 3» = 60, 14a — 5y' = 620, 

wenn man y = — y feijf. £>ie tr(?e ©(eicbttng gitbti ', 

i = 60 + 3ü> = 3.(20 + y) — 3f. 

SJieö, in bie streite gefegt; ■ . . , 



424 Mefftmmfe 2foalpt& v 

- .42»' — Sj* =s«20-, 

• g>' = — 1240 + 5v = 5.{— 248 + y>) ' = V- 

gotglicb z s= 15y', unb mi trefft ber betten obigen ©let» 
cpnngen:. , 

z = 35y* -*- 20, y = — y* = 124 — 42y'. 

SBiB man nur pofifi»e SßertEje ; fo muß fei}» 

v' > o. *■' < W. 
b. i. v^ > o, y' < 3, a(fo bloß »/ = 1, ^ == 2 - 
S)i«*giebtt 

i =s 15, .y = 82> « == *S; *'=50, y = 40, « = 30 

für bie m&glicben Slufföfungm unferet Aufgabe in ganjen 
Hjtfoen ^a^ltn. 

10, ■ Jjat man bie ©tdcbung 

5« + 3y + 7i = W; 

fo <v§&U man für y = — / : 

5*.— 8y* = 50— 7i, .2- — h p = 3, q =- 2. 

3>te 2lnjaijl ber ©lieber be* i?etten&ruo>s , ofine Dviicfficbf 
auf bie ©aiijeti, iji ungerabe. 2Hfp 

z = — 3.(50 — 7s) + Bri y' = — 2.(50 — 7z) + ä?» 

•bet 

x = 21« + 8fl» — 150,. y = 100 — l4i — 5f ,* 

WO fär ip, z alle ganje 3abjtn gefegt werben fönnen. SOcr* 
(angfe man nur pofitwe SBertlje ; fo -müßte 

21« + &p > 150, 14« + 5p < 100 

fenn, »orau« foglefcb folgt, bag inimet 5y ^ 100, 
9><20, jeim muß. $>a.42z + I69) > 300, 42t 
+ lbip < 300; fo fofgt burcb ©ubtrattfen y >0. 
Sllfo fatin 0? nur pofittu, unb mdbf > 20 fenn. SDie 
©rinjen »on x wären 



- 16y 



unb 



beten Unrerfcbieb = g, olfo no<fe feine ganjp (Einheit be= 

trägt, ba y nicbt > 20 werben fann. Stauet fo'nn z nur 
jwiftben tiefen befoen Srücben entf)aften fenn, wenn einet 
berfetben, filc 7 nicbt > 20, eine gcwije -Jaljl wirb. 2of(t 
man nun jtbt ber ©teitbmigen . 



Ito&efHmmfe Sfootyüf. 425 

150 — top ='21y, 100 — 5f = 14y: ■ 
21V — V = »50, l4y — 5«»' = 100, 

für 9'== — y, in gonjen go^fen aufs fo «(>ü(( man für , 

6« «fle, 

. , tp = — v' — »200 — MX, 

unb für bie (weite: 

? = ; — »' = 300 — 14X. 

©ie pofiriwn SÖerrlje »on y > ml$t nicbt > 20, finb aU 
fo g> = 3 j unb o; = 6 , =20. 3)te Öränjen »on z 
»Ären nao> ben obigen Sotmefo 6, 6^; 4$, 5;' t~ j£, 
0. 2U(o t)at man felgenbe jufammenfHmraenbe SSertlje; 

7 = 3, 6, 20; i =6, 5, Oj 

bemnadb fefgenbe Sluflöfungen in »ofitfoen ganjen 3a§ten J 

, x=0, 3, 10; 7 = 1,0,0; «t=6,6,0. 

.11. ^ia( man bie ®(eio>ungen 

* + y + s + v.= 100, 20x' + ,10y + 4» + t = 200; 

, fo et^äte man burcb (Elimination leidet 

3s =100 — 19« — 9y. ' "' 

So%tio), wenn man buro> Sbwibirt: 

• =33— 6i — 3y — ?-J~ - . 

2Ufo muß "~g~ eine gange 3°# fenn. S)e*b^il& fe&e man 

X — 1 =s 3t, i = 3t + 1., 

3>ie8giebt 

t = 3t + l,y = y, i »'27 — 19t — 3y, 
v = 100 — x — y — * = 72 + 2y # +• 16t. 

gär t = 2 würbe z negativ. SItfo fann man nur t=o^ ; 
t.= 1 fegen, gür ben erffen gaH erhält man x = 1, 
y-=y, z==27— 3y, v=72 + 2y, unb färt==l: 

.x = 4, y =y, »==8— 37, r = 8fr+2y. 

3m er(len gaffe b«f «iö« otfo y ««&* > 9> ta «tibern 
nidjt > 2 nehmen. SDfts giebt im ©anjen 13 Sufföfungen 
in pofifiwen ganjen Saften, wenn man nur auo> y = o fegt. 
12. ©ie &Jer angewanbte SDlerfjobe' ffl eine anbete ate 
bie toorttec gebrauchte. 3(* f« "»& !*&'■ fo affgemein als 
jene, fo wirb fie bo<& au* juweiten mit JßortfjeÜ ange= 
wanbt. ©te rw)ct »on (Euler Ijrr, unb btftfyt »erjüg* 



426 tfofefftramte Sfoofpti&r 

lief) fcariti f baß man mit ben Coeffie ictif ett be r ju finben= 
' toen @r6^cn fo lange fciptoirt, als es angebt, Den b£eHten= 
ben$3rua>, iwctdjcr ftdt) auf «ine gtmje £09! bringen (offen 
muß/ ein« foleben, bie man in bie Stecbnung einführt, 
gleich fefjr, itnb hiermit fo lange fortfahrt; bis fein 2Jrua) 
meijt »örfjanben. p "''',. 

13; <Bti)tn,um bie« noefc burä) ein ^etfpiet ju ertäu* 
fetn, %cfyUn ju fmben, wetdje, burdb, 11 bioiöirt, 3, 
tmr$ 19 bitjibitt, 5 jum Dtcffe (äffen; fo tjaf man bie 
©leidbung 

llx + 3 = 19y + 5, 1H ■== 19y + 2) 

,, 8t'+S 

»«■ j.+ -^-^y + p; 
. . y = p + - ^g — — p + ii 

' . ' . ' t = 2» . ' 

2I(fo, butefr rßtfwartts gefienbe 25ef!immung 

r = 2«, q = 3s — i, p = 8s — 2, y t= 11s — 3, x = 19« — 5, 

tinb fotglid? bie gorm ber gefugten ^aljlen = llx + 3 
=^209s — 52. 2>ie fteinfte pofitiue 3<u)( erhalt man 

E=t57fflC8 = l, 

SOiele nac& biefer 3Retfc;obt beregnete £pempet f. m. 
Im jweiten Steife »on (Eulerts 3l(gebra. Aap. 1. u. 2. 
2lucb Bergt, m. bie2lrtf. Slfligafioncre^nung », Otegel (1.), 
wo au^j einige Ijterljec geljörenbe (£rempe( »orfommeri. 

14! SDtan-ljabe jeijf eine ©(eiebung mit jn?et unbefann^ 
fen ©röfjen, vw benen bie eine ben ec(leB ®vai niä)i 
überfretgr: ' 

o = a + bx + a'y + ex 1 + b'xy 

+ dx*. + c'x'y + ex* + d'x*y + . . . 

— — " J + b * + c* 1 + dx? + e** + . ■ ■ 

7 . e' + b'x '• + Ol 1 + d*iä + ex* + 

. Um atfo unfere ©leitbung in ganjen Safelen aufjutofen, 
muß x fo benimmt »erben; bafi.berSReniwr biefeöiörmbe, 



Unfce|fimmfc, %n<$0. 427 

tm wir bur$ q bejeicbncn wotten, im gältet p aufgebt. 
SRan Ijat alfo . i 

p = b + bx +js* + dx« +«* + .. . 

q =5 *'+ b'x + c'x ] -fc dV + e'x 4 + .,. . 

3ms biefen betben ©leidjungen etimtnire man x , wobiira) 
jwifdjen p, q eine ©leicbung tooti ber gorm • 

o = A + Bp + Cq + Dp», + Epq + Fq» +. Gp* + . . . 

ermatten wirb. SDie (Ebefftcienten biefer ' ©teiebung ftnb. 
ganje rationale gunetionen bon a, a', b, b', c, c'^ u. f. 
, f. ((Elimination. 10. ff.). £>a nun y = — ~ ifr; fo 
iff P = — qy ; wefebe«, m »orbetgebenbe ©leiebung ge* 
fe$t, gfebr; ' 

o = A — Bqy + Cq + Dq J y» — Eq'y + Fq a -, Gq'y» + . . , 

ISfle ©lieber biefer ©feitbung, ö«jj«*t A, enttjaffen q als 
gactor. (Soßen bafier q, y jugleitb ganje 3ab>n feon; 
fo muß q in A aufgeben. SDton fut$e ba^cr ade feiler 
ton A (feiler einer ga$l. 1. 11.), unb felje naa) unb « 
nacb (eben berfelben für q in bie ©teiebung 

q = »' + b'x + e'x» + d'x» + . . . 

2lfle ©(eiebungen, melcfee man bjerburtb. erhalt, (6fe. man 
auf, unb fege bie gangen rationalen SSert^c von x, fo 
»iel man beten erhalt, naa) unb nacb-für xj fo werben fl<b 
leitet biejenigen ergeben , für wefobe -| eine ganje 3al>f 
wirb. (Es err)eQet lefebt, baß , man Ijierburcb- alle 2wfft s 
fungdn ttnferer ©teiebung in ganjeji -Jaulen erhalten muß, 
fo wie benn auefc bie 2üijabJ biefer MufE&fungeit jeber}eit 
/ befebränft fenn wirb. \ , " 

. . fiftor ein goß (aßt fld; nacb biefer 2Ket&ob« niebt Se* . 
§anbeln. 3fi namtic£ 

% ' - __ ■ -fr bx +■ ex' + dx' 4- i . • 

y fc i i 

• fo baß b' = c' = d' = . . . = o; fo 1(1 in ber ©lelibung 
q== a' fein x me§r enthalten,' unb fie fann alfo nfcbf, 
wie bfeSfletljobe «erlangt, nacb x aufgetfifet werben. SBon 

. muß in biefem $aüe x in ganjen Sohlen fo beffimmen, baß 

' a +• bx + ex 5 + dx» + . . . 

butcb «■' teilbar »irb. <3e» n ein folc&er 3Bert& »on x; 



-428 ■ ltnfefttmmte 3foal#if. 

fo n^cSf t mirfclft brt biiwmffifccn ?et)rfa&(ß Mdjf , bafj für 
jebeß ganje fi au* n + |«''ein SBerft) von x fcnn wirb. 
Stirn -erbettet aber leid* , baß, inbem man Mojj auf bie ab» 
fofo'ttn 3Bertb,e ber ©rößen Ötftdfidjt nimmt, wenn n > 
4«' »Ate, ft fid; immer fo beft immtn laßt, bog n + fie! < 4. a' 
i|i. SDIanfyif namu'dj, immer bto0 bie abfoluteti SSerttje. 
befragte nb, Ejferju bte beiben Siebingungen : 

n — />*' < $•*, n —/(«'> o ; 

woraus ftd) letebf ergiebf : 

3fr "wn n' ein fotöer 9Beri$ tton x, wetdjer < 4-a'; fö 
iß für jebcS gan je (/ überhaupt - 

11 = n - + /«*. 
5Öat)cr wrfuebe man bei alten ganjen $a\)Un, xottfyt tM> 
■ fidjriidjtyra abfohlten SBerttje iii*t > 4-a' finfc, ob, wenn 
man pe für x fefjr, a+bx+cx* + dx 3 + ...bur<ba' 
teilbar wirb, ©tnb nun n', n", n'", it. f. f. biejenigett 
unter benfelben, bei mUtftn bws eintrifft ; fo finb 

tC i /iV, n* + ft"»', a"' + /•'"»' «• 

öbertjaupt bfe gefugten SEBerttje tun x. 

©iefe 9Rett)übe letjrt Xagrange in beti ^ufaQen ju 
. ßutere aigebca.$.IV.T.ILp.383.ftrfrani6fif<t)en3Iua J 
gäbe twn © a r tii e r (Paris. 1807.), unb ben Me'm. de Ber- 
Jin. 1768., wo audj nod> SÖiittet gelehrt werben, bie %uf= 
W(ungiM erteiltem. 

15. SDie gegebene ©teidjung fen j. 23. xy + ax+ßy 

=n 

7 = ~ 7T^* p = " ~ 7 ' * =* ß + Xi 
•ß + r+ p — '% = °- 
©e» nun f ein gaetor toon aß + y\ fo ift f = ß + x, 

^ _ - f ^ , 

«Ifo für jebtn $actoc tton aß + y eitle ganje <3a$f. ©inb 
bemnad) f , g irgenb jwei gactoren tton «ß + y = fgj 
fo ift imitier 



lliibcjiiraiirte ätMlptif. 



429 



eine äufläfutig 3o^(m unfern Steigung in ganzen galten. 

16. Sie Sleicjitnä fen: 

' •* + ßy + r = i*y} 

fo ift 

y = — ^~£' p — " + V' i — t — H '' 

' Bfi + yl — 2p 1*= O . 

@en nun a/3 + yl = fg; fo i|i 

„ p _^ «(£— *l+r?_ «l+r*— «f _ «— g 

, ,___.= -^— s- = — — g =-j_. 

Klfo muffen Die Sacroten f , g fo b(f<l)affm fepn, tag bie 
/>-' •- « 

2' * 1 

ganje Sagten finfc. 

.(bat man }. S?. bie (Steigung 

2i +3y + 18i=5iy; 

fo iff «/9 + Mt=6 + 90 = 96. aber 96 = + 1. 
+ 96 = + 2. + 48 = + 3.+ 32 = +4.+ 24 = 
+ 6.+ 16 = + 8.+ 12, uBb 

L±J= ,. »■+«»..—■ 



3—48 _ 

6 ~ ' 

3 — 3 2 — 32 e 

.-. .. -j- =s- 6, 

=i2 = -2. 



Semnaä) t)at man folgenbe Sfuff&fungcn In ■ganäen 3at)(en: 

x = — .9, — 1. O, 1, 3, 7; 
y= 0,-2,-6,10,2,1. 

17. Biet>origen2remp«(fint>aum$§eilt>on£ul.er enf> 



430 UitBejftramfeÄttyttT 

- (etjnf . £>ie nad> 2 a 3 c a n 5 c mitgeteilte a tigern eine 5Iufl5= 
(WS (1.4.), »efcbe immer ft#er jum 3»ecf füfjrt, IjatEu ler 
nt$r. 3n befonbern Stilett fann man juweifen ffirjer wr* 
fahren, wenn man, auf 4b>H<fc«2lrt wie (11, 13.), au* 
bem ©rucbe für y bie ©anjett bur<b 5)it)i|ton ausfonberf. 
31*8-»! ' 

xy + x* =2x + 3y+ 29. 

bte gegebene ©feityimg; fo erljatt man 

' • »-*■ + » _ _ "'. ' .'26 •• ■ 

» T^T3 -«-n-j—— . 

atfo muJ3 x — 3 ein fetter Mtt' 26 feint. ■ £>fe ttytttt »ob 
26'finbaber + l, +2, +13, +26. £Xe$a,iebt- 
• »— s — + 1.*-*. 7=21';" -- 

T r — - 1 ' x = 2 t y = — 29; . 



-3 = ±2;-; = ; 

- 3 = ±13:! 



= 16 



1 =— 10 , y = 7;- ■ ' 

x — 3 = +28-*- 29,y = -29( 
* 3 — ■"'* = — 23 , y = 21; 

af * Sluftöfungen in ganjen Safjten. SEIH man nur pofithK 
ga&len; fo er^älfmannur: 

x =4, 5;y =21,7. 
. 18. @e»mw 

■ + bx + cy + dx 1 + «y ,+ fy* = © 

bie 'allgemeine $orm einer ©letcbung be* jweiten ©rabet 
mit j»ei unbefannten ©rößen. SÄan foH biefe ©leidbmtg 
in rationalen Sagten anfl&feii. . 

Söfcf man ffe na$ y wie eine quabratif#e ©teidfimtg 
auf ' T fo er&alf man fßr 

c 1 — 4*f = a, 2ce — 4M = 0. b 1 — 4df = y: 
2fy + ex + c = r a +fe + yx». 

SDton flefjt affo , ba jj bie Aufgabe baranf j urücffommt, x 
f» jube^immen, *ag j^« + /»x + 7** rational, ober 
a + /?x + yx 2 ein »oflfommneß üuabrat wirb, »ef( 
bann offenbar y, weites in obiger ©leidjung nur-- in ber 
erfien ^ofenj öorfommt, ebenfalls bur<b einen rationalen 
SHußbrucf benimmt wirb. 

. 19- STOan fege alfo ■ - 
*. , . * »„«Xoogle ■' 



- lln&efJtmmf« £iw(t>fiF. . 43i 

« +■ fix + y*' = »*{ " ' 

fo erljatMttan, tiefe «Sfeitbung nadj x ctuflcfenb, föt 

; 4j- = A, £» — 4*j> sB: 2y* 4- j> = TAr r +Ti , 

fo Daß otfo unfere Aufgabe ferner barauf re&ucirf i|f , v 
fo ju bzftimmtn, faß Av 2 + B eitr »eßforamn« fiua* ■ 
brat wirb. 

.20. JjMerbei ijf nun flnnäd&fJ ju bemerf en , baft, »emf 
A ober B einen quabrarifcfcen gacfor Ijat, berfelbe wtbe= 
fc&abet ber 2lflgemein§eit roeggefaffen werben fann. 9B5rt 
nämHcb. A = m 2 A', B=n*B", unb e« wäre ein SBertlJ 
t' »ob v gefunben , füt weisen A'v 2 + B' ein »oflfomm= 
ne«üuabrati|?; fo fejje man v = £ v'. ©an« iflAv 2 
+ B ^= n 2 (AV 2 + B') ebenfalls ein ttoflfommnes üua* 
brat. 2öir wollen ntfo annehmen, ba|j A, B fdjon w>n. 
' ifcren quabrafifcfren gacrprat befreie feijen. SBan brauet 
nur bie SHJert^e »on v' mit — jirmuttipficiren.- 

. 21. ,@eiittwmmwT:=-|, wo p/q ganse $<%Un 
ftnb; fo wirb , 

a*> + b = *Ei-+-5sI ,. - * ■ ■ '. - 

■ i* ( 

unb Ar* + B ift ein »oflfommneö Quabraf , wenn Ap* 
+ Bq* 'es ifi. jDemnad) i]t bie Aufgabe jeQC auf folgenbe 
rebucirf: 

p unb q in ganjen Satyrn fo j» bejlimmen, baß Ap* 
H-Bq a ein ttoßfommneeüuabrat wirb, ober, wasbaffek , 
be iff, bie ©teit&ung 

Ap* + Bq* = s* 

in-ganjen 3<i^(ett aufoulefen. ' * 

22. Sflanfann hierbei golgenbesannrfjmen; 

a) p, q, z fiabcn feinen gemdnfcfraftiidKn gar? 
tor, weit, furp = hp', q=hq', z=hz', tnonbunfe 
2>iöifion mit h 2 Uifyt , • 

Ap' 1 + Bq;'» = «*» 

als aufjulöfenbe ©Innung erhalten »ßrbe. 

_b) 91i*t s»ei bec ©rißen.p, q, z -&>ben imro 

.'" ... ;»Googlc 



432 . Un^wmtfe .Sfoatytf f. _, 

gemef nf<frafttt<&en gortor. 5>emt fiflr p = hp', q = hq', 
wo h eine <primjaE)l fenn mag, erhielte man 

»»=44]»'' + Bq'*)h», 
uttb es wäre alfo , gegen (a) , awb z burti) li fljeifljar 
Qa^l.1.5.). SQMrebagegen |.&z=nhx',p=3hp'; fowöre 

• ' {«'* — Ap'*)ll* = Bq 1 , 

itnb Bq 2 #Stte fotglicb b«n auabratifi&engMtor h s . IMbec 
q ijl mit p, z relatine fprimjaljt (a), fann alfo nid?t ben 
Sartor h, imb fotgtiifc au# q* meßt bert gactor h* Ijaben 
Q$LL2.)* 2WTo w«|h« eingacror «an B fenn (3abX 
' I. 7.)/ reelles nic^t moglid), ba B als »on aflm feinen 
. fl,«abrattf4>en gactoren befreit «orausgefeijt toirb. 

c) §«ner finb audb A,*q relatiue gjrimjab,tm. 
3>enn für A = hA', q = hq' wäre 

»« = (A'p> + Bhq'^h . 

§ofgfi# ,$ätte z* mit q ben gactor h gemein/ fo baf atfo 
offenbar aud> z wnb q entweder h fetbfl , ober einen $>it>i* 
for»onh, als gactor gemein Ijaben matten, gegen (b). 
Gbenfo fiberjeugt man ficfr, baftaw&Bf pretarioe^rint' 
jagten fenn muffen. .,,. 

23. SKan ndjme nun an, bog fcer Soefficient A nicbt 
< B fei;, wobei, wie immer au$ im Solgenben, nnr bie 
öbfotitten SEBeccr)« ber ©regen berneffiebtigt werben, unb 
gebe ber ©lefc&nng bfe §orm 

, s 1 — Bq 1 s= Ap 3 , 

welches offenbar »erffattetift, ba b,f« ©leicbnng in JSejug 
auf p unb q gänj einerlei ©eftalt fjat. 

24; 25äre nun bte (Steigung in ganjen -Jaljlen auflöse 
bar, fo bog fieb für z, q ein ?)aar gantfa$(ige Sßertbe 
M, N pnben Hegen j fo mugte, ba A, q, b. i. A , N, re= 
latiue 9>rimja§ten finb (22. c), auefc bie ©teidjinig 

M = Nn — Atf 

bte erfien ©tobe« mit jwei Unbefannifen n; q'in ganjen 
galten auflösbar fenn (10, »etä)eß fär jebe jwei Stßertbe 
M, N von z, q gilt. QJtan fege öqljec überhaupt 

b = nq — Aq' , 

wo n, q' jweineue unbefrimmte ©rofsen, ebenfalls g«nje 



galten, (int. (iStläfmoitHeetaniiftreSMcfwitJS f* »■ 
5<tttmonreia)t: 

€« mufj olf« Sgl^Bg , j,. f., „,(( A , . q teWe^rlmi 
jagten finb (22. c); *' , -' ein, janjeg^l fi 9 tt. '2Bfe | 
« ein SBertf) »on n gefunben, für »elcben Ulf« 3)ruo> 
«lue g«m( 3<^( »ütlx; fo n>4rc 

3 = nq — Aq^, * ' 

»C q' »tlßljrfftt) iff. '.■''• 

25. SBic oemecfen t)lef befonbew, bafj matt für a. 
nur alle Sie ganjjafiligen SBertrje |u feljen bcau4>t, »eloje ±A 
nicbt überfteigen. ©inb namliä) n', n", n'", u, f. f. 
bie Sffiertfje »on n,-' rpelebe 4-A nidjt überfieigen unb 
n? — BbiltäJ A teilbar matben; fo|inb aucb n'+^'A, 
n" ± /*"A, n'"+f^'fAf tf. Sßertfje bon n (14.). Sie«/ 
to bie Sonnet 

(h 1 — B)q» — 2ABqq' + A 'q'> = AFi 
■ (nq — Aq')* — » Bq 1 — Ap' 

Kq - A<q' $ rt>[" — Bq' = Ap>, 

meiere«, ba q'ganj ttillfjujrila), »on 

(oq — Aq') 5 — Bq' = Ap'~ 

nl$(utf(rtfd;itbmi(t. ajianteirB atfo fflr fi alt ganj« 3dt>(«t/ . 
twldx 1A nic^f überfteigen, fegen, unb berfueben, ob 
— ^ B eine ganje gatjl wirb, ginbet (io> unter biefen 
äBetrtjeri (ein gemlgenber; fo (ft bie gegebene Hufgabe in . . 
rationalen gablm nicbt auflösbar. Rieben (üb aber irfr 
angegebenen Intervall genägenbe SButljt wn.n; fo reä>» 
nee man för /eben berfetb'en auf folgenbe 2lre »eieer. 

36, ©en i' — B = AA'x», »o x* b'ec griffe in 
''^■° enthaltene quabratifebe Jaetot rfl; fo i|f 

A'»'q* — 3oqq' +' Aq" J =s p' , 

woran«, wenn auf beiben ©eiten mit k'x' multiplicirt, 
unb bann auf Set (Wen n*q' abbin unb fubrtat)irt wirb; 

. V. <£e' , 



434 UnfcfKmmtc Sfaatytit 

(AVq - wfl< — (n> — MVJi'" 7= A'.'p' , 
b. i.; fur.AVa, — nq' =r z', *p = p'; 

■'" — W* = *'p ; " 
»o A', B ftbon Bon tbren quabratifc&en Sacforen befreit 
finb. .Sann man legrere ©teiapung in rationalen 3 a ^en 
auflofen; fo geben tie gormeln , 

■p r= p', A'«'t( — nq' == »', * = nt[ — Aq* 

ailä) rationale 3öert6e für p, q, z, wenn aud) niebt ttn> 
merganjjabfige, tBekfoes aber aucb tote Aufgabe niä)t jur 
S3ebingun'g macbf. ( 

. 27. 3|i ' ber polirtoe aSScrft) bes Soeffitienfen A' 
eine -Üuabratjabl = H*; fo i(I, für p" = äp', Mc 
©iefcbimg bon ber §orm 

«■■ -p". = Btf». 

'■ 3ff aber ber pofttlbe äüertr) »on A' (eine Quabratja5(, a(fo 
aucb_> 1; fo reebnet man, nenn berfeibe gugfeiefo anä) 
nod) > B-ifl/ auf folgern)« Slrt weiter, gunaebft i|t'nam= 
Ha) (n nierfen, bog immer A' < A i|t, weil, aud) im 

' fcbtimmflen Saßt/ wenn B negati», = — S5, Ware 

.._■ »■— i - !!L±lg 
- A Ä7i~ S5 - , 

bod) immer < A feint mup, inbem nad) bem Obigen 

n'^ii 1 , »< A ( 
n». + »"= 4Ä 1 + Ä '=5 *A + 1 . 

sr- < 7-5? — ■ '< ^~ ; 
ober Ag2, «• - i 5 |, A(** — *) 54, > 1. 
3(fo 

»' +_» _. JA 4- A(.' - j) . 
A» 1 "^ x' ». , 

6. i. A' < A, immer Kofi In SSejug auf bte pofitinen 
SBerfbe »on A unb A'. 3JIan wirb alfo naä> bem obigen. 
«Serfabrtn aus ber traneformirttn Siiitimna, 

••'-Bq'>=A'p'> 

eine ganf <u)ntid)e neue @(eld)ung ableiten tonnen , fo baf 
mau bitrd) baffeibc eine Otei&e SHeicbungen »on ber gornt 



Ito&ejfimtnfe »nslntif. 43 ^ 

». . •" — Bq' = Ap", 

■'■ -Btf' = A'p'', 
«" a — Bif» =r A"p' ■> , 

>-. _bV-' = a'v, 

, B.f..f. «.(.f., . 

o«Hi, Irndtm A, A', A", A'", u. f. f. ein, cfaf 6, 
roen&e SKeftje bitten. . ,Dabuc«itmg man nottaenbia je, 
gtnt eitimot auf (ine Slridnina, 

V — Sq.» =* Cp.» 

foiiinMii , in tKfiet C < B ffi. a u « blefet tgteiAuna 
tote man wie twr&nwiebet eint afmlicbe mütii *m@Ui. 
tbunjenab! 

. ■■' — Op.» =B,,», 

■V — Cp',» s=B'V, a , 

■V — cpV = b'V,», 

»"V — Cp'V sa B'"^"'," , 
»ff- »-f.f. 

wo»leberB, B', B", B'", u. f. f. elneabmBmenbeMt 
bitten, unb man alfo auf eine Sleicbuna, 

fotniuen nuij, in»et<&erD<c, »mau« nun bann tele, 
ber ableitet: 

«, a — Dq,» = Cp,», 

t',* — DqV sCp',», -. 

■ _ *'V — D tfV =C"p" 1 >, '■ . 
' «~V — Dq"V slT>Vi 
».f. f. ».f.f. 

»o aueb c, c', c", C", «. f, f. ,in'e abnebmenbe «elbe 
bitten, unb man aifa enbficb auf 

V — Bq, a = Ep,» 

jefubrt werten tnuf, »oE<D. 3n ben ©IeiQ>Mia.en 

■' -B,- = Ap<, 
»x* — Cp,' =a Bq ( *, - 

»," - Uj," =a Cp,>, 

■i* — Ep,* = Dq,i , • 
«.ff. «.f.f. 

Bitten nun an* A, B, C, D, E, u. f. f. eine aonebmeit. 
be Sieib> ganjet Saljlen, fo baf man alf« btrofc biefe Ope. 
<St 2 GobA 



, 436 ' % tin&eftfmrate Sfaafytif»: 

, ratfott irgenb einmal auf einen (Söefftäenten == 1 , t.l 
auf eine, ©leitfcung wn bergorm , ' 

V - V = **,' 

gefügt Werben muf» , eben fö , wie in bem obigen $atit, 
wenn ein Eoefßfient eine ttottfünimene ötiabratja^l f|f. 

28, Um nun testete ©teicbnng In. rationalen galten 
aufoulSfen, jerlege man 2lm jwei §actctma t , ß t , vkU 
dje, ba 21/ wie au« bem Obigen erfjeßef, feinen quabrati> 
fd;en gactet enthalten fann, immer relative* $rimia§(eii 
fepn werben, ©eljf man mm aucb p t =r jip ; fb Ijat man 

(i - j ) (i - + qj, = ■; A«y , 
tmb feie ©fetdjung wirb aufgetöfet fenn, wenn man z, q 
aues ben ©leicbtmgen 

beflimmt, woraus: - 

sr, (i ftnnen wiflfiifjrlid) angenommeit »erb«. (Snfijiel* 
ten bie 23rücb/e »tefleicbj ben Srud) ,4-/ unb waten alfo fei« 
gan5en3ab,(en} fo fege man ■ 

weil bann 

b. f. s, a — q f 2 == 9Ip r a iff / wie »erlangt würbe. 

29. &iefe2htfl6fungbec ©letcbiingen be<t sroetten ©ca^ 
bes mit jrcei Unbekannten Ftat bem 9Befentlief)en nacb eben 
fo 2agrange gegeben (Me'm. de Berlin, 1767. Ele'm. 
d'Algebre par X. Euler. Nouv. e'd. Paris. 1807. 
T.-H. p. 388. Additions. $..V.); fe, wie aiid) 2e* 
genbce (Theorie des nombres. See ed. Paris. 1808. 
$. IH.) mit einigen 2Ib»eid)ungen. *9?etljoben, bnrtb 
welä)e bie ^uftöfung noct) »eretafaebt wirb, ließen fflfya 
in ber -fiiirje nid;t beibringen. 

. 30. ©et-en ». 33. 3afc}len von foldjer 23ef$affent)eit ju 
ftoben, bajj, wenn man von iljrem boppetten Quabrafe 2 
fubfra&irf, ber Dtejl-ein voflfanmnce Quabrat feo. & 



U«i6«|JiKimfe mO0. 437 

tmifi In bitfem $<ßt '2v= — v2 (in »oBfummn« Quattaf , 
nxtlxn, unb man §ot füt t,=.£ fotgU* bie.SMcbuna. 

2p 1 "— 2q* -— *', '■*- + 2q> - ?P" • 

SMtfo muj) S-±-2 <tn< äonse gaW ftnn, nnb nwn 6t«n<tif 
n niifct > 1 J» n^mnt. ■ SJemnoa) m = o, A' = 1, 
* = 1 , unb folälia) bie (ransformirte SWibung : 

s'» + 2q'» BI p' 1 , *'' — P' a = — Sq" 1 . 

Sa nun.— Ic- 2.1; f» feSf.mon «, = — 2, 
ß t = 1, unb m<m bat: 

^ = _=^,y = ._=J^, -=.,. 

ab«(26.) 

sp = p*, A'x'q — nq' = a', i ;= nq — Aq'. 

atfo p = p', q= s', b. i. 

_ 2^+e 1 . ' 2** — e* p _ ££±i! 

P — — 2 — > H— : ■ 2 ' q 2* 1 — «' ' 

gur*=l, p = li|{v=3,2v* — 2 = 2.9 — 
2 = 16=4». Surjr = 2, ? = 3i)lv = — 17, 
2y» —2 = 576= 24'. 

31. g»«Üuabtiiti<u)(m|u(inb(n, bertn ©umm« «in 
Qoabtati|t, ftse'man 

p* +V =**,«' — q 1 = p*- ' 
2>tr Soefpcltnt txmpMfi = 1 = 1 . 1. . 2I(f» «i = 1/ 
/*, = 1, unb 

p = „,, q = li-^; obtt p=2» tl q = «■—»•. 

32. @tp i fo ju Se(ilmmen, ba|j 7 + 15x + 13x* 
ein t>oMommn<e Öuabrot reirb. #i«t ifl (19.) o = 7, . 
«=15, y = 13, A=52 = 2*.13, B=— 139. 
Sltfo 13v' 2 — 139 ju «intm.Üuabrat ju nucjitn , ober 

■ -**.— 13p 1 =.— 136q* . 

bi( oufiuJ6fenbe.@i(i*un9. £« imifjalf» '^är -*«.' 
9 ani«3«W f«»n, »otti.fl ni*< > ? . E«« i|t brt Jal ' 
für n == 41 , reobur* obig« SScuäj = — 12 = — 
3 .2*. Slfb A' = — 3, x == 2, unb. 

s'> — 13p'' = — 3q'=, 'ofei: **' + 3q* s= 13p'V 



438 Jlit6efHramfe Sfoilptif. 

bieni»t©ltlc()uiij, woolfo, filrn' nia)t> y, ber3)riie& 
*'', f 3 «int ganje 3"')' feon mujj, •»ilejee ber gaalUr 
n' = 6, woburcb biefer.SSruc* = 3 = 3.1*. aifo 
A" = 3, x' == 1 ( unb bie neue ©teicbung 

' »"» + 3q"» = 3p"* . 

3o[gfld) mujj wieber Ciä, fätn"ni*t> J, (Irnjaint 
3#f<»n, reettbfS btr S«il für n" — o, mbmd) biefer 
SSrueb = 1 = 1 .1», b.l. A'"=i=l, *" = 1, unb 
fotgfi* 

*""* + 39'" 1 =*jT', ob« i'" 1 — p'"> = — .3q">. 

S>a nun — 3 = —3.1, 01(1)0,= — 3, ß, =1 
Vifofll 

<-- - '•;+?' ■ p"=. :-■";-'' ;<;■=,.,■ 

S$4r >i =r l unb e = 1 j. S3. ifl 

*" = — 1, p'"== — 2. <£**— 1- 

35le allgemeinen ©[eiifctmgen in (26.) 

•P » P', A'ü'q at( =5 *', X = HCl — A%' 

geben ober: 

P" = p-, V = ■"■• = - 3q"i ' 
= — 2, = — 1, = — 3| 

p- = p», ,• = !l^5£, .' = 6,' - 13^| 
." ,=i, p = '-^gE: > ,=, 41p + 139p-, 

= - 1. = V . = V. ' 

Sotglitf) v' .== -t = — y unb t = iV = — «. 
<E« i|J 52v» — 139 = (¥)'. Enbll« Ift 2yx + ß 
== Kav' + a, b. i. 26x + 15 = +' V t w°mu8 1 
== — A, ober x = — fft. SJiee glebt 7 + 15i 
+ 13x»=(£})». @etjt man für nr,- (i onbere.SBert&e; 
fo er&dlf man ana) für x anbere SBJerfbe. 2agrangt bc> 
^anfcrft tieft« grtmpet nkbt gan| eben fo, 

33. SoIte23v» — 5eln»o0flanbiges'ßuabro(ii>er. 
btnj fo r)af man 

4 23p 1 -» 5qf s= *• , »• +5q« cS3p*. 



UnfefHramfe 9fctyf& , 439 

«ifo muß S^gotffepn, fiten «i#r>y. ©fe* 
iff bec Saß fiir n = 8, wofür tUgft S5W* = 3 = - 
3.1. Sllfb A' = 3, *=t, unbz'* + 5q'*=3l>' 3 , 
z' 2 — 3p' a ==" — 5q' 2 bie neue ©lefcbung. 2llfo muß 
~^^ eine ganje^aftlfemi/ fiten niä)t > £. (Surfet* 
t&« SBertlj von n' erifltcf aber nldtf, unb balf« faßt* 
23v* — ' 5 nie ein toflfommne« üuabrat werben. 

34. $at man einen SäJetc^ 1 von x gefunben , für 
, weiden a + ßx + yx* ein »oflfommnee; üuabrat wirb; 

fo (äffen fid? botau» auf fotgenbe 2Ict _ teidjt anbe« SEBerilje 
ableiten. 9Äan felje nftmlicb x= 1 + y; fo wirb 

. + /to + yx' = « + 01 + r I* + y + 2,I)y + yy* , 

= P + (/r + 2HJy +/?'. 
wenn wir a + ßl+y\ a , welches ein voöfonttrihe* üuabrat 
ift, = f a fegen. Ä Ünabratwucjel aus bem gefnnbenen 
2lu«brucfef«8e man == f + |-y; fo wirb feerfelbe 

• .W^M,-. , •■•■.;. 

2Hfo, wenn mflnf* auf beiben@eiien' anhebt, unbfeurtfc 
y bivibirt: . 

ß + 2yl + yy =' 2 ^ + j£y, 

h|2f g -h(^4-2rl)l 

yl. 1 — g» ' » 

i( y h' - g ') 4^h|2fg - hQ + a r i)| 

. ~ yh» — g> ' 

wo g, h jwei »oflig un&effimmte (Stilen finb/ nnb 

. •. . £'= r«, + ^1 + yl» 

35. SDurä) tiefe 3Retb>ben (äffen (Hb nun &t»ar ade 

©leidjungen beß jweiten ©rabes mit jwef Unfeef annten in 
rationalen Rafften auflöfen ; jie finb aber nid?t aiiöreicfcenb, 
wenn man nur ganje gaffen verlangt. Stfe Unterfuäjiung 
aber biefen ©egenftanb fjangt fo unmittelbar mit bec (8m> '. 
widretung irrationaler, üuabcafwurjeln in Kettenbrücke 
(Äettenbrud?. 28.) jufammen, ha$ baröber Ijier junacbfi 
ncd? einiges »orausgefdjicf t werben muß. 



440 ' IWtfJimmte 9IMt)ftf. 

36. 25le 2Iufa,abe, Irjenb «ine Irrationale Ouaferat; 
wiiriri JOl in einen SitumituiS/ ju enttWtfeln, fomtnf, 
nxnn bte in be» Srtjttt ■ 

r A » *. ?> **» *".•.- • • 

enthaltenen grtßten ©anjen refpectiöe burä> 

»» #'i *"> •'"> *""f • ' • : * " * 

tejektnet werben, barauf jurtM, bie Sropen.x, x', x", 

x'", .... ben !e3et>ma.iingtn 

r* = . + ■!•,« = «• + 4i.X =«" + 1*. »"=V"+-j=, 
«>ma0 ju be|timmttr, »eil batm. 
r* s= > + i , .■ 
*' + V, i_ 

JDlan erlitt aber tei*t! 

Iinb, wenn man girier unb Slennit be« ettteteSSruc^s mit 
fA+'a itroftlplielrt: 

■ ■ - E=V - * c . ' i 

. ©jftfjnan nun biefen SBertft, Don x In ben Sluöbrürf 
für x', unb multlpticirt immer Gabler unb üjenner' mit et 
nem folgen geraelnfcbäftlicben gactoc, baß ber Renner ra> 
lional wirb; fo erhalt man teicbt: 



für <J" sc «Tf — <?, P" = ^31* s " 

... y ■ p» F'(TA+Q"^ _ r A+Q ,w 

= r*— t«"F'— Q") ~ rA— Q'" - . A— Q"" 1 ~ F" ' 

für Q'" == *"r" — q", p'" ~ — Q '"' ■ 



j. y p'" _ ptta±22- i '*+SI 

■ *V*^(«"*f"— Q"'> ~ r*— Q'~ - a— <r"> ' ,. ,f~ • 

für 9""^a'"r'-^Q"', P""=; t.-ygT' ,' 

».f. f. u-f. f. 



ito&eflimrotc Sfoatytif. . 441 ' 

Seidenen »fr nun bur# fcag itBifd?etut»ei©?5|jttt' gefcijte 
geicfcen < f ba b ' e trffe bas gr&jjte in bec jweiten enfb^tt* . 
fette ©anjefegn fofle, uttb füfcen Q = o, P = l; fb 
$a&en»iri 
q ^ o, p pi, » < rA 

<r = .-p- - q', e» „ -i^ä 2 '. ■- < ^4^ « . 
• <r = .~-p~ - Q-, r- <, ^P, .- <c^zrv 
«.f. f. ».f. f. 

gut A =45 «$att man j. 8.fte a, a', a",... bieSBrts 
fy6, 1,2, 2, 2,1, 12,,., 

37. @tnmm , 

"4-1 + 4 

- +£• 
tmi) bli bm brei tefstm Stammt «ttfprtftiuibm «porfiofc 
wett^e 6(8 &tten6riid)a fegen <■=*•' , g ■ jg» fo ,f(f (Art. - 
len6t'«*.5,),b«i>ffei*arg±i = K"A i|i; 

A _ £1*5 + 55-4 

qnXn + qn-| 

©eljt man nun (36.) 

„ e r* + q.-n . 

* Pn+l ' ' 

multiplirirt auf belben @iinn mit bem Olenn«, imb fon> 
bort bas Rationale unD ^rationale wn einanb«'; fo et» 
§ä(t man': 

' PnQn+1 + Pn-lPuH-I —9»*. « | q n Q a +| + q a - l F a ^ t ^fnlVA", 

SDas Otatiottate fann «btt bem 3natfon«tfli nio>t s(eio> 
fegn, ofytebaß 

P»Q4+1 +P"-lPi>rH — q»A =■= o, q B Qn+t +«»~l P »+t — Po = 0. 

woraus buta; Elimination; 



442 . Un&eftmmrte SCrtalptif. 

(Pnqn-i — Pn-lfcOQn+i = latto-jA — pn]»n-l , 
(pi.qn-1 — Pn— i 1") P»+i' = Pnpn — ^nq»A. . 

3tber(£«tenbtuep.'6.) 

pn<Jn-i — pn— iqn = £ 1, 

wo fca$ oBccc ober untere geic^en gilt, jenadjbem n gerate 
ober ungerabe i|i. 2Ufo. 

£ Qn+l = qn^n-iA — p„pn-l , + Pn+l « p n pn — q n q n A . 

38. 3Iu8 Hefen betben merfwörbigen ©Wcfeungen m 
geltet janfabft, bagP n+1/ Q n+1 immer ganje Sagten pnb. 

2>a nun (Äeffenbrnä).. 2.) g gfA, P»P» ><W1» A > 
p n p„ — : q„q ft A negati» ob« pofttt t> i(I f jenadbbem n gerate 
ober ungerabe iji; fo iß ftar, bafj P n+1 immer poftti» ijl 

SDa ferner (36.) überhaupt 

M*+l = A ■— Qn+lQn+i , 

P n P ? +i fl^er, wie wir fo eben gefefjen §aben, immer poß* 
ti».i(i; foi|t immer 

Qtt+iQ»+i < A » 
ober ber abfolufe Sßertb. von Q*+ t <[Tk, fo baß alfo 
bieSSnWbe 

p - » -r-p= . ■$*■■ 
aUe pofttitt ftnb. 

(£e lapt ftd) aber aud? I eidjf {eigen , baß ade burdj Q be= 
(eigneten ®r6fjen felb|? pojttitt ftnb. @en Q* poftti»; fo 
ifi, »eil a B ba» größte in ?2-jt.3* enthaltene ©anjejig/ 
offenbar 

2a„ > £ij±-2"., 2a a p B > r A + Q». 

SIber na* bem Sßotigen Q n <J^A. 2I(fö 2a n P n >2Q lJ 
a n P tt > Q„. Solglitp a n P n — Q n/ e. i. Q n+1 (36.)» 
ebenfalls poflrit». t)anun Q' = apoßti» i(lj fo (tnb e« 
aueb Q", Q"', Q"", u. f. f. 

. 39, £>a nun immer Q„ < f*A; fo tonnen bie butä} 
Q bejefc&neten ©rö ßen bie @r&ße a nie uberjleigen. SBcit 
aber naa> (36.) 

Q« + Qn+i = «„Pn 



oo^Ic 



4ln6c(Hmntfe Sfoafpfifc 443 

1$t ft ftlim a B P B , folglieb aucb föwobj a„ al« P„ bie ®coße 
2a nictit uberjleigen. 9IIfo f&nnen bie burcb. P, Q tejci^j« 
mfen ©roßen nur eine beftimmfe en&ßcfre 5faja£( i?on2Ber» 
tljen ^aben, unb aucb. bie 3fajab,l bee SOecbinbiragen \t 
jrceUc biefec 3öert£je unter einanber faim nur entlief? fenn. 
SDeVtfettenbtn* fuc Die irrational» ©röfje J/~A läuft ober 
natürlich ins Unenblirfje fort. ©äffet muß feberjeit irgenb 
eine Kombination ber SBetf&e von. P nnb Q/ b. i. einer' 
ber 33rüd;e 

rA + Q' ( r a + q" i rA + q- 

einmal wieberf eljren. S)«nn feljrt aber aucb offenbar eine 
gewiffe 2fojaljl öor^ergeljenber Ölenner. in berfeiben 'btb= 
nung immerwieber, fo baß alfo jebet Äettenbru(&> weU 
a)ec eine irrationale &uabratu>«r}ei barfletlt , pertobifa) iff. 

40. Um ben, Anfang ber iperiobe ndljer ju befummelt, 
wollen wie fegen, baß a n+1 n>lebergefet;rt fen, fo baß 
• a„ +1 = aB+i+1 , unb fotgUdj, aucb q^ 1 = q m { f 
P. +1 =P, +i+1 iil. Ettiioiff(360 

Qn+i = «nPn — Qn, 
'P»P»+i = A — Q»+iQ n +i ; 
Q»+i+i = «*fiP»+i - Qn-H,' 

P»+iPn+i+i = A - Q-M+lQ^-i+i . 

golglicb nacb. ber Slnna^me :. 

P n P n + t = A — Rn+lQn+i . Pn+iP.+ l = A — Qn+lQn+i. 

woraus unmittelbar folgt , baß P„ = P B+i ifl. $Ilfo fß 

Q n+1 = a a P n — Q», Qc+i sSb «a+iP n — Q B +i, 

worau* burcb; ©ubtractioni 
otit, tt)ellP„ = P. +i i(I: - 

Q n -H — Qtt 

Po+i ^ ""^ "*" . 

g« i|» «6et fttn« C37.) 

4T-1Q.+ 5.T.2P. =ft-'.Q" = ^ ~^ p "- 
33a nun *gi tin SJlo^reungSMie«^ lue gcgibtnen JteKtn> 



444 ■ ttofcpttmfe Sfoatptil. 

6(0*8 Ijts fofannman|^ = • + ^- fetjen', »eltbe«, 
intorlge Oieicbung fubftituirt, nttbi: 

ein? poftitiw «Je, 6a Q n nie > a i|I (38\). 3>a nun 
na* ber Statut ber tfettenbruebe q^ t < q_, i|} (Äefc 
tenbrueb. 5.); fo t|t a — Q„ < P„, wobji nur ju berner* 
f<tt,,ba@ für ri=o biefe StefatioR nkbt mefjr gtff, in; 
bem bann fein g_ a (fatt finbeii farnt, übrigens aber aueb 
a — Q = a, P = 1 (37.), a(fo niebt aügemein 
a — Q<Piß. gutn^l i|!a— Q' = o, alfonoa) 
a — Q' < P'. ©onj eben fo bat man aua) a:^^Q B+i 
<Prt4- Solgticb, baP.^P^ili; . ., 

• - Q„ < P„+i, . - Q„+i < P„. 

©a nun nie (J, > a,' Q^ > a i(i (38.); fo t)at'mon r 
jtnatbbeinQ.+iäQ.ifr: 

Q.+i — Qn < P„+i , Q„ — Q,+i < P„ , 

3nbenbeiben obigen Stieben: 

Q. -,Q„-H Q.Vi — Q. 
P* : ' P B +i 

ifl atfo immer ber 3abler Heiner at« ber 31etmer. SNtfe 
SSradje finb aber ben ganjen ^ablen a R — a n+i , ober 
a n+i '^ a n gteieb. 53lfo muffen btefeganjen Labien = o, 
b. b- (B " muß in betten Satten a B =a n+i fenn, rcotton aber 
ber gaj/ wo n = o, auogefcbtoffen. 3(fa(fo a, +1 = 
■ - a "+i+i* f ff '|f au( & 8 » = a n+i' un & uum 6 at a tfo, wenn 
irgenb ein Ölenner a n+t einmal »iebergefebrt t|t, burd) 
fortgefeBfe 3tnwenbuug obiger ©cblujjart: . 



it. f. f. tt = aj +I ; aber :naä> bem Obigen nur a 
== a,. SOJan |iebt atfo bieMti«, bajj ber erffe »iebeft 
lebrenbe Siran« immer a' i|t, unb baß atfo bit <f>ttwit 
immer mit a' anfangt, 

,41. ©et bem Slenner a^ t entfpreebenber ^artiatwertb. 
be« SettenbriKb» fen = ;£J;' ber»orbergebenbe=~ 



- UnfelHmrafc SOttlptif. ■ '445 

<Det »enflänbige aj entfotecbenbe Üuefieni fe» == a, + zj 
fo i(i (,8e.tenbtütb. 5.) 

B _,.. _ Pi-i(«.4- ri 4-K-a 
«-,'* «_,<«+«) + s-, ' 

®a 06« «i ber (e$(e Dlenner in einer «Petit*« ift; fo IS «f. 
,fen6acz = ^A — a, aifo . ■ . 

^.(r* + ■,-») 4- p,_,, 
rJ = W A + ., - «) *■%.,'• 
tvorautf 



3((fo n«6> (inet febon oben iftet gebtauebten &o)rtnjo«. _ 

A? i-1 — ( 'i~" * )P i-l ~ P »-2 ==0 ' - 

»t-, -&'.-■>$_, "Vir °> 
'tt«au< lefcbt: ' 

fei- _• &a ' 

®o nun na$ ber SJtofuv bei: iSet(en6rild)e immer q ; _ 2 < 

p. 
qi_, ift; foiftaj — abasgtofrein;^ enthaltene ©atije. 

5£>a« in febem 95artfoft»«rt$e , aifo aueb in letjterem, enfr 
fyiltene größte ©anje ift aber == a. golgltebai — a==a, 
a, = 2a, fo bo|j olfo baa Utjtt Stieb bet Verlobe immer 
= 2a ift, wie <mcb leiebt an bereclhenbe Seifpiele lehren 
werben. 

42. @e(jt man ai = 2a in bie ©ieiebung 

nnb bipibirt bureb q ; _ ± ; fo erhält man: 

..••.■ . ,!fci-.,;Sa.: .-'.'■ 

Süßt man nun ai bie (Stange bet erfien 5>eriobe femt; fo i|i 
. fe._. = i- ' 



44« Unötpnrattc Stnol^tif. 

ginn iß litt (Stttmbma). 5.) 



Bter 






V, V * V, 



V. 



*■=«■. 

woraus bin* fut«f|iw ,@u(filtit(ion : 

. T a 

«$afttn wirft. §otg£i^ na# bem Obigen 

i. ■ ■■ - - 

■ ■ *' + H- " i 

= \ 

v ' + V + .,. + ^ + ^ 

fo Sag otfo fcte bette» SXeifjm 

a',> a", . . . a. , a \ 
'»!_,» V.» *'••*"-?'» 

h. .-„Google 



Un&etfimmfe Sfoatytif. ■ - '. : 447 

ibenrifö fegtt muffen. 5Da$er ift immer fcteDfeifje ber @lk= 
ber ber *p«iobe, oljne fcaö legte ©lieb, einerlei mit ber * 
umgefeljrfen 3Jeifi/e biefer ©lieber, ober bie Dteuje ber@lie» 
ber ber ^>eriobe,i(t ftjmmetrffifc. S3ei J^"45 ijl bie 9>eriobe 
©fjne bastelte ©lieb: 1, 2, 2, 2, 1. $>as le$t«@(ieb ' 
ift = 12 = 2 . 6, unb 6 bie in V"45 enthaltene «an. 
je3a$r. 

43. 5Da nun (39.) fte bett (Enbputtft irgenb eine» 
Verlobe 

'imbai=2a(41.), %, Q ;+1 , Piöberganje pofftiw^al)* 
len ftnb, beren jwei erflere nie > a »erben ttnnen (38. 
39.); fo ifl Kar, baß <£=<£+, = a, unb P i= = 1 
fenn muß. 2tb\et (37.) . 

+ p i = P^aPi-. - ViVi' A 1 

ötfe pi-jpt-i — qt-ii-jA = + 1 , wo-baö obere ober 
untere 3«$*" flHf, jenacfjöem i — 1 gerabe ober ungera* 
beiff, b. i. je.nat&bem i ungerabe ober gerabe ifl, ober 

p. p, — q. . q A = + 1 , * 

jenaefcbem —^ > ober < Y*k ift. 

4 i-l 

44. ©eo nun bie unbept'mmte ©leicfcung bes" jtoeifen 
@.rabe« x 2 — Ay 2 = + 1,- »0 A eine ganje gal^l ifj, 
In gatijen %<*Wm aufjulöfen. (Es etljeßet j«n<ld&|?, baß 
A nictit negotii) feijn fann, weit bie ©ieiebung x 2 + Ay 2 
= — 1 offenbar unmogtieb, bie ©fric&ung x a + Ay 2 
ä 1 aber äugenfeb/einlicf} nur bie 21 ufI6 jungen x = 1, 
y = o gemattet. 21u#barf A fein »oKfommnessÜuabrat 
femt, inbem fiir A= a 2 unb x 2 — Ay 2 ±= + 1> 
(x-(-ay)(x — ay)=+l, atfox+ay = l, x— ay 
= 1 feim müßte,. woraus x= 1, y=o als einige 
'^uftfifung folgte. 3uc x l — Ay 2 == — 1 , ()««< man 
eben fo (x + ay) (x, — ay) = — 1 / alfo x + ay = 1, 
x — ay== — 1, ober x + ay s= — 1, x — : ays=l» 
3m erfien $aHe erhielte man x = o, y r= ~, im an* 
bern x = o, y = — — . 

h ,.::;vCÖ0glC 



448 Mn&epintmte SCnal^tiE. 

45. <3e» alfc A pofili» unb eine ilnoolf otirnim Quito 
hatjabj, unb junäcblt x* - Ay» .= +,1. SDMn eni. 
teirfthnitn K~A in «inen Settenbtu*, unb B(jei*n« it= 
genb einen jn ai., get.etenben g>artiatbt»$ mir •§ . 3(1 
nun bieänsafil bet Bliebet einer ^eeiobe, älfo an* int 
mit i geräbt; (is i(i immer (43.) p» — Aa. 2 = + 1, 
unb alle einanber entft>re<btnbenaiert(>e «on p, q fin&aufi 
Bfungen unferet"©leicbung in ganjtn 3al)ten.. 3(1 ober i, 
ttetties jeljf bie änjafll b<r ©lieber einet etaielnen Stiebe 
»e|ei#nen fei, ungetabej f» (tob tfewtb*«» ©lieber ber 
(inäelntn qjerfobett 

Vi '"it-i • "31-* • Sh-i • '(■-• ' " ' . 
unb es i|H — 1 gttabe, 2i — 1 ungerabe, 31 — 1 3« 
ta6e ,4i_l ungerabe, 51— lgetabe, n.f. f. «f« 
flnb (43.) Silier »nb SJlennet bet bat SJlennem a si _„ 
■ ■ ,1'efii u.f. f. en(fptttbenben9)artiatoeKb>, *f> 
Winsen unferer @Uid)ung in ganjra 3«ijlen, 3ab;let unb 
Siennet bettenSJlennerna^,, a jv .;, a s _,, u. f. f. ent. 
fpretfenben <p«tiatoettljt bagegen äiuftSfungin ber BW- 
ebung s. 8 — Ay* =: — 1 in ganjen Sofien , |> bafj olfe 
aud) teuere in b<m Sau, wenn ble Slnja^t bet ©lieber ei. 
ner einjetnen q>eriobe bes üetttnbru*6 für y~A ungfc 
* rabe iff , immer auflösbar iff. " 
! $at man 5. S. ble @(ei*unä x* — 31y* = + U 
folft , 

-rsi-s*-^ ■•- , ■ 

S + *-v_ 

10 +..... . 

Sie 3to|41 »et ©liebet bet ^Jetiobe Ifi getabe, fofglt* 
gablet unb SJlennet be8 8ten g>attialbru<t>8 eine aufBfunj 
unfeter SIeiojnng. Siefet (partiatoernj ifi = \fff, 
unb es ifi rolrfli* 1520* — 31.273? .=-+ 1; eben 
fo geben an* Säljler unb Slennet bes 16(en, 24(fen, 
32(!en, u. f. f, eine »upfung. 



Xh&tQwmtt Sfcmlitfit . «9 

> gut i» — 53y» = + 1 fat m<m 
r-53 = 7 + 1 

14 + . . . 

$>ie ßerlobe $af 5 ©liebet, atfo eilte üngerabe Slnjaljl. 
©er 5ft ^artialwertEj.ifl = t£», unb es ifl »irflicb 
'182* — 53.25« == — X, ber lOte «partialmertb ifl 
— VrW' unb es f(1 wirfli* '66249 2 — 53 .9100* 
= + 1. (Eben fo fmb nun ber 15te, 25(16, 35ße u. f. 
f. ^Partlatwertff SMufttfungen »on x 2 — 53y 2 s= — 1, 
ber 20(?e, 30|ie, 40ße u. f. f. aber 2lufl6fungen bott 
x 2 — 53y 2 == + l- . 

' 46. ürian b>r aucb tafeln bec einfachen SEBertlje »ör 
x, y, roeldje bte ©ttictjunjj x 2 — Ay 2 = -h 1 fn galt« 
jen rationalen %al)lm auß\m, für bie etnjelnen 9Btrt$e 
»on A bececbnet. (Eitler (9l(gebra. II. $. 111.) giebf 
eine Safel für A = 2 bis A = 99. 2)ie t>o0|iartbiafre 
'Jafel i|t: Canon Pellianus, sive tabula simpljcis- 
simam aequationis celeb. y* = ax 2 + 1 Solu- 
tionen!, pro singulis numeri dati valoribus ab 
1 usque ad lOOOin numeris rat. iisdemque integris 
exhibens. Autore C. F. Degen. Hafniae. 1817. 
SDton ntnnr iiÄmtid? bie Aufgabe oueb <p 1 1 1 s Aufgabe (@. 
Mefetl 2lrt.). 2egenbte (Theorie des nombres; 
am (Enbe), giebr eine %afet Bis A = 135, weitbe bte 
einfachen Sluflofungen WBx 1 — Ay 2 = + 1 enthalt.- 
47. #ai man nur eine 2luftöfung ber @(elä)ung 
x> — Ay*=+1, fo i|t es tei#r, mebrere'jtiftnben. ©e» 
juerfi bie 2ln jabl ber ©liebet ber ^Pertobe bes ÄerttnbrMdjs 
ffic y^k gecabe; fo ift nur x 2 — Ay 2 = +-1 in gam" 
Jen ^abjen aufl&ebar (45.). 3>er erfie SWiEierungB&ciKb, 
»eitler eine IHuflofunggiebt, ft» = ■-/ alfo p 2 — Aq*" 
=-+ 1. Srgenb eine anbere 2Iufföfung fco P, Q, alfo 
aueb P 2 — AQ 2 = + 1 ; fo ifi 

' (p> - A,*)(P* - AQ')= + 1 

SS p*P» + A'q»Q 5 — Ap'Q* — Aq'P* 

V- ,.'■ JlCpoglc 



450 * Xttiteßmmtt %mtyt$. , 

; sa (pP +. AqQ)» _ A£pQ + *P)». 
x = pP + AqQ, y = pQ jj..qfc 

©inbnun | ,£, £',u.f.f.©tii(t>e, »elc&e 3Iufföfung« 
unfertt ©feicfctmg geben; fo fann man fefjcn; 

p SS p, ' . g .E= C[-f . 

p' = p* + *?', q' = 2pq;'. 
p" = pp' + Aqq 1 . q" = pq' +■ p'q; 

■p'"=pp"-h Aqq", q"'=p<["+ p"q| 
U.f.f. lt. f. f. 

»eburib man nact» unb na# mehrere 3Iup6fung«n et^lf. 
3nt>ep«ibente 5Iu8fcrütfe er^lr man fo. t£s ift 

x + yY"A = pP + qPrA ± pQK* ■+ A «Q 

= Cp±9rA)(P±,QrA); ' 

älfö f ann man au<$ feiert : 

P +qrA. =p±qrA, 

p' ■+ qV* =( P + qrAv> 

p" + q'TA=(p ±qrAi't 

p"'±q-rA=(p + qyA)», - • . ■ 

U.f.f. ' U.f.f. 

3ota,fl<& autfyaupt 

*±yr A = Cp + qrA;-, . , 
* T _, (p + ir*y + (p - qrA)- 

v _ (r + gr*)- 1 — (p - qrA)° 

'- 3 ■ 2fA ■■' ■ * 

für jtbeff ganje peßtfbe n. 3>a§ bies tmmet gnnje raft'fc 
nale ^abten giebt, ectjeSef lii#t, tnbem man mittel): St« 
b(n«mtfa>en Xf^rfafte« credit: | 




1.2.3.4.5 

wo , »eil n eine pofitibe ganje 3ab,( i(I, bieSinomiatff oef* 
ffriencen ebenfalle folebe 3at;len (inb. Sajjr.ange, in bat 



UnBefJtitmtfc »hiityttf. 4M 

Sufäjraju (E«t«t« atgrtw. 75. jeia,f, ba0 ituit auf Meft 
21« ade moj)ti$en 3luflofttngeB in ganscir^aifteii er^alf. 

48. 3|l bie Staiar)! bet Bliebet ber.spetiote bes jSef= ,' 
tenbrucijB fik K" A unserabe; fo ßnt> bie Stauungen 
x 2 — Ay 2 = + 1 unb x« — Ay 2 =c — 1 bitbe auf., 
littet. (45.). äRan fobe, wenn £ btt eüifaa)fre 3>>&e ! 
tunjtbcutb; i|i, »ei$et Sie (Steicfrana, x 2 — Ay 2 = + 1 
au(Bfi(/ ** 

p' — Aq» = ^i, 

p' 1 — Aq'* = + 1 , 

p~- - Aq^' = - i, 

,,"'•_ Aq">= + 1, < 

- »-ff, «-ff ' 

..(•>• -MW — Aq') =+1, 
<p» — Aq')(p'' — Aq'') ;= — 1, 
(P' — Aq'JCp" 1 — Aq"») = + 1, 

<P' - Aq')(p'"' - Aq"') = — 1, 
«•ff- »-ff 

SoisK* ffnb (47.) 

f. r, ■ . '. 

, P' + Aq- , 5pqi 

PP' + Aqq" , pq' + t>\\ 

pp* + Aqq", pq" + p"qj 

pp'".+ Aqq'", pq"" + p'"q j . 

«.ff. ».ff- 

oStteW'nb SIufBfungm ber (Steigung, x« — Ay 2 =s 
— 1 , unb x 2 — Ay 2 =fc + 1. 

SBie »otrjet (47.) §at man nun »lebet 
« ± jrA = ( P ± qrA)<p ± QrA) 
woraus (ei$t 

»■ - Ay' =, (p' ~ Aq')(F> - AQ') = - 1 . (£ i) = f t, - 

fo bog atfo x 2 — 'Ay 2 ,= + 1, jenac&Sem P 2 — AQ* 
= + 1 1(1. Stfo f ann man feBen ; 

p + qrA =p + qrA, 

p' ±ir" =(p±qW, 

p" ± q'VA =(p ± qVA)" , 

p"'+ q"rA=(p t.qrA)", 

»..ff «•ff- „,„ 

8f2. 



452 " ltof>#mtrafe SfnatptiE. 

b. I allgemein * 

. + y rA = (p + ^rA)*, 
. wo x, y ber ( @tei#ung x z — Ay* = + 1 , ober x 2 — 
Ay 2 = — 1 genügen, jenac&bem n gerate ober ungetabt 
ift. 21lfb §at man wieber 

' _ _ <» +■ qrA>- + (p - gr*> 

' 2 ' 

_ _ fp ± qrAi» - (p — grA)- 

J - 2rA * 

jur StoflSfung »on x 2 — Ay 2 = + 1 in. ganzen ^atyen, 

tnbem tat obere ober untere Seiten ju nehmen i|i, jenaa> 

bem n gerate ober ungerabe i|t. 

tlebrigen« finb bie einfadjften 9fafföfungen bef ©teü 
jungen biefet gorm bo# oft feb> gro|je ^aljten, roobtird? 
bie Stot^wenbigfeit einer ÜKetljobe, wie bie obige , we($e 
fea» Otefultaf ob,ne alles Sßerfucben liefert, um fo fülj[ba= 
«r wirb. §uc bie ©(eiebung x 2 — 991y = 1 ip j. 8. 
bie einfache 2luf!öfiiiig : 

- ' i = 37951640090681 i93063§0l489608O 
y= 12055735790331359447442538767. 

49. <£* gleit nodb einen Saß, wofidj eine un&eftintmtt 
©leidjung fces (weiten ©rabes mit jrcei Unbefannten iifc 
mittelbar mittel)? ber .Settenbrücbe in ganjen Sagten auf= 
löfen läßt, woju folgenbe vorläufige Setradjtung erforber= 
lieb ift ©e» -J ein S3ruc&. / unb beflen Unferföieb mitir» 
genb einer @rÖ|je x fco = + £. SOlan fofl bie SJebtfc 
gungfinben, nnter welker ■£- tiner ber £fM&,etimg«brilü)« 
bets bie ©röfje x barflellenb'en ^ettenbruc(i6 ifi. $u bem 
(£nbe teufe man flc£ ^ in einen .Settenbrua) »erwanbetf. 
5Die Quotienten feoen 

«> ß> y> • • • f, 
unb bie SfU^erungebrücfre : 

■ n^ + 1 ' p^ _p 

T ' i * q°' « ' 

©oll nun -J- ein Üläfcerungflbrucb ja i fenn; fo mufl« 



Un&effönrate 8&al#ifc ' 453 

biefefben tiltmtt mt btv Entwirf düng- T»n x m «inen 
ÄettenbriKb fjeroorge&en. ©ep bie« oer gafl, unb aifo 



gor g H* x = EL^T (Ä«((rti6tM*. 5.) * - f = ■ 
ItoT?? 3 ,?^ 1 ^ 5 C^«« 6 ^. 6.> Sie« muß 
= ±5;/ unb foiglicb ba« geilen »on p°q—'pq° « s 
.mrtei mit bem £8erjeia>n bicfces ©mcbs fepn. SDies l^t 
(I* aber immer annehmen. 3Jton fann nam(ia> immer wr» 
ausfegen, bo§,«>l, weil für ^=1 bog (EubebegÄtften? 
brucfr* für i'," = -—■ = ^ wate, wo A + 1 > 1. 

Umgefeljrf fann man fi<|> aifo au* bie„SXeiIje ber Stornier-, 
unb 0Uljerung8werf$e bes $ittttibvufy& für ? - auf feU 
genbe jwei SIrten beenbigt benfen: 



ba im Iffiten gaße 

i = P"' 1 + m e! — P , ~ ' 
q 5° . 1 + n ' q° p — 1 

»or ~ »ora 

rimgewcrtfj Bejeufmef. ©ei«i#net nun j£ in betten §aü 
fett bfefen Dotierten SMIjerHnggwerrt}; fo fann man' ätfö 
enfweber p° = m, q° — n, oberp? =p — 10,4*' 
== q — n fe^tti. 3m «rfNn Satte iff pq° — p?q s= 
pn — qm, im anbern == p(q -»)- q(p ^-t-mf=s: 
pq — pn — pq+qm=— (pn — qm), atfo ber SBertfc/, 
von pq° — p°q inieiben gaflen von »erfcbiebenem 3«<&«V fr. 
bafj f<rfglia> ««4» ber ©iffe ren j p °q— pq* ein beliebiges, atfo 
immer einerlei %eid)tn mit + ~ gegeben werben fann, unb 1 
man atfo ttad> bem Obigen ojjne 3«w tbeutigfejt 

stay + s'') i' - ■ «r + «" 

■ ■;■.-* - ' ^ :. „Google 1 



454 iltt&eflimtirfe SCtwlptil. 

Ija&efc 'ämf». flfrun 'i|l a6er offfnbac y > 1 uitfc poftriti; 
9H|b muff f<ntt'(f l< ^-^-s , wenn -| "unter ben SMIp. 
. cuna,fi*eildjeR jit x »ocfemtmn foD. !< 3fl umgefeljM 
9 < ^r^? «nbpipätts fpi(tnptljwenb!;9y;>l. <Sef{( 
ittannun 

:": f -=' v 7 + ., + x ... 

■ ''■•'; --'• y , 

»nti «ttwltfeft^ierattä.bett SBJetft) »ör y; fo »itb man im» 
m« «inen SBertlt erhalten/ »efc&er pofitiö unb > 1 ig. 
gör-yi^; J er^flltman 



gär y; > 1 f«nn man feften 

7 = #' + — 4 



' (S> tag. oTfo |- Immer unter ben 9[a§erun$8Weri§eh jux 
»»ttommen muf, »ob« für feeti Sa» ;y = 1 nur ju 6fc 
merfm T baß man bann ben leisten SJtenner /* + 1, wet 
(W.f jukßies eine gon{e Ja# barbieren wirb, in /e + -f jer- 
(egen>nui$. , 0ammt man tiefe Verlegung niäjr mt, jö 
i(t öud? -| nicfjt unter bei: SfW^ermtg8nwr$en enthalten, 
unb bann nrnf affo. nur bit SJStbinjunj $ < ■ J er« 
fiWfenn, ,.;'...■ 

_50. 3(! nun ble un6e|rimmte Steigung i» — Ay" 
c=+ B, wHuugcft.it.. bojj B < y~A ig, in 9a,njen3a&It« 



I Uit&e$Hitife Sfnalpttf. 455 

p, q aiißitsa;- fVmu|s.-| unter bent^iru»8«MtfKn 

[' j» Y~A enteren feg«. E«i(l ■;;''■ ';"-"- 

''..'■ . . ..p 1 — 'Aq 1 = +--*i ..:. * 

<p + qKAXp- qrA) = + B, "■' . 



' 


-rA 






s 


<j(p + qr*> ' 




r 




+ B 




A 
* 


s 


_' + * 
~ q*. ■ 


ß<I 




q(p 


+ SPA) ' . - P 


+ .*r± 



©(9 nun ^7 ber t>or *■ »oran«ge$enbe 9&$iruttgä$ruc$ 
ju I" fo fonn £ imm«Lfo befffmmt «jerWn ,. bafj J mit B 
einerlei ^tieften f)df," ünb es ijt alfo nur riöd) ju seigctt, baß 

f|t. ©ejt man p==qf^A,+ -|i fo wrnwnbelt (td), 
biefe &ebingung in 

<q ,+ q")(rA - b) + (J - q«)»-i 5 -| > o. 

■Da y~A > B , cj > q° , unb (q — ' q°) yji rninbe., 
(Jen« ==J/"A, Ktii)t> > -i/ bas ein ecfiterSSru* i|ti 
foer^eüef, bofj obige"Sebittgungunmitfe(barerfülIti|t/~unb 
•| alfo unter ben 9tiujtrungs6ruo>n ju J/~A »orfofflmt. 
(49.). 3>amnK37.)nberr)0Bpt : 

+ Pnti = Pnpn — q»qaA 

ütborriger 33e$ei$nung; fo berechne man- bie @rofjen P, 
P', P", u. f, f. (36.). Äomtnt unter biefen SrSfien 
eine P„ +1 »or, tteujiecs: B; fo giebt j~ eine ShrfuV 
fung ber ßHeic&utig 

x» — Aj> = + B, 

in Sejuj auf ba« obere ober untere geilen, jenacbbem 
g<obe,r>r'A. 

" ' „, Google 



456 , Uo&efftmmtc Sfaotyttf. 

trifft matt in bet erp« <periobe auf fein P, »eldjes 
=rB jft; fo fann aiidj fernerhin fem«, bocfommcit-, unb ' 
Die ©leic&ung lägt fi<& in ganjen Sagten n»*t auftöfen. 
kommen in ber erjten 9>eriöb<t meutere P t>«, tvett^e =" 
" B ; fo giebi ti a»# mehrere entfpret&enbe Slufl&fungen ber 
©leicfcung. Jgtat man ft^on eine s ilufl6fung gefunben, fobajj 

p> — Atf» == + B, 

unb t, a jinb stwi ber Steigung , 

*' — An* = + i 

genügenbe Sagten ;■ fo Ijae man 

<p» - Aq')(t> — Au') = + B., 
' . (P* ± A^uJ» — "A(pa +'C[t)» =s + B, '■ 

fo baß atfo auä) ■ . . 

ia[t+ Aqu , y = pn J- qt ' 

. Sluflofungen »on x l — Ay 2 = + B flnb. 

51. SBae ferner üb« bie $IuflSfimg bec un6e|Hmmt«t 

©teidjungert bes jweifen ©rate« ju fagen wäre , (4jjt |iä) 
t>ier nur in einer furjen Ueberpgt jufattmtenfaflen. (Seg 
bie qitabratifctje ©tetgung 

«t* — 2*£ = * 

gegeben, teoa, c, z ganje -Jaljlen finb , npofiritt f|T, unb, 
wenn ber ff oefpr ienf be« {weiten ©liebe« feine gerabe %aty 
wäre, bie« leid« bura) beibeefeifige .SÖtofripUcarion .bec 
©UicjtuRg mit 2 erreicht »erben f innte. (Es i|i 

1 = i±IE±Z. 

** ■ * 

©inb nun bie SBurjeln mfiglidj, aber irrational; fo »er: 
benpepd>naä> einer gani^nli^enÜHet^obe/ wie in (36.) 
in einen Äettenbrna) wewanbetn (äffen, welcher, wie fia) 
ganj ftreng jeigen la(st, ebenfalls immer periobifa> feg« 
wtrb. ©ei;en nun •>■ . -jj- jwei auf einanber fofgenbc 
*partia(n>ett&e befielben, unb -i- bec S3ru$, welchen malt 
jtt bem legten SHenner be« bem SBrw&e | entfpredjenben 
Zfftiit bes £ettenbm$£ nod? ^insufägen muß, um beit 
ganjen Äafftbrufl) ja erhalten; fo iß befarnittta) immer 



x — ES ± p ° a - 1°* " P° 

' q* + q° ' . p — V . " ■ . 

woraus, wenn man bett 2Secty wn-x fuBfiifuict; 

p* — q* + i r*# + ? - I 

unb wenn 3<H)to irab Oteimer mit 

p* — .9» i ?/•» + ■* , 
mufttpttdtt rotcb: 

a aa iiW — p'qiT«"-*-"« 1 + (pt" * p"q>* — pp"" + qq » • 

■p* — 2«pq — «q 1 
©eljctnnfr für ax + <x a — A: 

, _ ±r* + Q _ ±(pq" — p n g)r^ •*- (pq° — PVQ . 

'- P <pq"-p"q)i- ' 

* = ■"+,«'» , 

( p(J ° _ p°q)Q = (pq° + p°q) u — pp°a + qtrV 
• (pq B -r p?q)P = «p» — 2«pq — iq'. 

52. gaffen reit nun ber Äürje wegen Hof bie (e(te 
©(eitbuno. in» üluge; fo i(i Aar, bau, wegen j>q° ■*- p»n 
— + 1 i P e 1 b,e ©k"t>ung 

«i» — 2««y — «7» = + P " 

in flanätn 3a5te auflSfen, reo tos obere ober untere 3eid)en 
jU nehmen, jtnotbent -| > «bet < de fceraBe«,) $a 
gansen Äettenbructs ift- Siebt es meiere t>ol|MnWge 
. Quotienten z, bie benSRennerP r)aben, wie tue« immer, 
ber ßaB ifi, wenn z in bie JPeriobe besi'etttnbru*« faß; 
fo gtcbt es audj mehrere aiuflöfungm obiger ©leitbnng. 
©iebt man in SSejug auf bie ".weite SSurjei ber auabraii* 
fa)en (Sieicbunj bem tnoBJJanbijen Quotienten bie 8orra 
. _ r* — Q _ ta + <y . 
- *~ - p . p . * 
foi(l _■■..- 

■x» — im] — «y 1 => + **. 

unter benfet&en Sebmgungen für |- • 

53. ®e» nun überhaupt bie ©leitbitng: 

tn gongen 3atj(en auf'ufofen. 3»a>t (am offenbar immer 



458 UnSe|limrote Sfootytif. 

annehmen, *a§ a pofith), wtb aucfcbafj tot Eoefßcienf Mit 
xy eine gerade 3«&l iff/ weil/ wenn namentlich Ie§tece(t 
■tieft bet Sali roäre, matt bie ®leia)ung nur mit 2 ju mul. 
tlpticlren kaufte. . ■ 

1) 31* b ' —■'*»' =? °S f» ttniftlpllei« man auf bet- 
ten ©elten mit a: - . 

a»a» + 2abxy + aoy> = «L , 
[« + by)» — (b» — M)y»«:«L ( : ■:. 

<«* + by) 1 = «L . . ~: ■ ■ 

gotgttä> muß fll> elttveßtDBtnineesOtiabrat fenn, wenn bie 
äufIofnn8m°3li*f'»nf°S-3l*m«i« I >=K*; fo&otman - 

.,+ by = K, 

etne$leiä)ung bes etfieti ©rabeet mit jroei Ünbefannlen, in 
ganjtn Sagten aufjiiUfen (1.). £>a(i man x, y immer 
pofitiD unb negati» nehmen fann. , i|t f tat. 

2) 3|t b*\ — ac < 6, =.-r* d j. f« etf|4[t malt 
fei*« ..... ' 

(.i 4-.M" 1- ff =?■?■. . . 
t*er, für ax + By i= "f. : .. 

**.,+. d j' = Hl " , 
2(lfo mujsL, wenn. bie eieldjung auflSste fenn fall, paß 
riti fenn. Man fege mm y == -1 ; 2; 3, U. f. f. , unb 
Senate fiir y nur bie SBerf&e,- für, »riebe- «L ~ dy» pa- 
fften, unfein poölcmmeneet Üuäbriit ijt. S)abura> er* 
rjalt man eine Dieitje.8äSertr,e für t. SBon ben erhaltenen 
SSertr)m »an y,t behalt man bann ferner nur ttt, für 
wefcbe x = '-^ ein« :ganje garjl wirb., 

.3) 3|t b 2 -!■.« ritt tfflflfonuttmri Quabrat =1", 
nnbpofiti»; for)atman .\-... : 

(« + by) J — l»? 1 = «L, 
|«+ <b + Dj|l« + ft — I)y| = ■!.. 

©inbmtnf, glrgenb j»dSoc(ooi(W»al'S fofe<s«man 
u + (b + l)y = f, «t + (b — l)y = g> 
t-'t ' t-ib *3i 

. 21" '; . . ' .a.: 

Sfflan (erlege atfo al, auf alle tnSglicbe Sitten in jroei $at< 
röten l, g, Stftimme :buttb biefelben tt»o> ten nötigen 



Un&eftmmfc ftnäfytit 459' 

gemuht j-, x, unb. begaffe bieSScct^f, weKb« S«BS* 
3ab>n finb. - ( 

4) 3(ienMi*b?r7-ac pofititvunb Feine twSfomm* 
mQuobtafi^l; fofeljeman ai=a> b = — «, cä 
— x ; fo wivb bie gegebene ©t«#ung : . 

«x 1 — 2axy t- «y 1 = L. 

S>a a* + « a = b 1 -A afc pofTttv utib eine umwflfßmmne 

öiia&ratiütil if|; fofhtb bie aSucjelnber quabratifcl?en@leu 
(bimg. ■ ' -:.■"■■'; ■• 

. . a» 1 — 2<,x — « = P' 

mSgficb unb irrational (51.). ©alter entu»icfe.te mäiilbieje" 

SSJursefaitTÄettenbrücbe, unb beffimme bie »oßftärtbicjeir 
ÖKottenten z £51.}. göp jeben Kenn« P eine« folgen 
vonfiänbigen üuotierteen i)i nun, wenn ■*■ ber tittfpire* 
^enbeDl^ec«ng*»ett§ifi: .,';'"" 

«p 1 — 2«pq — *5* 'SS + F, ' 

»P 5 + 2bp? + dq*=-+P. 

©inb nwtt in irgenb einem gaUe bei bfefer (EMTORjelunj 
bie ®zb$tn auf bet recbten- ©elfe-bec @Iei4>«i»s*n 

ai' + 2t»y + oy* ss. I. , ' 
»p* + 2bp5 + cc£* = + P , 

mit einander- ttbereinfiirotttehbj fogeben p, q eine ?uifIo> 
fung ber gegebenen ©.Iei#ang -.-.■■ 

'.«»-+ 2b»y + ey*TSsL, 

j£>at man. j. 2?. bie ©leicfcung 

2** — 'l4xy ■*- 17y> = 5; 

fo i(!, föc 



S>ie Entwicfitag t><t neinsra- äBurjtt in «mit 


ÄtHuu 




,--Zü:!2 = i 4.1. 






■ s-rts s + ? 


i 




«■• - -5- - ES- i* -i. 





=, Google 



460 Ito&efftramf c Staatyöf. 



g na + 3 

" ri5 — 3 3 

»•ff- D-f-f- 



= 2+; 



3 -+ i . , 

2 + . . . 

El« Steinet bes BoHfiSiibign» Quotienten 5 + 5 r ' s i|i = 
.5. 3>ermtfpte$<nbe^atfiar»eri&f|I = l=4. Sllfo 
ift,ba&ltr|.,<xi(l(52.): 

2.1* — 14.1.1 + 17.1» = 5, 

fo baß atfo 1/ 1 eine Sluflöfung unfeter ©leidjung ift. 
8ör 2x* — 14xy + 17y> = — 3 «Ijält twm&utcb 

'gnttuicfetang ber großem 85ur jel ber Oleicbung 

2x» — 14x + 17 = o 

in einen Seffenoru* 

2 _ ris + 3 ■ | 1 

* - riS — 3 3 _ ' * i" • 

3 .. ris + 3 - -■ i 

" ~ ris — a ~ 2 - a -f- -jw . • 

: . ri* — 3 J * + V" * 

«•f-f- «.'ff., 

2 + 2 

» + — . 

2 + -i 

3 + ... 

3)1« <p«tlobe .1(1 2, 3. S>le 95äMkl6cä*e, roetcbe' ben 
»olIJtönbigcn.Üuotientenx', x", x"'", u. f. f. beren £Ren= 
netalu-==3, entfprecpen, ftnb aße<x. golglicb geben 
alle biefe gViKuilr.tü<tie 4, -V...W; "• f-f- *" all l B • 

fung unfetec Sleicfmng Ingcmjengaljta, ba 

■2.5 1 — 14.5.1 + 17.1' = —3,' 
2.38»— 14.33.7 + 17.7' = — 3,« 



-«Google . 



Ztökfimmtt ytnatytil m 

2.299 1 — 14.299.55 + 17.55' = — J, 

«f. f. u-f.f- 
gär 2x* — 14xy + 17y* = 3 finbet matt feto »uf» 
lofung in ganjm 3aljien, unb für 2x 2 — I4xy + 17y* 
=±z 2 bie 2luflöfnngen 1 , 11, 87, 685, 5393,..., ober 
i, 3, 25, 197, 1551,... mitO, 2, 16, 126, 992,.,/ 

' 54. 3)1 nun bie allgemeinere @fei$ung 

-' «j* + 2tay + c**+dy + «x + f = «> 

aufinI6fen, wo burdj tD?uIfiplication mit 2 ber <£oefiftcienf 
»oit xy immer ju einet: geraten ^aEjt gemalt werben fanu; 
fo fc^e man 

y ssbj* 4* «, iKsh" + fi, 

unb fu^)C bie ©(eic&ung, um fle auf biefe(Be Jöcm wie in 
(53.) ju bringen , tum ben ©liebem ber erjfrtt 2)imenfto« 
au befreien. SDfcxfct man Sie ©iibftitution ; fo finb bie 
<£o/fficient<n »on y', x': 

• <2m + 2*0 + d)», (2ßa + 2^h + •)!. . 

SBan fefce alfo 

3u + %» + d = o, 2^c + 2ob + « s= o; 

-■* — «~ „ •• — bd 



Serner fefje man « = 1 = 2(b , *_ ae) ; fo wirb 

_ y* + cd — he _ ■ x'"*+ aa - bd 
y ~* 2(b* — «c> ' ' *. 2^b* — ac) "■ 

SDieS finb jwei ®teia>ngen bee erften ©rabe« mir jwei Ulfe 
befannttn, aus benen many, x bura> y', x' naifrbefamu 
tenSKetfjc&en, wenn es mdgiia) if!, fo beflimmen fatm, 
baßy, x ganje Sagten »erben (1.). Sttufeiplidrt man 
nun bie beißen «bigeh s= o gefegten ©t:60en mit c, /?, 
unbabbirt; fo credit man leiäjt: 

- <«.> + 2b OJJ + o/»') = — ps = 4t£l _ T . „ , 

trab hieraus, wenn man ben testen S5ru<& = ^ fest, unb 
-bie ©ubflitutionen in ber gegebenen @(ei$ung witf(io> 
ausführt: 

■y'» + 2tay.+ « , *.+ * s ' f + MN=S o, 

Dg 1,-et, GOOgk 



462 ' iti&fKntfflte 3Ctw(nt& 

eine (Bleiifrirtft »ort berfefoen garm, wie in (53.)/ tfe 

man alfo auflöfen fann. güc 

V — 2xj + 3k* — 30y -f 10* + 8 ± o 

t| ( y -W — -4^- 

!Öa nun y, x gänje Saufen fenn müffenj fo fann man — 
40y', — 40x' für y', x' fefeeft. £>ie« gicbt y =y' + 2, 
. x === x' — 1. ©je rränsformirte ©teicfcung ifh 

7y'' — 2*'y* + Sit'' = 27. 

3n berfetben 1(1 b* — ac= 1 — 2f =±:^20, alfo 
< d. ©ie fann fotgli^J na* (53. 2.) aufgeföfef werben. 
SBan erljaft y' «= 4- 0, +2; x' = + 3, + 1. 2Itf6 
y = 2, 2, 4,0;^ = 2, — i, 0^*- 2. 

3(i b 2 — ac t= o ; fo f fi obfge Sfuflöfung nidbt an= 
weflbbar. Sftan mulfipficire in biefem gaße bie gegebene 
(SIekfc/ung mit a, unb- abbire auf bet linfen &titt (b* — 
ac)x s ; foer^aitman 

(ay-f bs)'/f ady -f aex + af as «i 

2Hfo für ay + bx==z: 

• z 3 4- ndy-|- bdi-f- oex — Lds -|- af = °> 
■' + d<ay + hi) -J- (a* — bd) x + af sc o , 
t* + d$ + (ae — bd)jt + af = d. 

£>it* i|i eine Steigung mit jroci Unbefannten, berm 
(ine ben et|ten ©tob nt$t überfleigt. ÜRan fann dlfo bteft 
©leitfcung in ganzen %4un auß[m (14.). 3>a nun 

z — fex 

fo feljf man fÄr x, z nur bie SBertfje, fär we(cb> awfr y 
eine ganje 3a§l wirb , woburtb bann aua> y beflimmt ifl. 
, , 55. lieber ben jweiten ©rab tjüiautf gie&t eff niebt fö 
; allgemeine SWethoben juc s ilufIÖfung ber unbefMmmtett@r«= 
ebungen, wie bie »ortjergetjenben. Otur einjelne §ä!Ie finb 
bis jeijt »on ben SOtattjematifern be^anbett warben. £ter* 
übernommene ju fagen verbietet uns bie Sefcbränftfjeif 
bet» Dtanme«, unb wir föliejjen baber biefen 2irtifrl mit. 
einigen E)i|tor ; iftt>en Semer f ungen. 

56. gi'ir ben Srfinber ber unbeftimmten Sfnut^fiF $ätt 
man geroötjniidj ben 2IteranBriiter ® iep^antug, btffen 
3eita(t«c fer>c ungewiß i(f. ©ew6^n(ia> feijt man ib,n in ben 



■ ttn&ftiromie 9toalpttf. ' 463 

geiflMutn t>0n.2OÖ ». "£?>. 6ts. 400 t). CbY Onigc macf>ett/ 
i^n ju einem gHtgenoffen beö JRetö, 23ümbelli läfit 
i^n.iitr^etf beeiÄalferj 2Iit(oiunw3. Pias, ut\\>'Zlbui? 
»fjaragius unter bem $aifer3"U^ut'^P<Jj?«ta i& 
htm aber aÜe bitfe eingaben finb febr unbeflirarat : uffl> 
jweibeuf 13 , worüber mit SOfefircrem biefeljr fcbJißböreSSer? 
rebe ju : .SD t e p & an t u 8 von Slferanfcria arit&m. Aufgaben. 
-31.. b. ©rieft, »on Otto @d>.u'i SSectin. 1622. nacfoHfe* 
I>en tft. SStefts berühmte SEBerf beö SDiopIjanf u« mu 
ifik eine treff(i<*)* ©ammtung algebraiffter , vorjüglfä) «n» 
tefKmmtet, Aufgaben, bie ju (frempetn fiet obigen äuge?, 
meinen 5DJ«t£)oberi feljt geeignet ftnb. 3jnbefj t'fi nad) Q» 
@$u{j (a.a.O. @»XXIII.) SÖiop^antus ni<&t(£r.. 
fmber triefe* "äjjeilet berSma&jft«, fonbern btog ©ammter 
be* fa>on frityer (Entbetf ten , unb fein Sßerbten|t .feeffefjt 
»orjügli# in einer fafHtdjenSDarßelhing. Sie erffe Ueberfe« 
feung »eranftaltete 2ß. jnlanber ober 4?*Ijmann »im 
Stugoburg (Basileae. 1575. fol.)/ bie erfie Ausgabe be* 
Serie*" (£(aublus Caspar SSadiet/ £etr »on 9Hei 
jiriac (Lutetiae Paris. 1691. fol.)*, j»e»on Tolosae. 
.1760. fol. eine neue mit Dielen 9tnmerfungen S.erraat* 
»ereic&erte, »ort ©amuel §crmat, bem ©ofjne, »er* 
anffalfete Ausgabe erf^ien. Sie neuefTe Ueberfeijung tfi 
bie fcr)on oben angeführte beuifcbe ». b. © ä) u l 5 , ein fefjr 
»erbienfUtcfee* Untttnetjmen. SDa* Sßerf entölt einen ; 
wafiren ©cpa§ fetjr f4?arffinntg aufgelöller Aufgaben , uni> 
ift bat)et jur Uebung in btt imbeflimmfen 2Inali>tir' fer)r jir 
empfehlen, ©aö leJjte , feftfte, Sud? befefcaftigt f!c(j allein- 
mit Aufgaben über fogenannre rationale SDrefecfe (iBergt. 
"?rig. 34.), unb angelangt ift ber beutfeben Ueberfefjung eine 
früher ffton »en p o f e ig e c (?pjg. 1810.) oberste ©ebrift 
über bie g>olrjgonatäat)ten. 2Iud>bie';3nbier t)aben WetHupö* 
fung ber unbefltmmten @leic"nmgen bees erfien ©tabes ge» ' 
fannt; bie Kommentatoren be*5B$a*f er öberSjjascara» 
Slftarga (H5Öj aM ber ©tabt 93ibber) fegen tiefe 
(Hrfmbungbem$lr»a*23affa, ben man für einen $tiu 
genoffen be* SDiopljant tjMf, bei. 9tt. f. Algebra, 
with Ärithmetic and Mensuration , from tbe San«- 



464 Un&efHmntfe gnafytff. 

crit of Brahmegupta and Bhascara. Translaied by 
Henry Thomas Colebrooke. London. 1817,; 
aad) »ergf. m. Hutton raathematical Tracts etc. 
London. 1812. Dtacb O. ©djutj (a. a. D. ©.XXIV.) 
ftnbet fein ^ufammenfcarig jwifcfen ber ISlgebra ber 3ubier 
unb ber ©eieren flatt. 

57. 50(r muffen gletd) $er bemerfen, bog bie imbe= 
fttmmte Slnatijttf in unmittelbarer Söerbinbung ftetjf mit 
, einem gewiffen ijöfjetn ItyiU twr 2Inttjrmtif , welchen matt 
'feit gegenbre bie $b>orie ber ^(en nennt/ becjtcb 
tinjig unb aDein mit bec Untecfucbung bei; £igenf$af* 
ten ber ganzen £aljten befdjäftigt, rcofcurd? er fi# wefetrttteb 
voit bem eigentlich reebnenben Xfjeite bec SIrteljmctif unter* 
febefbet. germaf b>tj.©.gefunben,baßfebe$rimialjt»e« 
ter $ontt 4n+l bie ©umme jreeiec öuabrate ifi , welcbes 
baffe(bei|r, atß nenn man fagfe, bie unbefHmmte @lei= 
«fcung a = x* + y 2 ifi/ wenn a eine 9>rimja(>l »»» ber 
$6rm4n+lbt}eicbnef, immer in ganjen£a$lenauff&8ßar. 
QDaEier brauet mrftt bfe 9Iusbrörfe unbejiimmte SlnafijfiE 
unb ?r)eotie ber Sagten jefcf gewöljnlict) ats glelcbbebeutenb/ 
unb wenn in tiefem SB6rterbud?e ber Seweiet einiger merf« 
wurbfgen tEigenfcbaften bec ganzen 3atjten in ben 3lrt. galjt 
»rwiefen worben ifi; fo ift biet) nur besljalb gefa>r)en/ 
um vorUtgenben Slrtifet nitbt ju feJjr'ausjubeBnen, unb 
weites ^wertmäßig ftbjen, jene Sigenfebaften abgefembert 
fm 3ufammenb,ange beifammen ju tjaben. 35er 2Irt. <3af)( 
fann aber fetjr sur CErgonjung brt gegenwärtigen biehen. 

.58. CnacbX>iopt)ant warb Bie unbefltmmte 21natij= 
tif nur erft wieber burtb Sßtef a, melje aber butdj Sc» 
d>et bureb feinen Kommentar jum DiopSant, unb feine 
©tbrjft: Probleme» plaisans et delectables sur les 
nombres. Lyon. 1612. geförberf, wbrin er aueb eine 
feljr finnreiebe 3(ufföfimg bec unbeffimmte n ©(eitbutigen 
beö: erffen ©rabes gab. 3>t größte SWeifler in biefent < 
$beile ber Slnabjftss war aber gmnat, ^Parlamente«!!) ' 
}u %ouf oufe f über beflen Sntberf ungen ber 2lrtt. 5 tr m a 1 8 
, £et)rf<il^e nacbjufetjen ift. 25en engtifeben ©eometetn legte 
er bie unbefHmmte ©leiebung x* — Ay* = 1 jur auf» 



ttofcffimtttfe Sfoalpti*. * »65 

I6fn Hg in ganjen £foB> tt »er, Sorb 35 r o u rt f e t gab ef ne 
3hifföfung, bie |icb in SßJadis SEBerfen (2Kg*bra. Cap. 
XCVinO/ <Söler« SKgfbrc W n. Aap. VII.) , unb 
äucbOjanamB Algebra, wo |7e germ.at betgeiegtreicb,. 
beßn'bet. 3nbeg fdjemf germat nie eine Sluflöfung gege* 
ben jit fjaben) unb an Storni fers ^luflofung möcbte 
»orsüglicfj auttjufeljen feim, baß fie nitbf auf eine ganjbeut= 
fia>2lrtjeigf/ baß bie Aufgabe immer möglitb iß. ©U 
eben (35. f.) mitge^eil« SlußSfung mittelft ber Amen* 
btiicbe jjab Sagrange (Me'langes de Turin . T. IV. 
Mem. de Berlin. 1767i), unb fit genögt gewig aüm 3ht* 
forberungen. 91aa>^ermat iß, nebß £ u I c r, Sagrange 
ber Sflatljematifer, weißem bie unbeftimmte Sinalptif of> 
fenbar am 3Keifiett»erbanft;-utib trat er aucf) in Gulers 
gußtapfen, fotjater bocbalfcinble 9Befb>ben, tsefdje oft 
auf einem bloßen 9>robiren berubeten, ju völliger 2l8ae» 
ttteinfjeif unb S9ejHmmtt)eit erhoben, flutete Unb x a. 
grange* 2Ibfwnbuingen fmber matt jiemlicb auttfilljr* 
(ttb; berjtttfyKt in Heu s 8 Kepertorium Commen- 
tationum a Societat. litt, editajum, T. VII. Gott. 
1808. p. 107. sqq. worauf wir Ijfer ber Jtütjie wegen »er* 
weifen. 3m jweiten ti><lU feiner SUgebra tiefem Suler 
ben erffen einigermaßen vodjtfnbigen Sefjrbegtiff biefer 
SÖiffenfcbaft, beffen 25rauä}bavUit bureb Sagrange''« 
3ufalje außerorbenttid) gewann. 2lts bie beße Ausgabe 
iftju e,mpfe^Ien: Elemens d'AIgebre par L, Euler, 
trad^del'Äll. Nouv. eU.revue et augmente'e de no- 
tes, par Garnier. T. I. II. Paris. 1807. Sit 3ufä^e 

»en Sagrange T. II. p. 281 —485. 3)en »offftanbig* 
flen Seljtbegttff lieferte gegetibre (Essai surla Theo- 
rie des nombres. 2ieme ed. Paria. 1808. 4.) , welcher 
«Hbf bloß bie SRef&oben ber unbeftintmten IHnalntif , fon* . 
bern aud? eine große tDtenge ber mft.fwiirJtigf?eB (Eigen* 
ftbafren ber gatym enthalt. Sludj Srembtetj, Sagno/ 
Seeiie, Montana unbÄauStec baten ßcb niebt ebne 
(Erfolg, tiefen Unterfucbungen gewibmtf. Ö&re leiten 
fmbbei Dveuß a. a. 0. »erjeitbnet. . itautflcr bat bie 
3«f% »ort Sagrange }tt (Euler« Sltgebra befonbert 



466: ; Uh&cfHmmte Shifgak. 

fibetfegt(3ranfft. 1796-> Surben-erftenUniemaV fann' 
'biencn: £ellwig 2Infang«grünfce ha snbtft. Sinai. 
23rnf*wg. 1803. ©aofi auein $at bie unbe£inrmte 
IHnd^tif un& gaMoilfbre B*^ gefor&etf , aie »tele 
feiner SBorgänger. ©ein berühmtes 2Berf: Dlsqui- 
sitiones arithmeticae. T>ips. 1801. enthält einen 
überaus großen ©(baß. ber f<barffranigftett ÜRet^cbeit, eU 
ne SOlenge neuer böd>fl tmrfwürbiger ©alje, «nb nrajj 
ben Xiebbobcrn jum ©tubium eifrigjt empfohlen wer* 
ben, ba bie ^etboben bem ^f. fo cigenttjümlicb finb, bag 
von bemfelben ohne größere SfSeitiäufigfrir, aie Der 9vaum 
In'ererlaubre, nid)t ©ebraudj gemadjt werben formte- $>a« 
SBerf mup ganj mtb im ^ufammenbange fhibirt werben. 
<£$ geb,t übrigen« von ganj einfachen ©äfeea unb 9>rinci= 
pien aus. @. ^a^l. 

Unbefftmmte Aufgaben fint> fofc&e, weift irinc 

galt} unbefrimmte Slnjatjl von Sluftöfungen jufaflen. (Eine 
Aufgabe , wettbe auf eine ©feiajung be« trierten ©rabeö 
fÜfnt,' fann, trenn aße SSurjtfn bet ©leit&ung reell ffttb, 
auf iJteT »erftbiebene Slrten aufgelöfet »erben , iß aber 
bfjfenungeadjtet bo* eine be(timmfe Aufgabe, weil b'ieSIm. 
jäfjt ber moglitfren 3Inp6fungen beflimmt ifr. <Eme tntbe= 
jTimmte Aufgabe führt immer auf weniger ©leicbnngen, 
a(s unbefannte @r&|jen ju beftimnwn.ftnb/ wett&es in &em 
3t rr. Unbeßlmmte 3Inattjtif weiter außrhtanber gtfe&t rooe* 
ben ift, worauf wir übertjaupr in QSejug auf bie 3luf« 
lofung unbejtimmfer^aritfmtetiftber Aufgaben öerweifen, 
gegenwärtiger 3Irtifel foS ber 3tu(ü6fung einiger" unbe* 
(limtnren geometrifeben Probleme gewi&met fenn. 

1- ^roifcben ben <Bcbf nfefn eines gegebenen 3Binfe(8 
BAC = « (Fig. 87.) einen ^uatt P »on foldber Se'fcbaf* 
fenljfit ju ftnbcn, bajjiie ©unime ber mit ben- ©tbenieüi 
bes SBinfefs parallel gezogenen Sinien PQ + PQ' = a 
fep/ b. fj. eine gegebene ©rofie fjabe. 

9»än ne&m« A als 31nfattg, ACT als 3Ire ber 9lbfci|fen 
an, twbfe?eAR=x, PR = y; foi(l ■ 



JQ = i - PQ\co»o, y = FQ'.iin;a; 

e= i — ycoto, PQ' '== ycoiec«, 
X + j[«mmi — coto) =: «, ' , 

, i — com _ 

■" + ?• -tti. -»> >.. - ,. 

rooratts leitet 

i ='a — ytatig-4«; : 

©ieu 1(1 eine ©leicTjun^ jwifd?en jroef tmferVmntttt ©rÄ. 
ßen. (Eine biefer ©r&fjen Uft- fia) alfo immer »iflfiiljr(ic& 
annehmen, unb beflittfnit trtah bann nur bie anbere Soor; 
binate mfKeljl ber gefimbenen©leid)iing; fo n>fct> immer 
ber bur# tiefe beiben Eoorbinafen befümmte ^unff ber 
Aufgabe ©enüge letften. ütt'an fie^t alfb, baß es unenb» 
(ic& »Me 2hifwfungen unfererSfafgabe giebt, «nbblefealfe jii 
ben unbeffimmteu gehört, SSefatwtüd? (f. brumme fitnie) 
(teilt jebe @lcid?intg jwifdjen jwei veränbertieben ©rfcßen 
eine £ur»e von einfacher ÄrÄmntung »ar. We fünfte 
biefer (Eurse erfüllen alfo bie SSe.bingüngea ber Aufgabe, 
ultb biefe £ur»e t(i folglich ber geom e trifdje Ort ( f. biefen 
SbtO bie f« 9>»irft*. , 3* unferni §äfle 1?eflt bie ©letebuns 
eine getaö*. Akte- bar (Jinie,, ge'rabe. 13.)/ welifce com 
ffruirt wtr,b, ; wenn man AD = a, unb-benUBInfel ^= 
90° — ^ttpnXbti wobannjeber ptttätin DE. ber 2Iuf= 
gäbe ©enüge leitet. 2>enn bie @leid)ung biefer Sinie ijt: 

y = xUng(]80° — fi + * = *tang(90 o + *«) + A ' 

S)a nun x == a für y = o; fo «tjält man teiebf A = 
«cot^a., unb folgiid), wenn- man atifbetben ©eiten mit 
fangfa multiplicirt: 

yUrfg^o = — x + ?, x = a — ytang*«, 

bie obige ©leicbung, fo baß alfo DE ber geome(rtfd;e Ort 
bes gefuc&ten 9)unfret; ijl. 1 

Uebettyaupt fmb a(h Aufgaben aber geomefrifdje Oetfer 
unbefitmmte Aufgaben, unb biefer unb jener ärtifel wer* 
ben ftty'affo gtgenfeitfg ergaben. $ter fiaben wir te im 
bef immer bloß mit ber anatytifcb;en 3htfföfung ju t&un. 

2. St>ur# jwei gegebene fünfte A, B (Fig. '88.) i»ei 
- ©fl 2 



468 . Un&efffmrafe Sfafgo&ev - 

Sinictt AP, BF ju jieEjen, wity einen gegebenen Sßinfel 
einbiegen. 

- ftiftan titfymt A atö Anfang, AB aU %e ber StöfciffM, 
«nfa felje AB = a. ©ie Longen» be« gegebene» S*Bin. 
fei* fc^ = t. 2>ie ©feia>ngen ber jjetaben Linien AP, 
' BP jinb y = ax, y = a'x + V. -gur Uftrere wirb 
y=:o, »ennx = ß. S)ie(Jgie&t b = — a'a, unb 
, -tote Steigungen finfc alfo: 

y==«?- y = a*c* — •): ■ 
goTgßfr (Sinie, gerate, 16.): 
_ •'•■** * 
— i + «' * 
©tnb nun x'/ y' bie €oocbinafen »on P; fo f?a( man: 

unb, wenn man a, a' eUmintrt : 

■■' ■'(<'-T) , +fr-rÖ>'SC».*5). 

b.'i.fut ' •''-■•- 

»' +J- =«■■ 

Sie Slelefeung bes .Steife«. 3Hf° iff Ixt geomertifcde Ott 
bet ©pujen alfer SGinfel, roelcbe ber Aufgabe genügen/ ein 
■firei'8, n>ie and? fogleid; aus Eucl. Eiern. III. 33. folgt. 

3. (£mcn ivreiß ju befcbrcilten, weieber jwei gegebene 
.Steife bertt,«. ..'.;; 

Sie SKirteipunffe ber gegebenen Äteife fenen. A, B 
(Fig. 89.), bie^ialbmefler r, t',. bie StnU AB=a. »et 
ünirtetpunfe be« gefliehten AVeifeg fep C, unb AP = x, 
PC ^= y, bet #a(bmeffee bee;. gefliehten .Steife* =f»; 
fo erteilet augenblitflicb bie SXftbtigfeit foigenber 6lei= 
jungen: . 



Un&f fHmittfc «ufäafe 469 

** + j* = & + ()" «• *" + 2r, + f", 
(«-•)• + j' = C'' +«)'«=*''+*>,+ «■ i 
worau« buto) ©nbttartion: . 

3v — »» = r' — r* + 3(r — r*», 1 

- ?" — ■' — '' + r' 1 
« ~2(r — r'J ' ' ' . 

@«if man 7>i«o in bie erfte SIti*cin«; , fo ett)a(t nun na* 
tinigenüKebuetionen: 

| (2l •- n)' — <r — r'l'| I «' — fr — *'>' I 
J = ■ -, ; 4(F ■_,•)•■ ' — 

twtajes bie ©Mc&üna, kl« Ott» 6t« 9)littfipnnhe« b<8 
9tfu*ttn Swifts if*. gut Die fünfte, in »ela>en bie 
eutee bie »WenoK fcbntiitt, nraj f(?n : 



aifo fdjnelbet bie Sutue bie Sttfciflenate In swei fünften 
9, 8, fut reelle 

,-«=»" 5 -.»»■" » >'.. 

■ » = t - »' , 

l|». Sa , . ■..".,'■ 

m^i •-=^^' = • + ; + ^ - i°^ .', 

ifi; fo (tobet man bie fünfte 21 unb 8, wenn man bie Sf. 
nien DE unb FG tjattirt. <J|{ S bet JWKeipnnft »an 
31», uhbeP=s'; foifi . . - 

b. i. x = ^a + i', warau« an* J«8 (ei * «*W"; Ni 
AE = 4-a, Mb fotgfi* £ bit SOlitfe »on AB' i)t. @(«t 
man nun 2i — a = 2x' in bie gefunbene eielebung; 
fo witb • ', 

I .*." (r-.)' i* V. 2 /•!' 

nnb bet Ott ift fotgli* eine j &tjpecotT , beten fi auptate == 
r — r', mebena« = JT.' -X.-t'y, ®*ei(el 



470 Un&efHimjtfe Sfafsöfo 

91 , 99 , SWttetpunf t £ (£nperbel. 3.)- 3fl e bie £r«n: 
trtcität ;■ fo tff (Jpnperbet. 10.) 

4e' = | a* — (r — r) 1 ( '+ (r — rV = ■» . 

go£g(t*finb, ba A£ = €B = 4-a ift, A unb B bie Bei* 
Den 93rennpwnfte. , Jjictöurcfa ift bie #nperbet ucflfem.meii 
beflimmt. ...'.,' 

3)i a = (r — r') fö; fo fmb bie Beiben 2tyen] «i* 
anber gleich, unb bie £»perbel tfi g(et$feirfg. 

3(i ! ber eine Äreis ein gjiinff , otfo ein Äreis ju be= 
föreiben, welcher einen gegebenen .Kreis berührt, unb 
bnrifc einen gegebenen 9>»nff gefjt; fo ift r = p, unb 



(Dl 



bie ©(ei^ung ber ^»npecbel 

4. Einen j?reis ju befc&reiben, weteber eine gegebene 
$erabe Sinie berührt, unb Curcf? einen gegebenen spunft 
Ijinfcurcb gefjt. 

©e»-(Fig.90,} P ber gegebene «punft/ ABbiegegebene 

Sittie. ÜRan fefce AP = a, neijrfie AP als Sibfciffenare, AB al* 

, Ocbinatenare an, fo bafj alfo AB = y, BC = x. 5>a 

' PC = BC = x; fo erhellet aiigenblitflicb; bie Diic&tigfeit 

ber ©ieüfcung 

i- = j> + (z - »)« = y* + x' - 2»x + «», 
• = y* — 2ax -f. a 1 , • y s ^= a (2x — a) , 

• »etc&es bie Steigung bes Orts tn& SERittetpunftes bes ge» 
fugten .firetfes ' ijt. y wirb = o, fuc 2x — a.t=o, 
±=£a, fobajj atfo, n>enn E ber SRtttefpunft »onAP, 
E ein ^iinft ber Surwe ift. Dlimmt man E als Einfang 
ber Üibfciflen x'; fo ift x = £a + x', 2x — a = 2x', 
unb folglich. y a = 2ax' bie iSleic&ung ber Qune, roelc&e 
alfo eine grabet iß, Seren ©cbettel E ,. unb «Parameter 
==2a. Da EP = £a =-i-2a; fo i|i ber gegebene 
^5unff ber Srennpunft biefer $>arabe(. 

5. (Einen Äreis ja betreiben, weiter einen gege&fc 
nen Äreis unb eine gegebene gerabe Stnfe berühr. • 

-..' ©eo A (Fig. 91.) ber SDIifcelpunf*, r bec Dtabiu* 
fcs. gegebenen Greifes, BP bie gegebene Um, C ber 2»ifc 



. ltn&e|iimmfe StufgaB«. , 471 

fcfpunft bts gt(ii(j>fa> .Rrnfts, AB = a, CE =,*, TSP 
= y;föi|! 

AC" = AD" + CD>; (r + i)" =C» - rt' +J"..- 

wotaus man (tut» ttfialt: 

, . J' =2(. + r)*— («.'- «■) 

y »itb = o für i = S^f-?/ |b bog alfo, »tun F »et 
SSlifKfpunft »<sn BE i|i, bieftt 3>unftbtt £utw ana,el)6. 
t«n t»itb. Sffitnmt man F als Anfang Ixt abfdffm x'; 

»'= T"^ + '•■'.- 
unb folgli* y'.== 2(a + r)x', -btr 0« atfo tine $ota< 
bei, beten @a>ife("F, ^arametet =2(> + r). S>te 
©ttfetnung bee SStennpunftes »om @a>irel ifl = 
'<•■ + r) = i-±_ r , unb bet Socus (»itb alfo gefunben, 
.trenn man bit Sinie GB §albitt. 

6. iDiefflrnnblinie eint« iDttieefs, unb bet Untetfefcieb 
bet SBinfel an bitfelben jinb gegeben; man foll.ben Ott 
bet"<3püie (inben. ' ■ 

©en AC (Fig. 92.) = a in D tjalbitt, A — C = A 
unbD&etanfangteteoot&inaten, DP=x, BP = y; 
f»ifiAP = ia — x,CP = ia + s. älfo 

.' . 2xy 

taug (A - C) = t»pg 3 = —5 _ x ,_ + y , r, 

woraus: 

Um nun ju irgenb einem anfeern K#t»inftigen Sßöfbma* 
ienfnßeme, oljne beri 2lnfcng ju »erlegen, übtxmttyü, 
mag man, wteleicfct a»8 bem 91«. Soorbinate gefunben 
wirb, allgemein ■ 

j=mu + nl i y = nu — n* 1 

fegen, »obur4> man erfjMt : 

... u ;j !,,- : ,Coo^[c ■ 



472 Un&efHmmfc Sfofga&e. 

(a* -r m* — Srnn-oot^n* '— (n 1 — m' — 2muRnt3)t 3 »' 
— 2iut2nm. + (n 1 — m*\&n.i\ + $«• fc" 

ÜBe|Kmmt man nun in, n f», bog 

»', — n»' — JmncotJ zx o, .■ 

fo i|t bi< ©Teilung. , -, 

feie ©fcicfwttg, einer gteicbfei eigen (&o bie Coorbinafen fenfj' 
re$t anf einanber angenommen fin&) Jpijperbet jwifeben ilj. 
ren $fpmpfMip.($wnbe(. 8.). ©et SOTtttelpunft berfH» 
6en ifr bec $>unft D, Sa, wie ebenfalls aus bem 31«. 
(Eirorbinate \t\6jt gefctjtoffen wirb, inbem Ijier bie Saiirtsi» 
Baten fenf reibt auf einanbet jtnb, n 2 + m 2 =:"t, unb 
naefr obig« ©ebingung n 1 — m* =2mncotrf ifi; fo 
wirb/ wenn man ben Unter fcfcieb bet Quabrate nimmt; 

^m'n'coioca* = 1, 2raucu*e<;J = + i, 

©ie ©Uidbungber $i;pcrbet aber wirb: 

2tu|2niii 4- Sinn' cot i* ) = $•*, 

obet 4mntuco3ec (J 3 ■= i a 3 / b. f.," wenn man 
2mn cosectf == + 1 fefjf , 

2.tuco«ec3 — Ja 1 , tu?s Ja'iin J,' 

5)1 o bet SEBinfel ber 9fre bet t mit bet 2fre bet x an fcet 
©eite ber negatltten y ; fo if{ m =sinw, n = cos»} 

2sinocosa cosec 3 — : 1, tili 3o ~ tin <J, ' 

«==££. ©aburef) tft bie Sage bet IHfymptoten befh'mmf. 
SOTan mac&e namlicb ben 23infet ADE = £<T, unb er. 
ti#fe auf EP bureb D baß *perpenbifel GH; fo ftrib EF, 
GH bie äftmptoten ber Jgjgperbet, wetc&enuit, bafie, wie 
aus ber ©leiebung tu =? £a* sin S, wenn man \ = + 
4-u cos £ tf, u = + 4- asin 4-<J fe$t, fo^Uicb «bjßet, 
burrf) Ä-unb C getten muß, teiebt betrieben werben fann. 
@efjte man 2mn cosec rf ==—.■ 1; fa erhielte man auf 
gaiij ii>nü$t Slrt sin 2a = — sin<J=^sin(180 tt + Ö), 

« == 90° + £tf, b. ^ bei» SEBinfei ADG, unb folgü* 
; feü« neue 3<ufl6fung. 

7, 3wifc&<n ben ©dfrenfefo eines gegebenen SHJinfeis 
BAC(Fig, »3.) := « fcwege fty eine «nie MN wn fo 



,tlnbe|!mmtte Aufgabe. «73 

fHmmt« Singe, fo baß tyre (Enbpmifte immec.bie ©eben* ' 
fei bes 2Bipfe(s bmtyren. ' ÜHan fucbt ben Ott eine« in 
fce« Unit MN gta«b«tMit ^»nf «8 K, fit mttcjjen MK == 
m, NKismifr. 

{nimmt man Aal« Anfang , ACats9Ire>r5Ib|ciflen, 
a alt Goorbipamiroinfel an/ unb fe^t AL = x, LK ?=? 
y; f» ifl ' 

m t ra * n ^ i : AN , AN^= ^i;-"~f !' 
» : m + g s j'i AM . *M = ÖL±ill ; 
MN 1 = AM' + AN» — 2AM.AN.cm« * 

(Trigonometrie. 7.). 2Ufo, wenn man mitrp+n-3» 
MN auftebt: 

«ber, ffltx' =^, y'=X: 

1 ss X* 1 -f y' 1 — 2iyco» a 

Die @!ef$ung ber gefMC^fen Sürtte, roeraus man fci$C 
«$Mt; ' . 

y' = »"cota +ri— V'imo*'. 

§Üc x J sin a > 1 wirb y' imaginär, unb für x* sin «=1, 

x' == cosec a, i(l otfp bte jDrb'inate eine S5eriil)renbe , ba 
fle nur ben einen ^ertr)/^s'cpsa^cqsec«cps« 
=c= cot« £at. @eij nun 

AE ss x, = mcosBc», EP si y =s nut», 

- t»o EF ber Orbinarenare parallel i(l. SOTan )ie$e AF, ne$* 
me tiefe Sinie q(S %ft ber 2Ibfdffen an, imb fege AF =?;.«, 
AD = x", DK = y"i fo .(*. 

AE : AL s= AP : AD, AE : EP = AL : Lp} 

„ nur" Qotec • 

. nicosic o : i =; « : i , x =; ' ' * « ■ ■ ■ » 

nicoi»co;iicota s xi LD) LD =t ■ ' , 

2Dan«RLD + y > '=5=yj foI}afman*i 



„Google 



«4 - Un6#mnrte SfaftoGe, 

x'\ ■ — . IÜ 4. *" <-° 8 " 

piti in btf gefirntocne ©leicbung gefegt ., gie6ti 

;:•?-'"' ■-■•. 

■ : „' .,^£ + £.. ■ ■ ; 

5Ätf& ijl ber 0« eine (Eflipfe, btttn jraei cotijugtr(e £>la< 
njettt AF==#, AG==n ffab ((SÖipfe. 17.), »orau* 
fia>, ba Jage unb ©eöjje biefer Qiamttti gegeben jinb , bie 
©ßipfe immer befcbtfeiben faßt. 

8.'jDi#$ jree'i gegebene fünfte M, M' im SKatime 
J»et Jtoien MP, M'P i'u sieben, n>e£a>e einen gegebenen 
30infel MPM' = a efnfcbh'efjen. 

S)ie (Soorbinafen ber fünfte M, M', P fenen a, h, 
t; a', b', c'; x, y, z; bie ©tei(bimgen ber Linien MP, 
M'P(2inie, gecabe. 20.):. : - -" '. 

y c= Ar '+ Ä, V = Bjc -f S8 i 
■ , y =A'» + ?('; «,= B'i+ ». ; , 

' JDa biefe Sinien aber burdb M, M' geljen; fo i(J 

büAB + Ä, c=r Ba + 58; 
■ : b'= A>'+3T, V= BV+ »'( 

■'-._ y _b. = Ati"-a>, » ^ e =B(i-«i; 
y — b' = A'(x — «'), s — c'='B'(x — a'j. 

9IIf6'C2inie,'geräbe.32.): 

• ' " ■ 1 + AA'" + BB" 1 

cos* =: - -■ — I — — 

' r&+ A'+B'Xl + A-'+B'n 

Stfmntt man'abet ber ÄÖrje wegen M afe Anfang ber £* 
ffebwattn, MM' als Sljre ber z ah; fo iff a = b = c 
= o, a'=^b'^o. Slffb 



33eftimmt mamtun heraus Ä, B, A', B' bureb; x, y, 
z, entwirfelt aus bem SlusJbrucfe f jir cosa bUSIusbrüde: 



r (AB' — A'B)' 


. + (A - A')' 


' + (»- 


-B') = 


rji + a< 


+ B'Jl! +>' 


■+»": 


)" ': 


HAB' - A'Bj 


■ + (A - A')> 


+ !■- 


■ B')> 



tote m«n teic&t mtftri|f .befanrrtergem'omefdfe&er ^onaetn 
ftnfeef, un& fegt in (entern HegefmitenetvSßmijc t>en A, 
B, A', B'j fo ereilt man: 

tanga.= 



ä .+ r + »* - « 



, <** + »» + »' - «'')' = üs£*c* + y>, 
ftt.bafj ntfo ber Ort bes Ranfte« P eine SWc&e b« jtwiten 
©rabe8i|K 

i SJuco) eine einfalle geomrtrtfcjfe Jöetradbfung ä$« s 
jeugt man ficb fogiei*, bafj tiefe Stöcke erjeugt »erben 
tmtfj, wmn ffö ein über ber Sinie MM' =±s c' als @eb> 
ne befäjrtefcener, be<s SBJinfel» a fähiger, .Sreiäabfdmitt 
;im feine ©etjne bewegt, roeldjeB (Tcb audj leicht aus ber . 
gefunbenen ©(eidjung ableiten Ufjf. SDenft man ficT} 
nomlid? burd) MM' unb P eine (Ebene gefegt, unb ht ber» ' 
fetten auf bie $l):e b«8 z ein 9>erpenbiM u «Ott P, ^cf^flfs 
fo ift f(ar, bdf u 2 === x 3 +y 2 , atfö. 

»•cau«, »etgtid>en mit (2.)/ ba* ©efagte erBeflrt. 

9. ©enen meiere punft« im Otaume gegeben^, man 
foß bie Sage einet (Ebene bejlimmen, ffe baß bie (Summen 
ber von ben gegebenen fünften auf bie (Ebene gefaßten 
fßerpenbiM auf beiben ©eifen btrfetben cinanber; gUi$ 
fenen. , ; 

üDie SIngatjl ber gegebenen fünfte fen = n, unb 
«'» j > *' ; *"> y". «" i *"> i"i «'";■•• 
itjre €oorbinatf n. • S>k ©teic&ung ber (Ebene fen (-Ärimtj 
me glficbe. 4.): 

Aa +. Bj. +. Cb + D ss o, 

ober ber ÄiJrje wegen 

« =^ « + b T + «: 
Sorglicb bie uon *«n gegebenen fünften auf biefe (Ebene 
gefällten ^etpenbifel (Sinie unb (Ebene. 51. 52.): 



476 Unfeßtmmte 3d#i6e. , 



»■'« + •■ +).' r» + «'TF rr+ «•,+ 6> ' 

ic. . «.* 

Betwcbtei nun nun He auf ber «Intn Seite ber Ebene iie. 

genben ^Perpeiittifct als »otitu», bie auf ber anbern als ne* 

gafio; fo ergiebt ficb aus btr Scbingung ber aufgabt fo. 

' gleicb fotgenbe ©leicbung: 

' .•—•«■ — kj" - 

+ .- - ■*• - bj" - 

+ •"■ — n- - ij- - 

+ r 

t .. -[xW.|„,)-,n,'4 7 -ti'.|,j+»>V^ 

»oraus (Hb smlfiin o, b, c, ben (Eoefffcfenten in bet 
©leicbung ber Ebene, atfo nur eine ©leicbung ergiebf, 
; fo baß es aifo aucb unjäf)(ige Ebenen giebt, ble ber Auf- 
gabe genügen/ uhb biefelbe aifo «nbetttmnif iff. ^efjt 
man ben erhaltenen 3Bertt) von c in bie Sieicbung 

ISO +1? + c i 

fomlrbblefeffie! 

„Ü^t:=.|-Üaaii |il y-H'+r"+-l 

twfcbe« offenbar ble ©ieicbutig einer Ebene i(i, bie bnrd) 

ben, bnra) bie €oorbinaten 

^ + i" + «-'+... ■/ + r + ?•' +— »• + .- + .-• +. , . 

DefHmmren tyunU geb,t, fo bafj aifo äße burä)biefen9>unfc ' 
. geftenben Ebenen ber Aufgabe genügen, iDiefer 9>unft iß 
aber ber ^unff ber mittlem Entfernungen ber gegebenen 
fünfte (SSergt SBIetecf. 10.). 

10. @enen mehrere fünfte jmIKanme gegeben; man 
f»H einen 5>unff bon folcber SSefc6affent)iit (iriben, bafi bir 
^Stimme ber ßuabrate aller von bemfeibett' an bie gegebe: 
nen fünfte gejogenen geraben Jinien einein gegebenen 
Quabrate p" gleia) feo. 

S>ie Soorbinaten ber gegebenen fünfte feoen »ie wrfjer : 

unb x, y, z bie Soorbinaten be« gefucbten ^unffl». Sie 



tln&efifoiwK Sfofä*. '*& 

««(fertttincjtn bejfef6(n'.»Mi beut s«9<*«ntit fünften Jenen 
e', e", i'",...; foi|?, »ie I<«W •«« bem 3«. Sink Mb 
(Ebene (5«) a.ef#Ioflen wirb: 

." = (« - *•)• + (j - j')' + (■ - <V , 
«"•=<> — *")• + » — fy +. (• - «">". 
•-■• = (i - ,"),• + (j - 1"')' + (» - «")'. . 

K. lt. 

8ofa.fi*, »ran 'nun bie fluaSw« iit(»i(f(tt, imb bee 
Äotjt reegen x' + x" + x'" + . . . .burd) Ä, x' 2 + 
x" 2 + i :"* + .•.. tut* is-* iiytüimt, bie 3fnjaf)I ber 
gegebenen fünfte aber = n fei|r j 

o =«• +j' +•'-. £ ]*»' + rJ/ + ii.j . ■ 

- |-| p' -.(»• + 2j"+2i'')f . 

S8ett«s( nun nun ben Slnfanj ber Öorbüiafen in einen 
5>unft, bt(f(n,ptimitiM EoMbinaten 

n n V " 

(inb ; fo mufi man , »enn übrigens beibe ©offem« ats |M» 
raSel angenommen »erben, inbem man bie neuen Eoot&t« 
' naten burd; x, , y t , z t bejeiebnet, 

> = », + ixt-, j = y, + -Ijy', i = ., + i^' 

fejen/rocbutcbmanerljaft: 

o = «,■ + ?,• + v + 41*'*' + 7 >** + ' ,I * I 

'p{wtW)4«'| _i{p«-<s*+.ay'+*'>j 

= V + J,' + «,' ' 

- 1 j P ._(a-.+^''+»')j -i ^»WW+C»)*!. 
©eljt man nun bie conffante 0r6ge 
i jp.-<i-. + Ey-= + x,'.)j + .i((i,').+(irt>+(ÄTJ = ''l 

fo roirbunfere ©ieitbuna, 

o= «,< >»,■ + v -■', «' = V + Ji" + V 



•fotttfyti offenbar ti? ©tetdjana, einet ■ Äugelftöc&e iff , beten 
SJtittefpuiift bet Anfang ber gootbinaten ifi, unb bur$ 
bie primittoen Soorbinaten ' * 

. $*;**f* ;: ■ 

fcefHmmf »fcb (Äranime 8(a<&e. 40.). ©ec'^tatbmeffcc 
i|t sr. Unfere 5lufga&e i|T olfo eine unbeflfmmte, unb 
Mr;Qtt>be* gefuejjft« $>jraftes bie fo-t&en ttjHmirife Äu* 
getfttfr* ■." 

- 11. S>,er|pli«e'(punf( ber Ätigef f(i »ieb« bec ^>unf( ' 
bet mittlem Entfernungen ber' gegebenen fünfte. SWati 
«■$41« $fetau(f fotgemben me*f würblgen <3a#: 

SEBenn atiß bem fünfte: ber mittlem (Entfernungen, ge« 
•geoener <P«nfte im Raunte, welker burcp, bie (Eporbinaten 

benimmt wirb, mit einem roiflfü^rtiijen DUbiuä r eint 
Äuget betrieben wirb; fo ift bie (Summe ber Quabrate 
, aller »on irgenb einem fünfte in ir)tcc. Dberfläfbe an bie 
gegebne* fünfte., gesogenen geraben Siuien eine confhinte 
Övojje, unb j»ar, : wie aus bem Obigen teidjt, folgt, = 

. p* = V+JBfi+jyMdV»-»'!; b») 1 +'C'^'> ä + (^') i { ■ 

12. 3>ies mag "Ijinreid)en, bie Statut un&efh'mmfer. 
geometrifeber Aufgaben ju erläutern. 3*bt> 9#W*€ftip6e 
Ort giebt ein SJeifpiel einer fottbe.n Aufgabe; .fo ba|j alfo 
hiermit biefer SCrtif eliueergleicben i'jl, fo wie aueb bie anatpffc 
fc&e^anblungbetinbemgrogen3Becfebe» SlpüllojiiuS 
üÖer bie ebenen Oerter entgoltenen Aufgaben eine trefjltöe 
Hebung fenn wirb. ' 5lufjerb!em finbet man 23etfpfele genug 
in ben meiften SSJetfen über bie Äegelf^nitte (f. biefenSfct.), 

OleWtptt» Arithmetica universalis, ^erapell) off 

2foaln|t*enbr.@rö£en. §?er(; 1769. <3.514., Segnen 
Elementa Anal, finit. Halae. 1758.. p. 357., Bran- 
des höhere Geometrie. I., Lpzg. 1822. S.25. S. 114; 

', Phissint Kecueiläe diverses propositions deGe'o- 
metrie. Paris. 1809. p. 158. 301., fo wie in ben mri» 

' ften S©cjf en ftper-imq^tif^w ©eometrie überhaupt. 1Z(uf> 



UnöejWmmte 2fre cmer tEuri*. 479 

ftQBenr.«KT^«<inf4t^« eurwrf fö^mt, ; V6m : «Mt .^|(c 
nicht mitgeteilt, weltbie 'Jlbkitiuig bit <Bleidbwtg <elner ' 
®uW)e^u8;ffnef-^i9?flf(i?aft twfe^cn «0e QSoJ.efci ^jtrtjer 

gef)6centeö©effpie( liefert/ ■ uttb m biefe^SÜeaieiwng nlfö 
bie einzelnen ilciitel biefes Sß^rtcrfeMCfte , wekhe rfptciefle 
formen ber (£un>en Betreffen, nat&gefeljen werben f&nnen. 

, - Unfcflimmfe Stye j ein« Surfte (äxU curvas 

indeterminatus) Ijeifjfsuweilen bic^e^r-Csr«*/ wen« 

bureb bie Obciit berfclben biof? bie.Üage, nici^c bie Un$t 
ber%e^be|ttmmt wirb, wk j.33; belbec^päraber. 2>ie2Ir*n 
ötr <£ßtpfc (inb bestimmt, ba betbe wen b« Stttyfe in- ' jWe* 
fünften gefebnirten wirb. 23ei bw Jg^utwl ^e.'i«»(W 
lenbte jiijeire 9Irf bie wobeflimm« SIre, urtff'fü »op ber 
.^perbetmebf ^fdjattten, unb tfjre-ÜangsV .tau befannf/ 
elgentlia) nur ftngirt wirb. ■ ...■■. .... •: 



Unfofiimmte Spcfjtcienten^<3t.efiicienie»;fi*: 

cti ober assumti, ftnb überhaupt, wenn «w , gwgeSiu« 
'ßamtion unter einer anbcr.n befiimnrfc-n gorm bargefteBt 
werben foll, bie noeb unbefKmmten Eoefftcienten ber ^)fl- ■ 
fenjen ber »eranbetlicljen ©rögen ier $uactien in fem» 40* 
gemeinen fijmboUfchm Shisbnicf ber gefuebren^orm, tint* 
werben suerfl, die ned) iiubepiimntcebftc gefilmte ^rijen, 
biircb wtßfü&rlicbe aßge.meine '3^*P , fc^eicjjjöet,,. jbaflir 
aber ber Statur ber gegebenen Function unb ben b«r$ -bie ( 
Sofnt, auf welche biefetbe gebracht werben. foÖ, gegebenen 
Söebingungen gemäf befNinmt. ; ■ £üt#lt»ecfm(S|?ige Söek 
fpiele.wfrb tiefe flBei^ot», wetdje.mangfw^njicfci^feaße« 
tt)obe ber un&eftimmten Soeffwienfen nennte anj,btjieni 
erläutert , unb in billiges Sicht 'gefegt. 3«r ©ejeicjjnung 
ber unbejitmmteir (Eoefftcienten bebten* man jtcb gewöbn= 
lieb ber tateinifeben SOerfaUSSucbfiaben ■; in ber combinato* 
tifeben 21natnp& dagegen nach ber JpnibcBbircgijäjen-S^i 
rafteriflif, werben fte immer buccb wtflfiütirUcbe ©ütbfl#*t 

ben mitbaröbet gefegten fünften wie (.35. a, b, c., ^ ; ».; 1 

Ä, B, C, p/..".j a, b t c, b/...j «. f. f. Wn-be« ge*'. 



480 Utt((ftimffltc Soefitcittrtflt. 

geBeiKnCotffictenfeit a, b, c, d,...; A, B, C, D,...t 
«, 6, t, *,...: u. f. f. unterfcbitben. 

1. ®ut( IDirafte (eiftet blefe SWtrfjobe |. 9. 8(1 bet 
Verlegung ber gebrochenen S" Rctlonen •» etnfaefee 2}ruä)e 
(Sunerloit. 16.). @e» i- 8. trte at6ro#ene Sunttlen 



.- i«-«x«-b) 
in (»«1 einfaßt Stiebe mit Ben Statut* x — ■ a, x — b 
ju jerlegen; fo feite matt 

w>y _A_ , _Bj -'. fA 4- B)3t^fAb4- Ba> 

(■-»(■-K i-« *»=I . (« .— .)(x - 1) ' , 

«nb bi< aufgäbe Ifi aufgelafi, waut A,, E fo be(iimmt 
»«beii, boj fit jebe« i 

.< + > = (A + B) j - (Ab + B.) 

ift, welcher SSeblnguno, offenbar genügt witb, »eillt A, 
Bfo Btftimmt werben, ba§ 

a + B =ä «, Ab + Ba =s — j.. 
XSfet molt Mm tiefe Beiben Sleicbungin natb A, B auf; 
foecbJK man: 

A _ . »±±j B _ sJÜLf , 

""., b — *'■ * b — ■ ' 

wobtinb älfo A, B te» SSebittgungen ber aufgäbe jemäj 
btftimmt jinb. 

. 2. Äattn bie gegebene SutttfuMt »14t «f bie »erlang« 
8«m «.ebraebt werten; fo wirb bie« bie äufiofiiua, felb|l 
immer anjeigen. gar 

< . _ A , . B 
. «(.• - *>> " « f ,. _ ,1 . ■ 

erhielte man, wenn bie btiben Srücbt auf gtelcbe Senfll> 
nuug gebracht werben: 

1 Aa* 4- B« — At* 

*.(«' — »*) »(«" — i') ' 

t = Am' + B« — Axv 

iinb, um biefet Sebingung allgemein, für j'ebe« *, jn ge, 
niigen, finb A, B fo p befiimmen, baji bie Stciibungen 

Aa' - 1, B = u, — A ~ o 

etfailt werten, »((*«« o|fenBat nia)t mSglla) l(t. 6n)t 
■ man aber 



lin&ejimmrtc Sotfpcietitm. 



fo'trfiaitman telcbf: 

- ) _ a«- + .(B 4. gx + (B - a - cix- 

II«"— «") X(. — !)(.+ l) » 

l = A«»+iCB + 0»+(B — A — C)«», . 

An 1 = i, ft(H + C) = o, B — A ~ C = o; 

woraus, wenn tieft Drei Bltltbungen nact) A, b, c auf, 
gelSfi werten. 

»* ' 2a 1 ' ,2«> ' 

f» Sag ficb of(b mmber angenommenen Sonn geniSgcn lägt. 

(x-l)'(x+l) 

ertjalt man nad) einem ganj afmti&)en 3}erfat}ren : 

A = 2, B =a— }, G = — J, D =1, E = — f. 

3!ugememere Un?erfud)ungen ober tiefen <*Jegenf?anb f.fnt 
31er. gunetion a. a. 0. 

3. 3»* Sei ber @ummirung t« Steigen wirb Hefe 
SÖtetljobe jurceilen mit SQortt)et( angewanfcf. ©en j.25. 
bie Summe bet <pot«äen ber naturlia)m3at)(«n p jinbe». 
SDlan bejelcbne bie Summe 

1" + a» '+ 5» + *■ -1 — . + *■ 
überhaupt bureb Sx", unb fege, I» biefe ©untme für x 
= ö offenbar verftbwinbec, 

Sin =3 Ax +■ Bx 1 + Cx» + Dx« + . . . | 

otfo' 

S(x + 1)- =A(x + l) + B(x+l)P + 0(x + l)> + D<x+1)<+- 
8(x + l)«-Sx-=(x + l)- = At(x + l)— x| +Bicx + l)=_x'| ' 
+ Ct« + 1)' — xM + Dl(x + H*— x«( + 

Xlie unBe|tlmmten Soefficitnfett A, B, c, D,... muffen 
nun fo beftfmmt werben, baß blefer @ieiä)ung gang aflge= 
mein für jebee x genügt wirb. 3ft M«» nroglicb; fo i(i, 
wit angenommen würbe/ wfrflid) 

Sx» = Ax + Bx> + Cx* + Dx* + . . . , 

weil , . wegen jener ©ieiebung, inbem für x bie natürlichen 
labten nad) btr Orbnung t>on o an gefegt werben: 
V. ■, Ah 



482 UnfefNimafe Cwfpcimtm. 

i» + 2- + 3" +■ 4» +.-..•+ r» + (x + 1> 
es A\t— 0| + B(l» — 0( +Cfi»-0( +.... 
+ A|2 — i| + Bt2"-lU +■ C]2> — i'\ +.,.. 
+ AJ3 — 2) +B13* — 2»| + CJ3 1 — 2*| +.... 



+ A|*-(x-i;| +■ B|*»-Cs— 1>*[ + ct»'-^-i)M +•■' 
• +a|(x+1>— x| +■ B|«+l)>— jt't + C[w + l)'— s>l + ..., 

b. ij nenn man auf ber regten Seite auf Ijebfv was ft# 
aufgeben lägt, für jebeSxt 

S(i+1)»=: A( I + i) + B(x + l)»4.C(« + i) 1 +DCi + i)» + ... 

ötfb folgte au$ 

Si»"= As + Bx* 4j Cx» + Di* +■ , . . , . 

wie Behauptet würbe. Ohä) tiefen allgemeinen 93emet* 
fungeh fei?, für bie ©umme ber erjfen ipotenjen ber na= 
fiirUcfcen 3a£)len, juerfi n = 1 ; fo wirb obige ©lei^ung: 

1 + x = a|(1+x)-x| + B|(l+x)'-i»J + CJ(l+x)'-x*| +_ 

wcldjer für jebetf x genagt werben m«(j. S)a aber ber erpe 
SJjeil biefer ©leicfmti«, nur jwei ©lieber enthält; fo form 
man bie (Eeefficienten aller ©Heber bes jweifen Ztyüe,, in 
wef$en $6$ere *pofenjen »on ,x als bie jwette »crfomraeit, 
= T>fe§en, woraus" 

1+ x=AJ(l + x) — x| + flj(l + x)> -x'j =A + B+2Bi, 

Um biefer ©teidjung für jebee x ju genügen/ §at man txU 
fo Ä, B aus Den ©(«jungen 

A + B==i, 2B = 1 

SiTbeftimmett , woran« A = B = 4, unb folglich 

■ wie Gerannt. 

§ör n = 2 $at man ; 

ft + .)' =f 1. + » + X» =pA |(i + x) - x| + Bj(i '+%)* - x»| 
+ C |(1 + x)>- x'| + D |(1 + x>* - x*| + 

ober, wenn man, ba ber erfle V)til nur brei ©lieber eitt> 
§Ht, bie unbefljmmten Soefftcienten »on D an = o fe$t: 

l+2x+x*=A ](l+->-x| + B j(i*+x)*-x*) + G J(l+x)*-t J j 

"= A 4- ß .+ + (2B + 3C}x +.3Cx* , 



JlnfejHimnl« Sotfficleittm. 483 

«ttb A, S, C muffen nun fo bcffimmt rcaben; bofjffe titn 
Stei Sieitfeiingeii 

A -t- B 4- C s= 1, 2B' + 3C es 2, SC =s i ■ 

8imSä«i. XHtt&tf . ' . 

a* *» + }* + & = '* + »& +£, \ 
§& 61« ©Ultimi ber Subifjafittn erfüllt man auf a$nlict)t 

arts. 

t + äi + S'+i*^ 
A + il + C + D + (2B + 3C + 4D)* + (3C + 6D)*''+ 4D** ; 

unb bfe 6oeffTcienfrn muffen fo beffimmt werben, baß fie 
beh biet ©leicbungeir .'■" ' 

4 '+ B + C -p D ä i , SB + 3C + 4D = 3 j 
3C 4- 6Dss3i 4» =3 1 

genügen, »«au* 

Si- = »i- + J«' * Ji' - j^t^j*. 

tut bie Summe ber älquabcatjatjfen ecbalt man eben fo : 

Sie« reitb jitr Erläuterung ber !ffl«6obe Ijinrelcben. SÜJie 
man weiter geben fann, faSf in bie äugen. 3n berührt. 
<J)oftnj. III. fft ousfübtli* »o» biefem tSegenftanbe gebaut, 
bete , babei aber ein anberei' Stöeg- eingefcbiagen wovben. 

4. ÜRit gaftj befonberm SÖortfcif wirb aitt tiefe SÄe» 
fljobeangeroanbt, wenn eine Function in eine nacb $>oeen* ' 
gen ir/rec »erinberlicben ©rofje fortfcfcreitenbe Sföeifce ent» 
l»icfe(t werben fott, unb fie errate in bitfer &ejieb>ng »öts 
gugeweife bm Öiamen becSRct^obe berunbeftimmten tjoef» 
firienten. ttntmitgatij einfachen Seifpielen anzufangen; 
fe fe» bet SSrucb f^rr, in eine nacb ben pcftti»en ganjtn 
9>««ni<n «on x f»r<f(i)teil«nb« SXifyt ju «nttokfrin, »nb 
tnanfetiebaber: • - ■ , 

£-^—> ==A + Aji + Ä s i' 4. A,i* + Ä 4 «*+..v' 

£>it Eoeffitienien A, A,/ A,', A,,... finb nunfsju b<= 



484 Unbfßwmrte Coefftcimteo. 

fNmmen, bafj tiefet ©Uitfewig im 2IE(g*meiiHn für ^'efceö 
i genügt wirb.' SMeö TOirb aber b«$att feim, wenn man 
biefe €oefffcien(cn fo bejtimmt, baß im Mgetmmen für 
jebe« x ber ©Innung 

1 =j (t -t «xX A + A,x + A,i» + A,i» + A 4 x* + . . .) 

gtnüg't wirb/ inbem friere eine unmittelbare $otge aus 
feiefer ifr. SHan muß bie €oefftrienten ä(fo fo bejnmmen, 
baß für i«be« x bie ©le kbung 

i = a + A^ | « + Ä, j x« + a, i «* + * . i / 

ü*MJ - «A, { — 8*i ( 

erffllft wirb. 3(i biefe 93e|Wiwnung ouöfö^tbar; fo ft>ftb 
au* bie CEtitWid etung b«s gegebenen SritcbS in (ine Dteifc 
von obiger gorm mög(id) fcrjit. güfjrfe aber biefe 2>e|fim* 
mnng auf wiberfrrtt&nbe 9tefuftate; fb maßte in ber 3fo= 
natjme gefehlt/ unb bie ■ (Entwtrfcfang «nfer* S5mä)5 fe 
eine 9ttlt)e von obiger goem ttmnad} unmoglicb fcijrt. 
Obige ©lefiftiing wirb aber für jebeß x erfüllt; wenn bie 
unbe|timmten Coefßrienten fo befümmt werben/ bof fit 
foEgcnber Dieitie von ©Eeidbungen genügen; 

A =1, 

A t — t>\ =», 

A 4 A- *A, ED, 

«.f. f. 11. f. f. 

tltteSS«fHmmimg, t»Ef$e offenI)«r tmtnet litiglf* i(l, In- 
fam |tdp oi« Dmftlbtn unmitttlbat fotgcnSe Statt)« tu 
SotfddnKtn «ätirat . ■ 

i ä 1, A, = t>, A, e V, A, B **, A, = o* ,... 

i»o mii) bos Stfeis gemj btutlia) ntyStt. 3l(fo i|i 

; ^ M =ü 1 +■ «i + mV + fc'x» + «V + ..;,■ 

«int tu gefugte Entniicfelung fofglid) gtfunbw. 
5. ©oU Sit getrogene Sunctioit 



in dm Sttft)« Mn <tt)nti<kr gwm «rtttief* »«*(»/ 
f«t* man 



Un&cjHramte; «Ewfptiaitat, , «5 

1 _„'.,,,„,■ «■ '* + ■*.« + A .»* + A**"* *.«*,+ '. • • , 
tmb faflimme reieber. bie (toeffidentett fo, ba|J f?e"bie(er' 
©(eiebung für jebe« x genügen. Siefe @(efcb«ng i|i aiet 
eine unmittelbare gc-ige aas ber ©leicbung 

l => (1 - " + r»')(A.+ a;i + a,x< + A,.- + :,'. ,) 

= A +'i, I I + A, 1 «■. + A, I »■.+■.. . 
, , — aA J — ak L \ ^t-ak, [ 

+ 1"A ) +,A, I 

fo baß alfo bet er|ien ©(eiebunj für jebe« x genagt fep. 
wirb, wenn bie Soeffieiehfen bet (weiten ^etnäj befümmt 
Werben. Sie« giebt bie SMcbungen : ■ 

. A = 1." 

A, — «A — 9, 

• Aj — oAj + J"A = ,0 , ' 

Aj — oA a + yA, ia o , 

A 4 — «Aj + j^Aj = o, 

• «-f-f- '.;Vf.f, ' 

alfö ■'■■.. 

■■*=*, 
A, = «*,; , 

Aj = oA, ,— yA, , 

■A 4 = «Aj — /yA,, 

»< f- f- 

tmb baß tiefen ©Innungen fcurd^ (ine fucceffittc ®ef8m> 
mung 6« (£oef|fcien»tt immer- genügt werben farnt, bie 
Gntwrrfetung be« gegebenen S5rud}6 in, eine ÜKeifje »ob 
obiger Sonn alfo m&gli# ijt, faÜt fogletdb in Sie klugen. 
3Hanet§äte 



A, .= •* •— ßoj'; 

A* = ■;• - 3«=/ + y>, 

Aj * «* — 4o J j- + 3*y*; 

A, =: »« — $*'y + 6* s f* — j<>, , 

a t = •' — 6» s r + «toV 1 *" * < ,1 > 

A, b «' — 7«'j- +. 1$*V — iOnV + y 4 , 

«.f. f. «.ff. • 



486 UnbefHtM« SocffcMtn. 



SDä« allgemein« ®{fik erfüllet leicfcf. 

. (2n — 2)(2h — 


•£« ffi niSii>ti$. 




" ' 1,2 . 
(2it — 3)(2n — 


4) (2, 


- »,._,. 




'•'*; 


3 






(. + 1)». 






*?•+» S 


♦ ■ 1.2 "^ 

: (a» - D(2» - 






* ' 1.2.3' 
. . (2o— 2)(2n- 


3><2a 


-*» »-.,. 




1.2. 


3 






_, <» + 2)(»+l) 


r**i— 


-■. = + l .. 
4-i-W 



6. SF^t^jt immer t(f bie 2Im»enbimg bUfer SHetljobe fo 
einfadj, wie in 6m »ortgen ©eifpfelen, unb «rforbert off 
feefonbe« .Sunffgriffe. S3on befonbcrer StBid^figfctt ift es, 
bie gecra ber Sieilje richtig an jimeljmen ,' weil man fottjt 
emweber gar feine SSeftimmung ber Eoefftcfehteri credit, 
ober ja WiCerftrecbenben Diefulfaten gelangt, welkes bann 

, oin Rieben iff , bap bie (EnfwicMiing bet gegebenen 5«n= 
tttsR tn em*9feif)e von ber angenommenen §orm unmöglich 
iff. (£* Wieb balecmii^t unnülj feijn» bevor wir juanbern 
Jöeifpieten äoergefan, einige aggemeine Semerfimgen fo 
tiefer ©ej(eb>ng tteMueiiufifcicfem 

7. 3Me eiitfflrfjfte, cm b^ufigfUn in bec ^nafnftS gefor= 
berter 3?cif)(tiform if{ bie bet nadj ben potfti&en ganzen 
$>otcnien ber »eranbertidtwn ©r6ße fottfdjref fenben Stefan, 
untt von ganj Wfonberer SßJictjtigfeit erfebeint bie ^cage, 

' ob attt Functionen ficb in O^eajen biefer %c enrwitfeto 
laffen, unb, wenn bie« nid^jt ber $aß (enn fo8fe, woran 
ntan im ungemeinen erfennen fann, warnt tiefe (Enfwicfc= 
.fang möglich ober nnmßgUcf} f|t. 2>aS golgenbe en^älf 
einen £3erfu#, tief« gcage su beantworten, ©et SBerrt) 



Uo&^mmfe Cwfpoenft». ' 487 

einer Function yx, vott&n fie nfyalt, wenn man x = o ' 
fetjt, fottbUHfr 90 bejei^inet werben. 

8. Unter einer Sunctfon einer twränberu'cpen ©rSfje; . 
»erffebt man befonntli$ jebe von berfelben auf tr«.emy eine . 
2Jrf abf)Ängenbe'@refje, fo bafj. necfcbtebenen beflimmten 
SBerfr)cit bcr »erÄnbertic&en @c6ße auc(? geroiffe beftimmfe 
SEBeritje ber gunrtion entfpredfcien, , worüber ber.^rf., 
Function mit Sttetjrerem Ju t>erglei#en. 

©en nun yx ba$ allgemeine ©nmbol trgenb ein« 
Function »on x , unb man fe^e, ba bie (Entwicfelung bie= 
fer Function in eine nadb/ben pofttiöen gcmjm .^ijtenjeu 
»on * fo«fa>«iienbe Slci^e »etlangt wirb, 

»1 a A + Bx + Ci> + Dx> + Ex* + . . . ,, 

wo w nun auf bie ©ejiimmung ber Soefpdenien'A, B; 
c, D, E,..,. anfommr. ©e§t man x-s= o; fo erb/ält 
manfogltiijj , , ' 

ft = fO + Bx + G1 5 4- Dx' + Bx* + . . , ; 
SH^l^ = B + Cx + Dx> + Ex» + . . . ; 

wc efentar ?* ^ y ° wieber eine Function »on x tfl, bU 
wir burc&yjX besetzen wollen, foba^alfa 

f ,x = B + Cs + D* 1 + Ex* + F<* ,+ ■■ ■ ,"- 

woraus, wenn man x = o felji, wie »ordert 

B =; y,0; 

¥ ,» = 9.,« + Ci + Du 1 + Ex' + Fx* + . . , , 
y.» - <P,° .,_ c + B x + Ex* + Fx» + . . . 1 



wo wieberum ? £ ■'■■■ - &S eineSuncttenDonxfft, 6Uburö) 
<p a x bejel^ner werben fofl, fo baß 

f ,x m C + l>x + Ex' + P»' + G** + • • • » 

woraus, wemynan x = o fefct, ferner 



fflX — gl* 



= v ,o + Dx + F-x' + Fx» + Gx« + . 



= D + Ex + Fx« + Gx* + . 



we bie 3unttioB t^LziSil — ^rgcfeftt werben fofl. 



488 Un&e|imtmfe gwfficimteit. 

@(W nun tiefes SJerfc^ren reeller fort , fo erplt man |m 
©e|ttmrmmg ter Functionen 

fofsenbeSIelcjwisen: 



ff,« 


. Vi* 


— 


»1« 


9»,x 


* 


q»-0 


(-»j« 


x 


(P,o 




1 






tp n x 




(JJnO 






1 





unbbie£oefftcienfenfinb: 
fcfe gtfuc&te Steige a(fb 

px == f0 -t- 9,0.x +■ 9,0.x 1 + )i,o.x» + 9«o.x* .|-... 

9. Heber tiefe ©effimmung ber Sotffteienfen firib aSer 
folgenbe ©emerfmtgen }u machen, unb einigt ^weifet ju 
hebert. ©etra<frfe( man nämlich bie beiben Sliiß&rücfe 

' 9 x = ff — '* ~ P— »° , yn+j»- *■* 7 q " , ° 

tttSf)er; fo ifi flar, baß bie 23e|Hmimmg von y„ + ,x pcb. 
auf bie 5Be)rimmiing bes befonbern SBertljes <p B o &on q& 
gränbef. ©efctmanabet in bem Wuabtadt »on <p n x bte 
»eranberßcbe ©röße = o; fo erlitt man 



fea« ©om&ot ber ttobefWmmt^eit (©. ^wetton. 50. (f.), 
fo baß bjeeburd) offenbar ber 3»«fel, baf fic& bureb »ie 
obige3Äetb,obegar fMneSejlimmungber eittjewengunetie: ' 
nen, unb folglicb aueb ber Eoeffirienten, ergebe/ Dtoum 
gewinnt. tleberleg» man aber, baß 



. V"— ***** fflwlO 

i. ™= y Google 



■.. Wn&efKttfmfe &xfftcicnfcn. ' 489 

.offenbar eine ^iwriton wn'x ()!, uub baß folglich, träe$ - 
bem oben (8.) »on Steuern fcflaefTell*«« oßgemeinett 95e= . 
griffe 6« $imcfioö, notljwenbig jebem beflimmten fBtttt)t 
»on x, alfo auti) bem SEBertlje x— o, ein beßimmter 
f&?tt§ »on <p n x entfprecben muß; fo fdat leitet in bie Wa* 
"gen, baß obige Unbejfjlmmtljeit mir fcfceinbar, unb.Moß 
■buctb; bte ganj allgemeine Sorm ber Function ^„x %rbeige» 
füEjrttft, inbem es feinem ^roetfet unterworfen iß, baß 
bem bejtimmfen S£Bertf)e x = o autb ein be|iimmter3Bert£ 
von y„x entfprecben'muß, wenn et jicb aucb unter ber un* 
beßimmfen $orm $ fcarjftKt, welkes ja überhaupt ttkfcr 
fetten bec gaö ift. ©o wirb j. 23. ber ffirwb 



tvenn man x = a fegt. 23emerft man aber, baß fo ivcfyt 
ber -&&ter, a(s auc[> ber Ölemtec/ ß<&. in Sactcren jertege« 
Wjjt, wobsreb. 

x* — ax* — a'x + »* (x — a)'(x + a) . 
x* - «' = (x - «0 + «) 

b. i. / ttcön man bie «lefc&en gaeforen aufgebt, = x — a 
totrb; fo ijHfor, bäßfiirx=:aber2Bertf) obigenS3ruc&tf . 
=t o iß, unb fo in aRbern gäüeR, worüber aueb ber ?Irf. 
guRctioR. (50. ff) nacbiufe&ett i|i (Es Iß alfo feinem 
§weifel unterworfen , baße*furx==o au<& gewiffe be» 
ßfmntte SÖJertlje ber bnrdb.y bejeiebnefen Sunctionen geben 
muß,' wenn fte ßcb aueb t>ter unter unbeßimmten formen 
barßeuen. 3m allgemeinen giebt es alfo aud) immer be» 
fiimmfe SBerttje ber Goefßdenten A, B, C, D,. ..; . 
unb bie (Entwicfelung ber Function <px. in eine nacb ben 
. poßtft-en ganzen ^potenjen vor x forfföreitenbe Steige iff 
alfo im Mgemeinen immer möglich, fo ba$ nämlitb 

9* — jo + y.o.x + fif-* 1 + »i<»-* J + no.x* + . . . 

10. Seift aber, wefobes offenbar aueb möglieb fenn • 
fam», ber gall ein, baß für x = o ber ^äfjter einer ber 
obigen Functionen einen beßimmfen conftanten SEQert^ a 
erltätt, ber SRenner dber tterftbwinbeti fo'er&tft man im* 
nur für irgenb einen Eoeffte ienten einen *2Iu$ö'mcE von ber 
§orm ~r wefcbeö befannttieb (f. ben %f. Unenbtieb.) 



490 Uti6e(Hmmfe £oefißctmfm. "- 

hat anatnäfdje ©ijmbüt ü» Unenblicben ifi. @o wnrig 
ab« einem folgen 5luetrucf bei allgemeinen analntlfcbm 
(Sntwlcfelimgen ein. beßimmter 9Ber$ beigelegt werten 
f airn ; fe wenig f ann au<& eine Steige , fceren (Eoef firientot 
mit folgen Vutfbtmfen behaftet fmb, ata ber Aufgabe gt-- 
nügenb befragtet werben , unb man Ijat hierin vielmehr ein 
gdcfcen, ba|j bfe (gntwicfetung bei: gegebenen gilnction in 
eine 3f eilje »en bet jum ©cunbe gelegten gc rm, wenn nämlidj 
alle Soefficienten ganj beftimntte numerif$e 2Öe«b> fiabtn, 
unb »onÄbriltfen, wie ■£-,' befreit fetm fußen, niä/t 
m&glitf» fß< Olut bann^alfo, wenn man bei ber obigen 
23efiimmmtg ber ffoefticienfen nie auf außbrütfe Don Cft 
Sorm £ fontmt, i)l bie »Entwicfelung ber Function yx 
' fn eine nacb ben poftitisen ganjen ^otettjen t>un x fort» 
föreitenbe Steige m&glic&, wobei gugleidb -bie Ötetlnren&ig. 
•feit errette», in iebem 8^« immer ba* allgemeine @efe( 
ber Coeffteienten aufjnfut&en, um ft<b ju überzeugen, bajj, 
aaä) wenn bie Steige bis in« Unmbtiebe fottgefegt wiri, 
bog n^ Slusbrurfe twn ber Sorm ~ erfcbeinen. 

11. SOo^etge^eiibe analijfifdje Setrat&fung ttfit fiib 
mmoucb letcbf meinen fpntljetifdjen 25eroris «mwanMn. 
@en namticb yx bie gegebene Function, unb man beftinu 
me bieSunctionen (jpjx, ^jX, y 3 x, «.f. f., wltys, 
wie au« bem ßbtgen (9.) «rfjettet, immtr mdgli$ fji> au< 
fcen(9leicbuog*n; 



"* 




x , • 


»»* 


-Pl* 


— f>,a 


ff«+l" 


„22. 


— P*o 


»ff. 


u 


f.f= 



fo Uff ficb, wenn man bei biefer Seßimmting in ber Dtefij* 
<po, g> t o, <p t o, </>,o,...y B o,... meauf ein ©lieb Mit 



Un6e|Kitimte goefflcwiftn. 491 

b« Sotm ± Comntf, ble giinrtion <px immer in «Ine 
nac& befl po|itm(4i ganseh ^ofenjtn Bon x fort{a)reitenbe 
Steige entroitfetn, fo baß afle goefficienien befrimmtc nu* 
mcrif^e 5Ber(f>e , beren fetner =: ■£■ iß; §aben, £>enn 
obige S((i4>u|igeti 9<bHM 



ober 



»1« - 


- 9,1.x = 


i gt,o t 


f»*.* 


- P,* . 1 = 


.■ Pl o, 


fM - 


- 9>,x.« '== 


! fl>j°, 


j>»-i*iK 


— J>nX. 


X = «Wj , 


«A* 


— »n+i». 


X = (pnü, 


g» 


— V,«.« 


= Vi 


o>,x.x 


— ff**.*' 


= «».o.j, 


(p,S . I» 


— v»«.«* 


s?,o.x* r 


Vi 1 -» 1 


- o> 4 *.x* 


ä 91,0.x 3 , 



clfe, wrmt man abbirf ; 

9« + OJ,«.« + V:*-* 1 . + P,X.X* +■■•+ (fn*.*" + ■ ■ ■ ■ 

— j<y,x.x + (pjS.x'/fc Tj*«* 3 + 9**- **A +ynX.K»^-...| 

== ffO 4- 31,0.1t + ^jO.X-* + ffjO.X» +... + (f«o.X- +...' 

SDie bei&en unenblidjm 0tehj*n auf ber tinftrt ©etre be« 
@I<tä>^eit0{ejo>ene fint? offenbar ganj üb eieinftimmenb mit 
einander, unb mir bann unferfebiebett; baß ble crfle baß 
©lieb (f? tnefjr entölt, fo feajü atfa ujr Unterfdbieö eben 
biefe« ©lieb, tmb folglich 

3« ==o)o + y,o.x +• oijO.X* + if,O.X» + • ..+V»o-x*;+ v . 

i|t. SMess i'ft aber/ wegen ber oSia/n Cßoraitefetjung in 
3$etug auf 90, y,©, y,o, 9>j<t,..., eine ffieibe »on 
ber »erlangten gorm. 

12. 3)« SBiglidtf e{f bet Gnttmrfilung »«t yx in ein« 
Otetye nacb ben pofttiöen ganjen «potenjen von x, £ängt 
aifo baöori ab , ba(j feine ber gunetionen yx, y t x, ^ ? x, 
SP,*/...« für x ==p bie 5«m f annimmt. • <£? fragt 

; , , . : ,;,;,,Co OS [c 



4$B •', llnfceffimmte Socfptteritnt, 

■fitb min, 06 ficb bie« nidE>( »ielleitbt aus ber gegebeira 
. Stmction 901 fe[b|t unmittelbar entf<beibm (oft. Jgticcja 
Bienen frfgenbe 23etroct>tungen. ' 

13. {JunMft bemerfen »ir, tag eine gunctlDn, «t 
c&e für x = a.biegorm ~ erhält, 1 infofern e« nur ciiqig 
unb aBeitt auf biefen fpecküen SBerrt) berfetben anfommt, 
allgemein burcb y barge|tettt werben farfn, »0 £ an ficb miti 
fcöüig einerlei ift/ unb nur besfjal&bürä) ben griedjifdjen 3toa> 
ffaben unferfcbieben wirb, um änjubeuten,.bafj £ immer =0 
gcfetjt rccrben muß, weil offenbar nur unter tiefer SJebingung 
y : jebe gunctio» »an »; weicbe für x = o ben SSot) 

. •£■ enthalt, reprafentiten form, unb nur bo bie Einfäj. 
rung biefcß Slußbrucfö berfiaffef iff , wo ii bloß auf fcfli 
SBerrt) ber Suntfion für x = o anfommt, . &ia)t «ttjelit 
nun bie SXio>tigfeit folgenber ©%. . 

14. SBemt y„x, für x = o, = i wirb; fctuirl 
immer ip^.,1, furx = o, = — ~. SDenne« i|i (11.); 

»ber, ba naä) ber RSorauefeisung 9.0 = £ , 



unter ber SOwauefe^unj, baß x = { = o gefeat »iri. 
SOfo ! 



15. 3(1 umgelegt jd„ +1 x, fürx=o, = i, ttti 

nicbt — o; foiftaucby,,*, für x=o,=-J. 2>emtM 

we r;" ! 

ober, unter ber SSorausfelung,. bapx='£=:o je(i!t 



UttöefHmmf« Soepfartat,. 493 

»itb, fa tai) b«2nital}m« «Wi*» fät x = ö, = 

r* ■-.- ' ' 

Welt I an |iä) mit* »61% einerfei j|J, mt «ita ber 58or< 
ausfesung, bafi x = o gefefct »itb. SBä« nun y,x für 
k = o , ni$e = ^, fonbun fc/äne <inm Beßitttmten 
»nmerifcben SBettr) «j f» feige« au« bet ©tti^ung 

wenn man, t»le etfotbe« »ftb; unb mä) bem 06tgm g<s 
ftbe^en mu|) , x s= o fefj(: . 

ba boct) na* ber Sßotaudfefcung a nicbt ss o fegn fo0. 
aif» if£ es fotfcj, bafi?„onicpr:s='A Bare; unb e« 1(1 
fotgtid) 9,0 ss -i. 3» t* 3$a( Impiicirt, »enu man 
f„o = J = y fcüt, unter bec Sibinguna., baß am 
©efefofle ber SJiecpming f =0 gcfcfilttitbj bie Steidjung 

f<foe Ungmimtfdt , »eil bann 

ob« , wenn «tun mit I tmilelpticlrf , 

.(=• — ■, 
olf»'; für £, wie «forbertfcy ifr == <>• 

Sie (Steigung 



tan» als ans bet 81tid)iwg 

' « = • — •; 

aber um« b« Sttorausfeljang, baß £ = t> gefeltf «erben 
mnß, ent|lanben gebaejt w«ben. 
16. SHus tiefen ©iftert folgt 
1 , 3Benn bie gegebene 5»nction>x fät x:=o, = 
i wirb; fo itf au'd) g»,x ss £, felglia) auep (p 2 x = 



494 ' UnitfJtmtnft ewfficinrttti. 

■&, fri8(i*<m*y,* = i u. f. f., wie pcl du« (Hj 
ougenblicttid} erglebt äBtrb a(fo bie gegebene Sunrti« 
9i=±=-j-, furx== oj (b »erben fär tiefen SBerib, 
x oucb «He folgenben gutotionen 

V»»» 01*« Vl»f V4*. ■ ■ • - » 

— 4 ' unb We ßntwlcfihing bcn $>x in eine nac$ t« 
co|ifi»tn gangen ^ottnjen um x foctfcbiilfmbe Ken)e ((( 

unmöglich 

2, SSBirt) fegen»' eil« Ser obtgert gun«fo»en , j. 8. 
(/> n+1 x == i fät x = <s; f« i|1 n«4> (15.) dud) «>,i, 
iilfo aocb (f^.js, alfo aud> gv^x/ unb fßlglicb, tties 
htatf fo weiter geö/t, dud) t/x felbfl == -j- , fär x = o. ' 

aud) ((ine ber functiown 

Vi* i Vi*. 9t 1 ' v«*> ■ • ' i 

für biefen SBerfy Mn x, = £, Heil, wen« biet Bei b 
genb einer, j. S5. 9„+,x, ber gal wdre, ttacb bem(i 
eben Sewlefenen, oucb 9* = £ fennmu£te, für x=<v 
»e(d)ee gegen bie JSoraMfeljung i(i. 

4, #lerauo festlegt man nun ferner triebt 5»(genbKi 
SBirb </ix = £ für x = o; fo tft bie Entwicfifaj 
»on yx in eine naß ben poltrigen ganjett ^otenjen »obx 
forffd)rtifenbe DSeftje unntig(id); i|i«ber yx nicbts: 
~ fit.x = o, fonbrrn err)l(t für x==o einen »S89 
iefti'mmtuiSSJrc^; fo baben aucb «fle folgenben 8»neflo<ta 
für x = o »oflig beflitmnte 3Bett§e, einb bie Qzntrcitfc 
lung son rpx in eine Sfcuje Pen ber angegebenen S3efd)offciv 
t)eit i|t alfo rnJglicb. . ' l 

17. Sefradjfet nwn, x + i für x fe$enb, 9 (x + i) 1I1 
eine Function von i s fo wirbbiefe Function/ wenn man i^=o 
'fcljt, z= <px, unb trfiilt alfo, fo lange ndrnlid; x ott aOjt= 



Unfcpamfe Coefffcientat. 495 

meine« ©tjmbol einer Dttanbetlitbett ©r&ge Betraft« »'<*/ 
unb man iljm feine feefonbernSBerttje beilegt, einen 06513 & c ' 
fürnrnten §B«tt$, wefcfcer im allgemeinen nfa&t =='-£- fft. 
Sötglicb läßt fia>, fo lange bem x feine befonbern SBertlje bei* 
gelegt wirben, «p(x +, i) Immer in eine naeb ben poßti* .' 
»en ganjen $totenjen »on i fortfdtjreifenbe Dieilje entwitfeln. . 
2fn bem 2lrt. tapiort 2e$rfb$. (3.) i|? ein ariberer beweis. 
tiefes für bie ganje 3lnalt>fiö ^ßdbft wichtigen ©üfjeenad} 
Sagrange gegeben »erben. 3cb Ijab« in ben »or^erge* ] 
§enben Sfiummern einen £8«fu<b gewagt/ benfetben auf , 
eine »iellfitbt genÄgenbere 3!rt ju begrßnben, «nb unter» 
werfe; btefe Söetrac&tungen bem n<tebfi<btigen Urzeit bec- 
Äenner. $ebe 83eler)rung über tiefen febwierigen ©egfft» 
ftanb wirb mir trwünfcbf femt. 9Jud> feiern* nur auf triefe 
SBeife ber 9ßetfjobe ber unbejtmtmfen £öef)tcieriten eitt 
t>Mig fejreö Süitbament untergelegt ju werben*, weshalb 
obige Setracbtungen in biejem JSrtifel ntdjt festen burffen. 
18. (Enblicb, la|jt (ta> notb im ungemeinen bie grage 
«üfwerfett, wie in bem Saue,, woyx = ~ für x == o, 
unb bie (Entwicfelung in eine SÄeilje naa> ben po(itt»eit gan= 
jen 9>0tenjen von x atfo niebt möglich iff, bie Sorm bec 
Steige gefunben werben foitn. ungemeine SOocfdjriftetT - 
taffett ficb offenbar Ijier ntcbf geben. 2lm befreit wirb man 
bie Function yx entweber felbff fo ttmjuformen fucfjen, 
baß fie ni#f = ■£■ wirb, für x = o, bie tran«formirte. 
Function in eine £Keit)e na§ ben pöficiüen ganjen ^otenjen 
von x entwirf ein , unb baraue, für <p* fefb'ft eine Steige ab» 
juteiten fucfjenj ober man »erwanbelf, wetebes immer mog* 
K# ((1(17.), y(x + i) in eineDJeflje nacb'be« poftfwett 
ganjen ^otenjen von i (am letebf efien freitieb mittelft ber 
3)iferentialredbnumj. %atfat9 Sebrfnß. 12.), ' unb fuebf 
bann für i einen folgen btjTimmtett $8m§ einzufahren, 
baß fein Eoefficient ber erhaltenen Steige = --Wirb. 23ei* 
fpiele werben bfefes beufldcber niacbeit 

19. fißöcb beruht bie Sttettjobe ber unbefKmmten £0= 
effteientm, wenn fie mit Seicbtigfeif unb ©uberbeit ange= 



496 tlnfa|Hittwfc eMfftctotfat. 

«ntiM wetben foH, auf fotgetibcm M*)t ju betwlfenben 
Xeljrfalje: 

aBtnn für jebes x |»ei Steigen, bi< na* ben po|iftWB 
gnitätnipofrajrationxforffitnileit, einanbet gleid) (int/ 
fo top o(fo fär i*ts x t. S5. 

A 4 Bx + Cx* 4 Dx» 4 Ex« 4 . .. 
= * + »x 4 Gx» + ©x» + fflx« + . . . 

IPS fo «P 

A = i, B = 8, C = 8, D = a>, », '.f. 

' SDa nämlitf) obige Sleicinmg fuc jeben SäSertlj »on * «Uli 
fo gilt ße auä) fut x = o, »maus augenblicfliä) folgt: 

A = i, 
, Bx 4 Cx* 4 Dx» 4 Ex« 4 '. . » 

e= SBx 4 Ox» 4 SDx» 4 Gx« 4 - • • ! 
B'+ Cx + Dx* + Ex« +■. . . 

= ffi 4 Gx 4 SDx* 4 Gx» 4 . . - ; 

eotnfafl« für i'efcee x, alfo autf) fto x = o. golgli*) 

B = fB, 
Cx 4 Dx* 4 Ex» 4 . . . = Sx + ® x * 4 Gx» 4 • • - » 
C 4 Dx 4 Ex* + . . . =» 6J + 5Dx + Sx* + . . . . 

für jebe« x » alfo au* für x = o. SSJie «tan auf bi(f< 
girt weiter; ger)enfann, erteilet nun fcbon. 

20.' @en, um nun *u Seifpieten u&etjugebfl», iuettj 
»px = (1,+ x) B , fo ifi <po — 1 , unb es fann alfo «px in 
tine nad) ben po(!(i»en gan»en ?poten»e» »on x fottfclrei. 
tenbe Dieiije cnnvüfttt »etben (16. 4.). 3Ban i|l alfo De 
tecjitigt 1 (u fetjen : 

(1 + x)* = A + Bx 4 Cx» 4 Dx« 4 Ex« 4 . . . , 

ober/ ba man für x = o fogWd) A = 1 «IjJtt/ Mtjet: 

. (1 + x)» '= i 4- Ax 4 Bx* 4 Cx» + Dx« 4 . . . 

x^etjt man nun x 4- u für x; fo reitb, wenn man bie pfc 
filtern ganjen »potenjen »tix + t entraicfelt: 

tl + x 4 «)• = 1 4 A(x 4 ») 4 B(x 4 u)» 4 C(x4u)»4- 
— 1 4 Ax 4 Bx» + Cx» + Dx« + ,. . . 
+ (A + 2Bx 4 3Cx» 4 4Dx» 4...ja+ . . . . 

=(■+«)■)' + 1 -+ L xf •':■ 



Ihtotßmmte Eoefifcfottm 497 

= (• + »)•+ A(l + *).—■ » + B(l + ,^-. „> 4. ... 
= 1 + Ax + B*' + CS' + Dj* _+ '■ . . . 

+ AC1 + x>— 'm + B(< + 1)»— -n" + C(l + x)~ .„.+ ,.. 

«ab foiäliti) für /ety« uS 

I A 4. 2Bx + 3Cx a + 4Dx* + , . . Jn + . . . ■ 
= A (1 + «)— 'i + B(l 4- 1)— n> +0(1 + %)— •„■ + . . . 

atfo na* (19.): 

A + 2Bx 4. 3Cx» + 4Dx' 4- . . . = A(l 4- *)■— ' , ' 

(1 4- 1)| A 4- 2Bi 4- äd' + 4Di" 4 |=A(l + x;-, 

b. i. 110* ber Slnnaime, wenn man jugteid! Sit 93roSucf( 
enfreicfeit: 

A + AB Ix + 3C 1»' + 4D Jx> 4-, . . 
4- A I 4. 2B I + 3C I 
=,A +. AAx 4- ABx* + AfJx* 4 . . . 

a(fofüt(ebe8ina((i(19): 



2B +. A = A 

3C +*'2Bx=AB; C == 5^ 
4D + 3C = ACf ; 1> = £ü^ 



.. A(A - 1) 

2 ' 

_ B(A - 2). 



" 5E + 4D = AD i £-=2^^), 
».f. f. «.'ff. 

unb es'erljeUet mt biefen ©teicbungen foa.teicb, baß mir. 
tel|i berfelben afle Soefßcienren befHmmt finb, wenn mir 
A bejiimmf i(i. gur 25e|iimmuna, .von A gelangt man 
aber auf fbfgenbe 3Irr. @eo A = f (n) ; fo ifl »- 

(1 + •)■ = I + f(»).x 4- •. • • . 
(l +'.)•«= (< 4- i)|i+f(i.).x + ...| = 1 + |f(«)+i)x4,_ 
= 1 + »(» 4- <).x + . • - , 
«nb fataiiä) . - 

t(„ + 1) = £(»; + 1. 
Slun i|i ofenbar für n =r 1 : 

f(l) = l; alfo 
. f (2) = f(l) 4 1 = 2; 
f (3) = ((2) + 1 = 3{ 
f (4) = f (3) + i = 4j 

v, »•","•"• ' 5 . ■-. 

.•h .Cookie . 



498' UnSefttmmft Eocfpcimtcii. 

Sllfo i wenn n eine fiofiruit 9'an je jä<u)l i|r ,. Wtttjoupl 
■ •' ■ Jt»)=», 

(1 +• x)» = 1 + n> 4- . . . 

gerner i(l, wenn n notb. eine fofitiw gemje 3<u)I i|i: 
(1 + *>— = < ' + *(— <0-.«+ ••"•■ 

■ ■ _ j > 

. li +*)• — .■ + •» + .■-' 

, 1 = |i+i(— 0-«+.-}(i.-l-=+~| = 1 + jr(_»)+»J«+... 
3Ufof(— n) + n = o, f(— ti) = — n. -3(1 end- 
lich ber igrponenr ein Srucft^ , wo n unb m ganje 3<i&= 
Ten ftnb, m pojltitt i|f, n ab« fowo&l poßtiü als negativ 
fefjn fann; |b t|t 

( n,'«r=i' *<a •»+•••• 
+ .p= ji+f(i).« + ... j*, 

unb folftticfc, weil n, m gaiije ^afjtcrt |mb, nacb bttD 
.SOorberge^cnben: 

i + »+—'i + i|r(|).,- ♦....( +-:,-. 

,=- + »'©••+...., .. 

tto ade fulgenben ®Utbtt tytytt potm^tn »oti x entbot 
Kn. Sllfo 

. -M- <s)-«©- = - 

<£* ifJolfo, wie autd bec Ertonenf n befefafen fe»n mij, 

immer 

t(„) = A = ,, 

unb folglich »öd? ben obigen ©ieicbiingen : ■■ 
t A s= n, 

B = A '° ~ ') _ "1" -n 

."2 1.2 ' 

1 . ' ' B '° ~ *> = n(D-l)Cn -2) ^ 

■ .'■■_■ ■ ' ' „,„c 



llafeßfmmß SciflWartm. ' ' -499 

' . - E — "f" ~ £ -i °(n-l)(..-2)(n-3Ka— 4) 

■ ' 5 13.3.4.S » , 

:- a.f.f. «.f. f. ■ '•. r 
3Kfo - 

' ;»(-l).(n-2)(n T 3) ■ 

"1.2.3,4 . ■ f . t . 

wie brfannf (f. 33imrniifcM £e^tfa(j.). 

21. @eg fernet-yx = a T ; fo »itb, fiJt x = o, 
tpx = a* s= 1 , affo nic&t == £ , unb man tfl fofgli* 
beret&ti'sr, ' jtt feQttt : 

a* = 1 + Ax + Bx> + Cx 1 + Dx* + . . . 

3Bon felje wieber x + -u föt xj fo wirb 

**-H» = i + A(x + u) + B(x + u)' + C(x + u)> + .', . 
= 1 + Ax + Bx s f- Cx* + Dx* + '.'. . - 

+ [ä + 2Bx + 3Cx 5 + 4Dx' +...(« + ... 
ss«» + [i + 2Bx + 3Cx» +,4Dx» + . . . J u + . . . 
= «*.»" = a-|l + An + .Bu» + Cu' + Du* + . . .[ 
'= a* + Aa*u + B'aMi 1 + Ca 1 « 1 + . . . 

förjebtfu. 3Ufö(19.)i : 

A + 2Bx + 3Cx' + 4Dx> + ... . 
i Aa* = A + AA* + ABx> + ACx* + . . . i 

fär jebesx. getgticb 

. A = A i A=t A"; - ■ 



'2B s= AA| 


B=^l ; 
1.2' 


SO = ABj 


v 1.23 


4D =s AC; 


D = ^- 



.-.- tt.f.f. B.f.f. 

fo baf olfo oueb $iet »lebet aBe Eoefficleitteit (e|Hmm( 
1Wi>, mm\ nur A bt(?inrait i(i. (Et ift foläli* .: 

3' 2 '"„''. - 



500 Un&efltmrate Soefpcieütet 

• =äl + - + T2 + i3J-+ tBT + '-' 
SEBir werten ncicbljee auf tie SefHmuuing »ou A juräct 
fommm 

22. ©«9 fentet yx = logx, föt We ©a(T8=b. 
gut x = o rttufj fenn o = b ,0, ° = j^j = b-"; atfo 

^ogo = — 00 = —-^/ fo baß atfo log x ni<bt in eint 
na<t> txn poftffoen ganjcii ^o«njeti wen x f«tf(&«itenl* 
£Kd(>e cntwirfdt werDert fann (16.4.)* ^ an eutwicfete 
ba^er,ijecin(18.)angebeHte(en3)i«^o6egfmäg,logCx+u) 
in dne Dtetye nadj bcn pofitiucn gan jen ^otenjtn von u, 
unbfege folflÜtb 

lpg(* + u) = A + Bit + Cn> + Du* + Eu* + . . . , 

wo- abec jctjf bie Soefftfienttn fe(b(t Functionen von x ffttfc. 
@etjt man zfiku; fo wirb 

log(x + i> sq.A + Bi +. Ct* + Di» + Ei* 4- . . . , 

unb folfltfa; t . 

logt« + u) — log(* + x) = 
s4(u-.)+ C(n* — *') + D(u» — i') + E(u* — ««)+... 

/ =1^1 + ^, + ^=^) 

. . .■ ■H-1 . r *'(" - *>' T n ** ( ° ~ *>* i 

- i»j« 

@c(jt man aber n==o; fo rtljjft man augfnbficfli* 
logx = A, fobafi tiife (SWttbung |io> atfo in foljnti 

»errcanbelt: 

B(« — O + C(u' — •=) + DC«' — «') + E(n" — «•) + ... 

imb; wenn man mif u — z bi&ibirt: 

B + C(n + «)■+ D(u s + u» + «') + E(u» + u>» + «*» + i 1 } 
+ F(u« + u'i + u'i» + ux> + ■«) + . .'. . 

. .. * . ^(n-lj .^ i'fu — 'iP . 

fiirjeix« uunbz. ®tdfman<(fi>u zj fixrMI« man; 



B + 2& + 3D«» + 4Ei» + 5Fs« + . . . 

wie man letijit jtnbet, wen« man fcen $ni$ r^«' 
in «me Steige na# ip oten S en *W z entteicfelf, woju man 
fi* au<t> 6« gemeinen 35it>i(Tön bedienen fatin. 5Öa«iW< 
obige (Steigung föv Jebe« .3 gilt; fö ift 

B = B ( 8 = B; 

B B ' ■ ■ I 

»— n= D = 5" ■ ■•■ . 
u.f.f, u. f. f; ,- 

nnbfotslio), wenn moij (. für B.fctjt: 

«%&*■>— «ii« + *|«-g + £ ■- j?-+ •■•■( 
SM) bet in(18.) angebeuteten SWetliobe tnufj man nun für 
x «inen 6e|Mninittn !18t«H?*<>" füt wellten fein eoefjfc 
titnt einet J>M««| ron o , ■ = -j- witb. 3» W«f« 83«> 
Sie^onj We(et (i* foälei*; nnb m ejnfa*|ten, xx=i 
bat; wobuwfr: 

log (1 + u) « Xf o — } tt» + J »» — 4 n* + • : vi, i 

»o min naturlu*. 91 eine t«n(lante ©t6|je i|l, bie na* 6e= 
ttunnit werten mtfß. 

23. Sie Sogaritfanen, füt wet*eä = l t|t, Reifen 
natutlic&e ober fapetbolifc&e, »nb ft)te Safis.reitb bnta) e 
bejeidpntt. älfo' i|l Inttnet 

io S mi(i + i) =«-*«' + *«■-*«*"♦ ■ • •- 
Uebetfywpt i|t otfo 

log (1 + *) = * log» C< + '>, I = JpÄ.± j^,' 

«nb falsa«, futl+x=b, alfolog(l + jO=l, >» 
b bie »ap«; ... 



S02 Unfeflitronte Swfitrirotal. 

.;■•/.; ■>*"*&•'. ' . . 

l0 «»+»> = 1^.71!" -* 1 ' *»••-»»« + •■-(. 
wo oefanntllty ^— ^ ber Sfrobutuef bes ©ufteme ae-- 
nannt tt»tcb , befielt Safis == b i|f. @cfjt man b == 1 + 
(b— 1); fo iftiM, bog .•;;., , ' . 

logn.tb = (b-1) -1 * (b — lj>'+ i 0> - 1) 1 + ■ • - • 

©<(jt man nun in (21.) a = 1 ,H- <*; fo »itb natb (20.) 

= 1 + (•-*.•* +>•» -4«* + •••) * +' 

wie Utyt er^ettef. 5U(b feie itv (21.) bur# A &ejei#nef« 

®vb$t ■ : - ■ 

= a — 4. ■> + j *» _ 4 .* + , . . 

b. i. na$ bem Obigen 

' * A = lognHa, 

unb fofglUlj, wenn bU natüttvtytti Sogafit^mtti SCpft burd? 
rbejeit&net werben , ncufc (21.): 

.- * 1 + l!5 + Hüll + <*ÜL 4. . . ,, 
, 1 T 1.2 T 1.2.3 T * 

fötftH*, föra=e, la =le = l, ba $ We Stoffe tw 

natitrli^en^oflarlt^men: 



i+-, 



1.2.3 T 1...4 



24. ©eij ferner yx = sinx, yo = o, fobajjftdj 
ötfo yx in .(ine SXetlje na# ben pofitiwn gangen 9>ofenjfit 
»on x entmideln lägt (16. 4,). SDkm fr^c fotgtt^ 

•ins == Ax + B* 1 +■ Gl' 4- Dx* + . . . ., 
*in i=Az+ B*> + C*> ■+ D** + ..".., 
«ax - dni s= At>— i) + B(x'-^) +■ C{x> — ••'"> + . . , 
= 2rin $ (x — t) ooa | (x + i) (®oniomcfne. 28.) 
'== ]A(x_,)+fB(x-f)>+iC(x-*)'+iD(x-») 4 +-t<!«« *(* + *). 

unb, »enn man bnräj x — z ti»lbtrf : 

' A + B(x + l) + C(x' + xx + x») 1- D(x»+x'i + x«*+«*) 
+• B(x'+l'x + x'*>+x»> + V) + ...-.-.. 



" Mtftiimtt ^«Pfwntofc V 503 

gotgU*./ w«nnmannuttx=z,fe^t: . 

A ooas = A + 2Bx 4- 3Cx 5 + 4Dx* +■ 5Ei* 4- ■ . .... ,-.■ ; 

A co»* = A + 2Bz + 3Ci* + 4D* 3 +■ 5Et a + . .- ., 
A(c<wx-<=<w«)'=2B(x— *} + 3G(*»~ **) + 4D(x*-i') +■ .. 

a= — 2Aiinj'(i.+ i) tin^Cs-iKtO-. »• *>•) 
= — AJACx-^ + ^BCi-^+^C*^) 1 + -..i*ini(T+z). 

IHlfo, wie'for^er: , 

2B + 3C(x + z) *..4D(x' + « + j») + SB^ + x^ + k* fc* 1 : 

- = - A | A. + 4B(x—^ + ■iC^-i)*^ •' . .'] «i»'i IM; »)V 

un& für x = z : . 

— A'-«njt'= SlB .;+ 2-3Cu .+.S:,4D» 1 +■ 4.5Ex*'+ • 



, «*--'. 


i'-j Ax +.ßx* + C* J 


+ D** +. Ei' +■ 


$olg(icfr 


2B = o ; ' 


„i..; : 




2 . 3C = — A» ; 


° = -tts?ä i 




. 3.4D ä ~- A*B-fr 


D ^= o;. . 




' 4 . 5E =s — A'C ; 


E - t.?.3.4.5 




. 5.6P = — A*D; 


T = o v 




fi.7Gs=- A»E; 


•-r-f^-. 


3Hf» 


: «-ff- 


u. f. f. 


wo nttc 


nw(j A iujeftimmett. , 


S)a t>Krna# 





!(!; fi> <r^!llt(,ixi0,i»enti s abnimmt, MefisSMätaif! C* 
btr ®c6(je A immtt ratfyr im» rae^t nähert , un6 A aljb b(e 
tSranje »Itft» S8erf>ä(tni(ft8 i(i. Siefc ©rtnjt i(i ab«, 
wie ougcnMfcHtft au« btr Btatitt Hl» ! 6lnu« fof&ti *a« . 
SBec^itaif t«8IH<W«it, alfb = t. . 3o(a,(io> A = 1, 
unö Bcmnaä) 



50* ; Ifo&epjmifc £oefjki«tfen. 

worauß, mitfetfi ber o&ett föc Acos x gefangnen 9W$e, 
fogtttcb: . 



25. $)a tangier o föc x ;= o; fo mußfid? tangx 
in eint nattj ben pofititten gnnjert «potmjen »oh x forffibrei» 
ten&e Steige entwirfeln (äffen (£t»ctometrte 17.) ®a 
aha cot x = £ für x = o; f« i(l bfe (EntwicMuna 
bec Cotangente in «ine folcbe Steige niö>t möglich (16, 4-). 
(SsiJUber 

BOt ,_cc«x _ l - jx» + A« 4 — 



,- i - 4»' + *»' 4 



eine Function, welcbe, filr x = o, ==; 1 wirb, anb fitb 
. bemtiacb in eine Steige von obiger gorm entwtcMn (Jtjfc 
Sttan ifi atfo berechtigt ju fegen: 

* cetx = 1 + JU + Bi* + . . , ., 
WOMfl* 

' catx = -i- + A + Bx + Cx* + 

SXe* filtnmf tt&ertin mit (gefönt etrie (15.). S3e» bA 

wir flicken Sntwitfelung, verweiten wir nUbt. 

26. SDie gegebene Suncfion fen x' = Are tang r; 
fo wirb, . wenn wir ben fEeinfien SBertfe, von Are tang x 
in'« 3luge fnffen/ x' = o fiir x =: o, unb x' anbert 
befanntlfcb fein %ti<!btn jugteieb mit x. SDa^er i(i nun 
Berechtigt, {u fegen 

x' as Ax + Bx» + Cx* + Dx' +■ 

unb bte <&ntwicfe(ung felbfi wirb jeigen, ob biefe §wm 
bie riebtige iß. gwc z' = Are tang z,ffi 

»* = Ai + Ba» + Ca» + D*' + . . . . ; 
~~ = A + B(x» + «t + ««) + C(x* + * J i+-x»»* + xi* + i*) 
+ D(x' 1 4•x , ■ + «*l• + ]t , « , + x»i* + xx» •»:«*) + -'• • 

«Set • 



Uhfcffimmte Soefffcienfei 505 

— • ■»'— *' ' _ fr*— rt jgJÜJSUÜ ...". ' 

taug«" — tangj' * «ja (*' — **) 



unb fo(gtict> , wenn man auf befcrn ©eitert in -obiger @[e(* 
^JunjV ^f= z ( , aifift äuc& x == z feijt: 

co« *'* = A + 3Bx* + 5Cx* + 7D1* -J- . , , 

90*f "■''. 



fo 6af «tfo 

1 _,. x» + X* — X* + . . . . 

s$ A.+ 3Bs* + 5Cx* + 7Dx* -J- . , . , 

woraue immittel&ar: 

Ä = l,fl = - i ,p, 5fT ,Dw^+.,.,- i . 
Arctaigx =t i T !*■ + ^» -* +*» + . . . , 

(Efdemtfrie 10.), ■ . 

27. -3<fr V = Arcsiny, u' c= Are sinu (typ 
raaft/ wie vorder: 

j- = Aj + By" + Cj" + Dj' + . . . , 

u' = Au + Btt* + Ca* + Du' +. , . , , 
£=J£ = A + B(j'+ju + u")+ e(y" + r'u+J , u> + i.') 
+ D(y« + y'u+y , u>+y»u» + y'u«4-yu* + u 6 ) + ,-■••• 



y— u ~ .rö y"— üuV - 2«n'f (/— u'J'coiJCy' +«l' ) 

_ , ?' ~ u ' , ' ' 

{(y'-u-j-A(y'-u')'+i...}~>l(y' + u') 
_ {i— J.ly'-»')" + ■ • •}"»i(y' + »') ' 

©<iji "•"" ■""• ">'<' |tt y 53 »'/ «f> »«♦ y = u » 
fo wirb 

jjty = A + 3By' + 5Cy< + 7Dy- + 



= Cl-r') 



,-t 



■hi*-*^- 



'Hil' + Hl'* ^"1-4 »' t • • -(*•>• 



506 . jUn&fhmmfc ©tfße. 

• woraus unmittelbar : 

i a i,l« T . T ,fl« n . 1 . 1 0= _ rT __.. T , .. 

' unbfolöli*, xfiiry gefegt: 

■ , ' , i i> , i..3 i' 1.3.J «' 

Arc«. n x = « + TT+ —j y + j-y-g -+... ...... 

(Cndometrie 1.) 

28. hitft S3etfplete mögen fjlnreidben,- bdls SEBefen 
ber. widrigen SDietljobe fcet «nbejtmimren (£oefficiettten 
jü erläutern, uri'D itjre Slmwertbung ju jetgen- Sßociüglicb, 
t>. m. aucb ben 5Irt. Umf ebtung ber 9teiben, tvo tiefe 9Be* 
f&obe ganj befoubers'iljtt ?uiwenbung finber. 3cb glaubte 
mid) aber biefelbe/ wegen iljret großen 2Sic&tigf eit, in bie= 
fem 91k. etwas wettet verbreiten ju mäßen. 3>er (Ecftn= 
ber Wefer 9Keu)obet|MDe «carte» (Geometriap. 49.)j 
fte ift aber burd> bie fpätern ÜRanjematifer febr erweitert, 
»etBoHfornrnnef, unb auf »tele §<Wt angewanbt warben. 
©or.jügltdj verbanf t tfjc bie Sbeorie ber Reiben , insbe^ 
fonbere bie Q-ntroitfelung ber Functionen in Steigen , viele 
(Erweiterungen unb 93ereinfad;ungen ber Slefljoöen. . 

Unbcßimmte ©ropeiflei'"®^ berenSEßerfl) 
wiHfübrlicb angenommen werben fann. (Sine ©röfje tarn 
unbefiimmt feijn, unb itjr Söertb tofy burdj bie SEÖertfie 
anberer Unbeßimmfen , benimmt »erben, »ott beufelbm 
abhängig fenn, welche* bei aßen Sunetionen t»r<taber(i$er 
©röjen ber gaBtfi. 3« ber 2foat»ffc ifi ber 2luöbrud 
unbe|Kmmte ©rfijje im ungemeinen gfeic&bebeufenb mit 
bem 2to8brucf »eränbertiaV ©roße (f. biefen 2Irttfe(.). 
■Sßas man in ber .Integralrechnung ©onberung ber Un6e< 
fltmmten ( Indeterminatas separare. Separation des 
Inde'termine^cs.) ober ©onberung ber »erinberKcpeit 
©röjjen nennt» f. in bem 3rtife( ^ntegratgleidpung. I. 

Ullfecftimmtc Ouabratur einergurMül bieS3e« 
frimmitng bes §(a tbeninbaitg eine« wiHf i%litb/en, ber unbfc 
fiimmteu SSbfefffe *. enffpced;enben, ©egmentet» berfelbtn. 
£>dgegen i|t j. £9. bie SefUramuag beß Slä^enin^aite öee 



Un&efttramte Stetfifteatioru 507 

flanjen Ärdfrt burdi bk Sornttl r*.» ein einfährt ©d» 
fpiet elmc 6efütäfflten ' QuabrMHr einer Curve; ' Sßergl. 
a«cb ben fofgenben 'Jlrtifel, 

Ünbeftimmte Ratification «iner $«»« ifi bie 

©e fHmmimg ber $d nge- eines Cogens berfelben , mel&er 
einer unfaftimmten twüf litjrlitfje» Slbfcifie crttfpci*(. @o 
ijies ,^2J. eine unbeftfmmteDtotiflcation ber (gflfpfe, wenn 
überhaupt bie Singe eitieß. ber unbeftfmmfen ^bfcifff x tut* 
(ptea^enben Sogen» brfliimrit wirbj bie 25e|tmtmung tu« 
öanjen ober falben Umfange« bertEllipfe, ober ber länge 
eines efliptiftjwn öuabranten CAgegen i({ eine beflimtntc 
Ofertfflcatfon ber gßipfe. ©. (. ©. 0fccti|Karion (11.). 

Uiibcfftmmtt 3Scrtf>c ber Functionen, ; f. 

Function (50. ff.). - 

, Uncia, gjetcb&ebeutenb mit, Soefficient, »orjögtin) 
unciae binomiales, bie Sinomiat = £oeffici'enten. 5Da« 
SSJoct wirb »ort Oligtreb (Clavis mathematica. C. 
XII. ' $. 6.) juerfi gebraust fenn. 5Iber aud)<Euier 
bebtent fiefj beffetbtn injmei 2ibf)anb(u«igeft öberbie-Sino* 
mial.SoefficieiWn. Acta- Petxopol. 1781. P. LH. 

Undecagonum, (Silfttf, etne'ebene ger<ibHmgt • 
8igurratt\«ilf@ei(en. •- 

Unbctctmi'ntrt > f. Unbe|Hmraf. 

Unedler Smd>, gt*id.jöebeuttnb mit undgentli- 
djerSrtufc. 

Unei^nflidjer $rad>, f. 33™*. 

UUCllbttdj. 1. ©ebon in ©tlfet« Aothmetica 

' integra. Norib. 1544. Appendix libri seenndi :' 

De qiiadratura circuli fol. 224. finben fi(b fotgenbe 

brei @2^e; Trianguius est polygoniarum Gremium 

prtma. Omnium polygoniarum ultima est drculus. 



506 HtttttW^. 

Reote igitur describitnr circulus mathematlcus etse 
polygonia infinitorum laterum. 51« bfefem 
Orte f#eint baßtr ber Söegtijf , ober »ietmebr bie 3bee 
beö Unenblicben juerff ttorjufotnmen/ tu bie Ritten bnj 
flflm Seroeifen in ber ßtenunfargeomefrie fteb immer ber 
GjrbaufHonemerfiobe bebfettfen, »otübet tiefet 3(tfife( natfr; 
jufeben iff. ©tifel nwtbt aber fn ber gotge feine »eis 
teren 2Um>tnbungen von brnt UnenbUdjen, unb in ber 
$bat fcbeint aud? tiefet Segriff juerfi »on Äeplet in 
feiner Nova Stereometria doÜorum vinariorum etc. 
Accessit Stcreoraetriae Archimedeae sopplementum. 
l.incii 1615, eigentlich in bie 9Baftjematif eingeführt 
werten ju feijn. Um ein ©eifpiel feiner 9Jiefbobe ju ge« 
ben, fefce itb, ba mir ba* Stßerf felbft" nicbt jur Jpanb i(r, 
au8 Carnots Betrachtungen über die Theorie der 
Infinitesimalrechnung, übers, von, J. K. F. Hauff. 
Frankfurt 1800. S. 61», ben Sercete bon Archim.'tde 
circuli dimensione. Prop, I.#' baß ber .Steiß einem 
Triangel gleicb i(i, beffen ©ranblintc ber »Peripherie, bit 
.Ößtje aber bem DEabiu« bcs Greifes gteiä) ijt, tjier&er. 

„SlrdjimebeS, fagf Kepler (P.I. Theor. U.), 
Bedient -ftd? bee intirectm Seiueifes, ber auf eine Unmög* 
Iid)feit füt)tt, worüber bon Sßieien £3ielee gefugt Worten 
■ ffr. 2Jüt febeint ber @inn ber ju feijn: bie $eripb«ie 
be» Greifes BG (gig. 94.) Est eben fo biete "Sbeile, als 
fünfte, b. b. unenbtid) Biete., beten jeber betrachtet »er. 
ben Fann als bie ©rttnblüije eines gteicbfdjenflidjcen ©rek 
etffJ, beffen ©djenfet ber Xinie AB gteid) (tnb, baß äffe 
bie £rei»fl4(be unenbttd) viele <Dreiecfe enthalt, beten 
©pitjen ade in ben ^unft A jufammen fallen. SRatt 
ftteefe nun bie «Peripherie bee Ärelfes BG in eine gerate 
£inie aus, unb es fen BC ttjr gleid?/ unb AB auf % (on> 
teebt, fo »erben ade ©tunblinien jener itnenbtid?en Dielen 
2>reiecfe ober Slusfcbnitte , in einer geraben Sinie «' 
einanber liegen. £& feo eine btefer ©runblinien BF fo 
fTein., ale man will, unb bie CE ihr gteid), unbman»cr= 
binbe -bie fünfte F, E, CmitA. S)a nun auf ber ge> 
raben Sinie BC fo biete 5)reitrfe ABF, AEC fint, als 



timnbK$t 509, 

inUt Sttfofätoytiafonkit, nnb fie g(ef$c ©runbttnim 
BF, KC, unb einerlei JjoljeBAljaoen, bie au$ )u bttt 
•ausfcbniKengefjart, fo werben bie SDreietfe EAC, BAF 
«inanber, unb jtbes wirb aucb einem .greisauefcbnitfe 
gletcb feiHt, unb alle ©refeefe jiifammen> bereit @mn> 
linien in ber Stnie BC liegen / b. i. bae Sreiecf BAC, bae* 
au« ifjnen allen be|ieE)t, Wirb äffen jireigausfcbnifcen, b. fj. 
bei* aus aßen be(tefienben Äteiüflatbe gleicfc fetjn. 3>aS 
reiß ber ittbireefe SSeweis bas Slrcbimebes fagen." . 

(Eben fo 6etra<frtet Äepler ben j?ege( als äufammen» 
gefegt aus unenbltdj vielen 3>nramiben, tätigt auf ben 
unenbUcb f (einen ©reierfen, in bie er bie ©runfcfUcbe jet* 
legt, (feilen, tinb mit bem 5?ege( eine gemdnfdjaftticbe 
<8pifje r)aben; ben ffnlinbet auf <i&nti<&e SBetfe jüfammen* 
gefegt aus unenfcfia) »ielen Heuten ?pri$men über einerlei 
©cunbftöcb/e unb »on einerlei J>ob>. 

2. Söie wenig biefe ©praefce , m\fy und} In btele 
neuere Sefjrbödjer ber ©eemetrie übergegangen fft, wenn 
fte au* aßerblng« bie S9e~»effe abfürjt, benSßerftanb be= 
friebigt, wie wenig (?e ber fonft in ber ©eomefeie gewofjtu 
liefen Evtbeiij unb ©«enge gemäß tff , erljeßet von felbft; 
unb gewiß iß es als ein befonberer SOorjug mehrerer -ber 
neueren geometrifä)en SBerfe, als ein wwj»g(u$er gorf* ■ 
fdjritt ber Jeljrmet^obe ju betrauten, baß jene Hnwiflm» 
faSafttidje ©pracbe immer mefjr unb meljr verbannt, bie 
<£rf>aufiion«mf$0be ber grieebiftben ©eomefer wieber in 
it)te alten 0teajte eingefefst, ebet flatt berfelben bie 9He= 
sfcobe ber ©rÄnjen , wettfce jener an (Strenge ni$tt nacb* 
giebt, unbbabei in ben meiflen Rillen fiirjerift, befonber« ' 
weil JTe feiä>f auf einige allgemeine ©dtje gebracht werben 
tarnt., in bie Üel-rbucber «ingefut-rt wirb; Sßon ber 9He< 
t&obe ber ©ränjen ijt im 21«. Sßer&altniß (76. ff.) (tri, 
wie icb glaube, genugenber 3ibrij3 gegeben. @eb> widrig 
für bie Slnwenbung in ber ©eoimtrie ifl ber bort in (81. ) . 
iewiefene aßgemeine Seljrfaij. ©et obige '@a(j> vom Greife 
fann ntittelfr ber $r)eorie ber @ranjen leitbt unb voüig 
ftreng auf folgenbe SSrtbewiefcn werben. 3nfjatt, Umfang 
unb (fUiner)a?aWw* irgenb eines in ben Äreis beftbriebenen 



510 UnmNiifc. 

rtjutärm SRMttf« fit)«» P, u, p, M« mtfprtixtftm 
erijjrti Mm Ä'tccfe fc, p, rj Sränjeu im SBaibftn bfc 
■ gefönt man bunb Lc , (Bcanjcn im Slbmljmm bunfr Ld. ; 
fo erhellet burcfr einfache geometttf$e Scttagtungcn fo= 
glcia); bog 

Le. P = K, Le.f=r, Le. n = p; 

fo»!«md>rtmfo(<id)t,tiofLä.-j=-i- i)i. 5o%fi$ if 
l.c.(p:l)=r:l (SBnWtolf. 78.)i La.(i:l)=-i-:l 
(SB«$«lt»if.78.); Lc (l:i)=l:i(S8(r5«(nif. 83.); 
Lc ( e j i) = r : i («OirWftnlf: 88.)S K. i. Im 
>:-| = (>o:l, r;i=Vp:l i|l, 

Lc (ja: 1) = rp : 1 ; 

alfo Lc. pu = rp, welches and? leidet für ftä? cr^fffrf, 
oEmc btr obigen @ä$e »Ott ben. S&rtjtSltniffeti attjuwenbcn, 
Da, TOernir, p refpecttoe bie ©ränjen im 2ßa*fVn »on p, 
u finb, offenbar aud; rp bie ©rätije im 2Bad?fen von 
pu ift. Slliiti ifl aber immer 

■ P:*(ii = tM,P:eus=l:2. 

Sttfo aud) (SferfcMttifp. 81.) 

Lo. P : Lc fu =3 i t 2 , 

b. i. nad) ö<m Obigen 

X : rp bs i : 2, K — $rp, 

tw($e formet ben ju beweifenben ©afj entölt. 

3. 3n rtodf> größerer- SfacbeljnMtg als u«t jRept« 
twartrbie 2fbee bes UnenbUcben t>cm Safaleci in fein« 
Geometria indivisibilibus continuormn nova. qua- 
dani ratione promota. Bonon. 1635. (1653.) cmije= 
wanbt. SBon biefec 9)Ietl)obe ifl in biefem SB&tf erbaebt 
in bem ib> befonbecs gewibmeten Slrtifei ($&(. I. ©. 415.) 
außfiifjrlidj gt^anbett. 3>afj <£a»at«ri ntdjt bur# 
Kepler auf feine SDtaljöbe . geleitet werben ifi Ctyll 
©. 416.), §at cc felbft-in einem fpAftrn SBerfe <Exerci- 
tatiönes geonietricae. Bonon. 1647.) aus* ber Sßffl» 
ftbiebenljeit ber ©rönbt. beiber SJtet&aWn., önö aus b« 



Uri«ibfk&. ' Sil 

. SBerfc&iebenljeit beö ©anges, Un Utbt Bei bett 5Im»enbiiib 
gen berfelben Sßörltellungsacf genommen babia, tar^uthnvi 
gefugt. 21ud? bergt, matt grtfi 1 « Elogidi Galileo 
.Galilei e di Bonaventura Cavaleri. Milano. 1778; 

4. jOlt Arithmetica infinitorum tton SEBaftid (Jo- 
annis "Wallisii Opera math., tribus volumin. com», 
prehensa. Oxonü. T. I. 1665.) enrijälf bfe erflert 
©puren ber 5lnwerii>ung bes algebtaifdjen Catcut* auf bie 
üuabratuc ber SXäwme. (Sc ftet)t bie Sfäctjen atif auet %U 
xiitti beffefjcnb an, bie nad) einem -beflimmfm ©efelje. 
ju = ober abnehmen , unb finbet ben Stuesbrucf fiSr benote 
Ijalf ber $ücf>ett feurtt) ©ummirung ber Dtcifjen ber Stnien; 
ctue» benen fte jufammengefeijt ftnb. ©eine' aBetfyobe i|t 
eine (Erweiterung ber £a»alerffd)en Sßtttfyobz beß Unrfjeit* 
baten. SSltht über biefes in bec ©efclsicbfeber SHätljemtM 
(if widrige SEBerf f. m. im 21«. üuabratur (5.) 
. :-. 5. 5Iuet) SonteneUe t)at Ele'mens de la Ge'ome- 
■ trie de l'infini. Paris. 1727. gefdjrieben. (Erlaubt, 
tag bfe ©ifferentialrecbnung nodjiuenbtg unenblid? große ■ 
unb .unenblid) f leine ©rögen worausfefje , unb (teilt batjer 
gleid) ju anfange be« ©a§ auf, bajj man eine jebe <3r6|« 
wir Mief? bis in'8 Unenblidje uermchrt ober »ecmin&ertan= 
nehmen fetme, unb auf biefem ©aije "beruhet bas ganje 
äBerf. $)'2I(embert erfWrtfi^jinüiemlid) (?arfen3lu8 S 
briScfen gegen biefes ^rineip in ber Encyclbpe'die me'- 
thodique. Art. Iniini., fo wie aueb SNacfaurin tm 
jroeiten ?r)eite be« Treatise of Fluxions, unb.Suffon 
1n ber SSorrebe ju ber fronjo|tfdjen Ueberfe^ung »ort 
9tewfont! Methödus fluxionum. .■'_,-- 

6. 3We wid;tigfte<Er|inbHng, gu we(ct)erbte;3beebe$Un» 
«itbtidjen. geleitet t>ar, i(l bie SDtfferentiatredmung, wor= 
aber id? mtd! aber (>ier um fo ti)tt weiterer 2Iut!eimtnberfef;un* 
gen, wegen S5efct)rdnfrt)eit bes Staunte*, enthalten fann, 
ba biefec ©egenffanb fd)bn in ben 9lrtf. ^Differentiale unb 
Differentialrechnung außfilklirb beijanfcett werben ij?, auf 
welche lct)ba^er, fo wie auf beit Slrtt. ©eräljrenbe 2int>, 
Ijier »erweife. SBtr wollen vielmehr nun, nad) biefen l>t= 
flbtiftfjw ©etrtetfungen, bie roidjtigpen gällt, wofcaßUn* 



512 ' UttCflMfg» 

*nbö<&* Iti ber SBlatljemari? »orfemmt, btn%e^n, tmb 
30e6 anfmSgtid>|HeuCHcbe Segriffe junlcrjufuijwn fud&en, 
inbem wie bei btn allgemeinen SSegriffen unb @&jen »on 
ben unenbltc&en ©rögen öeciügt(ä) brei widrige 2lbljant>= 
Itingen.tton SaUC&iJt Cours d' Analyse de l'ecolero- 
yale polytechiiique. t, Partie. Analyse algebrique, 
Paris. 1821. p. 26, sqq. Re'sume* des leijons don- 
ne'es ä l'e'cole polytechiiique sur le calcul infinite- 
simal, Paris. 1823. p. 161. Addition., unb ben 
2uffa^ sur les divers ordres de quantite's infiniment 
petites In ben Exercices de Mathe'matiquea par Cau- 
chy. 6 m « Livraison. Paris. 1826. p. 146. bmutjtn, 
weil un< Eautfcij'e: ©arfre0ungbermar$ematifd)en©f«ii* 
ge unb Sbibenj am meiflen ju genügen febeint. 

7. SRan fagf, bajj (ine beranbttUcbe ©rofre.unenb* 
Iid> Kein werbe/ wenn ftjt numen'fcber SSJerrt* unbe= 
grünjc abnimmt/ fb baß er Heiner werben fann als jebe 
gegebene noä) fo flehte @ro|je, unb folglich ber SJlufl fkb; 
immer mefjr unb me£>t nähert, ber 2ibna§me feine anbete 
©ränje, als SdiiH fefbjt, gefefct werben fann. 

Sautbt) benterft ganj richtig/ t>a$ eine unbegrinife 
■Sl&natjme worjl »on einer fortwa^renben Slbnatjme ju un* 
(ecfdj.eiben fei;, ©iegldebe eine« regulären SBieietfs nimmt, 
wenn bie ©eitenjatjl roäcbft, fortwaljrenb ab, aber nidjf 
«nbegränji , ba ber Stetes bie ©ränje ift, über weldje §üt< 
au« bie genannte ber<tobetlia>e ©rege nkjif abnehmen fann. 
3>ieS3rucbe 

t>t.M»t> — 

nehmen forrwab>enb ab, aber niebt un&egranjt, ba bie 
<£uu)eic bie ©ränje i|!. dagegen nehmen bie SJtüc&e 

*»*.*»*»*»+. *>*•• ■■ 
nid}f forfwaijrenb ab , mü btr Untcrf^ieb jwif^en jejttef 
auf einanber folgenben abwedbfefob pofitto unb negativ ift, bie 
2Ibnaf)me ift aber beffenungeatfctet unbegranjt, bajene33riitfw 
ofenbar willfu£)rlie& f lein werben formen, unb ber £ft»H fieb 
immer meljr unb meb> nähern, S>ie ©ranje einer unbegranj= 
Jen Mbnaljme ifl aSerbing« bie 9)u(l fetbft, unb e« febeinf uns 
hierin {ein SBiberfprwfc ju liegen. SBas twb'egrajtit ab* 



UMttttty. 513 

nimmt/ näfjerf fiel? Immer meb* unb mefi> bem Suftanbe 
be? iwirfltcben 2ßerfcbt»i«benc, b. Ij. ber OhtS, unb Wefe 
Ifl fein« ®r4nje. 

8* Wim fagt, fcaß «Ine »etonberlfcbe ®r$ße unenb» 
lic£ geog werbt/ wenn ü)r numerifefcer SSJertlj) unb^ 
gränje wdcbft, unb fofgttcfc größer »erben fann afe jebe 
gegebene noa> fo große ©röße, wobei »ieber ein unbegrän j* 
tee ; SEBacbfen von einem fortwaljrenben SEBacbfen wotjl j« 
tinterf4>eiben ift. SMegWc&e eine« in benßreis betriebenen 
regulären Sßielecf* wa^bftfortwäljrenb, wenn bie ©eifern 
$at)( junimmt, aber nitbt unbegtänjt, ba ber .fireis bie 
©ränje ift. 2>ie natürfobe 3ab>nreu> 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, .... > ; 

ttadjß forfwÄ&renb unb unbegränjt. 

$>ie @rinje einer un&egränjten Sfbna^me nannten wir 
»ortter Otutt , unb bas ©ijmbel biefer ©ränje jft o ; baö 
©ijmbol ber ©tön je einer unbegrdnjten ^unaijme iff «, 
welches fo wenig, wie jene«, etwa« Dveelles bejeiebnef. 
SDie Seiten o unb <» föeintn unssBÖtg in eine Kategorie 
ju geboren j fo wenig jeneö ©cbwierigf tit nwä)t, eben fo 
wenig wirb biefes #inberniffe in ben 3öeg legen, o ift 
bie ©rtin je be« Slbnebmens , ~ bie ©rän je bee aßaebfens. 
9. !Die alten S&etaj^oßferunterfcbtebenbas actuale 
ober fategorematifc&e Unenblitfce (Infinitum actu) 
»on bem potentiaten ober ftjnfategorematifeb/en 
Unenblidben (Infinitum potentia), unb verflanben unter 
bem erffern-bcis, was wirfli^) Unenblubfeit in fieb faf, 
unter bem lefjtern ba«, was jwar niebt tmrflicb tmenMicb, 
aber bodb eines ins UnenbEicbe, b. !j. ofjne £nbe fortgeben 
ben Sffiacbstljum« f#)ig ift ($ a u ff a. a. £>. 6. 1 05. C b a u- 
vini Lexicon philosoph. Leoyard. 1713. Art. Inii- 
nitum). S)en©räßen fann Ijtcrnad? nur pofentialeUnemV 
Hä)f eit juf ommen, benn wer wiü bem 3Baä)fen einer © r6ße, 
wenn )ie niebf öieueicbf befonbern ©ebingungen ünterwor« 
fen ift, wie j. 33. bie $Iäcbe tim6 , n ten Äreis be*- 
fäjriebenen regulären ^olngons, fonbern eines umV> 
graniten SEBacbstbums fähig ift, im ' eigentlichen ©inne 
V. , Äf 



' 514 Utwtfbßg. 

eint ©ranje fegen. <£fafr folebe ©rättse Tagt fid) gewif; 
fennaßen nur ßngi«n, wenn tä) fo fageft.barf, .wetebe* 
aber mit ber Ohttt gans eben fo, ber gaff ift 2Bir tjaben 
jene ©ränjc burdj •*> bejeiebnet, unb <» bebeutet alfo ba* 
fletuate ober f'ategorematifdje Urienblicbe ber SQfrtapfjtjfifcr. 
(Eine ©r&fje, bie einer unbegtanjten 51bnttt)me faf)ig iß, 
$abcn wir unenbltd? f leio, il>rc ©rä rt^e 9M genannt; gewiß 
wäre etl ein 30octt)cit, aud? inSejug auf baß Unenblidjgreße 
hierin einen Unterfdjteb JU machen, unb bae Rieben °° » b ' £ 
©ränje, welcber |jd) eine unbegranjt »aebfenbe ©rfcße, Bit 
oben unenöttcb groß genannt worben i|t, fcrtwäljrenb «fc 
h,ert , nic&t fifctecbjljin unenblicb groß- ju nennen/ fonbern 
aueb tm Stoabnicf »on ben unenblidj großen ©rößen jti 
unterfdjetben, wie eä bie altert SttetapfynßkrWrflicb tlj(fc 
, ten, unb aueb in berSttatijematif bei bem Unenbtfcbf tetnen 
febon wirflieb gef<bie!jt. L'Huilier (Exposition elemen- 
taire des JPrincipes des calculs superieurs. Berlin. 
1786. §. LXVI. SchoJie 20 Ijaf ju biefent 3»ecf febetr 
bif Slußbrürfe infini für büö actitole, infinible für bat 
Potentiale Unenblit&e »orgeftbtagen, ein ©pratbgebraucfj, 
• ber aber, fo »t'el icb weiß, bei franj6ftfd>en ©ebttffe 
fteHem / mit Unrecbt , feinen (Eingang gefunben Ijat. 

V. Suffe (Bündige und reine Darstellung des wahr- 
haften InJinitcsnnaU Calculs. Thl.I. Dresden. 1825.) 

_ bebten t (t(b für bau 3«c&en od ber Benennung noUgtoß. 
-3n biefem 2lrtifet wirb bas bloße %ti$tn b^neeidjen. 

10. Negative ©r&ßen, beren dbföfute SBertb> tau 
weber. immer fleiner ober immer großer werben, näljent 
ßd; immer mefjr unb meljr ben ©ranjen — o nnb — ». 

11. (Ein Srucb, beffen gjä^fer ungeanbert Bleibt/ 
beffen Dtenner aber fortwa&wnb abnimmt, b. Jj.ftebfm: 
mer meljr unb mefjr ber ©ranje o nafiett, wirb immer 

. größer, unb naljert ßdj immer meljr nnb.meljr ber ©ranje 
oo . Gben fo wirb ein 93rud? , beffen »jaftlet ungeanbert 
bleibt, beffen Olennec aber forfwäljrenb innimmt nnb )t$ 
ber ©ranje «> nätjert, immer fleiner, nnb nat)etf fid; ber 
©ranje o. ©teilt man-fieb nun »tfr, baß ber ölrnner bie 
©ranjen o tutb » wirf fid? ewiebt tjäbe, fo wirb ber 25eu4> 



.-. • ■;. . UtwiMicf» 515 

fetSft naförfid) bfe.ffirinjcn «=ober o erretc&t'fia&en. ©tt* 
ift ber ©ton ber fymbolifcben Slußbrücfe 



12. ©o lange man $<fy eine ©rSfje at« eine ^afcl bar* 

' gefMtbenft, ift es, wie es föeint, feinem ^weifet untere 
worfen, bafj tiefe ©r6|jeweber beim Slbnefjmen o, nc# 
beim <3uncljmen oo wirf liefe erreichen , fonbecn tiefen bei* 
ben ©rdnjen ft# nur immer meßt nähern fann. Sei jleti* 
gen ©röfjen aber i|t bieS anbers, tteftfce« »tr,burc& einige 
SBeifpieie, bie t){er mefcr, at* allgemeine SJetracfetungen, ju 
nüijen feinen, erläutern wollen, 

13. Seßannriict» ifl tang <p =-~^ eine gotmel, beren 
Seroeis , fft-eng genommen nur für ben §a(I gHt, wo bie 
Sinien , bura> weit&e bie Tangente «nb ©ccante bes SBin* 
feie tp geometrifd? barge|Ieflf werben, ftdb wirf(ub) fdmeiben. 
2)enf( man fiefr bie Sangente »on 90° burefr eine Sinit geo= 
metrifc&'bargcßeßf, fo fann man fie |idj ntdjf anberes, alt . 
nnbegranjt, oljne (Enbe, worfMeti, baffe »on ber©e* 
tan« nid?t meb> gefefcnitten wirb. SBenbef man nun 
obige formet autr) auf biefen Sali an, unb läßt iwrj? y 

' »on o an immer me^r unb mefjr juneljmen , fo wirb sin <p 
immer grijfer, cos y immer Heiner, ber t)bigr S3ruc&, 
t>. I. tongy, aifb immer gröper, ganj ber Statur ber 
©a<fce gemäfj. SDenff man fieb; jefjf aber, bafj y wfef(iä) 
= 90° geworben iff; fo gift, ffreng -genommen, bie 
obige formet nidjtmefc, (fegest aber, ba fiir biefen gaff 
siny==l, cosy:=oi|}, in baß ©nmbol ^ = *o 
über, woburci? nun eben angebeutet wirb, bafjin tiefem 
§aflbie Tangente, als ftefige ©r4(je, unbegränjt, otme 
(Enbe , im eigentlichen ©inne unenbliä) , »offgröfj naeb; 
Suffe, gebaebt werben mufj, 

Sle^nttc&e Sefra<fctungen laffen fi<& übet bie gormei 

^^ TTI 1 — ting/tangv; 

für ben gaff, wo ^==90° — <p, alfo 

- . tangip Ungi/i sr tätige coly ml' 

ift, anffeffen. 



516 UttenWwfc. 

- 14. S&ie ©(eia>ung ber geraten Sinie i)I befanntfid) 

. »0/ recbfwmffige Coorbmaten »orauegefeßf , A bie fri()ö= 
nometrifd>e Tangente be« SEBinfeffj, unter weitem bie ge* 
gebene Sinfe bie 5Ibfriffenare fdjneibet, B bie (Entfernung 
ifjres £>urct#n" , tepimr'feö mit ber Orbinafenare'»om2uu 
fangspunfte ber £oorblnaren i(I. ©efjf man auf ben Sße= 
weis biefer ©leidjiing, wcldjer bodj, rote bie Statur ber 
<&a$e es forbert, nur aurf'einer geötnefrifc&en 33ctrad)tung 
abgeleitet »erben fann , jurücf; fo ecfjetlef , bäjj er, (Ireng 
genommen, nur für ben gafl gilt, wenn beibe Ulren 
von ber gegebenen 2ime gefdjnitren werben. T)k 2IKge= 

' nmnfceit ber anatntifcben Dtedjnung forbert aber, unter 
obiger ©lekfcung and) bie gäHe, wo bie gegebene Sinfe 
enfweber ber ^bfciffen = , ober ber Orbinatenare parallel i|? r 
ju fubfimtfren. 3ht erjten gafle ffl, ben geometrififcen 
©efldwpunft feflge&alten, für alle SHbfciffen y = B. 
©afjer muß,' foH biefer gafl aud? burä> obige ©teic&ung 

. bargefleßt werben, fcas erffe ©lieb Ax für ade x Derfä)win* 
ben. SWan fleflf fid? baljer vor, bafj ber t>on ber gege* 
benen geraben Sinie mit ber Slbfciffenare eingefd?loffene 
SBinfcl, ofcgteid) es in ber Zt>at cigentlid? gar feinen fo(= 
eben SSJinf et giebt , =o ober 180°, feine trfgonometrfc= 

■ fdj« Tangente alfo, b. j. A, = o werbe, wuburd? fiä> 
bie allgemeine ©letc&nng auf y = B rebucirt, wie es feon 
mǤ- Sit" bie gegebene gerabe Sinie .ber Orbinatenare pa? 
roHel/ fo wirb lefctere nicfct me^r »on erfierer gekniffen, 
unb man mup fid; alfo bie Sinie , burd; welche B bargeffcllc 
Wirb, in ber Xfyat ais unbegränjt, otjne Silbe benfett, 
unb baljer nadj bem Obigen burd? ba& ©nmbol + -*- bei 
ber aritljmetifc&en ©arffeflitng, ba bie genannte Sinie über 
unb unter ber Slbfeiffenare liegen fann, bejeid?nen. güfjrf 
man nun bie« in bie allgemeine ©kicbung ein; fo wirb 
fciefet&e 

SBenbef man hierauf bie gewöhnliche S3rudpred;nung a»; 
fo erhält man 



tae ©nm&ol bes UnBefHmmfen (f. Function 50.), ftek 
c&es ganj ber Dlafiir ber @a<&e gemäß fft, bd jn ber 
*J^a( im wrltegenben %aü bie Coorbinate feinen (geoine» 
trifib.) beffimmfen 2Bert& Ijat, »e|l es feinen aburcfc* 
fcfcnittgpunft fcfr goorbinate mit ber gegebenen £inie meb> 
giefct. 

15. ©tnb bie ©leicfjungen zweier geraben Linien 

y ~ A*.+ B, y =5 A'x + B' , 

unbbiefe Jeibe jinien flfcneiben einanber; fo erljälf matt 
leicbt bic Soorbinafen fces ©urc&fcfcmttepunf tes 



©tnb bie beiben hinten einanber parallel; fo i(f A = A', 
unb man erfjdtc 



b. fj. 6ctfce (Toorbtnaten =r » , fo baß alfo auefj $er s biefes 
©pmbol reieber bem «paraßdismus ber beiben Linien ent* 
fpcK&t. gallen beibe Linien jufammen; foijtA=^A', 
B = B'/ unb man erfjatt x = y ■= -^ , baß ©ninbot 
bes Unbeflimmten, wie es erfbrberfitb. iff. 

16. 3>ie ©leitbungberJgjijperbet jttriföett Iljrett 9Ifnmp s 
toten iß xy=^a a , y = s- 8** x = ° »«*" 
y = £, unb man muß ßc& itrber $Ijaf oueb bie burtfc im 
SOtitfcIpunft getjenbe örbinate, bie nottjttenbig mit in 
bas ganje ©»(lern bec Soorbinaten gehört, ein ©Heb 
beffelben iß, als unbegnSnjt ober unenbtieb »orßeHen. @r> 
fommen auc& an vielen anbern frummen Linien umnb(ia> 
große Soorbinaten jwife&en enblic&en wr. - ' 

17. Sie ©leiebung ber Oipfe aus ben ©Reitet iß 

3« großer a wirb, befio raeb> nimmt bas ©Heb ^ a5, ie« 
fonberö in ber Sttfje bes ©Reitet«, fdr Keine x, befio 



518 , - llnehMh^. 

mfy nähert fidb'atfo au* bie ©(elcfcungbtr (EUtpfe ber. 
©lelcbung y* = px, wtfytt bie ©teicbung ber pävabti ' 
ift ©eJjsf^n für a batf ©nrnböt -£■ / W*" totnUt bie 
Diegeln ber gemeinen ©tu<brecbnung an; fo wirb bie 
©tei^ung bec SCipfe 

. . . * VW. 3 pr 1 . O PK* • O 

y» sr'j» - E_ = px - i^- = px j— , 

b. t. y» = px, fo baß alfo, wenn man fitf tenff / bafj a 
bleScÄnje i »irflftb erwitbf fi&fe, bie <£flipfe in bet 
$l)af unb »Sflig in bie ^arabel übergegangen wäre, ©e* 
wSbnlia) fagf.maft, bie g)arabet fen eine (Elßpfe, beten 
.Jpaupfare unenbttcb i(I. ®er wab>* ©um tiefes 3Iu& 
brncfö i(i aus fcem Obigen f(ar. 

18. Sflan IjaU jwei au« einerlei 2Kitteu>ttnfr befcbrie* 
6ene Söipfen, beten Jpauptarcn jufammenfaUen unb beten 
©fcicbungeij 

S + S-.fl.+ ft-«- . 

finb. 25efHmmt man Ijierauei bie Soorbinaren bet ©ura> 
fdjnittepimfte Riefet beiben tSütpfm; fo fl^att man au? 
.tiefen ©tei$ungen? 

. , V .b* — V 1 ,,, V »'* — ** 

©tob nun bie beiben G-ßipfen einanbet Äbnlia;" fo bafj 
a:b==a':b', a'b = ab'ifl; fo erb^äU man x = -i, 
- y =£, unb biefe 3fu»frrä(fe beuten ^fer offenbar an, 
baß bie beiben Sttipfeti in biefem gaBe ehtanber nicbt fc&neU 
ben ESnnen , fonbern, einanber parallel (inb. 

19. SEBet (üb nur ein Ußmmtte ©tue! .einer 9>atabel, 
einer Jpypcrbcl ober einer Äege((Wdbe»otßeßt, |at noeb. feinen 

- »oßlranbigen SJegriff babon. Um (icb biefelbe, icbmütbte 
fagen, in i^ret'@an^eit »orjujietteii,, muff man |te ftcb in 
ibrer unenblicben 2lusbe$nung, immer nacb einem unb 
bemfetben ©efelje gefr'ümmt unb gebiibet benfen. T>it$ 
(inb anbete SSeifptefe, »o pwige ©tofen »irflidbaEa un* 



' ■. ttnetfoft$.\ 519 

cnMIft geiaht werben muffen. (Etwa« Sfefjntöfce« ffnbet 
ffatt, wenn man beim.Äreife bie i^n befcbreibeube gerat« 
Xt'nfe, naebbemfie einen Umlauf »ollenbet, nic&t flifle fielen, 
, füttöern tfjrc Umtaufe iHfffüijrlicf; oft focffcljen »nb wieber* 
ijolen töfjfc 3n ber analntififcen $r igonometrie gebraust 
man in ber V)at Hefe SÖorfteÜung burdjgärigig. 9löf ä$n=. 
licfce 2irf fann man ficb auc& bie Sßtpfe und /cbe anbete" ge= 
fcfcloffene <£ur»e atet unenblidb benfen. 

20. ©ie (£ijcloibe unb (Epfcoctoibe, wetc&e buetfj Um* 
wdfjtmg eines Greifes entfielen, finb ebenfalls unenbftcbe 
©rfifjen. SBenn bec ^reits feine UmmtKjung einmal ttpfl; 
enbctljaf, nuijjjman ifjn ntc^t ftffle |hfcenlaffen; man fann 
bie Umwäljung reinfüt}rlt(& oft wieberljoten. 

21. (Eine Dveitie, beren ©lieber , na<& einem BcfÜmtn* 
. fen allgemeinen ©efeije gebilbef, nie abbreeben, mujj man 

fiel» ebenfalls*, wenn manjie'p^ innerer ©anjljeif, umfÖ 
ju fagen, Borße&cit wifl, in bet t^ot als unenb(i# benfen, 
tinb nennt fte fcaf)er and) eine uttenfclicbe Steilje r " we'fcbeet 
ftc& aber ^iet 6(ojj tfjeife auf ba« niemalige tiüfovtäftn-fyvpc 
©lieber, tljeits auf bau fiberall in iljr obwaltenbe ©efelj ber 
©lieber bejiefjt, beffen attgemeirten analtjtifcben Stusbrmf 
man befanntfief? ba8 Allgemeine ©fieb (terminus gene- , 
raus) ber £Keif)e nennt. (Etwas 3M>nlidb«s ftnbef bei ben- 
£ettenbrüd)en unb bei ^robueten mit -nnenbliefc Helen 
■ §actovtn ftatt , beren ©lieber, oljne jemals abjubreetjen, 
fjnem befKmmten allgemeinen ©efelje unterworfen finb. 

22. 3Bir getjen nun ju ber (Erf Wrung ber »erfc&iebenen 
Dtbnungen bes Unenblitfcen, ttorjfigti4» be« unenblitb Älei» 
nen, über, reelles von ganj befonbeter SÖicbtigfeit if|. 
3(i nämlich i eine unenbUtfe fteinc ober uncnMub gro|ie 
©röfje* b. , (j. eine »erönbetH^e ©r&fje, w'elc&e entweber 
wnbegrtSnjtabsObersftmmmt (7. Ö.)i fo nennt man bfc. 
^otenjen 

im tefren Sode unehbli$ Heine , im jweiten uhenbficb 
gro|?e ©rÖßen ber erfien, jweiten, griffen, Herten, ffinf= 
tenOcbnung, n. f. U »elc&es auf ber '©orjleDung beruht, 
baß i z gewiffermaflen unenblicfjmat ((einer ober größer 
als i , . i 3 unenblicfjmal Hein« obv gcbfjiv als i* ift, u. f. f., 

' ■■ . ' '■ ■■■ r •'. . „«„Qooglc ' 



520 ttiimNidj. 

Immer gltlcbe Hmbe ber äbp «tut gana&me wn 1 wt= 
auggefegf. 

£a tiefen l)atitt ben Ejcercices de Mathemaüques. 
lävraison 6. p. 146. folgenbe allgemeine Sefinition un= 
cnt?(ic& Heiner @r6ßen üerfckiebenee Orbmingen, roeldje 
aueb ben S«U begreift, wo Die OtbnungSjaBl feine gante 
3a^t i(l, gegeben. , . 

2Benn a eine conftante, rationale ober irrationale, nur 
pefteiw^abl, i eine unenblicb fieine ©rfifje, r eine »er« 
ÄniDcrltcbe $aty bejeidjnef ; fo ifi in bem ©ijffem unenblicb 
Keiner ©rofjen," beffen Sa(ie i ifi, irgenb eine Function 
f (i> Wo i eine unenblicb fieine ©rife ber aten Orbnung, 
nenn Sie Srünae bis SSrncfes 
t(i) 

für Jebea r, welcbe« <'», 9M, führ jebes r bagegen, 
" weites >a, ~ i|{. 

Um ben ©Inn tiefer ^Definition beutlic&er s« macben, 
»ollen wir jeigen, baß ber obige eingefebränftere altere 
Segriff unenblicb f leiner ©rößen »erfebiebener Oebnungen 
unter berfelben entBalten ift. ©eo natnlicb i eine unen&= 
lieb (leine ©rifje; fo beißt, wenn n eine ganje poffrhie 
gabt ift, i" eine unenblicb fieine ©röfje berufen Orbnung, 
nnb a i(i atfo futbiefen gaB f (i) = i", o = n. . tje» 
mui)uer|lr< n; (oi(J 

im ,_ £ _, j«— 

wo n — r pofifw ifi, fo bafi ßcb alfo offenbar, nenn i 
fleb' ber ©ranje-o nS&ert , «i|tb J^ biefer 6r4n|e nätjert. 
3ft «6er r > n, fo ifi 

wo r — n nofiti» ifi, srMberf fitb nun i ber Sränje o, f» 
nabertfieb i,. alfo an* (t)" - "; b.i. '■$, .ber ©tfnte 
« , wie e« fenn foD. 

giit • •= n wirb 

DglrecGOOglC 



UnenWicJ. , ' ■ ■■ 521 

T^ = £-'■ , , ' ■ ' •■ 

unb erhält olfo einen enblieben 6e(Hmmrtn SBSecrtj. Uetet. 
tjaupt fann flit r = a bec SStua) 
• : " . «(') 

(M> febec beliebigen Srfnse, we(ä>e enbtid), o obet » 
fenn fonn, nähern. 

Dbige atigemeine SJefinltion (um Scunbe gelegt, fonn 
man met)cece elegante tfieoteme übet bie nnenblieb ((einen 
©tifien beioeifen, t>on benen wit folgenbe ausgeben. 

23. SRan fjabe in einem beliebigen ©nfteme jreei un= 
enblicb Keine @rtfien «eefebiebenee Otbnungen, fo wirb, 
roäljtenb p« biefe beiben@t6Jen beto no^etn, bfejenige, 
beten Otbnung8,al>(amgto|Steit'i|t, Immet enbllcb elnmol 
bejtänbig ben f (ein(Jtn numetifeben SBett& $aien. 

Sie Safi« be« ©»(lemsfeni, tfnb I=f(i), I'==F(i) 
jwei nnenblieb (leine Sräfen , bie erjte bon bec Dtbnung a, 
bie (weite »on bet Dtbnung b, fo baf n < b. 2egf man 
bec »ecänbetlicken 3al)t r einen .SffiettJ bei, bet (»ifcfcen a 
nnb b liege, b. $. > a unb'< b i(l; fo |tnb bie ©rfnjen- 
bet SStäebe i unb pnod) oblget3>e(lnieion (22.)tefperti> 
»e~unbo. golglicb tf> bleStänje be« Quotienten 
r 1 r 

!?'>■* T" . 

wie lelcit etr/Uet, Stuf. SStfo tmtf bet numerifc&e SBetet) 
be« 3ät>Ier« biefe« SSracb« weit fcbneUet abnehmen, als 
bet numeeifcSe fSertc) be« Siennet«, nnb leistetet witb 
olfo enbliä) einmal etfletn beßanblg übertreffen. 

-24, SJejelcbnen a, b, c, .... In itgenb einem ©»|}eme 
bie Dtbnungsja&len bet unenMicb fleinen @t6|jen I, 1', 

1", , fo bajj.a bie f(eln(ie Dtbming,Sj\U)l l|i; fo Ijj 

bie ©rnnme 

i + i' + i" + ..... 
eine unenbliä) Heine @c6fje bet aten Dtbnung. " 

©ei) Immet i bie S5a|t« be« angenommenen ©nftem«. ■ 
Sa bie (Stange eine« jeben bet Srutbe 



.'522 ItoenWicfc. 

r r r" 

t • t • r ■ • • • ■ 

na<t> (23.) Stull l|l; fo i|i Sie Scänje b«8 »tu*» . 

I + r +;- + v- = ;+j: + £+ .... 

wit fti*t tcf)e!I<f , Mt ginfjtit- 31(fo S)at tai (probuct 
j I + | + £ + ...|i 7= Jil±Jl±^, 

mit ~ etHfclci ©ranje. £><) tiutt tuwft t> ec Sßorautsfeljiinj, 
weit I (ine unetifclitb f (eine ©röge Jbec afen Orbnirtig fc^n 
foß, biefec S3ru<(j für r < a ftdj» bec ©ränje o , für r > a 
abeu ßa; bei; ©rdnje a° nifjerr, fo tigert fid; autb; 
i + i' + r + •-■•'- 

für r < a ter ®ränje o, für r > a bec ©ränje «>, 

unb bfe ©umme 

i + r + r + 

iff alfo eine »menblieb Heine @riße bec aten Öcbnung (22.). 
25. 3n icgenb einem ©nfleme fenen wieber I unbl' 
unenbticb f (eine ©tößett von ber Orbnung a unb b; fo c|Z 
ba* pcobucf u' eine unenBlitfr Keine ©c&ße tton bec Ort- 
tmng a + b. 

©teSrii^t 

i £ 

IT ' j» 

noljemficbfilr r<a, s < b bcc@canjeo, fflcr>a, 
s > b bagegen bec ©cättje ~ . SHfo najject ficb ojfen&w 

aucb baß <ürobucf 

r r ir 

it * j" i't* 

füc r < a, s < b bec ©cänje o, für t >,a , V> b 
bec@r4nje «. ©e^cmon nun überhaupt r + s = e; 
foißflar, bag, fürp<a + b, p immer in jwel^etft 
r -|- s jectegt »ecben tonn , fobaßr<a, s < b, usö 
ebenfo, baß, für $ > a + b, # immer in jwd t$*Ä< 
r + s jMegt werten fann, fo baß r > a, s > b i|i. 
#ieraue?er$e(Ief alfo, baß 



:;,C.("JO^[C 



UlKtlWi<$, 523 

für <>< a + b ficb ier'Stanje o, fütp > a.+ b fia) 
ber ©ranje » näljcrf , unb fotgli<i> H' eine unenblicb Heine 
@r6ße »Ort bet Orbnung a + b iff. . 

26. 2>utcb mehrmalige Slnreenbu'ng tiefe« ©ntjees jeigt . 
man leicbf / baß, wenn in irgenb einem ©nfterae I, .1', 
I", I"', . , . . uncnoticb fteine tBröjjcn ber aten, bten, 
crett, dten, . 1,. Orbnung ftnb, bae ^cobucf II'i"l"'.... 
immer eine wnenblicb fteine Sr&ße »on - ber Ocbnung 
a+b + c + d + ...l|J. 

SBore ein ftacrot eine enblicbe (Stöße; fo wäre offen- 
bar beren Orbnungojabi = o $u feßen. 

27. ©inb brei untnbtid) fleine (Stoßen fo befebaffen, 
baß, für bie erffe a(« 93aßs, bie jweife »on ber Orbnung 
a, für bie jroeife als Safis, bie briete »on ber Orbnung b 
iff; fo iff, für bie erffe af« Saft«, bie britte »on ber Dtb. 
nung ab. . ■ • 

5Dic brei unenblicb ((einen Stoßen fenen i, 1, 1'/ fo 
baß a(fo bie ä}rii<6e . 

' i . r 

i' ' 1' . ' 

fürr<a, »< bficbberSränfeo, furr>o, s > b 
bagegen (leb ber Sränje ~ nabern (22.); fo wirb offenbar 
aneb bao «Brobuct 

furr<a, s<bficbber ©ranjeo, fürr>a, »>b 
bagegen fld> ber ©ranje w nähern, ©est man nun 
rs==o, foififlat, baß, jeuaebbemp <obee > ab iff, 
p immer in jwei gactoren r, s jerieat »erben fann, fo 
baß im erffen gaffe r <■«,. s < b, im anbern r >a, 
» > b iff, woran« alfo mitcelff bt« Obigen folgt, baß 



für o < ah ficb ber Sranje. o, für i>> ab bagegen ß<6 
berBrünje =• naberf, unb folglia) eine unenblicb Heine 
©rSße ber Orbnnng ab iff (22.). 

28. gär bie Soff» i fenen bie Orbm«tä«jat)[eit ber 
unenblicb flehen Stoßen r, 1' in blefem ©nfteme a, o', 
für eine anbei« SSaßs i' bagegen «, d, unb b. feg Otts 



524 ttaenWtcfr. 

nuttg«jä6J »Ott T in 95ejug auf Die Saps Ij fo M na* 
(27.) a' == ab, a' = ab. fclfo 



fo t>a@ otfo.fco« Sßer^attnijj ber Orbnuttgö.;aI)len unenbty 
Heiner ©rifjen für jebe Sooft« ungeänbert bleibt , ober «it 
flant ifi. 3fia = ai,, fo ifi au$ a' = a'A, unbMt 
Ort nungft jaulen ttnetibuty Keiner ©rifjen in SÖejiia, auf 
eine befimtmfe Safts, werten a(fo, tvenn bic Safts gr 
önbect wirb, ade in einem befKmmfe» S0er$a(tmffe |» 
ober abnehmen. 

29. ©eftt man in (27.) I'ssi) fo t(l natürli* 
ab==l, b=-i-. 3fia('fo I »on ber Orbnung a fit 
bfe Safts i; fo i(U »on ber Orbnung — für bie Sofie L 
SEBennbaljerl, als Function wn i, eine unenbüdj tltint 
©riße ber erften Orbnung i(l; foiflaudbi, als Suncfiw 
von I, eine unenbttob Heine ®r6|je ber erfWOrbnurnj. 

30. @e»en I, I' jwei unenMieb ((eine ©röfjen m 
fotebtr 25ef 4>affen^ct t , t>afj, wenn man bie eine als Saft» 
nimmt, bie anbere von ber erjien Orbnung ifi (29,); f»i 
wirb bie OrbnungSja^l irgenb einer ©rijje in beti btibti ' 
©»(lernen, welche eine ber beiben obigen unenblicb f [einen i 
©r&fjen jur Safts Ijaben , biefelbe bleiben, ©en tiamlitfr 
I" t>on ber Orbnung a In Sejug auf I, von ber Orbsunj 
a', in Sejug auf l' als Saftsj fo iff, ba l' in Sejug auf I 
con ber erflen Orbnung ift, nacb (27.). a = a' . 1 -- a', 

31. %ut ben bisherigen ©aßen (äffen fic& meiert 
wichtige &&%! twn ^olnnomien ableiten, unter benen reit 
folgenbe ausleben. - t ' 

Sias ^olnnnoinium 

■*- 4. bi.' + «*■" + di - "* + 

wo bie t£rponen(en eine (ttigenbe {Heilte bilben, witi,. 

wenn i ftcb ber ©ränje o nähert, erblich einmal mit f«=! 

nem erffen ©liebe ai" gletcbeS £eicfatn behalten. 

SDenn 

.." bi»' + «rf? + di«'r + 

,' n:_ . .Google 



UrwnWtdj. 5?5 

t eine unenblMb Heine ©riße ber u'ten Drbnung (24.), 
itfy wkb ba^er f »eil n' > n , immer einmal f ortwäljrenb 
nett f (einem numerifdjen SBertlj Ijaben, als bie rnmiblid? 
[eine @rojje ai" ber nten Orbmmg (23.), »6 benn alfo 
ucb s.ae gegeben* ipolonomium mit feinem erßett ©liebe 
i" immer einerlei $ef$en §aben wirb. SDte (Srponentea , 
ernten wie Ijier immer alt) pofftiw ganje 3<il>len an, eV 
leid? ftd? tiefe ©% aueb nod? erweitern (äffen würben. 

32. 3)t in bem ^olnnpm 

dn + biB ' + cia - 4 *■-',+ 

et (Erponent n' bes {weifen ©liebes eine ungerabe Qafyl; 
6 wirb für feljr Heine i bcrSBertf» fciefes 3)elnnoms großer 
ibet Heiner als ber Söertfj feines erffen ©liebes fenn, 
enacßtjem bie »eränöerltcbe @r6ße i unb ber Coefftcient b 
jleic&e ober ungleiche ^eidjen Ijaben, - 

£>enn für ferje f leine i Ijtlngt bas $n$m b(S ^olnncm* 

bK + -d n " + di»'" + 

Don bem ©Hebe M n ' ab (31.),' unb i(J alfo + ober — ,, 
fenaebbem i unb b gleite ober ungleiche Beiden Ijabeit, 
unter welker Sebingung alfo aud? 

«K+ bK + d-" + di»" + > ai» 

fenn wirb. . 3mmer wirb angenommen, baß baS 5>of»nom 
nad? fieigenben ^otenjen von i georbnet fen, roeldjes offen= 
bar immer möglieb tft. 

33. 3(1 in bem ^ofnnom 

«i, + bi-- + ci»" + d-«" + ..'.. 
ber (Erponent ix', bttt {weiten ©liebe« eine gerabe %cfyi ; fo 
tftfür feljr Heine SSJerfbe tton i ber 23ert&.biefeS ^ofn=, 
nortiß gröger ober Heiner als ber 28ertlj feines erfien ©lie= 
bes, jennebbem ber (Soefftcient b fceß jweiten ©liebes 
pßfici» ober negativ if?. 

3)enn für febr Heine Sßert&e »on i IjÄttgt bat 3«i<bett 
»on . , 

bi»-' + ci»" + di"'" + . . . 

blog »on bi 11 ' ab (31.), unb bfefes 3eic&en i(J, weil i n ' 
wegen bes geraten "Exponenten n' immer, pojt.ffo bleib, 



526 UttenNidJ. .. 

+ ober — > fenocbbem b pofttiv ober negativ 1(1, «httrl 
welchen Sebingungen otfo a«dj - 

ai« + bi»' + ci»" + di»""+ . ■ . 5 ■■»" 
ifK ' 

34 3ft in bem ^otonom 

. + bi-' + kV + di-- + . . . - 

n' eine gerabe £a$(; fo i|t für fehr f leine SBerfbe von i, 
tiefe ©röße mag pofiti» ober negativ feon, immer 

i . a < Q + biV + ci-" + di*" + . , 

wenn b pofjftv ifi, bagegen immer 

a > • + bi-' + «»" + di?"* + , 

wenn b negativ i)t (33.). . 3ft alfo n' eine gerabe > 
fo f|f ber 'parrifußre SB«*!} abe« obigen ^olnnem« fleinet 
ober großer als ade benachbarte SEBertfje biefe» ^olijnom«, 
b. t). ein Minimum ober 3)larimum,ein flein|l(t 
ober grdßter SSJertbbeflelben, jenaebbem ber £oef|iciflii 
b beä jtvetten ©liebes pofitiv ober negativ tff, wobei not 
wobliu merfentfr, baß ber partifutäre 2Bettf> a nur ein 
SRinimum ober SWarimum in ®ejug auf bie benachbart« 
5GBerft)c bes ipolnnomB i(l f welche man erhalt, wenn bem 
i ünenblid) f leine 2Berth> beigefegt werben, b. Ij. bifft 
veränberltc&e ©r6ße in ber SRäjjfc ihrer ©tönje o bleibt 

Ueberbaupf ßnb bie obigen ©ätje bei einer ftrettgn 
©arfieHung ber Seljre von ben Sfflarimte unb SRmiiro* 
fefir wichtig, wobei wir aber frier nicjjt länger vevroeto 
börfen. 

35. $n Sejug auf bie weitere 2lu$etaanberfefjumj iw 
Seljre von ben unenbtich großen ©rößen begnügen wir un* 
jjUt, Wie auch Saucbo (Cours d'Analyse de l'e'cole 
royale polyt. p. 33.) tb/ut, bloß mit fotgenber aflgem» 
nen ©emerfung. . ©ejeicpnet nämlich f(i) eine «nenblicb 
Heine @r&ße einer beflimmten Drbnung, fo fdnn jebe w 
tnbticb große ©röße berfelben Drbnung bureb j~ borge» 
(feilt werben, unb es würben (ich, hierauf geflutt, manfa 
ben obigen analogen ©alje über bie ünenblicb großen ©c6ße» 



öitcnblit^. 527 

«ntwiAIn (äffen, au* in SBeju g aiif ^otimomien , «Kim 
fcte unwranberlitbe ffic8p c.unbegrä'njt wacfcft. 3ft j. S3. 

.'.'«■ + W-" '+ irf-* + ■ • • . 4-ta + H 

ein imq> ben faKenben $)ofcnjen Don x georbnefes ^o(n* 
-nom, »o auo> einige Soefficienfen = o fenn fonnen; fo 
rotrb_, wenn wir x imbegränsl warfen (äffen, bteftf 
5}>otnnoni enbticb einmal immer einer (ei Rieben mit feinem 
' ^Scbfien ©liebe ax" bellten. Senn man fe^e x =-fv 
wo i unDegränjt abnimmt, fo wirb obiges ^olnnom 

Sa min für fetjr Heine i ber Factor 

immer mit lern erfren ©liebe 1 einerlei Beißen htfölt (31.)/ 
b. i. pofiti» bleibt; fo wirb für fef)c Heine i, ober fcr)c 
große x, obiges ^robuet, b. i. ba« gcge&cnc ^otijnom, 
mit beut gactor£ = a (£)" = ax", ober betmerffen 
«©liebe b'ts gegebenett $>olijnonis , immer einerlei geilen 
behalten. 

©anj auf ifmltcfce Steife (offen fieb, aneb anbere ©tSfie 
von ben unenblicb großen @rö|en auf bie Seljre von ben 
' unenblicb ((einen ©rßßen aurucffütjren. 

36. SRotf» Ijaben wir ben bei benaltern 3npnlfepmas 
(fffeit/ namenflieb bei ?eibnifj, welker itjn juer|t ge= 
braucht nnb in bit Sttarljemarif eingeführt b/af, burcfrgangrg 
tfürfornmenbett ©alj, wenn icb biefe Benennung gebrauten 
barf: „bog eine unenblicb (lerne ©coße gegen eint ebb* 
, r lti$e, eine unenbiid? (leine ©roße einer tiö£)Ern Drbnung 
„gegen eine unenbHä> (leine ©teße einer niebrigern Orb* 
„nung üerfä)m(nbe" oufjwdiren unb ju erläutern,, wojit 
■ einige aus ben ©runben ber ^Differentialrechnung ^erge* 
nommene fÖeifptcle am geeigneten ju fenn feinen. 3n« 
er|t bemetfen wir über ben Segriff bes SJifferentialtiuo« 
tienten golgenbeä. 



528 UnotMtdj. 

37. SBenn bte »erinberli(&e ©tog« x einer Sunction 
y = f (x) eine beliebige IHenberung Jx erteibef , fo ge^t 
y in y'=f (x + Jx) über, unö ber Unterfdjieb y — y = 
f(*+Jx) — fCx)»irö befannrttcb, bie 2>ifferenj 
wny genannt, unb burcb, ^y bejeübuef, fo bafj alfo 

■ . - Jj = f (X + ^x) — f («>, 

unb ber SMfferenjenquotienf, ber (Exponent be$ SJerfjäÖ« 
fti)Te8^x:^y • 

ift. ©eljf man nun z/x = i, 1 b. \). Ußt man Jx fidj 
ber ©räiije o unbegrättst nähern, welä)e* offenbar immer 
m5glidbi|i; fo wirb 

ä ~ T! * 

wo.fowoljt ber Satter af<s ber SRenner biefe« 35ruefcs m 
entließ (leine ©rößen finb , b. b,. befbe ft$ ber o ttnbe* 
granjt nähern, £>e jfen ungeachtet fann aber obige« SDer< 
!)Äirnif} felbjl fidfr einer befHmmten enbiteben, von o wr= 
fcbjebenen, ©r&fe nähern, wie ftcb, burcb, SSeifpieie (tieft 
(eigen töfjr. 3fl j. *B. f (x) = x n j fo iß nao> bem bin* 
miftben Xe^rfa^e - 

f(x-t-i>-f(») _ „_» nfn-l) n-J . 

i — T i . z 

. n fn— 1) (n — 2) »-i .., . 
"*" 1.2.3 ? ' ■ 

unb baö Söer^lttnif -j£ nähert ficb. alfo in biefem Satte, 
wenn i pdp ber o nähert, ber ©ränje nx- 1 , einer bt« 
pimmten entließen, von o »erfc&Jebenen , ©r&ge. .©« 
©ränje nun, welker ficb, — j£ nähert, wenn ^/x = ifüfr 
ber o nähert, tjeijjt in ber Sunctionentljeorie bie ber» 
»irre gunetion »on.y=f(x), weil ftjre 3 öra 
offenbar von ber gotm ber Function y in jebfm befonbera 
gade abbingfg ift, unb wirb burifc f (x) bejeiebnef. 0ta$ 
ben gewib,n(io>en Begriffen ber, auf bie Sefjre »on @t<5n= 
jen gegrönbeten, *DifferentiaIrec&nung Ijeijjf bie ©rdnjf 
»on ~| ber S)ifferentia(quotient »on y, unb 



■ * ' 

UMlMig.' 629 

wirb tut* §■ bejeictinef, wetcbe* aber bjer nlrbt ab ein " 
getrenntes, fonbern nie ein einfaches Seichen ju betracbfen 
ift. E« if! aber imm« ■ ■ — 

.. '<*?--£' •... 

€eJ}t man l^=aJx, wo, intern <^x eine enbficbe be* 
(f iiittitte ©rjfje bejeiebnet , o fic& ber @r4nje o nnbejjriinjr 
<ntyat; fowltb 

" ~i attz * 

ttnb bie @ran|e, welcher be( ttftt SSruc!) |tcb n%rf, »enit 
et ficbber o unbegränjf näbert, beigf baö ©ifferential. 
von y = f Cx ) , nnb wirb burcfc 9y bejefdjner. Öelimnf 
man nun, Jx. als eine beftanbta.e enbficße @rö)je be»_ 
trac&tenb, auf beiben ©eilen obiger ©teicbüng bie.@ran* J ■ 
gen; fo erhalt man mitre(|i obiftec ^egeitbnungen an»' 
genblitflitb , ■ -' 

t-ber, wenn .man Jx = 9x fefc.t, immer aber mfybt* 
merfr, baß dx eine enbiicbe be|timmte ©r&ge, unb |f 
ein einfache« 3eicbeni(f, »efcbes nitb'f getrennt werben, 
batfi. ... 

38. Ben nun j. 85. ber SDIjfereniiafquotlent b<« $r«^ 

bltft« pq jroeier Functionen p «nb g ju befiimmen ; fo bat malt : 

**-pq = <p+^p) (q+<*q) — pg = p^l + g<*p + **P"*q: 

ober/ wenn man Jx unenbdeb Kein fiSfjf, b. §. t>« fflrünj« 

o fid) unbeartnjt nabern (apt : 

AiB. =p 4s + g^S + ^p4i. 

Stimmt man nun, um ben SM(fereirtia(quoe(enfen jtt fut 

ten, auf belbtn ©eitert bie erüiijen; fo i(i nad) fem 
Obiä«! ; 

v. ■ v, H. ,,.„„, 



530 


UnatNt<$. 




- Lim, *-fl = iUH , 




Lim. p ." = p Tinr — r-* = p ^r-* 




Lim. q — r^ s= q Lim. — J- es q >p 



ifo ju bewerfen, ba£ p,q enblic&e @rbßen,ftnb, bieten 
t>*c Sßeränberung Jx. == i jeiit nicbt nie^r afficirt werben, 
unb batjcr als «nftont ju betrachten finb. - £>a flcb mm 
4? jwar ber enblidben ©ränje ^j. 4p fetbjt aber mit i fft 
unbegran jt ber ©rän jt o näljett ; fo niljere («£ aucb baß le$te 
©Heb ^p 4? felbft unbegrÄnjt bec ©rinje o , unb es iji 
alfo 

v . Lün.'i^Ei = p Lim.^S + q LiA.42 , 

unb hieraus folgt nadf? bem Obigen unmittelbar: 

3.pq*= p3q +■ q5p 

39. 3" ber Aftern 3nfinitefitnatreä)nung warben bieft 
©cblßffe auf folgenbe SEBeife abgefurjt worben feijn. Da« 
©lieb Jp ^ i|r eine unentlkt 'ftcine @rc(je, unb fann 
bafjer gegen bie torigen enblit&en ©lieber weggelafen, 
=rr o gefegt werben, ©er wafjre ©tnn hiervon iff fein anbe> 
rer als folgenber: wenn i ftd? fcec ©rÄnje o unbegrdnjt 
nlfjert/ ndEjert obige« ©Heb {t<fy ebtnfaßö btefer ®rfajf, 
unb broudbr alfo bei S9efiimmung ber enblicben ©ränje jjob 
-^^■nicbt berürf(T(^tigtiu werben, fonbern t9 fann, mm 
es bloß auf bie Sßeftimmuna, bjefer ©r<tnje anfommt, tte# 
sefaffcn, unb in biefer Sejiefjung btoft 

i r i T * i > 

gefegt werben/ woraus man, wenn bie ©ränjen auf Bti> 
' ben ©eiten genommen werben/ ganj rfdbfig, wie »orfjer 



■ 3litftiMI<ff. ,53t 

ftj, ■■Ijr'j''- &•-' '■■•■ 

S'.pq » £tfq, +■ «$>- -- . 



-*./;40.' pr-tot tpf ^ : «Efc;*le<$g«iffl4V ©praßte 
■4ec3n(imtffirttdK(Im*o4j'ttrig>iMtter, :, öte.bit; "weiße wir 
fo-efctn geführt ^cf&ctt: Sltnbert ff# Vum ^ fo wfrt, 

Wi(!0lNR> ■' ■• - • - 1 .'•«-:-.■■ .' ■ '•■*:■ 

©r^t man min: <rfx inrenbticb flrih, ; fr gegen, ta' b(e £lf«. 
fecentiafe afe iraenbftg flehte : ®iffe«ttien'betead»fe( »«* 
tien, öieoligw!Öiff(Witjht"lft'*fc®(fpi«n(itite"-tt&*>/ unö 
fite ©fetc&ung berwanbett fft^fhi '"' "j ; ■ c''' ' 

'. . - ■ ■ ' «.pf fif^'+^fo'lifjpCAr, '" -- ' '■•-. 

»• pfty q^p unenWlß flefne ; ©regelt erffcr-Drbnwrig ftofy 
dp. £q aber eine unenblicb?fcme;@rt>|je itoeiftrOcfcnüng ifl, 
»etefce gegen jene öernailÄftigf, ==<* gefeijf werft» fann. 
Sieögiebt . 

■ 5.pq = piV-f- <$p7 ■ .' 

SDb$ biefe ©pratfce, w,enrrfiemK& ju einem ti^tigeritltefutftr* 
W ffi^rt, einer eignen ^itterpreraffonbebörfc/ biffa-ben fcef» 
ben »ortjergeljtnben OTummern »odp^ti&ig gegeben iß, wirb 
gewiß Sfliemanb in Qfbrete ffeflen. ®»fj aber j«&e ©pracbe,- 
roeldje nidjt »MTigee Bc&t aber. bie @a<J?e verbreitet, aus ber 
50iaf§ematif jü »ersonnen fcij, ftfcfint eben fo gewiß ju fepn, 
uhb ic& fann wenfgflens b e n ' Sföaf fjrmo'f ilern' niebt beipf|ic&? 
ten , tvcld?e in neuerer ^eit tiefer ©pracbe wieber baB 
SEBort gerebef fcaben, obgleich auf feer andern ©eife atter= 
fcingeüte j. S5. »on Sarnot. unb ».Suffe gemaebten 
SOetfucfie, ebe"n j&tefe on fid) gewig unrichtige ©pratfee 
ciuf.jiif läreü , ; uhb ju jeigen, roie.mantennocb b'aburof) ju 
fc» »ielett rietJttgeii'Ötefuitaten,. »etebe auf bie ganje 58ijfen« 
ffcaff einen fb bebeutenben <Enrffuf gefjabt fyi&eh,' §** 
langen; formte, in bitter Dtücf|icbt n&btig unb tnterefflro* 
finCunbian-ßebaCftlnni^rer^erfaff^öeucfuriöemi^uK^ 
tie SOIetlobe ber ©ränjen Wirt Wt& betulich Mr*,Jf(«r> 
anb Ijat man -berfelben aueb nit&t mit Unrecbt ben Sßarwurf 
gemad)t,ba|j)te- bfr&u groger' SSJeittaufTgf eif füb>e, trf« 
un* biefetbe aueb in btr Zhat in bem erften unb micbrigjfm 
2t 2 



532 WnenWü[». 

SEÖerfe, worin fie ait&f&$i\ify btfyanbett ift, ber Expositio 

- elementar« principiorum calculi diffcreiitialis et 
int. Tub. 1795.) bob L,!Huilier; jtidjt immer auf 
bie anfprctfanbfte SBJrife entgegen; fo t|t ber 2Big, auf 
turnte im« ;fH^Ft,c,.toa>'ouc^ in »euerer 3«f bebeu= 
terib geebnet Worten,, in wetebtr öejiel)ung>(Eaucbö , < 
fäjön ,obe,n angeföijr^äBerf: Resumedes.le^ons s«r 
le calcui infinitesimal. Paris. 1823. ungweibeutigt 

' Sßerbienße ju. fyabtn. fdjemf. a SBeitete. $Iueeinanberfeisiin= 
gen überliefen ©e<jeii|fünb , auch in Sejug auf tote Sun* 
c.tionen, ^beerte »jyi ¥afl,rant}e,.nnb it)r SÖerljältnit? ju bec 
.SDUt^obe.bfrSra^en, »jo&ti « an« »oriöglüfr auf eine 
Trennung jwifdjen bem rein «nah) tifajen 3b,eüejKr 3>ifferen= 
tiatreebnung , ,unb ,ff)mt «ielfäjtigw Slnwenbungen aller 
9irf> -befwifcers auf ©eometrie unb SBrecbanif, anjuf ommeu 

41; -gEBäKba« ©iffcrentfaf be« Ünotienfen |- ju 6e= 

fÜmmen; fo febfießt man nacb ber ^nftntrefimalmettjebe 
auf fotgenbe 3lr(. SBentV'ficbp, q.umbie unenblicb Htü 
neu ©Ifferenjen 5p, <?q ähbernj fo wirb bie unenbtieb f leint 
.£>ifftrenft wm *■* b. i. 

■■: *s"~iTp5 i "~ ■ q (q, +«?*)' T+W * 
$)a nun ^q gegen q* unenbfieb Hein ,i(lj fo fann man tt 
grgenq 2 wegtaflen, nnb erhalt 

-.:,". q q 2 

£ter tagt fleb fragen, warum Iä0f man niej>( auä> (m 
girier bie unenblia> fieinen ©roßen qdp, pftj weg, ba 
man boefc berecbrtgf ifi, im'ptennec fie wegjulaffen? Zfött 
man bie«, fo erhielte man aflgemein 3.-2- =±^ = o. 
®fl»ft$nH$ (f. j. ®. L'Hopital Analyso de» inHni- 
ment pstits. Paris. 1694. p. 5.) wirb Mefer.@c&witclg' 
rWtabutd; umgangen, baß «an & ==.z/p'-=qzfe(t(-, 
woraus, jwa) .ttm&ägc für batfSDfffrretttiaf toftoiwty 
sppz'qBz + z9q, affo. " ; ■ . 



UiKnMity. : , -533 

q. q * q ~ q 1 ? 

»fe eben. 

- 3>«r i»a|re ©In« oliä« ©^(irgact (^ fo[g«mKr. 83«,' 
äitijtttpctixiini^x; forciri) , 

j P P + ^p p q*fp ~tfa/q 
\5/ «.+ **»" q ~ q<q + -*i>. '■ ■ ».. 

ober für £ = Vi 

4p _ «.^5 



. ■ •«• q<q + ^<i) ' ' 
ui*>, ««et t« S8orau«f(8u«8, tag 4*. »nmbKcb f («n 
«*b, b. ^. bet q Rcb iinbeäränji nähert: 

■ ■;/. : ^^ixz^f . ; 

1 q(q + ^q) ' , 

Slimmt nun nun auf beiben ©eilen ble ®rtajen, fo 
nähern |icb 4s, 43 ben enblicben beftimmren (Srtnjen 
K ' * ' bagejen </q bet €cänje o , q + 4q in Ötanje 
q, fo tag atfo 



unb/. mi(5x muitipticitr (37.); ■ ^ 

aifobmf man4E, 43 niefr roegtaffen, weit fie fic& ben 
enblicben, im Slßgemeinen wn o »erfc&iebenen , ©ränjen 
jf , §3 nähern, .^qfann obet bei Beftimrmmg bet Srin. 
|en,»ecn<itWaf(iät »erben, n>oi( e«|ict> bet ®r4nje q nir)erf ( 
unb man fann in tiefer 33esier)ung bloß 

■ ,4» - P 43. 



fetj»i«, woraus biefelben Koänjen. übet SJifferentialqiro; 
tienten, wie vorder, folgen. , ' 



534 ' UnmMid). 

" 42. @iöff bie 33erih)renbe fiic irgenb «ine Zttnt, beten 
©[eicbung <p(x, y) = o ift, beflimmt »erben, fo 
fc|>tießf man in ber 3 ttftnaciflirtatr c4>n uttg auf folgenbe 
5ßei(>. '^n ber SJWje be« Secii|runs8punftcö fällt bie 
©enKjrenbe mit ber (£un>e jufammen. , ,24fjt man nun bie 
' *Jf bfcijfe x . um bie utienbtidj) f leine @rö(je äx- fitb »erdtu 
becn, fotterinbert (Tci) bie Orbinate-y um bas uncnblio) 
fleine dy , unb man erfe^lt hiebt folgenbe Sproportiont 

Subtang : y = ßx j üf 

am ber 3Ie&nti$f«t ber ©reietf e. 3Diesgie6t 

Subtang = ^-2 r . ■ . 

Öiicbt trief weitläufiger Ift. ber SSetvei* na* b_er <0let^ebe 
ber ©rdnjcn. 4Wan lafle ftcb x um ^/x öerdnbtrn, fo 
Jtobert flcby um^y, unb, t wenn v bie (Entfernung brt 
&urc&fc&nitrspunftee ber bureb bie (Enbpunfte ber Orbina> 
ten y unb y + Jy gefjenben ©efyne mit ber Slbfeiflenap 
bon ber örbinafe bejticl;nef ; fo i)<xt man augettblicflicfc 

ober, twnn ^x fiaVber o unBegränjt nd$erf * 



3>amt nähert fteb aber bfe©efette.ber35eriiferenben, vnaljert 
, ftcb ber ©ubtangente, unb -^ ber ®ränje |[. 2Hfo, mm 
man bie ©räitjen nimmt: .'. 

Subtang = it£- , 

welcjresmanabgefurjtgewßfjnlicb Subtang =^ fc&ret&t ' 
016$ förjer febliejit man fo. ,55eietc(jnet <p ben dleigungs» 
ttinf et obiger ©ebne, « ben SRefgungs»infe{ ber S5eri^ 
renben gegen bie Stbftiffenare ; fo erhält map augenb(icflia) 

Iffititit A (i* bn o n%te, nitytrt |i* bie ©t^iw b« 
Söfcityrtnwn, ij) tum SBinfela, fo taß lifo, wenn mos 
We Briitltn nimmt, ' 

■ . «;,„ Google: 



■'- ■ '■ *•»«■ = §• -■; ' 

woraus ferner unmittelbar obiger ^luebcurf für bk @ub> 
tangente folgt. - 

. GrnfcUcfc fann malt aucfj fo fließen. . Sie ©feii^ung 
ber metyrgenannten ©et>ne feij 

Y = «X + b; , 

fo fi>t man, wenn x, y bie Soocßinafenbes SJerityfHngfc 

punftesfinb: 

y = MX + b, 
■ j + Jj ?=a(« + -A) + b, . 

worauf) burc(> (Elimination . ■' 

' unb folglich jugtetclj unter ber Sßorau*fe|juhg , ba|j Jx 
Jufc ber ©rdnje o n$ert ; 

, y = 4Tx + y— ^. ■'. 

3>ann nähert ftfc abebbte ©e^ne ber Serityrenben, folglich 
au* bie conflanten ©tofen in ber ©teitfcung ber ©efjne 
ben con|tanten @r6gen in ber ©leiifcung ber ©enÜjrtnbttt,. , 
unb (entere wirb aus erfierer erhalten, wenn man bte 
©ränjen ber cenftonten (»on X, y unabhängigen) ©röfjen 
nimmt £>ietf giebt atg ©leicbung ber^erütjrenben: 

»-■«.i. + ;-i. .■ . . 

ttedfcea man gemJbndcb fo fcbreibt: 

1 = K 35 + ~^& ' 
wo tonn an* Sx, Sf bie 5)lft«litiale ftttjl (37.) ie. 
jeicfjnen f6iinen. < 

43. »iefe einfachen Seifoiete mögen btalcSen, ben 
eigentlichen ©inn ber äuObriicte ber 3n(tnitefimalretbnung 
ju (eigen. @ie laffen (icb <n allen Sollen auf bie |trenge 
SSetracOtung bec ®can|en itmicf füllten. Sujet ben tnebr. 
mal« genannten neuem abbonbtungen »an Sau*», unb 
ben meiflen «ftem Sfflerfen über 1>6beie Uloottjff», fucbe 
man totitete Selebtung in folgenbm ©ebciffen: 



.v Google 



5£5 UnenWti&. '•* 

Euleri Inst, calc. diff. Tom. I. Cap, m. 

9Infona,tt0twnbe ber fiöbern 5lnal»fte mr Zemftl 
'$»ff. ti}l I. , 23erfin. 1770. Sanfter 21bfd>mtt. 

j? & fi n e r * Sfaaftjfits unenblid)ec ©rfifjeh. 

©effen ^Mjatifelungen de vera infiniti notione unb 
de lege continui in natura in feinen Dissertationen 
mathematicae et physicae. Altenburgi. 1771. p. 35. 
p. 142» 

' Ej. Prpgr. inaug. de cautlone in neglectu quan- 
titatum infinite paryarum obseryända. Lips. 1746. 

Äatftene $bf)anbfong »om !Wa^em^(ifd> = Unenfc 
Hdjen, mit 0Mcff!cbt auf (ine im ^abre 1784 aufgegebene 
Preisfrage (wcgf. £M.X @. 816. biefe« 3BSrterbticb6) 
in. feinen SWa^ematifd[jen ^bfianbtungen. Jpdfle. 1786, 
©. 1., unb bejfen übrige befannte ©cbciften, 

Exposition e'le'mentaire des .prineipes des cal- 
culs superieurs par L'Huilier, Berlin. 1786. 

©eflen Prineipiorum calc. diff. et int. exposirio 
elemcntaris. Tu!>. 1795. Cap. IX. De infinito (quod 
yopaiit) rnathematico. 

Betrachtungen über die Theorie der Infinitesi- 
malrechnung von Gar not. Uebers. von Hauff. 
Frankfurt. 180a ' 

,v. Busse: Bündige'und reine Darstellung des 
.wahrhaften Infinitesimal -Calquls.- Thl. I. Dres- 
den. 1825, 

Kr äff tii Dissertatio de infinito rnathematico. 

(£(a9Iuffo§ »on Otanmonb in ben Me'm. de h 
Soc. acad. de Savoie. T. IL p. 170., »orjügltcb über bif 
geomettifdie 25ebeutung be« ©nmbols bee Unenblieben. 
©. aitd? Bulletin, uiiiv. des sciences. Matliem. 1827. 
N. 10. p. 225. 

E. Halleyi Account of the several species of 
infinite quantity , and of the proportions they bear 
pne to the other. Philos. Transact 1692. p. 556. 

■ Frahgois Achard: Reflexions sur l'infini 
mathe'matiquc. Mem. de Berlin. 1745. p, 88, 143. 



Unflätige SXet|en* ' .537 ': 

,, Gerdili De l'infini absolu consxderfc' ddns la 
grarideur.' Miscell. Soc. Taurinensis. T, II, p. 1. 

-Euler: De infinities infinitis gradibus tarn in* 
finite nia»nonim quam infinite parvorüm. Acta 
Petröp. 1778. P. I. p. 102. - 

Martin: ^Memoire sur la maniere de dernon- 
.trer,parles methodes des anciens, Ies hypotheses 
de Xeibnitz dans Ie calcul differeritiel. Meto, 
de Toulouse. T. J. p. 43. 

Ej. Memoire contenant l'application des prin- 
cipes tire's de' la Methode des limjtes aux diverses 
parties du calcul de l'infini, Me'm. de Toulouse,' 
T.in. p.29, 

' UtlCnWi$e Stetem (Seriesinnnitae)f?nbfora>r 
fceren ©Itetiec nad> einem beffimmten, allen gerne mfdjaft* 
lieben', ©efeije in'a Unenblicbe fortlaufen, oljne jemals 
abjubredjen. Ueber iljre »erfebiebenen Sonnen, ©timriil« 
rting, Umfeferung unb Umformung f. m. bie. 21rtifel 
Steige, fummirbare £Keil;e, ©ummirimg ber Dfci^crt, Uili- 
f etjrnng ber Steifjen, Umformung ber SJeiijen. 91ucb »ergl. 
man Unenblub (22.) 3In biefen Orten finbet man aueb 
bie nötigen l)i(torifd)en mib literarifcben Sßotijen in $»n* 
eeiebenber Suisfüijrlichfeif. 

Unmblidjer ÄCttcnbrtl$ ifl ein fot#er, beflm , 
©Heber nad) einem beftimmten aßgemeinen ©efeije, ebne 
jemals, abjubreeben, in'e Unenbiiifee fortlaufen, öeifpiete - 
ftttben fid? im 9fn\ Äeffenkucb (39. ff.), fo wie Joga* 
riujmus (164. ff.), uub Üuabratur (58. ff.) meiere;- 

UnermepflC^, f. 3ncommenf«raber. , ( 

Urtgerabc 3f>^ (numerus inipar) Ijl jebe 
gonse £at)l »on ber gorm 2n — 1 ob« 2n + 1. ©ie 
£at)( 2n — 1 ift bie nte ungerabe £a$l in ber Pfeife 1 , 3, 
5, 7, 9,,... berfelben, 2n + l bagegen bie (n+i)te, 
S)a(2n + 1) + 2r = 2(n + r) + l, (2n+l) — 2c 
==2(n-r) + l, (2n + l) + (2r- r .l) = =2(n + r+l), 



538 v Uttflimmft " 

(5n + t)_ (2r+l)=2(n — r), (2n+l).2r = 

2.r<2n + l),(2n-M)(2r + l)=2(2nr + n+r>+l- 
ifl; fo i(f bic @umme ünb Ziffer«)) eiltet geraben un& 
einer ungeraben ^a^I ungerabe, jweier ungeraben Sagten 
gerate , baö 5>rebur( einer geraten utib ungera&en 3a(rf 
gerabe , jwtier ungeraten galten ungerabe. 

Ungerab - ungerabe galjt (numerus impari- 
ter impar, Doppelt ungerabe jjafjD ffl etoe3atjl A wela> 
' fio>bun&eme ungerabe 3^lo^ne SÄefr bi»ibu;en läßt, 
unb jum Üuotienren eine ungerabe 3a£jf giebt; alfo 
jebe.jMt von ber gorm (2n + l).(2m +1) = 
4nm + 2 (m + n) + 1. 

©erabs ungerabe 3alj( (numerus impnriter 
impar) Dagegen tfl eine 3abt, wettbe burefr eine gerabe 
3a^t teilbar tfl , unb jum Quotienten eine ungerabe 3af|t 
gle&t; alfo aöe Sagten von ber gortn 2n(2m + l). 

Ungereimt, f. s&furb. 

UngefcJMcfte Sßierung, f. Srapejjum. 

Ungleid) ifl, tva« in $Infel)ung ber ©röjje niefct 
■ för einanber gefegt »erben barf. 

1. ©inb a unb b jwei ungleiche ©rojjen; fo ifl 

■ > b o6re b < a , 

Wenn, Sie SDifferenj a — b pofitiv ifl. j 

■Dicfe von Saucen (Cours d' Analyse Je l'e'cole 
röyale polytechnique. Paris. ^821. p. 438.) Ijertity» 
renbe (ErfMrung gilt für pofltive unb -negative ®rö|jen. 
Süfjt man eine pofltive ©rifje nac&unb nacb abnehmen, fo 
wirb ße enblicb = o , unb bann , wenn |ie ab juneEimcn 
fortfährt, negativ , welches ju bem 5Iusbrucfe: eine w» 
gative ©rSjje *f«» FTeiner 'ate Sfluü, Sßeraftfaffung gegeben 
$af. 2lucb ifi *— « < — /?., wenn a > y? ift, inbem, 
für a = /S + £, — a™ — /? — tf ifl, unb bemiratb 
au8 — /? entffefjf, tvenn Davon £ abgejogen wirb. 90e 
biefe Säue finb, wie man (tiefet fehlen wirb, unter obiger 



tbtflt««^. .'■'.. "539 

C&Härimg, aü«»er»it nun etaia,e®a1je a&leilen ttoltn, 
entsaften. . ' , 

S. 9Bemt' . ■. " - 

• > b, £ > b* t a" > b", a"' > b"% .... 

I|?; foi|laud) . '..■ 

' » + »' + «" + »'"+.. .>h + b' + b" + b'" + . 1 . . 

2>enn bie Difetenjen 

'■": -..« — ti »' — b', ■-".— b", ■"; — b'" ,. 

f nb pofiti» ; > fo(a,(id> ojfenbar au* beten ©umnte 
C«—t) + (»'-!>•) + (.--b-) + (.•-_>'") + ... . 

•=* + «' + *"+»"' + . . • — (b-Fb'-f b" + b'".f. . .), 

3. 3(1 nun 

. =*, .' = /!•, ." = /!", ." = /",....} . ■ 

fo |inb Die 2>l|ferenaen 

a — J, •' — /**,"•*-. j*,- «•" — /r", . . . .- 
«fe=o, unbfoIa,fla) offenbaren* 

> + •' + »"+' a" + ... + a+V + a" + a~ + ... 
>. b +■ b- + b"+ b~ 41 ,.. + ,> + f + ^- + f ~ + , ; ; 

4 SSenn a > b, a' > b' i|i; fo ij| 

a — b' > b — »'. 
©Mit rt l(f ". '. ' 

a > b, a' > b', — a' — b' == _ a' — b'. 

a(fo(3.;; 

a + «* -, *'—'b* > b 4. b* — a' — b', 

b. 1. 

.'....'■ a — b' > b — a*. , 

5. ^Denn äBe ©tagen t>afltiv f?n6 , unb . - • 

■O-^j *'>>'t a">b", a™>b'",. . . . 

I(i; fo i(I aud> " ' 

a a' a" a'" . . , . > b b' b" b"' . . , . 

Die Siffetenjen 

■ — b, a' — b', a" — V, a** — b™, . . . , 

|inbna#ber58»rouefe1suna.to|ta; fo(g(i* (Inbau«, ba 
alle ®t6fien pdfiti» feoo fallen, in Sejug auf fünf ®rt|jett 
. j. ©; ^ oüe folgerten ^robiicte pofiti» : 

{•■ — b> a' a" a" a"" = a a' a " a'" a"" _ b a' a" a"' a"", 
. <a' .— IQ b a" a'" a - '" =s b a' a" ' a'" a"" 



»' a" a™ 



(»" — h") b V ■'" «"" = b b' *" a'" a"" -t b fe' b" *'■* ä"", 
.'(a'" — b"') b b' b" a"' =s b b' b" ■""'■*' — b b' b" h'" a"", 
(a""— b"") b b' b" b'" = b b' b" V" •"" — b b' b" b"' 1)7". 

5Me Summe tiefer pflftri»eri ©röfjen, nämlidj 

II a' a" ä"" a"" — b b* b* b'" b"" , 

(ff alfo aucb pofitiü , unb bemnac(> (1.): 

• »' »" a'" a"" >hV b" b'"b"*. . 

3>ap biefet Saß ntic bann öflijemnn gilt/ wenn aBe 
@r&fjen po(ifi» (Irib, faDft feiert in bte 2togen, intern 
5 . SB.— 6 < 2, ~5<3j «ber — 6.— 5=30, 
>2.3 = 6tp. 

6. ®en a > b; fo ip ra > rb, wen« r popfit», b* 
gegen ra < rb A wenn r negotiö fp. 

2)etin a — b ip pojiti» , unb folglich 

r(a — b)==ra — rf> 

■ pofitt» ober negoti», &. i. ra > ober < rb, fertafHwm r 
popttö' ober negotii» i|f. a unb b fjtanen fcier pofifi» unb 
negariö fepn. 

7. SßJenn ade ©r&fjen popfi» ftnb/ (in& a > b, a' >b' 
jf?; fo ip immer 



SDenit aa' > bV (5;) , a' b' = a' b' j atfb offeoBar 
.»■ bb* . b 

rF > Tb" 6 - '• y>v 

8. SBenn a, b.popti» ftnb, unb a > b ift, fo'ifl 
a° > ober < b°, jencujjbem « pojtfto ober negati» ift. . 

£>anämtt(&a, bpoptiöftnbj fo ip £ > 1, twtt 
a > b; fotglifb offenbar ber 25ru$ 

> ober < 1, b. i- a» > ober < b°, jenasbbetn a pojtö 
. ober negotii» ip. Uebrigen« fann « eine ganje ober jt< 
- brodbette 3a§l femt, unb ber ©a§ gilt alfo au$ für SB* 

jeigr&fen. 

9- 3fl a pofitto, nnbc> y; fo ip a" > ober < V, 



enaitbem a > obtr< Mft, c unb j<: mögen po|Tfi» obet 
legatttx fegn. ;-"'■.-' '""'.' 

- Sftö— xpaitl» i|if; ; fb l|! offntBat 

:■.".■"■. . !;: i..-' ' 

. ^ - - ■ 

>■ obe* < i, V i. a" > ob« < ai», jOMt&bem. a > 
>oec<:i((f. • .,. ..' . . . .,.;.;. • 

. 10. $eje[#ne(mahbu'2bgant$mett inbem ©efteme, 

peffen ©cunbjafjl b f|t, buc# log, unb a, a'finB.a»n 

pofitioe Labien, fo bafj sr> «'■ tlK' fo ift log a > ob« 

<; loga', jena$bi!lh'b!> ob« < 1 iff* ',' ■■'■ "'>* ■ : 

'Stau i(l ■ , .'"''■ 

',Ji 1 °« , ;.iii><**,^i 1 i''«*-' , *" r . '" 

Sin no# ber SBürauefetiiina -J > 1 j alfo m4> 

unb folgte offenbar loga — log a' po|ittö ober neagtitf, 
fc. i. loga > obet < loga', ienadbbem b > ob« 
< 1 Ift. • . . . . ' 

Sie So(!« bec notürtic&sn 2oa,arltt)men ü2ogarit§mite. 
30.) Ift 



alfo > 1 , unb fotglidj immer 

lognsta > logiwfa', 

unter ber SOor<itt«fr«ting, baß a > a' ifl; 

11. ga'fflimmer 

a» +b* >2ab., ' 

Senn a» + b 2 — -2ab = (a — b)" , alfo Immer pofili». 
gotgdtb i|t aua) imm« 

«' + 2ftb'+b> >4il, (■+b) 1 > Uh 

12. @ej 
i =.«-+» + c + d-f •••'. 

It Summe Hon n (Brägen, unb B iie ©umtut ibra 8i> 
Ionen; fo ift Imm« (n— 1) A» S^nB. Senn, es 
-(11.): 



542 / UnsW4 

*>+fc'>a^i,* i .+ e*>2»B,'«*4-'* 1 > 2 »«;'8'+e'>2«*,..,. 
b=+'c 1 >2bo, b*+d 1 >2bd, b J 4-*'>21»"».:. 

■ o'+^i?2od.,.c*-i-5 1 >2«a',.. 1 .; : 
, T ■ : a^'e^üd»,....; 

>f.f. ü.f.-f. 
@«4}f man nun bie ©utrime bet üuabrate s= Q, 
nn> abfeirt auf Bettel* leiten betf- $ete&en >; fo ntyät 
man auf ber linftn ©ette offenbar jibts Quöbraf-n— 1 
SKal, unb auf bet rfl$>ten;i«be J&tnfon 2 Sftaf. 3I[fiJ 
«fttt)*- ,'.-■•.- ■■:.-- • 

. (n— 1} Q>r2B;; - 

216« A>=Q-f2Bi (n— t)Ä^Ä(n— i)Q + j 

2(n — 1)B.' golglicb | 

(n — Di 1 ^»!-!) Q>(b— lr) Q+2(n — 1)B+2B, 

b. i. (n— 1) A* > 2nB, w. j. B. w. 

13. ©iab g uhö b TOtOf »örlidfe , mit pofitlvt, ®tb 
gen, unb ä «ine poptiue ganjegabt; fo iß immer 

na» 4- b» > a» 4* na«-" b. 

■ Sit ©iffftfflj' biefre Beiben Sluöbtfirfe i|f 

= aa» + b» — a- '— na»-' b 

= na»-i (■—» —-(■--hm) . I 

■ ' ==(«— b)tn»»~*— a»-'— a»-*'b — .i-^ab—»— b"- 1 [. 

3ff nun a > b; ß> fft .offen&ar 

nB B-t > a B-i 4. an-i b, + ii . + ab»-* + h»-? 1 , 

unb «Ben fo/ wenn a.<.b i|J: . : 

na"- 1 < sa- 1 4- a*-* b + . . , + «B»- 8 '+ b»-t . 

$o(glic& fmb bfe beiben karteten obkea 9>roburt8 imow 
jugleitb'pofltmunbnegatii), bleSüferenj alfo jmmrt p* 
fitit», unbbemna4) immer 

* ' na* + b"> >■ a" + na»—' h. 

14. 3pb<a; fo fotatljierags.'lei^f; • 

' ' na" 1 — na»— • b ;> *» — h» , 

««141« alfoüntntt ffatt finbety nam i- ein «fcf«r SSrucJ i|l 



15. SSemia, a', a",..V. wfflW^ttictw ©rijjen (tn&, 
an bet £aE)( nj fo i)Hmmeröerübfotute2BectI)bei:©umme 

»+."' + ." + 

Reiner als bafJ^Jrobuct \ 

>-'. r {•' + *" ( + *"' --..), 

toorausgefeijf, bog t>te,@i:6gcn a, a', a",.-, ... ai$t alle 
unter eiaanber gteid? |mb. 
©enn es »ft offenbat 

• ' («+»• + «•• + »" + 1* 

+ («-»')' + («-*")* + (*-«-)* +. t»~a"")' + . * . . 

+ (a-_."') 1 + (*"-•"")* + • ... 
+ («"•-.";> + 



= „(** + .'> + .« + «.»* + ), 

unbbemna<&, »emibieSMff^rensena — a', a — a", a — &'", 
u. f. f. nidjf oQe=. o, b. i. bte gegebenen ©eigen id$t 
ade «inanber glekb' finb , »eil ein Ouabrat immer poftttö 
iff, offenbar: 

(. + «' + •»+.. .y <; ».(»»■+ .-» + *"*,+ . . .), 

« + «■ + *" +....< rx-rt»'^«'^*" 1 + •■•)> 
wo «6 aber natätii$ bloß, auf ben abfoluien SEBectb, bet 
©umme "a + a' + a" + . . . anfommt. 

16. Suca> SiDijian mit n erfjiKt man Ejüraus umnif- 
(elbar: . 

■ + a' +.»" 4/ . ■ . ■ j^ b 1 4- •'' 4- «"»' 4- . • ■ 

■ , n f a _' * 

fo baß atfo ba« oritbmefir^e tJJlitfet jiBif^e» b; a', a",". 
immer Heiner als biefe Quabratwurjel t|t 

17. ©inb tofe gegebenen ©ragen alle einanber gleitlj; 
fo folgt au? (15.) unmittelbar, bog 

■» + »* + »" + • .■ = r^.r(a , + * ;, + »" 1 + ....) = »■. 
immer bloß in SJejiig auf ben dbfolufen SBertlj ber 

©umme. 

18. SEBetma, a, a",....j a, «', '«?,,•"•• - «rfßfflSr» 
fi*e Stößen fmb, unb *ebe biefer Otriven n ©liebet ent* 
^Htj fo ifi, wenn bie 0rü0e t 



54* Uitsfeitf)* 



nictit alte unter einerntet aleid) finb, ber abfotute 2Bert$ 
ber ©umme 

M + a'o' + a"o" + a"'V + ■ ' * 

immer Heiner Me ba« «probuet 

Vr(a* *ä' 4 +V' + .,..'.) .»*{"' +«' 1 + ■"' + ••')• 

£>enn es i|i 

(ao + a'o' + a"e" + ä"'»'" +..*)* 
+(a.'-a'.)'+(.."-a".)i+(a.'-_.-.)"+(.."--a'-.)'+... 

+ K«"-»V) 1 +(»'e"-i'V}H<lV-»"«}>+. J 

.;-;.- ' +(a"o"'-a"'<r) 1 -tfa",.""-a"".0 ! +— 

+(."'.--«"-«"T+- 



= (•»+■«': ■+•"■ + • ••)(•' + »'' + ""* + • • •'• 

, SoläH*,' trenn niebf ate obigen SMebe „emanier 
oltlcS, atfoaucbni4)tau'eS>i|ferenienaei' — a'a, na" — a'a, 
a«'" — a'"o, u. f. f. = o. (ins, offenbar 

■''-'.' - '■'<aa + a'a' + aV'+ a'V" + /.-.)' 

< (a 1 + a" + a" 1 . . .)(*»■ + o' 1 + °" 1 + - ' Of 
, . . an + a'o' + a"o". + a'" •'" + !..-•■ 
< r («' + a" +•■",..). r("' + •'■" + ""* + ••). 

natfirlieb blofj in Sejns auf ben abfohlten SHSertb er(tete[ 
(Summe. 

.19. SSinföirt man bureb n> fo erBMt man äuge* 
bficfli*)" , 

»»4 gV -fr a"n" +■".»'" + . ■ ■ • 

■ j.y a J +,>'', + a"» + . ■ . - y* 1 + p'* + ■»"' + . ■ . ' 

woraus ft$ toltbtt (in teilt £ in SEBotten atiejufp»cl}e>ibet 
, ©afc öom atWtmettfifren SMUftt «siebf. 
20. @inb Die SSriföe 

aQe dngnber gleich fo eitjätt man am* (18.) unmlttefSoe 

(ac. + a'e»' + a'V + a'V 4-'. . .)» 

w{a* + i' 1 + *"' + . . .)(*' + «'* 4-"" 1 + ...), 

a.+ »V + ."." + «*'„"' + .'.., 

==r o 1 + »' + *"* 4- ... .).y*c** + « 1 *■•".* + - - •) 



U»8f«<$. 5*5 

«tenfaffe 6fo(! in Sejna. auf ben abfouiteit 3Ber$ ettfet« 
Summe. 

21. @e»( man in (18.) i> = 2, n 3= 3; f» , t $ä„j 
man aus ber bortia.en jjaupta.liid)una tu b'efonberenj an 
fo> merMtbigen , «gieicbungen: 

(«+»'«'!> +(•»' — ■'«)* = C* 1 + »'*K**+«' , V ' 

= (1' +■ «'* + »''')(>»+>> +«"»), 
(.«•-•••)■ + (.."-."«)'+ <.-.--«".')■. 

= («'+«'' + a" 1 )(«' +»' 1 + ,.*') — <«« + »'»' + «"«')*,■ 

22. ginb Me@r8|Sen a, b, c, i, .. .., «n bef 
3<n)fn/ aBe paßt!» ;_foifi immer 

pb.a.... < ■■tH.t't.- , 

' J8üt B=2i|l ■ ' 

Hlf« i(f 

^ <C 4> ! )-, (! ±i)- < |i^.ö±s|- ( 

2 ' 2 ** \ T~ J * 



(Eben fo i(i ferner 

■+b+c +d ^ «■H + g.+ h < f a+fe+c+d + c + f+ a + liy 

Jjiftous ertteßet fdjou, wie matt weiter geben famt, 
ttnb ber @aQ 91(1 alfa überijaupt, trenn n »an bar 
V. £8im 



546 UttgM<$. 

3«m 2" (ff. 3(1 a&et n m'#t bor Mef« Sorm, fr 
ftge man 

t+>4-ofd + •*'■• — « , 

itnb nc^mc, reeldjeö offen&ar immer mSgticE» ifl, 2"- > & 
3>dnn ijl tiad? bem SÖoi^ergetjenbeit 

|, + b + c'+d-t-....+ (2--n) g |* 



»bcd. ,i . ■»!-»< 
< ] » + h + '= + d + --- + 2 ,,a — [«4-h + c+d + ....) ! " 

b. 1. nbcd .'. . . •"-»< •' ; 
• «bcd . . . . «' < a* "• , «bod ....<«■; 

. — < (.tbt.m....y ,. 

w. j. 6. iv. 

go(g(i# ifl au# immer 

afl)-|-c+ d-i- « + ... > m Vflbcdo . . . 

nra < »»t+.'+«+. ■!•■■■ . 

Sit n == 2 j. 8. ift TS < l±i', b. b\ ble milt. 
l«e gconurrifcbc ^proportionale pviftben jtvef 3aE)Ien iff 
immer deiner ab i&t «itynt tifdK« SWifKI. (Eben fo ijl 



«.f.f ».f.f. 
35a(j it>fer a, V, e, i, .... nicjjt «Dt elnanber gl«t 
ftp turfen, werftest p(6 WH filbfl, »eil fonft 

raann=. iü+i±i±-uu = ,. • 

alfo aucb 

fepn würbe. 

... n: ■ Google j 



* ttHglei<t). S47 

23. au«bfef(m©a5e (nflcn (i* «xrfctjiebfnc gotg«iüt. 
gm jie$en. ©int j. 8. a, b jme( reiltityrticbe ungleiche 
»ofitive ©rifjen/ unb m, n jtvei pofitlve ganje gaftlen; 
fo i(l, bo in ber ©imune 

na*»« + mb"*» 

feie $>otenj a™ " nmal, V""* bogegen- aimal »öcfontmt, 
nocb weigern ©oft« ' • 

ntntn + Ali***' ' ' ■ y* -- — ?"" £ 

— E+^ — :- > I («■«) in».) 



_». i. — sjrnr — > »■ b»,. 
§ür m ä h = 1 «bait matt i 

B* + B* > 2«b (11.). 

auf ben biet vetvfefenen allgemeinen ©äj Bat <S. 9. 
Ototbe In feinem febr ju entpfe&fenben ©pftematifeben' 
£e&t*u<be lue äritbmefit'. Seipjig. 1 80*. 361. II. £ap, 1 5. 
einen febr (!cengen elementaren Oßortrog ber annabernben 
SerecbnuHg irrationaler Spgaritbmen gegränbet, * 

24. SJejeKNef e» wie geuibtttfeb, bieSafis ber natar> 
Itcben Sogarltbmen, unb x eine roiuTnBrticbe reelle, paß* 
live ober negative, (Scofie; fo ifi immer 

. .1.+ *<e*. ■ 

Da, x mag poffrlv ober negativ feon, offenbar e? im=" 
mtr pofitiv ifl; foifT ber ©aß,, wenn 1 + x negativ ifl, 
für (leb Hat, unb o'Ifo Kofi nocb ber Sali ju betrachten, 
prall 1 + X pofitiv Ifl. . 

gs i(! namlicii (Sogarltbimi». 310; 

- = ' + T + 33 + rr3>Ä + Ä + '-. 

= . + « + £ (l+.f) + ^ 0+t)+£5 ('+?) + - 
tajeitn nun 1 + x pofitiv ift, x felbff mag pofitiv ob» 
negativ ftvn; fo finb boeb bie ©rofien 

i + «,i + i. i + f , i + i, ..... 

SB™ J Google 



548 UnsfcMj. 

alfo au* tie ^rabucft 

■£/•.+ XV •SLYi + ■^■ 1 JSL fi j. £ 

: A + a) ' -x-saV. T:V ■ EÄ.v 7 • . ' 

immer pofitiw. gotgif* offenbar 

. •». > 1 + x,, 
W.-j. b. .». -. . 

25. 1H(fo ((l au* (lp.) r wenn 1 + x pofttt» lft r * 

-logn»t e» > log n«Jt. (i + r.) , 

b. i. immer lognat (1 + x) < x. 

26. 3m Srr. UmformuRg tot 0CeiIjert (29.) i|f a> 
jeigt , tag, wenn x eine ganje gaf)( iß/ immer för jebes 
ganje po(iti»e k J 

log»ttx<k<r»-lV3*k-(l-xA ' 

, . r*/ 

27. €mb 

. 1+*, l.+ j, l + sjl + n,, 

laufer po|iti»e @r6(?ett; fo i# (24,): . 

l + «<e". i + j < er, 1+* <«■, J+n < «V . . . . 

SHlfo (5.) 

• (i+T){i+y)(i+*)(i4-u) ...<v+y + »+ tt +-, 

eine Dilation f bi< immer ftatt-$nUt f wenn nur bge fyt& 
buci auf ber Unten (Seite bloß pojiti« gactocen entölt. 

28. <5inb a, a', a" , . .* roiüfüi)tüä)e paftriK 
. ©rfijjen, unb a, a', a", . . .\ anbete wüWittjrlftfre 

©fö^en, »elcbe refpcaiwe gc^er a(* 

— — -» * _ 1 
ftnb ; fo folgt auet (27.), wenn man 

f«st, fogifi* .;"._.■"■ 

(1 +,..)(! + . V>(1 + *••") .... < .»•+«V + i".-+.... i 

@inö nun a, a', a", a"', .-. . . a8e Keiner af«- cum 
.' a.roi||t ©'anje, Sit mit tut* i 6ejda>nei> roojtn; (i 
ffir (6. 2-): 

.»+.'.'+«*'." + ...< i («+-,'+■" + ...), 
unsfclsli* (90: . ■ > ■ '. 



ltogfcidi* ,549 

,«•+•-•+»".* + .c. < ^(» ■»-•'+•"+...) 

ta e poßt» unb > 1 ifi. Sllfb au# immer 

<i + «<.)(i + «V)(H-a'V'j ....<«*1« + *' + -" + ■-•). 

29. 3ji x poftti»; f> fojgtaus ber Dtafnr b« Greife« 
unmittelbar, Bog immer 

«inx <« 

tff / sin ,x feflrfl mag poftri» ob« negatitt feijn. 
3fl x < -J 7i ; fc iff offenbar ati# immer 



«nx 1 > *» — x' «jus 1 , (l+i l )Mn-x> >x*; 

«i»xrr+T">x f *inx>— =ä=. 
1 n + x' 

SHfD i)l, wenn x pofitt» unb <^£ n ift, immer 

»oburtfr ber ©inus eines Sogen« jroififcen jwef ©ränjen 
eingefcbloffen wirb, bie einanber offenbar be|to nafjer 
fommen, je Hein« x I(fc 

30.. £>ie 3aM biefer §ermelti ber Ungteid^eit wütbe 
fit& Webe »ermeljren (äffen ; bie Sefc&räirf (fjeit bei $kau- 
m<s gebietetun» inbefj, nur noä> Solgenbea in ber Äurje 
ju bemerfen. (Es erhellet nam(id) an« ben pben (2. bis 7.> 
bewiefenen ©äijfn fogleid), bäf fldb mit JHuetrütfen, weldje 
bur<& bie 3«cb«t > ober < mit einanber »erbunben finb, 
ganj abrUcbe SÖemanblungen vornehmen (äffen, -wie mit 
ben gemöftnlicben alge&raiftben ©teiebungen. Sie frnnj&fis 
feben ©eometer, unb unter ihnen juerff Sonnet im 
Safere 1833/ . obgleich auch ©ergönne föwn 1811 iir 
ben Annales de Math. T. IL p. 195. itjnlicbe %t}tm< 
geäußert (jar, ijaben hierauf einen eigne» (Eatcul grgrünbef, 
ten (ie cakul des ine'galites nennen. >:£)ann tjalje«, 
CRaöier unb Saudjn biefe ^Deen toeiffc »«folftfc evfte* 
ter im Bulletin des sqiences de, TjB socie'te ppila-y 
maüqae (im'y etjjuip.,10^5. p. 6Ö.81), It^Krecü»; 



550 fcnstetdj. 

Bulletin des seiendes" mathematlques pari» Bar. da 
Fe'russac. Juillct. 1826, SSJtr geben nur ein 9>aar .leichte 
. Seifpiete, . 

31. Sine <3af)l gu fürten, teem 2>reifa<be* um 7 
»ernünberf, graßer i(l als Die um 11 »ermefjtte gefügte 

' JJa&L 3>it6 giebt bie Sebingung 3x-t7 > x + II, 
3x > x + 18, 2x > 18, x > 9, fclfo t&itf je* 
3a&(, »e(d>e > 9 i|f , bet Aufgabe ®enäge. 

. 32. Sine 3a&( van folcfcer SJefdjaffen&eit jn ftnben, 
baß bie gefügte galji gr&ßet als 15 ifl, if)r ©retfacbes, 
um 1 »erme^rt, Hemer al« bas doppelte plus 20, unb 
bafj, njenn man bie 3af)( um 1 »ermmberf , unb um 3 
»ermeljW, ber Quotient jener Xiifferenj burä) bitfe ©um 
me > i $■ ^i* 8 S' sttt folgenbe ©ebingungeji ; 

■ >1S, x<19, 5«— S>4* + t3s 

x > 15, x < 19, x> 17. 

3fi x > 17 ? fo ifl etf auo>' > 15. gffb bleiben bto^ 
bie ©ebtngungen x > 17, x < 19, fo baß atfo jebt 
$ai>\ jwifq>en 17 unb 19 ber Aufgabe ©enüge teiftef. 
SSetben aber biof ganje 3ab,ten »erlangf; fo. giebt es. nur 
«lue Suflöfung, namü'a*> x =p: 18. 

33. feine 3a|t ju flnben, berert ©reifacbe« um 3 »er* 
tntnbert niebt Heiner als 7 , unb bereu 3eb,nfaet>es weniger 
1 niebt größer als 11 pluss bem ©ccbsfacbeu ber gefugten 
$$(*£. SWfo 

3x — 2^ 7, 10k — 1 3 li + 6i[ 
fh 5 9, 10* = 12 + 6x, 4x ^ «f 



$elgti$ geflaffet bie Aufgabe nur eine Sfufftfung/ nüm- 
«4.x = 3, 

34. (Sine 0te(«ti«n »je Z > o aber Z < o f au 
mon auefo butcb eine Steigung Z — a - se o ober Z + « 
= q, inbem man nätnlitb eine tvff(rityr(iä)e @r6@e a em= 
fßb,rt , barfleffeu, wobura> bie Aufgabe immer auf ein g(= 
Wtyn\t$t9 Problem ber SWgebra- rebud« wirb. ©in* 



«ndk«&. 551 

ttirf man nun bie unietaanten ©ti$ett, fo viel ftcfc beten 
eliminiren [äffen, fo wirb man eine ober mehrere ©[eicbün- 
gen jwlfcben ben gegebenen unb ben eingeführten ©r&fjett 
o-t ßtY' • • <*M'* B / b,,wn maR nun ä u gnuigen fucfcen- 
muf, 3>ie eingeführten ©rö|jen werben immer alff poftf.iv 
angenommen. 3« 25ejug auf ba« Problem in (33.) §at 
man }. S5. bie ©leicbungen ; 

3"— 2 = 7 + o, lös— 1 = 11 +■ 61— ßi 
9+« _ 12—fl 9+« _ 13— g 

3 ' - 4 ' 3 — 4 i ; 

36 +- 4b = 36 — 3fi, 4« =; — 3(9. 

©a.a, /? pafttiv ftnb; fo wirb (euerer @(eia)ung nur 
; genügt für a == ß = q. 91[fo x = |- = 3. 

35. $te (£inr)e(f in brei $t)eile ju Reifen , welche am 
gteicb fet?n f6nnen / aber fo befdjaffen feijn follen, bag bei: 
größte l$eii bas *ptobuct Des fteinjten in bie pojttive %af)l 
1 +r nidbt über|leigf, 

' Sieg giebt, wenn man, brei . pofttfoe wtttfwjrlKbe 
@ro|jen «/ ß,y einfügt, bie ©feia>ungen: 

* + j +.» = !, 

• y = x + »i * = y + jJ, s = (r+l)x — 7. 

Stimmt man nun aus ben brei testen ©[Ettlingen x, 
y, zj fo «t)4I( man: 

x — z±£±± 

©efct man biefe SJBerflje in bie erfte ©(eicfcung; fo' fommt 
nad) einigen Otebuctibnen; 

Ur-t-3)« + (r + 3)£ + 3j- = r. 

©a nun a, /?, j- alle brei pc|ttit) ftnbj fo ergie&t füfr 
Ijteraus jtmat&ff 3y <r ; y<}r. gerner ifi 

, (2r + 3). = r— 3/ — (r + 9)jJ; 



552 • Un0jrf$e Säicnwg. 

$Jlm (am folgt!* für 7 jeben poptiuen SBerrtj fegt 11, 
»tlcfcer < -j r 'fr untl ' ebem <i n i e t tt(n 38*«$« ^on y (eben 
SBertb" »on /? jnorbnen, wct^ec <-^§-. @tn& nun 
fo Die Sffiert^e wn /9 *m> y benimmt j fe benimmt frfr « 
au« t)«r ©(< icbnng 



$>le 2B*rtb> »on x, y, z ergeben fid) bann ebenfalls 
leidjt, Ca »/ y, z oben btojj burd; a r /?/ y «Hßgebriltff. 
werben fmb. £jt wirb Eiierauß «reellen, wie man tfdjlbri 
ber 3Iufföfu»g ahnli^er Aufgaben ju »erhalten twt. SDleb^ 
' rereo f. m, in ben angeführten ©Triften. (Eine elegante 
gonjiruction brr legten Aufgabe. §at Courier im Bulle- 
tin de la socie'te' phüomatique. Jiullet, 1826. p. 99. 
gegeben, bie ai)d> im Bulletin des sciences mathe'ma* 
tiques de Fe'russac. Janvier. 1827. p, 1. roitgfe 
tfieilt i|r. SSefonbers benugr tff bei biefem »rfifel tat 
f^jorr oben (1.) erahnte SEBccf von GUmbij (Note IL 
p. 438. sqq.). .- 

Heber bie ftngbic^ctc bet SQerbjUfnifle f, m. ben 2frf. 
SDer&attnfg, 

UngTfl3>e23iewng, f. «ropeitem. 

. Ungltidbfcittfl feigen im allgemeinen oße ebenen 
geradlinigen S igUren , beren ©etten nitbt a t U unter ein: 
fmber glncbfiiro, wie j. 53. baa ung,Mcbf?ittge S>reietf 
(trtanguhun scalenum). . %ai gleich flljenflitbe 2)reietf 
i)T im iJlQgemcinen oud> eine ungleidtfeitige gigur/ ober 
ein ungleübfeitigets ©reiecf , wirb aber bur$ ben Stoma 
gleicbfdjeufd'd} von bem ©reiecf mit brei -unter einanber 
ungleichen ©eiten unftrfcbieben, wetdjeö tterjugaweife un- 
gleicbfeitlg genannt wirb. 3)aß Dtcdjtetf, Ptyombpie mtb 
?rapejiura finb tmglelcbfeifige Sßiererfe, 

Ungfcfc^fcitiae Jptjperfcl feeipt jebe SfowüA, 

beren %en ungteicb |inb, jum Segenfaß. ber gleitbfettigen, 
. »«(fbe flblfr %'« ^af: ©• J&operbel (31.;. 



Unsfeitfc ' ungleiche $$L 553 

UnglCl'^S Un$Ui<fye' Qgfyl (numerus inae- 
qualiter inaequalia) ift bei ben äftern atttljmeiifcbrrt 
0ä)vif tpütttt eine SWttwnjatjt mit jwei unglet^en Reifen, , 
6. Ij. eine 3al)l, welt&e al» burd? Sptuttiplication {mein;' 
tingleid^en gacforen in einander eutflanben gebeult werben 
fann, wie f. ,9» 24=3.8, 30 = 5.6.. ©oldje 
^ofrfen »erben eigentlict» Sen jQuabrafjafclen entgegengefefef, 
bie ßc& immer in jroei emanber gleiche betören sertegen 
(äffen, unö baljer numeü aequaliter aequales genannt 
werben. ■■•;■" ; 

Ungleid)* ungleich« ungleüf* gafyl nume- 
rus inaequatiter ihaequalis inaequaliter) ijt eine 
JEorptrjaljl mit fem. angleldjen ©eifert , b. t). ein« 3«fef, 
welcbe o ts buret) UÄultiplication breür ungteidjen gae't ore ti i» 
einanber eufjtanöen- g^badjt wirb, wie |. 33. 24=2.3.4, 
30 = 2.3.5. ©ie (Subifjaljlen feigen jutn ©rgenfqlje 
niimeri aequaliter aequales aequaliter, 

TJngula , f. £iiff6rmia,er SJbfcbni«, 

Uniform, f. ©Wurmig. 

* Unionen Reißen in bei: eombinatorife&en Shtatofi« „ 
bei ben Kombinationen unb JOariationen bie Somptejrioiwtt 
Ber erjlen .filaffe , ivelc^e nur ein Clement enthalten. 

Unmpglic^e Sfufgabe ift" eine foldje, weicbe bie 
, (Erfüllung jtdj wiberfpredjenberSebingungeR »erlangt, unö/ 
bafeer unaufl&ebar iff. Oft finb Aufgaben nur in gewiffen 
befonbew $aflen unm6glid>. ©te- Beurteilung, üb eine 
Aufgabe migliä) obet unmÖglid; ijl, ift nickt fetten mit 
©tjjroterigfeiten »erf nöpft, .Sie unmöglichen ober inia* 
giniren ©räjjen (f. tiefen 2JrtiM) triflett aber bei 6er 
analtjtififcett' (algebraifcfcen.) Ifluflofung ber Aufgaben »ot* 
treffliche ® ienjte. Sflan be&a'nbelt nämliä) jeöe vorgelegte 
Aufgabe otjne Unterfdjieb ais möglich, ö. i. als wirftid? 
auflösbar. (£ntt)ÄU nun tos Cnbrefuttat (eine imaghia* 
'■ ten ©regen, unö wirb auä) in feinem befonbtm gaäe 



554 UtmtigÜfge Sfofoofc 

imaginär, fo ifi bie Aufgabe allgemein auflösbar, b,lj.ui 
aßen Säften moglicb. (Ent&alt aber bau (Enbrefuttat tnu» 
ginäre ©r&jjen, ober wirb in gewijfett befonberit Säßen 
imaginär, fo ift bie Aufgabe entweber überhaupt, ober in 
eben biefen btfonbern Säßen umn&glicb. Dlur ift im le$ 
item Säße ju bewerfen, baß man fia> in jebem gallt ju 
verfiebttn ftat, bajj bas Snbrefulfat triebt »tedeic&t blofj in 
einer imaginären gorm erfebeine, unb, bei weiterer Ste» 
buccioit , bie imaginären ©edgen fleb gegenfeitig aufgebe»; 
wie bie« wobt juwejten ber Saß fff , we» bann bie aufgabt 
bemwa) mSgficb fenn würbe, gurrte j. SS. bie ^luflöfung 
einer Aufgabe auf eine eubifebe ©teiebung im irrebuetbten 
galt; fo erfeb/eint (Sarbane Stege!. 1.) ber- Slusörutf bei 
SBurjel nacb ber (£arbanifcben Kegel unter einer imagink 
ren gorm, bie ©teitbung bat aber brei mögliche SEBurjeln, 
unb es gitbt atfo brei »erfcbjebene mögliche 2lufl6fungen bei 
Aufgabe. , 

2Die Aufgabe : eine gegebene gerabe 2inie a fo ju tbri« 
ten, bafj bau Diecbtecf awtfcben beiben Sbeiten einem gegt» 
benen üuabrate b* gleicb fe», fm)rt fogleicb auf bie qua* 
bratifebe ©leiebung 

obne für jeljt weiter au berutf fiebrigen, ob bie Aufgabe 
tnoglia> ober unmöglich ift. Jöfet man nun bie. quabratiföjt 
©leiebung auf} fo ettjäit man 



woraus man, ba, für \ a a < b 2 , ^ a* — ~ b* nt> 
gati», V"$ a 2 — b a atfo imaginär wirb, fogieieb ftttyt, 
baf bie Aufgabe nur roogtitb ifi, wenn J- a > b ift, ober 
unm&glicbwirb, wenn£a<bi|t. X>ie aufgab*! eine 
gegebene getabe gitiie a um ein fottbeö ©filcf jtt tterfäB* 
gern, ba£ ba% Dudjtecf jwifeben ber gattjen fo »erlanget; 
ten St nie. unb beut' angefeilten ©tutfe einem gegebene« 
jQuabrateb* gleicb ifi, fübrt fogleicb auf bie Cjuabratifcb* 
©teicbmig 

x(a + x) = b», x 1 + ax = b'j 



Unra6gß<&€ Wbt&fc. 555 

».orauiJ fbgteitb txfytHtt, bafj bie 91ufa,abe in allen ^Metr 
moglicfc iß. S)ie beppetten $Jeio>R beilegen fid? bei biefen 
beiben Aufgaben barauf / bag inan bas beßimmfe ©tiicf 
x fowofjl an bem einen als bem anbern (Enbpunfte btr ge= 
gebenen $ntea wi berfelbeoabfc()neiöett, unb an fie an* 
fefcen fann. 

<Ein £>reierf au« brei gegebenen ©etfen ju betreiben, 
Wenn jrett ©etfen rti^t große* als bie brf tte finb} einen 
.Ärei« ju betreiben , weiter brei unter einanber parallele 
Sinien juglefcb, beruf)«, u. f. f., finb ebenfalls einfache 
©eifpiete unmöglicber $ufgab*n aus ber ©eometrie, 

Unm^TfcJje afußbröcfe für bie gonieme* 

trifä>m Linien, f. Unmögliche @röfitn (9.)/ "«& 
$>ifferentialformeln (47, ff.)i - 

Unmögliche, eingcfcilbete ober fmagfncVe 

©VDpcn nennt man alle folt&e Sluebtilcfc, für. welche (tcb; 
feine wirflidbe ©röfje als 9Bertlj angeben lafjt, wie j. $, 
Are sin jc, Are cos x fflr x > 1, 2>ie 3Bertt)e folget 
©r5(jen, trenn fte ben Regeln be« SHgoritfjmus «nter» 
werfen werben/ erijtfren atfo bloß fonibelif* , »nb finb 
nur eingebilbet ober imaginär. »Deffenungeacbtet finb aber 
fo($e ©röfjen in ber SÖlottjemariF »en großem Otutjen, 
unb werben oft abftcbtlicb juc ^IbPiirjung in Dtectmungen 
eingeführt/ wo fie fla) aber im 2aufe ber 0(e<b>Rifng wieber 
aufgeben i unb t>ai £Refultat reell ober möglicb bleibt, 
Uebrigens aber- rennet man in ber 3Katf>emattf mit im*? 
ginaren ©r60cn, wie mit rcjrf lieben. 3ebe Aufgabe/ 
einer anatntifa>n S3eb>nblung unterworfen/ wirb alsj 
möglich b. i. als aufl&ebar, betrautet/ unb unter biefer 
Slnnat)me befjanbetf. Sntljalt aber bas (£nbrefu(tat mia» 
ginare ©r&fjen , weldje auf feine SHJetfe aus bemfelben 
eliminirt würben fonnen ; fo §at man tjicrin ein Äriterium, 
baß bie Aufgabe felbft unm&glicb; ift , b. f). bie Grfilflimg 
fitb wiberfprecfcenber SBebingungett »erlangt. 3ebiw& f ) uf « 
man fieb, ni$t ju uereilig auf biefe $frf ju fcbjiefien, 
weil jiweilen burefc ftbjcffic^e Sßerwanbtungtn unb £Ke* 



_ 556 Unm^lt^e ©riffcn. 

traetiona fei* imaginären &rt$m bod) weggefefraff t »erben 
f&nnen, intern fte ficfj gegenfei tig aufgeben toffen, »oju u. 
& ber &rt. Carba*« flieget ein SUeifpW barbietet. 

1. £He %tt[)me(if filfjtt fcfeon in ben (Elementen auf 
' unm&glic&e ©röfen, benn jebe aöwjei mit gerabem (Erpc* 

nenten aus einet negativen ©rijje, »ie j. 8, t — •/ ift 
offenbar imaginär, ba (ie »eber == + x, notfr = — x> 
no$ = ofetjnfann, inbem(+ x) a * = ((+ x)»)" = 
K i»^ o* B s= ö, alfo nie 55= — a Ift. SHc Sljeorie öiefet 
imaginären SEBurieigrofjeu, wenn fte ganj ben gewifmtic{jM 
Ötegetn beß ^fgoritlmiuei unterworfen werben foQen, beruht 
auf jroei *prinrtpien. " 9la<J> beut Segriffe ber SBuryi 
muß immer. ' 

gefefjt »erben. Serner i)i jebe SEBurjelauSjieijuns eint 
Verlegung in gfeic&e gacttren, unb bie Orbming ber 3acfo= 
ren ifr nie von (EinflutJ auf bie ©röfc bee <probucte ; alfo 
wirb man 

' ß) aucfc wenn imaginäre ©röfjen vorfommen, an« 
einem ^roburt bie 3Bur jeln erhalten, wenn mau bat 3Bur. 
jeljefc&en mit bemfetbcn (Erponenfen jebem einzelnen §atttt 
»orfeljf. . • 

% (Euter ^at bie imaginären 3Burjefgr6£en auf eine 
fetjr fintirdt^e 2lrt mit ber ©ottiomerrk In Sßerbinbung 
gefegt. 3>aju i|l folgenber ©aft. nitljig. SKan er^lt 
namlict> bfofj mit £u(fe »ort (1. « ■) unb fe$r befannten $t» 
niemetrlfe&en Sormeln, wenn f — 1 immer burc&i&i= 
jeie&net wirb, (ei#t: - 

(COJ? + iliUfl>)(C0»<jp'+ ititlfl)') .... 
= coi( V + V '+ ..) + i*ia(<p + tf + . . .) 

& StfgHcIj für y = <p' = y" = . . ., wenn bu 
Ölujaijl ber gactoren == n g#feljf wirb , - 

a) fftrjebe«ganj«.»e|iti»en: 

#> Seme* h* aa^.(3; V, ; .... , 



' UntueglKfc ©tffrft. 557 • 

= cos ( Dp — 119 ) + i sin (il<p — n^} = 1 j 
(cojny +■ iiiany)-' = ebt(— fty ) + fiin(— ny) 

b. f. tiöct> « ) : , > ■*• 

(coif + inny)-" ==» co«(— 09 ) +■ i«in( — 1151), ' 

für j«ti« ganje — n.' 
1 7) S^'ife na4> «) für'jrt«« gan$e pofttftie m': " 

(co. — 9» + I «111 — ?)» = co«? + itiii p, 

unb na# (« , ß) für jefrcs ganje pe0t i»f ob« «egafiwrn ; ; , ' 

(coj — qp+iiin — p)» = (cötiji + iainv)'. 

So(gU(fr fiir jeben pöft.tiwn ober negativen Srucb. £;\ 

.(coj# +■ ia»o>)» =; cot — <p -Fisin -~ip . 

2JoIgli(& für jebes n , wenn man jugtetclj — yfuryjeljf; 

, ( BOi p ft; i *in f )« = co« ny + 1 (in nq> . 

@. über tiefe nadj SB o i » r e Benannten ©leittmhgen äu# 

^t'u..@. 55*. ■. . '. # ...;.... 

, 4. ©a nun co« w = — 1, sin?r^off!; foift . 

. ■ ■' ■ K. , Sn* y 

TOtt (i. ß. > ^^s = r«.(--.i) = r a . -mir 
aifo ... / -1 

6. i. t"^a sfcs A + K>- auf »efefcf S*"" «ffr jebe ima* 
ginäre Söurjelgcßge immer ^ebradbt werben farrtt. 

5..-91&-:Sle(6imng<it mit imagin5rm SBarjelgr&fjett 
werben anf.fei(&te|ten unb tieften, aasgcf-ülj«/ -wenn man 
ffe ^«»or auf oßige gorm bringt, nnb bann; baüt£\idj& 
genb, baß.imroef i 2 = -•—" t (1. '«•■)/ *w# ten ge* 
■w6indtfon Btyge tn ;ber_attg«me«Kn 3lrit&m«if «rfttrt 
3. ©. ^"^"«..r^b-spirii.i^haa.i'KS 



538 ; Urattiält^e ©rffm. v 

— — Y"S, unb eben fo in äfmllifcn Säuen. 3Iu4) ifi 
immer -J = £ r= -^ = — ai , »oDon »it naa)r}er 

juittifen ©ekoucb macbrn werten. 

5*i Bit nähere SSetracJtung ber irnaglnären 8»"" 
A + Bi, ober os + /?i tft für baö golgenbe fefjr wic&rig. 
Unter berfelben finb auä) alle reelle @ro(3en enthalten, »am 
irmnB, ober/5, = o fel;c. 

©cß ß + /9i =t= et' »f ß'i fentt; fo mujj o = o', 
/? s /? fe&n , weif fonfl 

■ ' = - ?=7 
ein reeller Slusbrmf für (ine imaginäre @ri|c Ware, wel> 
cbeö ungereimt ift. ©agegen gibt a = er'", /9 =^ jf 
augenblirflicb i= ■£-, welcbeö r-efanntlid) jebe ©rofje be. 
beuten fann. 

3»ei Imaginäre ^(usbrWe wie a + ßi, a — jS 
Reißen einanber conjungirt. £>a 

(•+*!) + (.-0) = 2., 
(■ + « — l"-/M)=2AI, 

' -,; (•+;>■)(»— ^») =-•'+<•', , 

■ 4- ßi e' — ß* 2a ^i 

• — # ■•»+*■ + i'+fi 1 

ifi; fo crtjeller, baß ©ümme nnb ^robuct jmeier imagii 
naren conjungirten Ausbruch reell, S)i{ferenj unb 0uft> 
tient bagegen imaginär finb. 
& Ifi 

{• + tit(.- + lfi) = a.--/f + (.? + „•«!, 
(•— ,«)(.•— £1) = *J-ff - (■l'+oV}!. 
(.+^i)(«' + /«)(. -^i) ("'-/«) 
.=<"+/»><— /KU-' + fOC''-«- . 

x={:--fif)' + (.f + .-/)' 

=.(.' + ?')(." + ,>■•); ', 

»trau« alfo erhellet, bafbÄ9)robnct(e<»+/S' ! )fa' s +/y<> 
»nb, naej einer leisten ©cbiujjart, autfc überhaupt bat 
^robuct .... 

(«•+/'■)(«'>+/!■»)(."' -nr 1 }- •;■ '■■ 
immer blt ©umme jweler üuabrare ift. Sin ungemeiner 
©af) mirtJm .3«. 3 at)l (£. 3.) torfornroen. 



' , 4tftm$gli$e Sktfaxu 559 

6. 3)ie imaginäre $em a + /3i faim immer auf bit 
5otm " 

gcbradjt werben. p Ejci^t bec Üfl o b « ( u « , unb cos </> + 
isiny bet rebucttte 2U«brud. tSßati erhält nam» 
Ucf> 'teiebt au« 

■ o + jK r? f( oo« ip + i sin ml: ' 
n = QCanip, ß E p sin p; 
o*+jJ» = f 'Ccoijp J + iin v ') = f*S l 



j-= ««**■£*, C0ift = 



' • s=i Ära oa* _'■■■■■ ' ö Are sin ■■ ■ ■ ' < 

woraus ftdE> tp tntmtr befttmmen Wjjf, btt ^a % +ß 2 > «, 
> ß. gut /? = o ift a + /3i reeff, unb mau tttfitt 
$ ±na h ip ■— o, obu au$»? = — a, ty>=sn.< 

7. <£« ift 

(b+jJI) + {.' + /«)+ (^ + jTi) + .. . 

= (-+«'+•"+-.-) + W + f + r + ...)i 
= („_.'^ " — ) + (p-ß--ß»-., t )i . 

= efo**9. + jliny). ? 'C co ») , ' + i< il »»') •' • 

= fe'...(co»p + iiinji) ( co* / 4- i *in j>' ) ... 
= w '. .,(««<* +.*>...) + iiin(<p + v' + ...)t(20 
' «■ + 11 _, f(oo»g + i»iny) 

PCS 4-(coiai-t-i*lnai)(coi9'-i-itra9')— ' 

f . . 

= £-(cMf» + i*JniO (•»•(— r') + i*i4C— •/)) (3.) 

$otgti<& Pinnen aße (Summen, ©iffertttjen', ^robucre 
unb Quotienten bec imaginären Sorm« +./?i auf biefelbe 
SormA + Bigebroctjt werten. 5ffiincoHentteil&ngengun= 
ctionen wn a + /?i in tiefer Sejtef)img aueb unterfuhren. 

8. (Es ift 

(« + /M)- = f(cOi, +-!«■■»)» (6.) 
== e"(co«ny + i«any) = A + Bl (3.), 

wn beefetben gorm. ..... 

[i ,.,-;■■;■, Google 



560 llnmfolidj« ©rSjjou 

9. (Enfttirfrft man «*** mittet)! btr (ErpemVnttalmk 
(SogaritijmiiS. 31..) in eine Steige; fo ergiebf (i6roir= 
tttp fier c»?tomefrif<#tti Steigen fÄr sin imb cos (€$f I* 
mettit. 5. 6.) (fi$t: 

tvorau« am$ teta>t burd? 'Jlßöitiön unb ©itBfracfioti Sw 
fceiPen burd? ba» doppelte ^eic^en angebeuftfen 3fu«brü<f< 
tit f<^on -£fj. I. ©.876. bewieffmn imaginären Stoebrücft 
ber crtgftnomerrififcen Linien folgen : 



R 2^_t 1+ .V 

S?a« imaginäre : l)e6f .f!4> bjer 6ei btr tEirtwicfetuna, auf. 

Obige Sormel giebf ober äudj : , 

9Kfo : - 

* lög(.+T»i.) = io K | e (cM»+ii(B#)|<6.) 

BS loglj 4- Jog{COIy +• ilWl p) 

= logp + M?i 

5= log Tb* 4- a? 4- Mi Are ooi ■ ■ » * 

r«> + jt* 

et log 1V'+>i ^. Mi Am ri« — Jt-— , 
'"' + ß 1 „ 

»0 M ben SDtob'iifos befl togaritijmtfdjen ©rjpemß b>jtla> 
««♦ 2ttfoaw& ■ 

Iogt« + ^i) = A + Bi. , 

felje man 

-a e (" + bi > Qoga e + 911 ) ( g j 
_ e alogUf— bj>_ B (Bff + blogn f )i' 
, = - e '« It, g , 'f— b » , .(eo«(«9.+l»lognri+iMhCa<p+bl<^Bf>tt9-) 

^ A 4- Bi . . . 

' 11. «in(e + /lil)=iiin«coi(£i) 4- oo« a*tn(^i>f 



Uimröälidjc ©rifjnt. . 

«*(#> = — "^ r, <io(«i> = ~- (9.)) 



12. ®/«ij eSenfo erlahm«» 

13. «in »eri (« 4- Ai) = 1 _ cm (o + Ji) 

= 1 - (A' + B-i) (12) = A + Bi. 
qumrata + Ai) r= l — iinf« + Ai) 

= 1 — (A' + B'i) (11.) = A + Bi. 

14. anj(. + » = i511±|! 



«(. + /«) 



eo.(. + Ai) 
■"»(•+ Ai) 



15. -.<. + *> = ^^ IT 

= (A' + B-i^i (12.)j= A + Bi ('».) 
«-.(. + »)<= toj+fr ' 

= (A* + B'i)—' (11.) = A- + Bi (8.). . 

16. ©ei nun ferner Arccos (a + ßi) gege&en. £• 
V (9-) 

e* 11 '= Co*tp + itia<p. 

gotgtt^/ fär y = Arccosx; . 

i|Areco>Ti = logn (i+ ir rr^tj t 
iAroooi(« + i3i) = Iogn(o + j!i + i 1 1 — a ' + ß* — 2aßi) 
= logd (« + ßi + i(« + W))(8.) 
= log» (a — b + Ca + ß)ij «'«' 4- b'i (ff.) 
Ate «w ( « + 0i ) = b' — «'i = A + Bi . 

17. 3« bem befonbeen Solle, m ß == o'ift, §at 
man: 

lAfecbt* = lop.(* + iTl — •*) 

woraus )t$ für a = ± 1 «giebt ; 

V - «» Google 



5M UnmSfjIi(f>e ©cäfeti. 

l„g( + .) = log«±2kMni, 
log(-a)=log«±,C2k + I)M»l, 

»oranS olfo jujtfi* fotg(, bog l'eber JogarMjmm) mttltb. 
HS »iele SSJttl^t ()at, welc&e für log (— a) ade, für 
log( + a)oHe, augereinem, tt>o namliel) k = o, inw* 
ginar, immer »Ott ber Sorrn A + Bi, (inb. 

3(i .«! > 1; fo 1|1 1^1 —»» = i^» ' — 1 
eine imaginäre ®rö£<. Sllfo > *' 1 — "* =— ^» s — ' 
eint ree lle ®rt ge. 3(i nun (uer(i et B»|itit>; fo i(i 
o — f~a* — 1 offeniar pofiti» , um) 

AkWi = — ilogn (* — f ~B= — 1 )' 

s neun (. + r."»=7) 

= i|log0<« ■+■ TV — 1) + 2ki.i| 
- ci + 2kit + ilogn (o + r"o 5 — 1). 

3(1 b ogegen « negaf«; fo fmb a — fa 2 — 1 «»& 
et + 7~ö 2 — 1 negatroe ©eigen, unb man erhalt vd) 
bem Obigen : 

AMooi« = ilogn(* + W — 1) 

==i|logn(_ > — r«> — O ±(2k + 1)"1! 
.. * ± + (2k + 1)™+ ilogn (— > — r.,* — 1), 

wo nun — et — T"ct 2 — 1 pofirit», unbfolglid) Arccosi 
.für o > 1 immer eine imaginäre ©roß« wn ber S»™ 
A + Bi i(l. 

18. 35a immer 

Arctinx = ^n — Areoot x; 

fo ifi «11* ' 

Arcsin(a + Ai) = $n — ArccOi(o + ßi) 
, =$» — A'.~B'i (16.)'= A + K- 

gur /? == o , wenn et > 1 , errette man- eben fo , »emt a 
»o|iti»i|t: , 

Are sin o = £r + 2bt — i logn ( a + Ya* 1) 

(1 +4k)« ., , , Tr-t — Ti 

unb , wenn a negati» ift : 

..'|::.-:: 5 COO^lE 



Uhmogli^e ©rffkfc 563 

Arerinm = Jn + (2k + t)n - 1 - ilcg»( — • ->- I - «*— i') 

ES — lh)gH( — a — »«>_]); 

WfWjett afp) aitdj immer imaginär . utib »on ber gorm 
A + Biif?. 

19. Sau e(> 9 in fein«« freffliebm Cöufrs d'An.«* 
lyse de l'e'cple polyt. T. I. Paris. 1821. 
p. 323. tntwiätU Arccos(« + ßi) auf folgende Slrfc 

en 

Ar*to«(o j-ßi) = x +■ yi, 
cM(x + yi) = a + / fl, 
CO«* co*(yi) — »ins «in{yi) =s « + /fij 

i — -li — — co** -<- - — — ■*» sin* . J = « + £if 

jf+e^y' '■ «y_-.-7 ', 

4* _ j: _L_ ,r-J _, _JL*. 4. JL* i 

CO! * »ins' eöl I Uli I 

«•X« ~i - ctSlt * -» Hnl^' 

«in k 4 — ( 1 — b* — £' > «in *' — ß 1 = ö ^ 

M *l±4i£-^|(l±^t£)P_v|. 
im* wenn reit Mefen 5£B«f| =1= A feljtn s 

Arcco*{« + «i) = A + Bi. 

ttetet tiefen ^titebrnct i(i ober Jotsenbis ju IjeiMrfefi, 
'Säe ß^o wirb A = Arcc08a, B.= o, alfo 
i ' ■ Arccot* = Aroco«». 

J3(l ß n!*t i= oj fo fo(9l «u» 6« §«rti te« So». 
[bruetee filr cos A Iticjit, tag tetfette < 1 , A alf« (ine 
f ' 9tn 2 Goö* 



564 Unmiält^c ©rißm. 

mSÄ Stoge 1(1. S»< /5 = o »ir6 ober Arccos« 
turcb obigen aueOrutf m*t auf bic gorm A + Bi gt. 
bracbt, foniernnMnerbältilog Wc ottge ibcntif*e Sto 
drang,' reo aber Arccos a fit a > i fetbfl imaginär \% 
3üi* B mufi Im »gemeinen eine reelle @to|>e feqn, ir* 
4M im* in ber tfy* &« S«« ifi- ®<n" - V "«* t,m 
Obigen „ , 

' coiA« — »i 1 =li 

_. t_ . 

mir »on bmt cr|ttn SUtb« obr,angt, ® mit "<"* ** 
Slijfereni immer pofitie, ü)t nonlrlieber Sojarirfiiniiii, U 
B, otfo immer ntSgli* feg, nelmie mon 8m obigen 8n* 
oruef für cosA, reeld)e« wegen ber Quabtatreuttel i« 
Dlenner »erftattet iff, pefiti» ober ntgari», jenadjbe» « 
»ofiii» ober neaari» i|!. Sann giebe obiger aiuisbriiif (* 
Arccos(tt + jSi) immer einen ausbruef »on ber gm 
A + Bi, reenn ß niäit = o i|t. Arcsin(a + /9i) p 
(ianet eine ganj al)nlid)e Sef)anb(ung. 

20. Serner i(J Aresin v (« +/3i) = Ans cos (1— «— ffl 
= Arccos(o+(5'i)=A + Bi(16.); Arccosv(n+/S) 
SS Are sin ( 1 — k — (?i) = Are sin ( a' + /Ji) = 
A+Bi(18.) 

.- . __fjl_fi___. 
= A ' e,m ry+7f = '""^/i (8 ° 

= Ar«.ta(."' + l>"'0 (7.) =A- + BI (18.) 
*lC0Ot(» + /H)=4»-*"'«B<" + / ii ) = *» — A '-"' i=it,i ' 

22. irC~c(i + /») = *'"°' L VT?r 

= i»ooo.(« + ^r' = ircec(.' + /ri) (»■) = * + ■(« 
Axc cof ec C « + *' ) = i" — *•? s * c ( * + # J 

c= 4« — A' — B'i = A + Bi. 



, 'ltom$glic$e ®räjjAr. . 565 

23. £ftä.ej> bem SMsIjerigen fann otfo j'ebe efafadbe 
Function ber @rö|je a + /?i auf biefeibe 3 orm gefcradjt' 
werben, ©a nun unter a + ßi aucb äße reelle ©rößen 
enthalten fmb, wenn /?= o gefeljt wirb; fofantf audj' 
jebc emfatibe punctum einer reellen ©i'öße auf bie §orm 
A + Bi gebraut werben , wo B norbwenbig berfifcwmberi 
mujj, wenn bk in Dteb« (leijenbe Sunciion. reell i|r, aber 
nidjr = o femi wirb, wenn biefe gunction imaginär i|f, 
wie j. 93. oben bei Are cos« unb Arcsinc, jenadjbem « 
3»ff#en — 1 unb + 1 eiitljatfen, ober riicf|icbtif# feines 
abfotuten 2ßmijes > 1 ifr. tOfait ftetjf alfo herauf, baß 
fidj j'cbcr auf bie in ber.2lna(nfis üorfommenben^unciwnett 
bejieijenbe imaginäre 2lu«brutf auf bie gorm A + Bi brin= 
genügt, ba nacb bem Obigen offenbar aud? aHe S0erbht= 
bungen ber einfachen Functionen tton a + ßi auf biefe 
gorm gebracht werben fann.' Dbitjes i(t freiEfdj nur ein 
©eroeie burdj ^nbuetfon. 2öer einen allgemeinen S5ewei8 
für ben @a§, ba|j jcbe imaginäre ©rö|je auf bie §orm 
A + Bi gebraut werben fann, fuhren icoOfe, müfjte 
benfefljen, wie es uns febeinf, aus ber gfeitb; ju anfange 
biefes 21rtife(s gegebenen ßyrftörung imaginärer ©rc-fjen 
bureb gan.j aflgemeine ©cbUlffe abjuteiren fueben. 9)feb= 
rere SRaf&eman'f er traben fjcb mit biefemSJeweifebefcbäffigr, 
aber<fein Sßerfucb ftbeint mir, in 33ejug auf bie fo eben 
ausgefprodjene gorberuug an einen föfdjen beweis , »Öflig 
gelungen. X»ie obige ^nbuetion, »orjugtieb, in Sßerbinbung . 
mit iSreisgrofjen/ gebiet bem 9Be|entlidjen nacb (Eutet 
(Mein, de Berlin. 1749.). 2lu|jerbem ftnb befonbers 
noeb ju erwähnen : S5*3U«mbe-'rt (Mem. deBerlin. 
1746. Opuscüles math^m. T. V,),3uß (Acta 
Petrop. 1781. P. -2.), Santerjani (Mem. della 
Soc.Ital. T. II. P. 2,)/ Sont'f'F (Mise. Soc, 
Taurin. T. I.), Montana (Mem. della Spc. 
Ital.T.VIIL), eoffatiunbSKiccatibaf. T.IX.T.IV: 
,9>laufair(Philos. Transact. 177S.). (a+/3i) a+bi 
auf bieSormÄ+Biju bringen jeigt autb'3V2IUmbert 
fdboninbenReflexions surla cause des vents, 
p. 182., nütterfi ter SXffeKntialrecbtwitg. 2Iucb f. m. 



566 Utmtfgltcfc ©raff«, 

Lagrange Ke'solijtipn des equations nn- 
meriques. An. VI. p. 182. . Sefonberg f. in. au<b 
£au<|>i; a. a. £>., «iiö ■■'Xbjbaut ©runbcifj ber 
altgem. «rit&m. ©5tt. 1813. 2K. ». btn 2ut. 
Xogarit^mu* (160.). 

24. SRetjwe ber «Ben bef rasteten Functionen «m 
a'+ ßi fjaben meljr als einen SßJertlj , ju beten Unter« 
fiutmng wir jtljt nberge^en wollen, inbim wir junatbft 

betrauten, wo m jebe pofitree ober negative 3af)l bebttif«, 
eben be«t)alb aber n immer alß pofiri» angenommen vtt> 
benfann. SDJan bringe nun a + ßi nacb (6.) attftit 
gorm 

.((co* v + itiny), 

bejeiebne frgtnb einen 2Bert!j> »on (a + ßi)* buro> x, wt 
f'ß« 

i = r<-coiy + iiiny-Ji 

fo b^t man bie @(e tcfcuitg : 

j e(coi V + iiinqp)]"» = r(co»y + liiny), 
(*'(coi() + iiinip J» = r°Cco«v + i»iny)f, 
tP(cotmg> -f isium/p) =T"cofny< + irinny, 

P™ cotmip — r u cQsny>, t^immtp = i»sinii^. 

Quabrirt man nun auf beiben ©eiten, unb abbi«; fo «• 
t>ä(tman(ei$t: 

unb folglich auej» 

cainqi = cojny , (in mi/f — Jwnyi . 

Sllfb ny =3= my + 2b», y =?= ^^ för jcbee gw 

" pofltfoe k. S3ej'etc&nen mir nun nacb einer von ^auef)? 
porgefebtagenen Sejetc&mina, , welcbc allgemeinere ^ufitufe» 

mewrbientt, ben Inbegriff aller 3Qern)e von (a+ßif 

bur<6 (C« + fiYf, einen betrimmten Sghrn) bag«am 

feur<& (« + /^i?! unb auf abnUtfce ^rt in a$n(t$en gMfflj 
fpift 



Umnj$n<$e (Srjfjte». 567 

= ^«,'ä + «»=») (...$= ±i. in ^) . 

ober aua), wenn wir 

fcften: 

für jebe* gatije poflttoe k. 

35. @et nun einmal 2k > n, = n :+ <J = 
n + on + <f=(ß+ l)n + tT, twxJ^n. 3)1 
b + 1 gerabt; fo muß aud? <?' gecabe feijn, unb man 
fonn faeit 2k = 2k'n + 2k", wo 2k" < n. 3ft abec 
« + 1 ungerabe ; fo fe» a + 1 = 2k' — 1 , 2k = 
(2k' — l)n +(T=2k'n — (n— <T), alfo n — ff 
eine gcrabe 3al>( = 2k",' unb natürlicö auä} < n. 2Hfo 
fr>at man 2k. = 2kn + 2k", tvo 2k" ,< n. - gotgi 
ti$au<b 



2k« 2k t .2k* .. 2k'V 
coj = CO* , un == ± «in j 

2k» . 21b 2k"»,. . 2k"w' 

901 — + i nn — ss co* -r— + * «n — — , 

unter ber Sßörausfetjung, Infi bic obern unb unfern 3«* 
djnt ftcb auf einanber bejieljen , wenn 2k es 2k'n ■+• 2k", 
baß pa> aber bie obecn auf bic untern bejiefcen, wenn 
2k = 2k'n — 2k" ifr. 9ISgemein abec ergiebf fja> bwr*' 
autf, baß für 2k > n ober k > -£ n bie tEBert&e von 

(Ca + /Si)5°- wieberfe^cen. 2Wf& brauet man nur ju 
fe$en: . . 

(0 baß 2k J n , k = £ n. 



568 Unra5gli<$e ©rifStti. 

' 3|in dnt getabe gat)! =2r; fo itf b« grofteSajert) 

Von k ^ i-. $ür k = o «nb k ~ j- r ebueir ett (Td) pie 
bue et) + ongebeuteren »iet Söereb, e auf Sie jtref Sßertfie * 
unb -— *, fo Sog alfo ble «njat)l aller. SBet-tbe = 
2(v — 1) + 2==2»'=ni|t, wie oß nadj bor ^(jcotie btt 
©ieicbuna.cn aneb fey n jmitj. 31* n ungerabe =^ 2k + h 
fo 1(1 bot tiiäjftt SBertt) «tu 2k = 2c, k = f. Sie lt(. 
«en beiben 5!Bertt}e |mb: 

• ^/ 2m . , . Im \ 

für k =i o tebuclren |ic& ob» »lebet btibt SBertfje auf 
btn einen äSertf) ■/>. Sie Slnjafjl atec SBtnfje i|i o(|i 
= 1v + 1 =5= n, wie rt femt muß. 

26. SBenn/S = o, a + /Si alfo = a, eine rolle 
Srtje Ifl; fo finb jtoti gaue ju uneetfebeiben, jenacjibeiii 
a pofitjp ob ec negatitt ip> fnbem man nämtict) in (6.) 
V a'~+ß* Irmror pofilio nimmt. 3(1 »lf» ■ V°P>\ 
fo t)at nun e> =^= a , cosa)=l, »inyrso, y=30, 

W? = l,sinS! = 0( * — («)?: g [ 3 (j(j, 

wo a" eine reelle ®r8|je Ijt, unb k < i n genommen mW. 
Solgtict) aud) unter berfeiben 23efcingung; 

3(1 abet e« negoti»; fo erraff man, f«" + /?» imrtut 
pofttfo ner)menb, e> ^ — a, cosejo = — 1, siny=o, 
' <jD = TT. golglieb 

f.= (-.)» •^=o'— +t«»-j -) . 

aifofiirm— 1: 

, l — /* « . . n \ f 2knr . . . 2k» "\ 
( — «)■■( coi— . + idn~- 1 1 coi — + i UU _^ 

, *V (2i±.l)n i- • (2k + n«\ 



Unmfigtid^c ©rfßtn. 569 

tio# (ü.)i banian 

. 2k» . . . 2kll ±2kn , . . + 2k« 

fejen rann. Sie obern uns utKern Stilen bejtcE)en fiä> 
auf tinanber. 3iacb bem Obigen i(i k < ^ n , 2k;gnjii 

neunten, atfo^Kmonfotä(itttaBm^iiran(c«)j": 

wo 2h g ti. 0iad> (25.) fmb Uc folgenben SBert^e Bloß 
reieberfetjrenb. Ext crße SBertr) i|t mit beizufügen , ba 
im Obigen aueb 21s = o gefegt rotrbtn famf. Es i|J obre 

fo baß alfo ber erfie SSJect^ audb »iebetfe^rt. 3fl n eine 
ungerabe, atfp n + 1 eine gerate 3a&(; fo i(i 2k + l =n 

3U fegen, unb ber legte SBertfc. t»icb==— (— a)~, bfe 
StojaW ölet SSertfye offenbar = 2k.+ 1 =n, wie ee 
fefm muß. 3ft aber n gerabe* aifo n ■+ 1 ungerabe, fo 
muß man nacb bem Obigen 2k + 1 = n + 1 fegen, 
■ Bonn »irb ber legte SBertb = 

, ,- , (2k — ))« . . (2k — l)«v 

,,,■-. .Gaoglc 



570 Umttfjtltcjie ©tiftn. 

- treibe«: olfo fcfjon unter Den erffettn entfjaden. Sllfefat 
nun nur 2k + 1 = n — 1 ju fe$en. S)| c änrtl «J« 
SEBett^e ifi in bieftm SaO« = a (k + I)=2k+l+l = n, 
nie es fenn nuni 

$üc ein negative« a ffialfo: 

((»))' = ( — »i»./cM i X ± f itt ^ J, 

ffc2k + l5n, 2k Jn — 1, k = J(n— 1), ttieml 
bem Sis^erljen leief« folgt, aifo (30 : 

(MF= (— f .(.,.' 2k + i ''-" j, IjfagÜLiUg) , 

gotglicfr aueb 

fär5i(n-l). 

ÜB. ». EotefifSst !e$rfaj unbianmenbunj 
6er ©eomttrie auf bie Algebra. VI. VII. 

27. Staä) (9.) ift, trenn Sie natiirlia)fli Sagarit^ 
inen bloß bura) 1 bejeubnet werben; 

l(C» + jli)> = 

»o T^a* + y5 3 immer pofttt» genommen wirb/ fo bajj t>« 
3efofren t>es Sofrotis und ©inu« von aunt> ß abgingen. 
51«* i(l 

tan« Are CO» _ ■■ ■ ■- = — , 

©inb nun bie beflimmtm SEBertlje ber Sogen (»eft&e 
otfo na$ Saud^'s 23ejeic&ming m'cbt mit Doppelten ^ 
rent^efen behaftet flnb) immer bem abfofaftn SBertlj naefc 
bie möj}[id)fi fitmften; fo tp, ba für ein po|Tci»es et bre 
Soffen* pofitiü ijt, unb bie Sanjente -^-einerlei 3<i4w »*it 
bem ©inus §af , wenn a pofttio t)t : 

Are cm ■ - j ■ . = Are UW£ — ■ 



Unraiäli^t ©rjjjtn, 57 1 

3ff aber « , fo(sUc& aucp ber £ojin«6" negativ; fp 
fair bir iangentt £ bas entgegengeferjtc geicben bis 
©inus, unb es l(i folgli* 



«mihi, »ie gefagt, r)ier immer biernoglicpfifleinfien SBertr)) 
ber Sogen genommen »erben. 2(öer 

Arccoif f" „. ". ) I = A™ *™ . n ± 2K« i 

älfo, ive>inetpo(iti»ifii 

>(l« + l>i!)r= 
(1(«> + /■ ) + i Are Ung A + 2km ! 

unb, nenn ■> negativ Ifi: 

»ber, b< forvor)! 2k -t-|], at« au* 2k— 1 frgtnbtine 
»ngerabe 3<ujt bejeicpnet : 

i<i. + /•»»> 

. §flr ß = o (lifo, wenn a pofiti»; 

!((«)) = lo + 2bti. 

3(1 «, negativ; fp Ifi boa) a? pofitiv, s= (— o)». 



AU>B,AI(-«)-=l(-.)l 

wo nun — oppfitl». ' Sllfo 

l((.»=;I(-«)+.(a + l)m , 

3eber Logarithmus fyat aifo uncnblicr) biete 5Bertr}e, 
bie für imaginäre unb negative ©toßen alle, für pofitibe 
@r6pcn bagegen aSe bis auf einen, welchen man erhält,. 
wenn man 2k = o feljt, nnntöglid) finb. Ptacp (17.) 
fann man biefe gormein aucp fo barfieSen, SBenii « 
pofitiv; 

K(. + fi»=f 

,!(•' + fl *■ iArowg-ä- + !((+)«, l(Wl=k + l((+l))i 



572 UnraJälic&e ©tfffat. 

Wtnnnntäiti»; 

l«. +#]) = 

untere 2egarirt)rnen als natürliche erl^lt man, wenn 
man mit fcem ÜRobul mnttipticfrf. 

28. gäc o = o unb /S =. i, etrjaft «Kr», bo 

Arctang£ = f JI i|U " 

.rotbfurk.='o j. S3. 

(inenaa>5)loniuc(a(m.p.285.)»cn3ot).S3trnoit(li 
gefunbene gormel. 

29. aus unfern allgemein«! Sluabrucfen (27.) laf. 
fen fid) aueb einige bom ©rafen Jiiles Charles de 
Fagnano nnb feinem ©ofyne Jean Franijois de 
Fagnano im Journal de litterature helv Cli- 
que (Montuclaa. a.O.j gegebene imaginäre 3luS' 
ferücfe für n ableiten/ wobei wir immer k = o fegen 
»ollen. S* « = 1 unb/9 = — 1, unb o = l, 

/S=l i|f Arctang-J= — $JI, unb = -Hin. atfo 
l(l^i) = *l2-*»i, 1(1+1) = +12 +,i"ii 

.'(t+t) = - *" ' "Cifb = 'Ciff)' = *• ■ 
gold.licb, wenn man im 3<Sf)(er unb SRenner mit 
i — i multipticirt. 

■ 30. Sie gormel in s= f <28.) giebt leiebf I , 



»„=1 




aif) 




r = ' + 375+ ä + i3i + ■ ■ • 








' II: l.zensyGOOgl 



llnmiäli^e ©rrjjjm. 573 

JJieraue) finbef nun: ' ' ■■•' 

,S = 0,207879 . . . , F"= 4,81049 ... 

31. 6«ät man In ben Sormetn CH. 12.) « es 
2h?i +3.J1, un& a = k'?i; fo erhält man, baim erflen 
§aBeco»a, im anbern sin a = o i|t: ■ 

■lata» ± t . + ,8) = ± ** + "~* . 

co.(kv + Ji)= ±5-iS_, 

. a» + 4„ + / a = Aro.i.((±^±/^))., 

fo tag (8 alfo fcbeint, als (innten reelle ©im« unb £o|fc 

nus Imaginäre Sojen fjaben. (gs 1(1 aber 



-. Sanun(a— l) 2 =a*+i— 2a, 
affo immer pbpti», t. i. 1 + a 2 immer >2a ifl • fo ||j 
obigerSrua) immer > 1. älfo fonnen bie obigen, fcbein. 
kr reellen, ©inu« an!) Sofinu« im Greife ttbt>t e;i|iiren. 

S3erMn»ttitg »er S«r)te »on »ett tttirar)äli> 

cfien ®tjßen mit »et 2&,eone »et 

@[etd>ungen. 

33. Sie Srjeorle ber Sfeiciwngen Bern^t ganj anf 
, bem ©a^e, tage« für (ebe ©(eiajung imfner wenigflens 
eine reelle ober imaginäre SSiinel gebe, weltbes »on Ä 4 (f> 
ner (anal. enbl. ®r6g(|(i. 210.) nbcb alsSrunb* 
fajj angenommen wirb, Sie neuern 3Ratt)ematifcr t}aben 
k (leb aber bemalt, genugenbe Semelfe tiefes ©aljee; ju fin. 
ben, unb icb werbe baber hier ben mir ber 2ebre von ben 
unmogtieben @rofen in unmittelbarer JBerbinbung fte()tn> 



574 Unmögliche ©r6(5«t. 

ben Öewei* nad[> <£<roc&D (Gourt d'Analyse. P. I. p. 331.) 

mitteilen. ' 

33. X>er Jii beroeifertbe @oQ ifi folgender : 

aScmt n eitle pof&iw ganj* 3afjfi|t, nnb a , a 4 , a j,.« a» 
Beliebige reelle ober Imaginäre ©rfcfjen bejridjnen ; fo gitbt 
es immer eine rttfle ober imaginäre SEBurjel Ber ©leic&ung 
..*- 4- «.«"-' + -.-+ «p-i * + »» = o • 

SOfan bejeiebne biefer ©leidjung crflen Ifffil burdj^x} 
fo wirb / ba aueb Jebe treSe ©c6ße unter ber gorm « + vi 
enthalten f(f, ber 93eroeiB baraitf anfommen, baf man 
jdgt, bafj e* reelle 3Bertt)e »on u, v giebt, für weltb/, 
x = u + vi geft^t , ^x = o-t»irb. 5Birbx=:u+vi 
in unfere ©teiebung gefegt ; f* wirb fie ftcb (8. 7.) auf bf< 
Soritt; 

f(H,»> + i.F(ii,r) = ö 

Bringen laffen, fo baß alfe n, v fo jii beffimmtn fittb (5\> 
M|j ju gleicher *J«ft 

Siefe Selben ©leidjurtgen finb «ber offenbar erfüllt, »tun 
u, t f» beftimmt »erben, baß 

ijr. ©aß nun bief* ©efHmmung »wt u, v immer urfj* 
lieb ifi, läßt fieb, ben erfien ?beit legtet« ©teiebung bur$ 
F(u, v)bejeicbnenb, fo jeigeti. 

SOian feger »ettbetf immer mogftd> t|t (6.)t 
■■ =± eo(c(Wip + (fliiyo) =;,„*,, 

■ , n Ci( cos Vi + '""ffi) — f) *i » ' 



n +*i = r(c D .t-i-i«i»t); 
fffWiC&^Cu + vi^ ±= 

f # .r»(co*t + itint)* 
+ (i *i*r»-'<coit +.idnt)«-» 

. Dg i,-.« Google 



Unmögliche ©rifint. 

f« *o .*■(«•■"* + iritintl 



+ ,,-,*— i.r|coit + iiint| 

+ e. *. (3.) 

,. ,-|oc(»t + t.) + lrf»t«t + T.)l 



+ t „_,r|oo > (l+ T „-0+i.i»(t+T„.,)| 
+ *n! eo»V" + i«"Vitl (2.) 
= f(«, ») + <f (»,»), 

,„i'toi(iiI+y„) + (."-'•=»■(»—«•+»■). 
«■(»■') = 

(Entwirf eff man nun bic üuabräte biefer Iteiben ©regen; fo 
erijalt man Ui&ti 

P(n,Tja|f(oi r)|*+ |f (u, t)J» = 

j. f' + ^n^coyCat-t-y. — y,) 
* r 1 
+ " 

Uta* (6.) i|tr= — u*+y*, atfor Sn = <u*+v*) n , 
eben fo wie F(u, v), wetdjee bic @umme jtocicc £lua= 
brate tft, immer pofititt. 3>mna(&i|taucb bei- jweitegactcr 
»an F(u, v), immer pofitiD. Xajjf man u um) vwatfa 
fen, fo wirb autfcrfortwaljrenb wacbfen, unb fann gri« 
ßer alcs jebe gegebene ©röfje werben. 35er jweife hattet 
ndtjert $$ bann immer mefjr unb meb,r ber ©röjje p*,. 
unb fann betfelben beliebig nalje gebraut werben , ba of- 
fenbat alle dnjelnen^ructieburc&SÖergrotJerting von r, b. f. 
»on u unb v, (alfo auA) ifjre ©nmme, ba bie S3tücEje in 
enblidjtr 31njal)l öotftanben) fleiner gemalt werben femien 
at«jebe gegebene ©r6|e, immer in S3e$ua, auf bie abfolutett 
SEBert£)e, oEme SKilcf (td?C auf bie S3ot jeidjen. tDJan t)at i)ier. 
bei jn bemrrfen, -baß bie Sefinue in ben Skiern bie (Ein* 
^eit nie überfielen fonnen. 35a alfo ber eint gaefor 



576 Umttfglic&e ©rfjjm. 

mit u , t bCt Unenbti&e »aa>ff ," ber anbere aber f?$ im« 
mer einer 6e|Hmmfen ©ränje nähert;' fo read?)? audj bau. 
qjrobuct F(u, v) iwenbifcb, werniu, v/ober nur efntf, 
unenblicb; warfen , utib 6ef)<Hf nur bann einen enblttb« 
Sikrti), -wenn u , v betbe einen enbiidben 2Bertf) jttjjafte». 
gerner ijl F (u , v) offenbar eine gan je reelle gunetion wn 
u, v, unb wirb fl$ ba^er offenbar ffettg änbern, wenn 
u, t|^ ßetig änbern, fo baß man fte fidj als eine j«< 
fammenljangenbe frumme Xinle bargefiettt benfen fann. 
?Iud? i(l F(ü, v) immer pofTti», unb muß ft$ baljet 
offenbar, weit fje nie < o werben fann, im 5Ibneb,men einer 
be|rimmfen ©ranje nähern, welc&e fie nie überfcömtef . @(Q 
A biefe@ranje< unbu n , t„ gwei SEBert^esonu, v,"ffir 
Wefc&e F (u, v) biefe ©rinjc wirftitb erreicht, fo ba$ alfo 

F(u o) .v ) = A. 

Ötacfr bem SOor^erge^enben iff für jebe jweianbcw 2B«rt)t 
u -j- ah, v + ök üon u, v immer 

ober bie 3>ifferenj. 

PCU + «H, T + ak) - P(U 9 , T 6 ) 

eine üoftdtw ©rofje, wie fiefo man aueb « neunte« 
mag. 3n ber gunetion y>(u + vi) gebe man je^tben 
©roßen u, vbie SEBert&e u + ah,.v + ak, fo ba^ 

ctfo 

9Htffef|f be* binotniftben Sefcrfaljes fann matt offenbar 
y(u + vi) nad>^otenjen »on o(h+ki) entwiefetn, fö 
1>a$ bie 9te$e mit «■. ( h -f Ja)' anfangt, unb mit 
a B ,Ch + ki) B enbigt. 3>ie£oefficienten'ber dn^eTnien ©lif 
ber, auf bie getfft$nti$e gorm gebracht, fenen : 

r,(cOlt, + irint,) at.T,, 
T^(co«t, 4« irint,) si r,T, , 



rMi(nost n n + ilintstl) = r,tiT «, 

ttttbh + kifen = ^(cos9) + isina*)] fo iff 

Vfu +v » + •(*/+ M)) =s 
*»?, + r,T a .« ? (co. v + irii> 9 ) 

+ r,T,.aV(co* v +irinvj)* 
+ rmiTnfi ,«•■(■• (Uiy + iütupy 



Vmt6gH$t ©röfm. '577 

. . S«, »jcwt, 4-I-i'nt.J 

+ ««t.Hf"r<»l[t 1 ,( ( + « ¥ ) 4. iUbCW + nmjl 
tl«*(2.3.). 31((j ; 

VCu»4ni + "<n+ki)j = t + l"i,' 

»0. t>i( SBrettje »on T, T* in t»n feiten oif«n SBntifal. 
reiJMi tnt$a(reit. .36« 

V'{u 8 4 : »ii + «(ii + ki)) = V (u +«h + (v,, + k)i) 
= '<&» 9 + "h, Tj + "t) r iF(a<4>>lt, T, + «k); 

SetflU* (5%)! 

f(p, + oli, »/+ .k) = T, 

f(U 8 + •>•, »0 + «k) =* T** 

t(u.+Ji, t. + .t)=i- ' : 

[f(«. + .ü, n + .k)i' +if(«. + ji, »i + «k)c 

=4T» + 3"», 

WOrtu« fto fcü'ot > • 

. P(»., ».) = t'.«~<.)' + Cr.iint;)« 

b» r,»(boiti' J(- iinti») = r,t ( 

©efjfn nie nun 

T = r, out, + 0, *' = r, Kit, + tf| 

fo «Ijält malt -.1 

P(U + »li, t + ak] = 
».»«oiti" + 2r ( coit, U + U> + ri ' «in t, ' + 2ri^Bt I IT 1). IT* 
*4 *,'-+ 21,(00.*! V 41 »iiit, U') + ü' + U' 1 i 
äolalid), tuf,»±= AirrFCu,,, v„) i|f, na# 
einigen letzten (Eiifn>icfelungen: - 

F(n„+«k, t, + .k) ^P(.„ )T ,) 
= 2A*-t jr,«»r.l,-*,4. f ) 

+ « ? r,co.(t,^t,4.2,) 



4-«»- 1 e - - 1 f n tieo*(t 1 , t i«-t, + n?) , 

f r i c °»(»* + 9>) + «f^toiCtj+S,)^. , , 1i 
f-«*- 1 f"»^'rMlci)»(t»„4.ilp) I 

r>,di(«i+^) + ,,f,d»(t,4>Si) + j ., -1* 

l... + ««- 1 «n-'r rt iti«(l«i + ii ¥ ) J 

V ' . ." - ß'Coogl 



+•■(' 



578 Unm6gKc&e ©r'Äjjro. 

Ktltyt tifldj bem Obigen, fo ffem au<& «genommen wer* 
ben mag , boeb, nie negativ »erben fann. 3ft nun r ,»+i 
batf erfie nut>t »erfc&t»inbenbe ©Heb in bet Dtettje r, , r,, 
r^, ... r B i 4 ; fo ift, irenn A rid>t=^oi)t, ba« irfle 

nicjjt »erfebroinbenbe ©lieb in obiger Dieitje : 

mit b« niebrigpen ^oteitj »on «. %$ aber A =«; (b 
i(t bas erße m'cbf »erfebwinbenbe ©tieb: • 

•VJ [«=-< e»-'r. n «<»(U + "mpyJ'J 

J^jac man nun itgenb eine Steige mit einer enblid)en 
2Inja|( t>on ©liebern _ . 

An« +• Bo* + C«* + . . . + N»" , 

»Ofr, b, c, , /. n waebfenbe pofirfoe ganje £a$fcn ftnb; 
fo fann man immer « fo Hein nehmen? t>a$ in ^ejug auf 
bie abfoluten SSierr^e: 

A«» > flo* + C«<= 4- . .-. + No" . 

©epri fen F ber größte (Soefjtcien* ber gegebenen Steifte; 
fo feije man junäc^jl für « einen ädjten SSruoi. 35ann iji 

.' Fb&-« ^ Bob-«., 
Fob-a > C„e-» , 



F„1>-.>.N ( ,ii-a. 

ölfo', wenn bie 9fajafj( ber ©lieber ber gegebenen Sfeffc 
= *$•". 

hF«b-» > Bob-« + Co-* + . . , + '.N«*-* - 

(Erf i'iitt man nun , w(cbe$ offenbar immer möglieb (jt, 
jugteieb bie Seiten SSebingungen:. 

. ■-.•;<*. -<Ä« ■ 

fo ift A > tFa, folglich «tieft immer A > kVa*-. 
«[fo 

A > Bob-. + c»«-^ + , . . + N«»-", 
A*«> Beb + Co- + . , . + N«-, ■ 

' ii:,..,:,;C,oo^le 



ünmi&ity ©t#at. 579 

fobafjotf« im«!« An- großer ab tu« a8o.Ko.af aller frb 
genbeB Sllrttt gemattt »ertwB fann, unb fotalia) tut 
3eia>n »ob < 

Aa» + Ba» + Ca« + . . . + (Ja" 

nursoßAa-ab&anaf. 

SKfo r«BB man Ib Sejua. auf ta« Obig.« <e htm« fb 
Kein nehmen, bog tut 3<icben »OB 

P(o, + .t, t, + alJ-FCo,,»,); 
. »MBB A Bil&t S= o i|l, BBC »OB 

«WBB A = o ifj, BBt »OB 

a*n e &u. (,„„)! e 

abfangt. Sa bbb in bet eieidjung 

fa + ki = fl(cosa) .+ iiina>) 

h, * jobj rorafityrllc&e fflräfien futf; fo faBB offenbar audj 
0« Bojra a> jrttB SBertr) erhalten, ffllan crjiait namlicb 
one tiefet SMcfjuns let'cbr: 

,'=!< + k>, uiaa = | ; 

woraus umsefe!)«: 

n = ° 1 lt c= a**"g(P 

T 1 + tang«) 1 f 1 + taagu. 1 

fo bafi BiaB alfo <?, <p aanj roiOfubrfi* anrteljnieB, BBb' 
baroush, h be|Hmmcß faBB. golglicö wirb |tcb y feicbr 
fo annehmen (äffen, tag 

«i(W- t, +■ my)s 
fllfo aurt;, unabhängig »on c, 

SA^o-j-rniHMitta.« — t. + m^J } 

uns bemnacb, bei bjnreicbenber Äleinbeit »ob a, 

F(u, + al, v„ + dl) - P(u„; ,,) 

Bejarl» l»irb. £>iefe Siffercnj ifl aber immer ßofiti», wie 
wir oben gefeiert baten. 2Mfo faBB aueb 

2A' a» »*> r mt i coi ( tmti— *i + m» ) 

niibt bat Blieb feqn, »ob welcbem bei binreidjenber St Ieinb>l( 
Bon « B)r Rieben abfiängt. Siefe« Stieb würbe aber bBrB> 
»or)M)enbe gormei außgebrücft werben, wenn A niä>r=ö 
Oo 2 



580 tlttmcgUc^c ©röpm. 

wirt. Wf© fonn anä> Ott ni&( fjatt füiba, nab A tci$ 
= off9B, wk baut ts ber S^at bog ©lieb 

(*•(-. «Wh) 1 ,' 

tun »(ld?Htt bei fiiBtfi^xnb« .fiteinljni MB s, atm 
A = o ift / ba* 3rid?en obiger SJifferm j obb ängt, tmmrt 
pofttw ift. 3üfo girbt es immer j»ei 2B«Ttfje o , v B mh 
u, V, für ffidtfjt F(a, v) =: o tuirb, tuib fo(.jlii±i and) 
immer einen 2Bmf) a a + v i twn x> für weldxa 
yx = o wirbt t>- '- immer eine reefle ober imaginäre 
2ßur je( ber ©fridjiiiig 

■•«» + ». ■*-* + — + ■»-* * + •» = • • 

2B4ren r t , r 2 , r 3> . . . t m+t aüe — o; fo oü» 
nao> tem Obigen 

V(°. ■§-»•* + *< h + u » — *(■• + •*> + C». + «4)0 

für jebe*«, h, k, — o; folgu'cfj i^ ( u + vi) für jetrf 
u, v, = o, b. i. es wäre ync tbentifd> ä= o. 

34. 3ßir wollen nun beti gaff, wo alle Ölorfficitnfm 
ber gegebenen &Iei$iing mögliche Stößen frnb, etwa« 
nÄfjer betratfcfrn. Stierff «heilet (ettbt, baß, mm 
u + v i eine üöurjcl ber ©ieicbnng ift, bann in tiefem 
Solle auet immer u — v i eine SSiurjel fenn muß. @tf 
namitcb 

n a + T 4 i=S((co«ip +■ inj)?)] 

f« ift 

11 — *„> = ?(COt ip — itiny) . 

.Stammt u + y i eine fflJurjd unferer @(eio)ung ifr 

.fr* 

4* "i fn-l ( coi iy + ijitiyjo-' 

+ ■« 

— *»e"| coinqD + iiintnjol 
+ »» f"-'|oo.(n- 1) 9 +- iAx(i—i) 9 ^ 



== * + *'i . 
3>a «De Eoeffleie ntctt , atfp am* #, *'/ reelle ©roßen 
P"^ fr* . 

- * = p, *' s? .p . 

§ofglicb/ ati$ * — *'i =sr o, b, i. 

o = a fiij coanip _ islunif-j ■ 



tis «.{ü — ti)* + ■,(«— »!)*-••+ . . . + •»-»(»—«) + »"! 

affo a — vi eine Sowjet ber gegebenen ©tei#ung; $Xe 
imaginären SBurjeln finb folglid), wenn alle Soeffictenten 
mdglicfee ©röfjert flnb, immer paaetoeife, atfo immer i» 
geraber Slnja^t fcor&anb», ' unb immer »on ber ^orm 
u + vi. ■ ■ ■> 

35. <E« erhellet tei#f , baß för jebe« aj 



'eine ganje rationale Function te? (n — l)tm ©rabe* öon 
je ijt. 70'u SBurjcl, weUfce e« för bie ©leidmng v* == 9 
»eniglten« immer geben muß (33.)/ fa u o +■ v o»»* 
foift 

o=« D Cn o + «)- + «».Cu + y i)— > + ...+ ■*t 1 1».-Kv,*)"« 

woraus burd? ©ii&traqtiott, unb beiberfeitige 3}i»ifwn 
bur<(> x — u — r t i : 



58? Itamfylhfc ©rifjat. 

5t(fo Ift tiefet Qaotftirt offenbat eine gatiic taliorwle 
Function bes (n — l)tm ©liebes »on x, unb ifotgua), 
wenn f t x eine folcbe Function von x gebeutet ; 

W =!(* — ■« — *«0#1*. 

5)a eis nun au$ fue y,x = o toenigftene' eine fSurjei 
"• + T < » «eben mufi ; fo et^llt man fjictou« burcb mfa 
fad>e Suiroentuno, be» fo eben $Mef<nen leicht; 
¥* =^ (* " «•« — »oOv.» 

*,« = (* — u, — V)*«* 
y,» = (, -, O, — |,)] K < 

wo v> x eine Function be8 oten ©rate«, b.; i. eint am- 
(lante erofit = c, Iß. «ffo 

VxssCl« — n,— T„OC*— n,— *,i),..(*— a^-ii — »—ii), 

fo Daß fict) alfo febe ganje rationale gunction beo nttn 
©rabeo in n gactoren »on bet gönn x — u — vi jeeitgm 
' la|*t. 2>ie et|}en bliebet auf bet linfen unb tecbten @eta 
finb a a x n unb Cx\ ©a nnn offenbar beiße ^ntroirfeliw 
gen ibentifcb feon muffen ; fo ift 

36. 5>itfe 3etl<<tun.q in Jactoren ift nur auf eint ea> 
jije litt m6glia>. 3Bäre nämlidf tmä) 
¥*K»,(j(-y ~«,i)(x— y,— «,i)...C*— y«-i— t*-ii)f 

fo mite 

(*-u -.Y,,i)Cj~o,~- T, !),,.(* — ti n _ ( --v n _,i) 

= <«-*..- «,l>(»-Ti-».l).-.(.»-y— t-fc-i) 
©a» etfle $robuct »itb ss o (St x = u„ + V 
, gut benfelben SÖJetlt) ton x rauf alfo aucb 6a« jtwitt f» 
tuet/ folgllcb fut biefen aBtrtt) «onx einer feinet Sactc-ra 
:=a netten. @ei|j. 55. * — y — z^ibiefetS»«« 
fo ift alfo 

». + '.' — j. — «.'="> ■ 

u + T i = y + * i , 
X — u, — » * = * — y« — i,i . 

Sotgtid) bjita) 7>i»ifion: 

(, _u, -.,1), ..(.-*,_, -»,.,!) - 

==(«-y. -vi>...C»-i*-'-» «•"■'> 



V ItemfeHge ©rffj«. ■ 583 

*■ «wrana btudfÄfatübt ©djtüffe nad) unVnadb Mtv@(eiä> 

r fjeiuffer gaciore» aiiftefeifcf »ifö, , . 
j 37. J)a bas ^»fetter 

(« — ».- » i>t«-B,— T i i)...(x— Un-i-Tn-ti) 

=s= p wirb,/ wenn man bem x einen ber SSJertlje 

n„ +.r i-, u, +• v 4 i, ... , ii„_i + Tn -ii 

6et£egt; fo ftnb afie btefe ©rißen Säkrjeto ber ©[eic&uttg 
yx = o. "iHtfo f>at jefce ©(tidjung «e * n tert ©rabee n 
SBurjeln, unter betten tnbeß aud? wefiefdjr einige gleiche 
»otf ommen f onnen. SÖieEjr als n 9Burje(n form ober feine 
@(e(d?ung be* ntrn ©rate Ejaben, »eil fonfl bie Verlegung 
ber ^«netion ^x in n Sactoren t>on tergorm x — u — vi 
auf web> a\s eine 2Irt möglief? feijn mußte (35.), wetdjes 
naa) (36.) unßaft^oft i|t. 

38. ©tob ade Sotfßcienfen ber ©(eidjung yx= o 
mögliche @r6ßenj fo ßttb bie imaginären SButjeln, wenn tu 
Öeren giebt, immer paarweife, »fe u + v i (34.), alfo 
auefc bie imaginären betören von yx immer paarweife, wie 

» — u, + y„i 

vor^anben. ©efjeit wir nun 

foi(l(x— ,u — T i)(x— u +v i) 

= (x — fWntp — t intHp )(x-(coi ip-f- titiuy) 

= (_x — fCM V )' — (»i'Mlly 1 

= x' — 2«f co« y + e 5 cosip 5 + e 1 «ini / i I 

= I» — 2Xf MM 7> + ( l 

eine reelle Function be« jweiten ©rabeti. hieraus ergiebf 
fidj ber für bie Algebra überaus mistige tSaij, baß 
j«Be ganje reelle Function irgenb eines ©rabe« immer in 
tautet reelle S attore| i bes erften ober (weiten ©rabes, 
, toelcb« fettete wn ber ftotm x a — 2xQcas<p + t? 2 , ober 
: x*-r-2xu +« a + v o 2 (■"&' Jeetegt werben faun. 
©ebon in bem Slrt. €Heid)ung. (155. ff.) i|rt>onbtefem 
©aljegeljanbelt, aber auf eine feEjr ungenägenbe 9Irf. £>er 
ijier nad? £aud)n geführte Sewei* ttfngf ju eng mit ber 
^eorie ber imaginären ©röge jufammen, als baß er an 
einem attbern Orte fahrte vorgetragen werben f önnen. 3n 
ben 3«(a^en ju biefent SBe'rf e werbe icb bei bem 2lrr. 



5» Unmigtic&e ©r$en. 

©(eicfctmg »iebec auf iljn juröcf fommen, »,eti«gtic$ auf 
hie fdjonen vor ©auf* gegebenen f$eweife, bie bort gattj 
an itjrem Orte feim werben. SDJefjrere litecarifdjc SHotijen 
' f.©leicb.ung. (163.) > . ' 

3.9.. ©o bie $lnsaf)l ber Imaginären SBurjeln Immec 
gecabe {|t; fo f onh eine ©lefcbtmg eint« geraben ©tabes 
nur eine geräbe, eine ©leicbwrtg eines ungerabe-h ©rabtif 
unr eine ungerabe an jabj reeller 2Bur jeln fjaben , eine qiw= 
btafifebe ©Innung j. S. .jreel ober- feine, eine cubiftf« 
brei ober eine. 2llfo Ijat audj eint ©(eicbnng eines unge* 
toben @üaben immer wenigfiens eine mogliä)« SEBurjel. 
<£inb bef einet ©tei^mtg eines geraben ©cafees alle 2B«r* 
Sein imaginär; fo muß bas legte ©lieb , welches in biefero 
gafle nacb (35.) offenbar bas fkobiicf ber SSurjeln ig, 
net&wenbig poftti» fenriy weil immec itwi SSurjeln 
»an ber $orm u,, + v i ttorEommen, beten ^robuet 
szw-^ + t,,?, itifo jeberjeit pofiti» iff. 3ft alfo M 
einer ©leiebuttg eines geraben ©tabes bat fegte ©iteb ne= 
gaftt>; fo muß fie wenigftens eine reelle SEBuriel fja&e». 
OTefjr über bie imaginären SOmr&eln in ben ^ufa^en jum 
$rf, ©feitbung. 

Änwenfctmg ber imaginären ©räfjen lei 
ber @umraitung ber Steigen. 

40. (Eaucbo fjanbelt Im 9ten X<ts> fein«« «Mtfjnjc 
ten SBnfes febr aitßf unlieb von ben imaginären Reiben- 
Um eine iünwenbung ber uhmöglidben ©r&ßen in ber Zm- 
t#« ju {eigen, teilen »irrtet baraita einen etegon> 
ten beweis ber, SJttifytn föt sinx unb cosx mit, baiff 
art.©nc[ome«ie biefe «Reiben nnc bunfr M«3ntfgralrta> 
nimg gefunben wortren |inb. 

41. @e» fx irgenb ein« imaginäre Function »on x. 
SÄan foä ibre $otm fo befümmen, baß fie jwif(ten tebeti 
i»et reellen ©rÄnjen continuirlid) bleibt, .unb ber, off« 
gemeinen Steigung 

<(»+ x )=s ft.fj 

genüg», 

V , recsvGOOglC 



fy = fo.fj, "fo = | , 

jeb«i jwti reeÖEeti ©pänjcn »on x fbmintiirtfifr bleiben foH, 
unb btffe SJjutKffoftfüt x=o ben poftrioeit 2öerdj 1 er^äft-;; 
fo mitjj fi< in btx ÖMije btef<säBmb«< 6. &. ftk «n fefjp 
EltitMö % s»if(fem bat ©ränjftt y. = o, x = p, intncc 
pofilte färi, ■' @c? nim-affgcimti» , ''.."' * 

fs = v< + >v'» i " ' 

fo Witt für x =3 p : .. 

3hi* i(i ■_,'.'. 

Co -_= v» +■ fy'-M . ' . ! * . 

iinb^ wenn tt»n,tte(<&e$ befatmrtic& immer m(gli$ iß CO.) s 

fa = f$CQ*tp + isiu^) 

jcoUp = V», finip = V« (5«,)i 

42. «Man Ijat rtun na<b. ber SStbtngung^ 
j* = fa, 

f(* + «' + x") = f'(* + ^). fa" =,fa.fa\fa", 

f(x + f + »" + x-) = i(x + »'+. 1 r),t ¥ -' = fa.fx-.fa".fa'- v j 

«. f. w. ■ «. f. w, : 

fetfllWb föt x^=x'e=x"=.... 

• ' £('W) = (fa}», f(m<.) = (f.)-, 

= ("(com/! + iiiaip }•* = f=( cos my + iiinmy ) , 

für jebes gonje pjfflw ;in, . . 

gut 35 = x' 5= £« tt^Mt man Utyt.i 

(f(4«>')* — *• — f (coiqo + iuu'y) 

9Rc$rma(ige Sfnwenbung Ijiewon giebt; 

£■== ((eo»y + ina<p) 



586 umtofifc ©•#«• . 

golsli* »«* H tM OH»«; jj« fto « 8'f<W : 

3(1 um it irä«ii> ein» i>eli*e grtfie j f» f«n o"" 1 »ff'"" 
bat '*,• n f* fo itaMtwtoflW t«j WS5ta* - (t* w 
fflrtfe <t lllwlifiB* nafrrf, W« #> f* *™<n 9<f«ä< TOtrtra 
fann , im» foläii* ffc )*« P»("''»< P* '• 

©a nun In (*'•) f*f *= r*> T = -r "'"' : 

fo = l =f(^).f(-)")#l 

fo i(l 

{(_,.) = (f(/.>J)""' ?=( '<■»£—«>>+ "»<-/"»» 

otfofurjebesm: 

f(ma) ^= e™C co,nl ¥' + i " nm *0 " 

gär jtbe« teele x oifo, »xnn man m = — frtt* • 

fx = a*{co«bT + iiiabs) 

„,„, b i»iIIMf>r!i*< &>n|tan«n(M>, unk a pofifi» if , 
t» p 18 tomi« lf*\ 

$ot man nun M< btibtn Sierra : 

> + T+!3■ + rx3' , ■••• = I • 

fo i|t i»8 aus™™« 8H* »on XT ' = 
= _i- j,. + ix-, + ..+f «J- + J-j = T*^r • 



■ Orägni, 487. 

wi> t«x tinotnifitm ?t^t(b(je. Sie (£rponetitia(t(i§en 
geben bofielbe Bttfulf«. äljo 

II _ 1 + — j- + — j;j— + -JXJ- + • • • 

©eljt man ix, iy für x f y; fo wirb: 

x |'- fi + ä— ^'(^tS + ä - •••>! ; 

- ' ^n*^ t i.,.4 • • • , 

+ J "».».« + .1...S — ) 

fo bog folgtidj unfere Dtet^tn bti ©(eicfoung 

fc.fy=fC»+7) ' 

genügen. 2I(fo ff? nacb bem Obigen 

X=3»<{c(i»b» + i.inlw) 

5=5 * — Tö . ■*" Tri ~~ \ 



' 1.2. T 1..4 1..6 ^ 



+ '!' 

n'coibx = 



1.2.3 



1,4 T J..4 . 

...) n b» = « - ^3 + j^ - . . . <5M 

©efStman — x fuc x; fe wirb 

b, f. a""*cos(— -bx) = a^coäbx, 

W>tt cos ( — bx)=cosbx. 3Kfö 3-* = «*, 

h — x * j. » 4 

. • inlws =»-TX3 + -r73----; ■ 
hieraus erlitt man : 

X 1.2.3 + 1...5 

Sttfo ni&ert |t<b, twnrt xafmfmmt, ~~ immer nul>r 
ber' (Einheit, eben fo nMjertft$ offenbar, wttmxaf» 



388 UnwJälW« SBwjefti. 

, nimmt, tt iirnmt mt$rfc« ©m)<it, '-^.b a((b tan 
mit m4? >•» fiWmj' ■*• ®« W» sfftniot 

■■ ■ imbx linbx . 

fr würben bi#ft'beiben,gfeiijj«i@r6ßtn für ein a&neljm«i= 

bcs x, tt)enn -b rodjt = 1 war«, fu^rfcbjebencn ©ränjftt 
nübern, jpe(#es\nng^r(imt j|?. SUf? ifl b = t t unb 
fotgtio) "•■ .-■_..... 

SMefer jtnnreidje «Qmeiij i(l ein gute« Srifpte t , tu« 
man burdj abfid)t(id}e (Einführung imaginärer ©ro.jjen off 
ju reicfjtigen reellen Slusbrücfen gelangt. 

43. !DWjr über He 2fo»enbung ber imaginären ©r&|jt 
ju fagen »erbiet« bje SefcÖranftljeir be« Staume*. 25as 
angefüljrfc SEBetf »on £ au dpi) 'gewahrt »tefe unbgrünbifc 
cBe Söeiefjrutig. £>m ©ebraud? ber imaginären ©rifjen 
in ber Slnabjffe überhaupt unb befonber? in ber ^ntegrai* 
redjmtng tetjrt (Etiler in brei Bcfonbern Ulbfj anbiungen in 
ben Nov. Act. Pctrop. T. III. T. X. T. XII., fo »iebte 
' befamifen Sßerfe über bfe ^ntegtwtrM&mmg. Söefonbert 

Wicfctig Ifi au$ Qauchy Memoire sur les inte- 
grales de'finies prisefc entre des limitcs 
iraaginaires. Paris. 1825. %n SSljng auf Die 
31nreenbutig ber imaginären ©cögen bei ©ummirung t>« 
SRttytn f. m. autb eine 3l6ljan&timg »en 51 bei über bie , 
iöinomtatwtt)e in Crelle's Journal der reinen j 
ü. angevr. Math. B. L H. 4. S. 311. 

Urimo{jIidj>e 3Bür$efn au$ fcer (ginfyit, 

f. Unm&gtid?e@r6gen(26.), Kotefifcber 2etjrfafc, fbmt* 
bung ber ©eometrie auf bie 3Hgebra. VI. VII. 

Unm&gfidbe äBur&eta einet ©Itftfrung; 

f. @ieio>ung (153. ff,), unb Unm&glid)e ©räfjen (32. ff.)